Ketaksamaan QM-AM-GM-HM – Materi, Soal, dan Pembahasan

Ketaksamaan QM-AM-GM-HM mungkin terdengar asing bagi kebanyakan orang karena teorema ini muncul dan dipakai hanya pada saat mengerjakan soal-soal setingkat olimpiade (untuk kalangan sekolah menengah), tetapi akan dipelajari secara mendalam oleh mahasiswa yang bereksplorasi dalam dunia matematika atau yang serumpun. Berikut disajikan definisi QM-AM-GM-HM.

Definisi: Rataan Kuadrat (Quadratic Mean – QM)

Jika diberikan data (bilangan) $x_1, x_2, \cdots, x_n$, maka nilai dari rataan kuadrat data itu dinyatakan oleh
$\textbf{QM} = \sqrt{\dfrac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n}}$

Definisi: Rataan Aritmetik (Arithmetic Mean – AM)

Jika diberikan data (bilangan) $x_1, x_2, \cdots, x_n$, maka nilai dari rataan aritmetik data itu dinyatakan oleh
$\textbf{AM} = \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$
Catatan: Rataan aritmetik (kadang disebut sebagai rataan hitung) adalah nilai rata-rata yang telah kita kenal sejak Sekolah Dasar.

Definisi: Rataan Geometrik (Geometric Mean – GM)

Jika diberikan data (bilangan) $x_1, x_2, \cdots, x_n$, maka nilai dari rataan geometrik data itu dinyatakan oleh
$\textbf{GM} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}$
Catatan: Rataan geometrik sering kali disebut sebagai rataan ukur.

Definisi: Rataan Harmonik (Harmonic Mean – HM)

Jika diberikan data (bilangan) $x_1, x_2, \cdots, x_n$, maka nilai dari rataan harmonik data itu dinyatakan oleh
$\textbf{HM} = \dfrac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}$

Ketaksamaan berikut selalu berlaku dan banyak digunakan untuk menyelesaikan persoalan maksimum-minimum.
$\textbf{QM} \geq \textbf{AM} \geq \textbf{GM} \geq \textbf{HM}$
Tips: untuk mempermudah mengingatnya, coba hafalkan mnemonik: Qu Adalah Guitar Hero.

Berikut disajikan beberapa soal dan pembahasan terkait penggunaan ketaksamaan tersebut. Sejumlah di antaranya merupakan soal OSN/KSN atau yang setingkat dengannya. Semoga bermanfaat!

Quote by Chadidjah Hakim

Manusia membutuhkan ilmu lebih daripada makan dan minum. Kita hanya makan 1 – 3 kali sehari, sedangkan kebutuhan akan ilmu sebanyak tarikan napas.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Untuk $x \geq 0$, nilai terkecil dari $\dfrac{4x^2+8x+13}{6+6x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                   C. $2$                  E. $5$
B. $1$                   D. $4$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \dfrac{4x^2+8x+13}{6+6x} & = \dfrac{4(x^2+2x)+13}{6+6x} \\ & = \dfrac{4((x+1)^2-1)+13}{6+6x} \\ & = \dfrac{4(x+1)^2+9}{6+6x} \end{aligned}$
Sekarang, dengan menggunakan Ketaksamaan AM-GM, memakai dua suku, yakni $\dfrac{4(x+1)^2}{6+6x}$ dan $\dfrac{9}{6+6x}$, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{4(x+1)^2}{6+6x} + \dfrac{9}{6+6x} & \geq 2\sqrt{\dfrac{4(x+1)^2}{6+6x} \cdot \dfrac{9}{6+6x}} \\ \dfrac{4(x+1)^2+9}{6+6x} & \geq 2 \cdot \dfrac{2(x+1)(3)}{6+6x} \\ \dfrac{4(x+1)^2+9}{6+6x} & \geq 2 \cdot \dfrac{\cancel{6x+6}}{\cancel{6+6x}} \\ \dfrac{4(x+1)^2+9}{6+6x} & \geq 2 \end{aligned}$$Ketaksamaan terakhir menunjukkan bahwa nilai minimum dari $\dfrac{4x^2+8x+13}{6+6x}$ adalah $\boxed{2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 2
Nilai minimum dari $x + \dfrac{1}{x^2}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3\sqrt[3]{\dfrac12}$                      D. $3\sqrt{\dfrac18}$
B. $3\sqrt[3]{\dfrac14}$                      E. $\sqrt[3]{\dfrac14}$
C. $3\sqrt{\dfrac12}$

