Srinivasa Iyengar Ramanujan (1887–1920) merupakan seorang pemuda tersohor dari negeri India. Orang-orang saat ini mengenalnya dengan sebutan Ramanujan, untaian huruf yang mungkin masih terdengar asing. Ramanujan adalah matematikawan legendaris dalam catatan sejarah perkembangan matematika. Beliau seolah-olah memberikan letupan cahaya dari kembang api yang dinyalakannya. Uniknya, beliau adalah seorang autodidak. Artinya, beliau mengembangkan bakat matematikanya secara mandiri sejak umurnya masih satu dasawarsa (10 tahun). Meskipun beliau meninggal dalam masa mudanya saat usia 32 tahun karena masalah kesehatan, beliau telah disohor atas berbagai kontribusinya dan pembuktian kontradiktifnya, salah satunya terkait konsep ketakberhinggaan.
Sampai saat ini, “jebakan tikus” yang Ramanujan konstruksikan masih cukup banyak memangsa para pecinta matematika dan pelajar. “The Man Who Knew Infinity” (diambil dari judul buku dan film) merupakan gelar yang disandangkan kepada Ramanujan karena telah berani mengeksplorasi dunia ketakberhinggaan kala itu.
Quote by Srinivasa Ramanujan
Ramanujan juga dikenal sebagai pelopor konsep akar takhingga, yang sekarang kita sebut sebagai akar bersarang Ramanujan (Ramanujan’s nested radicals). Sekarang pertanyaannya muncul. Adakah orang yang terpikir untuk mengubah (memanipulasi) bilangan $3$ menjadi bentuk akar-akar berkelanjutan seperti ini?
$$\begin{aligned} 3 & = \sqrt{1 + 8} \\ & = \sqrt{1 + 2 \cdot 4} \\ & = \sqrt{1 + 2\sqrt{16}} \\ & = \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 15}} \\ & = \sqrt{1+2\sqrt{1 + 3 \cdot 5}} \\ & = \sqrt{1+2\sqrt{1 + 3\sqrt{25}}} \\ & = \sqrt{1+2\sqrt{1 + 3 \sqrt{1 + 24}}} \\ & =\sqrt{1+2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4 \cdot 6}}} \\ & = \sqrt{1+2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{36}}}} \\ & =\sqrt{1+2\sqrt{1 + 3 \sqrt{1 + 4\sqrt{1+35}}}} \\ & =\sqrt{1+2\sqrt{1 + 3 \sqrt{1 + 4\sqrt{1+\cdots}}}} \end{aligned}$$Mungkin “Ramanujan” adalah jawaban dari pertanyaan di atas.
Baca : Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma
Akar Bersarang Takberhingga
Akar bersarang takberhingga (infinitely nested radicals) adalah bentuk akar yang di dalamnya memuat akar dengan pola tertentu sampai takberhingga banyaknya. Sebagai contoh,
$$x = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots}}}}$$menghasilkan sebuah bilangan rasional. Bilangan rasional ini sebetulnya didapat dari suatu bentuk manipulasi yang dapat dikatakan “unik” karena $x$ ternyata juga muncul di dalam ekspresi $x$ itu sendiri, yaitu
$$x = \sqrt{2 + \underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots}}}}_{x}}.$$Dengan demikian, dapat ditulis $x = \sqrt{2 + x}.$
Persamaan irasional di atas dapat diselesaikan seperti biasa, dan kita akan memperoleh penyelesaiannya sebagai $x = 2.$ Sekarang tinjau
$$x = \sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n + \cdots}}}}$$untuk bilangan real positif $n.$ Kuadratkan kedua ruas untuk memperoleh
$$x^2 = n + \underbrace{\sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n + \cdots}}}}}_{x}$$dan pada akhirnya, kita akan memperoleh persamaan kuadrat
$$x^2 = n + x \Leftrightarrow x^2-x-n = 0.$$Dengan menggunakan rumus kuadrat, diperoleh
$$\begin{aligned} x_{1, 2} & = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{1 \pm \sqrt{(-1)^2-4(-1)(n)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{1 \pm \sqrt{1+4n}}{2}. \end{aligned}$$Karena hasil akar kuadrat tidak mungkin negatif, pilih tanda positif saja. Jadi, $x = \dfrac12(1 + \sqrt{1 + 4n}).$
Dengan prinsip yang sama, kita juga dapatkan
$$\sqrt{n -\sqrt{n- \sqrt{n- \sqrt{n-\cdots}}}} = \dfrac12(-1 + \sqrt{1+4n})$$yang merupakan akar positif dari persamaan kuadrat $x^2+x-n=0.$
Selain bentuk di atas, terdapat juga bentuk akar bersarang lain seperti berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} \sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{\cdots}}}}} & = a \\ \sqrt{a \div \sqrt{a \div \sqrt{a \div \sqrt{\cdots}}}} & = \sqrt[3]{a} \end{aligned}}$$untuk suatu bilangan real nonnegatif $a.$ Pernyataan di atas dapat dibuktikan dengan prinsip yang sama seperti cara di atas (kata kuncinya: dikuadratkan).
Akar Bersarang Takberhingga (Versi Ramanujan)
Ramanujan membuat soal di Journal of Indian Mathematical Society sebagai berikut.
$$? = \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + \cdots}}}}$$Permasalahan ini bisa diselesaikan dengan menggunakan rumus
$$? = \sqrt{ax + (n+a)^2 + x\sqrt{a(x+n)+(n+a)^2 + (x+n)\sqrt{\cdots}}}$$Misalkan hasilnya dinyatakan dalam fungsi $f$ sehingga
$$f^2(x) = ax + (n+a)^2 + x\sqrt{a(x+n)+(n+a)^2 +(x+n)\sqrt{\cdots}}$$yang bisa disederhanakan menjadi
$$f^2(x) = ax + (n+a)^2 + xF(x+n)$$dan bisa dibuktikan dengan induksi (atau mungkin trial and error) bahwa $f(x) = x + n+ a.$
Rumus di atas dapat dibuktikan dengan cara berikut dimulai dari bentuk $x+n+a.$ Kuadratkan kedua ruas, lalu jabarkan dengan menggunakan perluasan binomial (agar dapat dianggap sebagai dua suku saja).
Ingat: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2.$
$$\begin{aligned} (x + n + a)^2 & = (x + (n + a))^2 \\ & = x^2 + 2x(n+a) + (n+a)^2 \\ & = x^2+ax+ax+xn+xn+(n+a)^2 \\ & = ax+(n+a)^2 + x[\color{blue}{(x + n) + a + n}] \end{aligned}$$Sekarang dengan prinsip yang sama, bentuk $(x+n)+a+n$ dikuadratkan dan mengikuti prinsip yang sama seperti di atas dengan menganggap $x$ sebagai $x+n.$ Prinsip ini dipakai terus menerus dan berulang-ulang sampai takberhingga kali sehingga dapat ditulis
$$x+n+a = \sqrt{ax + (n+a)^2 + x\sqrt{a(x+n) + (n+a)^2 + (x+n)\sqrt{\cdots}}}.$$
Kelancungan Matematis (Mathematical Fallacy)
$3 = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}}$
Di lain sisi, ternyata $4$ juga dapat dimanipulasi menggunakan prinsip yang sama sedemikian sehingga bentuknya serupa dengan bentuk di atas.
$$\begin{aligned} 4 & = \sqrt{16} \\ & = \sqrt{1+15} \\ & = \sqrt{1+2 \cdot \dfrac{15}{2}} \\ & = \sqrt{1+2\sqrt{\dfrac{225}{4}}} \\ & = \sqrt{1+2\sqrt{1+\dfrac{221}{4}}} \\ & = \sqrt{1+2\sqrt{1+3 \cdot \dfrac{221}{12}}} \\ & = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{\dfrac{44841}{144}}}} \\ & \vdots \\ & = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}} \end{aligned}$$Bagaimana ini bisa terjadi?
Untuk menambah pemahaman mengenai akar bersarang Ramanujan ini, berikut disertakan sejumlah soal beserta pembahasannya.
Baca: Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma (Versi HOTS dan Olimpiade
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Bilangan bulat positif yang memenuhi persamaan
$$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x{\cdots}}}}} = \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{\cdots}}}}}$$adalah $\cdots \cdot$
A. $1$ C. $3$ E. $7$
B. $2$ D. $5$
Berdasarkan bentuk umum akar bersarang Ramanujan, diketahui bahwa
$$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x{\cdots}}}}} = x.$$Dengan demikian, dapat kita selesaikan persamaan di atas seperti berikut.
$$\begin{aligned} x & = \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{\cdots}}}}} \\ \text{Kuadratkan}~&\text{masing-masing ruas} \\ x^2 & = 4x + \color{blue}{\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{\cdots}}}}}} \\ x^2 & = 4x + \color{blue}{x} \\ x^2 & = 5x \\ x^2-5x & = 0 \\ x(x-5) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $x = 0$ atau $x = 5.$ Jadi, bilangan bulat positif yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{5}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 2
Hasil dari $\dfrac{2\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{\cdots}}}} \times 4\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{\cdots}}}}}{8\sqrt{9\sqrt{9\sqrt{9\sqrt{\cdots}}}}-4\sqrt{8\sqrt{8\sqrt{8\sqrt{\cdots}}}}}$
adalah $\cdots \cdot$
A. $3$ C. $5$ E. $10$
B. $4$ D. $6$
Misalkan
$$x = \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{\cdots}}}}.$$Kuadratkan kedua ruas untuk memperoleh
$$x^2 = 3\color{red}{\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{\cdots}}}}}.$$Bentuk yang ditandai dengan tanda warna merah di atas sama dengan $x$ sehingga kita tulis
$$\begin{aligned} x^2 & = 3x \\ x^2-3x & = 0 \\ x(x-3) & = 0. \end{aligned}$$Diperoleh $x=0$ atau $x=3.$
Karena bentuk $$\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{\cdots}}}}$$jelas tidak mungkin bernilai $0,$ disimpulkan bahwa
$$\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{\cdots}}}} = 3.$$Dengan prinsip yang sama, kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} \sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{\cdots}}}} & = 5 \\ \sqrt{8\sqrt{8\sqrt{8\sqrt{\cdots}}}} & = 8 \\ \sqrt{9\sqrt{9\sqrt{9\sqrt{\cdots}}}} & = 9. \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$ \begin{aligned} & \dfrac{2\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{\cdots}}}} \times 4\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{\cdots}}}}}{8\sqrt{9\sqrt{9\sqrt{9\sqrt{\cdots}}}}-4\sqrt{8\sqrt{8\sqrt{8\sqrt{\cdots}}}}} \\ & = \dfrac{2(\color{red}{3}) \times 4(\color{red}{5})}{8(\color{red}{9})-4(\color{red}{8})} \\ & = \dfrac{6 \times 20}{72-32} = \dfrac{120}{40} = 3. \end{aligned}$$(Jawaban A)
Soal Nomor 3
Hasil dari
$$\sqrt{2016+2007\sqrt{2018+2009\sqrt{2020+2011\sqrt{2022+\cdots}}}}$$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2006$ D. $2013$
B. $2009$ E. $2016$
C. $2010$
Diketahui $$\sqrt{2016+\color{blue}{2007}\sqrt{2018+\color{red}{2009}\sqrt{2020+\color{red}{2011}\sqrt{2022+\cdots}}}}.$$Berdasarkan rumus umum akar bersarang Ramanujan, yaitu
$$\boxed{x+n+a = \sqrt{ax + (n+a)^2 + x\sqrt{a(x+n) + (n+a)^2 + (x+n)\sqrt{\cdots}}}},$$kita peroleh $x = 2007$ (perhatikan ekspresi yang ditandai dengan warna biru) dan $n = 2$ (perhatikan beda pertambahannya pada ekspresi yang ditandai dengan warna merah).
