Soal dan Pembahasan – Babak Penyisihan Kategori Kelas 9 Kompetisi Matematika Nalaria Realistik (KMNR) Tahun 2016

Berikut ini merupakan Soal Babak Penyisihan Kategori Kelas 9 Kompetisi Matematika Nalaria Realistik (KMNR) Tahun 2016. Setiap soal telah disertai pembahasannya agar dapat dijadikan bahan pembelajaran lomba yang bersangkutan. Silakan unduh soalnya di sini.

Soal Nomor 1
Nilai dari 12 \div 4 + 20 \times 16 = \cdots
A. 386                C. 323                E. 223
B. 368                D. 303 

Penyelesaian

12 \div 4 + 20 \times 16 = 3 + 320 = 323 (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 2
Nilai dari \dfrac{2+0+1+6}{6-1-0-2} = \cdots
A. 1      B. \frac{2}{3}      C. 2       D. \frac{3}{2}       E. 3

Penyelesaian

\dfrac{2+0+1+6}{6-1-0-2} = \dfrac{9}{3} = 3 (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 3
Tiga per empat dari bilangan 20 \dfrac{1}{6} adalah \cdots
A. 15,2    B. \frac{15}{6}    C. 15\frac{1}{8}      D. 15\frac{1}{6}    E. 15\frac{1}{3}

Penyelesaian

\begin{aligned} \dfrac{3}{4} \times 20\dfrac{1}{6} & = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{121}{6} \\ & = \dfrac{121}{4 \times 2} \\ & = \dfrac{121}{8} = 15 \dfrac{1}{8} \end{aligned}
Jadi, tiga per empat dari bilangan 20 \dfrac{1}{6} adalah 15\dfrac{1}{8} (Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 4
Dari bilangan-bilangan berikut ini, yang terbesar adalah \cdots
A. \sqrt{125}   C. 5^{\frac{5}{2}}      E. \sqrt{225}
B. 5\sqrt{6}     D. \dfrac{125}{2}        

Penyelesaian

(Pilihan A) Perhatikan bahwa \sqrt{121} < \sqrt{125} < \sqrt{144} atau ditulis 11 < \sqrt{125} < 12, sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai dari \sqrt{125} berada di antara 11 dan 12
(Pilihan B) Perhatikan bahwa 5\sqrt{6} = \sqrt{150} dan juga \sqrt{144} < \sqrt{150} < \sqrt{169} atau ditulis 12 < \sqrt{150} < 13 sehingga dapat disimpulkan bahwa 5\sqrt{6} nilainya berada di antara 12 dan 13
(Pilihan C) Perhatikan bahwa 5^{\frac{5}{2}} = 5^2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 25\sqrt{5} = \sqrt{3.125}
Dengan prinsip yang sama, didapat \sqrt{3.125} nilainya berada di antara 25 dan 26
(Pilihan D) \dfrac{125}{2} = 62,5
(Pilihan E) \sqrt{225} = 15
Berdasarkan analisis di atas, bilangan terbesarnya adalah \boxed{\dfrac{125}{2}} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Keliling dari bangun di bawah adalah \cdots

A. 38 cm                  D. 48 cm
B. 44 cm                  E. 84 cm
C. 46 cm

Spoiler

Perhatikan gambar berikut.

Keliling bangun datar di atas adalah
k = 7 + 3 + 4 + 6 + 4 + 3 + 7 + 12 = 46~\text{cm} (Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 6
Angka-angka 3, 5, 7, 6, 8 akan dibentuk menjadi beberapa bilangan genap lima angka. Angka ratusan pada bilangan genap lima angka terbesar yang dapat dibentuk adalah \cdots
A. 3        B. 5         C. 6          D. 7          E. 8

Penyelesaian

Agar didapat bilangan genap, posisi satuan hanya boleh ditempati oleh angka 6 dan 8. Agar diperoleh bilangan terbesar, satuannya ditempati oleh bilangan yang lebih kecil, yaitu 6
Selanjutnya, dari posisi puluh ribuan, susun dimulai dari angka terbesar, yaitu 87.536
Jadi, angka ratusan pada bilangan genap lima angka terbesar adalah \boxed{5} (Jawaban B).

[collapse]

Soal Nomor 7
Berapakah nilai terbesar yang akan didapat jika kita mengalikan dua bilangan dari himpunan \{-5, 8, 12, 9, -7,-16\}
A. 90           C. 108          E. 192
B. 102         D. 112                  

Penyelesaian

Perhatikan bahwa bilangan terbesar (positif) didapat dari hasil kali bilangan positif dengan bilangan positif ATAU bilangan negatif dengan bilangan negatif. 
Jadi, perkaliannya berupa
-16 \times -7 = 102
dan
12 \times 9 = 108
Ini berarti, bilangan terbesar yang mungkin adalah \boxed{108} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Jika -2x + 19 = 5x - 8, maka nilai x + \dfrac{1}{7} adalah \cdots
A. 0       B. 1         C. 2         D. 3         E. 4

Penyelesaian

\begin{aligned} -2x+19 & = 5x-8 \\ -2x-5x & = -8-19 \\ -7x & = -27 \\ x & = \dfrac{27}{7} \end{aligned}
Dengan demikian, didapat
x + \dfrac{1}{7} = \dfrac{27}{7} + \dfrac{1}{7} = 4 (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 9
Arief meninggalkan kantor Republika pada pukul 13.10 menuju Pasar Minggu untuk sebuah liputan. Arief sampai di lokasi pada pukul 14.15. Lama Arief menempuh perjalanan adalah \cdots detik. 
A. 3.660                  D. 5.400
B. 3.900                  E. 7.500
C. 4.500

Penyelesaian

Waktu tempuh Arief (13.10 – 14.15) dalam satuan menit adalah 65 menit. Karena 1 menit = 60 detik, maka waktu tempuhnya adalah \boxed{60 \times 65 = 3.900~\text{detik}} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10
Dalam sebuah stoples terdapat beraneka ragam kue. Tiga per tujuhnya adalah kue kacang. Dua per limanya adalah kue coklat, dan sisanya ada 6 kue keju. Berapa total banyaknya kue dalam stoples tersebut? 
A. 29    B. 32    C. 35     D. 42      E. 70

Penyelesaian

Sisa kue dalam bentuk pecahan adalah 
1 - \dfrac{3}{7} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{35-15-14}{35} = \dfrac{6}{35}
Pecahan \dfrac{6}{35} mewakili 6 kue, ini berarti banyaknya kue dalam stoples itu adalah
\boxed{6 \times \dfrac{35}{6} = 35} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11
Hanan memiliki sebuah kantong berisi 20 kelereng identik yang diberi nomor 1 sampai 20. Jika ia mengambil satu kelereng secara acak, manakah dari peristiwa berikut yang memiliki peluang terbesar? 
A. Terpilih bola bernomor ganjil lebih dari 1
B. Terpilih bola bernomor kurang dari 10
C. Terpilih bola bernomor kelipatan 2
D. Terpilih bola bernomor lebih dari 10
E. Terpilih bola bernomor bilangan prima

Penyelesaian

(Pilihan A) Banyak angka (nomor) ganjil lebih dari 1 adalah 9 (yaitu 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19). Semua bolanya ada 20. Jadi, peluang kejadiannya sebesar \dfrac{9}{20}
(Pilihan B) Banyak angka kurang dari 10 adalah 9 (yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Semua bolanya ada 20. Jadi, peluang kejadiannya sebesar \dfrac{9}{20}
(Pilihan C) Banyak bilangan kelipatan 2 adalah 10 (yaitu 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20). Semua bolanya ada 20. Jadi, peluang kejadiannya sebesar \dfrac{10}{20}
(Pilihan D) Banyak angka lebih dari 10 adalah 10 (yaitu 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20). Semua bolanya ada 20. Jadi, peluang kejadiannya sebesar \dfrac{10}{20}
(Pilihan E) Banyak bilangan prima dari 1-20 adalah 8 (yaitu 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19). Semua bolanya ada 20. Jadi, peluang kejadiannya sebesar \dfrac{8}{20}.
(Opsi Jawaban Ganda: C atau D)

[collapse]

Soal Nomor 12
Bilangan berikut ini: 3,6,12,17,18,33,x memiliki rata-rata dan median yang sama. Jika x kurang dari 33, maka nilai x adalah \cdots
A. 16     B. 25      C. 30        D. 31        E. 37

