Sukardi – Mathcyber1997

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 9
Diketahui $\triangle ABC$ dengan panjang sisi $a = 4~\text{cm}$ , $\angle A = 120\degree$ , dan $\angle B = 30\degree$ . Panjang sisi $c = \cdots$
A. $2\sqrt2~\text{cm}$
B. $\frac43\sqrt3~\text{cm}$
C. $\frac34\sqrt3~\text{cm}$
D. $\frac34\sqrt2~\text{cm}$
E. $\sqrt3~\text{cm}$

Soal Nomor 70
Panjang sisi-sisi pada $\triangle ABC$ berbanding $6 : 5 : 4$ . Cosinus sudut yang terbesar dari segitiga tersebut adalah $\cdots$
A. $\dfrac12$ B. $\dfrac23$ C. $\dfrac34$ D. $\dfrac45$ E. $\dfrac56$

Soal Nomor 90
Jika panjang sisi-sisi segitiga $ABC$ berturut-turut adalah $AB=4~\text{cm}$ , $BC=6~\text{cm}$ , dan $AC=5~\text{cm}$ , sedangkan $\angle BAC = \alpha$ , $\angle ABC = \beta$ , dan $\angle BCA = \gamma$ , maka $\sin \alpha : \sin \beta : \sin \gamma = \cdots$
A. $4 : 5 : 6$ D. $4 : 6 : 5$
B. $5 : 6 : 4$ E. $6 : 4 : 5$
C. $6 : 5 : 4$

Soal Nomor 16
Dalam sebuah lingkaran yang berjari-jari $8~\text{cm}$ dibuat segi-12 beraturan. Panjang sisi segi-12 beraturan tersebut adalah $\cdots~\text{cm}$
A. $8\sqrt{2 - \sqrt3}}$ D. $8\sqrt{3 - \sqrt3}}$
B. $8\sqrt{2 - \sqrt2}}$ E. $8\sqrt{3 + \sqrt2}}$
C. $8\sqrt{3 - \sqrt2}}$

Soal Nomor 92
Nilai $\cos \theta$ pada gambar di bawah adalah $\cdots$
A. $-1$ B. $-\dfrac57$ C. $-\dfrac23$ D. $1$ E. $\dfrac23$

Tarik garis dari titik $A$ ke titik $C$ , sebut saja garis $AC$ .
Perhatikan bahwa $\angle ABC = \theta$ , sehingga besar sudut di hadapannya adalah $\angle ADC = 180\degree - \theta$
Catatan: Jumlah sudut yang berhadapan pada segiempat tali busur lingkaran adalah $180\degree$
Dengan menggunakan Aturan Cosinus pada $\triangle ABC$ dan $\triangle ADC$ , diperoleh kesamaan panjang $AC$ , yakni
$\begin{aligned} AB^2+BC^2-2(AB)(BC) & \cos \theta = AD^2+CD^2- \\ & 2(AD)(CD) \cos (180\degree-\theta) \end{aligned}$
Diketahui bahwa $AB = 1$ , $BC = 2$ , $CD = 3$ , dan $AD = 4$ , serta $\cos (180\degree-\theta) = -\cos \theta$ , sehingga
$\begin{aligned} (1)^2+(2)^2-2(1)(2) \cos \theta & = (4)^2+(3)^2-2(3)(4)(-\cos \theta) \\ 5-4 \cos \theta & = 25+24 \cos \theta \\ 28 \cos \theta & = -20 \\ \cos \theta & = -\dfrac{20}{28} = -\dfrac57 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{\cos \theta = -\dfrac57}$
(Jawaban B) [/spoiler]

Soal Nomor 15
Perhatikan gambar segiempat $PQRS$ berikut.

Panjang $RS = \cdots$
A. $6\sqrt2~\text{cm}$ D. $9\sqrt2~\text{cm}$
B. $6\sqrt3~\text{cm}$ E. $9\sqrt3~\text{cm}$
C. $12~\text{cm}$

Soal Nomor 14
Pada $\triangle PQR$ , diketahui besar $\angle Q = 45\degree$ dan garis tinggi dari titik $R$ . Jika $QR = a$ dan $PT = a\sqrt2$ , maka panjang $PR$ adalah $\cdots$
A. $2a\sqrt2$ D. $\frac12a\sqrt{10}$
B. $\frac12a\sqrt5$ E. $a\sqrt2$
C. $2$

Soal Nomor 19
Luas segi-12 beraturan dengan masing-masing panjang sisinya $4~\text{cm}$ adalah $\cdots$
A. $(96+48\sqrt3)~\text{cm}^2$ D. $(96\sqrt3+48)~\text{cm}^2$
B. $(24+12\sqrt3)~\text{cm}^2$ E. $(96\sqrt3+12)~\text{cm}^2$
C. $(24\sqrt3+12)~\text{cm}^2$

Soal Nomor 24
Sebuah mobil melaju dari tempat $A$ sejauh $16~\text{km}$ dengan arah $40\degree$ , kemudian berbelok sejauh $24~\text{km}$ ke tempat $B$ dengan arah $160\degree$ . Jarak $A$ dan $B$ adalah $\cdots$
A. $21~\text{km}$ D. $32~\text{km}$
B. $8\sqrt7~\text{km}$ E. $8\sqrt{19}~\text{km}$
C. $8\sqrt{10}~\text{km}$

Soal Nomor 11
Keliling suatu segienam beraturan adalah $84~\text{cm}$ . Luas segienam tersebut adalah $\cdots$
A. $588\sqrt3~\text{cm}^2$ D. $245\sqrt3~\text{cm}^2$
B. $392\sqrt3~\text{cm}^2$ E. $147\sqrt3~\text{cm}^2$
C. $294\sqrt3~\text{cm}^2$

Bagian Uraian

Soal Nomor 83
Buktikan bahwa dalam segitiga sembarang $ABC$ berlaku $\dfrac{a - b}{c} = \dfrac{\sin A - \sin B}{\sin C}$

Dalam segitiga sembarang $ABC$ , berlaku
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$
Dalam bentuk lain, ditulis
$a = \dfrac{b \sin A}{\sin B}$ dan $c = \dfrac{b \sin C}{\sin B}$
Dengan demikian, kita dapatkan
$\begin{aligned} \dfrac{a-b}{c} & = \dfrac{\dfrac{b \sin A}{\sin B} - b}{\dfrac{b \sin C}{\sin B}} \\ & = \dfrac{\dfrac{b \sin A}{\cancel{\sin B}} - \dfrac{b \sin B}{\cancel{\sin B}}}{\dfrac{b \sin C}{\cancel{\sin B}}} \\ & = \dfrac{b \sin A - b \sin B}{b \sin C} \\ & = \dfrac{\sin A - \sin B}{\sin C} \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa dalam segitiga sembarang $ABC$ berlaku $\dfrac{a - b}{c} = \dfrac{\sin A - \sin B}{\sin C}$
[/spoiler]

Soal Nomor 69
Buktikan bahwa luas segiempat tali busur $ABCD$ pada gambar di bawah adalah $L = \dfrac12(ab + cd) \sin \theta$

Soal Nomor 68
Pada gambar di bawah, $ABCD$ adalah segiempat tali busur lingkaran (besar sudut yang berhadapan jumlahnya $180\degree$ ). Buktikan bahwa
$\cos \theta = \dfrac{c^2+d^2-a^2-b^2}{2(ab+cd)}$

Soal Nomor 71
Diketahui $\triangle ABC$ dengan $CD$ adalah garis berat, yaitu garis yang membagi dua sama panjang sisi $AB$ . Dengan menggunakan Aturan Cosinus, buktikan bahwa:
a. $CD^2 = \dfrac12a^2 + \dfrac12b^2 - \dfrac14c^2$
b. $4CD^2 = a^2+b^2+2ab \cos C$

Soal Nomor 65
Buktikan bahwa luas segiempat $ABCD$ sembarang pada gambar di bawah adalah $L = \dfrac12 \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \theta$

Soal Nomor 72
Perhatikan gambar berikut ini.

$O$ adalah pusat lingkaran yang berjari-jari $R$ .
a. Nyatakan luas $\triangle BOC$ dalam $R$ dan $A$ , luas $\triangle COA$ dalam $R$ dan $B$ , dan luas $\triangle AOB$ dalam $R$ dan $C$ .
b. Gunakan hasil jawaban a untuk membuktikan bahwa pada $\triangle ABC$ berlaku:
$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C$
Petunjuk: Gunakan Aturan Sinus.

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Author: Sukardi

Soal dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan Cosinus, dan Luas Segitiga dalam Trigonometri