Pembahasan

Misalkan $f(x) = x + \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{x^2}$.
Dengan menggunakan Ketaksamaan AM-GM, memakai $3$ suku, yaitu $\dfrac{x}{2}, \dfrac{x}{2}$, dan $\dfrac{1}{x^2}$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{x^2} & \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{1}{x^2}} \\ x + \dfrac{1}{x^2} & \geq 3\sqrt[3]{\dfrac14} \end{aligned}$
Ketaksamaan terakhir menunjukkan bahwa nilai minimum $x + \dfrac{1}{x^2}$ adalah $\boxed{3\sqrt[3]{\dfrac14}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3
Untuk bilangan real positif $x$ dan $y$ dengan $xy=\dfrac13$, nilai minimum dari $\dfrac{1}{9x^6}+\dfrac{1}{4y^6}$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $5$                    C. $8$                   E. $11$
B. $6$                    D. $9$

Pembahasan

Diketahhi $\color{blue}{xy = \dfrac13}$.
Misalkan $x_1 = \dfrac{1}{9x^6}$ dan $x_2 = \dfrac{1}{4y^6}$. Dengan menggunakan Ketaksamaan AM-GM pada kedua datum tersebut, kita peroleh
$\begin{aligned} \textbf{AM} & \geq \textbf{GM} \\ \dfrac{1}{9x^6}+\dfrac{1}{4y^6} & \geq 2\sqrt{\dfrac{1}{9x^6} \cdot \dfrac{1}{4y^6}} \\ & = 2\sqrt{\dfrac{1}{36(xy)^6}} \\ & = 2 \cdot \dfrac{1}{6(\color{blue}{xy})^3} \\ & = \dfrac{1}{3(\frac13)^3} = \dfrac{1}{\frac19} = 9 \end{aligned}$
Jadi, nilai minimum dari $\dfrac{1}{9x^6}+\dfrac{1}{4y^6}$ sama dengan $\boxed{9}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4 (Soal OSN-K Matematika SMP Tahun 2013)
Jika jumlah dua bilangan bulat positif adalah $24$, maka nilai terkecil dari jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                   C. $\dfrac13$                  E. $\dfrac16$
B. $\dfrac12$                  D. $\dfrac14$

Pembahasan

Misalkan dua bilangan itu adalah $x$ dan $y$, berarti $x+y=24$. Dalam hal ini, kita akan mencari nilai minimum dari $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$.
Dengan menggunakan Ketaksamaan AM-HM, yakni $\textbf{AM} \geq \textbf{HM}$, memakai suku $x$ dan $y$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{x+y}{2} & \geq \dfrac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} \\ \dfrac{24}{2} & \geq \dfrac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} \\ 12 & \geq \dfrac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} \\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} & \geq \dfrac{2}{12} = \dfrac16 \end{aligned}$
Ketaksamaan terakhir menunjukkan bahwa nilai minimum (terkecil) dari jumlah kebalikan bilangan-bilangan itu adalah $\boxed{\dfrac16}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 5 (Soal OSN-P Matematika SMA Tahun 2009)
Bilangan rasional positif $a < b < c$ membentuk barisan aritmetika dan memenuhi $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=3$. Banyak bilangan positif $a$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                    C. $2$                    E. $4$
B. $1$                    D. $3$

Pembahasan

Diketahui $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=3$.
Misalkan $x_1 = \dfrac{a}{b}$, $x_2=\dfrac{b}{c}$, dan $x_3=\dfrac{c}{a}$, maka berdasarkan Ketaksamaan AM-GM, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} & \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{c} \cdot \dfrac{c}{a}} \\ & = 3\sqrt[3]{1} = 3(1) = 3 \end{aligned}$
Padahal diketahui bahwa $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=3$, dan berdasarkan teorema ketidaksamaan AM-GM, persamaan tersebut terjadi hanya ketika $\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{a}$, berakibat $a = b = c = 1$.
Di lain sisi, diketahui bahwa $a < b < c$ sehingga tidak mungkin ada nilai $a$ yang memenuhi.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 6 (Soal OSN-P Matematika SMA Tahun 2011)
Jika $a \geq b > 1$, maka nilai terbesar yang mungkin untuk $^a \log \left(\dfrac{a}{b}\right) + ^b \log \left(\dfrac{b}{a}\right)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                    C. $2$                    E. $8$
B. $1$                    D. $4$

Pembahasan

Sederhanakan dulu ekspresi logaritma yang diberikan menggunakan sifat-sifat logaritma.
$\begin{aligned} & ^a \log \left(\dfrac{a}{b}\right) + ^b \log \left(\dfrac{b}{a}\right) \\ & = (^a \log a-^a \log b)+(^b \log b-^b \log a) \\ & = (1-^a \log b)+(1-^b \log a) \\ & = 2-(^a \log b +^b \log a) \end{aligned}$
Supaya bernilai maksimum, maka nilai $^a \log b +^b \log a$ harus dibuat sekecil mungkin. Dengan kata lain, kita harus mencari nilai minimum dari ekspresi tersebut.
Gunakan Ketaksamaan AM-GM.
$\begin{aligned} ^a \log b +^b \log a & \geq 2\sqrt{^a \log b \cdot ^b \log a} \\ & = 2\sqrt{1} = 2 \end{aligned}$
Kita peroleh nilai minimumnya $\color{blue}{2}$. Akibatnya, nilai maksimum dari $2-(\color{blue}{^a \log b +^b \log a})$ adalah $2-\color{blue}{2}=0$.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 7
Nilai minimum dari $f(x) = \dfrac{9x^2 \sin^2 x + 4}{x \sin x}$ untuk $0 < x < \pi$ adalah $\cdots \cdot$
A. $8$                    C. $12$                   E. $14$
B. $10$                  D. $13$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{aligned} f(x) &= \dfrac{9x^2 \sin^2 x + 4}{x \sin x} \\ & = 9x \sin x + \dfrac{4}{x \sin x} \end{aligned}$

Dengan menggunakan Ketaksamaan AM-GM, diperoleh
$$\begin{aligned} \textbf{AM} & \geq \textbf{GM} \\ 9x \sin x + \dfrac{4}{x \sin x} & \geq 2\sqrt{(9~\cancel{x \sin x})\left(\dfrac{4}{\cancel{x \sin x}}\right)} \\ & = 2\sqrt{36} = 12 \end{aligned}$$Akibatnya, $f(x) \geq 12$.
Jadi, nilai minimum dari $f(x)$ adalah $\boxed{12}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8 (Soal OSN-P Matematika SMA Tahun 2008)
Diberikan $f(x) = x^2+4$. Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan real positif yang memenuhi $f(xy)+f(y-x)$ $=f(y+x)$. Nilai minimum dari $x+y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                  C. $\sqrt2$                  E. $2\sqrt2$
B. $1$                  D. $2$

Pembahasan

Dari $f(x)=x^2+4$, diperoleh
$$\begin{aligned} f(xy) & = (xy)^2 + 4 \\ f(y-x) & = (y-x)^2 + 4 = y^2-2xy+x^2+4 \\ f(y+x) & = (y+x)^2+4=y^2+2xy+x^2+4 \end{aligned}$$Substitusikan masing-masing pada persamaan $f(xy)+f(y-x)$ $=f(y+x)$.
$$\begin{aligned} ((xy)^2+4)+(\cancel{y^2}-2xy+\bcancel{x^2+4}) & = \cancel{y^2}+2xy+\bcancel{x^2+4} \\ (xy)^2+4-2xy & = 2xy \\ (xy)^2-4xy+4 & = 0 \\ (xy-2)^2 & = 0 \\ xy & = 2 \end{aligned}$$Selanjutnya, kita akan mencari nilai minimum dari $x+y$ menggunakan Ketaksamaan AM-GM serta fakta bahwa $\color{blue}{xy=2}$, yakni
$x+y \geq 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{2}$
Jadi, nilai minimum dari $x+y$ adalah $\boxed{2\sqrt2}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 9 (Soal OSN-P Matematika SMA Tahun 2009)
Banyaknya bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan $x^4-2x^3+5x^2-176x$ $+2009=0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                     C. $2$                   E. $2009$
B. $1$                     D. $3$

Pembahasan

Diketahui $x^4-2x^3+5x^2-176x+2009=0$.
Dengan menggunakan Ketaksamaan AM-GM (melibatkan $5$ suku), kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{x^4-2x^3+5x^2-176x+2009}{5} & \geq \sqrt[5]{x^4(-2x^3)(5x^2)(-176x)(2009)} \\ \dfrac{0}{5} & \geq \sqrt[5]{x^{10} \cdot 1760 \cdot 2009} \\ 0 & \geq x^{10} \cdot 1760 \cdot 2009 \end{aligned}$$Ketaksamaan di atas bernilai benar ketika $x^{10}$ bernilai negatif atau nol. Karena $x$ bilangan real, maka $x^{10}$ tidak mungkin bernilai negatif, artinya satu-satunya kemungkinan adalah $x^{10}$ harus bernilai $0$, sehingga $x = 0$.
Jika $x = 0$ disubstitusikan pada polinomial $x^4-2x^3+5x^2-176x+2009$, hasilnya $0-0+0-0+2009 \neq 0$. Dengan demikian, tidak ada satu pun bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan $x^4-2x^3+5x^2-176x+2009=0$.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 10
Nilai minimum dari $\dfrac{(a^3+b^3+1)(b^3+c^3+1)(c^3+a^3+1)}{a^2b^2c^2}$ untuk bilangan real positif $a, b, c$ adalah $\cdots \cdot$
A. $18$                  C. $30$                  E. $36$
B. $27$                  D. $33$

Pembahasan

Dengan menggunakan Ketaksamaan AM-GM pada $3$ suku: $a^3$, $b^3$, dan $1$, diperoleh
$\begin{aligned} a^3+b^3+1 & \geq 3\sqrt[3]{a^3(b^3)(1)} \\ a^3+b^3+1 & \geq 3ab && (\cdots 1) \end{aligned}$
Dengan prinsip yang sama untuk $b^3$, $c^3$, dan $1$, serta $c^3$, $a^3$, dan $1$, kita dapatkan
$\begin{aligned} b^3+c^3+1 & \geq 3bc && (\cdots 2) \\ c^3+a^3+1 & \geq 3ac && (\cdots 3) \end{aligned}$
Kalikan ketiga persamaan tersebut sesuai posisi ruasnya.
$$\begin{aligned} (a^3+b^3+1)(b^3+c^3+1)(c^3+a^3+1) & \geq (3ab)(3bc)(3ac) \\ (a^3+b^3+1)(b^3+c^3+1)(c^3+a^3+1) & \geq 27a^2b^2c^2 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan}~&a^2b^2c^2 \\ \dfrac{(a^3+b^3+1)(b^3+c^3+1)(c^3+a^3+1)}{a^2b^2c^2} & \geq 27 \end{aligned}$$Dari ketaksamaan terakhir, kita peroleh bahwa nilai minimum dari $\dfrac{(a^3+b^3+1)(b^3+c^3+1)(c^3+a^3+1)}{a^2b^2c^2}$ adalah $\boxed{27}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11
Banyak pasangan bilangan real $(a, b)$ yang memenuhi persamaan $a^4+b^4=4ab-2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                   C. $2$                  E. $8$
B. $1$                   D. $4$

Pembahasan

Persamaan di atas ekuivalen dengan $a^4+b^4+2=4ab$.
Berdasarkan Ketaksamaan AM-GM yang melibatkan suku $a^4$ dan $b^4$, kita peroleh
$\begin{aligned} a^4+b^4 & \geq 2\sqrt{(a^4)(b^4)} \\ a^4+b^4 & \geq 2(ab)^2 \\ a^4 + b^4 + 2 & \geq 2(ab)^2 + 2 \end{aligned}$
Karena $a^4+b^4+2 = 4ab$, maka kita peroleh bahwa
$\begin{aligned} 2(ab)^2 + 2 & = 4ab \\ 2(ab)^2-4ab+2 & = 0 \\ \text{Bagi kedua ruas}&~\text{dengan}~2 \\ (ab)^2-2ab+1 & = 0 \\ (ab-1)^2 & = 0 \\ ab & = 1 \end{aligned}$
Substitusikan $ab = 1$ pada persamaan mula-mula,
$a^4+b^4 = 4(1)-2 = 2$
Di lain sisi, kesamaan dapat terjadi apabila $a^4=b^4$. Dengan demikian, kita peroleh $2b^4 = 2 \Rightarrow b = \pm 1$ dan $a = \pm 1$.
Perhatikan bahwa $ab = 1$, sehingga $a$ dan $b$ harus bertanda sama.
Jadi, pasangan bilangan real $(a, b)$ yang memenuhi persamaan tersebut ada $\boxed{2}$, yaitu $(1, 1)$ dan $(-1, -1)$.
(Jawaban C)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Buktikan bahwa untuk setiap $x, y > 0$, berlaku $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \geq 2$.

Pembahasan

Berdasarkan Ketaksamaan AM-GM, diperoleh
$\begin{aligned} \textbf{AM} & \geq \textbf{GM} \\ \dfrac{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}}{2} & \geq \sqrt{\dfrac{\bcancel{x}}{\cancel{y}} \cdot \dfrac{\cancel{y}}{\bcancel{x}}} = \sqrt1 = 1 \\ \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} & \geq 2 \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa berlaku $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \geq 2$ untuk $x, y > 0$.

[collapse]

Soal Nomor 2
Untuk bilangan positif $a,b,c,d$, buktikan bahwa selalu berlaku
$(a+b+c+d)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right) \geq 16$.

Pembahasan

Misalkan diberikan bilangan positif $a, b, c, d$. Berdasarkan Ketaksamaan AM-HM, diperoleh
$$\begin{aligned} \textbf{AM} & \geq \textbf{HM} \\ \dfrac{a+b+c+d}{4} & \geq \dfrac{4}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}} \\ (a+b+c+d)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right) & \geq 4(4) = 16 \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $(a+b+c+d)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right) \geq 16$.

[collapse]

Soal Nomor 3
Untuk $p, q, r > 0$ dan $p+q+r = 1$, buktikan bahwa $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r} \geq 9$.

Pembahasan

Diketahui $\color{red}{p+q+r = 1}$.
Kita akan menggunakan Ketaksamaan AM-HM, yaitu $\textbf{AM} \geq \textbf{HM}$.
$\begin{aligned} \dfrac{\color{red}{p+q+r}}{3} & \geq \dfrac{3}{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}} \\ \dfrac{\color{red}{1}}{3} & \geq \dfrac{3}{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}} \\ \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r} & \geq 3(3) = 9 \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r} \geq 9$.

[collapse]

Soal Nomor 4
Untuk $a,b,c \geq 0$, buktikan bahwa $(a+b)(a+c)(b+c) \geq 8abc$

Pembahasan

Dengan menggunakan Ketaksamaan AM-GM, berlaku $3$ pernyataan berikut.
$\begin{aligned} \dfrac{a+b}{2} & \geq \sqrt{ab} && (\cdots 1) \\ \dfrac{a+c}{2} & \geq \sqrt{ac} && (\cdots 2) \\ \dfrac{b+c}{2} & \geq \sqrt{bc} && (\cdots 3) \end{aligned}$
Kalikan masing-masing sesuai ruasnya dan kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{a+b}{2} \cdot \dfrac{a+c}{2} \cdot \dfrac{b+c}{2} & \geq \sqrt{ab} \cdot \sqrt{ac} \cdot \sqrt{bc} \\ \dfrac{(a+b)(a+c)(b+c)}{8} & \geq \sqrt{a^2b^2c^2} \\ (a+b)(a+c)(b+c) & \geq 8abc \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa untuk setiap $a,b,c \geq 0$, berlaku $(a+b)(a+c)(b+c) \geq 8abc$.

[collapse]

Soal Nomor 5
Buktikan bahwa untuk $x, y, z$ bilangan real positif, berlaku $x^2+y^2+z^2$ $\geq xy+xz+yz$. Kapan tanda kesamaan terjadi?

Pembahasan

Kita akan menggunakan Ketaksamaan AM-GM, memakai suku $x^2, y^2$, dan $z^2$.
Untuk masing-masing dua variabel, kita peroleh
$\begin{aligned} x^2+y^2 & \geq 2\sqrt{x^2 \cdot y^2} = 2xy \\ x^2+z^2 & \geq 2\sqrt{x^2 \cdot z^2} = 2xz \\ y^2+z^2 & \geq 2\sqrt{y^2 \cdot z^2} = 2yz \end{aligned}$
Jumlahkan ketiga ketaksamaan tersebut dan kita peroleh
$\begin{aligned} 2x^2+2y^2+2z^2 & \geq 2xy + 2xz + 2yz \\ \text{Bagi kedua ruas}&~\text{dengan}~2 \\ x^2+y^2+z^2 & \geq xy+xz+yz \end{aligned}$
Pernyataan terbukti.
Tanda kesamaan terjadi saat $x^2 = y^2 = z^2$, yakni ketika $x = y = z = 1$.

[collapse]

Soal Nomor 6 
Buktikan bahwa $999! < 500^{999}$. 

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$999! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times 999$.
Berdasarkan Ketaksamaan AM-GM, berlaku
$$\boxed{\sqrt[n]{a_1 \times a_2 \times a_3 \times \cdots \times a_{n-1} \times a_n} \leq \dfrac{\sum_{i=1}^n a_n}{n}}$$Tanda kesamaan berlaku jika dan hanya jika $a_1=a_2=a_3=\cdots=a_{n-1}=a_n$.
Karena $a_1 \neq a_2 \neq a_3 \neq \cdots \neq a_{n-1} \neq a_n$, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} \sqrt[n]{a_1 \times a_2 \times a_3 \times \cdots \times a_{n-1} \times a_n} & < \dfrac{\sum_{i=1}^n a_n}{n} \\ \sqrt[999]{1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times 999} & < \dfrac{\color{blue}{1+2+3+\cdots+999}}{999} \end{aligned}$$Deret yang ditandai dengan warna biru di atas merupakan deret aritmetika. Jumlahnya dapat dicari dengan menggunakan rumus $\text{S}_n = \dfrac{n}{2}(a+\text{U}_n)$.
Kita akan peroleh ketaksamaan
$\begin{aligned} \sqrt[999]{999!} & < \dfrac{\dfrac{999}{2}(1+999)}{999} \\ \sqrt[999]{999!} & < \dfrac{\cancel{999} \cdot 500}{\cancel{999}} \\ \sqrt[999]{999!} & < 500 \\ 999! & < 500^{999} \end{aligned}$
Terbukti bahwa $999! < 500^{999}$.

[collapse]

Soal Nomor 7
Untuk $a, b>0$, buktikan bahwa $\left(\dfrac{a+nb}{n+1}\right)^{n+1} \geq ab^n$ dengan $n$ bilangan bulat positif.

Pembahasan

Dengan menggunakan Ketaksamaan AM-GM, memakai suku $a, \underbrace{b, b, \cdots, b}_{n~\text{kali}}$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{a+\overbrace{b+b+\cdots+b}^{n~\text{kali}}}{n+1} & \geq (a \cdot \overbrace{b \cdot b \cdots b}^{n~\text{kali}})^{\frac{1}{n+1}} \\ \dfrac{a+nb}{n+1} & \geq (ab^n)^{\frac{1}{n+1}} \\ \left(\dfrac{a+nb}{n+1}\right)^{n+1} & \geq ab^n \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa ketaksamaan tersebut benar.

[collapse]

Soal Nomor 8
Buktikan bahwa $\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^2+\left(\dfrac{b+1}{b}\right)^2 \geq 18$ untuk $a, b$ bilangan real positif serta $a+b=1$.

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \dfrac{a+1}{a}+\dfrac{b+1}{b} & = \dfrac{a+(a+b)}{a}+\dfrac{b+(a+b)}{b} \\ & = 4 + \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \end{aligned}$$Dengan menggunakan Ketaksamaan AM-GM, memakai dua suku, yaitu $\dfrac{a+1}{a}$ dan $\dfrac{b+1}{b}$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{a+1}{a} + \dfrac{b+1}{b} = 4 + \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} & \geq 4 + 2\sqrt{\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{a}} \\ 4 + \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} & \geq 4+2 = 6 \end{aligned}$$Selanjutnya, dengan menggunakan Ketaksamaan QM-AM, memakai dua suku, yaitu $\dfrac{a+1}{a}$ dan $\dfrac{b+1}{b}$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \left(\dfrac{\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^2+\left(\dfrac{b+1}{b}\right)^2}{2}\right)^{1/2} & \geq \dfrac{\dfrac{a+1}{a}+\dfrac{b+1}{b}}{2} \\ \left(\dfrac{\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^2+\left(\dfrac{b+1}{b}\right)^2}{2}\right)^{1/2} & \geq \dfrac{6}{2} = 3 \\ \dfrac{\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^2+\left(\dfrac{b+1}{b}\right)^2}{2} & \geq 9 \\ \left(\dfrac{a+1}{a}\right)^2+\left(\dfrac{b+1}{b}\right)^2 & \geq 18 \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^2+\left(\dfrac{b+1}{b}\right)^2 \geq 18$.

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika $a, b > 0$ dan $a+b=1$, buktikan bahwa $\left(\dfrac{a^2+1}{a}\right)^2+\left(\dfrac{b^2+1}{b}\right)^2 \geq \dfrac{25}{2}$.

Pembahasan

Diketahui $\color{blue}{a+b=1}$.
Misalkan $f(a, b)$ adalah fungsi dua variabel.
$\begin{aligned} f(a, b) & = \left(\dfrac{a^2+1}{a}\right)^2+\left(\dfrac{b^2+1}{b}\right)^2 \\ & = \left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2+\left(b+\dfrac{1}{b}\right)^2 \\ & = a^2+2+\dfrac{1}{a^2} + b^2 + 2 + \dfrac{1}{b^2} \\ & = a^2+b^2+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+4 \end{aligned}$
Kita akan mencari nilai minimum $f(a, b)$, ekuivalen dengan mencari nilai minimum dari $g(a, b) = a^2+b^2+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}$.
Dengan menggunakan Ketaksamaan QM-AM, memakai $2$ suku, yaitu $a$ dan $b$, diperoleh
$\begin{aligned} \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}} & \geq \dfrac{a+b}{2} \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ \dfrac{a^2+b^2}{2} & \geq \left(\dfrac{\color{blue}{a+b}}{2}\right)^2 \\ \dfrac{a^2+b^2}{2} & \geq  \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac14 \\ \color{red}{a^2+b^2} & \color{red}{\geq \dfrac12} \end{aligned}$
Jika kita menggunakan Ketaksamaan GM-HM dengan suku $a^2$ dan $b^2$, diperoleh
$\sqrt{a^2b^2} = ab \geq \dfrac{2}{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}}~~~~(\cdots 1)$
Jika kita menggunakan Ketaksamaan AM-GM dengan suku $a$ dan $b$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{\color{blue}{a+b}}{2} & \geq \sqrt{ab} \\ \dfrac12 & \geq \sqrt{ab} \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ \dfrac14 & \geq ab && (\cdots 2) \end{aligned}$
Dari ketaksamaan $(1)$ dan $(2)$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac14 & \geq \dfrac{2}{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}} \\ \color{red}{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}} & \color{red}{\geq 2(4) = 8} \end{aligned}$
Sekarang, jumlahkan $2$ ketaksamaan yang ditandai dengan warna merah.
$a^2+b^2+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2} \geq 8+\dfrac12 = \dfrac{17}{2}$
Nilai minimum dari $g(a, b) = a^2+b^2+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}$ adalah $\dfrac{17}{2}$, berarti nilai minimum dari $g(a,b) = f(a,b)+4$ adalah $\dfrac{17}{2}+4$ $=\dfrac{25}{2}$.
Jadi, terbukti bahwa $\left(\dfrac{a^2+1}{a}\right)^2+\left(\dfrac{b^2+1}{b}\right)^2 \geq \dfrac{25}{2}$.

[collapse]

Soal Nomor 10
Buktikan bahwa untuk bilangan real positif $a, b$, dan $c$ dengan $a+b+c \leq 6$, maka berlaku $\dfrac{a+2}{a(a+4)}+\dfrac{b+2}{b(b+4)}+\dfrac{c+2}{c(c+4)} \geq 1$.

Pembahasan

Tinjau bentuk
$\begin{aligned} \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a+4} & = \dfrac{(a+4)+a}{a(a+4)} \\ & = \dfrac{2a+4}{a(a+4)} \\ & = \dfrac12 \cdot \dfrac{a+2}{a(a+4)} \end{aligned}$
Oleh karena itu,
$$\begin{aligned} & \dfrac{a+2}{a(a+4)}+\dfrac{b+2}{b(b+4)}+\dfrac{c+2}{c(c+4)} \\ & = \dfrac12\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a+4} + \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b+4} + \dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c+4}\right) \\ & = \dfrac12\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a+4}+\dfrac{1}{b+4}+\dfrac{1}{c+4}\right) \end{aligned}$$Berdasarkan Ketaksamaan AM-HM menggunakan suku $a, b$, dan $c$, kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{a+b+c}{3} & \geq \dfrac{3}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}} \\ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} & \geq \dfrac{9}{a+b+c} \end{aligned}$
Berdasarkan Ketaksamaan AM-HM menggunakan suku $a+4, b+4$, dan $c+4$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{a+4+b+4+c+4}{3} & \geq \dfrac{3}{\dfrac{1}{a+4}+\dfrac{1}{b+4}+\dfrac{1}{c+4}} \\ \dfrac{a+b+c+12}{3} & \geq \dfrac{3}{\dfrac{1}{a+4}+\dfrac{1}{b+4}+\dfrac{1}{c+4}} \\ \dfrac{1}{a+4}+\dfrac{1}{b+4}+\dfrac{1}{c+4} & \geq \dfrac{9}{a+b+c+12} \end{aligned}$$Sekarang, kita dapatkan
$$\begin{aligned} & \dfrac{a+2}{a(a+4)}+\dfrac{b+2}{b(b+4)}+\dfrac{c+2}{c(c+4)} \\ & = \dfrac12\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a+4}+\dfrac{1}{b+4}+\dfrac{1}{c+4}\right) \\ & \geq \dfrac12\left(\dfrac{9}{a+b+c}+\dfrac{9}{a+b+c+12}\right) \\ & \geq \dfrac12\left(\dfrac{9}{6}+\dfrac{9}{6+12}\right) \\ & = \dfrac12\left(\dfrac32 + \dfrac12\right) = 1 \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{a+2}{a(a+4)}+\dfrac{b+2}{b(b+4)}+\dfrac{c+2}{c(c+4)} \geq 1$.

[collapse]

Soal Nomor 11
Buktikan bahwa untuk $x$ dan $y$ bilangan real positif, berlaku
$\dfrac{1}{(1+\sqrt{x})^2} + \dfrac{1}{(1+\sqrt{y})^2} \geq \dfrac{2}{x+y+2}$.

Pembahasan

Berdasarkan Ketaksamaan AM-GM memakai suku $1$ dan $x$, diperoleh
$$\begin{aligned} 1+x & \geq 2\sqrt{(1)(x)} = 2\sqrt{x} \\ 1+x & \geq (1+\sqrt{x})^2-(1+x) \\ (1+x)+(1+x) & \geq (1+\sqrt{x})^2 \\ 2(1+x) & \geq (1+\sqrt{x})^2 \\ \dfrac{1}{(1+\sqrt{x})^2} & \geq \dfrac{1}{2(1+x)} && (\cdots 1)\end{aligned}$$Dengan prinsip yang sama, tetapi untuk suku $y$ dan $1$, diperoleh
$\dfrac{1}{(1+\sqrt{y})^2} \geq \dfrac{1}{2(1+y)}~~~~(\cdots 2)$
Jumlahkan kedua ketaksamaan di atas dan kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{(1+\sqrt{x})^2} + \dfrac{1}{(1+\sqrt{y})^2} & \geq \dfrac{1}{2(1+x)}+\dfrac{1}{2(1+y)} \\ & = \dfrac12\left(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}\right) && (\cdots 3) \end{aligned}$$Selanjutnya, gunakan Ketaksamaan AM-HM memakai suku $\dfrac{1}{1+x}$ dan $\dfrac{1}{1+y}$.
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y} & \geq 2 \cdot \dfrac{2}{\dfrac{1}{\frac{1}{1+x}} + \dfrac{1}{\frac{1}{1+y}}} \\ \dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y} & \geq \dfrac{4}{1+x+1+y} \\ \dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y} & \geq \dfrac{4}{x+y+2} && (\cdots 4) \end{aligned}$$Kita peroleh hubungan ketaksamaan $(3)$ dan $(4)$, yaitu
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{(1+\sqrt{x})^2} + \dfrac{1}{(1+\sqrt{y})^2} & \geq \dfrac12\left(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}\right) \\ \Rightarrow \dfrac{1}{(1+\sqrt{x})^2} + \dfrac{1}{(1+\sqrt{y})^2} & \geq \dfrac12\left(\dfrac{4}{x+y+2}\right) = \dfrac{2}{x+y+2} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{1}{(1+\sqrt{x})^2} + \dfrac{1}{(1+\sqrt{y})^2} \geq \dfrac{2}{x+y+2}$.

