Soal dan Pembahasan – Soal Cerita (Aplikasi) Barisan dan Deret Aritmetika

Berikut ini penulis sajikan soal-soal beserta pembahasannya tentang soal cerita (aplikasi) mengenai barisan dan deret aritmetika. Soal-soal ini dikumpulkan dari berbagai sumber termasuk soal UN maupun SBMPTN. Semoga bermanfaat. 

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Aritmetika

Soal Nomor 1
Hasil produksi pakaian seragam sekolah putih abu-abu yang dibuat oleh siswa-siswa SMK Jurusan Tata Busana pada bulan pertama menghasilkan 80 setel. Setiap bulan berikutnya, hasil produksi meningkat sebanyak 10 setel sehingga membentuk deret aritmetika. Banyak hasil produksi selama 6 bulan pertama adalah \cdots setel.
A. 530       B. 620        C. 625          D. 630         E. 840

Penyelesaian

Ini merupakan kasus barisan aritmetika (karena terdapat penambahan hasil produksi yang tetap/konstan setiap bulan).
Diketahui a = 80 dan b = 10.
Jumlah pakaian seragam sekolah putih abu-abu yang diproduksi selama 6 bulan pertama adalah
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b)  \\ \text{S}_{6} & = \dfrac{6}{2}(2 \cdot 80 + (6-1) \cdot 10) \\ & = 3(160 + 50) \\ & = 3(210) = 630 \end{aligned}
Jadi, jumlah/banyaknya seragam yang diproduksi selama 6 bulan adalah \boxed{630~\text{setel}} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2 
Sebuah perusahaan pada bulan pertama memproduksi 8.000 unit barang dan menaikkan produksinya tiap bulan sebanyak 300 unit. Jumlah barang yang diproduksi selama satu semester adalah \cdots
A. 57.000 unit        D. 29.400 unit
B. 53.400 unit        E. 28.500 unit
C. 52.500 unit  

Penyelesaian

Ini merupakan kasus barisan aritmetika (karena terdapat penambahan produksi yang tetap/konstan setiap bulan).
Diketahui a = 8.000 dan b = 300.
Jumlah barang yang diproduksi selama satu semester (6 bulan) adalah
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b)  \\ \text{S}_{6} & = \dfrac{6}{2}(2 \cdot 8.000 + (6-1) \cdot 300) \\ & =3(16.000 + 1.500) \\ & = 3(17.500) =52.500\end{aligned}
Jadi, jumlah barang yang diproduksi selama satu semester adalah \boxed{52.500~\text{unit}} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 3
Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antarbulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp50.000,00, bulan kedua Rp55.000,00, bulan ketiga Rp60.000,00, dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah \cdots
A. Rp2.640.000,00           D. Rp1.320.000,00
B. Rp2.580.000,00           E. Rp1.315.000,00
C. Rp2.040.000,00

Penyelesaian

Karena selisih antarsuku tetap (konstan), maka kasus di atas tergolong masalah kontekstual yang melibatkan barisan aritmetika.
Diketahui \text{U}_1 = a = 50.000 dan b = 5.000.
Akan dicari nilai dari \text{S}_{24} (2 tahun = 24 bulan).
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ \text{S}_{24} & = \dfrac{24}{2}(2 \times 50.000 + (24 - 1) \times 5.000) \\ & = 12(100.000 + 115.000) \\ & = 12 \times 215.000 = 2.580.000 \end{aligned}
Jadi, besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah Rp2.580.000,00 (Jawaban B).

[collapse]

Soal Nomor 4
Jumlah produksi suatu pabrik pada setiap bulannya membentuk deret aritmetika. Jika banyak produksi pada bulan keempat 17 ton dan jumlah produksi selama empat bulan pertama 44 ton, maka banyak produksi pada bulan kelima adalah \cdots ton.
A. 24         B. 23           C. 22         D. 21           E. 20

