Soal dan Pembahasan – Refleksi (Geometri)

Berikut ini adalah soal bab REFLEKSI yang diambil dari buku berjudul “Geometri Transformasi” oleh Rawuh (dengan sedikit modifikasi dan perbaikan).

Soal Nomor 1
Diketahui dua titik A dan B. Lukislah sebuah garis g sehingga M_g(A) = B. Tentukan pula M_g(B).

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 2
Apabila pada V ada sistem sumbu ortogonal dan A(1,3) sedangkan B(-2,-1). Tentukanlah persamaan sebuah garis g sehingga M_g(A) = B.

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui g = \{(x, y)~|~x = -3\}
a) Apabila A(2,1), tentukan A' = M_g(A)
b) Tentukan C apabila M_g(C) = (-1,7)
c) Apabila P(x, y) sebuah titik sembarang, tentukanlah M_g(P)

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui g = \{(x, y)~|~y = 2\}
a) Jika A = (3, \sqrt{2}), tentukan A' = M_g(A)
b) Jika D' =(2,-4), tentukan prapeta D' oleh M_g.
c) Jika P(x, y), tentukan M_g(P)

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui garis h = \{(x, y)~|~y = x\}
a) Jika A = (2,-3), tentukan M_h(A)
b) Jika B'=(-3,5), tentukan prapeta dari B' oleh M_h
c) Apabila P(x, y) sebuah titik sembarang, tentukan M_h(P) = P'

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui garis k = \{(x, y)~|~x + y =0\}
a) Jika A = (2,-3), tentukan M_h(A)
b) Jika B'=(-3,5), tentukan prapeta dari B' oleh M_h
c) Apabila P(x, y) sebuah titik sembarang, tentukan M_h(P) = P'

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui garis g = \{(x, y)~|~x + y = 1\}
a) Tentukan M_g(0)
b) Tentukan M_g(A) dengan A(1,2)
c) Jika P = (x, x+1), tentukan P apabila M_g(P) = P

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui garis g = \{(x, y)~|~x - 3y + 1=0\} dan sebuah titik A = (2,k). Tentukan k apabila M_g(A) = A.

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui garis k = \{(x, y)~|~ax - 3y + 1 = 0\} dan sebuah titik B(3,-1). Tentukan a apabila M_k(B) = B.

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 10
T adalah sebuah transformasi yang ditentukan oleh T(P) = (x - 5, y + 3) untuk semua titik P(x, y) \in V. Selidiki apakah T suatu isometri. Apakah sifat tersebut dapat diperluas secara umum?

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal dan Pembahasan – Transformasi (Geometri)

Berikut ini adalah soal bab TRANSFORMASI yang diambil dari buku berjudul “Geometri Transformasi” oleh Rawuh (dengan sedikit modifikasi dan perbaikan).

Soal Nomor 1
Andaikan g dan h dua garis yang sejajar pada bidang Euclides V. A sebuah titik yang terletak di tengah antara g dan h. Sebuah T padanan dengan daerah asal g didefinisikan sebagai berikut.
Apabila P \in g, maka P' = T(P) = \overleftrightarrow{PA} \cap h
a) Apakah daerah nilai T?
b) Apabila D \in g, E \in g, D \in E, buktikan bahwa D'E'= DE; D' = T(D), E' = T(E)
c) Apakah T injektif?

Penyelesaian

Lukislah garis g dan h sebagai berikut (h sejajar dengan g).

Letakkan titik P pada garis g. Posisikan titik A di tengah-tengah antara kedua garis itu. Tarik garis lurus yang melalui titik A dan P, sehingga nantinya garis tersebut memotong garis h. Titik potongnya adalah P' = T(P) dan merupakan daerah nilai (range) T.
Jawaban a)
Daerah nilai T adalah garis h.
Jawaban b)
Perhatikan gambar berikut.

Perhatikan segitiga ADE dan AD'E'. Diketahui bahwa \angle DAE = \angle D'AE' karena sudutnya bertolak belakang dan DA = AD' serta EA = AE' (sebab A berada di tengah-tengah garis g dan h). Berdasarkan teorema kekongruenan segitiga, dapat dikatakan bahwa kedua segitiga ini kongruen (sisi-sudut-sisi). Oleh karena itu, haruslah D'E' = DE (terbukti).
Jawaban c)
Akan dibuktikan T injektif.
Perhatikan gambar berikut.

Ambil dua titik X dan Y pada g, dengan X \neq Y. Akan ditunjukkan bahwa T(X) \neq T(Y) dengan menggunakan kontradiksi. Andaikan T(X) = T(Y).
Perhatikan bahwa T(X) = \overleftrightarrow{XA} \cap H dan T(Y)=\overleftrightarrow{YA} \cap H. Dalam hal ini, \overleftrightarrow{XA} dan \overleftrightarrow{YA} memiliki dua titik sekutu (titik potong), yaitu titik A dan T(X) = T(Y) (dari pengandaian). Ini berarti, garis \overleftrightarrow{XA} berhimpit dengan garis \overleftrightarrow{YA}, sehingga haruslah X = Y. Hal ini menghasilkan kontradiksi, sebab pada redaksi awal telah dikatakan bahwa X \neq Y. Jadi, pengandaian diingkari. Dengan demikian, T(X) \neq T(Y) dan dapat disimpulkan bahwa T injektif (terbukti) \blacksquare.

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui sebuah titik K dan ruas garis \overline{AB} dengan K \notin \overline{AB}. Ada sebuah garis g sehingga g \parallel \overleftrightarrow{AB} dan jarak antara K dan \overleftrightarrow{AB} adalah dua kali lebih panjang daripada jarak antara K dan g. Diberikan padanan T dengan daerah asal \overline{AB} dan daerah nilai g sehingga apabila P \in \overline{AB}, maka T(P) = P' = \overleftrightarrow{KP} \cap g.
a) Apakah bentuk himpunan peta-peta P' jika P bergerak pada \overline{AB}?
b) Buktikan bahwa T injektif.
c) Apabila E dan F dua titik pada \overline{AB}, apa yang dapat dikatakan mengenai jarak E'F' jika E' = T(E) dan F'= T(F)?

Penyelesaian

Perhatikan gambar transformasi T berikut dengan P'K = 2KP

Jawaban a)
Diketahui bahwa K \notin \overline{AB}, g // \overleftrightarrow{AB}, T : \overline{AB} \to g
Karena P \in \overline{AB} dan T(P) = P' = \overleftrightarrow{AB} \cap g, maka P' \in g. Jadi, himpunan peta-peta P' adalah ruas garis pada g.
Jawaban b)
Akan dibuktikan T injektif.
Ambil dua titik X dan Y pada g, dengan X \neq Y. Akan ditunjukkan bahwa T(X) \neq T(Y) dengan menggunakan kontradiksi. Andaikan T(X) = T(Y).
Perhatikan bahwa T(X) = \overleftrightarrow{KX} \cap g dan T(Y)=\overleftrightarrow{KY} \cap g. Dalam hal ini, \overleftrightarrow{KX} dan \overleftrightarrow{KY} memiliki dua titik sekutu (titik potong), yaitu titik K dan T(X) = T(Y) (dari pengandaian). Ini berarti, garis \overleftrightarrow{KX} berhimpit dengan garis \overleftrightarrow{KY}, sehingga haruslah X = Y. Hal ini menghasilkan kontradiksi, sebab pada redaksi awal telah dikatakan bahwa X \neq Y. Jadi, pengandaian diingkari. Dengan demikian, T(X) \neq T(Y) dan dapat disimpulkan bahwa T injektif (terbukti) \blacksquare.
Jawaban c)

Diketahui E, F \in \overleftrightarrow{AB}, maka E', F' \in g sehingga EF \parallel E'F'.
Perhatikan segitiga \KE'F' dan KEF.
Diketahui bahwa
\dfrac{F'K} {FK} = \dfrac{E'K} {EK} = \dfrac{1}{2} dan \angle EKF = \angle E'KF sebab kedua sudutnya saling bertolak belakang. Jadi, kedua segitiga itu kongruen.
Akibatnya,
\dfrac{E'F'} {EF} = \dfrac{F'K} {FK} = \dfrac{E'K} {EK} = \dfrac{1}{2}
yang berarti E'F' = \dfrac{1}{2}EF.
Jadi, jarak E'F' adalah setengah kali jarak EF.

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui tiga titik A, R, S berlainan dan tidak segaris. Ada padanan T yang didefinisikan sebagai berikut.
Diberikan T(A) = A, T(P) = P', sehingga P titik tengah \overline{AP'}
a) Lukislah R' = T(R).
b) Lukislah Z sehingga T(Z) = S
c) Apakah T suatu transformasi?

Penyelesaian

Jawaban a dan b)

Jawaban c)
Untuk membuktikan bahwa T transformasi, harus dibuktikan bahwa T surjektif dan injektif.
i) T surjektif
T surjektif jika \forall Y \in V terdapat prapeta X sehingga Y = T(X). Jika Y = A, maka prapetanya adalah A sendiri, karena T(A) = A. Apabila Y \neq1 A, maka terdapat X tunggal dengan X \in \overline{AY} sehingga AX = AY. Didapat X titik tengah \overline{AY}. Artinya, Y =T(X). Dapat disimpulkan bahwa untuk setiap Y \in V terdapat prapeta X sehingga Y = T(X). Jadi, T surjektif.
ii) T injektif
Ambil titik P, Q \neq A, P \neq Q, P, Q, A tidak segaris (kolinear). Andaikan T(P) = T(Q).
Oleh karena T(P) \in \overleftrightarrow{AP} dan T(Q) \in \overleftrightarrow{AQ}, maka dalam hal ini \overleftrightarrow{AP} dan \overleftrightarrow{AQ} memiliki dua titik sekutu, yaitu A dan T(P) = T(Q). Ini berarti kedua garis itu berimpit, sehingga haruslah Q \in \overleftrightarrow{AP}. Dengan kata lain, P, Q, A segaris dan ini jelas kontradiksi dengan redaksi awal. Pengandaian salah dan harus diingkari. Jadi, T(P) \neq T(Q). Berarti, T injektif.
Berdasarkan (i) dan (ii), T adalah suatu transformasi.

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui P = (0,0), C_1 = \{(x, y)~ |~ x^2+y^2 = 1\}, dan C_2 = \{(x, y)~|~x^2+y^2 = 25\}.
T : C_1 \mapsto C_2 sdalah suatu padanan yang didefinisikan sebagai berikut.
Apabila X \in C_1, maka T(X) = X' = \overrightarrow{PX} \cap C_2.
a) Apabila A = (0,1), tentukan T(A)
b) Tentukan prapeta dari B(4,3)
c) Apabila Z sembarang titik pada daerah asal T, tentukan jarak ZZ' dengan Z' = T(Z).
d) Apabila E dan F dua titik pada daerah asal T, apa yang dapat dikatakan tentang jarak E'F'?

Penyelesaian


Jawaban a)
Posisikan titik A(0,1) pada koordinat Kartesius. Titik A terletak pada C_1. Tarik garis yang melalui titik A dan P sedemikian sehingga memotong C_2 di (0,5) (tepat pads sumbu Y. Jadi, T(A) = (0,5).
Jawaban b)
Perhatikan gambar berikut.

Perhatikan segitiga APC dan PQB. Kedua segitiga ini sebangun sehingga berlaku
\begin{aligned} & \dfrac{PC} {PQ} = \dfrac{PA} {PB} = \dfrac{AC} {BQ} \\ & \dfrac{PC} {PQ} = \dfrac{PA} {PB} \Leftrightarrow \dfrac{PC} {4} = \dfrac{1}{5} \\ & PC = \dfrac{4}{5} \\ & \dfrac{AC} {BQ} = \dfrac{PA} {PB} \Leftrightarrow \dfrac{AC} {3}= \dfrac{1}{5} \\ & AC = \dfrac{3}{5} \end{aligned}
Jadi, prapeta B adalah A = \left(\dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5}\right)
Jawaban c)
Misalkan Z berada pada C_1 dan Z' berada pada C_2 sedemikian sehingga Z' = T(Z). Karena PZ = 1 (jari-jari lingkaran kecil 1) dan PZ' = 5 (jari-jari lingkaran besar 5), maka jarak ZZ' dapat dinyatakan sebagai
|ZZ'| = 5 - 1 = 4
Jawaban d)
Misalkan E, F \in C_1,E \neq F.
Panjang busur EF dinyatakan sebagai
|EF| = \dfrac{\angle EPF} {2\pi}. (2\pi(1)) = \angle EPF
Selanjutnya, E' = T(E) dan F'= T(F). Panjang busur E'F' dinyatakan sebagai
|E'F'| = \dfrac{\angle E'PF'} {2\pi}. (2\pi(5)) = 5\angle E'PF'
Karena P, E, E' segaris dan juga P, F, F' segaris, maka besar sudut E'PF' sama dengan besar sudut EPF, sehingga
|E'F'| = 5\angle E'PF' = 5\angle EPF = 5|EF|
Jadi, panjang busur E'F' sama dengan 5 kali panjang busur EF

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui f : V \mapsto V dengan V adalah suatu bidang Euclides. Jika P(x, y), maka f(P) = (|x|, |y|)
a) Tentukan f(A) jika A = (-3,6)
b) Tentukan semua prapeta dari titik B(4,2)
c) Apakah bentuk daerah nilai f?
d) Apakah f suatu transformasi?

Penyelesaian

Jawaban a)
Jika A(-3,6), maka berdasarkan definisi fungsi f, f(A) = (|-3|, |6|) = (3,6).
Jawaban b)
Dalam hal ini, harus dicari prapeta A(x, y) sedemikian sehingga f(A) = B = (4,2). Koordinat A yang mungkin ada 4, yaitu (4,2), (4,-2), (-4, 2), (-4,-2).
Jawaban c)
Daerah nilai f adalah himpunan semua titik-titik di kuadran I, sumbu koordinat positif, atau titik pangkal (titik asal (0,0)).
Jawaban d)
Ambil dua titik, misalnya A_1 = (3,5) \in V, A_2 = (3,-5) \in V. Jelas bahwa A_1 \neq A_2, tetapi f(A_1) = f(A_2) = (3,5). Jadi, terdapat A_1 \neq A_2, tetapi f(A_1) = f(A_2) sehingga dapat dikatakan bahwa f tidak injektif. Oleh karenanya,f bukanlah suatu transformasi.

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui fungsi g : \text{sumbu X} \mapsto V di mana V bidang Euclides, didefinisikan sebagai berikut.
Apabila P(x, 0), maka g(P) =(x, x^2)
a) Tentukan peta A(3,0) oleh g
b) Apakah R(-14,196) anggota dari daerah nilai (daerah hasil/range) g?
c) Apakah g surjektif?
d) Gambarlah daerah nilai g.

Penyelesaian

Jawaban a)
Peta A(3,0) oleh g adalah g(A) = (3, 3^2) = (3,9).
Jawaban b)
R(-14,196) adalah daerah nilai g karena R mempunyai prapeta, yaitu (-14,0).
Jawaban c)
Ambil titik A' \in V dengan A'(a, b) dan b = a^2. Jelas terdapat A(a, 0) sehingga g(A) = A'. Jadi, g surjektif.
Jawaban d)

[collapse]

Soal Nomor 7
Suatu transformasi T : V \mapsto V didefinisikan sebagai berikut.
Apabila P(x, y), maka
i) T(P) = (x + 1, y), untuk x \geq 0
ii) T(P) = (x - 1, y), untuk x>0
a) Apakah T injektif?
b) Apakah T suatu transformasi?