Penyelesaian

Misalkan rata-ratanya disimbolkan dengan notasi \overline{x}, maka
\begin{aligned} \overline{x} & = \dfrac{3+6+12+17+18+33+x}{7} \\ 7\overline{x} & =89+x \end{aligned}
Dengan trial & error, pilih mediannya 17 (berarti x \geq 17), maka ini berarti \overline{x} = 17, sehingga
7 \times 17 = 119 = 89 + x, dan didapat x = 30
Jadi, nilai x adalah \boxed{30} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 13
Hanif membeli coklat berukuran 8 \times 10 blok. Jika ia menghabiskan bagian terluar dari coklat tersebut, berapa bagian yang tersisa? 
A. \dfrac{1}{2}        B. \dfrac{1}{3}           C. \dfrac{2}{5}            D. \dfrac{3}{5}            E. \dfrac{4}{5}

Penyelesaian

Perhatikan gambar sketsa coklat berukuran 8 \times 10 berikut.

Bagian yang ditandai dengan warna biru muda merupakan bagian terluar dari coklat yang Hanif habiskan.
Banyak blok coklat yang tersisa adalah 6 \times 8 = 48, sedangkan jumlah blok coklat mula-mula sebanyak 8 \times 10 = 80. Jadi, bagian coklat yang tersisa adalah \boxed{\dfrac{48}{80} = \dfrac{3}{5}} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14
Tempat parkir untuk motor dan mobil dapat menampung 25 buah kendaraan. Jumlah roda seluruhnya 74 buah. Jika banyak motor dinyatakan dengan x dan banyak mobil dinyatakan dengan y, maka sistem persamaan linear dua variabel dari pernyataan di atas adalah \cdots
A. \begin{cases} x+y=74 \\ 2x+4y=25 \end{cases}
B. \begin{cases} x+y=25 \\ x+2y=49 \end{cases}
C. \begin{cases} x+y=25 \\ x+2y=37 \end{cases}
D. \begin{cases} x+2y=25 \\ 2x+4y=74 \end{cases}
E. x=12, y = 13

Penyelesaian

Jika banyak motor dinyatakan dengan x dan banyak mobil dinyatakan dengan y, maka dibentuk SPLDV sebagai berikut.
\begin{cases} x + y = 25 \\ 2x + 4y = 74 \end{cases}
Angka 2 dan 4 muncul berdasarkan jumlah roda pada sepeda motor dan jumlah roda pada mobil.
Model di atas dapat disederhanakan kembali menjadi berikut.
\begin{cases} x + y = 25 \\ x + 2y = 37 \end{cases} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 15
Bilangan manakah yang harus dihilangkan dari \dfrac{1}{12}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{10}, sehingga jumlah dari bilangan yang tersisa adalah 1?
A. \dfrac{1}{2}     B. \dfrac{1}{4}      C. \dfrac{1}{6}     D. \dfrac{1}{10}    E. \dfrac{1}{12}

Penyelesaian

Jumlah dari kelima bilangan pecahan itu dinyatakan oleh
\begin{aligned} \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{10} & = \dfrac{5+30+15+10+6} {60} \\ & = \dfrac{60 + 6}{60} \end{aligned}
Dari bentuk di atas, dapat ditarik kesimpulan bahwa pecahan yang perlu dihilangkan agar mendapat jumlah 1 adalah \boxed{\dfrac{6}{60} = \dfrac{1}{10}} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 16
Diketahui \triangle ABC adalah segitiga sama sisi.


Besar sudut x adalah \cdots
A. 15^{\circ}      C. 25^{\circ}         E. 35^{\circ}
B. 20^{\circ}      D. 30^{\circ}       

Penyelesaian

Karena \triangle ABC adalah segitiga sama sisi, maka \angle ABC = \angle ACB = \angle BAC = 60^{\circ}. Perhatikan bahwa \angle BCD merupakan sudut berpelurus, sehingga \angle DCE = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}
Perhatikan \triangle CDE. Jumlah semua besar sudut dalam segitiga adalah 180^{\circ}, maka untuk itu, haruslah
\begin{aligned} \angle CDE = x & = 180^{\circ} - \angle DCE - \angle DEC \\ & = 180^{\circ} - 120^{\circ} - 25^{\circ} \\ & = 35^{\circ} \end{aligned}
Jadi, besar sudut x adalah \boxed{35^{\circ}} (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 17
Salah satu akar dari persamaan 5x^2-mx-16 = 0 adalah 2. Jumlah akar-akarnya adalah \cdots
A. -2\dfrac{2}{5}    B. -\dfrac{2}{5}     C. \dfrac{1}{5}     D. \dfrac{2}{5}     E. 2\dfrac{2}{5}

Penyelesaian

Langkah pertama adalah menentukan nilai m dengan mensubstitusikan x=2 pada persamaan kuadrat itu.
\begin{aligned} 5x^2-mx-16 & = 0 \\ 5(2)^2 - 2m - 16 & = 0 \\ 20 - 2m - 16 & = 0 \\ 2m & = 4 \\ m & = 2 \end{aligned}
Dengan demikian, persamaan kuadrat itu adalah 5x^2 - 2x - 16 = 0 sehingga jumlah akar-akarnya adalah \boxed{x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a} = -\dfrac{-2}{5} = \dfrac{2}{5}} (Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 18
Perhatikan gambar berikut.

Jika Bondan ingin melanjutkan membentuk dengan pola seperti di atas sampai bentuk ke-10, maka berapa banyak persegi kecil yang Bondan butuhkan? 
A. 120                   D. 420
B. 220                   E. 520
C. 320

Penyelesaian

Jumlah persegi kecil dimulai dari bentuk pertama mengikuti pola bilangan kelipatan 4, yaitu 4, 8, 12, \cdots, 40
Untuk itu, akan dicari nilai dari 4 + 8 + 12 + \cdots + 40.
Dengan menggunakan metode Gauss, penjumlahan di atas dapat ditulis menjadi
\begin{aligned} &  (4 + 40) + (8 + 36) + \cdots + (20 + 24) \\ & = \underbrace{44 + 44 + \cdots + 44}_{\text{ada}~5} \\ & = 5 \times 44 = 220 \end{aligned}
Jadi, banyak persegi kecil yang Bondan butuhkan adalah \boxed{220} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 19
Masing-masing dari angka 2,3,5,6,8,9 akan diisikan tepat satu kali pada kotak yang ada sehingga membentuk operasi hitung pengurangan bilangan tiga angka dengan bilangan tiga angka.

Hasil positif terkecil yang mungkin adalah \cdots

A. 98      B. 58        C. 45        D. 25        E. 13

Penyelesaian

Pilih angka 5 dan 6 sebagai angka di posisi ratusan (karena bilangan itu merupakan mediannya). Bilangan yang dikurang harus SEKECIL MUNGKIN, sedangkan bilangan pengurang harus SEBESAR MUNGKIN. Untuk itu, buatlah bilangan 598 (menggunakan angka-angka yang besar) sebagai bilangan pengurang dan 623 (menggunakan angka-angka yang kecil) sebagai bilangan yang dikurang, sehingga
skema operasinya menjadi seperti gambar berikut.

Hasil pengurangannya adalah 25. (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 20
Perhatikan gambar berikut.

\triangle ABD, \triangle ADE, dan \triangle DEC adalah segitiga siku-siku yang kongruen. Diketahui BD = 5~\text{cm} dan DC = 13~\text{cm}. Tentukan panjang AC
A. 20 cm             C. 28 cm              E. 32 cm
B. 24 cm             D. 30 cm

Penyelesaian

Dengan menggunakan prinsip kekongruenan segitiga, diketahui bahwa
\begin{aligned} & BD = DE = 5~\text{cm} \\ & AD = DC = 12~\text{cm} \\ & AB = AE = EC = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12~\text{cm} \end{aligned}
Catatan: Gunakan Teorema Pythagoras untuk mencari panjang AB.
Dengan demikian,
AC = AE + EC = 12 + 12 = 24~\text{cm}
Jadi, panjang sisi AC adalah \boxed{24~\text{cm}} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 21
Sebuah peta mempunyai skala 1 : 500.000, kemudian difotokopi dengan ukuran 60\%. Jika jarak dua kota pada peta hasil fotokopi adalah 3,6 cm, maka jarak dua kota sebenarnya adalah \cdots km. 
A. 0,3          C. 30              E. 3.000
B. 3             D. 300         

Penyelesaian

Langkah pertama adalah menentukan jarak kedua kota pada peta (mula-mula), yaitu
\dfrac{100}{60} \times 3,6 = 6~\text{cm}
Jarak dua kota sebenarnya adalah
\begin{aligned} 6 \times 500.000 & = 3.000.000~\text{cm} \\ & = 30~\text{km} \end{aligned}
Jadi, jarak dua kota sebenarnya adalah \boxed{\text{30}~\text{km}} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 22
Jika x + \dfrac{1}{x} = 4, maka nilai dari \dfrac{13}{x^3 + \dfrac{1}{x^3}} adalah \cdots
A. \dfrac{1}{3}     B. \dfrac{1}{4}      C. \dfrac{5}{6}      D. \dfrac{1}{9}      E. \dfrac{5}{9}