Penyelesaian

Diketahui \text{U}_4 = 17 dan \text{S}_4 = 44. Dengan menggunakan formula jumlah deret aritmetika, yaitu
\boxed{\text{S}_n = \dfrac{n}{2}(a + \text{U}_n)}
diperoleh
\begin{aligned} \text{S}_4 & = \dfrac{4}{2}(a + \text{U}_4)} \\ 44 & = 2(a + 17) \\ \dfrac{44}{2} & = a + 17 \\ 22 & = a + 17 \\ a & = 5 \end{aligned}
Selanjutnya, akan dicari selisih tiap suku yang berdekatan, yaitu b.
\begin{aligned} \text{U}_4 = a + 3b & = 17 \\ 5 + 3b & = 17 \\ 3b & = 12 \\ b & = 4 \end{aligned}
Jadi, banyak produksi pada bulan kelima adalah
\boxed{\text{U}_5 = a + 4b = 5 + 4(4) = 21~\text{ton}} (Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 5
Pada bulan Januari, Asep mulai menyisihkan uang sakunya untuk disimpan dalam sebuah tabungan. Mula-mula ia menyimpan Rp2.000,00, kemudian Februari Rp2.500,00, Maret Rp3.000,00, dan seterusnya. Jumlah uang yang disimpan Asep selama satu tahun pertama adalah \cdots
A. Rp29.500,00            D. Rp57.000,00
B. Rp30.000,00            E. Rp57.500,00
C. Rp48.500,00

Penyelesaian

Jumlah uang yang ditabung tiap bulannya oleh Asep membentuk barisan aritmetika dengan suku pertama a = 2.000 dan beda b = 500. Dalam kasus ini, akan dicari nilai dari \text{S}_{12} (1 tahun = 12 bulan). 
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_{12} & = \dfrac{12}{2}(2(2.000) + (12-1) \times 500) \\ & = 6(4.000 + 5.500) \\ & = 6(9.500) = 57.000 \end{aligned}
Jadi, jumlah uang yang disimpan Asep selama satu tahun pertama adalah Rp57.000,00 (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Tempat duduk gedung pertunjukan film diatur mulai dari baris depan ke belakang dengan banyak baris di belakang lebih 4 kursi dari baris di depannya. Bila dalam gedung pertunjukan itu terdapat 15 baris kursi dan baris terdepan ada 20 kursi, kapasitas gedung tersebut adalah \cdots
A. 1.200 kursi               D. 600 kursi
B. 800 kursi                  E. 300 kursi
C. 720 kursi

Penyelesaian

Dari masalah di atas, jumlah kursi pada tiap barisnya membentuk barisan aritmetika dengan suku pertama a = 20, b = 4, dan n=15
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_{15} & = \dfrac{15}{2}(2 \cdot 20 + (15-1) \cdot 4)\\ & = \dfrac{15}{2}(40 + 56) \\ & = \dfrac{15}{\cancel{2}} \cdot \cancelto{48}{96} \\ & = 15 \cdot 48 = 720 \end{aligned}
Jadi, kapasitas gedung tersebut adalah \boxed{720~\text{kursi}} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Sebuah pabrik memproduksi barang jenis A pada tahun pertama sebesar 1.960 unit. Tiap tahun produksi turun sebesar 120 unit sampai tahun ke-16. Total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke-16 adalah \cdots unit. 
A. 45.760              D. 16.000
B. 45.000              E. 9.760
C. 16.960

Penyelesaian

Dari masalah di atas, banyak produksi barang jenis A pabrik itu setiap tahunnya membentuk barisan aritmetika dengan suku pertama a = 1.960, b = -120 (negatif karena jumlah produksinya berkurang), dan n=16
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_{16} & = \dfrac{\cancelto{8}{16}}{\cancel{2}}(2 \cdot 1.960 + (16 - 1) \cdot (-120)) \\ & = 8(3.920 - 1.800) \\ & = 8 \cdot 2.120 = 16.960 \end{aligned}
Jadi, total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke-16 adalah \boxed{16.960~\text{unit}} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Jika keuntungan pada bulan pertama sebesar Rp46.000,00 dan pertambahan keuntungan setiap bulan Rp18.000,00, maka jumlah keuntungan sampai bulan ke-12 adalah \cdots
A. Rp1.740.000,00
B. Rp1.750.000,00
C. Rp1.840.000,00
D. Rp1.950.000,00
E. Rp2.000.000,00

Penyelesaian

Dari masalah di atas, jumlah keuntungan yang diperoleh setiap bulannya membentuk barisan aritmetika dengan suku pertama a = 46.000, b = 18.000, dan n=12
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_{12} & = \dfrac{\cancelto{6}{12}}{\cancel{2}} (2 \cdot 46.000 + (12-1) \cdot 18.000) \\ & = 6(92.000 + 198.000) \\ & = 6(290.000) = 1.740.000 \end{aligned}
Jadi, jumlah keuntungan pedagang itu sampai bulan ke-12 adalah \boxed{\text{Rp}1.740.000,00} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 9 (\bigstar~\text{HOTS}~\bigstar)
Sebuah pizza berbentuk lingkaran dengan diameter 20 cm dipotong menjadi 10 bagian berbentuk juring. Sudut pusat dari 10 potongan pizza tersebut membentuk barisan aritmetika. Jika besar sudut pusat potongan pizza terkecil sama dengan \dfrac{1}{5} dari besar sudut pusat potongan pizza terbesar, maka berapakah luas potongan pizza terbesar?

Penyelesaian

Dari masalah di atas, diketahui
\text{U}_1 = \dfrac{1}{5}\text{U}_{10} \Leftrightarrow 5\text{U}_1 = \text{U}{10}
atau dapat ditulis
5a = a + 9b \Leftrightarrow 20a = 45b~~(\cdots 1)
Jumlah kesepuluh sudut pusat itu akan menjadi jumlah derajat dalam satu putaran (lingkaran), yaitu 360\degree, sehingga ditulis
\begin{aligned} \text{U}_1 + \text{U}_2 + \text{U}_3 + \cdots + \text{U}_{10} & = 360\degree \\ a + (a + b) + (a + 2b) + \cdots + (a+9b) & = 360\degree \\ 10a + (1+2+3+\cdots 9)b & = 360\degree \\ 10a + 45b & = 360\degree && (\cdots 2) \end{aligned}
Substitusikan persamaan 1 ke persamaan 2.
\begin{aligned} 10a + 45b & = 360\degree \\ 10a + 20a & = 360\degree \\ 30a & = 360\degree \\ \text{U}_1 & = a = 12\degree \end{aligned}
Besar sudut pusat potongan pizza terbesar adalah
\text{U}_{10} = 5\text{U}_1 = 5(12\degree) = 60\degree
Luas juring lingkaran dengan sudut pusat 60\degree dan berjari-jari \dfrac{20}{2} = 10~\text{cm} adalah
\begin{aligned} L & = \dfrac{60\degree} {360\degree} \pi r^2 \\ & = \dfrac{1}{6} \cdot 3,14 \cdot 100 \\ & = \dfrac{1}{6} \cdot 314 = 52\dfrac13 \end{aligned}
Jadi, luas potongan pizza terbesar adalah \boxed{52\dfrac13~\text{cm}^2}

[collapse]

Soal Nomor 10
Pada tahun 2019, populasi sapi di kota A adalah 1.600 ekor dan kota B 500 ekor. Setiap bulan terjadi peningkatan pertumbuhan 25 ekor di kota A dan 10 ekor di kota B. Pada saat populasi sapi di kota A tiga kali populasi sapi di kota B, populasi sapi di kota A adalah \cdots
A. 2.550 ekor              D. 2.100 ekor
B. 2.400 ekor              E. 1.900 ekor
C. 2.250 ekor

Penyelesaian

Banyaknya populasi sapi akan membentuk barisan aritmetika
Kota A: Diketahui a = 1.600 dan b = 25, sehingga jumlah populasi sapi di kota A pada bulan ke-n terhitung dari Januari 2019 adalah
\begin{aligned} A_n & = a + (n-1)b \\ & = 1.600 + (n - 1) \cdot 25 \\ & = 1.575 - 25n \end{aligned}
Kota B: Diketahui a = 500 dan b = 10, sehingga jumlah populasi sapi di kota B pada bulan ke-n terhitung dari Januari 2019 adalah
\begin{aligned} B_n & = a + (n-1)b \\ & = 500 + (n-1) \cdot 10 \\ & = 490 + 10n \end{aligned}
Karena populasi sapi di kota A tiga kali populasi sapi di kota B, maka diperoleh
\begin{aligned} A_n & = 3B_n \\ 1.575 + 25n & = 3(490 + 10n) \\ 1.575 + 25n & = 1.470 + 30n \\ 5n & = 105 \\ n & = 21 \end{aligned}
Ini berarti, 21 bulan kemudian terhitung dari bulan Januari 2019, populasi sapi di kota A akan menjadi 3 kali populasi sapi di kota B. Jumlah populasi sapi di kota A adalah
A_{21} = 1.600 + (21-1) \cdot 25 = 2.100
(Jawaban D)

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini