Soal dan Pembahasan – Distribusi Normal

 

Soal Nomor 15
Luas daerah di bawah kurva normal baku yang diberi arsir adalah $\cdots \cdot$
A. $0,3596$                        D. $0,6793$
B. $0,4952$                        E. $0,7965$
C. $0,5637$

Bagilah arsiran menjadi dua daerah, yaitu daerah I pada interval $-0,50 < Z < 0$ dan daerah II pada interval $0 < Z < 2,25.$
Luas daerah I:
Cek tabel nilai $Z$ untuk bilangan $0,50.$ Lihat baris $0,5$, kemudian pilih kolom $0$ seperti berikut.
Diperoleh bahwa luasnya adalah $P(-0,50 < Z < 0) = 0,1915.$
Luas daerah II:
Cek tabel nilai $Z$ untuk bilangan $2,25.$ Lihat baris $2,2$, kemudian pilih kolom $5$ seperti berikut.
Diperoleh bahwa luasnya adalah $P(0 < Z < 2,25) = 0,4878.$
Luas daerah yang diberi arsir adalah jumlah luas keduanya, yakni
$$\begin{aligned} P(-0,50 < Z < 2,25) & = P(-0,50 < Z < 0) + P(0 < Z < 2,25) \\ & = 0,1915 + 0,4878 \\ & = 0,6793 \end{aligned}$$Jadi, luas daerah di bawah kurva normal baku tersebut adalah $\boxed{0,6793}$
(Jawaban D) [/spoiler]

Soal Nomor 16
Luas daerah di bawah kurva normal baku yang diberi arsir adalah $\cdots \cdot$
A. $0,0683$                        D. $0,4596$
B. $0,0968$                        E. $0,9192$
C. $0,1066$

Luas arsir sama dengan luas setengah bagian daerah di bawah kurva normal dikurangi luas daerah pada interval $-1,30 < Z < 0.$
Luas daerah pada interval $-1,30 < Z < 0$:
Cek tabel nilai $Z$ untuk bilangan $1,30.$ Lihat baris $1,3$, kemudian pilih kolom $0$ seperti berikut.
Diperoleh bahwa luasnya adalah $P(-1,30 < Z < 0) = 0,4032.$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(Z < -1,30) & = P(Z < 0)-P(-1,30 < Z < 0) \\ & = 0,5-0,4032 \\ & = 0,0968 \end{aligned}$$Jadi, luas daerah di bawah kurva normal baku tersebut adalah $\boxed{0,0968}$
(Jawaban B) [/spoiler]

Soal Nomor 17
Luas daerah di bawah kurva normal baku yang diberi arsir adalah $\cdots \cdot$
A. $0,8888$                          E. $0,1112$
B. $0,6668$                          D. $0,2224$
C. $0,4444$

Bagilah arsiran menjadi dua daerah, yaitu daerah I pada interval $-1,22 \le Z \le 0$ dan daerah II pada interval $Z > 0.$
Luas daerah I:
Cek tabel nilai $Z$ untuk bilangan $1,22.$ Lihat baris $01,2$, kemudian pilih kolom $2$ seperti berikut.
Diperoleh bahwa luasnya adalah $P(-1,22 < Z < 0) = 0,3888.$
Luas daerah II:
Karena daerahnya merupakan setengah bagian di bawah kurva distribusi normal, maka $P(Z > 0) = 0,5.$
Luas daerah yang diberi arsir adalah jumlah luas keduanya, yakni
$$\begin{aligned} P(Z > -1,22) & = P(-1,22 < Z < 0) + P(Z > 0) \\ & = 0,3888 + 0,5 \\ & = 0,8888 \end{aligned}$$Jadi, luas daerah di bawah kurva normal baku tersebut adalah $\boxed{0,8888}$
(Jawaban A) [/spoiler]

Soal Nomor 18
Luas daerah di bawah kurva normal baku yang diberi arsir adalah $\cdots \cdot$
A. $0,8522$                      E. $0,0414$
B. $0,6271$                      D. $0,1296$
C. $0,1478$

Luas arsir sama dengan luas seluruh daerah di bawah kurva distribusi normal (yaitu $1$) dikurangi dengan luas daerah I dan II seperti yang ditunjukkan gambar di bawah.
Luas daerah I: $-1,14 < Z < 0$
Cek tabel nilai $Z$ untuk bilangan $1,14.$ Lihat baris $1,1$, kemudian pilih kolom $4$ seperti berikut.
Diperoleh bahwa luasnya adalah $P(-1,14 < Z < 0) = 0,3729.$
Luas daerah II: $0 < Z < 2,04$
Cek tabel nilai $Z$ untuk bilangan $2,04.$ Lihat baris $2,0$, kemudian pilih kolom $4$ seperti berikut.
Diperoleh bahwa luasnya adalah $P(0 < Z < 2,04) = 0,4793.$
Luas daerah I + Luas daerah II adalah
$$\begin{aligned} P(-1,14 < Z < 2,04) & = P(-1,14 < Z < 0) + P(0 < Z < 2,04) \\ & = 0,3729 + 0,4793 \\ & = 0,8522 \end{aligned}$$Jadi, luas daerah di bawah kurva normal baku tersebut adalah $\boxed{1-0,8522 = 0,1478}$
(Jawaban C) [/spoiler]

Soal Nomor
Distribusi tingkat kolesterol pada remaja pria bisa didekati oleh distribusi normal dengan $\mu = 180$ dan $\sigma = 30.$ Tingkat kolesterol di atas $200$ memerlukan perhatian. Probabilitas bahwa seorang remaja pria memiliki tingkat kolesterol lebih besar daripada $200$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0,8948$                      D. $0,3857$
B. $0,7486$                      E. $0,2514$
C. $0,6750$

Diketahui:
$$\begin{aligned} \mu & = 180 \\ \sigma & = 30 \\ X & = 200 \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{200-180}{30} \\ & = \dfrac{20}{30} = \dfrac23 \approx 0,67 \end{aligned}$$Probabilitas bahwa seorang remaja pria memiliki tingkat kolesterol lebih besar daripada $200$ dinotasikan oleh $P(X > 200) = P(Z > 0,67).$
Kurva distribusi normalnya ditunjukkan oleh gambar di bawah.
Cek tabel nilai $Z$ untuk skor $0,67$ seperti berikut dan akan diperoleh $P(0 < Z < 0,67) = 0,2486.$
Untuk mencari luas daerah yang diarsir, kita tuliskan
$$\begin{aligned} P(Z > 0,67) & = P(Z > 0)-P(0 < Z < 0,67) \\ & = 0,5-0,2486 \\ & = 0,2514 \end{aligned}$$Jadi, probabilitas kejadian tersebut terjadi adalah $\boxed{0,2514}$
(Jawaban E) [/spoiler]

Soal Nomor
Suatu perusahaan penerbangan berdasarkan pengalaman mengetahui bahwa distribusi jumlah koper penumpang yang hilang tiap minggu pada suatu rute tertentu mendekati distribusi normal dengan $\mu = 15,5$ dan $\sigma = 3,6.$ Probabilitas pada minggu tertentu terdapat kejadian kehilangan kurang dari $20$ koper adalah $\cdots \cdot$
A. $0,8944$                        D. $0,3944$
B. $0,6755$                        E. $0,1055$
C. $0,4040$

Soal Nomor
Anggap bahwa tinggi mahasiswi memiliki distribusi normal dengan tinggi rata-rata $165$ cm dan simpangan baku $4$ cm. Jika kita memilih seorang mahasiswi secara acak, maka probabilitas tinggi mereka akan berada di antara $161$ cm dan $171$ cm adalah $\cdots \cdot$
A. $0,3413$                         D. $0,7745$
B. $0,4332$                         E. $0,8820$
C. $0,5668$

Soal Nomor
Pada distribusi normal tertentu, simpangan baku $\sigma$ ketika $\mu = 50$ dan $8,18\%$ luas berada di sebelah kanan dari $54$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                       C. $3$                   E. $5$
B. $2$                      D. $4$

Soal Nomor
Pada suatu distribusi normal tertentu, sebesar $5,48\%$ data terletak di sebelah kanan $55$ ketika rata-rata $\mu$ dan simpangan baku $\sigma$ sama dengan $5.$ Nilai rata-rata distribusi tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $94$                      C. $70$                    E. $55$
B. $86$                      D. $62$

Soal Nomor
Kondisi berikut yang cukup untuk mendekati distribusi binomial dengan distribusi normal adalah $\cdots \cdot$
A. $n = 10, p = 0,3$
B. $n = 100, p = 0,2$
C. $n = 100, p = 0,01$
D. $n = 10, p = 0,8$
E. $n = 100, p = 0,5$

Soal Nomor
Suatu distribusi binomial memiliki parameter $n=400$ dan $p = 0,20.$ Dengan menggunakan pendekatan distribusi normal, maka probabilitas dari variabel acak $X$ sama dengan atau lebih besar dari $96$ (ditulis $P(X \geq 96)$) adalah $\cdots \cdot$
A. $0,9772$                       D. $0,0228$
B. $0,5228$                        E. $0,0114$
C. $0,5114$

Bagian Uraian

Soal Nomor
Seorang pengusaha telah memimpin studi meneliti waktu hidup (life time) suatu lampu pijar tipe tertentu. Studi tersebut menyimpulkan bahwa waktu hidup, diukur dalam jam, adalah suatu variabel acak yang memenuhi distribusi normal. Waktu hidup rata-rata $750$ jam dengan simpangan baku $110$ jam. Berapa peluang bahwa sebuah lampu pijar yang dipilih secara acak akan memiliki waktu hidup:
a. antara $600$ jam dan $900$ jam?
b. lebih besar dari $100$ jam?

Soal Nomor
Manajer pemasaran sebuah perusahaan percaya bahwa penjualan total perusahaan bisa dimodelkan oleh suatu distribusi normal, dengan rata-rata $\$$2 juta rupiah dan simpangan baku $\$$250.000 (dua ratus lima puluh ribu dolar).

  1. Berapa peluang penjualan perusahaan melebihi $\$$2,5 juta?
  2. Berapa peluang bahwa penjualan perusahaan akan berada $\$$125,00 di bawah tingkat penjualan yang diharapkan?
  3. Untuk menutupi biaya tetap, penjualan perusahaan harus melebihi tingkat pulang-pokok (break-even level) $\$$1,45 juta. Berapa peluang bahwa penjualan akan melebihi tingkat pulang-pokok?
  4. Tentukan tingkat penjualan yang hanya memiliki kesempatan $9\%$ untuk dilampaui tahun depan.

Soal Nomor
Nilai rata-rata ujian mata kuliah matematika adalah $60$ dengan variasi $64.$ Ditentukan bahwa peserta ujian memperoleh nilai A jika nilai minimal $80.$ Peserta ujian akan mendapat nilai B jika nilai paling sedikit $65$ dan kurang dari $80.$ Peserta harus mengikuti ujian perbaikan jika nilainya kurang dari $65.$ Bila distribusi nilai ujian ini mendekati distribusi normal dan seorang peserta dipilih secara acak, tentukan peluang bahwa peserta itu:
a. memperoleh nilai A;
b. memperoleh nilai B;
c. harus ikut ujian perbaikan.

Soal Nomor
Pengukuran panjang jari telunjuk tangan kanan manusia adalah suatu variabel yang terdistribusi normal dengan rata-rata $6$ cm dan simpangan baku $0,4$ cm. Seseorang dipilih secara acak. Tentukan probabilitas panjang jari telunjuk tangan kanan orang itu:
a. lebih pendek dari $6,5$ cm;
b. lebih panjang dari $5,5$ cm;
c. antara $5$ cm dan $7,5$ cm.