Materi, Soal, dan Pembahasan – Pembuktian dengan Metode Ketunggalan

Metode ketunggalan dalam proses pembuktian matematika dipakai saat proposisi yang ingin kita buktikan memiliki kata kunci tunggal, unik, satu-satunya, atau tepat satu (dalam bahasa Inggris: one and only one, unique, exactly one, atau the only one) dan memuat kuantor eksistensial dalam bentuk baku (standard form) berikut.

Terdapat objek unik dengan kriteria tertentu sehingga sesuatu terjadi.

Jadi, metode ketunggalan memiliki dua kata kunci, yaitu eksistensi objek dan ketunggalan objek.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Logika Matematika

1. Metode Ketunggalan Maju

Kemunculan kata kunci metode ketunggalan tersebut ada di hipotesis pada bentuk implikasi. Contoh pernyataan: Jika terdapat objek unik dengan kriteria tertentu, maka sesuatu terjadi. Objek unik pada pernyataan tersebut artinya ada tepat satu objek, misalkan $X$, dengan kriteria tertentu yang mengakibatkan sesuatu terjadi. Andaikan ada objek lain, misalkan $Y,$ dengan kriteria yang sama dan menyebabkan sesuatu yang sama juga terjadi, $X$ dan $Y$ haruslah objek yang sama, ditulis $X = Y.$ Menulis $X = Y$ sebagai pernyataan baru pada proses maju merupakan penerapan dari metode ketunggalan maju (forward uniqueness method).

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Predikat dan Kuantor dalam Logika Matematika

2. Metode Ketunggalan Mundur

Kemunculan kata kunci metode ketunggalan tersebut ada di konklusi pada bentuk implikasi. Contoh pernyataan: Jika untuk setiap objek dengan kriteria tertentu, maka terdapat objek unik dengan kriteria tertentu sehingga sesuatu terjadi. Saat kata kunci metode ketunggalan muncul pada proses mundur, kita perlu memeriksa dua hal, yaitu eksistensi objek (dibuktikan dengan metode konstruksi atau kontradiksi) dan ketunggalan objek (dibuktikan dengan metode ketunggalan langsung atau taklangsung). Dengan kata lain, proses pembuktian dibagi menjadi dua bagian, yaitu bukti eksistensi dan bukti ketunggalan.

2a. Metode Ketunggalan Langsung

Dengan menggunakan metode ketunggalan dan pembuktian langsung, kita sebut metode pembuktian seperti itu sebagai metode ketunggalan langsung (direct uniqueness method). Asumsikan bahwa terdapat dua atau lebih objek dengan kriteria tertentu sehingga sesuatu terjadi. Di lain sisi, objek tersebut harus tunggal. Jadi, kita harus menunjukkan bahwa dua atau lebih objek tersebut merupakan objek yang sama.
Secara matematis, jika $x_1, x_2, \cdots, x_n$ merupakan objek yang kita dapatkan, maka haruslah $x_1 = x_2 = \cdots = x_n.$

2b. Metode Ketunggalan Taklangsung

Dengan menggunakan metode ketunggalan dan pembuktian taklangsung, kita sebut metode pembuktian seperti itu sebagai metode ketunggalan taklangsung (indirect uniqueness method). Andaikan terdapat dua objek yang berbeda yang memenuhi kriteria tertentu sehingga sesuatu terjadi. Dengan menggunakan informasi pada hipotesis dan pengandaian bahwa terdapat dua objek yang berbeda yang memenuhi kriteria tertentu sehingga sesuatu terjadi, kita harus menunjukkan terjadinya kontradiksi. Dengan kata lain, metode ketunggalan taklangsung melibatkan penggunaan metode kontradiksi.


