Soal dan Pembahasan – Fungsi Trigonometri dan Grafiknya

      Sebelumnya, kita sudah belajar menentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa. Ketika kita menuliskan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut yang dimulai dari 0\degree sampai 360\degree diperoleh nilai tertentu dan membentuk himpunan pasangan berurutan dalam format (besar sudut, nilai). Apabila himpunan tersebut disajikan pada bidang koordinat berupa titik-titik yang kemudian dihubungkan, maka akan terbentuk suatu kurva, yang selanjutnya kita sebut sebagai grafik fungsi trigonometri.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Dasar

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

        Nah, singkat cerita seperti penjelasan di atas. Untuk memantapkan pemahaman mengenai fungsi trigonometri, berikut disajikan soal beserta pembahasannya. Semoga bermanfaat!
Catatan: soal-soal berikut ini sebagian besar diambil dari buku LKS Matematika Wajib Kelas X Semester 2 yang dikarang oleh Sdr. Nur Aksin dan Sdr. Anna Yuni Astuti dan diterbitkan oleh Intan Pariwara.

Pas SMA,  gw paling gak demen kalau belajar trigonometri. Awalnya sih gampang, wah lama-lama mulai berasap nih kepala gara-gara sudutnya diperbesar lebih dari 90 derajat, lalu harus belajar fungsi trigonometri dan yang paling ngeselin ya itu, gambar grafiknya. Susahnya sih kita harus nge-sketch titik-titik di bidang koordinat, bisa pake bantuan tabel sih, cuma lama juga dan harus inget nilai-nilai perbandingan trigonometrinya. Kalau masih sangsut, susah juga mau ngelanjutin materinya. Intinya sih terus latihan dan paham dasar-dasarnya dulu. Jangan ngebet pengen cepet ngejar materi, tapi pahamnya setengah-setengah, ya! Semangat!


Sukardi – Founder of mathcyber1997.com

Soal Nomor 1
Diketahui grafik fungsi y_1 = 5 \sin x dan y_2 = \sin 5x. Pernyataan berikut yang benar adalah \cdots
A. periode y_1 = periode y_2
B. amplitudo y_1 = amplitudo y_2
C. periode y_1 = \frac15 kali periode y_2
D. amplitudo y_1 = \frac15 kali amplitudo y_2
E. amplitudo y_1 = 5 kali amplitudo y_2

Penyelesaian

Bentuk umum fungsi sinus tersebut adalah y = a \sin kx.
Periode:
Periode y_1 = 5 \sin x dengan k = 1 adalah P_1 = \dfrac{360\degree}{1} = 360\degree, sedangkan periode y_2 = \sin 5x dengan k = 5 adalah P_2 = \dfrac{360\degree}{5} = 72\degree.
Dapat disimpulkan bahwa periode y_1 sama dengan 5 kali periode y_2.
Amplitudo:
Amplitudo y_1 = 5 \sin x dengan a = 5 adalah A_1 = |a| = |5| = 5, sedangkan amplitudo y_2 = \sin 5x dengan a = 1 adalah A_2 = |a| = |1| = 1. Dapat disimpulkan bahwa amplitudo y_1 5 kali amplitudo y_2.
Pernyataan yang benar ada pada pilihan E.

[collapse]

Soal Nomor 2
Grafik f(x) = 2 \cos x memotong sumbu-X di titik berkoordinat \cdots
A. (30\degree, 0)              D. (90\degree, 0)
B. (45\degree, 0)              E. (180\degree, 0)
C. (60\degree, 0)

Penyelesaian

Apabila grafik memotong sumbu-X, maka nilai f(x) = y = 0. Dengan demikian,
f(x) = 2 \cos x \Rightarrow 0 = 2 \cos x \Leftrightarrow \cos x = 0
Nilai x yang membuat \cos x bernilai 0 adalah 90\degree.
Jadi, titik potong grafiknya berkoordinat \boxed{(90\degree, 0)}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 3
Grafik di atas adalah grafik fungsi \cdots

A. f(x) = \frac12 \sin \frac12x
B. f(x) = \frac12 \sin 2x
C. f(x) = \frac12 \cos 2x
D. f(x) = 2 \cos \frac12x
E. f(x) = 2 \cos 2x

