shanedizzysukardy – Mathcyber1997

Berikut ini adalah soal & pembahasan materi persamaan kuadrat (tingkat SMA). Semoga bermanfaat dan dapat dijadikan referensi belajar.

Soal Nomor 1
Apakah persamaan berikut tergolong persamaan kuadrat atau tidak? Berilah alasannya jika tidak.
a. $x^2-7 = 3$
b. $x^3+7x^2-6x+8=0$
c. $x+6=-2x+9$
d. $3x^2-7x+9=0$
e. $x^2 + \sqrt{x} - 6 = 0$
f. $x^2 + \dfrac{1}{x} + x = 0$

Penyelesaian

Persamaan kuadrat haruslah berbentuk $ax^2+bx+c=0$ dengan $a, b, c \in \mathbb{R}$ dan $a \neq 0$ .
(Jawaban a) Persamaan kuadrat dengan $b = 0$ (sehingga variabel $x$ tidak ada).
(Jawaban b) Bukan persamaan kuadrat, karena terdapat variabel berpangkat 3.
(Jawaban c) Bukan persamaan kuadrat, karena tidak terdapat variabel berpangkat 2. Dengan kata lain, $a = 0$ .
(Jawaban d) Persamaan kuadrat.
(Jawaban e) Bukan persamaan kuadrat, karena terdapat variabel di bawah tanda akar.
(Jawaban f) Bukan persamaan kuadrat, karena terdapat bentuk $\dfrac{1}{x}$ .

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan nilai diskriminan dari masing-masing persamaan kuadrat berikut.
a. $x^2+8x+7=0$
b. $x^2-5x+6=0$
c. $x^2-9=0$
d. $2x^2-7x = 0$
e. $3x^2+\sqrt{3}x - 9 = 3$

Penyelesaian

Nilai diskriminan dari persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ ditentukan oleh $D = b^2-4ac$ .
(Jawaban a) Diketahui $a = 1, b = 8$ , dan $c=7$ .
$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ &= 8^2-4(1)(7) \\ & = 64-28 = 36 \end{aligned}$
Jadi, nilai diskriminannya adalah $\boxed{36}$ .
(Jawaban b) Diketahui $a = 1, b = -5$ , dan $c=6$ .
$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ &= (-5)^2-4(1)(6) \\ & = 25-24 = 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai diskriminannya adalah $\boxed{1}$ .
(Jawaban c) Diketahui $a = 1, b = 0$ , dan $c=-9$ .
$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ &= 0^2-4(1)(-9) \\ & = 0+36 = 36 \end{aligned}$
Jadi, nilai diskriminannya adalah $\boxed{36}$ .
(Jawaban d) Diketahui $a = 2, b = -7$ , dan $c=0$ . $\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ &= (-7)^2-4(2)(0) \\ & = 49-0=49 \end{aligned}$
Jadi, nilai diskriminannya adalah $\boxed{49}$ .
(Jawaban e) Ubah menjadi bentuk umum persamaan kuadrat: $3x^2+\sqrt{3}x-12=0$
Diketahui $a = 3, b = \sqrt{3}$ , dan $c=-12$ .
$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ &= (\sqrt{3})^2-4(3)(-12) \\ & = 3+144 = 147 \end{aligned}$
Jadi, nilai diskriminannya adalah $\boxed{147}$ .

[collapse]

Soal Nomor 3
Akar-akar persamaan kuadrat $x^2+ax-4=0$ adalah $p$ dan $q$ . Jika $p^2 - 2pq + q^2 = 8a$ , maka nilai $a$ adalah $\cdots$
A. -8 B. -4 C. 4 D. 6 E. 8