Artikel ini ditulis berdasarkan beberapa sumber. Untuk sumber berbahasa Inggris, salah satu yang digunakan adalah buku “How to Read and Do Proofs” yang ditulis oleh Daniel Solow. Oleh karena itu, untuk meminimalisasi kesalahan penafsiran, padanan untuk beberapa kata/istilah diberikan dalam tabel berikut.

$$\begin{array}{ccc} \hline \text{No.} & \text{Bahasa Indonesia} & \text{Bahasa Inggris} \\ \hline 1. & \text{Metode Ketunggalan} & \text{Uniqueness Method} \\ 2. & \text{Metode Ketunggalan Maju} & \text{Forward Uniqueness Method} \\ 3. & \text{Metode Ketunggalan Mundur} & \text{Backward Uniqueness Method} \\ 4. & \text{Metode Ketunggalan Langsung} & \text{Direct Uniqueness Method} \\ 5. & \text{Metode Ketunggalan Taklangsung} & \text{Indirect Uniqueness Method} \\ 6. & \text{Kuantor Eksistensial} & \text{Existential Quantifier} \\ 7. & \text{Implikasi} & \text{Implication} \\ 8. & \text{Hipotesis} & \text{Hypothesis} \\ 9.  & \text{Konklusi} & \text{Conclusion} \\ 10. & \text{Metode Konstruksi} & \text{Construction Method} \\ 11. & \text{Metode Kontradiksi} & \text{Contradiction Method} \\ \hline \end{array}$$


Quote by Carl Karcher

If the money we donate helps one child or can ease the pain of one parent, those funds are well spent.

Berikut ini telah disediakan sejumlah soal dan pembahasan terkait penggunaan metode ketunggalan dalam membuktikan proposisi.
Catatan: Simbol $\blacksquare$ menyatakan quod erat demonstrandum (Q.E.D), artinya “yang sudah terbukti”. Kita biasanya menggunakan simbol itu untuk menyatakan bahwa proses pembuktian sudah selesai.

Soal Nomor 1

Buktikan bahwa jika $a$ dan $b$ merupakan bilangan bulat dengan $a \ne 0$ sehingga $a \mid b,$ maka terdapat tepat satu bilangan bulat $k$ sehingga $b = ka.$

Pembahasan

Misalkan $a$ dan $b$ merupakan bilangan bulat dengan $a \ne 0$ sehingga $a \mid b.$ Karena terdapat kata kunci “tepat satu”, dengan menggunakan metode ketunggalan, akan diberikan bukti eksistensi dan bukti ketunggalan seperti berikut.
Bukti eksistensi: Karena $a \mid b,$ definisi keterbagian menjamin bahwa terdapat suatu bilangan bulat $k$ sehingga $b = ka.$
Bukti ketunggalan: Dengan menggunakan metode ketunggalan langsung, misalkan terdapat bilangan bulat lain, katakanlah $\ell,$ sehingga $b = \ell a.$ Akan ditunjukkan bahwa $k = \ell.$
Karena $b = ka$ dan $b = \ell a,$ diperoleh $ka = \ell a~~(*).$ Karena $a \ne 0,$ bagi kedua ruas dengan $a$ pada persamaan $(*)$ sehingga diperoleh $k = \ell.$
Jadi, terbukti bahwa terdapat tepat satu bilangan bulat $k$ sehingga $b = ka.$ $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 2

Buktikan bahwa terdapat tepat satu $y$ sehingga $(x+1)^2-x^2 = 2y-1.$

Pembahasan

Karena terdapat kata kunci “tepat satu”, dengan menggunakan metode ketunggalan, akan diberikan bukti eksistensi dan bukti ketunggalan seperti berikut.
Bukti eksistensi: Dengan menggunakan metode konstruksi, pilih $y = x + 1$ sehingga
$$\begin{aligned} (x+1)^2-x^2 & = (x^2 + 2x-1)-x^2 \\ & = 2x + 1 \\ & = 2(x+1)-1 \\ & = 2y-1. \end{aligned}$$Jadi, terdapat $y$ sehingga $(x+1)^2-x^2 = 2y-1.$
Bukti ketunggalan: Dengan menggunakan metode ketunggalan langsung, misalkan terdapat $z$ sehingga $(x+1)^2-x^2 = 2z-1.$ Karena $(x+1)^2-x^2 = 2y-1$ dan $(x+1)^2-x^2 = 2z-1,$ diperoleh
$$\begin{aligned} 2y-1 & = 2z-1 \\ 2y & = 2z \\ y & = z. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa terdapat tepat satu $y$ sehingga $(x+1)^2-x^2 = 2y-1.$ $\blacksquare$

[collapse]

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Pembuktian dengan Menggunakan Kontradiksi 

Soal Nomor 3

Buktikan bahwa jika $a$ merupakan bilangan real dengan $a > 5,$ maka terdapat tepat satu bilangan real negatif $b$ sehingga $a = \dfrac{4b}{2 + b}.$

Pembahasan

Misalkan $a$ merupakan bilangan real dengan $a > 5.$ Karena terdapat kata kunci “tepat satu”, dengan menggunakan metode ketunggalan, akan diberikan bukti eksistensi dan bukti ketunggalan seperti berikut.
Bukti eksistensi: Dengan menggunakan metode konstruksi, pilih $b = \dfrac{2a}{4-a}$ dengan $b < 0$ karena $2a > 0$ dan $4-a < 0$ serta
$$\begin{aligned} \dfrac{4b}{2+b} & = \dfrac{4\left(\dfrac{2a}{4-a}\right)}{2 + \dfrac{2a}{4-a}} \\ & = \dfrac{8a}{2(4-a) + 2a} && (\text{Dikalikan}~4-a) \\ & = \dfrac{8a}{8} \\ & = a. \end{aligned}$$Bukti ketunggalan: Dengan menggunakan metode ketunggalan langsung, misalkan terdapat bilangan real negatif $b_1$ dan $b_2$ sehingga $a = \dfrac{4b_1}{2 + b_1}$ dan $a = \dfrac{4b_2}{2 + b_2}.$ Akan ditunjukkan bahwa $b_1 = b_2.$
Karena $a = \dfrac{4b_1}{2 + b_1}$ dan $a = \dfrac{4b_2}{2 + b_2},$ diperoleh $$\dfrac{4b_1}{2+b_1} = \dfrac{4b_2}{2 + b_2}.~~~(\bigstar)$$Dengan mengalikan kedua ruas dengan $\dfrac{(2+b_1)(2+b_2)}{4}$ pada $\bigstar,$ diperoleh
$$\begin{aligned} b_1(2 + b_2) & = b_2(2 + b_1) \\ 2b_1 + b_1b_2 & = 2b_2 + b_1b_2 \\ 2b_1 & = 2b_2 \\ b_1 & = b_2. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa jika $a$ merupakan bilangan real dengan $a > 5,$ maka terdapat tepat satu bilangan real negatif $b$ sehingga $a = \dfrac{4b}{2 + b}.$ $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 4

Dengan menggunakan metode ketunggalan taklangsung, buktikan bahwa jika $m$ dan $b$ merupakan bilangan real dengan $m \ne 0,$ maka terdapat tepat satu bilangan real $x$ sehingga $mx + b = 0.$

Pembahasan

Misalkan $m$ dan $b$ merupakan bilangan real dengan $m \ne 0.$ Karena terdapat kata kunci “tepat satu”, dengan menggunakan metode ketunggalan, akan diberikan bukti eksistensi dan bukti ketunggalan seperti berikut.
Bukti eksistensi: Karena $m$ dan $b$ merupakan bilangan real dengan $m \ne 0,$ pilih $x = -\dfrac{b}{m} \in \mathbb{R}.$ Dengan demikian, $$mx + b = m\left(-\dfrac{b}{m}\right) + b = 0.$$Bukti ketunggalan: Dengan menggunakan metode ketunggalan tidak langsung, andaikan terdapat bilangan real lain, katakanlah $y,$ dengan $y \neq x$ sehingga $my + b = 0.$
Karena $mx + b = 0$ dan $my + b = 0,$ diperoleh
$$\begin{aligned} mx + b & = my + b \\ mx & = my \\ mx-my & = 0 \\ m(x-y) & = 0. \end{aligned}$$Karena $y \neq x,$ haruslah $x-y \ne 0.$ Akibatnya, $m = 0.$ Namun, hal ini kontradiksi dengan permisalan bahwa $m \neq 0.$ Jadi, pengandaian salah. Disimpulkan bahwa $y = x.$
Jadi, terdapat tepat satu bilangan real $x$ sehingga $mx + b = 0.$ $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 5

Buktikan bahwa jika $a$ dan $c$ merupakan bilangan real dengan $a<0,$ maka $x^* = 0$ merupakan pembuat maksimum (maximizer) tunggal dari fungsi $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dengan $f(x) = ax^2 + c.$

Pembahasan

Misalkan $a$ dan $c$ merupakan bilangan real dengan $a<0.$ Karena terdapat kata kunci “tepat satu”, dengan menggunakan metode ketunggalan, akan diberikan bukti eksistensi dan bukti ketunggalan seperti berikut.
Bukti eksistensi: Akan ditunjukkan bahwa $x^* = 0$ merupakan pembuat maksimum dari fungsi $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dengan $f(x) = ax^2 + c.$ Berdasarkan definisi pembuat maksimum, perlu ditunjukkan bahwa $f(x) \le f(0)$ untuk setiap $x \in \mathbb{R}.$
Ambil sembarang $x \in \mathbb{R}.$ Karena $a < 0$ dan $x^2 \ge 0,$ haruslah $ax^2 \le 0.$ Dengan menambahkan $c$ pada kedua ruas, diperoleh $ax^2 + c \le c = a(0)^2 + c$ yang berarti $f(x) \le f(0).$ Jadi, $x^* = 0$ merupakan pembuat maksimum dari fungsi tersebut.
Bukti ketunggalan: Dengan menggunakan metode ketunggalan langsung, misalkan $M$ merupakan pembuat maksimum lain dari fungsi tersebut. Akan ditunjukkan bahwa $M = x^* = 0.$

  1. Karena $M$ merupakan pembuat maksimum, haruslah $f(x) \le f(M)$ untuk setiap $x \in \mathbb{R}.$ Karena $0 \in \mathbb{R},$ dengan spesialisasi, diperoleh $f(0) \le f(M).$
  2. Karena $0$ merupakan pembuat maksimum, haruslah $f(x) \le f(0)$ untuk setiap $x \in \mathbb{R}.$ Karena $M \in \mathbb{R},$ dengan spesialisasi, diperoleh $f(M) \le f(0).$

Dengan demikian, didapat
$$\begin{aligned} f(M) & = f(0) \\ aM^2 + c & = a(0)^2 + c \\ aM^2 & = 0. \end{aligned}$$Karena $a < 0,$ diperoleh $M^2 = 0$ sehingga $M = 0.$
Jadi, terbukti bahwa $x^* = 0$ merupakan pembuat maksimum tunggal dari fungsi $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dengan $f(x) = ax^2 + c.$ $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 6

Buktikan bahwa terdapat tepat satu fungsi $f(x)$ sehingga $f'(x) = 2x$ dan $f(0) = 3.$
Catatan: Notasi $f'(x)$ menyatakan turunan pertama dari $f(x).$

Pembahasan

Misalkan $f(x)$ merupakan fungsi sehingga $f'(x) = 2x$ dan $f(0) = 3.$ Karena terdapat kata kunci “tepat satu”, dengan menggunakan metode ketunggalan, akan diberikan bukti eksistensi dan bukti ketunggalan seperti berikut.
Bukti eksistensi: Dengan menggunakan metode konstruksi, pilih $f(x) = x^2 + 3.$ Ini berarti $f'(x) = 2x$ dan $f(0) = 0^2 + 3 = 3.$ Jadi, terdapat fungsi $f(x)$ sehingga $f'(x) = 2x$ dan $f(0) = 3.$
Bukti ketunggalan: Dengan menggunakan metode ketunggalan langsung, misalkan terdapat fungsi lain $f_0(x)$ sehingga $f’_0(x) = 2x$ dan $f_0(0) = 3.$ Dengan kata lain, $f'(x) = 2x = f’_0(x)$ sehingga dua fungsi $f(x)$ dan $f_0(x)$ hanya berbeda pada konstantanya, yaitu terdapat konstanta $C$ sehingga $f(x) = f_0(x) + C.$ Akibatnya, $$3 = f(0) = f_0(0) + C = 3 + C$$sehingga nilai $C = 0.$ Jadi, haruslah $f(x) = f_0(x).$
Jadi, terbukti bahwa terdapat tepat satu fungsi $f(x)$ sehingga $f'(x) = 2x$ dan $f(0) = 3.$ $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 7

Buktikan bahwa jika $A$ merupakan matriks yang dapat dibalik berordo $n \times n,$ maka terdapat tepat satu matriks $C$ berordo $n \times n$ sehingga $AC = CA = I.$

Pembahasan

Misalkan $A$ merupakan matriks yang dapat dibalik berordo $n \times n.$ Karena terdapat kata kunci “tepat satu”, dengan menggunakan metode ketunggalan, akan diberikan bukti eksistensi dan bukti ketunggalan seperti berikut.
Bukti eksistensi: Berdasarkan definisi, suatu matriks $A$ berordo $n \times n$ dikatakan matriks yang dapat dibalik (invertible) jika terdapat matriks lain $C$ berordo $n \times n$ sehingga $$AC = CA = I.~~~~~(1)$$Dari definisi tersebut, matriks $C$ ada (exist).
Bukti ketunggalan: Sekarang akan ditunjukkan bahwa hanya terdapat tepat satu matriks $C$ yang memenuhi. Dengan menggunakan metode ketunggalan langsung, misalkan terdapat matriks lain $D$ sehingga $$AD = DA = I.~~~~(2)$$Akan ditunjukkan bahwa $C = D.$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} AC & = I && (\text{Persamaan 1}) \\ D(AC) & = DI && (\text{Kalikan}~D~\text{dari kiri pada kedua ruas}) \\ (DA)C & = D && (\text{Sifat asosiatif pada perkalian matriks dan definisi matriks identitas}) \\ IC & = D && (\text{Persamaan 2}) \\ C & = D && (\text{Definisi matriks identitas}). \end{aligned}$$Jadi, terdapat tepat satu matriks $C$ berordo $n \times n$ sehingga $AC = CA = I.$ Dari sini, disimpulkan bahwa proposisi tersebut terbukti benar. $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 8

Buktikan bahwa jika $A$ merupakan matriks yang dapat dibalik berordo $n \times n,$ maka untuk setiap vektor-$n$ $\textbf{b},$ terdapat tepat satu vektor-$n$ $\textbf{x}$ sehingga $A\textbf{x} = \textbf{b}.$

Pembahasan

Misalkan $A$ merupakan matriks yang dapat dibalik berordo $n \times n.$ Ambil sembarang vektor-$n$ $\textbf{b}.$ Karena terdapat kata kunci “tepat satu”, dengan menggunakan metode ketunggalan, akan diberikan bukti eksistensi dan bukti ketunggalan seperti berikut.
Bukti eksistensi: Karena $A$ dapat dibalik, $A^{-1}$ terdefinisi. Dengan menggunakan metode konstruksi, pilih $\textbf{x} = A^{-1}\textbf{b}$ dengan $\textbf{x}$ merupakan vektor-$n.$ Akan ditunjukkan bahwa $A\textbf{x} = \textbf{b}.$
$$\begin{aligned} A\textbf{x} & = A(A^{-1}\textbf{b}) && (\text{Substitusi}~\textbf{x} = A^{-1}\textbf{b})\\ & = (AA^{-1})\textbf{b} && (\text{Sifat asosiatif pada perkalian matriks}) \\ & = I\textbf{b} && (\text{Definisi invers matriks}) \\ & = \textbf{b} && (\text{Definisi matriks identitas}) \end{aligned}$$Jadi, terdapat vektor-$n$ $\textbf{x}$ sehingga $A\textbf{x} = \textbf{b}.$
Bukti ketunggalan: Sekarang akan ditunjukkan bahwa hanya terdapat tepat satu vektor-$n$ $\textbf{x}$ yang memenuhi. Dengan menggunakan metode ketunggalan langsung, misalkan terdapat vektor-$n$ lain $\textbf{y}$ sehingga $A\textbf{y} = \textbf{b}.$ Karena $A\textbf{x} = \textbf{b}$ dan $A\textbf{y} = \textbf{b},$ diperoleh
$$\begin{aligned} A\textbf{x} & = A\textbf{y} \\ A^{-1}(A\textbf{x}) & = A^{-1}(A\textbf{y}) && (\text{Kalikan}~A^{-1}~\text{dari kiri pada kedua ruas}) \\ (A^{-1}A)\textbf{x} & = (A^{-1}A)\textbf{y} && (\text{Sifat asosiatif pada perkalian matriks}) \\ I\textbf{x} & = I\textbf{y} && (\text{Definisi invers matriks}) \\ \textbf{x} & = \textbf{y} && (\text{Definisi matriks identitas}). \end{aligned}$$Jadi, terdapat tepat satu vektor-$n$ $\textbf{x}$ sehingga $A\textbf{x} = \textbf{b}.$
Dari sini, disimpulkan bahwa proposisi tersebut terbukti benar. $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 9

Buktikan bahwa jika $e$ merupakan elemen identitas dari grup $(G, \odot),$ maka $e$ merupakan satu-satunya elemen $G$ sehingga untuk setiap $a \in G,$ berlaku $a \odot e = e \odot a = a.$

Pembahasan

Misalkan $e$ merupakan elemen identitas dari grup $(G, \odot).$ Akan ditunjukkan bahwa $e$ merupakan satu-satunya elemen $G$ sehingga untuk setiap $a \in G,$ berlaku $a \odot e = e \odot a = a.$ Karena terdapat kata kunci “satu-satunya”, dengan menggunakan metode ketunggalan, akan diberikan bukti eksistensi dan bukti ketunggalan seperti berikut.
Bukti eksistensi: Karena $(G, \odot)$ grup, elemen $e$ sehingga $a \odot e = e \odot a = a$ untuk setiap $a \in G$ ada.
Bukti ketunggalan: Sekarang akan ditunjukkan bahwa hanya terdapat tepat satu elemen dari $G$ yang memenuhi kondisi seperti itu. Dengan menggunakan metode ketunggalan langsung, misalkan terdapat elemen identitas $f$ sehingga $a \odot f = f \odot a = a$ untuk setiap $a \in G.$ Karena $e$ merupakan elemen identitas, haruslah $f \odot e = f.$ Di sisi lain, karena $f$ juga merupakan elemen identitas, haruslah $f \odot e = e.$ Akibatnya, $e = f.$ Jadi, $e$ merupakan satu-satunya elemen $G$ sehingga untuk setiap $a \in G,$ berlaku $a \odot e = e \odot a = a.$ Dari sini, disimpulkan bahwa proposisi tersebut terbukti benar. $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 10

Buktikan bahwa jika $a^{-1}$ merupakan invers dari elemen $a$ pada grup $(G, \odot),$ maka $a^{-1}$ merupakan satu-satunya elemen $G$ sehingga $a \odot a^{-1} = a^{-1} \odot a = e$ dengan $e$ merupakan elemen identitas dari $(G, \odot).$

Pembahasan

Misalkan $a^{-1}$ merupakan invers dari elemen $a$ pada grup $(G, \odot).$ Akan ditunjukkan bahwa $a^{-1}$ merupakan satu-satunya elemen $G$ sehingga $a \odot a^{-1} = a^{-1} \odot a = e$ dengan $e$ merupakan elemen identitas dari $(G, \odot).$ Karena terdapat kata kunci “satu-satunya”, dengan menggunakan metode ketunggalan, akan diberikan bukti eksistensi dan bukti ketunggalan seperti berikut.
Bukti eksistensi: Karena $(G, \odot)$ grup, elemen $a^{-1}$ sehingga $a \odot a^{-1} = a^{-1} \odot a = e$ dijamin ada.
Bukti ketunggalan: Sekarang akan ditunjukkan bahwa hanya terdapat tepat satu elemen dari $G$ yang memenuhi kondisi seperti itu. Dengan menggunakan metode ketunggalan langsung, misalkan terdapat elemen lain $f$ sehingga $a \odot f = f \odot a = e.$ Dari sini, diperoleh
$$\begin{aligned} a \odot f & = e \\ a^{-1} \odot (a \odot f) & = a^{-1} \odot e && (\text{Operasikan}~a^{-1}~\text{dari kiri pada kedua ruas}) \\ (a^{-1} \odot a) \odot f & = a^{-1} && (\text{Sifat asosiatif dan}~e~\text{merupakan elemen identitas}) \\ e \cdot f & = a^{-1} && (\text{Hipotesis}) \\ f & = a^{-1} && (e~\text{merupakan elemen identitas}). \end{aligned}$$Jadi, $a^{-1}$ merupakan satu-satunya elemen $G$ sehingga $a \odot a^{-1} = a^{-1} \odot a = e$ dengan $e$ merupakan elemen identitas dari $(G, \odot).$ Dari sini, disimpulkan bahwa proposisi tersebut terbukti benar. $\blacksquare$

[collapse]