[collapse]

Soal Nomor 12
Diberikan $a, b, c$ bilangan real positif. Buktikan bahwa
$$\dfrac{a}{a + \sqrt{(a+b)(a+c)}} + \dfrac{b}{b + \sqrt{(b+c)(b+a)}} + \dfrac{c}{c + \sqrt{(c+a)(c+b)}} \leq 1$$

Pembahasan

Klaim bahwa $\sqrt{(a+b)(a+c)} \geq \sqrt{ab} + \sqrt{ac}$.
Pada nyatanya, kuadrat kedua ruas menghasilkan ketaksamaan:
$\begin{aligned} \left(\sqrt{(a+b)(a+c)}\right)^2 & \geq \left(\sqrt{ab} + \sqrt{ac}\right)^2 \\ (a+b)(a+c) & \geq ab+2a\sqrt{bc} + ac \\ a^2+\cancel{ac+ab}+bc & \geq \cancel{ab}+2a\sqrt{bc} + \cancel{ac} \\ a^2+bc & \geq 2a\sqrt{bc} \end{aligned}$
Ketaksamaan terakhir merupakan ketaksamaan yang diperoleh dari hubungan AM-GM menggunakan suku $a^2$ dan $bc$. Jadi, klaim sebelumnya benar.
Karena $\sqrt{(a+b)(a+c)} \geq \sqrt{ab} + \sqrt{ac}$, maka diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{a}{a + \sqrt{(a+b)(a+c)}} & \leq \dfrac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}} \\ & = \dfrac{a}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}} \\ & = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}} && (\cdots 1) \end{aligned}$$Dengan cara yang sama, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{b}{b + \sqrt{(b+c)(b+a)}} & \leq \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}} && (\cdots 2) \\ \dfrac{c}{c + \sqrt{(c+a)(c+b)}} & \leq \dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}} && (\cdots 3) \end{aligned}$$Jumlahkan ketaksamaan $(1)$, $(2)$, dan $(3)$, kita dapatkan
$$\begin{aligned} & \dfrac{a}{a + \sqrt{(a+b)(a+c)}} + \dfrac{b}{b + \sqrt{(b+c)(b+a)}} + \dfrac{c}{c + \sqrt{(c+a)(c+b)}} \\ & \leq \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}} + \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}} + \dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}} \\ & = \dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}} = 1 \end{aligned}$$Jadi, ketaksamaan yang diberikan telah terbukti.

[collapse]

Soal Nomor 13
Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan positif yang memenuhi $a+b=ab$. Buktikan bahwa $\dfrac{a}{b^2+2017} + \dfrac{b}{a^2+2017} \geq \dfrac{4}{2021}$.

Pembahasan

Diketahui $a + b = ab$.
Kuadratkan kedua ruas, kita peroleh
$\begin{aligned} (a + b)^2 & = (ab)^2 \\ a^2+b^2+2ab & = (ab)^2 \end{aligned}$
Menurut Ketaksamaan AM-GM, berlaku $a^2+b^2 \geq 2ab$, sehingga seterusnya kita peroleh
$\begin{aligned} a^2+b^2+\color{red}{+2ab} & \geq 2ab\color{red}{+2ab} \\ (ab)^2 & \geq 4ab \\ ab & \geq 4 \end{aligned}$
Untuk itu, kita dapatkan
$\begin{aligned} & \dfrac{a}{b^2+2017}+\dfrac{b}{a^2+2017} \\ & = \dfrac{a^2}{ab^2+2017a} + \dfrac{b^2}{a^2b + 2017b} \\ & \geq \dfrac{(a+b)^2}{ab(a+b)+2017(a+b)} \\ & = \dfrac{(ab)^2}{ab^2+2017ab} \\ & = \dfrac{ab}{ab+2017} = 1-\dfrac{2017}{ab+2017} \\ & \geq 1-\dfrac{2017}{4+2017} = \dfrac{4}{2021} \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{a}{b^2+2017}+\dfrac{b}{a^2+2017} \geq \dfrac{4}{2021}$.

[collapse]