Teori peluang merupakan bagian penting dalam matematika yang mempelajari ukuran kemungkinan terjadinya suatu peristiwa dengan menganalisisnya secara numerik, sedangkan kombinatorika mempelajari tentang banyaknya cara menyusun sekumpulan objek.
Keduanya melibatkan konsep permutasi dan kombinasi. Kali ini, kita tidak membahas secara rinci tentang konsep tersebut. Pembaca diharapkan sudah mempelajari teori tentang kedua konsep tersebut dan sudah siap untuk mengerjakan soal-soal terkait dengannya.
Terkhusus untuk soal uraian, penulis dengan sengaja membuat beberapa subsoal (soal beranak) agar pembaca dapat memahami suatu kasus secara komplit melalui pemberian syarat-syarat tertentu. Hal ini didasari dari pengalaman penulis bahwa terkadang para pelajar tidak dapat menyelesaikan soal tertentu ketika soalnya dimodifikasi. Sebagai contoh untuk modifikasi itu, cara menyusun kata MATA: untuk subsoal pertama, penyusunannya tanpa syarat, sedangkan untuk subsoal kedua, penyusunannya diberikan syarat bahwa huruf A harus saling berdampingan.
Dari sini, pembaca diharapkan dapat lebih paham menyelesaikan masalah terkait materi yang bersangkutan. Semua soal di sini juga telah diberikan pembahasannya secara lengkap sehingga dapat dijadikan referensi untuk belajar. Meskipun begitu, tidak menutup kemungkinan terdapat bagian dari pembahasan tentang materi peluang ini yang kurang jelas/kurang dapat dimengerti oleh pembaca. Sejujurnya menurut penulis, materi peluang memang lebih gampangnya dijelaskan secara lisan (bukan melalui tulisan).
Oleh karena itu, silakan sampaikan bila ada hal-hal yang kurang jelas atau mungkin bila pembaca memiliki soal-soal tentang materi ini, semuanya dapat disampaikan melalui kolom komentar postingan di bawah. Bila soalnya unik dari soal yang ada, penulis akan tambahkan secara langsung di postingan ini.
Today Quote
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Peluang (Tingkat SMP/Sederajat)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Kombinatorika (Tingkat Lanjut)
Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Seorang murid diminta mengerjakan $8$ soal dari $18$ soal dengan ketentuan nomor $1$ sampai $5$ harus dikerjakan. Banyak pilihan soal yang dapat dipilih adalah $\cdots \cdot$
A. $1.716$ D. $286$
B. $816$ E. $56$
C. $626$
Dari ketentuan tersebut, murid itu hanya tinggal memilih $3$ soal lain dari $18-5 = 13$ soal yang ada karena $5$ soal telah ditetapkan untuk dikerjakan.
Pemilihan soal-soal tersebut bila dibolak-balik akan dianggap sama (misalnya, murid pilih nomor $8$, $13$, dan $18$, sama saja dengan dia memilih nomor $18$, $13$, dan $8$). Untuk itu, kita gunakan prinsip kombinasi.
$\begin{aligned} C^{13}_3 & = \dfrac{13!}{10! \cdot 3!} \\ & = \dfrac{13 \times \cancelto{2}{12} \times 11 \times \bcancel{10!}}{\bcancel{10!} \times \cancel{6}} \\ & = 13 \times 2 \times 11 = 286 \end{aligned}$
Jadi, banyak pilihan soal yang dapat dipilih adalah $\boxed{286}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 2
Pada suatu toko buah yang menjual jeruk, mangga, dan pisang. Wawa ingin membeli $20$ buah pada toko tersebut. Jika Wawa ingin membeli paling sedikit masing-masing $5$ buah, maka banyak komposisi buah yang mungkin dapat dibeli adalah $\cdots \cdot$
A. $12$ C. $18$ E. $24$
B. $15$ D. $21$
Berdasarkan ketentuan, Wawa wajib membeli $5$ buah jeruk, $5$ buah mangga, dan $5$ buah pisang. Ini artinya, dari $20$ buah yang diinginkan, ia masih dapat memilih $5$ buah yang lain.
Untuk buah ke-$16$ sampai $20$ (ada $5$ buah), masing-masing dapat dipilih $3$ jenis buah tanpa syarat sehingga banyak komposisi buahnya adalah $5 \times 3 = 15$.
(Jawaban B)
Soal Nomor 3
Di sebuah toko terdapat $5$ buku matematika, $4$ buku fisika, dan $3$ buku kimia yang dapat digunakan oleh siswa untuk belajar. Akan tetapi, siswa tersebut hanya boleh membeli $5$ buku. Bila ia memilih $2$ buku matematika, $2$ buku fisika, dan $1$ buku kimia, berapa cara siswa tersebut memilih $5$ buku yang dibeli?
A. $90$ C. $180$ E. $360$
B. $120$ D. $240$
Kasus memilih beberapa buku dari sekumpulan buku yang ada merupakan kasus kombinasi (misalkan A memilih buku 1 dan buku 2, sama saja dengan A memilih buku 2 dan buku 1).
Banyak cara memilih $2$ dari $5$ buku matematika adalah
$C_M = \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} = 10$
Banyak cara memilih $2$ dari $4$ buku fisika adalah
$C_F = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6$
Banyak cara memilih $1$ dari $3$ buku fisika adalah
$C_K = \dfrac{3!}{2! \cdot 1!} = 3$
Banyak cara memilih $2$ buku matematika, $2$ buku fisika, dan $1$ buku kimia adalah
$C_M \times C_F \times C_K = 10 \times 6 \times 3 = 180$
(Jawaban C)
Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Peluang Binomial
Soal Nomor 4
Kata LOKI disusun dari huruf L, O, K, dan I. Bila disusun secara alfabetis (sesuai abjad), maka kata LOKI berada pada urutan ke-$\cdots \cdot$
A. $12$ C. $16$ E. $20$
B. $15$ D. $18$
Huruf sesuai abjad: I, K, L, O.
Misalkan ada empat kotak kosong.
$\square \square \square \square$
Kotak pertama bisa diisi huruf I atau K (ada $2$), lalu $3$ huruf lainnya menyesuaikan masing-masing sebanyak $3! = 6$. Ini berarti, sudah ada $2 \times 6 = 12$ susunan kata yang terbentuk.
Sekarang: $\text{L}~\square \square \square$
Kotak kedua bisa diisi huruf I atau K, lalu $2$ huruf lainnya menyesuaikan masing-masing sebanyak $2! = 2$. Ini berarti, sudah ada $4$ susunan kata yang terbentuk.
Berikutnya: $\text{L}~\text{O}~ \square \square$
Kata berikutnya adalah LOIK (urutan ke-$17$), lalu LOKI (urutan ke-$18$).
Jadi, LOKI berada pada urutan ke-$18$.
(Jawaban D)
Soal Nomor 5
Berapa banyak permutasi dari kata MISSISSIPI?
A. $6.300$ D. $525$
B. $2.100$ E. $200$
C. $1.050$
MISSISSIPI terdiri dari $10$ huruf dengan huruf S muncul $4$ kali, huruf I muncul $4$ kali, dan M serta P muncul masing-masing sekali.
Banyaknya permutasi dari kesepuluh huruf tersebut ditentukan dengan menerapkan prinsip Permutasi Berulang, yaitu
$\dfrac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdots k_m!}$
dengan $n$ menyatakan banyak huruf seluruhnya dan $k_i$ menyatakan banyaknya kemunculan huruf penyusunnya.
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{10!}{4! \cdot 4! \cdot 1! \cdot 1!} & = \dfrac{10 \cdot \cancelto{3}{9} \cdot \cancel{8} \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cancel{4!}}{\cancel{24} \cdot \cancel{4!}} \\ & = 6.300 \end{aligned}$
Jadi, ada $6.300$ permutasi dari kata MISSISSIPI.
(Jawaban A)
Soal Nomor 6
Kata MATEMATIKA disusun dari huruf M, A, T, E, M, A, T, I, K, dan A. Bila disusun secara alfabetis (sesuai abjad), maka kata MATEMATIKA berada pada urutan ke-$\cdots \cdot$
A. $89.262$ D. $99.162$
B. $98.002$ E. $99.262$
C. $98.122$
MATEMATIKA terdiri dari $10$ huruf yang meliputi $2$ huruf M, $3$ huruf A, $2$ huruf T, dan masing-masing $1$ huruf E, I, dan K.
Kita akan menyusun $10$ huruf ini secara alfabetis menggunakan prinsip Permutasi Berulang.
Susunan huruf: A _ _ _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $9$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{9!}{\underbrace{2!}_{A} \times \underbrace{2!}_{T} \times \underbrace{2!}_{M}} = 45.360$
Susunan huruf: I _ _ _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $9$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{9!}{\underbrace{3!}_{A} \times \underbrace{2!}_{T} \times \underbrace{2!}_{M}} = 15.120$
Susunan huruf: K _ _ _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $9$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{9!}{\underbrace{3!}_{A} \times \underbrace{2!}_{T} \times \underbrace{2!}_{M}} = 15.120$
Susunan huruf: M A A _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $7$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{7!}{\underbrace{2!}_{T} } = 2.520$
Susunan huruf: M A E _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $7$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{7!}{\underbrace{2!}_{T} \times \underbrace{2!}_{A}} = 1.260$
Susunan huruf: M A I _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $7$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{7!}{\underbrace{2!}_{T} \times \underbrace{2!}_{A}} = 1.260$
Susunan huruf: M A K _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $7$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{7!}{\underbrace{2!}_{T} \times \underbrace{2!}_{A}} = 1.260$
Susunan huruf: M A M _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $7$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{7!}{\underbrace{2!}_{T} \times \underbrace{2!}_{A}} = 1.260$
Susunan huruf: M A T A _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $6$ huruf lainnya adalah $6! = 720$
Susunan huruf: M A T E A _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $5$ huruf lainnya adalah $5! = 120$
Susunan huruf: M A T E I _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $5$ huruf lainnya adalah $\dfrac{5!}{\underbrace{2!}_{A}} = 60$
Susunan huruf: M A T E K _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $5$ huruf lainnya adalah $\dfrac{5!}{\underbrace{2!}_{A}} = 60$
Susunan huruf: M A T E M A A _ _ _
Banyak cara menyusun $3$ huruf lainnya adalah $3! = 6$.
Susunan huruf: M A T E M A I _ _ _
Banyak cara menyusun $3$ huruf lainnya adalah $3! = 6$.
Susunan huruf: M A T E M A K _ _ _
Banyak cara menyusun $3$ huruf lainnya adalah $3! = 6$.
Susunan huruf: M A T E M A T A _ _
Banyak cara menyusun $3$ huruf lainnya adalah $3! = 6$.
Susunan huruf: M A T E M A T I A K
Banyak cara susunan huruf adalah $1$.
Terakhir: M AT E M A T I K A
Urutan ke:
$45.360+3(15.120)+2.520+4(1.260)$ $+720+2(60)+3(6)+2+1+1 = 99.262$
Jadi, kata MATEMATIKA berada pada urutan ke-$99.262$.
(Jawaban E)
Soal Nomor 7
Kata INDONESIA disusun dari huruf I, N, D, O, N, E, S, I, dan A. Bila disusun secara alfabetis (sesuai abjad), maka kata INDONESIA berada pada urutan ke-$\cdots \cdot$
A. $27.168$ D. $30.524$
B. $28.192$ E. $31.524$
C. $29.998$
INDONESIA terdiri dari $9$ huruf yang meliputi $2$ huruf I, $2$ huruf N, dan masing-masing $1$ huruf D, O, E, S, dan A.
Kita akan menyusun $9$ huruf ini secara alfabetis menggunakan prinsip Permutasi Berulang.
Susunan huruf: A _ _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $8$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{8!}{\underbrace{2!}_{I} \times \underbrace{2!}_{N}} = 10.080$
Susunan huruf: D _ _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $8$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{8!}{\underbrace{2!}_{I} \times \underbrace{2!}_{N}} = 10.080$
Susunan huruf: E _ _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $8$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{8!}{\underbrace{2!}_{I} \times \underbrace{2!}_{N}} = 10.080$
Susunan huruf: I A _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $7$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{7!}{\underbrace{2!}_{N}} = 2.520$
Susunan huruf: I D _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $7$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{7!}{\underbrace{2!}_{N}} = 2.520$
Susunan huruf: I E _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $7$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{7!}{\underbrace{2!}_{N}} = 2.520$
Susunan huruf: I I _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $7$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{7!}{\underbrace{2!}_{N}} = 2.520$
Susunan huruf: I N A _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $6$ huruf lainnya adalah $6! = 720$.
Susunan huruf: I N D A _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $5$ huruf lainnya adalah $5! = 120$.
Susunan huruf: I N D E _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $5$ huruf lainnya adalah $5! = 120$.
Susunan huruf: I N D I _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $5$ huruf lainnya adalah $5! = 120$.
Susunan huruf: I N D N _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $5$ huruf lainnya adalah $5! = 120$.
Susunan huruf: I N D O A _ _ _ _
Banyak cara menyusun $4$ huruf lainnya adalah $4! = 24$.
Susunan huruf: I N D O E _ _ _ _
Banyak cara menyusun $4$ huruf lainnya adalah $4! = 24$.
Susunan huruf: I N D O I _ _ _ _
Banyak cara menyusun $4$ huruf lainnya adalah $4! = 24$.
Susunan huruf: I N D O N A _ _ _
Banyak cara menyusun $3$ huruf lainnya adalah $3! = 6$.
Susunan huruf: I N D O N E A _ _
Banyak cara menyusun $2$ huruf lainnya adalah $2! = 2$.
Susunan huruf: I N D O N E I _ _
Banyak cara menyusun $2$ huruf lainnya adalah $2! = 2$.
Susunan huruf: I N D O N E S A _
Banyak cara menyusun $1$ huruf lainnya adalah $1! = 1$.
Terakhir: I N D O N E S I A
Urutan ke:
$2(10.080)+4(2.520)+720+4(120)$ $ +3(24)+6+2(2)+1+1 = 31.524$
Jadi, kata INDONESIA berada pada urutan ke-$31.524$.
(Jawaban E)
Soal Nomor 8
Suatu delegasi terdiri dari $3$ pria dan $3$ wanita yang dipilih dari himpunan $5$ pria yang berbeda usia dan $5$ wanita yang berbeda usia juga. Delegasi itu hanya boleh mencakup paling banyak hanya satu anggota termuda dari masing-masing kalangan. Dengan persyaratan itu, banyak cara menyusun keanggotaan delegasi adalah $\cdots \cdot$
A. $52$ C. $60$ E. $72$
B. $56$ D. $64$
Dari $5$ pria dan $5$ wanita, terdapat masing-masing $1$ pria dan $1$ wanita yang usianya paling muda.
Syarat yang diberikan adalah delegasi mencakup PALING BANYAK (berarti boleh kurang) satu anggota termuda dari masing-masing kalangan.
Kemungkinan 1: Tidak terpilih anggota termuda dari kedua kalangan
Tersisa $4$ pria dan $4$ wanita, lalu dipilih $3$ pria dan $3$ wanita.
Banyak cara pemilihannya masing-masing menggunakan aturan kombinasi, yaitu
$\begin{aligned} C^4_3 \times C^4_3 & = \dfrac{4!}{3! \cdot 1!} \times \dfrac{4!}{3! \cdot 1!} \\ & = 4 \times 4 = 16 \end{aligned}$
Kemungkinan 2: Terpilih anggota termuda dari kalangan pria
Tersisa $4$ pria dan $4$ wanita, lalu dipilih $2$ pria (pria termuda sudah terpilih) dan $3$ wanita.
Banyak cara pemilihannya masing-masing menggunakan aturan kombinasi, yaitu
$\begin{aligned} C^4_2 \times C^4_3 & = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} \times \dfrac{4!}{3! \cdot 1!} \\ & = 6 \times 4 = 24 \end{aligned}$
Kemungkinan 3: Terpilih anggota termuda dari kalangan wanita
Tersisa $4$ pria dan $4$ wanita, lalu dipilih $3$ pria dan $2$ wanita (wanita termuda sudah terpilih).
Banyak cara pemilihannya masing-masing menggunakan aturan kombinasi, yaitu
$\begin{aligned} C^4_3 \times C^4_2 & = \dfrac{4!}{3! \cdot 1!} \times \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} \\ & = 4 \times 6= 24 \end{aligned}$
Jadi, banyak cara menyusun keanggotaan delegasi itu adalah $\boxed{16+24+24=64}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 9
Dua kelas masing-masing terdiri atas $30$ siswa. Satu siswa dipilih dari tiap-tiap kelas. Peluang terpilih keduanya laki-laki adalah $\dfrac{7}{36}$. Peluang terpilih keduanya perempuan adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{23}{180}$ D. $\dfrac{32}{180}$
B. $\dfrac{26}{180}$ E. $\dfrac{35}{180}$
C. $\dfrac{29}{180}$
Masing-masing kelas terdiri dari $30$ siswa.
Peluang terpilih keduanya laki-laki adalah
$P(L) = \dfrac{7}{36} = \dfrac{7 \times 25}{900} = \dfrac{7}{30} \times \dfrac{25}{30}$
Dari bentuk di atas, kita dapat ketahui bahwa dari $30$ siswa, terdapat $7$ siswa laki-laki di kelas pertama dan $25$ siswa laki-laki di kelas kedua.
Dengan demikian, peluang terpilih keduanya perempuan adalah
$\begin{aligned} P(P) & = \dfrac{30-7}{30} \times \dfrac{30-25}{30} \\ & = \dfrac{23}{30} \times \dfrac{\cancel{5}}{\cancelto{6}{30}} = \dfrac{23}{180} \end{aligned}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 10
Siska adalah seorang siswi SMA yang sangat menyukai es krim. Pada saat mengunjungi kota Probolinggo, ia melihat ada sebuah toko yang menyediakan $6$ rasa es krim. Apabila Siska ingin membeli $10$ es krim dan harus memuat $3$ rasa es krim, serta ia juga ingin membeli minimal $2$ es krim untuk setiap masing-masing $3$ rasa tersebut, maka banyak kombinasi cara Siska membeli es krim adalah $\cdots$ cara.
A. $15$ D. $150$
B. $20$ E. $300$
C. $75$
Banyak cara memilih $3$ dari $6$ rasa dapat ditentukan dengan menggunakan aturan kombinasi, yaitu
$\begin{aligned} C^6_3 & = \dfrac{6!}{3! \cdot 3!} \\ & = \dfrac{\bcancel{6} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cancel{3!}}{\cancel{3!} \cdot \bcancel{6}} = \color{red}{20} \end{aligned}$
Misalkan $3$ rasa es krim itu kita simbolkan sebagai $A, B$, dan $C$. Kita dapat membuat tabel yang menginformasikan banyaknya es krim untuk $3$ rasa tersebut dengan syarat masing-masingnya minimal $2$ dan jumlah keseluruhannya $10$.
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline A & B & C & \text{Banyak Susunan} \\ \hline 2 & 3 & 5 & 3! = 6 \\ \hline 2 & 2 & 6 & \dfrac{3!}{2!} = 3 \\ \hline 2 & 4 & 4 & \dfrac{3!}{2!} = 3 \\ \hline 3 & 3 & 4 & \dfrac{3!}{2!} = 3 \\ \hline \end{array}$
Petunjuk: Banyak susunan artinya banyak cara kita menyusun $3$ bilangannya. Misalkan, untuk menyusun $334$ (ada $3$ angka dan $2$ angka yang sama), ada sebanyak $\dfrac{3!}{2!} = 3$ cara.
Jumlah susunan tersebut semuanya adalah $6+3+3+3=\color{blue}{15}$.
Dengan demikian, banyak kombinasi Siska membeli es krim adalah $\boxed{\color{red}{20} \times \color{blue}{15} = 300}$.
(Jawaban E)
Soal Nomor 11
Dalam sebuah pesta terjadi $55$ kali salaman. Jika tiap $2$ orang tepat $1$ kali bersalaman, maka banyaknya orang yang menghadiri pesta tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $11$ C. $17$ E. $23$
B. $14$ D. $20$
Misalkan ada sebanyak $n$ orang dalam pesta tersebut.
Bersalaman melibatkan $2$ orang dan dibolak-balik posisi orangnya tetap dihitung sama (misalnya: A bersalaman dengan B, sama saja artinya B bersalaman dengan A), sehingga kita menggunakan prinsip kombinasi untuk menyelesaikan ini.
Kombinasi $2$ objek dari $n$ objek menyatakan banyaknya salaman yang terjadi.
$\begin{aligned} C^n_2 & = 55 \\ \dfrac{n!}{(n-2)! \cdot 2!} & = 55 \\ \dfrac{n \cdot (n-1) \cdot \cancel{(n-2)!}}{\cancel{(n-2)!}} & = 110 \\ n(n-1) & = 110 \\ n^2-n-110 & = 0 \\ (n-11)(n+10) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $n=11$ atau $n=-10$.
Karena $n$ menyatakan banyak orang, maka nilainya tidak mungkin negatif. Jadi, diambil $n = 11$. Artinya, ada $11$ orang yang menghadiri pesta tersebut.
Cara Lain:
Cara ini biasa dipakai oleh siswa peserta olimpiade tingkat SD.
Ilustrasi: Ketika ada $5$ orang bernama A, B, C, D, dan E akan bersalaman satu sama lain tepat sekali, maka dapat dibuat suatu pemikiran/asumsi seperti berikut.
A $4$ kali bersalaman, yaitu dengan B, C, D, dan E.
B $3$ kali bersalaman, yaitu dengan C, D, dan E.
C $2$ kali bersalaman, yaitu dengan D dan E.
D $1$ kali bersalaman, yaitu dengan E.
E tidak bersalaman.
Perhatikan bahwa ketika A bersalaman dengan E, saat itu E juga bersalaman dengan A sehingga kita tidak perlu menghitungnya dua kali (kita anggap “E tidak bersalaman”).
Banyak salaman: 1+2+3+4=10$.
Dengan prinsip yang sama, jika ada $n$ orang dan terjadi 55$ kali salaman, maka kita peroleh persamaan aljabar:
$1+2+3+\cdots+(n-1) = 55$
Tanpa perlu menggunakan rumus $\text{S}_n$ (deret aritmetika), akan lebih efektif bila kita langsung menerka saja nilai $n$.
Periksa bahwa ketika $n = 11$, maka
$1+2+3+\cdots+(11-1) = 55$
dan memang benar bahwa penjumlahan $1$ sampai $10$ menghasilkan $55$.
Jadi, ada $11$ orang yang menghadiri pesta tersebut.
(Jawaban A)
Soal Nomor 12
Nomor polisi mobil di suatu negara terdiri dari $4$ angka. Jika jumlah keempat angka pada setiap nomor harus genap, maka mobil yang bisa terdaftar di negara itu paling banyak ada $\cdots$ unit.
A. $600$ D. $4.500$
B. $1.800$ E. $5.000$
C. $2.000$
Soal Nomor 13
Pada sebuah negara, pelat kendaraan terdiri dari $2$ angka diikuti $3$ abjad. Anggap bahwa angka $0$ boleh ditaruh di muka. Berapa maksimum jumlah pelat yang dapat dibuat di negara tersebut?
A. $1.757.600$
B. $1.423.656$
C. $1.404.000$
D. $1.265.625$
E. $1.080.000$
Dua karakter di depan dapat diisi oleh dua angka apapun (dari $0$ sampai $9$, ada sebanyak $10$ angka) sehingga akan ada $10 \times 10 = \color{blue}{100}$ susunan berbeda.
Tiga karakter di belakangnya diisi oleh tiga huruf (dari $a$ sampai $z$, ada sebanyak $26$ huruf) sehingga akan ada $26 \times 26 \times 26 = \color{red}{17.576}$ susunan.
Secara keseluruhan, maksimum jumlah pelat yang dapat dibuat di negara tersebut adalah $\boxed{\color{blue}{100} \times \color{red}{17.576} = 1.757.600}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 14
Dalam suatu kegiatan internasional, terdapat $3$ orang Amerika, $4$ orang Perancis, $4$ orang Jerman, dan $2$ orang Italia. Mereka diposisikan duduk melingkar dengan syarat warga negara yang sama harus duduk berdampingan. Banyak cara mengatur susunan duduk mereka adalah $\cdots \cdot$
A. $1.152$ D. $13.824$
B. $2.304$ E. $27.648$
C. $4.608$
Posisi duduk mereka melingkar membentuk lingkaran sehingga penyusunannya menggunakan prinsip Permutasi Siklis.
Masing-masing warga negara yang sama harus duduk berdampingan. Karena itu, kita misalkan $3$ orang Amerika sebagai satu objek, $4$ orang Perancis sebagai satu objek, $4$ orang Jerman sebagai satu objek, dan $2$ orang Italia sebagai satu objek, sehingga totalnya ada $4$ objek.
Banyak cara mengatur $4$ objek ini berlandaskan prinsip Permutasi Siklis adalah $\color{red}{(4-1)! = 3!}$.
Untuk mengatur posisi duduk $2$ orang Amerika, gunakan prinsip Permutasi biasa: $\color{red}{2!}$.
Dengan cara yang sama, banyak cara mengatur posisi duduk $4$ orang Perancis, $4$ orang Jerman, dan $2$ orang Italia berturut-turut adalah $\color{red}{4!, 4!}$, dan $\color{red}{2!}$.
Jadi, banyak cara mengatur susunan duduk mereka semua adalah
$\begin{aligned} & 3! \cdot 2! \cdot 4! \cdot 4! \cdot 2! \\ & = 6 \cdot 2 \cdot 24 \cdot 24 \cdot 2 = 13.824 \end{aligned}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 15
Zaki akan membuat sebuah surel (surat elektronik/email). Untuk keperluan itu, ia memerlukan sebuah kata sandi (password) yang terdiri dari delapan karakter. Kata sandi dikatakan baik jika menggabungkan antara huruf dan angka. Zaki akan menggunakan namanya pada empat karakter awal atau akhir secara berturut-turut, kemudian ditambahkan dengan empat buah angka berbeda dari $0, 1, 2, \cdots, 9$ secara acak, misalnya $\text{ZAKI}1234$, $\text{ZAKI}4321$, $0321\text{ZAKI}$, $3214\text{ZAKI}$, dan lain-lain. Banyaknya kata sandi surel yang dapat digunakan Zaki adalah $\cdots \cdot$
A. $5.040$ D. $20.000$
B. $10.080$ E. $20.160$
C. $15.120$
Banyaknya susunan bilangan 4-angka yang digit-digitnya tersusun dari angka $0$ sampai $9$ dan angkanya berlainan adalah $10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5.040$.
Karena kata $\text{ZAKI}$ bisa ditaruh di depan atau di belakang (ada $2$ posisi), maka secara keseluruhan, ada $\boxed{2 \times 5.040 = 10.080}$ kata sandi surel yang dapat dibuat olehnya.
(Jawaban B)
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Seorang anak mengunjungi toko yang menyediakan beberapa model skateboard. Toko itu menawarkan tiga macam papan, dua macam set roda, dan dua macam set perlengkapan kecil, serta empat macam set sumbu.
Tentukan banyak tipe skateboard berbeda yang dapat dipilih anak tersebut jika:
- tanpa syarat;
- $2$ dari $4$ set sumbu tidak akan dipilih anak tersebut.
Banyak tipe skateboard yang dapat dibentuk sama dengan hasil perkalian dari jumlah masing-masing komponennya, yaitu
$\underbrace{3}_{\text{papan}} \times \underbrace{2}_{\text{set roda}} \times \underbrace{2}_{\text{perlengkapan}} \times \underbrace{4}_{\text{set sumbu}}= 48$
Jadi, ada $48$ tipe skateboard berbeda yang dapat dipilih.
Karena $2$ dari $4$ set sumbu tidak dipilih, maka dengan menggunakan aturan perkalian seperti pembahasan (a), kita peroleh
$\underbrace{3}_{\text{papan}} \times \underbrace{2}_{\text{set roda}} \times \underbrace{2}_{\text{perlengkapan}} \times \underbrace{2}_{\text{set sumbu}}= 24$
Jadi, hanya ada $24$ tipe skateboard berbeda yang dapat dipilih.
Soal Nomor 2
Sebuah keluarga merencanakan mempunyai tiga orang anak. Tentukan peluang keluarga tersebut mempunyai:
a. $3$ anak laki-laki;
b. paling sedikit $2$ anak laki-laki;
c. paling banyak $2$ anak perempuan.
Dalam kasus ini, peluang kelahiran anak laki-laki dan perempuan diasumsikan ideal, yaitu sama-sama $\dfrac12$. Banyak titik sampelnya adalah $2^3 = 8$.
Keluarga tersebut menginginkan ketiga anaknya laki-laki: LLL.
Jadi, peluangnya sebesar $\boxed{\dfrac18}$
Dalam kasus ini, peluang kelahiran anak laki-laki dan perempuan diasumsikan ideal, yaitu sama-sama $\dfrac12$. Banyak titik sampelnya adalah $2^3 = 8$.
Keluarga tersebut menginginkan paling sedikit $2$ anak laki-laki.
Ada $2$ kemungkinan:
1. Dua laki-laki: LLP, LPL, PLL.
Peluang kelahiran dua anak laki-laki adalah $\dfrac{3}{8}$.
2. Ketiganya laki-laki: LLL
Dari pembahasan (a), telah diketahui bahwa peluangnya sebesar $\dfrac18$.
Jadi, peluang kelahiran paling sedikit dua anak laki-laki adalah $\dfrac38 + \dfrac18 = \dfrac12$.
Keluarga tersebut menginginkan paling banyak $2$ anak perempuan (tidak boleh $3$).
Peluang kelahiran $3$ anak perempuan sama dengan peluang kelahiran $3$ anak laki-laki, yaitu $\color{red}{\dfrac18}$.
Jadi, peluang kelahiran paling paling banyak $2$ anak perempuan adalah $1-\color{red}{\dfrac18} = \dfrac78$.
Soal Nomor 3
Bilangan terdiri dari $4$ angka yang disusun dari angka $1, 2, 3, 5, 6$, dan $7$. Tentukan banyak susunan bilangan bila:
a. Angka-angkanya berlainan;
b. Angka-angkanya boleh berulang.
Penyusunan angka seperti ini akan dianggap berbeda meskipun angkanya dibolak-balik (misalnya, $123 \neq 321$) sehingga kita menerapkan prinsip permutasi.
Bilangan 4-angka: XXXX, diisi oleh angka $1, 2, 3$, $5, 6, 7$ dengan syarat angkanya berlainan (tidak boleh diulang). Dengan menggunakan metode filling slot:
Kotak ribuan bisa diisi oleh $6$ angka.
Kotak ratusan bisa diisi oleh $5$ angka.
Kotak puluhan bisa diisi oleh $4$ angka.
Kotak satuan bisa diisi oleh $3$ angka.
Banyak susunan yang mungkin adalah $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$.
Selain itu, perhitungannya juga dapat menggunakan rumus permutasi.
$P^6_4 = \dfrac{6!}{(6-4)!} = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cancel{2!}}{\cancel{2!}} = 360$
Bilangan 4-angka: XXXX, diisi oleh angka $1, 2, 3$, $5, 6, 7$ dan angkanya boleh berulang.
Kotak ribuan bisa diisi oleh $6$ angka.
Kotak ratusan bisa diisi oleh $6$ angka.
Kotak puluhan bisa diisi oleh $6$ angka.
Kotak satuan bisa diisi oleh $6$ angka.
Banyak susunan yang mungkin adalah $6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 1.296$.
Soal Nomor 4
Dari angka $3, 5, 6, 7$, atau $9$ akan dibuat bilangan yang terdiri atas $3$ angka yang berlainan. Tentukan banyak susunan bilangan yang mungkin dibentuk bila:
a. bilangannya lebih dari $400$, tetapi kurang dari $800$;
b. bilangannya kurang dari $579$;
c. bilangannya lebih dari $650$;
Angka: $3, 5, 6, 7, 9$
Syarat bilangan: $400 < x < 800$
Syarat lain: Angkanya berlainan
Gunakan metode filling slot.
Untuk kotak ratusan, hanya ada $\color{red}{3}$ angka yang memenuhi ($5, 6, 7$).
Untuk kotak puluhan, tersisa $\color{red}{4}$ angka yang memenuhi ($1$ angka sudah terpakai).
Untuk kotak satuan, tersisa $\color{red}{3}$ angka yang memenuhi ($2$ angka sudah terpakai).
Jadi, banyak bilangan yang dapat disusun berdasarkan syarat di atas adalah $\color{red}{3 \times 4 \times 3} = 36$
Angka: $3, 5, 6, 7, 9$
Syarat bilangan: $x < 579$
Syarat lain: Angkanya berlainan
Gunakan metode filling slot.
Untuk soal ini, kita harus jabarkan syarat $x < 579$ sebagai berikut.
Pertama: $x < 500$.
Untuk kotak ratusan, hanya ada $\color{red}{1}$ angka yang memenuhi, yaitu $3$.
Untuk kotak puluhan, tersisa $\color{red}{4}$ angka yang memenuhi ($1$ angka sudah terpakai).
Untuk kotak satuan, tersisa $\color{red}{3}$ angka yang memenuhi ($2$ angka sudah terpakai).
Jadi, ada $1 \times 4 \times 3 = \color{blue}{12}$ bilangan yang memenuhi kriteria ini.
Kedua: $500 \leq x < 570$
Untuk kotak ratusan, hanya ada $\color{red}{1}$ angka yang memenuhi, yaitu $5$.
Untuk kotak puluhan, tersisa $\color{red}{2}$ angka yang memenuhi, yaitu $3$ dan $6$.
Untuk kotak satuan, tersisa $\color{red}{3}$ angka yang memenuhi ($2$ angka sudah terpakai).
Jadi, ada $1 \times 2 \times 3 = \color{blue}{6}$ bilangan yang memenuhi kriteria ini.
Ketiga: $570 \leq x < 579$
Secara manual, kita peroleh bilangan $573$ dan $576$.
Jadi, hanya ada $\color{blue}{2}$ bilangan untuk kriteria ini.
Dengan demikian, banyak bilangan yang dapat disusun berdasarkan syarat di atas adalah $\boxed{\color{blue}{12+6+2} = 20}$.
Angka: $3, 5, 6, 7, 9$
Syarat bilangan: $x > 650$
Syarat lain: Angkanya berlainan
Gunakan metode filling slot.
Untuk soal ini, kita harus jabarkan syarat $x > 650$ sebagai berikut.
Pertama: $x > 700$.
Untuk kotak ratusan, hanya ada $\color{red}{2}$ angka yang memenuhi, yaitu $7$ dan $9$.
Untuk kotak puluhan, tersisa $\color{red}{4}$ angka yang memenuhi ($1$ angka sudah terpakai).
Untuk kotak satuan, tersisa $\color{red}{3}$ angka yang memenuhi ($2$ angka sudah terpakai).
Jadi, ada $2 \times 4 \times 3 = \color{blue}{24}$ bilangan yang memenuhi kriteria ini.
Kedua: $650 < x < 700$
Untuk kotak ratusan, hanya ada $\color{red}{1}$ angka yang memenuhi, yaitu $6$.
Untuk kotak puluhan, tersisa $\color{red}{3}$ angka yang memenuhi, yaitu, $5$, $7$, dan $9$.
Untuk kotak satuan, tersisa $\color{red}{3}$ angka yang memenuhi ($2$ angka sudah terpakai).
Jadi, ada $2 \times 3 \times 2 = \color{blue}{12}$ bilangan yang memenuhi kriteria ini.
Dengan demikian, banyak bilangan yang dapat disusun berdasarkan syarat di atas adalah $\boxed{\color{blue}{24+12} = 36}$.
Soal Nomor 5
Kotak $A$ berisi $2$ bola merah dan $3$ bola putih. Kotak $B$ berisi $5$ bola merah, $2$ bola kuning, dan $3$ bola putih. Dari masing-masing kotak, diambil satu bola. Tentukan peluang dari masing-masing kejadian berikut.
- Terambil bola merah dari kotak $A$ dan bola putih dari kotak $B$;
- Terambil bola putih dari kedua kotak;
- Terambil bola putih dari kotak $A$ dan bukan bola kuning dari kotak $B$.
Pengambilan $1$ bola pada masing-masing kotak melibatkan aturan perkalian peluang.
Jumlah bola di kotak A = $\color{red}{5}$
Jumlah bola di kotak B = $\color{blue}{10}$
Kotak A: Merah
Kotak B: Putih
Ada $2$ bola merah di kotak A sehingga peluang terambilnya $1$ bola merah di kotak A adalah $P(A = \text{merah}) = \dfrac{2}{\color{red}{5}}$.
Ada $3$ bola putih di kotak B sehingga peluang terambilnya $1$ bola putih di kotak B adalah $P(B = \text{putih}) = \dfrac{3}{\color{blue}{10}}$.
Jadi, peluang terambilnya $1$ bola merah di kotak A dan $1$ bola putih di kotak B adalah
$\begin{aligned} & P(A = \text{merah}) \times P(B = \text{putih}) \\ & = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{3}{25} \end{aligned}$
Kotak A: Putih
Kotak B: Putih
Ada $3$ bola putih di kotak A sehingga peluang terambilnya $1$ bola putih di kotak A adalah $P(A = \text{putih}) = \dfrac{3}{\color{red}{5}}$.
Ada $3$ bola putih di kotak B sehingga peluang terambilnya $1$ bola putih di kotak B adalah $P(B = \text{putih}) = \dfrac{3}{\color{blue}{10}}$.
Jadi, peluang terambilnya $1$ bola putih di kotak A dan $1$ bola putih di kotak B adalah
$\begin{aligned} & P(A = \text{putih}) \times P(B = \text{putih}) \\ & = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{9}{50} \end{aligned}$
Kotak A: Putih
Kotak B: Bukan Kuning, artinya Merah atau Putih
Ada $3$ bola putih di kotak A sehingga peluang terambilnya $1$ bola putih di kotak A adalah $P(A = \text{merah}) = \dfrac{3}{\color{red}{5}}$.
Ada $5+3=8$ bola bukan kuning di kotak B sehingga peluang terambilnya $1$ bola bukan kuning di kotak B adalah $P(B = \text{bukan kuning}) = \dfrac{8}{\color{blue}{10}} = \dfrac45$.
Jadi, peluang terambilnya $1$ bola putih di kotak A dan $1$ bola bukan kuning di kotak B adalah
$\begin{aligned} & P(A = \text{putih}) \times P(B = \text{bukan kuning}) \\ & = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{12}{25} \end{aligned}$
Soal Nomor 6
Dalam sebuah kotak terdapat $6$ bola putih, $3$ bola hijau, dan $4$ bola biru. Dari kotak tersebut diambil $3$ bola satu per satu tanpa pengembalian. Tentukan peluang terambilnya:
- tiga bola putih;
- bola hijau pada pengambilan pertama, bola putih pada pengembalian kedua, dan bola biru pada pengembalian ketiga;
- bola putih pada pengambilan pertama, bola putih lagi pada pengembalian kedua, dan bola hijau atau biru pada pengembalian ketiga;
Soal Nomor 7
Dari $10$ calon pengurus desa akan dipilih ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara. Tentukan banyak cara memilih bila:
a. tidak ada persyaratan;
b. hanya $4$ calon yang bersedia menjadi ketua;
Kita memperhatikan urutan pemilihan calon pengurus desa karena adanya unsur posisi/jabatan (misalnya, AB = A sebagai ketua dan B wakil ketua, jelas berbeda dengan BA = B sebagai ketua dan A wakil ketua), sehingga ini termasuk kasus permutasi, yaitu $\color{red}{4}$ dari $10$ objek (angka $\color{red}{4}$ didapat dari banyaknya jabatan yang ada).
$\begin{aligned} P^{10}_4 & = \dfrac{10!}{6!} \\ & = \dfrac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times \cancel{6!}}{\cancel{6!}} = 5.040 \end{aligned}$
Jadi, ada $\boxed{5.040}$ cara yang dapat dilakukan untuk memilih mereka.
Posisi ketua hanya dapat diisi oleh $4$ dari $10$ calon.
Untuk itu, kita gunakan metode filling slot untuk menentukan banyak pemilihannya.
Slot Ketua: $4$
Dipilih $1$ calon, tersisa $9$ calon lainnya untuk menjadi wakil ketua.
Slot Wakil Ketua: $9$
Dipilih $1$ calon, tersisa $8$ calon lainnya untuk menjadi sekretaris.
Slot Sekretaris: $8$
Dipilih $1$ calon, tersisa $7$ calon lainnya untuk menjadi bendahara.
Slot Bendahara: $7$
Jadi, banyak cara pemilihannya adalah $\boxed{4 \times 9 \times 8 \times 7 = 36×56 = 2016}$
Soal Nomor 8
Terdapat $6$ orang dan $3$ kursi. Tentukan banyak cara duduk di kursi yang mungkin terjadi bila:
- tanpa syarat;
- $1$ orang selalu duduk dari kursi tertentu;.
- $2$ orang tertentu harus sama-sama duduk atau sama-sama berdiri.
Dalam penyusunan posisi duduk di kasus ini, kita tidak memperhatikan urutan pemilihan mereka. Misal, ketika dipilih A, B, C duduk di kursi, artinya sama saja bila dipilih B, A, C (dibolak-balik dianggap sama), karena yang dipermasalahkan adalah posisi duduk dan berdiri. Jadi, ini adalah kasus kombinasi.
Banyak cara $6$ orang duduk di $3$ kursi tanpa syarat apapun adalah
$\begin{aligned} C^6_3 & = \dfrac{6!}{3! \cdot 3!} \\ & = \dfrac{\bcancel{6} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cancel{3!}}{\cancel{3!} \cdot \bcancel{6}} = 20 \end{aligned}$
Terdapat $6$ orang dan $3$ kursi.
Diketahui $1$ orang selalu duduk dari kursi tertentu, artinya tersisa $5$ orang dan $2$ kursi yang dapat kita atur/susun menggunakan aturan kombinasi.
$\begin{aligned} C^5_2 & = \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} \\ & = \dfrac{5 \cdot \cancelto{2}{4} \cdot \bcancel{3!}}{\bcancel{3!} \cdot \cancel{2}} = 10 \end{aligned}$
Jadi, ada $10$ cara mengatur posisi duduk mereka.
Terdapat $6$ orang dan $3$ kursi.
Diketahui $2$ orang tertentu harus sama-sama duduk atau sama-sama berdiri. Misalkan dua orang itu berinisialkan A dan B.
Kasus 1: A dan B duduk
Jika demikian, hanya tersisa $4$ orang dan $1$ kursi. Jelas hanya ada $4$ cara mengatur posisi duduk mereka.
Kasus 2: A dan B berdiri
Jika demikian, hanya tersisa $4$ orang dan $3$ kursi. Banyak cara mengatur posisi duduk mereka adalah
$\begin{aligned} C^4_3 & = \dfrac{4!}{1! \cdot 3!} \\ & = \dfrac{4 \cdot \bcancel{3!}}{1 \cdot \bcancel{3!}} = 4 \end{aligned}$
Jadi, secara keseluruhan ada $4+4 = 8$ cara mengatur posisi duduk mereka.
Soal Nomor 9
Dari $10$ calon pengurus OSIS akan dipilih $3$ calon untuk mengikuti pelatihan. Tentukan banyak cara memilih yang dapat dilakukan bila:
a. tanpa syarat;
b. $1$ orang tidak bersedia dipilih;
Kita tidak memperhatikan urutan pemilihan calon pengurus OSIS yang mengikuti pelatihan (misalnya, A, B, C mengikuti pelatihan, sama saja dengan B, A, C mengikuti pelatihan), sehingga ini termasuk kasus kombinasi, yaitu $3$ dari $10$ objek.
$\begin{aligned} C^{10}_3 & = \dfrac{10!}{7! \cdot 3!} \\ & = \dfrac{10 \times 9 \times 8 \times \cancel{7!}}{\cancel{7!} \cdot 6} = 120 \end{aligned}$
Jadi, ada $120$ cara yang dapat dilakukan untuk memilih mereka.
Karena $1$ orang tidak bersedia dipilih, maka kita dapat menganggap hanya ada $9$ calon pengurus OSIS. Banyak cara penyusunan diselesaikan dengan prinsip kombinasi, yaitu $3$ dari $9$ objek.
$\begin{aligned} C^{9}_3 & = \dfrac{9!}{6! \cdot 3!} \\ & = \dfrac{9 \times 8 \times \times 7 \cancel{6!}}{\cancel{6!} \cdot 6} = 84 \end{aligned}$
Jadi, ada $84$ cara yang dapat dilakukan untuk memilih mereka.
Soal Nomor 10
Dari $8$ siswi dan $6$ siswa akan dipilih $5$ orang untuk menjadi pengurus inti. Tentukan banyak cara memilih pengurus inti bila:
a. tanpa syarat;
b. paling banyak $3$ siswi yang dipilih;
c. paling sedikit $2$ siswa yang dipilih.
Siswa dipilih untuk menempati pengurus inti (yang dalam hal ini tidak disebutkan jabatan/posisinya dan bersifat umum). Ini artinya, bila siswa A dan B dipilih, maka sama saja artinya dipilih siswa B dan siswa A (tidak mempermasalahkan urutan pemilihan) sehingga banyak pemilihan mengikuti aturan kombinasi.
Jawaban a)
Secara keseluruhan, terdapat $14$ orang yang dapat dipilih untuk menempati $5$ posisi sebagai pengurus inti. Berdasarkan aturan kombinasi, banyak cara memilihnya adalah
$\begin{aligned} C^{14}_5 & = \dfrac{14!}{9! \cdot 5!} \\ & = \dfrac{14 \cdot 13 \cdot \bcancel{12} \cdot 11 \cdot \bcancel{10} \cdot \cancel{9!}}{\cancel{9!} \cdot \bcancel{120}} \\ & = 14 \cdot 13 \cdot 11 = 2002 \end{aligned}$
Jadi, ada $2002$ cara memilih pengurus inti.
Jawaban b)
Paling banyak $3$ siswi mengindikasikan bahwa akan ada $4$ kemungkinan: tidak ada satupun siswi yang dipilih, ada $1$ siswi yang dipilih, ada $2$ siswi yang dipilih, dan ada $3$ siswi yang dipilih.
Kemungkinan 1:
Ketika tidak ada satupun siswi yang dipilih, maka kelima orang yang dipilih merupakan $5$ siswa sehingga banyak cara memilih adalah
$C^6_5 = \dfrac{6!}{5! \cdot 1!} = 6$
Kemungkinan 2:
Satu siswi terpilih, empat lainnya merupakan siswa. Banyak cara memilihnya adalah
$\begin{aligned} C^8_1 \times C^6_4 & = \dfrac{8!}{7! \cdot 1!} \times \dfrac{6!}{2! \cdot 4!} \\ & = 8 \times 15 = 120 \end{aligned}$
Kemungkinan 3:
Dua siswi terpilih, tiga lainnya merupakan siswa. Banyak cara memilihnya adalah
$\begin{aligned} C^8_2 \times C^6_3 & = \dfrac{8!}{6! \cdot 2!} \times \dfrac{6!}{3! \cdot 3!} \\ & = 28 \times 20 = 560 \end{aligned}$
Kemungkinan 4:
Tiga siswi terpilih, dua lainnya merupakan siswa. Banyak cara memilihnya adalah
$\begin{aligned} C^8_3 \times C^6_2 & = \dfrac{8!}{5! \cdot 3!} \times \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} \\ & = 56 \times 15 = 840 \end{aligned}$
Secara keseluruhan, ada $6 + 120 + 560 + 840 = 1526$ cara memilih.
Jawaban c)
Paling sedikit $2$ siswa mengindikasikan bahwa akan ada $4$ kemungkinan: $2$ siswa, $3$ siswa, $4$ siswa, atau $5$ siswa.
Kemungkinan 1:
Ketika dua siswa yang dipilih, maka tiga orang lainnya yang dipilih merupakan $3$ siswi sehingga banyak cara memilih adalah
$\begin{aligned} C^6_2 \times C^8_3 & = \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} \times \dfrac{8!}{5! \cdot 3!} \\ & = 15 \times 56 = 840 \end{aligned}$
Kemungkinan 2:
Tiga siswa terpilih, dua lainnya merupakan siswi. Banyak cara memilihnya adalah
$\begin{aligned} C^6_3 \times C^8_2 & = \dfrac{6!}{3! \cdot 3!} \times \dfrac{8!}{6! \cdot 2!} \\ & = 20 \times 28 = 560 \end{aligned}$
Kemungkinan 3:
Empat siswa terpilih, satu lainnya merupakan siswi. Banyak cara memilihnya adalah
$\begin{aligned} C^6_4 \times C^8_1 & = \dfrac{6!}{2! \cdot 4!} \times \dfrac{8!}{7! \cdot 1!} \\ & = 15 \times 8 = 120 \end{aligned}$
Kemungkinan 4:
Kelima orang yang dipilih semuanya merupakan siswa. Banyak cara memilihnya adalah
$C^6_5 = \dfrac{6!}{5! \cdot 1!} = 6$
Secara keseluruhan, ada $840+560+120+6 = 1526$ cara memilih.
Soal Nomor 11
Dalam kotak terdapat $3$ bola hitam dan $4$ bola putih, kemudian diambil $3$ bola sekaligus secara acak. Tentukan peluang terambilnya:
a. paling sedikit $2$ bola putih;
b. paling banyak $2$ bola hitam;
c. ketiga-tiganya bola putih.
Soal Nomor 12
Tes matematika dan kimia dilakukan di suatu kelas yang terdiri dari $80$ orang siswa. Peluang seorang siswa lulus tes matematika saja adalah $0,3$. Peluang seorang siswa lulus tes kimia saja adalah $0,4$. Tentukan perkiraan banyak siswa yang memenuhi kriteria:
a. lulus tes matematika sekaligus tes kimia;
b. lulus tes matematika atau tes kimia.
Soal Nomor 13
Enam anak diumpamakan bernama $A, B, C, D, E$, dan $F$ akan berfoto sejajar dalam satu baris. Tentukan banyaknya cara berfoto jika:
a. tanpa syarat;
b. $B, C$, dan $D$ harus berdampingan;
c. $A$ dan $B$ tidak boleh berdampingan;
Perhatikan sketsa berikut.
Keenam anak tersebut dapat bertukar tempat di $6$ posisi berbeda.
Banyak cara mereka berfoto adalah $\boxed{6! = 720}$
Perhatikan sketsa berikut ($BCD$ berdampingan).
Dengan menganggap $BCD$ sebagai satu objek, kita dapat menganggap bahwa hanya ada $4$ objek yang akan disusun dalam berfoto, yaitu $A$, $BCD$, $E$, dan $F$.
Banyak cara berfoto mereka adalah $4! = 24$.
Perhatikan juga bahwa $BCD$ dapat bertukar-tukar posisi dalam lingkup mereka sendiri (misalnya menjadi $CDB$) dan kita tahu ada sebanyak $3! = 6$ cara mereka berfoto.
Jadi, totalnya sebanyak $\boxed{24 \times 6 = 144}$
Perhatikan sketsa berikut ($AB$ berdampingan).
Kita akan mencari banyak cara berfoto saat $AB$ berdampingan dulu.
Dengan menganggap $AB$ sebagai satu objek, kita dapat menganggap bahwa hanya ada $5$ objek yang akan disusun dalam berfoto, yaitu $AB$, $C$, $D$ $E$, dan $F$.
Banyak cara berfoto mereka adalah $5! = 120$.
Perhatikan juga bahwa $AB$ dapat bertukar-tukar posisi dalam lingkup mereka sendiri, yaitu menjadi $BA$, sehingga ada $2$ cara berfoto untuk mereka.
Jadi, totalnya sebanyak $120 \times 2 = 240}$
Berdasarkan pembahasan (a), banyak cara mereka berfoto tanpa syarat adalah $720$.
Karena itu, banyak cara berfoto dengan syarat $A$ dan $B$ tidak berdampingan adalah $\boxed{720-240 = 480}$
Soal Nomor 14
Suatu keluarga yang terdiri dari ayah, ibu, dan $2$ anak laki-laki, serta $2$ anak perempuan. Tentukan banyaknya cara agar mereka dapat berfoto bersama dalam satu baris bila:
- tanpa syarat;
- ayah dan ibu selalu berada di tengah;
- ayah dan ibu selalu berdampingan;
- masing-masing dari dua anak laki-laki dan dua anak perempuan selalu berdampingan.
Soal Nomor 15
Tentukan banyak susunan kata berbeda yang dapat dibentuk dari huruf pembentuk kata:
a. WISUDA
b. MATEMATIKA
c. INDONESIA
d. PANCASILA
Kata WISUDA terdiri dari $6$ huruf yang semuanya berbeda.
Dengan menggunakan aturan permutasi, banyak susunan katanya adalah
$\boxed{6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720}$
Kata MATEMATIKA terdiri dari $10$ huruf dengan kemunculan $2$ huruf M, $2$ huruf T, dan $3$ huruf A.
Dengan menggunakan aturan permutasi berulang, banyak susunan katanya adalah
$\boxed{\dfrac{10!}{2! \cdot 3! \cdot 2!} = \dfrac{10 \cdot \cancelto{3}{(9 \cdot 8)} \cdot 7!}{\cancel{24}} = 10 \cdot 3 \cdot 5.040 = 151.200}$
Kata INDONESIA terdiri dari $9$ huruf dengan kemunculan $2$ huruf N dan $2$ huruf I.
Dengan menggunakan aturan permutasi berulang, banyak susunan katanya adalah
$\boxed{\dfrac{8!}{2! \cdot 2!} = \dfrac{\cancelto{2}{8} \cdot 7!}{\cancel{4}} = 2 \cdot 5.040 = 10.080}$
Kata PANCASILA terdiri dari $9$ huruf dengan kemunculan $3$ huruf A.
Dengan menggunakan aturan permutasi berulang, banyak susunan katanya adalah
$\boxed{\dfrac{9!}{3!} = \dfrac{\cancelto{12}{(9 \cdot 8)} \cdot 7!}{\cancel{6}} = 12 \cdot 5.040 = 60.480}$
Soal Nomor 16
Tentukan banyak susunan angka berbeda yang dapat dibentuk dari angka pembentuk bilangan:
a. $123456$
b. $087818001796$
c. $3334445555$
Jawaban a)
$123456$ terdiri dari $6$ angka yang semuanya berbeda.
Dengan menggunakan aturan permutasi, banyak susunan yang dapat dibuat adalah $6! = 720$.
Jawaban b)
$087818001796$ terdiri dari $12$ angka: $8$ muncul $3$ kali, $0$ muncul $3$ kali, $1$ muncul $2$ kali, $7$ muncul $2$ kali.
Dengan menggunakan aturan permutasi berulang, banyak susunan yang dapat dibuat adalah $\dfrac{12!}{3! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 2!}$.
Jawaban c)
$3334445555$ terdiri dari $10$ angka: $3$ muncul $3$ kali, $4$ muncul $3$ kali, dan $5$ muncul $4$ kali.
Dengan menggunakan aturan permutasi berulang, banyak susunan yang dapat dibuat adalah $\dfrac{10!}{3! \cdot 3! \cdot 4!}$.
[/spoiler]
Soal Nomor 17
Seorang siswa diwajibkan mengerjakan $8$ dari $12$ soal. Tentukan banyak pilihan yang dapat diambil siswa tersebut bila:
- tanpa syarat;
- soal nomor 1 sampai 4 wajib dikerjakan;
- soal nomor ganjil wajib dikerjakan.
Jawaban a)
Perhatikan bahwa ketika siswa memilih menjawab soal nomor $1$ dan $2$, maka itu sama saja dengan siswa itu menjawab soal nomor $2$ dan $1$ (tidak memperhatikan urutan pengerjaan), sehingga ini termasuk kasus kombinasi.
Dari $12$ soal, siswa wajib mengerjakan $8$ soal. Jadi, banyak cara memilih soal yang akan dijawab adalah
$\begin{aligned} C^{12}_8 & = \dfrac{12!}{8! \cdot 4!} \\ & = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot \cancel{8!}}{\cancel{8!} \cdot 4!} \\ & = 495 \end{aligned}$
Jawaban b)
Soal nomor $1$ sampai $4$ wajib dikerjakan. Artinya, dari $8$ soal, siswa itu hanya tinggal memilih $\color{blue}{4}$ soal lain untuk dijawab dari soal nomor $5$ sampai $12$ (ada sebanyak $\color{red}{8}$ soal).
Banyak cara memilih soal yang akan dijawab adalah
$C^{\color{red}{8}}_{\color{blue}{4}} = \dfrac{8!}{4! \cdot 4!} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cancel{4!}}{\cancel{4!} \cdot 4!} = 70$
Jawaban c)
Soal nomor ganjil wajib dikerjakan, yaitu nomor $1, 3, 5, 7, 9$, dan $11$. Dari $8$ soal yang harus dikerjakan, sekarang hanya tersisa $\color{blue}{2}$ soal dari $\color{red}{6}$ soal yang tersedia.
Banyak cara memilih soal yang akan dijawab adalah
$C^{\color{red}{6}}_{\color{blue}{2}} = \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot \cancel{4!}}{\cancel{4!} \cdot 2!} = 15$
[/spoiler]
Soal Nomor 18
Dalam suatu jamuan makan malam, sebuah keluarga terdiri dari suami istri dan empat anaknya. Tentukan banyak cara yang dapat dilakukan untuk duduk mengelilingi meja makan bila:
- tanpa syarat;
- suami istri harus duduk berdampingan;.
- suami istri tidak boleh duduk berdampingan.
Jawaban a)
Posisi duduk melingkar menandakan penggunaan permutasi siklis.
Ada $\color{blue}{6}$ orang yang akan diatur posisi duduknya secara melingkar sehingga banyak cara untuk duduk adalah $(\color{blue}{6}-1)! = 5! = 120$.
Jawaban b)
Suami istri harus duduk berdampingan sehingga kita anggap mereka berdua sebagai satu objek.
Artinya, kita tinggal atur posisi $\color{red}{5}$ objek saja.
Berdasarkan aturan permutasi siklis, diperoleh banyak cara duduknya adalah $(\color{red}{5}-1)! = 4! = 24$.
Perhatikan juga bahwa suami-istri dapat bertukar tempat menjadi istri-suami (ada $\color{green}{2}$ cara duduk) dalam posisi duduknya sehingga keseluruhan ada $\color{green}{2} \times 24 = 48$.
Jawaban c)
Untuk menghitung banyak cara duduk jika suami istri tidak duduk berdampingan, kita hanya perlu mengurangi banyak cara duduk secara keseluruhan (tanpa syarat) terhadap banyak cara duduk saat suami istri harus berdampingan.
Berdasarkan jawaban sebelumnya, kita peroleh $120-48 = 72$. [/spoiler]
Soal Nomor 19
Kode kupon hadiah untuk belanja pada toko swalayan bernama Mathmart berupa bilangan yang tersusun dari angka $2, 3, 3, 5, 8$.
Jika kupon tersebut disusun kodenya dari urutan bilangan terkecil sampai terbesar, maka tentukan urutan kupon dengan kode:
a. $28533$
b. $53283$
c. $82335$
Soal Nomor 20
Seorang anak memasuki sebuah gedung yang memiliki $5$ pintu masuk-keluar.
Tentukan banyak cara yang mungkin untuk masuk- keluar gedung jika:
- ia tidak boleh melewati pintu yang sama;.
- ia boleh melewati pintu yang sama;
- terdapat $1$ pintu rahasia yang hanya boleh digunakan untuk keluar gedung dan ia tidak diperbolehkan melewati pintu yang sama;
- terdapat $2$ pintu rahasia yang hanya boleh digunakan untuk masuk gedung dan ia diperbolehkan melewati pintu yang sama.
Jawaban a)
Masuk melalui $5$ pintu, tetapi keluar hanya dapat melalui $4$ pintu, karena tidak boleh masuk-keluar pada pintu yang sama. Banyak cara untuk masuk-keluar adalah $5 \times 4 = 20$.
Jawaban b)
Masuk melalui $5$ pintu dan keluar juga melalui $5$ pintu. Banyak cara untuk masuk-keluar adalah $5 \times 5 = 25$.
Jawaban c)
Masuk melalui $\color{red}{5}$ pintu dan keluar hanya melalui $4$ pintu, tetapi karena terdapat $1$ pintu rahasia untuk keluar, maka ini berarti ada $\color{blue}{5}$ pintu yang dapat digunakan untuk keluar.
Banyak cara untuk masuk-keluar adalah $\color{red}{5} \times \color{blue}{5} = 25$.
Jawaban d)
Masuk melalui $7$ pintu ($5$ pintu biasa ditambah $2$ pintu rahasia) dan keluar melalui $5$ pintu.
Banyak cara untuk masuk-keluar adalah $\color{red}{7} \times \color{blue}{5} = 35$. [/spoiler]
Soal Nomor 21
Sebuah keranjang berisi $6$ buah apel, $5$ buah jeruk, dan $2$ buah mangga. Jika seorang anak mengambil $3$ buah secara acak dari keranjang tersebut, maka berapa peluang bahwa yang terambil paling tidak satu di antaranya adalah buah:
a. jeruk?
b. mangga?
c. apel?
Soal Nomor 22
Sebuah kotak berisi $10$ bola dan diberi nomor $1$ sampai $10$. Anton, Bagus, dan Candra bergantian mengambil secara acak masing-masing satu bola dan kemudian mengembalikannya lagi ke kotak tersebut. Tentukan peluang bahwa jumlah dari ketiga nomor yang didapat adalah:
a. bilangan ganjil
b. bilangan genap
Soal Nomor 23
Di dalam sebuah kotak terdapat $5$ bola, masing-masing bernomor $1, 2, 3, 4$, dan $5$. Seorang anak mengambil sebuah bola secara acak, mencatat nomornya, lalu mengembalikannya lagi ke dalam kotak. Hal yang sama ia lakukan sebanyak $5$ kali. Tentukan peluang bahwa jumlah kelima nomor yang terambil adalah:
a. enam;
b. tujuh;
Soal Nomor 24
Tentukan peluang kejadian dari $4$ orang, ditemukan:
- paling sedikit $3$ orang lahir pada bulan yang berbeda;
- paling sedikit $3$ orang lahir pada bulan yang sama;
- paling banyak $2$ orang lahir pada tanggal yang sama;
Soal Nomor 25
Tentukan banyaknya cara menyusun huruf-huruf pembentuk kata MATEMATIKA apabila:
- tanpa syarat apapun;
- kedua huruf T harus berdampingan;
- kedua huruf M harus berada di ujung;
- tidak boleh ada huruf vokal yang berdampingan;
- huruf konsonan muncul lebih dulu.
Soal Nomor 26
Tentukan banyaknya segitiga yang dapat dibentuk dari:
a. $5$ titik yang tidak segaris;
b. $12$ titik yang tidak segaris;
c. $100$ titik yang tidak segaris.
Catatan: Tidak segaris di sini artinya tidak ada $3$ atau lebih titik yang berada pada satu garis lurus.
Segitiga merupakan bangun datar yang dapat dibentuk dari $3$ titik yang tidak segaris.
Suatu segitiga akan tetap dianggap sama meskipun ditarik mulai dari titik yang berbeda pada $3$ titik tertentu (misalkan segitiga $ABC$ dan $BAC$ adalah sama), sehingga ini merupakan kasus kombinasi.
Ada $5$ titik tidak segaris dan untuk membuat segitiga dibutuhkan $3$ titik. Gunakan rumus kombinasi $3$ objek dari $5$ objek.
$\begin{aligned} C^5_3 & = \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} \\ & = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot \cancel{3!}}{\cancel{3!} \cdot 2} = 10 \end{aligned}$
Ada $10$ segitiga berbeda yang dapat dibentuk.
Ilustrasi: Misalkan ada titik $A, B, C, D$, dan $E$ (tidak ada $3$ titik yang segaris). Sepuluh segitiga itu adalah
$\triangle ABC, \triangle ABD, \triangle ABE, \triangle ACD$, $\triangle ACE, \triangle ADE,\triangle BCD, \triangle BCE$,$\triangle BDE, \triangle CDE$.
Dengan cara yang sama:
$\begin{aligned} C^{12}_3 & = \dfrac{12!}{9! \cdot 3!} \\ & = \dfrac{\cancelto{2}{12} \cdot 11 \cdot 10 \cdot \cancel{9!}}{\cancel{9!} \cdot \cancel{6}} = 220 \end{aligned}$
Ada $\boxed{220}$ segitiga yang dapat dibentuk dari $12$ titik yang tidak segaris.
Dengan cara yang sama:
$\begin{aligned} C^{100}_3 & = \dfrac{100!}{97! \cdot 3!} \\ & = \dfrac{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot \cancel{97!}}{\cancel{97!} \cdot 6} = 161.700 \end{aligned}$
Ada $\boxed{161.700}$ segitiga yang dapat dibentuk dari $100$ titik yang tidak segaris.
Soal Nomor 27
Klub bulu tangkis Tangkas mempunyai $24$ anggota yang terbagi menjadi dua kelompok umur, yaitu kelompok anak dan kelompok remaja. Kelompok anak terdiri atas $15$ pemain dengan $8$ di antaranya adalah pemain putra. Jumlah anggota putri dalam klub bulu tangkis Tangkas adalah $10$ pemain. Tentukan banyak formasi ganda campuran yang dapat dibentuk oleh klub tersebut dengan masing-masing ketentuan berikut.
- Kedua pemain berasal dari kelompok remaja.
- Satu pemain dari masing-masing kelompok.
Dari informasi yang diberikan, jumlah anggota masing-masing kelompok dapat dinyatakan dalam tabel berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \text{Anak} & \text{Remaja} & \text{Jumlah} \\ \hline \text{Putra} & 8 & 6 & 14 \\ \hline \text{Putri} & 7 & 3 & 10 \\ \hline \text{Jumlah} & 15 & 9 & 24 \\ \hline \end{array}$
Dalam permainan bulu tangkis, formasi ganda campuran ditempati oleh $2$ orang, yaitu seorang putra dan seorang putri.
Jawaban a)
Di kelompok remaja, jumlah pemain putra adalah $6$ orang, sedangkan jumlah pemain putrinya $3$ orang.
Banyak susunan formasi yang mungkin untuk ganda campuran adalah $6 \times 3 = 18$.
Jawaban b)
Di kelompok anak terdapat $8$ putra dan di kelompok remaja terdapat $3$ putri.
Banyak susunan formasinya adalah $8 \times 3 = 24$.
Di kelompok anak terdapat $7$ putri dan di kelompok remaja terdapat $6$ putra.
Banyak susunan formasinya adalah $7 \times 6 = 42$.
Jadi, totalnya sebanyak $\boxed{24+42=66}$ formasi.
Soal Nomor 28a
Panitia sebuah lomba mempunyai $40$ buku tulis untuk dijadikan sebagai hadiah juara I, II, dan III. Setiap penerima hadiah minimal mendapatkan $10$ buku tulis dan peserta berperingkat lebih tinggi harus menerima buku lebih banyak. Ada berapa banyak komposisi hadiah yang mungkin?
Masing-masing pemenang dianggap telah diberikan $10$ buku tulis sehingga sekarang hanya tersisa $40-3(10) = 10$ buku tulis yang dapat diatur pembagiannya kepada mereka.
Berdasarkan ketentuan bahwa peserta dengan peringkat lebih tinggi mendapatkan lebih banyak buku, maka kita dapat tuliskan semua komposisi hadiahnya melalui tabel berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Juara III} & \text{Juara II} & \text{Juara I} \\ \hline 0 & 1 & 9 \\ \hline 0 & 2 & 8 \\ \hline 0 & 3 & 7 \\ \hline 0 & 4 & 6 \\ \hline 1 & 2 & 7 \\ \hline 1 & 3 & 6 \\ \hline 1 & 4 & 5 \\ \hline 2 & 3 & 5 \\ \hline \end{array}$
Jadi, kita temukan bahwa ada $\boxed{8}$ komposisi pembagian hadiah yang mungkin.
Soal Nomor 28b
Panitia sebuah lomba mempunyai $53$ buku tulis untuk dijadikan sebagai hadiah juara I, II, dan III, serta juara harapan I dan II. Setiap penerima hadiah minimal mendapatkan $8$ buku tulis dan peserta berperingkat lebih tinggi harus menerima buku lebih banyak. Ada berapa banyak komposisi hadiah yang mungkin?
Masing-masing pemenang dianggap telah diberikan $8$ buku tulis sehingga sekarang hanya tersisa $53-5(8) = 13$ buku tulis yang dapat diatur pembagiannya kepada mereka.
Berdasarkan ketentuan bahwa peserta dengan peringkat lebih tinggi mendapatkan lebih banyak buku, maka kita dapat tuliskan semua komposisi hadiahnya melalui tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Harapan II} & \text{Harapan I} & \text{Juara III} & \text{Juara II} & \text{Juara I} \\ \hline 0 & 1 & 2 & 3 & 7 \\ \hline 0 & 1 & 2 & 4 & 6 \\ \hline 0 & 1 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \end{array}$$Jadi, kita temukan bahwa hanya ada $\boxed{3}$ komposisi pembagian hadiah yang mungkin.