Penyelesaian

Diketahui jumlah akar $p+q = -\dfrac{a}{1} = -a$ dan hasil kali akar $pq = \dfrac{-4}{1} = -4$ .
Selanjutnya, akan dicari nilai $a$ .
$\begin{aligned} p^2 - 2pq + q^2 & = 8a \\ (p + q)^2 - 4pq & = 8a \\ \text{Substitusikan}~p+q=-a~\text{dan}~pq = -4 \\ (-a)^2 - 4(-4) - 8a & = 0 \\ a^2 - 8a + 16 & = 0 \\ (a - 4)(a-4) & = 0 \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $\boxed{a = 4}$ (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 4
Akar-akar persamaan $x^2 - (a-1)x + 2 = 0$ adalah $\alpha$ (baca: alfa) dan $\beta$ (baca: beta). Jika $\alpha = 2\beta$ dan $a > 0$ , maka nilai $a = \cdots$
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 E. 8

Penyelesaian

Diketahui jumlah akar $\alpha + \beta = -\dfrac{-(a-1)}{1} = a-1$
dan hasil kali akar
$\alpha \beta = \dfrac{2}{1} = 2$ .
Langkah pertama adalah mencari dulu nilai $\alpha$ dan $\beta$ .
$\begin{aligned} \alpha \beta & = 2 \\ \text{Substitusikan}~\alpha = 2\beta \\ 2\beta \cdot \beta & = 2 \\ \beta^2 & = 1 \\ \beta & = \pm 1 \end{aligned}$
Untuk $\beta = 1$ , didapat $\alpha = 2(1) = 2$ .
Untuk $\beta = -1$ , didapat $\alpha = 2(-1) = -2$ .
Substitusikan nilai-nilai ini pada persamaan jumlah akar.
Misalnya $\alpha = 2$ dan $\beta = 1$ .
$\begin{aligned} \alpha + \beta & = a - 1 \\ 1 + 2 & = a - 1 \\ 3 & = a - 1 \\ a & = 4 \end{aligned}$
Misalnya $\alpha = -2$ dan $\beta = -1$ .
$\begin{aligned} \alpha + \beta & = a - 1 \\ -1 - 2 & = a - 1 \\ -3 & = a - 1 \\ a & = -2 \end{aligned}$
Diperoleh $a = -2$ (tidak memenuhi karena syaratnya $a > 0$ ) dan $a = 4$ . Untuk itu, nilai $a$ yang dimaksud adalah $\boxed{4}$ (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui persamaan kuadrat $x^2+(a-3)x+9=0$ . Nilai $a$ yang menyebabkan persamaan tersebut mempunyai akar-akar kembar adalah $\cdots$
A. $a = 6$ atau $a = -6$
B. $a = 3$ atau $a = -3$
C. $a = 6$ atau $a = 3$
D. $a = 9$ atau $a = -3$
E. $a = 12$ atau $a = -3$

Penyelesaian

Syarat akar kembar dalam persamaan kuadrat adalah diskriminannya harus bernilai 0. Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ (a-3)^2 - 4(1)(9) & = 0 \\ a^2 - 6a + 9 - 36 & = 0 \\ a^2-6a-27&=0 \\ (a-9)(a+3)&=0 \\ a = 9 &~\text{atau}~a = -3 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ yang membuat persamaan kuadrat itu memiliki akar kembar adalah $a = 9$ atau $a = -3$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Persamaan kuadrat $x^2+4px+4=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$ . Jika $x_1 \cdot x_2^2 + x_1^2x_2 = 32$ , maka nilai $p = \cdots$
A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 E. 8

Penyelesaian

Diketahui jumlah akar
$x_1+x_2 = -\dfrac{4p} {1} = -4p$
dan hasil kali akar
$x_1 x_2 = \dfrac{4}{1} = 4$ .
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} x_1 \cdot x_2^2 + x_1^2x_2 & = 32 \\ x_1x_2(x_1 + x_2) & = 32 \\ 4(-4p) & = 32 \\ -16p & = 32 \\ p & = -2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $p$ adalah $\boxed{-2}$ (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 7
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $(1-\sqrt{3})$ dan $(1+\sqrt{3})$ adalah $\cdots$
A. $x^2+2x-2=0$ D. $2x^2+2x-1=0$
B. $x^2-2x-2=0$ E. $2x^2-2x-1=0$
C. $x^2-2x+2=0$

Penyelesaian

Misalkan akar-akarnya adalah $x_1 = 1-\sqrt{3}$ dan $x_2 = 1+\sqrt{3}$ . Diketahui jumlah akar
$x_1 + x_2 = (1-\sqrt{3}) + (1+\sqrt{3}) = 2$
dan hasil kali akar
$\begin{aligned} x_1 x_2 & = (1-\sqrt{3}) (1+\sqrt{3}) \\ & = 1 - 3 = -2 \end{aligned}$
Dengan demikian, persamaan kuadrat yang dimaksud adalah
$\begin{aligned} x^2-(x_1+x_2)x + x_1x_2 & = 0 \\ x^2-2x-2 & = 0 \end{aligned}$ (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 8
Persamaan kuadrat $2x^2-2(p-4)x+p=0$ mempunyai dua akar real berbeda. Batas-batas nilai $p$ yang memenuhi adalah $\cdots$
A. $p \leq -2$ atau $p \geq 8$
B. $p < 2$ atau $p > 8$
C. $p < -8$ atau $p>-2$
D. $2 \leq p \leq 8$
E. $2 < p < 8$

Penyelesaian

Syarat persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda adalah diskriminannya bernilai $0$ .
$\begin{aligned} D & > 0 \\ b^2-4ac & > 0 \\ (-2(p-4))^2 - 4(2)(p) & > 0 \\ 4(p^2-8p+16) - 8p & > 0 \\ 4p^2-32p+64 - 8p & > 0 \\ 4p^2-40p+64 & > 0 \\p^2-10p+16 & > 0 \\ (p-2)(p-8) &>0 \end{aligned}$
Diperoleh pembuat nol $p = 2$ atau $p = 8$ . Gunakan garis bilangan untuk menentukan tanda positif-negatif.

Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $\boxed{p < 2~\text{atau}~p > 8}$ (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Persamaan $3x^2+(k-2)x - k+2 = 0$ mempunyai dua akar real berbeda. Batas-batas nilai $k$ yang memenuhi adalah $\cdots$
A. $k \leq 2$ atau $k \geq 10$ D. $k > 10$
B. $k \leq -10$ atau $k \geq 2$ E. $-10 < k < 2$
C. $k < -10$ atau $k > 2$

Penyelesaian

Suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar real yang berbeda apabila diskriminannya bernilai lebih dari 0. Untuk itu, ditulis
$\begin{aligned} D > 0 \\ b^2-4ac & > 0 \\ (k-2)^2-4(3)(-k+2)&> 0 \\ k^2-4k+4+12k-24 & > 0 \\ k^2+8k-20 & > 0 \\ (k+10)(k-2) & > 0 \end{aligned}$
Diperoleh pembuat nol $k = -10$ atau $k=2$ . Gunakan garis bilangan berikut untuk menentukan tanda positif-negatif.

Jadi, nilai $k$ yang memenuhi adalah $\boxed{k < -10~\text{atau}~k > 2}$ (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya satu kurangnya dari dua kali akar-akar persamaan kuadrat $x^2+3x+7=0$ adalah $\cdots$
A. $x^2+12x+23=0$ D. $x^2+8x+35=0$
B. $x^2-8x+35=0$ E. $x^2+8x-35=0$
C. $x^2-4x+23=0$

Penyelesaian

Misalkan akar persamaan kuadrat $x^2+3x+7=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$ , sehingga
$x_1 + x_2 = -\dfrac{3}{1} = -3$
dan
$x_1x_2 = \dfrac{7}{1} = 7$
Selanjutnya, misalkan akar persamaan kuadrat yang baru adalah $p$ dan $q$ , dengan $p = 2x_1-1$ dan $q = 2x_2-1$ .
Jumlah akarnya adalah
$\begin{aligned} p + q & = (2x_1-1)+(2x_2-1) \\ & = 2(x_1+x_2) - 2 \\ & = 2(-3) - 2 = -8 \end{aligned}$
Hasil kali akarnya adalah
$\begin{aligned} pq & = (2x_1-1)(2x_2-1) \\ & = 4x_1x_2 - 2(x_1+x_2) + 1 \\ & = 4(7) -2(-3)+1 = 35 \end{aligned}$
Persamaan kuadrat yang baru itu adalah
$\begin{aligned} x^2-(p+q)x + pq & = 0 \\ x^2-(-8)x + 35 & = 0 \\ x^2+8x+35 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan kuadrat tersebut adalah $\boxed{x^2+8x+35=0}$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11
Persamaan kuadrat $3x^2-(a-1)x-1=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$ . Sedangkan persamaan yang akar-akarnya $\dfrac{1}{x_1}$ dan $\dfrac{1}{x_2}$ adalah $x^2-(2b+1)x + b = 0$ . Nilai dari $2a+b=\cdots$
A. 11 B. 10 C. 9 D. 7 E. 5

Penyelesaian

Dari persamaan $3x^2-(a-1)x-1=0$ , diperoleh
$x_1+x_2 = -\dfrac{-(a-1)} {3} = \dfrac{a-1}{3}$
dan
$x_1x_2 = \dfrac{-1}{3}$
Dari persamaan $x^2-(2b+1)x+b=0$ , diperoleh hasil kali akarnya
$\begin{aligned} \dfrac{1}{x_1} \cdot \dfrac{1}{x_2} & = \dfrac{b}{1} \\ \dfrac{1}{x_1x_2} & =b \\ \dfrac{1}{-\dfrac{1}{3}} & = b \\ b & = -3 \end{aligned}$
dan jumlah akarnya
$\begin{aligned} \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} & = -\dfrac{-(2b+1)} {1} \\ \dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2} & = 2b+1 \\ \text{Substitusikan}~b = -3 \\ \dfrac{\dfrac{a-1}{\cancel{3}}} {-\dfrac{1}{\cancel{3}}} & = 2(-3) +1 \\ -(a - 1) & = -5 \\ a-1 & = 5 \\ a & = 6 \end{aligned}$
Dengan demikian, $2a+b = 2(6)+(-3) = 9$
Jadi, nilai dari $2a+b$ adalah $\boxed{9}$ (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 12
Persamaan kuadrat $x^2+x+p&=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$ . Jika $x_1 > x_2$ dan $2x_1+x_2 = 1$ , maka nilai $p$ adalah $\cdots$
A. -8 B. -6 C. 2 D. 4 E. 8

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat $x^2+x+p=0$ , diketahui
$\begin{aligned} x_1+x_2 & = -\dfrac{1}{1}=-1 \\ x_1x_2 & = \dfrac{p} {1}=p \\ 2x_1+x_2&=1 \end{aligned}$
Akan dicari nilai dari $x_1$ dan $x_2$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} 2x_1+x_2& = 1 \\ x_1 + (x_1+x_2) & = 1 \\ x_1 + (-1) & = 1 \\ x_1 & = 2 \end{aligned}$
Ini berarti,
$\begin{aligned} x_1+x_2&=-1 \\ \text{Substitusikan}~x_1=2 \\ 2+x_2 & = -1 \\ x_2 & = -3 \end{aligned}$
Selanjutnya, diperoleh $x_1x_2=p \Rightarrow p = 2(-3) = -6$
Jadi, nilai $p$ adalah $\boxed{-6}$ (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Diketahui persamaan kuadrat $(p-2)x^2-2px+2p-7=0$ mempunyai dua akar yang saling berkebalikan. Nilai $p$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\cdots$
A. 5 B. 4 C. 3 D. -3 E. -5