Sekarang kita dapatkan bahwa
$$\begin{aligned} ax + (n+a)^2 & = 2016 \\ 2007a + (2+a)^2 & = 2016 \\ a^2+2011a-2012 & = 0 \\ (a+2012)(a-1) & = 0. \end{aligned}$$Diperoleh $a = -2012$ atau $a = 1.$ Karena $a$ harus bernilai positif, pilih $a = 1.$
Jadi, hasil dari akar bersarang tersebut adalah $\boxed{x+n+a=2007+2+1 = 2010}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 4
Nilai dari $$\sqrt{1+\sqrt{5+\sqrt{11+\sqrt{19+\sqrt{29+\sqrt{\cdots}}}}}}$$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac12$ D. $\sqrt3$
B. $1$ E. $\sqrt2-1$
C. $2$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} 2 & = \sqrt4 \\ & = \sqrt{1 + \sqrt9} \\ & = \sqrt{1 + \sqrt{5 + \sqrt{16}}} \\ & = \sqrt{1 + \sqrt{5 + \sqrt{11 + \sqrt{25}}}} \\ & = \sqrt{1+\sqrt{5+\sqrt{11+\sqrt{19+\sqrt{36}}}}} \\ & = \sqrt{1+\sqrt{5+\sqrt{11+\sqrt{19+\sqrt{29 + \sqrt{49}}}}}} \\ & = \sqrt{1+\sqrt{5+\sqrt{11+\sqrt{19+\sqrt{29 + \sqrt{\cdots}}}}}}. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari bentuk akar tersebut sama dengan $\boxed{2}$
(Jawaban C)
Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Pangkat (Eksponen) Sederhana
Soal Nomor 5
Hasil dari
$$\sqrt{2015+2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2017+2013\sqrt{2018+\cdots}}}}$$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2009$ D. $2015$
B. $2011$ E. $2016$
C. $2013$
Diketahui $$\sqrt{2015+\color{blue}{2011}\sqrt{2016+\color{red}{2012}\sqrt{2017+\color{red}{2013}\sqrt{2018+\cdots}}}}$$Berdasarkan rumus umum akar bersarang Ramanujan, yaitu
$$\boxed{x+n+a = \sqrt{ax + (n+a)^2 + x\sqrt{a(x+n) + (n+a)^2 + (x+n)\sqrt{\cdots}}}},$$kita peroleh $x = 2011$ (perhatikan ekspresi yang ditandai dengan warna biru) dan $n = 1$ (perhatikan beda pertambahannya pada ekspresi yang ditandai dengan warna merah).
Sekarang kita dapatkan bahwa
$\begin{aligned} ax + (n+a)^2 & = 2015 \\ 2011a + (1+a)^2 & = 2015 \\ a^2+2013a-2014 & = 0 \\ (a+2014)(a-1) & = 0. \end{aligned}$Diperoleh $a = -2014$ atau $a = 1.$ Karena $a$ harus bernilai positif, pilih $a = 1.$
Jadi, hasil dari akar bersarang tersebut adalah $\boxed{x+n+a=2011+1+1 = 2013}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 6
Hasil dari $\sqrt{4 + \sqrt{16 + \sqrt{64 + \sqrt{\cdots}}}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$ C. $4$ E. $8$
B. $3$ D. $5$
Misalkan $n$ merupakan bilangan real nonnegatif sehingga
$$\begin{aligned} 2^n + 1 & = \sqrt{(2^n+1)^2} \\ & = \sqrt{4^n + 2 \cdot 2^n + 1} \\ & = \sqrt{4^n + \sqrt{(2 \cdot 2^n + 1)^2}} \\ & = \sqrt{4^n + \sqrt{4^{n+1} + 4 \cdot 2^n + 1}} \\ & = \sqrt{4^n + \sqrt{4^{n+1} + \sqrt{(4 \cdot 2^n + 1)^2}}} \\ & = \sqrt{4^n + \sqrt{4^{n+1} + \sqrt{4^{n+2} + 8 \cdot 2^n + 1}}} \\ & = \sqrt{4^n + \sqrt{4^{n+1} + \sqrt{4^{n+2} + \sqrt{\cdots}}}}. \end{aligned}$$Ambil $n = 1$ sehingga kita peroleh
$\begin{aligned} 2^1+1 & = \sqrt{4 + \sqrt{4^2 + \sqrt{4^3 + \sqrt{\cdots}}}} \\ 3 & = \sqrt{4 + \sqrt{16 + \sqrt{64 + \sqrt{\cdots}}}}. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\sqrt{4 + \sqrt{16 + \sqrt{64 + \sqrt{\cdots}}}} = 3}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 7
Jika $$a = 0,333\cdots \cdot$$ dan $$b = \sqrt{72 + \sqrt{72 + \sqrt{72 + \cdots}}},$$maka nilai $^{b^{-1}} \log a = \cdots \cdot$
A. $-\dfrac12$ C. $\dfrac12$ E. $\dfrac32$
B. $0$ D. $1$
Jelas bahwa $a = 0,333\cdots \cdot = \dfrac13$.
Selanjutnya, akan dicari nilai $b$ dengan menggunakan konsep akar bersarang Ramanujan.
Dari $b = \sqrt{72 + \sqrt{72 + \sqrt{72 + \cdots}}}$, kuadratkan kedua ruas, lalu faktorkan.
$$\begin{aligned} b^2 & = 72 + \underbrace{\sqrt{72 + \sqrt{72 + \sqrt{72 + \cdots}}}}_{b} \\ b^2 & = 72+b \\ b^2-b-72 & = 0 \\ (b-9)(b+8) & = 0 \end{aligned}$$Didapat $b=9$ atau $b=-8$. Nilai $b = -8$ tidak memenuhi karena hasil akar kuadrat tidak mungkin negatif. Jadi, $b = 9$.
Dengan demikian
$\begin{aligned} ^{b^{-1}} \log a & =~^{9^{-1}} \log \dfrac13 \\ & =~^{3^{-^2}} \log 3^{-1} \\ & = -1 \cdot \dfrac{1}{-2} \cdot~^3 \log 3 \\ & = \dfrac12. \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{^{b^{-1}} \log a = \dfrac12}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 8
Nilai dari $2\sqrt{128 \div \sqrt{128 \div \sqrt{128 \div \sqrt{\cdots}}}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\sqrt{2^{10}}$ C. $\sqrt{2^{5}}$ E. $\sqrt{2}$
B. $\sqrt[3]{2^{10}}$ D. $\sqrt[3]{2^{5}}$
Misalkan $$x = 2\sqrt{128 \div \sqrt{128 \div \sqrt{128 \div \sqrt{\cdots}}}}.$$Kedua ruas dibagi $2$ sehingga diperoleh
$$\dfrac{x}{2} = \sqrt{128 \div \sqrt{128 \div \sqrt{128 \div \sqrt{\cdots}}}}.$$Kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh
$$\dfrac{x^2}{4} = 128 \div \underbrace{\sqrt{128 \div \sqrt{128 \div \sqrt{128 \div \sqrt{\cdots}}}}}_{\frac{x}{2}}.$$Perhatikan bahwa bentuk akar bersarang tak berhingga pada persamaan terakhir sama dengan $\dfrac{x}{2}$ sehingga didapat
$$\begin{aligned} \dfrac{x^2}{4} & = 128 \div \dfrac{x}{2} \\ \dfrac{x^2}{4} & = 128 \cdot \dfrac{2}{x} \\ x^3 & = 128 \cdot 2 \cdot 4 \\ x^3 & = 2^7 \cdot 2 \cdot 2^2 \\ x^3 & = 2^{10} \\ x & = 2^{\frac{10}{3}} = \sqrt[3]{2^{10}} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{2\sqrt{128 \div \sqrt{128 \div \sqrt{128 \div \sqrt{\cdots}}}} = \sqrt[3]{2^{10}}}$$(Jawaban B)
Soal Nomor 9
Nilai dari $$\sqrt{18 + \sqrt{18 + \sqrt{18 + \cdots}}}-\sqrt{18-\sqrt{18- \sqrt{18-\cdots}}}$$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$ C. $3$ E. $5$
B. $2$ D. $4$
Misalkan $\textbf{a} = \sqrt{18 + \sqrt{18 + \sqrt{18 + \cdots}}}$ sehingga dengan menguadratkan kedua ruas, kita peroleh
$$\begin{aligned} \textbf{a}^2 & = 18 + \sqrt{18 + \sqrt{18 + \sqrt{18 + \cdots}}} \\ \textbf{a}^2 & = 18 + \textbf{a} \\ \textbf{a}^2-\textbf{a}-18 & = 0. \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus kuadrat, diperoleh
$\begin{aligned} \textbf{a} & = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(1)(-18)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{1 \pm \sqrt{73}}{2}. \end{aligned}$
Ambil $\textbf{a} = \dfrac{1+\sqrt{73}}{2}$ karena bernilai positif.
Selanjutnya, misalkan $\textbf{b} = \sqrt{18- \sqrt{18-\sqrt{18-\cdots}}}$ sehingga dengan menguadratkan kedua ruas, kita peroleh
$$\begin{aligned} \textbf{b}^2 & = 18-\sqrt{18- \sqrt{18-\sqrt{18- \cdots}}} \\ \textbf{b}^2 & = 18-\textbf{b} \\ \textbf{b}^2+\textbf{b}-18 & = 0. \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus kuadrat (ABC), diperoleh
$\begin{aligned} \textbf{b} & = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{-(1) \pm \sqrt{(1)^2-4(1)(-18)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{-1 \pm \sqrt{73}}{2}. \end{aligned}$
Ambil $\textbf{b} = \dfrac{-1+\sqrt{73}}{2}$ karena bernilai positif.
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} & \sqrt{18 + \sqrt{18 + \sqrt{18 + \cdots}}}-\sqrt{18-\sqrt{18- \sqrt{18-\cdots}}} \\ & = \dfrac{1+\sqrt{73}}{2}-\dfrac{-1+\sqrt{73}}{2} = \dfrac{1+1}{2} = 1. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari perhitungan tersebut adalah $\boxed{1}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 10
Bentuk yang sama dengan $Z$ dari persamaan
$$\sqrt{2019 + 2019\sqrt{2019+2019\sqrt{2019+2019\sqrt{2019 + \cdots}}}} = Z$$adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{2020}{Z-2020}$ D. $\dfrac{2019}{2Z-2019}$
B. $\dfrac{2019}{Z-2019}$ E. $\dfrac{2019}{2Z+2019}$
C. $\dfrac{2019}{Z+2019}$
Dari persamaan yang diberikan, langkah pertama adalah menguadratkan kedua ruas sehingga kita akan peroleh
$$\begin{aligned} 2019 + 2019\sqrt{2019+2019\sqrt{2019+2019\sqrt{2019 + \cdots}}} & = Z^2 \\ 2019+2019Z & = Z^2 \\ 2019 & = Z^2-2019Z \\ 2019 & = Z(Z-2019) \\ \dfrac{2019}{Z-2019} & = Z. \end{aligned}$$Jadi, bentuk yang sama dengan $Z$ adalah $\boxed{\dfrac{2019}{Z-2019}}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 11
Bilangan positif $x$ yang memenuhi $\sqrt{4x^2 + \sqrt{4x^2 + \sqrt{4x^2 + \cdots}}} = 4$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$ C. $2$ E. $3$
B. $\sqrt2$ D. $\sqrt3$
Langkah pertama ialah menguadratkan kedua ruas, lalu selesaikan bentuk aljabar yang didapat setelah ketakberhinggaan ditiadakan.
$$\begin{aligned} \left(\color{red}{\sqrt{4x^2 + \sqrt{4x^2 + \sqrt{4x^2 + \cdots}}}}\right)^2 & = 4^2 \\ 4x^2 + \color{red}{\sqrt{4x^2 + \sqrt{4x^2 + \cdots}}} & = 16 \\ 4x^2 + 4 & = 16 \\ 4x^2 & =12 \\ x^2 & = 3 \\ x & = \pm 3 \end{aligned}$$Jadi, nilai positif $x$ yang memenuhi adalah $\boxed{\sqrt3}$
(Jawaban D)
Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Eksponen
Soal Nomor 12
Bilangan $\sqrt{3 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \cdots}}}}}$ adalah salah satu akar dari persamaan $\cdots \cdot$
A. $x^4+6x^2+x-7=0$
B. $x^4+6x^2-x-7=0$
C. $x^4-6x^2-x+7=0$
D. $x^4-6x^2-x-7=0$
E. $x^4+6x^2+x+7=0$
Misalkan $$\color{red}{x = \sqrt{3 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \cdots}}}}}}.$$Kuadratkan kedua ruas, lalu kita peroleh
$$\begin{aligned} x^2 & = 3 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \cdots}}}} \\ x^2-3 & = \sqrt{2 + \sqrt{3 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \cdots}}}}. \end{aligned}$$Kuadratkan sekali lagi untuk mendapatkan
$$\begin{aligned} (x^2-3)^2 & = 2 + \color{red}{\sqrt{3 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \sqrt{2 + \cdots}}}}} \\ x^4-6x^2+9 & = 2 + x \\ x^4-6x^2-x+7 & = 0. \end{aligned}$$Jadi, disimpulkan bahwa bilangan itu merupakan salah satu akar dari persamaan $\boxed{x^4-6x^2-x+7=0}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 13
Jika $\sqrt[4]{9\sqrt[4]{9\sqrt[4]{9 \cdots \sqrt[4]{3^2\sqrt{3}}}}} = a^{a-1}$, maka nilai $a = \cdots \cdot$
A. $-\dfrac13$ C. $\dfrac14$ E. $3$
B. $\dfrac13$ D. $\dfrac19$
Karena $\sqrt3 = \sqrt[4]{9}$, persamaan di atas ekuivalen dengan
$\sqrt[4]{9\sqrt[4]{9\sqrt[4]{9 \cdots \sqrt[4]{9\sqrt[4]{9}}}}} = a^{a-1}.$
Dimulai dari memangkatkan empat pada kedua ruas, lalu menggunakan sifat dasar eksponen, kita peroleh
$\begin{aligned} 9\sqrt[4]{9\sqrt[4]{9 \cdots \sqrt[4]{9\sqrt[4]{9}}}} & = \left(a^{a-1}\right)^4 \\ 9a^{a-1} & = a^{4a-4} \\ 9 & = \dfrac{a^{4a-4}}{a^{a-1}} \\ \left(\dfrac13\right)^{-2} & = a^{3a-3} \\ \left(\dfrac13\right)^{1-3} & = a^{3a-3}. \end{aligned}$
Dari bentuk terakhir, jika dipilih $a = \dfrac13,$ persamaan yang terbentuk pada basis dan pangkat bernilai benar. Jadi, nilai $\boxed{a = \dfrac13}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 14
Nilai bulat dari $$\sqrt{12 + \sqrt{12-\sqrt{12 +\sqrt{\cdots}}}}$$adalah $\cdots \cdot$
A. $2$ C. $4$ E. $12$
B. $3$ D. $6$
Misalkan
$$\sqrt{12 + \sqrt{12-\sqrt{12 +\sqrt{\cdots}}}} = x.$$Kuadratkan kedua ruas dan kita peroleh
$$\begin{aligned} 12 + \sqrt{12-\sqrt{12 +\sqrt{12-\sqrt{\cdots}}}} & = x^2 \\ \sqrt{12-\sqrt{12 +\sqrt{12-\sqrt{\cdots}}}} & = x^2-12 \\ 12-\sqrt{12 + \sqrt{12-\sqrt{12 +\sqrt{\cdots}}}} & = (x^2-12)^2 && (\text{dikuadratkan kedua ruas}) \\ 12-x & = (x^2-12)^2 \\ 12-x & = x^4-24x^2+144 \\ x^4-24x^2+x+132 & = 0 \\ (x+4)(x-3)(x^2-x-11) & = 0. \end{aligned}$$Kita peroleh nilai bulat $x$ yang memenuhi persamaan terakhir adalah $\boxed{x = 3}$
(Jawaban B)
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Tentukan bentuk sederhana dari $$3 + \sqrt{3^2 + \sqrt{3^4 + \sqrt{3^8 + \sqrt{\cdots}}}}$$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} & 3 + \sqrt{3^2 + \sqrt{3^4 + \sqrt{3^8 + \sqrt{\cdots}}}} \\ & = 3 + \sqrt{3^2(1 + \sqrt{3^4(1 + \sqrt{3^8(1 + \sqrt{\cdots}}}} \\ & = 3 + 3\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{\cdots}}}}. \end{aligned}$$Sekarang lakukan permisalan bahwa $$x = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{\cdots}}}}.$$Jelas bahwa $x$ pasti bernilai positif.
Dengan menguadratkan kedua ruas, diperoleh
$$\begin{aligned} x^2 & = 1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{\cdots}}}} \\ x^2 & = 1 + x \\ x^2-x-1 & = 0 \\ \left(x-\dfrac12\right)^2-\dfrac54 & = 0 \\ \left(x-\dfrac12\right)^2 & = \dfrac54 \\ x-\dfrac12 & = \sqrt{\dfrac54} = \dfrac12\sqrt5 && (\text{ambil nilai positif}) \\ x & = \dfrac{1+\sqrt5}{2}. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} & 3 + 3\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{\cdots}}}} \\ & = 3 + 3 \cdot \dfrac{1+\sqrt5}{2} \\ & = \dfrac62 + \dfrac{3 + 3\sqrt5}{2} \\ & = \dfrac{9 + 3\sqrt5}{2}. \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhananya adalah $\boxed{\dfrac{9 + 3\sqrt5}{2}}$
Soal Nomor 2
Untuk $a>b^2,$ buktikan bahwa $$\sqrt{a-b\sqrt{a+b\sqrt{a-b\sqrt{a+\cdots}}}} = \sqrt{a-\dfrac34b^2}-\dfrac12b.$$
Misalkan $$S = \sqrt{a-b\sqrt{a+b\sqrt{a-b\sqrt{a+\cdots}}}}$$Akan dibuktikan bahwa $S = \sqrt{a-\dfrac34b^2}-\dfrac12b.$
Ide utamanya adalah menuliskan $S$ sebagai hasil akar kuadrat yang juga memuat $S$ berdasarkan permisalan yang dibuat.
$$\begin{aligned} S & = \sqrt{a-b\sqrt{a+bS}} \\ S^2 & = a-b\sqrt{a+bS} && (\text{Kedua ruas dikuadratkan}) \\ \dfrac{a-S^2}{b} & = \sqrt{a+bS} \\ \left(\dfrac{a-S^2}{b}\right)^2 & = a+bS && (\text{Kedua ruas dikuadratkan}) \\ \dfrac{a^2-2aS^2+S^4}{b^2} & = a+bS \\ a^2-2aS^2+S^4 & = ab^2 + b^3S \\ S^4-2aS^2-b^3S+a^2-ab^2 & = 0 \\ (S^2 + bS + b^2-a)(S^2-bS-a) & = 0 && (\text{Difaktorkan}) \end{aligned}$$Kita peroleh dua persamaan kuadrat.
$$\begin{cases} S^2 + bS + b^2-a & = 0 && (\cdots 1) \\ S^2-bS-a & = 0 && (\cdots 2) \end{cases}$$Berdasarkan rumus kuadrat, penyelesaian persamaan kuadrat pertama adalah
$$\begin{aligned} S_{1, 2} & = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4(1)(b^2-a)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{-b \pm \sqrt{4a-3b^2}}{2} \\ & = \dfrac{-b \pm 2\sqrt{a-\dfrac34b^2}}{2} \\ & = \pm \sqrt{a-\dfrac34b^2}-\dfrac12b.\end{aligned}$$Karena nilai akar kuadrat tidak mungkin negatif, ambil tanda positif untuk nilai $S$ di atas sehingga didapat $$\boxed{S = \sqrt{a-\dfrac34b^2}-\dfrac12b}$$(Terbukti)