Penyelesaian

Jawaban a)
Ambil titik P(x_1,y_1) dan Q(x_2,y_2) sehingga P \neq Q. Akan dibuktikan T(P) \neq T(Q).
Karena P \neq Q, maka x_1 \neq x_2 ATAU y_1 \neq y_2.
i) Untuk x \geq 0
T(P) = (x_1+1,y_1) dan T(Q) = (x_2+1,y_2)
Jelas x_1\neq x_2 mengimplikasikan x_1+1\neq x_2+1 atau y_1 \neq y_2. Jadi, T(P) \neq T(Q)
ii) Untuk x < 0
T(P) = (x_1-1,y_1) dan T(Q) = (x_2-1,y_2)
Jelas x_1\neq x_2 mengimplikasikan x_1-1\neq x_2-1 atau y_1 \neq y_2. Jadi, T(P) \neq T(Q)
Berdasarkan i) dan ii), dapat disimpulkan bahwa T injektif.
Jawaban b)
Untuk menunjukkan bahwa T suatu transformasi, harus ditunjukkan bahwa T injektif dan surjektif. T telah dibuktikan injektif pada jawaban a. Selanjutnya, akan ditunjukkan T surjektif.
i) Untuk x \geq 0
Andaikan A = (x', y')
Jika A memiliki prapeta B(x, y), maka haruslah berlaku T(A) = (x' + 1, y'). Jadi, x'+1=x, y'= y
atau
\begin{cases} x'=x-1 \\ y'=y \end{cases}
Jelas T(x-1,y) = ((x-1)+1,y) = (x, y)
Oleh karena x', y' selalu ada untuk sembarang nilai x, y, x \geq 0, maka A selalu ada sehingga T(A) = B.
ii) Untuk x < 0
Andaikan A = (x', y')
Jika A memiliki prapeta B(x, y), maka haruslah berlaku T(A) = (x' - 1, y'). Jadi, x'-1=x, y'= y
atau
\begin{cases} x'=x+1\\ y'=y \end{cases}
Jelas T(x+1,y) = ((x+1)-1,y) = (x, y)
Oleh karena x', y' selalu ada untuk sembarang nilai x, y, x < 0, maka A selalu ada sehingga T(A) = B.
Dari i) dan ii), disimpulkan bahwa T surjektif.
Untuk ini, T transformasi sebab bersifat surjektif dan injektif.

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui sebuah garis S dan titik-titik A, B, C diposisikan seperti pada gambar.

Diketahui T : V \mapsto V didefinisikan sebagai berikut.
i) Jika P \in S, maka T(P) = P
ii) Jika P \in S, maka T(P) = P' sedemikian hingga garis S adalah sumbu ruas \overline{PP'}
a) Lukislah A' = T(A), B' = T(B)
b) Lukislah prapeta titik C.
c) Apakah T suatu transformasi?
d) Buktikan bahwa A'B' = AB.

Penyelesaian

Jawaban a dan b)

Jawaban c)
Akan ditunjukkan bahwa T transformasi, yaitu dengan menunjukkan bahwa T surjektif dan injektif.
Jelas setiap P pada V, ada prapeta P', sehingga T(P) = P'. Jika P \in S, maka P' = P dan jika P \notin S, maka P' adalah cermin dari P terhadap sumbu S. Jadi, T surjektif.
Untuk P, Q \in S, P \neq Q, jelas P' \neq Q'. Untuk P \notin S, ambillah dua titik A, B \notin S, A \neq B. Kita akan menyelidiki kedudukan A' dan B'. Andaikan A' = B'.
Karena S adalah sumbu ruas garis AA', maka S tegak lurus AA' dan karena S adalah sumbu dari ruas garis BB', maka S tegak lurus BB'.
Karena A'=B' dan kedua garis tegak lurus S, maka AA' dan BB' haruslah berimpit. Akibatnya, A = B. Ini suatu kontradiksi karena redaksi awal mengatakan bahwa A \neq B. Jadi, pengandaian diingkari, dan T injektif.
Dari kedua ini, dapat disimpulkan bahwa T suatu transformasi.
Jawaban d)
Akan dibuktikan A'B' = AB.

Misal D titik potong garis S dengan ruas garis \overline{A'A} dan E titik potong garis S dengan ruas garis \overline{B'B}. Perhatikan segitiga A'DE dan ADE.
A'D = AD (berdasarkan definisi S sebagai sumbu \overline{A'A} sehingga D tepat di tengah \overline{A'A}).
Juga diketahui bahwa \angle A'DE = \angle ADE = 90^{\circ} (karena S sumbu \overline{A'A}, maka S \perp \overline{A'A}). Berdasarkan teorema kekongruenan sisi-sudut-sisi, segitiga A'DE kongruen dengan segitiga ADE. Akibatnya, A'E = AE dan \angle A'ED = \angle AED.
Sekarang, perhatikan segitiga A'B'E dan ABE.
Diketahui A'E = AE~~~~~(i)
dan B'E = BE~~~~~(ii)
(berdasarkan definisi S sebagai sumbu \overline{B'B} sehingga E tepat di tengah \overline{B'B}).
Karena S sumbu \overline{B'B}, maka S \perp \overline{B'B} dan dapat ditulis
\begin{aligned} & \angle B'ED = \angle BED = 90^{\circ} \\ & \angle B'EA = \angle B'ED - \angle A'ED \\ & \angle BEA = \angle BED - \angle AED = \angle B'ED - \angle A'ED \end{aligned}
Berakibat
\angle B'EA = \angle BEA~~~~~~~~(iii)
Berdasarkan (i), (ii), dan (iii), maka menurut teorema kekongruenan sudut-sisi-sudut, segitiga A'B'E kongruen dengan segitiga ABE. Akibatnya, A'B' = AB (terbukti) \blacksquare.

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Distribusi Poisson – Materi, Soal, dan Pembahasan

       Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi Poisson adalah distribusi probabilitas diskrit yang menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu apabila rata-rata kejadian tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir (dikutip dari: alvinburhani.wordpress.com). Sesuai dengan namanya, distribusi peluang ini ditemukan oleh Simeon Denis Poisson (1781 – 1840), yang merupakan seorang matematikawan berkebangsaan Prancis.
         Distribusi Poisson sebenarnya diperoleh dari distribusi binomial, apabila dalam distribusi binomial berlaku syarat berikut.
a) Banyak pengulangan eksperimennya sangat besar (n \to \infty)
b) Peluang terjadinya peristiwa yang ditinjau mendekati nol (p \to 0)
c) Perkalian n \times p = \lambda, sehingga haruslah p = \dfrac{\lambda}{n}.

        Berikut ini akan diberikan penurunan fungsi peluang distribusi Poisson berdasarkan fungsi peluang distribusi binomial menggunakan persyaratan di atas.
\begin{aligned} p(x) & = \displaystyle \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} \\ & = \dfrac{n!}{x!(n-x)!} \left(\dfrac{\lambda}{n}\right)^n \left(1 - \dfrac{\lambda}{n}\right)^{n-x} \\ & \dfrac{n(n-1)(n-2)\cdots (n - (x-1))}{x!} \left(\dfrac{\lambda}{n}\right)^x \left(1 - \dfrac{\lambda}{n}\right)^{n-x} \\ & = \dfrac{n.n\left(1 - \dfrac{1}{n}\right).n\left(1 - \dfrac{2}{n}\right)\cdots n\left(1 - \dfrac{x - 1}{n}\right)}{x!} \\ & \dfrac{\lambda^x}{n^x} \left(1 - \dfrac{\lambda}{n}\right)^n \left(1 - \dfrac{\lambda}{n}\right)^{-x} \\ & = \dfrac{n.n^{x-1}}{n^x} . \dfrac{\left(1 - \dfrac{1}{n}\right)\left(1 - \dfrac{2}{n}\right)\cdots \left(1 - \dfrac{x - 1}{n}\right)}{x!} \\ & \lambda^x . \left(1 - \dfrac{\lambda}{n}\right)^n \left(1 - \dfrac{\lambda}{n}\right)^{-x} \end{aligned}
Limitkan kedua ruas sebagai berikut.
\begin{aligned} \lim p(x) & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{n.n^{x-1}}{n^x} . \dfrac{\left(1 - \dfrac{1}{n}\right).n\left(1 - \dfrac{2}{n}\right)\cdots \left(1 - \dfrac{x - 1}{n}\right)}{x!} \\ & \lambda^x . \left(1 - \dfrac{\lambda}{n}\right)^n \left(1 - \dfrac{\lambda}{n}\right)^{-x} \\ & = \dfrac{\lambda^x}{x!} \lim_{n \to \infty} \left[\left(1 - \dfrac{1}{n}\right)\left(1 - \dfrac{2}{n}\right)\cdots \\ & \left(1 - \dfrac{x - 1}{n}\right)\left(1 - \dfrac{\lambda}{n}\right)^n\left(1 - \dfrac{\lambda}{n}\right)^{-x} \right] \right]\end{aligned}
Hitung limitnya satu per satu.
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1 - \dfrac{1}{n}\right)\left(1 - \dfrac{2}{n}\right) \cdots \left(1 - \dfrac{x-1}{n}\right) \\ & = (1-0)(1-0)\cdots(1-0) = 1 \end{aligned}
Limit berikut merupakan limit barisan Euler.
\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1 - \dfrac{\lambda}{n}\right)^n = e^{-\lambda}
Selanjutnya,
\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1 - \dfrac{\lambda} {n} \right)^{-x} = (1 - 0)^{-x} = 1
Jadi, akan diperoleh \displaystyle \lim_{n \to \infty} p(x) = \dfrac{\lambda^x} {x!}.e^{-\lambda} = \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!}
Dengan demikian, distribusi pendekatannya adalah
p(x) = P(X = x) = \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x}; x = 0,1,2,\cdots
Definisi: Fungsi Peluang Poisson

Peubah acak X dikatakan berdistribusi Poisson jika dan hanya jika fungsi peluangnya berbentuk
P(X = x) = \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!}
untuk x bilangan cacah. Selain dari itu, nilai P(X = x) = 0.
Dalam hal ini, \lambda menyatakan rata-rata keberhasilan percobaan.
       Dalam praktiknya, distribusi Poisson akan menjadi distribusi pendekatan yang baik dari distribusi binomial, jika dalam distribusi binomial berlaku:
n \geq 100 dan np \leq 10
atau n \geq 20 dan p \leq 0,05
di mana n menyatakan banyaknya percobaan dan p menyatakan peluang terjadinya sukses dalam percobaan itu.

        Penulisan notasi dari peubah acak X yang berdistribusi Poisson adalah X\sim P(x; \lambda) atau X\sim Poi(x; \lambda) artinya peubah acak X berdistribusi Poisson dengan parameter \lambda.

Teorema: Rataan Distribusi Poisson
Rataan \mu dari peubah acak yang berdistribusi Poisson adalah \mu = \lambda

Bukti

Berdasarkan definisi rataan diskrit, maka
\begin{aligned} \displaystyle \mu &= E(X) = \sum_{x} x.p(x) \\ & = \sum_{x = 0}^{\infty} x. \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!} \\ & = \sum_{x = 1}^{\infty} \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {(x-1)!}~~~\bigstar \end{aligned}
Misalnya y = x - 1
Batas-batas:
Untuk x = 1, maka y = 0
Untuk x bernilai tak hingga, maka y juga demikian.
Jadi, diperoleh
\begin{aligned} \mu & = E(X) = \displaystyle \sum_{y = 0}^{\infty} \dfrac{\lambda^{y+1}e^{-\lambda}}{y!} \\ & = \lambda \sum_{y = 0}^{\infty} \dfrac{\lambda^ye^{-\lambda}} {y!} \\ & = \lambda(1) = \lambda~~~\bigstar \bigstar \end{aligned}

Terbukti bahwa rataan Poisson setara dengan \lambda.
Catatan:
\bigstar Banyak orang yang bertanya mengapa batas bawah sumasi dapat berubah dari 0 menjadi 1. Ini dikarenakan ketika kita mensubstitusikan x = 0 pada bentuk sebelumnya, hasilnya adalah 0, sehingga dapat diabaikan. Ingat pula bahwa n! untuk n < 0 didefinisikan sama dengan 0.
\bigstar \bigstar Ingat bahwa \displaystyle \sum_{x} p(x) = 1 di mana p(x) merupakan fungsi kepadatan peluang suatu distribusi.

[collapse]

Teorema: Varians Distribusi Poisson
Varians \sigma^2 dari peubah acak yang berdistribusi Poisson adalah \sigma^2 = \lambda

Bukti

Berdasarkan definisi varians, maka
\begin{aligned} \sigma^2 & = Var(X) = E(X^2) - (E(X)) ^2 \\ & = E(X(X - 1) + X) - (E(X))^2 \\ & = E(X(X-1)) + E(X) - (E(X))^2 \end{aligned}
Berdasarkan nilai ekspektasi diskrit, maka
\begin{aligned} E(X(X-1)) & = \displaystyle \sum_{x} x(x-1).p(x) \\ & = \sum_{x = 0}^{\infty} x(x-1).\dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!} \\ & = \sum_{x = 2}^{\infty} \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {(x-2)!} \end{aligned}
Misalnya: y = x - 2
Batas-batasnya:
Untuk x = 2, maka y = 0
Untuk x = \infty, maka y = \infty
\begin{aligned} E(X(X-1)) &= \displaystyle \sum_{y = 0}^{\infty} \dfrac{\lambda^{y+2}e^{-\lambda}} {y!} \\ & = \lambda^2 \sum_{y = 0}^{\infty} \dfrac{\lambda^ye^{-\lambda}} {y!} \\ & = \lambda^2(1) = \lambda^2 \end{aligned}
Dengan demikian, diperoleh
\sigma^2 = Var(X) = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda
(Terbukti) \blacksquare

[collapse]

Teorema: Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Poisson
Fungsi pembangkit momen dari peubah acak X yang berdistribusi Poisson adalah
M_X(t) = e^{\lambda(e^t - 1)}, t \in \mathbb{R}

Bukti

Berdasarkan definisi fungsi pembangkit momen diskrit, maka
\begin{aligned} M_X(t) & = \displaystyle \sum_{x} e^{tx}.p(x) \\ & = \sum_{x = 0}^{\infty} e^{tx}. \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!} \\ & = e^{-\lambda} \sum_{x = 0}^{\infty} \dfrac{(\lambda e^t)^x} {x!}~~\bigstar \\ & = (e^{-\lambda}) (e^{\lambda e^t}) \\ & = e^{\lambda(e^t - 1)} \end{aligned}

(Terbukti) \blacksquare
Catatan:
\bigstar Gunakan sifat ekspansi dari deret Maclaurin berikut.
\boxed{ \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{x^n} {n!} = e^x}

[collapse]

Berikut ini adalah beberapa contoh soal mengenai penggunaan distribusi Poisson beserta pembahasannya.

Catatan: Gunakan kalkulator saintifik bila diperlukan
Soal Nomor 1
Apakah artinya Y \sim P(y; 2)? Tuliskan bentuk fungsi peluangnya.

Penyelesaian

Y \sim P(y; 2) artinya peubah acak Y yang berdistribusi Poisson dengan parameter \lambda = 2. Fungsi peluang dari Y berbentuk:
p(y) = \dfrac{2^ye^{-2}} {y!}; y = 0,1,2,3,\cdots

[collapse]

Soal Nomor 2
Misalkan X adalah peubah acak berdistribusi Poisson dengan parameter \lambda. Jika P(X = 0) = 0,2, maka nilai dari P(X = 2) adalah \cdots

Penyelesaian

Fungsi peluang dari distribusi Poisson adalah
P(X = x) = \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!}, x = 0,1,2,3,\cdots
Langkah pertama adalah menentukan nilai \lambda sebagai berikut.
\begin{aligned} & P(X = 0) = 0,2 \\ & \dfrac{\lambda^0e^{-\lambda}} {0!} = 0,2 \\ & e^{-\lambda} = 0,2 \\ & \lambda \approx 1,6 \end{aligned}
Jadi, diperoleh \lambda = 1,6
Selanjutnya, akan dicari nilai dari P(X = 2) sebagai berikut.
P(X = 2) = \dfrac{(1,6)^2e^{-1,6}} {2!} \approx 0,2584

[collapse]

Soal Nomor 3
Pada tahun 2018 dilakukan penelitian di pedalaman desa X. Diperoleh data bahwa rata-rata terdapat 2,5 orang albino dari 175 orang, di mana 525 orang diambil sebagai sampel percobaan. Dengan menggunakan pendekatan Poisson, tentukan peluang diperolehnya orang yang bukan albino.

Penyelesaian

Diketahui rata-rata hitung \lambda = 2,5 orang albino per 175 populasi. Jumlah sampel yang diambil sebanyak 525, yaitu 3 kali lebih banyak dari populasi pada tahun 2018, sehingga rata-rata hitung \lambda sekarang pada populasi 525 orang adalah 2,5 \times 3 = 7,5.
Peluang dari sampel tersebut tidak diperoleh orang albino adalah
P(X = 0) = \dfrac{(7,5)^0e^{-7,5}} {0!} \approx 0,00055

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui suatu perusahaan biasanya mendapatkan 360 e-mail setiap 6 jam kerja. Tentukan peluang bahwa dalam waktu 6 menit, perusahaan itu mendapatkan setidaknya 2 e-mail.