Penyelesaian

Diketahui x + \dfrac{1}{x} = 4
\begin{aligned} \left(x + \dfrac{1}{x} \right)^3 & = 4^3 \\ x^3 + 3x + \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^3}} & = 64 \\ x^3 + \dfrac{1}{x^3} + 3\left(x + \dfrac{1}{x} \right) & = 64 \\ x^3 + \dfrac{1}{x^3} + 3(4) & = 64 \\ x^3 + \dfrac{1}{x^3} & = 52 \end{aligned}
Dengan demikian, diperoleh
\boxed{\dfrac{13}{x^3+\dfrac{1}{x^3}} = \dfrac{13}{52} = \dfrac{1}{4}} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 23
Pada sebuah koordinat Kartesius, diketahui titik A(-1,1), B(2,3), C(5,0), D(0,-2). Berapa luas segiempat ABCD
A. 10     B. 12     C. 16       D. 25       E. 32

Penyelesaian

Perhatikan gambar berikut.

Luas segiempat ABCD (daerah yang diwarna) dapat dihitung dengan mengurangkan luas persegi panjang FGHE dengan luas 4 segitiga siku-siku di dalamnya.
\begin{aligned} L_{ABCD} & = L_{EFGH} - L_{CDG} - L_{BCH} - L_{ABE} - L_{ADF} \\ & = (6 \cdot 5) - \dfrac{1}{2}\left(5 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 3) \\ & = 30 - \dfrac{1}{2}(10 + 9 + 6 + 3) \\ & = 30 - \dfrac{1}{2} \cdot 28 \\ & = 30 - 14 = 16 \end{aligned}
Jadi, luas segiempat ABCD adalah \boxed{16} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 24
Berikut ini yang bukan merupakan solusi dari persamaan (x+1)^{x^2-5x+6} =1 adalah \cdots
A. -2       B. 0       C. 1          D. 2          E. 3

Penyelesaian

Agar menghasilkan bilangan 1, maka pangkatnya harus bernilai 0 dan dengan syarat basisnya tak nol. Karena x^2-5x+6 = (x-2)(x-3), diperoleh x = 2 atau x = 3
Untuk x=2, didapat basis 2+1 = 3 \neq 0
Untuk x=3, didapat basis 3+1 = 4 \neq 0
Selanjutnya, basisnya harus bernilai 1 (karena 1 pangkat berapapun hasilnya tetap 1), maka haruslah x = 0
Terakhir, perhatikan bahwa(-1)^n untuk n genap juga menghasilkan bilangan 1
Untuk itu x+1 = -1 menghasilkan x = -2. Cek syarat bahwa pangkatnya harus genap.
Untuk x = -2, diperoleh
x^2-5x+6 = (-2)^2-5(-2)+6 = 20 (genap) 
Jadi, HP dari persamaan itu adalah \{-2, 0, 2, 3\}, sehingga yang bukan solusi adalah \boxed{1} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 25
Diketahui tiga suku barisan aritmetika pertama, yaitu p, 5,q dan tiga suku barisan geometri pertama, yaitu p, 2,q. Tentukan nilai dari \dfrac{8}{p} + \dfrac{8}{q}
A. 20      B. 24      C. 25       D. 48        E. 50

Penyelesaian

Dalam barisan aritmetika tersebut berlaku
\begin{aligned} \text{U}_1 + \text{U}_3 & = 2\text{U}_2 \\ p + q & = 2(5) = 10 \end{aligned}
Dalam barisan geometri tersebut berlaku
\begin{aligned} \text{U}_1 \times \text{U}_3 & = (\text{U}_2)^2 \\ pq & = 2^2 = 4 \end{aligned}
Dengan demikian, 
\begin{aligned} \dfrac{8}{p} + \dfrac{8}{q} & = \dfrac{8p + 8q} {pq} \\ & = \dfrac{8(p+q)} {pq} \\ & = \dfrac{8(10)} {4} = 20 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \dfrac{8}{p} + \dfrac{8}{p} adalah \boxed{20} (Jawaban A)

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini