shanedizzysukardy – Mathcyber1997

Berikut ini merupakan soal (beserta pembahasannya dalam Bahasa Indonesia) Thailand International Mathematical Olympiad Tahun 2017 Senior Secondary (SMA). Terdapat 25 soal dalam 5 bidang lomba: logical thinking, algebra, number theory, geometry, dan combinatorics.

Logical Thinking

Soal Nomor 1
Given $A, B$ and $C$ are three non-zero digits and the 3-digit numbers formed by these three digits have the following properties:
1. $\overline{BAC}$ is divisible by 3;
2. $\overline{BCA}$ is divisible by 5;
3. $\overline{ABC}$ has an odd number of factors.
Find the 3-digit number $\overline{CBA}$ .
Diketahui $A, B$ , dan $C$ adalah tiga angka bukan nol dan bilangan 3-angka yang dibentuk dari ketiganya mempunyai sifat sebagai berikut:
1. $\overline{BAC}$ habis dibagi 3;
2. $\overline{BCA}$ habis dibagi 5;
3. $\overline{ABC}$ mempunyai faktor sebanyak ganjil.
Carilah bilangan 3-angka $\overline{CBA}$ .

Penyelesaian

Pada sifat kedua, kita dapatkan bahwa satu-satunya nilai $A$ yang mungkin adalah $5$ (karena bilangan habis dibagi 5 jika digit satuannya 0 atau 5, tetapi 0 tidak memenuhi kondisi yang diberikan).
Sekarang, perhatikan sifat pertama. Suatu bilangan habis dibagi 3 jika jumlah digitnya juga habis dibagi 3, yakni
$B + A + C = 3k \Rightarrow B + C + 5 = 3k$
untuk $k$ bilangan asli.
Pasangan berurut $(B, C)$ yang memenuhi kondisi ini beserta bilangan $\overline{ABC}$ dan banyak faktornya dinyatakan dalam tabel di bawah.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \rowcolor{yellow} B & C & \overline{ABC} & \text{FP} & \text{BF} \\ \hline 1 & 3 & 513 & 3^3 \cdot 19 & 8 \\ 3 & 1 & 531 & 3^2 \cdot 59 & 6 \\ 2 & 2 & 522 & 2 \cdot 3^2 \cdot 29 & 12 \\ 4 & 9 & 549 & 3^2 \cdot 61 & 6 \\ 9 & 4 & 594 & 2 \cdot 3^3 \cdot 11 & 16 \\ 5 & 8 & 558 & 2 \cdot 3^2 \cdot 31 & 12 \\ 8 & 5 & 585 & 3^2 \cdot 5 \cdot 13 & 12 \\ 6 & 7 & 567 & 3^4 \cdot 7 & 10 \\ \rowcolor{green} 7 & 6 & 576 & 2^6 \cdot 3^2 & 21 \\ \hline \end{array}$
Keterangan:
FP = Faktorisasi Prima: BF = Banyak Faktor.
Jadi, $A = 5, B = 7, C = 6$ , sehingga bilangan 3-angka $\overline{CBA}$ adalah $\boxed{675}$ .

[collapse]

Soal Nomor 2
Given that the mean, median, range and the only mode of 200 integers are also 200. If $A$ is the largest integer among those 200 integers, find the maximum value of $A$ .
Diketahui mean, median, range, dan modus dari 200 bilangan bulat juga 200. Jika $A$ adalah bilangan bulat terbesar di antara ke-200 bilangan bulat tersebut, carilah nilai maksimum dari $A$ .

Penyelesaian

Jika $A > 400$ dan rangenya $200$ , maka bilangan bulatnya akan melebihi $200$ , sehingga rata-ratanya melebihi $200$ .
Jika $A = 400$ dan rangenya $200$ , maka bilangan bulat terkecilnya adalah $200$ dan paling sedikit ada satu bilangan bulat yang lebih besar dari $200$ , sehingga rata-ratanya juga masih melebihi $200$ .
Jika $A = 399$ dan rangenya $200$ , maka bilangan terkecilnya $199$ . Karena mediannya $200$ , tidak lebih dari $99$ bilangan bulatnya $199$ , dengan rata-ratanya paling kecil
$\dfrac{1}{200}(99 \times 199 + 100 \times 200 + 1 \times 399) = 200,5$
Ini berarti, syarat rata-rata $200$ tidak terpenuhi.
Jika $A = 398$ dan rangenya $200$ , maka bilangan terkecilnya $198$ . Distribusi bilangan yang mungkin adalah:
$198$ muncul sebanyak $99$ kali
$200$ muncul sebanyak $100$ kali
$398$ muncul sebanyak $1$ kali
atau ditulis:
$\{\underbrace{198, 198, \cdots, 198}_{\text{ada}~99}, \underbrace{200, 200, \cdots, 200}_{\text{ada}~100}, 398\}$
dengan rata-ratanya
$\dfrac{1}{200}(99 \times 198 + 100 \times 200 + 1 \times 399) = 200$
Ini berarti, syarat rata-rata $200$ terpenuhi.
Jadi, nilai maksimum dari $A$ yang mungkin adalah $\boxed{398}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Thirty thousand children, numbered 1 to 30000, sit around a circle in order. Each child has an integer in hand. The child numbered 1 has the integer 2. Given that the sum of the integers of any 2017 consecutive children is equal to 4034. What is the integer held by the child numbered 24601?
Sebanyak 30000 anak yang diberi nomor urut 1 sampai 30000 duduk melingkar berurutan. Anak bernomor urut 1 memegang bilangan 2. Diketahui jumlah bilangan dari 2017 anak berurutan selalu 4034. Berapakah bilangan yang dipegang oleh anak bernomor urut 24601?

Penyelesaian

Apabila semua anak memegang bilangan 2, maka kondisi yang diberikan terpenuhi bahwa jumlah bilangan dari 2017 anak selalu $2 \times 2017 = 4034$ .
Jadi, bilangan yang dipegang oleh anak bernomor urut 24601 adalah $\boxed{2}$ .

[collapse]

Soal Nomor 4
There are 25 problems in a mathematics competition. The scores of each problem are allocated in the following ways: 3 marks will be given for a correct answer, 1 mark will be deducted from a wrong answer and 0 marks will be given for a blank answer. Find the minimum number of candidate(s) to ensure that 2 candidates will have the same scores in the competition.
Terdapat 25 soal dalam suatu lomba matematika. Nilai dari setiap soal mengikuti aturan berikut: 3 poin diberikan untuk jawaban yang benar, 1 poin dikurang untuk jawaban yang salah, dan poin 0 jika tak dijawab. Tentukan jumlah peserta paling sedikit untuk memastikan ada 2 peserta yang mendapatkan nilai yang sama dalam lomba tersebut.

Penyelesaian

Nilai tertinggi yang mungkin dicapai peserta kompetisi adalah $25 \times 3 = 75$ , sedangkan nilai terendahnya $25 \times (-1) = -25$ .
Selanjutnya, harus diperiksa bilangan apa dari rentang $-25$ sampai $75$ yang dapat diperoleh peserta.
Nilai $n < 0$ dapat diperoleh apabila menjawab $n$ soal dan semuanya salah.
Nilai $n > 0, n (\text{mod}~3) \equiv 0$ ( $n$ kelipatan 3) dapat diperoleh apabila menjawab $\dfrac{n}{3}$ soal dan semuanya benar.
Nilai $n > 0, n (\text{mod}~3) \equiv 1$ dapat diperoleh apabila menjawab $\left\lfloor\dfrac{n}{3}\right\rfloor+3$ soal dengan ketentuan sebanyak $\left\lfloor\dfrac{n}{3}\right\rfloor+1$ dijawab benar dan $2$ sisanya salah. Tetapi perhatikan bahwa $\left\lfloor\dfrac{n}{3}\right\rfloor+3 \leq 25$ , sehingga nilai $70$ dan $73$ tak mungkin didapat.
Dengan prinsip yang sama, nilai $n > 0, n (\text{mod}~3) \equiv 2$ dapat diperoleh apabila menjawab $\left\lfloor\dfrac{n}{3}\right\rfloor+2$ soal dengan ketentuan sebanyak $\left\lfloor\dfrac{n}{3}\right\rfloor+1$ dijawab benar dan $1$ sisanya salah. Ini mengakibatkan $74$ tak mungkin didapat.
Untuk itu, total banyak nilai yang mungkin adalah
$(75 - (-25) + 1) - 3 = 98$ .
Jadi, setidaknya perlu $\boxed{98 + 1 = 99}$ peserta untuk memastikan setidaknya ada 2 peserta yang memiliki nilai sama.

[collapse]

Soal Nomor 5
Use numbers 1 to 5 to fill in the boxes in the table below such that all five numbers in every row, every column and 2 diagonals are different. What is the number that we should fill in the box $X$ ?
Gunakan angka 1 sampai 5 untuk mengisi kotak dalam tabel berikut sedemikian sehingga semua bilangan dalam setiap baris, setiap kolom, dan 2 diagonalnya berbeda. Bilangan apa yang seharusnya diisi dalam kotak $X$ ?

Penyelesaian

Berdasarkan tabel di atas, angka yang seharusnya diisikan dalam kotak $X$ adalah $\boxed{3}$

[collapse]

Algebra

Soal Nomor 6
Let $\alpha$ and $\beta$ ( $\alpha, \beta \neq 0$ ) be the roots of the equation $x^2-2017x+1=0$ . If $\dfrac{1}{\alpha^2}$ and $\dfrac{1}{\beta^2}$ are the roots of the equation $x^2-Sx+1=0$ , find the value of $S$ .
Misalkan $\alpha$ dan $\beta$ ( $\alpha, \beta \neq 0$ ) adalah akar-akar dari persamaan $x^2-2017x+1=0$ . Jika $\dfrac{1}{\alpha^2}$ dan $\dfrac{1}{\beta^2}$ adalah akar-akar persamaan $x^2-Sx+1=0$ , tentukan nilai $S$ .

Penyelesaian

Jumlah akar $x^2 - 2017x + 1 = 0$ adalah
$\alpha + \beta = -\dfrac{-2017}{1} = 2017$ ,
sedangkan hasil akarnya adalah
$\alpha \beta = \dfrac{1}{1} = 1$
Jumlah akar $x^2 - Sx + 1 = 0$ dinyatakan sebagai berikut.
$\begin{aligned} \dfrac{1}{\alpha^2} + \dfrac{1}{\beta^2} & = S \\ \dfrac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha^2 \beta^2} & = S \\ \dfrac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta} {(\alpha \beta)^2} & = S \\ \dfrac{2017^2 - 2(1)} {1^2} & = S \\ 4068287 & = S \end{aligned}$
Jadi, nilai $S$ adalah $\boxed{4068287}$ .

[collapse]

Soal Nomor 7
Find the constant term in the expansion of $\left(2x - \dfrac{1}{x}\right)^3\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^4$
Tentukan konstanta dari ekspansi $\left(2x - \dfrac{1}{x}\right)^3\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^4$

Penyelesaian

Perhatikan bentuk $\left(2x-\frac{1}{x}\right)^3$ . Bila diuraikan, diperoleh
$\begin{aligned} & (2x)^3 - 3(2x)^2\left(-\dfrac{1}{x}\right) + 3(2x)\left(-\dfrac{1}{x}\right)^2 + \left(-\dfrac{1}{x}\right)^3 \\ & = 2x^3 + 6x - 6x^{-1} - x^{-3} \end{aligned}$
Himpunan bilangan yang mewakili pangkat variabelnya adalah $\{-3, -1, 1, 3\}$
Selanjutnya, perhatikan bentuk $\left(x+\frac{1}{x}\right)^4$ . Bila diuraikan, diperoleh
$\begin{aligned} & x^4 + 4x^3\left(\dfrac{1}{x}\right) + 6x^2\left(\dfrac{1}{x}\right)^2 + 4x\left(\dfrac{1}{x}\right)^3 + \left(\dfrac{1}{x}\right)^4 \\ & = x^4 + 3x^2 + 6 + 4x^{-2} + x^{-4} \end{aligned}$
Himpunan bilangan yang mewakili pangkat variabelnya adalah $\{-4, -2, 0, 2, 4\}$
Ambil masing-masing satu bilangan dari kedua himpunan itu.
Tidak akan ditemukan penjumlahan dua bilangan yang menghasilkan $0$ (Perkalian mengakibatkan penjumlahan pangkat). Ini berarti, tidak ada konstanta dari perkalian kedua bentuk tersebut.
Jadi, konstantanya adalah $\boxed{0}$ .

[collapse]

Soal Nomor 8
If $x$ is a real number and $5^x+5^{x+1}=2^x+2^{x+1}+2^{x+2}+2^{x+3}$ , find the value of $x$ .
Jika $x$ adalah bilangan real dan $5^x+5^{x+1}=2^x+2^{x+1}+2^{x+2}+2^{x+3}$ , tentukan nilai dari $x$ .

Penyelesaian

Faktorkan bentuk $5^x$ dan $2^x$ , kemudian gunakan sifat eksponen.
$\begin{aligned} 5^x+5^{x+1}& =2^x+2^{x+1}+2^{x+2}+2^{x+3} \\ 5^x(1 + 5) & = 2^x(1 + 2 + 4 + 8) \\ 6(5^x) & = 15(2^x) \\ \dfrac{5^x} {2^x} & = \dfrac{15}{6} \\ \left(\dfrac{5}{2}\right)^x & = \dfrac{5}{2} \\ x & = 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ adalah $\boxed{1}$ .

[collapse]

Soal Nomor 9
If $a$ is an integer, find the greatest value of $a$ such that $ax^2+(a+1)x+(a+2)=0$ has real root(s).
Jika $a$ adalah bilangan bulat, tentukan nilai terbesar dari $a$ sedemikian sehingga $ax^2+(a+1)x+(a+2)=0$ mempunyai akar real.

Penyelesaian

Persamaan kuadrat $ax^2+(a+1)x+(a+2)=0$ mempunyai akar real apabila diskriminannya sama dengan atau lebih dari $0$ .
$\begin{aligned} D & \geq 0 \\ (a+1)^2-4a(a+2) & \geq 0 \\ (a^2+2a+1)-(4a^2+8a) & \geq 0 \\ 3a^2 + 6a - 1 & \leq 0 \end{aligned}$
Nilai $a$ terbesar yang memenuhi pertidaksamaan itu adalah $\boxed{a = 0}$ .

[collapse]

Soal Nomor 10
Given that $0 \leq x \leq 2$ and $y=4x^4+12x^3(2-x)+12x^2 (2-x)^2+4x(2-x)^3$ . Find the greatest value of $y$ .
Diketahui $0 \leq x \leq 2$ dan $y=4x^4+12x^3(2-x)+12x^2 (2-x)^2+4x(2-x)^3$ . Tentukan nilai terbesar dari $y$ .

Penyelesaian

Sederhanakan persamaan $y$ yang diberikan.
$\begin{aligned} y & =4x^4+12x^3(2-x)+12x^2 (2-x)^2+4x(2-x)^3 \\ & = 4x(x^3 + 3x^2(2-x) + 3x(2-x)^2 + (2-x)^3) \\ & = 4x(x + (2-x))^3 \\ & = 4x(2)^3 = 32x \end{aligned}$
Perhatikan bahwa pertidaksamaan $0 \leq x \leq 2$ bila ketiga ruasnya dikalikan $32$ , diperoleh
$0 \leq 32x \leq 64$ .
Substitusikan $y = 32x$ , sehingga diperoleh
$0 \leq y \leq 64$
Jadi, nilai terbesar dari $y$ adalah $\boxed{64}$

[collapse]

Number Theory

Soal Nomor 11
Given that $\overline{20A17B}$ is a 6-digit number which is divisible by 56, find the value of $A+B$ .
Jika $\overline{20A17B}$ adalah bilangan 6-angka yang habis dibagi 56, tentukan nilai $A+B$ .

Penyelesaian

Karena $\overline{20A17B}$ habis dibagi $56$ , maka ini berarti $\overline{20A17B}$ juga habis dibagi $7$ dan $8$ .
Syarat bilangan habis dibagi $8$ adalah tiga angka terakhir bilangan itu habis dibagi $8$ , yaitu $\overline{17B}$ habis dibagi $8$ . Nilai $B$ yang memenuhi adalah $B = 6$ .
Kita peroleh bilangan $\overline{20A176}$ .
Selanjutnya, syarat bilangan habis dibagi $7$ : Jika angka satuan dikali $2$ , kemudian dijadikan pengurang bagi bilangan dengan angka tersisa menghasilkan bilangan yang habis dibagi $7$ .
Ini berarti, $\overline{20A17} - (6 \times 2) = \overline{20A05}$ habis dibagi 7.
Lanjutkan,
$\overline{20A0} - (5 \times 2)$ habis dibagi 7.
Bilangan kelipatan 10 dari $1990$ sampai $2080$ yang habis dibagi 7 hanya ada satu, yaitu $2030$ . Jadi, nilai $A = 4$ .
Dengan demikian, $\boxed{A + B = 4 + 6 = 10}$

[collapse]

Soal Nomor 12
Given that $x$ is a real number. Find the minimum value of $\sqrt{x(x+2)(x+4)(x+6)+160}$ .
Diketahui $x$ bilangan real. Tentukan nilai minimum dari $\sqrt{x(x+2)(x+4)(x+6)+160}$ .

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} & \sqrt{x(x+2)(x+4)(x+6)+160} \\ & = \sqrt{(x^2+6x) (x^2+6x+8)+160} \\ & = \sqrt{(x^2+6x)^2 + 8(x^2+6x) + 16 + 144} \\ & = \sqrt{(x^2+6x+4)^2 + 144} \\ & \geq \sqrt{144} = 12 \end{aligned}$
Jadi, nilai minimum dari $\sqrt{x(x+2)(x+4)(x+6)+160}$ adalah $\boxed{12}$

[collapse]

Soal Nomor 13
How many positive integer(s) $x$ is / are there so that $\sqrt{2017-\sqrt{x}}$ is an integer?
Berapa banyak bilangan bulat positif $x$ sehingga $\sqrt{2017-\sqrt{x}}$ adalah bilangan bulat?

Penyelesaian

Misalkan $a$ adalah bilangan bulat positif sedemikian sehingga $\sqrt{2017 - \sqrt{x}} = a$ .
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} \sqrt{2017 - \sqrt{x}} & = a \\ \text{Kuadratkan kedua ruas} & \\ 2017 - \sqrt{x} & = a^2 \\ -\sqrt{x} & = a^2 - 2017 \\ \text{Kuadratkan kedua ruas} & \\ x & = (2017 - a^2)^2 \end{aligned}$
Nilai $a$ yang mengakibatkan $2017 - a^2 > 0$ adalah $\{1, 2, 3, \cdots, 44\}$ . Nilai $x$ berturut-turut didapatkan dengan mensubstitusikan masing-masing nilai $a$ ini ke persamaan $x = (2017 - a^2)^2$ . Banyak nilai $x$ yang memenuhi ada $\boxed{44}$

[collapse]

Soal Nomor 14
Each of the digits $1, 2, 3, 4$ can be used once only in writing a 4-digit number. Find the sum of all possible values of these numbers.
Masing-masing dari angka $1, 2, 3, 4$ hanya bisa digunakan sekali untuk menuliskan bilangan 4-angka. Tentukan jumlah dari semua bilangan yang mungkin.

Penyelesaian

Penyusunan angka $1,2,3,4$ untuk membentuk bilangan 4-angka ada sebanyak $4! = 24$ cara. Masing-masing angka menempati posisi yang berbeda sebanyak 6 kali.
Perhatikan bahwa $6 \times (1+2+3+4) = 60$ . Penjumlahan ke-24 bilangan tersebut dapat dilakukan dengan skema penjumlahan bersusun ke bawah. Angka satuannya $60$ (tulis 0, simpan 6). Angka puluhannya menjadi $60 + 6 = 66$ (tulis 6, simpan 6), dan seterusnya sampai diperoleh bilangan $\boxed{66660}$

[collapse]

Soal Nomor 15
What is the largest integral value $n$ that satisfies the inequality $n^{2000} \leq 7^{3000}$ ?
Bilangan bulat $n$ terbesar apa yang memenuhi pertidaksamaan $n^{2000} \leq 7^{3000}$ ?

Penyelesaian

$\begin{aligned} n^{2000} & \leq 7^{3000} \\ (n^2)^{1000} & \leq (7^3)^{1000} \\ n^2 & \leq 7^3 = 343 \end{aligned}$
Pertidaksamaan terakhir menunjukkan kita harus mencari bilangan kuadrat terbesar yang tidak lebih dari $343$ . Bilangan kuadrat itu adalah $18^2 = 324$ . Jadi, nilai dari $n$ terbesar adalah $\boxed{18}$

[collapse]

Geometry

Soal Nomor 16
Find the area enclosed by the $X$ -axis and the straight lines $2x-y=0$ and $2x+3y-8=0$ .
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh sumbu $X$ dan garis lurus $2x-y=0$ dan $2x+3y-8=0$ .

Penyelesaian

Gambarkan kedua garis itu dalam koordinat Kartesius. Perhatikan gambar berikut!

Daerah yang akan dicari luasnya adalah daerah segitiga $ABC$ yang diarsir dengan panjang alas $a = 4$ dan tinggi $t = 2$ . Jadi, luasnya adalah
$\boxed{L = \dfrac{a \times t}{2} = \dfrac{4 \times \cancel{2}}{\cancel{2}} = 4}$

[collapse]

Soal Nomor 17
Draw a regular hexagon and a regular dodecagon (12-sided polygon) inscribed in one circle. If the area of the dodecagon is $12~\text{cm}^2$ , find the area of the hexagon in $\text{cm}^2$ . (Express your answer in surd form)
Gambarkan segienam beraturan dan dodekagon beraturan (segi-12) dalam satu lingkaran. Jika luas dodekagon itu $12~\text{cm}^2$ , carilah luas dari segienam itu dalam $\text{cm}^2$ . (Nyatakan jawaban Anda dalam bentuk akar)

Penyelesaian Belum Tersedia

[collapse]

Soal Nomor 18
Let $O$ be the origin, $A_1,A_2,A_3,\cdots$ be distinct points on the curve $y=\sqrt{x}$ and $B_1,B_2,B_3,\cdots$ be points on the positive $X$ -axis such that the triangles $OB_1A_1,B_1B_2A_2,B_2B_3A_3,\cdots$ are all equilateral triangles with side lengths $l_1,l_2,l_3,\cdots$ respectively. Find the value of $l_1+l_2+\cdots+l_{300}$ .
Misalkan $O$ adalah titik asal, $A_1,A_2,A_3,\cdots$ adalah titik-titik berbeda pada kurva $y=\sqrt{x}$ , dan $B_1,B_2,B_3,\cdots$ adalah titik-titik pada sumbu $X$ positif sedemikian sehingga $OB_1A_1,B_1B_2A_2,B_2B_3A_3,\cdots$ semuanya merupakan segitiga sama sisi dengan panjang sisi $l_1,l_2,l_3,\cdots$ secara berurutan. Tentukan nilai dari $l_1+l_2+\cdots+l_{300}$ .

Penyelesaian Belum Tersedia

[collapse]

Soal Nomor 19
Given $x,y$ are acute angles such that $\sin ⁡ y = 3 \cos (x+y) \sin x$ ⁡. Find the maximum value of $\tan ⁡y$ .
Diketahui $x, y$ adalah sudut lancip sehingga $\sin ⁡ y = 3 \cos (x+y) \sin x$ . Tentukan nilai maksimum dari $\tan y$ .

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \sin ⁡ y & = 3 \cos (x+y) \sin x \\ \sin y & = 3(\cos x \cos y - \sin x \sin y) \sin x \\ \text{Bagi kedua}&~\text{ruas dengan}~\cos y \\ \tan y & = 3 \cos x \sin x - 3 \sin^2 x \tan y \\ \tan y(1 +3 \sin^2 x) & = 3 \cos x \sin x \\ \tan y & = \dfrac{3 \sin x \cos x} {1+3 \sin^2 x} \\ \tan y & = \dfrac{3 \sin x \cos x}{(\sin^2 x + \cos^2 x) + 3 \sin^2 x} \\ \tan y & = \dfrac{3 \sin x \cos x}{4 \sin^2 x + \cos^2 x} \end{aligned}$
Dengan menggunakan Ketaksamaan Aritmetik-Geometri (AM-GM), diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{3 \sin x \cos x}{4 \sin^2 x + \cos^2 x} & \leq \dfrac{3 \sin x \cos x}{2\sqrt{4 \sin^2 x \cdot \cos^2 x}} \\ & = \dfrac{3 \cancel{\sin x} \bcancel{\cos x}}{4 \cancel{\sin x} \bcancel{\cos x}} = \dfrac{3}{4} \end{aligned}$
Nilai $\dfrac{3}{4}$ diperoleh ketika $\cos x = 2 \sin x$ .
Jadi, nilai maksimum dari $\tan y$ adalah $\boxed{\dfrac{3}{4}}$

[collapse]

Soal Nomor 20
Find the minimum distance from the point $(-2, 26)$ to straight line $5x-12y+10=0$ .
Tentukan jarak terpendek dari titik $(-2, 26)$ ke garis $5x-12y+10=0$ .

Penyelesaian

Jarak terpendek dari titik $(x_0, y_0)$ ke garis $ax + by + c = 0$ dirumuskan oleh
$d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
Untuk $x_0 = -2, y_0 = 26, a = 5, b = -12, c = 10$ , diperoleh
$\begin{aligned} d & = \dfrac{|5(-2) - 12(26) + 10|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} \\ & = \dfrac{|-10 -12 \times 26 + 10|}{\sqrt{169}} \\ & = \dfrac{12 \times \cancelto{2}{26}}{\cancel{13}} \\ & = 24 \end{aligned}$
Jadi, jarak terpendek dari titik $(-2, 26)$ ke garis $5x-12y+10=0$ adalah $\boxed{24}$

[collapse]

Combinatorics

Soal Nomor 21
Find the number of the combination(s) arranging 6 girls in a circle.
Tentukan jumlah kombinasi penyusunan 6 anak pada sebuah lingkaran.

Penyelesaian

Dengan menggunakan aturan permutasi siklis, banyak cara penyusunannya adalah
$(n-1)! = (6-1)! = 5! = 120$ cara.

[collapse]

Soal Nomor 22
There are 5 balls with labels $A,B,C,D$ and $E$ respectively and there are 5 pockets with labels $A,B,C,D$ and $E$ respectively. A ball is put into each pocket randomly. Find the number of way(s) in which exactly 2 balls have labels matching the labels on the pockets.
Ada 5 bola dengan label $A,B,C,D,E$ dan terdapat 5 kantong dengan label $A,B,C,D,E$ . Sebuah bola dimasukkan ke sebuah kantong secara acak. Carilah jumlah cara di mana tepat 2 bola memiliki label yang sesuai dengan label pada kantongnya.

Penyelesaian

Langkah pertama:
Pilih $2$ bola dari lima bola yang diberikan. Dengan menggunakan aturan kombinasi, banyak cara memilihnya ada $\binom{5}{2} = \dfrac{5!} {3!2!} = 10$ .
Langkah kedua:
Tiga bola sisanya yang tak dipilih HARUS dimasukkan ke dalam kantong yang labelnya tidak sesuai dengan label bola supaya terdapat tepat 2 bola yang labelnya sesuai. Masing-masing ada $2$ cara. Sebagai contoh:
ABCDE ~ ABDEC dan ABCDE ~ ABECD.
Dengan demikian, banyak cara yang dimaksud ada $\boxed{10 \times 2 = 20}$ .

[collapse]

Soal Nomor 23
A fair 6-face die is thrown 3 times. Find the probability that the sum of numbers obtained is 9 or 11.
Sebuah dadu 6-sisi yang setimbang digulirkan sebanyak 3 kali. Tentukan peluang kejadian jumlah dari bilangan yang diperoleh 9 atau 11.

Penyelesaian

Untuk itu, dapat dibuat tabel berikut.
$\begin{array} {|c|c|} \hline \rowcolor{green} (a, b, c) & \text{Total Permutasi} \\ \hline (1,2,6) & 3! = 6 \\ (1, 3,5)& 3!=6 \\ (1, 4, 4) & 3 \\ (2, 3, 4) & 3! = 6 \\ (2, 2, 5) & 3 \\ (3, 3, 3) & 1 \\ (1, 4, 6) & 3! = 6 \\ (1,5,5) & 3 \\ (2, 3, 6) & 3! = 6 \\ (2, 4, 5) & 3! = 6 \\ (3, 3, 5) & 3 \\ (3, 4, 4) & 3 \\ \hline \rowcolor{yellow} \text{Jumlah} & 52 \\ \hline \end{array}$
Jadi, ada peluang kejadiannya adalah
$\boxed{P(A) = \dfrac{52}{6^3} = \dfrac{13}{54}}$

[collapse]

Soal Nomor 24
Sixty cards are marked from 1 to 60 and 2 are drawn at random. Find the probability that one card drawn is a multiple of 5 and another one is a prime number.
Sebanyak 60 kartu ditandai dari 1 sampai 60 dan diambil 2 kartu secara acak. Tentukan peluang satu kartu yang terambil merupakan kelipatan 5 dan satunya lagi merupakan bilangan prima.

Penyelesaian

Kasus I:
$A$ : Kartu pertama yang terambil bertanda bilangan 5 dan kartu kedua yang terambil bertanda bilangan prima selain 5, yakni
$2, 3, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59$
(ada 16 bilangan)
Peluang terjadinya $A$ adalah
$P(A) = \dfrac{1}{60} \times \dfrac{16}{59}$
Kasus II:
$B$ : Kartu pertama yang terambil bertanda bilangan $10,15,20,\cdots, 60$ (ada 11 bilangan) dan kartu kedua yang terambil bertanda bilangan prima mulai dari 1 sampai 60 (ada 17 bilangan).
Peluang terjadinya $B$ adalah
$P(B) = \dfrac{11}{60} \times \dfrac{17}{59}$
Total peluangnya adalah
$P(A) + P(B) = \dfrac{16}{60 \times 59} + \dfrac{187}{60 \times 59} = \dfrac{203}{3540}$
Jadi, peluang terjadinya kejadian yang dimaksud adalah $\boxed{\dfrac{203}{3540}}$

[collapse]

Soal Nomor 25
Given $(a,b,c,d)$ is a set of integers and $a \geq -3,b \geq -2,c \geq -1,d \geq 0$ . Find the number of solution set(s) of $a+b+c+d=0$ .
Diketahui $(a,b,c,d)$ adalah himpunan bilangan bulat dan $a \geq -3,b \geq -2,c \geq -1,d \geq 0$ . Tentukan banyaknya himpunan penyelesaian dari $a+b+c+d=0$ .

Penyelesaian

Dari kondisi yang diberikan, kita peroleh
$a + 3 \geq 0, b + 2 \geq 0, c + 1 \geq 0, d \geq 0$ ,
dan persamaan baru $(a + 3) + (b + 2) + (c + 1) + d = 6$ yang memiliki solusi sama dengan solusi dari persamaan awal.
Diketahui:
Banyak variabelnya adalah $n = 4$
Nilai di ruas kanan persamaan adalah $r = 6$
Dengan formula kombinasi: $C^{n+r-1}_{n - 1}$ , diperoleh
$\begin{aligned}C^{4+6-1}_{4-1} = C^{9}_{3} & = \dfrac{9!}{6!3!} \\ & = \dfrac{\cancelto{3}{9} \times \cancelto{4}{8} \times 7 \times \bcancel{6!}}{\bcancel{6!} \times \cancelto{1}{6}} \\ & = 3 \times 4 \times 7 = 84 \end{aligned}$
Jadi, ada $\boxed{84}$ himpunan penyelesaian dari persamaan $a+b+c+d=0$

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Penulis: shanedizzysukardy

Soal dan Pembahasan – TIMO 2017 Heat Round Senior Secondary (SMA)