Penyelesaian

Peluang setidaknya 2 e-mail didapat sama dengan jumlah dari peluang mendapatkan 2,3,4,\cdots e-mail, dinotasikan
P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + \cdots = \displaystyle \sum_{x = 2}^{\infty} P(X = x)
Manfaatkan bentuk komplemen peluang untuk menghitung peluang yang dimaksud, yaitu
P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]
Dalam kasus ini, \lambda = 10, yaitu rata-rata dari banyaknya e-mail yang diterima perusahaan dalam waktu 10 menit (6 jam = 360 menit, berarti dapat diasumsikan setiap 10 menit, terdapat 10 e-mail yang masuk). Jadi,
\begin{aligned} & P(X = 0) = \dfrac{e^{-10}(10)^0}{0!} = e^{-10} \approx 0,00004539992 \\ & P(X = 1) = \dfrac{e^{-10}(10)^1}{1!} = 10e^{-10} \approx 0,0004539992 \end{aligned}
Dengan demikian,
P(X \geq 2) = 1 - (0,0000453992 + 0,0004539992) \approx 0,9995
Jadi, peluang setidaknya 2 e-mail didapat perusahaan dalam waktu 10 menit adalah 0,9995.

[collapse]

Soal Nomor 5
Seorang pegawai asuransi jiwa menawarkan rata-rata 3 kebijakan asuransi setiap minggunya. Dengan menggunakan Hukum Poisson, tentukan peluang kejadian pegawai itu menawarkan setidaknya 1 kebijakan asuransi dalam rentang waktu seminggu.

Penyelesaian

Diketahui \lambda = 3, sehingga dengan definisi fungsi peluang Poisson, diperoleh
P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \dfrac{e^{-3}(3)^0}{0!} = 0,95021
Jadi, peluang yang dimaksud sebesar 0,95021.

[collapse]

Soal Nomor 6
Kendaraan melewati suatu pertigaan jalan dengan rata-rata 300 kendaraan setiap jamnya. Tentukan peluang kejadian tidak ada kendaraan yang melewati pertigaan itu dalam rentang waktu satu menit.

Penyelesaian

Rata-rata kendaraan melewati pertigaan jalan itu per menitnya adalah
\lambda = \dfrac{300}{60} = 5
Catatan: 1 jam = 60 menit.
Dengan menggunakan Hukum Poisson, didapat
P(X = 0) = \dfrac{e^{-5}(5)^0}{0!} = 6,7389 \times 10^{-3}
Jadi, peluang kejadian tidak ada kendaraan yang melewati pertigaan jalan itu dalam satu menit adalah 6,7389 \times 10^{-3}.

[collapse]

Soal Nomor 7
Ruang gawat darurat sebuah rumah sakit akan memiliki tingkat kedatangan rata-rata pasien sebanyak 4 orang per hari. Kedatangan pasien mengikuti proses Poisson. Berapa probabilitas kedatangan 2 pasien per hari?

Penyelesaian

Diketahui \lambda = 4, di mana \lambda menyatakan tingkat kedatangan rata-rata pasien per harinya. Karena kedatangan pasien mengikuti proses Poisson, maka berlaku
P(X = 2) = \dfrac{4^2e^{-4}} {2!} \approx 0,1465
Jadi, probabilitas kedatangan 2 pasien per hari adalah 0,1465.

[collapse]

Soal Nomor 8
Misalkan banyaknya sambungan telepon ke nomor 108 antara pukul 23.00 sampai pukul 00.00 selama 1 bulan berdistribusi Poisson dengan rata-rata 5 sambungan per hari. Berdasarkan informasi tersebut, tentukan peluang bahwa terdapat 10 sambung pada hari tertentu saat rentang waktu tersebut.

Penyelesaian

Kasus ini tergolong kasus Distribusi Poisson dengan \lambda = 5, sehingga berlaku
P(X = 10) = \dfrac{5^{10}e^{-5}} {10!} \approx 0,0181
Jadi, peluang bahwa terdapat 10 sambungan pada hari tertentu saat rentang waktu tersebut adalah 0,0181.

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika peubah acak X berdistribusi Poisson dengan parameter \lambda, buktikan bahwa E(X^2) = \lambda \times E(X + 1)

Penyelesaian

Berdasarkan definisi rataan diskrit, diperoleh
E(X^2)= \displaystyle \sum_{x = 0}^{\infty} x^2.\dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!} = \sum_{x = 1}^{\infty} x. \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {(x-1)!}
Misalkan x - 1 = y \Leftrightarrow x = y + 1, didapat
\begin{aligned} \displaystyle E(X^2) & = \sum_{y = 0} (y+1)\dfrac{\lambda^{y+1}e^{-\lambda}} {y!} \\ & = \lambda \left[\sum_{x = 0}^{\infty} x. \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!} + \sum_{x = 0}^{\infty} \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!} \right] \\ & = \lambda \sum_{x = 0}^{\infty} (x + 1)\dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!} = \lambda \times E(X + 1) \end{aligned}
(Terbukti) \blacksquare

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika peubah acak X berdistribusi Poisson dengan parameter \lambda dan E(X^2) = 6, maka hitunglah E(X).

Penyelesaian

Diketahui bahwa jika X ~ Poi(\lambda), maka rataannya adalah \mu = E(X) = \lambda sedangkan variansnya adalah \Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \lambda Substitusikan E(X) = \lambda dan E(X^2) = 6 pada persamaan kedua, sehingga diperoleh 6 - \lambda^2 = \lambda \Lefrightarrow (\lambda + 3)(\lambda - 2) = 0 Diperoleh \lambda = -3 atau \lambda = 2. Karena \lambda tidak mungkin negatif, maka diambil \lambda = 2. Ini artinya, nilai dari E(X) adalah 2.

[collapse]

Soal Nomor 11 
Misalnya peubah acak X berdistribusi Poisson dengan parameter \lambda. Jika P(X = 2) = \dfrac{2}{3}P(X = 1), hitunglah P(X = 0) dan P(X = 1).

Penyelesaian

Diketahui fungsi kepadatan peluang dari distribusi Poisson adalah
P(X = x) = \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!}
Karena P(X = 2) = \dfrac{2}{3}P(X = 1), maka berarti
\begin{aligned} & \dfrac{\lambda^2e^{-\lambda}}{2!} = \dfrac{2}{3}. \dfrac{\lambda^1e^{-\lambda}} {1!} \\ & \dfrac{\lambda} {2} = \dfrac{2}{3} \\ & \lambda = \dfrac{4}{3} \end{aligned}
Jadi, diperoleh \lambda = \dfrac{4}{3}, sehingga
P(X = 0) = \dfrac{\left(\dfrac{4}{3}\right)^0 e^{-\frac{4}{3}}}{0!} \approx 0,26360
dan
P(X = 1) = \dfrac{\left(\dfrac{4}{3}\right)^1 e^{-\frac{4}{3}}}{1!} \approx 0,35146

[collapse]

Soal Nomor 12 
Misalnya peubah acak X berdistribusi Poisson dengan parameter \lambda. Jika P(X = 1) = 2.P(X = 2), hitunglah
a) P(X = 0) dan P(X = 1)
b) rataannya
c) variansnya

Penyelesaian

Jawaban a)
Diketahui fungsi kepadatan peluang dari distribusi Poisson adalah
P(X = x) = \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!}
Karena P(X = 1) = 2P(X = 2), maka berarti
\begin{aligned} & \dfrac{\lambda^1e^{-\lambda}}{1!} = 2 \times \dfrac{\lambda^2e^{-\lambda}} {2!} \\ & \lambda = 1 \end{aligned}
Jadi, diperoleh \lambda = 1, sehingga
P(X = 0) = \dfrac{1^0e^{-1}} {0!} = e^{-1}
dan
P(X = 1) = \dfrac{1^1e^{-1}} {1!} = e^{-1}
Jawaban b)
Berdasarkan dalil rataan distribusi Poisson,
\mu = \lambda = 1
Jadi, rataannya adalah 1.
Jawaban c)
Berdasarkan dalil varians distribusi Poisson,
\Var(X) = \lambda = 2
Jadi, variansnya juga bernilai 1.

[collapse]

Soal Nomor 13 
Misalnya peubah acak X berdistribusi Poisson dengan parameter \lambda. Jika Y = X - \lambda, maka:
a) tentukan fungsi pembangkit momen dari Y
b) hitung Var(Y) berdasarkan hasil jawaban a

Penyelesaian

Jawaban a)
Akan ditunjukkan bahwa fungsi pembangkit momen dari Y adalah M_Y(t) = e^{\lambda(e^t-t-1)} sebagai berikut.
\begin{aligned} M_{Y}(t) & = \mathbb{E}(e^{tY}) \\ & = \mathbb{E}(e^{t(X-{\lambda})}) \\ & = \sum_{x=0}^{\infty} e^{t(x-{\lambda})}\frac{{\lambda}^{x}e^{-{\lambda}}}{x!} \\ & = e^{-(t+1){\lambda}}\sum_{x=0}^{\infty} \frac{({\lambda}{e^t})^x}{x!} \\ & = e^{-(t+1){\lambda}}{e^{{\lambda}{e^{t}}}} \\ & = e^{{\lambda}(e^{t}-t-1)} \end{aligned}
(Terbukti)
Jawaban b)
Ingat hubungan fungsi pembangkit momen dan varians sebagai berikut.
\begin{aligned} Var(Y) & = {\mathbb{E}}(Y^2) -{{\mathbb{E}}(Y)}^2 \\ & = {M''_{Y}(0)} - (M'_{Y}(0))^2 \end{aligned}
Berikutnya, akan dicari turunan pertama dan turunan kedua dari M_Y(t).
Turunan pertamanya adalah
M'_Y(t) = \lambda(e^t-1)e^{\lambda(e^t-t-1)}
sehingga
M'_Y(0) = 0
Sedangkan turunan keduanya adalah
M''_Y(t) = [(\lambda e^t - \lambda)^2 + \lambda e^t] e^{\lambda(e^t - t - 1)}
sehingga
M'_Y(0) = \lambda
Jadi, haruslah
Var(Y) = \lambda - 0^2 = \lambda
Dapat disimpulkan bahwa variansnya adalah \lambda.

[collapse]

Soal Nomor 14 
Jika peubah acak X berdistribusi Poisson dengan parameter P(X = 1) = P(X = 2), maka hitung P(X = 1~\text{atau}~2).

Penyelesaian

Karena P(X = 1) = P(X = 2), maka
\dfrac{\lambda^1e^{-\lambda}} {1!} = \dfrac{\lambda^2e^{-\lambda}} {2!}
Sederhanakan bentuk di atas sehingga nantinya diperoleh
\lambda^2 - 2\lambda = \lambda(\lambda - 2) = 0
Jadi, diambil \lambda = 2.
Dengan demikian,
\begin{aligned} P(X = 1~\text{atau}~2) & = P(X = 1) + P(X = 2) \\ & = \dfrac{2^1e^{-2}} {1!} + \dfrac{2^2e^{-2}} {2!} = \boxed{4e^{-2}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 15 
Jika peubah acak X berdistribusi Poisson dengan parameter \lambda, maka buktikan bahwa E(|X - 1|) = \dfrac{2\sigma}{e}

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 16 
Jika peubah acak X berdistribusi Poisson dengan parameter \lambda sehingga P(X = 1) = P(X = 2), hitunglah P(X = 4).

Penyelesaian

Karena P(X = 1) = P(X = 2), maka
\dfrac{\lambda^1e^{-\lambda}} {1!} = \dfrac{\lambda^2e^{-\lambda}} {2!}
Sederhanakan bentuk di atas sehingga nantinya diperoleh
\lambda^2 - 2\lambda = \lambda(\lambda - 2) = 0
Jadi, diambil \lambda = 2.
Dengan demikian,
\begin{aligned} P(X = 4) & = \dfrac{2^4e^{-2}} {4!} + \dfrac{2e^{-2}} {3} = \boxed{0,0902} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 17 
Misal X peubah acak berdistribusi Poisson. Jika fungsi pembangkit momen dari X adalah \exp(4(e^t - 1)), hitung P(|X - \mu| < 2\sigma).

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 18 
Jika peubah acak X berdistribusi Poisson dengan parameter \lambda dan P(X = 0) = \dfrac{1}{2}, maka hitunglah E(X)

Penyelesaian

Diketahui P(X = 0)= \dfrac{1}{2}. Karena X berdistribusi Poisson, maka
\begin{aligned} P(X = 0) & = \dfrac{\lambda^0e^{-\lambda}} {0!} = \dfrac{1}{2} \\ e^{-\lambda} & = \dfrac{1}{2} \\ \lambda & = - \ln \dfrac{1}{2} \approx 0,7 \end{aligned}
Berdasarkan dalil ekspektasi/rataan diskrit Poisson, didapat \boxed{E(X) = \mu = \lambda = 0,7}

[collapse]

Soal Nomor 19
Jika peubah acak Y berdistribusi Poisson dengan variansnya 3, maka hitunglah P(Y = 2).

Penyelesaian

Karena Y berdistribusi Poisson dan berdasarkan dalil varians Poisson, maka \Var(Y) = \lambda = 3, sehingga
\boxed{P(Y = 2) = \dfrac{3^2e^{-3}} {2!} \approx 0,224}

[collapse]

Soal Nomor 20 
Misalkan Y peubah acak berdistribusi Poisson. Jika M_Y(t) = \exp(5e^t - 5), maka hitunglah P(2 \leq Y < 5).

Penyelesaian

Karena Y berdistribusi Poisson dan berdasarkan dalil fungsi pembangkit momen Poisson, yaitu M_Y(t) = \exp(\lambda(e^t - 1)), maka dengan membandingkannya pada bentuk M_Y(t) = \exp(5e^t - 5), diperoleh \lambda = 5. Dengan demikian,
\begin{aligned} P(2 \leq Y < 5) & = P(Y = 2) + P(Y = 3) + P(Y = 4) \\ & \dfrac{5^2e^{-5}} {2!} + \dfrac{5^3e^{-5}} {3!} + \dfrac{5^4e^{-5}} {4!} \\ & \approx 0,084 + 0,14037 + 0,17546 \approx 0,4 \end{aligned}
Catatan: Pembulatan jawaban (aproksimasi) ke 0,4.

[collapse]

Soal Nomor 21 
Jika peubah acak X berdistribusi Poisson dengan parameter \lambda dan P(X = 0) = 0,2, maka hitunglah P(X > 2).

Penyelesaian

Karena X berdistribusi Poisson, maka
\begin{aligned} P(X = 0) = 0,2 & = \dfrac{\lambda^0e^{-\lambda}} {0!} \\ e^{-\lambda} & = 0,2 \\ \lambda = - \ln 0,2 \approx 1,6094 \end{aligned}
Dengan demikian,
\begin{aligned} P(X > 2) & =1 - P(X \leq 2) \\ & = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X =2)] \\ & = 1 - \left[\dfrac{(1,6094)^0e^{-1,6094}} {0!} +\dfrac{(1,6094)^1e^{-1,6094}} {1!} \\ & +\dfrac{(1,6094)^2e^{-1,6094}} {2!} \Bigg] \\ & \approx 1-0,7809 = 0,2191\end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 22 
Jika peubah acak X berdistribusi Poisson dengan rataan \mu = 100,maka hitung batas bawah dari P(75 < X < 125)

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal dan Pembahasan – Ulangan Tengah Semester (UTS) Mata Kuliah Trigonometri Prodi Pendidikan Matematika FKIP Untan

Berikut ini adalah soal ujian tengah semester beserta pembahasannya mata kuliah Trigonometri (Tahun Ajaran 2017/2018) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 2 oleh Drs. Romal Idjuddin, M.Pd pada tanggal 2 Mei 2018.

Soal Nomor 1
Tentukan nilai dari
a) \sin 225^{\circ}
b) \cos 300^{\circ}

Penyelesaian

Jawaban a) 
\begin{aligned} \sin 225^{\circ} & = \sin (180 + 45)^{\circ} \\ & = -\sin 45^{\circ} \\ & = -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \end{aligned}
Jawaban b) 
\begin{aligned} \cos 300^{\circ} & = \cos (270 + 30)^{\circ} \\ & = \sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan nilai dari
a) \tan 495^{\circ}
b \csc (-570^{\circ})

Penyelesaian

Jawaban a) 
\begin{aligned} \tan 495^{\circ} & = \tan (360 + 135)^{\circ} \\ & =\tan 135^{\circ} \\ & = \tan (90 + 45)^{\circ} \\ & = -\tan 45^{\circ} = -1 \end{aligned}
Jawaban b) 
\begin{aligned} \csc (-570^{\circ}) & = -\csc (210^{\circ}) \\ & = -\dfrac{1}{\sin 210^{\circ}} \\ & = -\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}} = 2 \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 3
Tunjukkan bahwa
\dfrac{\tan^2 x - \sin^2 x} {1 - \sin^2 x} = \tan^4 x

