Soal dan Pembahasan – Garis Singgung Lingkaran (Tingkat SMP)

Quote by Christiano Ronaldo

Ada dua hal yang akan menentukan hidupmu, yaitu kesabaranmu saat kamu tidak punya apa-apa, dan attitude-mu ketika kamu memiliki segalanya.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Dua buah lingkaran dengan pusat di titik $M$ dan $N$ masing-masing berjari-jari $R_1$ dan $R_2$. Jika jarak $MN > R_1$ dan $MN>R_2$, maka banyak garis singgung persekutuan dalam dan luar kedua lingkaran tersebut berturut-turut adalah $\cdots \cdot$
A. $2$ dan $2$                   C. $0$ dan $2$
B. $1$ dan $2$                   D. $2$ dan $1$

Soal Nomor 2

Pada gambar di atas, $AB$ dan $AC$ adalah garis singgung lingkaran dengan pusat $O$. Panjang $AO = 51~\text{cm}$ dan $OB = 24~\text{cm}$. Luas layang-layang $OBAC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $540~\text{cm}^2$                     C. $1.080~\text{cm}^2$
B. $612~\text{cm}^2$                     D. $1.224~\text{cm}^2$

Karena $AB$ merupakan garis singgung lingkaran, maka besar $\angle OBA = 90^{\circ}$ (siku-siku). Untuk itu, berlaku rumus Pythagoras untuk mencari panjang $AB$.
$\begin{aligned} AB & = \sqrt{AO^2-OB^2} \\ & = \sqrt{51^2-24^2} \\ & = \sqrt{9(17^2-8^2)} \\ & = 3 \times \sqrt{289-64} \\ & = 3 \times 15 = 45~\text{cm} \end{aligned}$
(Ingat Triple Pythagoras: $\textbf{(8, 15, 17)}$)
Luas segitiga $OBA$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} L_{\triangle OBA} & = \dfrac{OB \times AB}{2} \\ & = \dfrac{24 \times 45}{2} = 540~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Luas segitiga $OCA$ juga $540~\text{cm}^2$. Dengan demikian, luas layang-layang $OBAC$ sama dengan $\boxed{L_{\triangle OBA} + L_{\triangle OCA} = 540+540=1.080~\text{cm}^2}$
(Jawaban C) [/spoiler]

Baca : Soal dan Pembahasan – Teorema Pythagoras

Soal Nomor 3
Jarak pusat dua buah lingkaran adalah $13~\text{cm}$ dan panjang salah satu jari-jarinya $2~\text{cm}$. Panjang garis singgung persekutuan luarnya $12~\text{cm}$. Panjang jari-jari lingkaran lainnya adalah $\cdots \cdot$
A. $3~\text{cm}$                    C. $5~\text{cm}$
B. $4~\text{cm}$                    D. $7~\text{cm}$

Diketahui:
$\begin{aligned} p & = 13~\text{cm} \\ r_k & = 2~\text{cm} \\ l & = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Kita akan mencari nilai $r_b$, yang merupakan jari-jari lingkaran lain yang lebih besar ukurannya.
Berdasarkan rumus panjang garis singgung persekutuan luar, diperoleh
$\begin{aligned} l^2 & = p^2-(r_k + r_b)^2 \\ 12^2 & = 13^2-(2 + r_b)^2 \\ 144 & = 169-(2+r_b)^2 \\ 25 & = (2 + r_b)^2 \\ 5 & = 2 + r_b \\ 3 & = r_b \end{aligned}$
Jadi, panjang jari-jari lingkaran lainnya adalah $\boxed{3~\text{cm}}$
(Jawaban A) [/spoiler]

Soal Nomor 4

Pada gambar di atas, $CD$ adalah garis singgung persekutuan luar. Diketahui panjang jari-jari $AD = 15~\text{cm}$, ruas garis $CD = 16~\text{cm}$, dan ruas garis $AB = 20~\text{cm}$. Panjang jari-jari $BC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3~\text{cm}$                     C. $5~\text{cm}$
B. $4~\text{cm}$                     D. $8~\text{cm}$

Soal Nomor 5
Gambar di bawah ini adalah penampang $10$ buah drum berbentuk tabung yang masing-masing berjari-jari $21~\text{cm}$.

Panjang tali minimal yang diperlukan untuk mengikat $10$ buah drum tersebut dengan asumsi $\pi = \dfrac{22}{7}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $276~\text{cm}$                   C. $486~\text{cm}$
B. $342~\text{cm}$                   D. $552~\text{cm}$

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Lingkaran (Tingkat SD)

Soal Nomor 6
Panjang jari-jari dua lingkaran masing-masing $3~\text{cm}$ dan $2~\text{cm}$. Panjang garis singgung persekutuan dalamnya $12~\text{cm}$. Jarak kedua pusatnya adalah $\cdots \cdot$
A. $\sqrt{119}~\text{cm}$                    C. $\sqrt{145}~\text{cm}$
B. $\sqrt{143}~\text{cm}$                    D. $\sqrt{169}~\text{cm}$

Soal Nomor 7
Pada gambar di bawah, panjang jari-jari $OA = 16~\text{cm}$ dan panjang garis singgung $PA = $30~\text{cm}$.

Panjang $OP$ adalah $\cdots \cdot$
A. $16~\text{cm}$                   C. $25~\text{cm}$
B. $22~\text{cm}$                   D. $34~\text{cm}$

Soal Nomor 8

Pada gambar di atas, $PA$ dan $PB$ adalah garis singgung lingkaran dengan pusat $O$. Panjang $OP = 50~\text{cm}$ dan $PA = 40~\text{cm}$. Panjang tali busur $AB$ adalah $\cdots \cdot$
A. $12~\text{cm}$                      C. $24~\text{cm}$
B. $18,75~\text{cm}$                 D. $48~\text{cm}$

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Lingkaran (Tingkat SMP)

Soal Nomor 9

Gambar di atas adalah penampang $15$ buah pipa paralon yang masing-masing berdiameter $14~\text{cm}$. Untuk $\pi=\dfrac{22}{7}$, panjang tali minimal untuk mengikat $15$ buah pipa paralon tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $168~\text{cm}$                  C. $240~\text{cm}$
B. $212~\text{cm}$                  D. $256~\text{cm}$

Soal Nomor 10
Panjang jari-jari dua lingkaran masing-masing $10~\text{cm}$ dan $2~\text{cm}$, sedangkan jarak kedua pusatnya $17~\text{cm}$. Panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $9~\text{cm}$                   C. $15~\text{cm}$
B. $12~\text{cm}$                 D. $20~\text{cm}$

Soal Nomor 11
Dua buah lingkaran masing-masing berjari-jari $5~\text{cm}$ dan $3~\text{cm}$. Jarak kedua pusatnya $10~\text{cm}$. Panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah $\cdots \cdot$
A. $6~\text{cm}$                  C. $15~\text{cm}$
B. $8~\text{cm}$                  D. $18~\text{cm}$

Soal Nomor 12
Panjang jari-jari dua lingkaran adalah $14~\text{cm}$ dan $5~\text{cm}$. Panjang garis singgung persekutuan luarnya $12~\text{cm}$. Jarak kedua pusatnya adalah $\cdots \cdot$
A. $\sqrt{169}~\text{cm}$                 C. $\sqrt{208}~\text{cm}$
B. $\sqrt{199}~\text{cm}$                 D. $\sqrt{225}~\text{cm}$

Soal Nomor 13

Pada gambar di atas, panjang jari-jari $PA = 5~\text{cm}$ dan $QB = 2~\text{cm}$. Panjang garis singgung persekutuan dalam $AB = 24~\text{cm}$. Jarak kedua pusatnya adalah $\cdots \cdot$
A. $10~\text{cm}$                   C. $26~\text{cm}$
B. $15~\text{cm}$                   D. $31~\text{cm}$

Soal Nomor 14
Jarak dua pusat lingkaran adalah $17~\text{cm}$, sedangkan panjang garis singgung persekutuan dalamnya $15~\text{cm}$. Panjang jari-jari salah satu lingkaran adalah $3~\text{cm}$. Panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah $\cdots \cdot$
A. $3~\text{cm}$                   C. $6~\text{cm}$
B. $5~\text{cm}$                   D. $9~\text{cm}$

Soal Nomor 15
Dua buah lingkaran masing-masing berjari-jari $15~\text{cm}$ dan $5~\text{cm}$. Panjang garis singgung persekutuan dalamnya $25~\text{cm}$. Jarak kedua pusatnya adalah $\cdots \cdot$
A. $\sqrt{225}~\text{cm}$                 C. $\sqrt{275}~\text{cm}$
B. $\sqrt{525}~\text{cm}$                 D. $\sqrt{1.025}~\text{cm}$

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Pada gambar di atas, $AB$ dan $AC$ merupakan garis singgung lingkaran dengan pusat $O$. Panjang $AB = 24~\text{cm}$ dan $OA = 30~\text{cm}$. Hitunglah:
a. panjang jari-jari $OB$;
b. luas $\triangle OAB$.

Soal Nomor 2
Dua buah lingkaran yang berpusat di $M$ dan $N$ mempunyai panjang jari-jari $5~\text{cm}$ dan $3~\text{cm}$, serta jarak kedua pusatnya $10~\text{cm}$. Garis singgung persekutuan dalamnya menyinggung kedua lingkaran di titik $A$ dan $B$.
a. Buatlah sketsanya.
b. Hitunglah panjang garis singgung $AB$.

Soal Nomor 3
Panjang jari-jari dua lingkaran masing-masing $7~\text{cm}$ dan $23~\text{cm}$. Jarak kedua pusatnya $34~\text{cm}$. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan luar dan dalamnya.

Soal Nomor 4

Gambar di atas menunjukkan penampang $5$ buah paralon yang masing-masing berdiameter $20~\text{cm}$. Untuk $\pi = 3,14$, hitunglah panjang tali minimal yang digunakan untuk mengikat $5$ paralon tersebut.

Soal Nomor 5

Gambar di atas menunjukkan penampang $21$ buah pipa berbentuk tabung yang masing-masing berjari-jari $42~\text{cm}$. Untuk $\pi = \dfrac{22}{7}$, hitunglah paniang tali minimal yang digunakan untuk mengikat paralon tersebut.