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Grafik di atas merupakan modifikasi grafik cosinus (karena tidak dimulai dari garis normal di sumbu-X) dengan bentuk umum f(x) = a \cos kx.
Grafik juga menunjukkan bahwa nilai maksimum fungsinya \frac12, sedangkan nilai minimumnya -\frac12, sehingga
a = \dfrac{\text{N. Maksimum} - \text{N. Minimum}}{2} = \dfrac{\frac12 - (-\frac12)}{2} = \frac12.
Saat x = 0\degree, nilai fungsinya \frac12, lalu berulang kembali di x = \pi, sehingga periodenya \pi. Dengan demikian, k = \dfrac{2\pi}{\text{Periode}}= \dfrac{2\pi}{\pi} = 2.

Jadi, grafik fungsi di atas adalah grafik fungsi \boxed{f(x) = \dfrac12 \cos 2x}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 4
Grafik di atas adalah grafik fungsi \cdots

A. y = 2 \sin x, 0\degree \leq x \leq 270\degree
B. y = 2 \cos 4x, 0\degree \leq x \leq 270\degree
C. y = 4 \sin 2x, 0\degree \leq x \leq 270\degree
D. y = 4 \cos 2x, 0\degree \leq x \leq 270\degree
E. y = 4 \sin 4x, 0\degree \leq x \leq 270\degree

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Beranjak dari grafik sinus yang memiliki bentuk umum f(x) = a \sin kx, kurva pada gambar tidak bergeser dan berawal dari titik (0,0). Grafik juga menunjukkan bahwa nilai maksimum dan minimum fungsi adalah 4 dan -4, sehingga
a = \dfrac{\text{N. Maksimum} - \text{N. Minimum}}{2} = \dfrac{4 - (-4)}{2} = 4.

Pada saat nilai x = 180\degree, fungsi kembali bernilai 0, lalu berulang kembali seperti sebelumnya, sehingga periodenya adalah 180\degree, dan akibatnya
k = \dfrac{360\degree}{180\degree} = 2
Jadi, rumus fungsi \boxed{f(x)=4 \sin 2x} dengan batas interval 0\degree \leq x \leq 270\degree
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5
Grafik fungsi f(x) = -2 \cos 3x, -\pi \leq x \leq \pi adalah \cdots





Penyelesaian

Bentuk umum fungsi cosinus adalah f(x) = a \cos kx. Oleh karena f(x) = -2 \cos 3x, maka a = -2 dan k = 3.
Amplitudo grafiknya adalah -(-a) = a = 2 dan saat x = 0\degree, nilai fungsinya adalah f(0) = -2 \cos 3(0) = -2(1) = -2,
sehingga pilihan B, D, E tereliminasi.

Karena k = 3, maka periode fungsinya adalah 
\begin{aligned} k &= \dfrac{2\pi}{\text{Periode}} \\ 3 & = \dfrac{2\pi}{\text{Periode}} \Leftrightarrow \text{Periode} = \dfrac{2}{3}\pi \end{aligned}
Pada pilihan A, periode grafiknya adalah \pi - (-\pi) = 2\pi, sedangkan pada pilihan C, periode grafiknya dapat dilihat dengan observasi berikut: dari titik x = 0 ke titik x = \pi terdapat 1,5 gelombang (1,5 lembah; 1,5 bukit), sehingga periodenya adalah \dfrac{\pi - 0}{1,5} = \dfrac{2}{3}\pi
Jadi, grafik fungsi f(x) = -2 \cos 3x ditunjukkan pada pilihan C.

[collapse]

Soal Nomor 6
Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah \cdots

A. f(x) = 2 \sin \left(x - \frac{\pi}{2}\right)
B. f(x) = \sin \left(2x + \frac{\pi}{2}\right)
C. f(x) = 2 \sin \left(x + \frac{\pi}{2}\right)
D. f(x) = \sin \left(2x - \frac{\pi}{2}\right)
E. f(x) = 2 \sin \left(2x + \frac{\pi}{2}\right)

Penyelesaian

Beranjak dari grafik sinus: karena kurva bergeser (ke kiri) sejauh \frac{\pi}{2}, maka bentuk umum grafik fungsinya adalah f(x) = y = a \sin k(x-c).
Untuk grafik ini, nilai c yang menentukan pergeseran kurva adalah -\frac{\pi}{2} (tandanya negatif, karena grafik bergeser ke kiri).
Dimulai dari titik x = -\dfrac{\pi}{2} yang nilai fungsinya 0, grafik fungsi kembali bernilai 0 dan berulang kembali di titik x = \dfrac{3\pi}{2}, sehingga periode grafik fungsinya adalah \dfrac{3\pi}{2} - \left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = 2\pi.
Dengan demikian,
k = \dfrac{2\pi}{\text{Periode}} = \dfrac{2\pi}{2\pi} = 1
Nilai a ditentukan oleh nilai maksimum dan nilai minimum fungsi, yakni
a = \dfrac{\text{N. Maksimum} - \text{N. Minimum}}{2} = \dfrac{2 - (-2)}{2} = 2.

Jadi, rumus grafik fungsinya adalah \boxed{f(x) = 2 \sin 1\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = 2 \sin \left(x- \frac{\pi}{2}\right)}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 7
Perhatikan grafik berikut.

Fungsi yang memenuhi grafik di atas adalah \cdots
A. f(x) = -2 \sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right)
B. f(x) = -2 \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right)
C. f(x) = -2 \sin \left(2x - \frac{\pi}{2}\right)
D. f(x) = -2 \sin \left(2x + \frac{\pi}{2}\right)
E. f(x) = -2 \sin \left(2x - \frac{\pi}{4}\right)

Penyelesaian

Beranjak dari grafik sinus: karena kurva bergeser (ke kanan) sejauh \frac{\pi}{4}, maka bentuk umum grafik fungsinya adalah f(x) = y = a \sin k(x-c).
Untuk grafik ini, nilai c yang menentukan pergeseran kurva adalah \frac{\pi}{4}.
Dimulai dari titik x = -\frac{3\pi}{4} yang nilai fungsinya 0, grafik fungsi kembali bernilai 0 dan berulang kembali di titik x = \frac{\pi}{4}, sehingga periode grafik fungsinya adalah \dfrac{\pi}{4} - \left( -\dfrac{3\pi}{4}\right) = \pi.
Dengan demikian,
k = \dfrac{2\pi}{\text{Periode}} =  \dfrac{2\pi}{\pi} = 2
Nilai a ditentukan oleh nilai maksimum dan nilai minimum fungsi, yakni
a = \dfrac{\text{N. Maksimum} - \text{N. Minimum}}{2} = \dfrac{2 - (-2)}{2} = 2.

Jadi, rumus grafik fungsinya adalah \boxed{f(x) = -2 \sin 2\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -2 \sin \left(2x + \frac{\pi}{2}\right)}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Grafik fungsi berikut adalah sketsa grafik dari y = a \cos kx. Nilai a dan k berturut-turut adalah \cdots

A. -2~\text{dan}~1             D. 2~\text{dan}~1
B. -2~\text{dan}~2             E. 2~\text{dan}~-1
C. 2~\text{dan}~2

Penyelesaian

Nilai a ditentukan oleh nilai maksimum dan nilai minimum fungsi, yakni
a = \dfrac{\text{N. Maksimum} - \text{N. Minimum}}{2} = \dfrac{2 - (-2)}{2} = 2.

Grafik menunjukkan bahwa saat x = 0, nilai fungsinya -2, begitu juga saat x = 2\pi. Ini berarti, periode grafiknya adalah 2\pi, sehingga dengan menggunakan rumus periode, diperoleh
2\pi = \dfrac{2\pi}{k} \Leftrightarrow k = 1
Jadi, a dan k berturut-turut adalah \boxed{a=-2} dan \boxed{k=1}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui f(x)=\cos x +3 dengan 0 \leq x \leq 2\pi. Daerah hasil fungsi f(x) adalah \cdots
A. -3 \leq f(x) \leq 3              D. 0 \leq f(x) \leq 3
B. -2 \leq f(x) \leq 2              E. 2 \leq f(x) \leq 4
C. -1 \leq f(x) \leq 1

Penyelesaian

Agar f(x) = \cos x + 3 mencapai maksimum, maka \cos x haruslah sebesar-besarnya, yaitu \cos x = 1. Untuk itu,
f_{\text{maks}}(x) = 1 + 3 = 4
Agar f(x) = \cos x + 3 mencapai minimum, maka \cos x haruslah sekecil-kecilnya, yaitu \cos x = -1. Untuk itu,
f_{\text{min}}(x) = -1 + 3 = 2
Jadi, daerah hasil fungsi f(x) adalah semua nilai (bilangan real) dari 2 sampai 4, atau secara matematis ditulis \boxed{2 \leq f(x) \leq 4}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 10
Nilai minimum f(x) = 2 \sin \left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 1 adalah \cdots
A. -3         B. -2         C. -1          D. 1             E. 3

Penyelesaian

Nilai minimum f(x) = 2 \sin \left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 1 tercapai ketika \sin \left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) bernilai sekecil-kecilnya, yaitu \sin \left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) = -1. Untuk itu,
f_{\text{min}}(x) = 2(-1) + 1 =-1
Jadi, nilai minimum f(x) adalah \boxed{-1}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11
Fungsi f(x) = 2 - 5 \sin \dfrac{\pi x}{6} untuk -5 \leq x \leq 1 mempunyai nilai maksimum p di titik x=q. Nilai p+q=\cdots
A. 7          B. 6         C. 5          D. 4           E. 3

Penyelesaian

Agar f(x)=2 - 5 \sin \dfrac{\pi x}{6} , nilai \sin \dfrac{\pi x}{6} haruslah sekecil mungkin (negatif). Karena nilai minimum sinus adalah -1, maka dalam hal ini
\begin{aligned} \sin \dfrac{\pi x}{6} & = -1 \\  \sin \dfrac{\pi x}{6} & = \sin \dfrac{3\pi}{2} \\ \dfrac{\pi x}{6} &  = \dfrac{3\pi}{2} \\ \pi x & = 9\pi \\ x & = 9 \end{aligned}
Nilai x yang diperoleh berada di luar interval sehingga tidak memenuhi.
Di kasus lain,
\begin{aligned} \sin \dfrac{\pi x}{6} & = -1 \\  \sin \dfrac{\pi x}{6} & = -\sin \dfrac{\pi}{2} \\ \dfrac{\pi x}{6} &  = -\dfrac{\pi}{2} \\ \pi x & = -3\pi \\ x & = -3 \end{aligned}
Nilai x = -3 = q ini memenuhi interval yang diberikan. Ini berarti, nilai maksimum f(x) adalah f(-3) = 2 - 5 \sin \dfrac{\pi(-3)}{6} = 2 - 5(-1) = 7
Jadi, nilai \boxed{p + q = 7 + (-3) = 4}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui f(x) = \sqrt2 \cos 3x + 1. Jika nilai maksimum dan minimum f(x) berturut-turut adalah p dan q, maka nilai p^2+q^2 adalah \cdots
A. 1         B. 2          C. 3           D. 4           E. 6

Penyelesaian

Nilai maksimum f(x) = \sqrt2 \cos 3x + 1 tercapai ketika \cos 3x bernilai sebesar-besarnya, yaitu \cos 3x = 1. Untuk itu,
f_{\text{maks}}(x) = p = \sqrt2 (1) + 1 = \sqrt2 + 1
Nilai minimum f(x) = \sqrt2 \cos 3x + 1 tercapai ketika \cos 3x bernilai sekecil-kecilnya, yaitu \cos 3x = -1. Untuk itu,
f{\text{min}}(x)_ = q = \sqrt2 (-1) + 1 = -\sqrt2 + 1
Dengan demikian,
\begin{aligned} p^2+q^2 & = (\sqrt2 + 1)^2 + (-\sqrt2 + 1)^2 \\ & = (2 + \cancel{2\sqrt2} + 1) + (2 - \cancel{2\sqrt2} + 1) \\ & = 6 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{p^2+q^2=6}
(Jawaban E)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Tentukan periode, nilai maksimum, dan nilai minimum fungsi trigonometri berikut.
a. f(x) = 2 \sin 3x
b. f(x) = -3 \cos 2x
c. f(x) = 4 \tan \dfrac13x

Penyelesaian

Jawaban a)
Bentuk umum fungsi sinus tersebut adalah f(x) = a \sin kx.
Oleh karena fungsi f(x)= 2 \sin 3x, maka a=2 dan k=3.
1) Periode =\dfrac{360\degree}{k} = \dfrac{360\degree}{3} = 120\degree
2) Nilai maksimum = a = 2
3) Nilai minimum = -a = -2
Jawaban b)
Bentuk umum fungsi cosinus tersebut adalah f(x) = a \cos kx.
Oleh karena fungsi f(x)= -3 \cos 2x, maka a=-3 dan k=2.
1) Periode =\dfrac{360\degree}{k} = \dfrac{360\degree}{2} = 180\degree
2) Nilai maksimum = -a = -(-3)=3
3) Nilai minimum = a = -3
Jawaban c)
Bentuk umum fungsi tangen tersebut adalah f(x) = a \tan kx.
Oleh karena fungsi f(x)= 4 \tan \dfrac13x, maka a=4 dan k=\dfrac13.
1) Periode =\dfrac{180\degree}{k} = \dfrac{360\degree}{\frac13} = 540\degree
2) Nilai maksimum \infty
3) Nilai minimum -\infty
Catatan: fungsi tangen tidak memiliki amplitudo dan nilai maksimum/minimumnya tak hingga (atau negatif tak hingga).

[collapse]

Soal Nomor 2
Lukislah grafik fungsi trigonometri berikut.
a. f(x) = 2 \sin (x - 30\degree); 0\degree \leq x \leq 360\degree
b. f(x) = 3 \cos \left(2x + \dfrac{\pi}{2}\right); -\pi \leq x \leq \pi
c. f(x) = -3 \sin \dfrac12 x; 0 \leq x \leq 3\pi

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan fungsi yang sesuai dengan gambar grafik berikut.


Penyelesaian

Jawaban a)
Perhatikan sketsa gambar berikut.

Apabila grafik di atas digeser ke arah kanan sehingga titik ujungnya di (0,0), maka diperoleh grafik sinus berbentuk f(x) = y = a \sin k(x - \theta). Diketahui bahwa nilai maksimum dan minimum fungsi pada grafik adalah 3~\text{dan}~-3, sehingga

a = \dfrac{\text{N. Maksimum} - \text{N. Minimum}}{2} = \dfrac{3 - (-3)}{2} = 3
Tampak juga bahwa periode grafiknya adalah 2\pi = 360\degree, sehingga
k = \dfrac{2\pi}{\text{Periode}} = \dfrac{2\pi}{2\pi} = 1
Karena pergeserannya ke arah kanan sebesar \frac{\pi}{4}, maka \theta = -\dfrac{\pi}{4} (bertanda negatif bila digeser ke kanan), sehingga rumus fungsinya adalah f(x) = 3 \sin \left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)
Jawaban b)
Perhatikan sketsa gambar berikut.

Apabila grafik di atas digeser ke arah kanan sehingga titik ujungnya di (0,0), maka diperoleh grafik sinus berbentuk f(x) = y = a \sin k(x - \theta). Diketahui bahwa nilai maksimum dan minimum fungsi pada grafik adalah 1~\text{dan}~-1, sehingga

a = \dfrac{\text{N. Maksimum} - \text{N. Minimum}}{2} = \dfrac{1 - (-1)}{2} = 1
Tampak juga bahwa periode grafiknya adalah 180\degree, sehingga
k = \dfrac{360\degree}{180\degree} = 2
Karena pergeserannya ke arah kanan sebesar 30\degree, maka \theta = -30\degree (bertanda negatif bila digeser ke kanan), sehingga rumus fungsinya adalah f(x) =  \sin 2\left(x + 30\degree\right)

[collapse]

Bila kau tak tahan lelahnya belajar, maka kau harus tahan menanggung perihnya kebodohan


Imam Syafi’i

 

 

Ayo Beri Rating Postingan Ini