Penyelesaian

Pembuktian dari ruas kiri sebagai berikut. 
\begin{aligned} \dfrac{\tan^2 x - \sin^2 x} {1 - \sin^2 x} & = \dfrac{\tan^2 x - \sin^2 x} {\cos^2 x} \\ & = \dfrac{\tan^2 x} {\cos^2 x} - \tan^2 x \\ & = \dfrac{\tan^2 x - \tan^2 x \times \cos^2 x} {\cos^2 x} \\ & = \dfrac{\tan^2 x(1 - \cos^2 x)} {\cos^2 x} \\ & = \dfrac{\tan^2 x \times \sin^2 x} {\cos^2 x} \\ & = \tan^2 \times \tan^2 x \\ & = \tan^4 x \end{aligned}
(Terbukti) \blacksquare

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui \sin \theta = \dfrac{2}{\sqrt{5}}, 0 < \theta < \dfrac{\pi} {2}
Tentukan:
a) \sin 2\theta
b) \cos 2\theta
c) \tan 2\theta

Penyelesaian

Karena \theta berada dalam kuadran pertama, maka nilai perbandingan trigonometrinya adalah positif untuk setiap sudut \theta yang dimaksud. Perhatikan gambar berikut yang datanya diambil dari perbandingan trigonometri 
\sin \theta = \dfrac{2}{\sqrt{5}}

Ingat bahwa sinus adalah perbandingan panjang sisi depan sudut dan panjang hipotenusa dalam segitiga siku-siku. Dengan Teorema Pythagoras, didapat 
AB = \sqrt{5 - 4} = 1
Oleh karenanya, kita peroleh
\cos \theta = \dfrac{1}{\sqrt{5}}
Jawaban a) 
\begin{aligned} \sin 2\theta & = 2 \sin \theta \cos \theta \\ & = 2\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right) \\ & = \dfrac{4}{5} \end{aligned}
Jawaban b) 
\begin{aligned} \cos 2\theta & = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\ & = \left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 - \left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 \\ & = -\dfrac{3}{5} \end{aligned}
Jawaban c) 
\begin{aligned} \tan 2\theta & = \dfrac{\sin 2\theta} {\cos 2\theta} \\ & = \dfrac{\dfrac{4}{5}} {-\dfrac{3}{5}} \\ & = -\dfrac{4}{3} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 5
Tunjukkan bahwa
\dfrac{1-\sin x}{\cos x} = \dfrac{1}{\sec x + \tan x}

Penyelesaian

Pembuktian dari ruas kiri sebagai berikut. 
\begin{aligned} \dfrac{1-\sin x} {\cos x} & = \dfrac{1}{\cos x} - \dfrac{\sin x} {\cos x} \\ & = \sec x - \tan x \\ & = \sec x - \tan x \times \dfrac{\sec x + \tan x} {\sec x + \tan x} \\ & = \dfrac{\sec^2 x - \tan^2 x}{\sec x + \tan x} \end{aligned}
Dengan menggunakan teorema trigonometri
\boxed{\sec^2 x = 1 + \tan^2 x}
didapat
\dfrac{\sec^2 x - \tan^2 x} {\sec x + \tan x} = \dfrac{1}{\sec x + \tan x}
(Terbukti) \blacksquare

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal dan Pembahasan – Ulangan Tengah Semester (UTS) Statistika Matematika – Prodi Pendidikan Matematika FKIP Untan

Berikut ini adalah soal ujian tengah semester beserta pembahasannya mata kuliah Statistika Matematika (Tahun Ajaran 2017/2018) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 6 oleh Dr. Ahmad Yani T., M. Pd pada tanggal 23 April 2018.

Soal Nomor 1
Jika X dan Y peubah acak dengan variansi \sigma_x^2 = \sigma_y^2 = 3 dan kovariansi \sigma_{xy} = 3, tentukan variansi peubah acak Z = 2X - 3Y + 7

Penyelesaian

\begin{aligned} \sigma_Z^2 = \sigma_{2X-3Y+7} & = \sigma_{2X-3Y} \\ & = 4\sigma_x^2 - 12\sigma_{xy} + 9\sigma_y^2 \\ & = 4(3) - 12(3) + 9(3) = 3 \end{aligned}
Jadi, variansi peubah acak Z = 2X - 3Y + 7 adalah 3.

[collapse]

Soal Nomor 2
Misalkan kita mengundi sebuah dadu yang seimbang sebanyak 8 kali. Tentukan peluang bahwa munculnya mata dadu 5 paling sedikit 6 kali.

Penyelesaian

Gunakan distribusi binomial. 
Misalkan x menyatakan banyak mata dadu yang muncul, dan dalam kasus ini, n = 8 dan p = \dfrac{1}{6}, di mana n menyatakan banyaknya percobaan dan p menyatakan peluang munculnya mata dadu 5 saat satu kali pelemparan dadu. Fungsi peluang dari X selanjutnya dinyatakan sebagai
\begin{aligned} & P(X = x) = \displaystyle \binom{n} {x} p^x(1-p) ^{n-x} \\ & P(X \geq 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) \\ & = P(X \geq 6) = \binom{8}{6}\left(\dfrac{1}{6}\right) ^6 \left(\dfrac{5}{6}\right)^2 + \binom{8}{7}\left(\dfrac{1}{6}\right) ^7 \left(\dfrac{5}{6}\right) \\ & + \binom{8}{8}\left(\dfrac{1}{6}\right) ^8 \left(\dfrac{5}{6}\right)^0 \\ & = \dfrac{700 + 40 + 1}{6^8} = 0,00044 \end{aligned}
Jadi, peluang munculnya mata dadu 5 paling sedikit 6 kali adalah 0,00044.

[collapse]

Soal Nomor 3
Jika X mempunyai fungsi peluang
f(x) = \begin{cases} 2(1-x), &~\text{jika}~0 < x < 1 \\ 0, &~\text{untuk x yang lain} \end{cases}
Tentukan nilai E(6x + x^2).

Penyelesaian

Dengan menggunakan definisi ekspektasi, 
\begin{aligned} \displaystylr E(6x + x^2) & = \int_0^1 (6x+x^2)(2(1-x))~dx \\ & = \int_0^1 (12x - 10x^2 - 2x^3)~dx \\ & = \left[6x^2 - \dfrac{10}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^4\right]_0^1 \\ & = 6 -\dfrac{10}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{13}{6} \end{aligned}
Jadi, nilai dari E(6x + x^2) adalah \dfrac{13}{6}

[collapse]

Soal Nomor 4
Dalam suatu kelas terdapat 20 orang siswa, 5 siswa di antaranya berbaju putih, 10 siswa berbaju coklat, dan 5 siswa lainnya berbaju merah. Dipilih secara acak 3 siswa satu per satu. Peluang kejadian dua siswa terpilih berbaju coklat dan satu siswa berbaju putih adalah \cdots

Penyelesaian

Ada 3 kemungkinan yang dapat terjadi, yaitu (C, C, P), (C, P, C), (P, C, C), di mana P menyatakan terpilihnya siswa berbaju putih dan C menyatakan terpilihnya siswa berbaju coklat. Karena pemilihannya satu per satu, maka peluang kejadian dua siswa terpilih berbaju coklat dan satu siswa berbaju putih (kejadiannya dinotasikan X) adalah
\begin{aligned} P(X) & = \dfrac{10}{20} \times \dfrac{9}{19} \times \dfrac{5}{18} + \dfrac{10}{20} \times \dfrac{5}{19} \times \dfrac{9}{18} + \dfrac{5}{20} \times \dfrac{10}{19} \times \dfrac{9}{18}  \\ & = 3 \times \dfrac{10}{20} \times \dfrac{9}{19} \times \dfrac{5}{18} = \dfrac{15}{76} \end{aligned}
Catatan: Selain cara di atas, kita juga dapat menggunakan Aturan Kombinasi,

\dfrac{C_3^{10} \times C_1^5}{C_3^{20}}
Setelah diproses perhitungannya, jawaban akhirnya juga sama, yaitu \dfrac{15}{76}

[collapse]

Soal Nomor 5
Misalkan X dan Y memiliki fungsi peluang bersama
f(x, y) = c(y^2-x^2)e^{-y}, -y \leq x \leq y, 0 < y < \infty
Tentukan nilai c.