Penyelesaian

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat $(p-2)x^2 - 2px + 2p - 7 = 0$ adalah $x_1$ dan $x_2$ , diperoleh
$\begin{aligned} x_1+x_2 & = -\dfrac{-2p} {p-2} = \dfrac{2p} {p-2} \\ x_1x_2 & = \dfrac{2p-7}{p-2} \end{aligned}$
Diketahui bahwa akarnya saling berkebalikan, sehingga ditulis
$\begin{aligned} x_1 & = \dfrac{1}{x_2} \\ x_1x_2 & = 1 \\ \dfrac{2p-7}{p-2} & = 1 \\ 2p-7 & = p - 2 \\ 2p-p & = -2+7\\ p & = 5 \end{aligned}$
Jadi, nilai $p$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{5}$ (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 14
Jika akar-akar persamaan kuadrat $3x^2+6x + k+2=0$ adalah $A$ dan $B$ , serta diketahui $A^3+B^3 = 12$ , maka nilai $k = \cdots$
A. -16 B. -12 C. -8 D. 8 E. 12

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat $3x^2+6k+k+2=0$ , diperoleh
$\begin{aligned} A+B & = -\dfrac{6}{3} = -2 \\ AB & = \dfrac{k+2}{3} \end{aligned}$
Diketahui: $A^3+B^3=12$ . Akan dicari nilai $k$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} A^3+B^3 & = 12 \\ (A+B)^3 - 3A^2B - 3AB^2 & = 12 \\ (A+B)^3 - 3AB(A+B) & = 12 \\ \text{Substitusikan}~A+B = -2~\text{dan}~AB = \dfrac{k+2}{3} \\ (-2)^3 - \cancel{3} \cdot \dfrac{k+2}{\cancel{3}} (-2) & = 12 \\ -8 - (k+2)(-2) & = 12 \\ 2(k+2) & = 20 \\ k+2&= 10 \\ k & = 8 \end{aligned}$
Jadi, nilai $k$ adalah $\boxed{8}$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 15
Akar-akar persamaan kuadrat $2x^2+mx+16=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$ . Jika $\alpha = 2\beta$ dan $\alpha, \beta$ positif, maka nilai $m$ adalah $\cdots$
A. -12 B. -6 C. -4 D. 6 E. 12

Penyelesaian

Diketahui:
$\boxed{\begin{aligned} \alpha + \beta & = -\dfrac{m} {2} \\ \alpha \beta & = \dfrac{16}{2} = 8 \\ \alpha & = 2 \beta \end{aligned}}$
Substitusikan $\alpha = 2\beta$ ke $\alpha \beta = 8$ .
$\begin{aligned} \alpha \beta & = 8 \\ \2\beta \cdot \beta & = 8 \\ \beta^2 & = 4 \\ \beta & = \pm 2 \end{aligned}$
Karena diketahui $\beta$ positif, maka diambil $\beta = 2$ .
Untuk $\beta = 2$ , diperoleh $\alpha = 2(2) = 4$ .
Selanjutnya, akan dicari nilai $m$ .
$\begin{aligned} \alpha + \beta & = -\dfrac{m} {2} \\ 4+2 & = -\dfrac{m} {2} \\ 6 & = -\dfrac{m} {2} \\ m & = -12 \end{aligned}$
Jadi, nilai $m$ adalah $\boxed{-12}$ (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 16
Persamaan kuadrat $(k+2)x^2-(2k-1)x+k-1$ mempunyai akar-akar nyata dan sama. Jumlah kedua akar persamaan tersebut adalah $\cdots$
A. $\frac{9}{8}$ B. $\frac{8}{9}$ C. $\frac{5}{2}$ D. $\frac{2}{5}$ E. $\frac{1}{5}$

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat tersebut, diketahui
$\boxed{\begin{aligned} a & = k +2 \\ b & = -(2k-1) = -2k+1 \\ c & = k-1 \end{aligned}}$
Syarat akar real dan sama (kembar) dalam persamaan kuadrat adalah diskriminannya bernilai 0.
$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ (-2k+1)^2 - 4(k+2)(k-1) & = 0 \\ 4k^2-4k+1-4(k^2+k-2)& = 0 \\ 4k^2-4k+1-4k^2-4k+8 & = 0 \\ -8k + 9 & = 0 \\ k & = \dfrac{9}{8} \end{aligned}$
Jumlah akar persamaan kuadrat itu adalah
$\begin{aligned} \text{Jumlah akar} & = -\dfrac{b} {a} \\ & = \dfrac{2k-1}{k+2} \\ & = \dfrac{2 \cdot \frac{9}{8} - 1}{\frac{9}{8} + 2} \\ & = \dfrac{\frac{9}{4} - \frac{4}{4}} {\frac{9}{8} + \frac{16}{8}} \\ & = \dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{8}{25} = \dfrac{2}{5} \end{aligned}$
Jadi, jumlah akar persamaan kuadrat itu adalah $\boxed{\dfrac{2}{5}}$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 17
Akar-akar persamaan kuadrat $x^2-2x+3=0$ adalah $m$ dan $n$ . Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $\dfrac{1}{m^2+2}$ dan $\dfrac{1}{n^2+2}$ adalah $\cdots$
A. $9x^2-2x+1=0$
B. $9x^2+2x+1=0$
C. $9x^2-2x-1=0$
D. $9x^2+x-2=0$
E. $9x^2-x-2=0$

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat $x^2-2x+3=0$ , diketahui
$\begin{aligned} m+n & = 2 \\ mn & = 3 \end{aligned}$
Jumlah akar persamaan kuadrat yang baru adalah
$\begin{aligned} \dfrac{1}{m^2+2}+\dfrac{1}{n^2+2} & = \dfrac{n^2+2+m^2+2}{(m^2+2)(n^2+2)} \\ & = \dfrac{m^2+n^2+4}{m^2n^2+2m^2+2n^2+4} \\ & = \dfrac{(m+n)^2-2mn+4}{(mn)^2+2(m+n)^2-4mn+4} \\ & = \dfrac{2^2-2(3)+4}{3^2+2(2)^2 - 4(3)+4} \\ & = \dfrac{4-6+4}{9+8-12+4} \\ & = \dfrac{2}{9} \end{aligned}$
Hasil kali akar persamaan kuadrat yang baru adalah
$\begin{aligned} \dfrac{1}{m^2+2} \cdot \dfrac{1}{n^2+2} & = \dfrac{1}{(m^2+2)(n^2+2)} \\ & = \dfrac{1}{(mn)^2+2(m+n)^2-4mn+4}\\ & = \dfrac{1}{3^2+2(2)^2-4(3)+4} \\ & = \dfrac{1}{9+8-12+4} = \dfrac{1}{9} \end{aligned}$
Persamaan kuadrat yang baru itu adalah
$\begin{aligned} x^2-\dfrac{2}{9}x+\dfrac{1}{9}& = 0 \\ \text{Kalikan}~9~\text{di kedua ruas} \\ 9x^2-2x+1&=0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya $\dfrac{1}{m^2+2}$ dan $\dfrac{1}{n^2+2}$ adalah $\boxed{9x^2-2x+1=0}$ (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 18
Persamaan kuadrat $x^2+(2a-1)x+a^2-3a-4=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$ . Jika $x_1>0$ dan $x_2>0$ , maka nilai $a$ adalah $\cdots$
A. $-\frac{17}{8} \leq a < \dfrac{1}{2}$
B. $-\frac{17}{8} \leq a < 4$
C. $-\frac{17}{8} \leq a < -1$
D. $-1 \leq a < \dfrac{1}{2}$
E. $-1 \leq a < 4$

Penyelesaian

Karena akar-akar persamaan kuadrat itu positif, maka hasil akarnya haruslah mengakibatkan pembilangnya positif, yakni
$\begin{aligned} x_1x_2 = \dfrac{a^2-3a-4}{1} & > 0 \\ a^2-3a-4 & > 0 \\ (a-4)(a+1) & > 0 \end{aligned}$
Pembuat nol $a = 4$ atau $a = -1$ .
Agar persamaan kuadrat itu memiliki akar yang real (nyata), maka diskriminannya harus sama dengan atau lebih dari 0.
$\begin{aligned} D & \geq 0 \\ (2a-1)^2-4(1)(a^2-3a-4)& \geq 0 \\ 4a^2-4a+1-4a^2+12a+16 & \geq 0 \\ 8a + 17 & \geq 0 \\ a & \geq -\dfrac{17}{8} \end{aligned}$
Buatlah garis bilangan berikut dan tentukan tandanya dengan uji titik.

Daerah penyelesaiannya adalah $\boxed{-\dfrac{17}{8} \leq a < 1}$ (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 19
Jika $p$ dan $q$ adalah akar-akar persamaan $x^2-6x+2=0$ , maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $(3p-1)$ dan $(3q-1)$ adalah $\cdots$
A. $x^2+10x+1=0$
B. $x^2-10x+7=0$
C. $x^2-16x+7=0$
D. $x^2-16x+1=0$
E. $x^2-x-7=0$

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat $x^2-6x+2=0$ , diketahui
$\begin{aligned} p + q & = -\dfrac{b}{a} = - \dfrac{-6}{2}=3 \\ pq & = \dfrac{c} {a} = \dfrac{3}{1}= 3 \end{aligned}$
Jumlah akar persamaan kuadrat yang baru adalah
$\begin{aligned} (3p-1)+(3q-1) & = 3(p+q) -2 \\ & = 3(6)-2 = 18 \end{aligned}$
Hasil kali akar persamaan kuadrat yang baru adalah
$\begin{aligned} (3p-1)(3q-1)&= 9pq - 3p - 3q + 1 \\ & = 9pq - 3(p+q) +1 \\ & = 9(2) - 3(6) + 1 \\ & = 18 - 18 + 1 = 1 \end{aligned}$
Persamaan kuadrat yang baru itu adalah $\boxed{x^2-16x + 1 = 0}$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 20
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^2-(p^2+q^2)x + pq = 0$ dan $3(x_1+x_2)=10x_1x_2$ , maka $\cdots$
A. $p=\frac{3}{2}q$ D. $p=\frac{3}{4}q$
B. $p=\frac{1}{3}q$ E. $p=\frac{1}{4}q$
C. $p=\frac{2}{3}q$

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat $x^2-(p^2+q^2)x + pq = 0$ , diperoleh
$\begin{aligned} x_1+x_2 & = -\dfrac{-(p^2+q^2)} {1} = p^2+q^2 \\ x_1x_2 & = \dfrac{pq} {1} = pq \end{aligned}$
Dari persamaan $3(x_1+x_2) = 10x_1x_2$ , kita peroleh
$\begin{aligned} 3(p^2+q^2) & = 10pq \\ 3p^2 - 10pq + 3q^2 & = 0 \\ (3p - q) (p-3q) & = 0 \end{aligned}$
Dari sini, didapat $p = \dfrac{1}{3}q$ atau $p = 3q$
Berdasarkan pilihan jawaban yang diberikan, maka pilihan jawaban yang tepat adalah B.

[collapse]

Soal Nomor 21
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya satu lebih dari kebalikan
akar-akar persamaan $2x^2-3x-4=0$ adalah $\cdots$
A. $2x^2-x-5=0$
B. $2x^2+x-4=0$
C. $4x^2-5x-1=0$
D. $4x^2+5x-1=0$
E. $5x^2-4x-1=0$

Penyelesaian

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat $2x^2-3x-4=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$ , sehingga diperoleh
$\begin{aligned} x_1 + x_2 & = -\dfrac{-3}{2} = \dfrac{3}{2} \\ x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-4}{2} = -2 \end{aligned}$
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah $p$ dan $q$ , dengan $p = \dfrac{1}{x_1} +1$ dan $q = \dfrac{1}{x_2} + 1$ , sehingga diperoleh
$\begin{aligned} p+q & = \dfrac{1}{x_1} + 1 + \dfrac{1}{x_2} + 1 \\ = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1x_2} + 2 \\ & = \dfrac{\dfrac{3}{2}}{-2} + 2 \\ & = -\dfrac{3}{4} + 2 = \dfrac{5}{4} \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} pq & = \left(\dfrac{1}{x_1} + 1\right) \cdot \left(\dfrac{1}{x_2}+1\right) \\ & = \dfrac{1}{x_1x_2} + \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + 1 \\ & = \dfrac{1}{x_1x_2} + \dfrac{x_1+x_2}{x_1x+2} + 1 \\ & = \dfrac{1}{-2} - \dfrac{3}{4} + 1 \\ & = -\dfrac{1}{4} \end{aligned}$
Dengan demikian, persamaan kuadrat yang baru itu adalah
$\begin{aligned} x^2 - (p+q)x + pq & = 0 \\ x^2 - \dfrac{5}{4}x - \dfrac{1}{4} & = 0 \\ 4x^2 - 5x - 1 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan kuadrat yang dimaksud adalah $\boxed{4x^2-5x-1=0}$ (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 22
Jika akar persamaan kuadrat $x^2 + (2m-5)x + (m^2-2m-15) = 0$ real
dan negatif, maka nilai $m$ yang memenuhi adalah $\cdots$
A. $-3<m<5$
B. $m<-3$
C. $m<-3$ atau $m>5$
D. $5<m \leq 7\frac{1}{12}$
E. $m<5$

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat tersebut, diketahui $a = 1, b = 2m - 5, c = m^2-2m-15$ .
Misalkan persamaan kuadrat itu memiliki akar $p$ dan $q$ , maka
$\begin{aligned} p + q & = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2m-5}{1} = -2m+5 \\ pq & = \dfrac{c}{a} = m^2-2m-15 \end{aligned}$
Agar akar persamaan kuadrat itu real (nyata), maka diskriminannya harus sama dengan atau lebih dari 0.
$\begin{aligned} D & \geq 0 \\ b^2-4ac & \geq 0 \\ (-2m+5)^2 - 4(1)(m^2-2m-15) & \geq 0 \\ 4m^2-20m+25-4m^2+8m+60 & \geq 0 \\ -12m \geq -85 \\ m & \leq \dfrac{85}{12} = 7\dfrac{1}{12} \end {aligned}$
Kita sebut $m \leq 7\dfrac{1}{2}$ sebagai pertidaksamaan pertama.
Agar akar persamaan kuadrat itu bernilai negatif, maka jumlah akarnya harus negatif dan hasil kali akarnya positif.
$\begin{aligned} p + q & < 0 \\ -2m + 5 & < 0 \\ -2m & < -5 \\ m >\dfrac{5}{2} = 2\dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Kita sebut $m > 2\dfrac{1}{2}$ sebagai pertidaksamaan kedua.
$\begin{aligned} pq & > 0 \\ m^2-2m-15 & > 0 \\ (m-5)(m+3) & > 0\end{aligned}$
Diperoleh pembuat nol $m = 5$ atau $m = -3$ .
Penyelesaian dari pertidaksamaan ini adalah $m < -3$ atau $m > 5$ .
Iriskan dengan pertidaksamaan pertama dan kedua dengan menggunakan bantuan garis bilangan berikut.

Jadi, nilai $m$ yang memenuhi adalah $5 < m \leq 7\dfrac{1}{2}$ (Jawaban D)

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Penulis: shanedizzysukardy

Soal dan Pembahasan – Persamaan Kuadrat