Penyelesaian

Karena X dan Y fungsi peluang bersama, maka haruslah persamaan berikut terpenuhi. 
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y)~dx~dy = 1
Untuk itu,
\begin{aligned} 1 & = \displaystyle \int_{0}^{\infty} \int_{-y}^{y} c(y^2-x^2)e^{-y}~dx~dy \\ & = \int_0^{\infty} \left[c\left(y^2x - \dfrac{x^3}{3}\right e^{-y}\right]_{-y}^y~dy \\ & = \dfrac{4}{3}c \int_0^{\infty} e^{-y}y^3~dy \bigstar \\ & = \dfrac{4}{3}c(3!) \\ & = 8c \end{aligned}
Dengan demikian, diperoleh 
1 = 8c \Rightarrow c = \dfrac{1}{8}
Jadi, nilai c yang memenuhi adalah \dfrac{1}{8}
Catatan: \bigstar Gunakan teorema
\boxed{\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-y}y^n~dy = n!}

[collapse]

Soal Nomor 6
Berdasarkan teori genetika, perbandingan seekor hamster betina akan melahirkan anak dengan warna bulu merah, hitam, dan putih adalah 8 : 4 : 4. Peluang akan lahirnya anak hamster dengan warna merah sebanyak 5 ekor, hitam 2 ekor, dan putih 1 ekor dari kelahiran 8 ekor adalah

Penyelesaian

Diketahui perbandingan seekor hamster betina melahirkan anaknya dengan warna bulu merah, hitam, putih adalah
8 : 4 : 4 = 2 : 1 : 1
Dengan menggunakan distribusi multinomial, didapat
\begin{aligned} f\left(5;2;1;\dfrac{2}{4}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{4}\right) & = \binom{8}{5~2~1}\left(\dfrac{2}{4}\right)^5 \times \left(\dfrac{1}{4}\right) ^2 \times \left(\dfrac{1}{4}\right) \\ & = \dfrac{8!} {5!~2!~1!} \times \dfrac{1}{32 \times 16 \times 4} = \dfrac{3}{7} = 0,656 \end{aligned}
Jadi, peluang lahirnya anak hamster dengan bulu berwarna merah, hitam, dan putih berturut-turut sebanyak 5, 2, dan 1 ekor adalah 0,656.

[collapse]

Bagian Esai
Soal Nomor 1
Buktikan teorema berikut. 
Jika X berdistribusi eksponen, dengan
f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{\lambda}e^{-\frac{x} {\lambda}}, &~\text{jika}~0 \leq x < \infty \\ 0, &~\text{untuk x yang lain} \end{cases}
maka E(X) = \lambda dan Var(X) = \lambda^2

Penyelesaian

Akan dibuktikan bahwa E(X) = \lambda. Dengan menggunakan definisi ekspektasi, 
E(X) = \displaystyle \int_0^{\infty} x \times \dfrac{1}{\lambda}e^{-\frac{x} {\lambda}}~dx
Sekarang, misalkan y = \dfrac{x} {\lambda}, sehingga dy = \dfrac{1}{\lambda}~dx, berarti 
\begin{aligned} E(X) & = \displaystyle \int_0^{\infty} ye^{-y}(\lambda)~dy \\ & = \lambda \int_0^{\infty} ye^{-y}~dy \end{aligned}
Dengan menggunakan teorema, 
\boxed{n! = \displaystyle \int_0^{\infty} y^n~e^{-y}~dy}
diperoleh
E(X) = \lambda(1!) = \lambda
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa Var(X) = \lambda^2
Ingat bahwa, Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2. Untuk itu, harus dicari dulu E(X^2) sebagai berikut. 
\begin{aligned} E(X^2) & = \displaystyle \int_0^{\infty} x^2 \times \dfrac{1}{\lambda}e^{-\frac{x} {\lambda}}~dx \\ & = \int_0^{\infty} \lambda~\dfrac{x} {\lambda}~\dfrac{x} {\lambda}~e^{-\frac{x} {\lambda}}~dx \\ & \text{Substitusi}~y = \dfrac{x} {\lambda}~\text{dan}~dy = \dfrac{1}{\lambda}~dx \\ & = \int_0^{\infty} \lambda~y~y~e^{-y}~\lambda~dy \\ & = \lambda^2 \int_0^{\infty} y^2e^{-y}~dy \\ & = \lambda^2(2!) = 2\lambda^2 \end{aligned}
Dengan demikian, 
Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 2\lambda^2 - \lambda^2 = \lambda^2
(Terbukti)

[collapse]

Soal Nomor 2
Sebuah koin seimbang (dengan sisi muka dan belakang) dilantunkan sebanyak 7 kali. Berapa peluang mendapatkan
a) tepat 3 belakang. 
b) sekurang-kurangnya 5 belakang.
c) paling banyak 3 belakang. 

d) antara 3 sampai 5 belakang. 
e) 3 muka dan 4 belakang.

Penyelesaian

Diketahui banyak pelantunan koin n = 7, peluang mendapatkan belakang koin adalah p = \dfrac{1}{2}, begitu juga peluang tidak mendapatkan belakang koin q = 1 - p = \dfrac{1}{2}. Misalkan x menyatakan banyaknya muncul belakang koin, sehingga x dapat bernilai 0,1,2,\cdots, 7
Dengan distribusi binomial, diperoleh
P(X = x) = \displaystyle \binom{7}{x} \left(\dfrac{1}{2}\right) ^x\left(\dfrac{1}{2}\right)^{7 - x} 
Jawaban a) 
\begin{aligned} P(X = 3) & = \displaystyle \binom{7}{3} \left(\dfrac{1}{2}\right) ^3\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 \\ & = \dfrac{7!} {4!3!} \times \dfrac{1}{2^7} = \dfrac{35}{128} \end{aligned}
Jadi, peluang munculnya belakang koin tepat 3 kali adalah \dfrac{35}{128}
Jawaban b) 
\begin{aligned} & P(X \geq 5) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) \\ & = \displaystyle \binom{7}{5} \left(\dfrac{1}{2}\right) ^5\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 +\displaystyle \binom{7}{6} \left(\dfrac{1}{2}\right)^6\left(\dfrac{1}{2}\right) +\displaystyle \binom{7}{7} \left(\dfrac{1}{2}\right)^7\left(\dfrac{1}{2}\right)^0 \\ & = \dfrac{7!} {4!3!} \times \dfrac{1}{2^7} \\ & = \dfrac{7!} {5!2!} \times \dfrac{1}{128} + \dfrac{7!} {6!1!} \times \dfrac{1}{128} + \dfrac{7!} {7!0!} \times \dfrac{1}{128} \\ & = \dfrac{21 + 7 + 1}{128} = \dfrac{29}{128} \end{aligned}
Jadi, peluang munculnya belakang koin sekurang-kurangnya 5 kali adalah \dfrac{29}{128}
Jawaban c) 
\begin{aligned} & P(X \leq 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) \\ & = \displaystyle \binom{7}{1} \left(\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}\right)^6 + \displaystyle \binom{7}{2} \left(\dfrac{1}{2}\right)^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^5 + \displaystyle \binom{7}{3} \left(\dfrac{1}{2}\right)^3\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 \\ & = \dfrac{7!} {6!1!} \times \dfrac{1}{128} + \dfrac{7!} {5!2!} \times \dfrac{1}{128} + \dfrac{7!} {4!3!} \times \dfrac{1}{128} \\ & = \dfrac{7 + 21 + 35}{128} = \dfrac{63}{128} \end{aligned}
Jadi, peluang munculnya belakang koin paling banyak 3 kali adalah \dfrac{63}{128}
Jawaban d) 
\begin{aligned} & P(3 \leq X \leq 5) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) \\ & = \displaystyle \binom{7}{3} \left(\dfrac{1}{2}\right)^3\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 + \displaystyle \binom{7}{4} \left(\dfrac{1}{2}\right)^4\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 + \displaystyle \binom{7}{5} \left(\dfrac{1}{2}\right)^5\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \\ & = \dfrac{7!} {4!3!} \times \dfrac{1}{128} + \dfrac{7!} {3!4!} \times \dfrac{1}{128} + \dfrac{7!} {5!2!} \times \dfrac{1}{128} \\ & = \dfrac{35 + 35 + 21}{128} = \dfrac{91}{128} \end{aligned}
Jadi, peluang munculnya belakang koin paling banyak 3 kali adalah \dfrac{91}{128}
Jawaban e) 
Peluang munculnya 3 muka koin dan 4 belakang koin sama halnya dengan peluang munculnya tepat 3 belakang koin (karena 4 sisanya pastilah muka koin). Jadi, peluang munculnya 3 muka koin dan 4 belakang koin adalah \dfrac{35}{128}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini