Materi, Soal, dan Pembahasan – Bilangan Palindrom

Dua belas bilangan palindrom yang dimaksud adalah
$\begin{array}{ccc} 10001 & 10101 & 10201 & 10301 \\ 10401 & 10501 & 10601 & 10701 \\ 10801 & 10901 & 11011 & 11111. \\ \end{array}$
Jumlah $12$ bilangan palindrom tersebut bila kita hitung hasilnya adalah $\boxed{126.632}$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa $1$ jam = $60$ menit sehingga pada jam digital, dua digit yang menunjukkan menit hanya sampai $59.$
Misalnya formasi digit pada jam digital adalah $AB : CD.$
Untuk $A = 0$, diperoleh $D = 0$ (karena palindrom).
Sekarang $B = C$ dapat ditempati oleh $6$ angka, yaitu $0, 1, 2, 3, 4$, dan $5$.
Jadi, ada $6$ bilangan palindrom.
Selanjutnya, $A = 1 = D.$
$B = C$ juga dapat ditempati oleh $6$ angka, yaitu $0, 1, 2, 3, 4$, dan $5$.
Jadi, ada $6$ bilangan palindrom.
Terakhir, $A = 2 = D.$
$B = C$ hanya dapat ditempati oleh $4$ angka, yaitu $0, 1, 2$, dan $3$.
Jadi, hanya ada $4$ bilangan palindrom.
Secara keseluruhan, jam digital memunculkan $\boxed{6+6+4 = 16}$ bilangan palindrom selama satu hari.
(Jawaban C)

Misalkan bilangan palindrom $10$ angka berbentuk $\overline{ABCDEEDCBA}.$
Banyak digit untuk menempati $A$ adalah $9$, yaitu dari $1$ sampai $9$.
Banyak digit untuk menempati $B, C, D$, dan $E$ masing-masing adalah $10$, yaitu dari $0$ sampai $9$.
Secara keseluruhan, banyak bilangan palindrom $10$ angka adalah $\boxed{9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 90.000}$
(Jawaban C)

Bilangan palindrom $1$ angka ada sebanyak $9$ bilangan.
Bilangan palindrom $2$ angka juga ada sebanyak $9$ bilangan.
Bilangan palindrom $3$ angka ada sebanyak $9 \times 10 = 90$ bilangan.
Bilangan palindrom $4$ angka juga ada sebanyak $9 \times 10 = 90$ bilangan.
Bilangan palindrom $5$ angka ada sebanyak $9 \times 10 \times 10 = 900$ bilangan.
Bilangan palindrom $6$ angka juga ada sebanyak $9 \times 10 \times 10 = 900$ bilangan.
Sampai saat ini, bilangan palindrom $6$ angka terakhir menempati suku ke
$9+9+90+90+900+900 = 1998.$
Suku ke-$1999$ selanjutnya ditempati oleh bilangan palindrom $7$ angka.
Sekarang kita kerjakan secara manual untuk mendapatkan suku ke-$2020.$
$$\begin{array}{cccc} \underbrace{100 0 001}_{1999} & \underbrace{100 1 001}_{2000} & \underbrace{100 2 001}_{2001} \\ \underbrace{100 3 001}_{2002} & \cdots & \underbrace{100 9 001}_{2008} \\ \underbrace{101 0 101}_{2009} & \underbrace{101 1 101}_{2010} & \underbrace{101 2 101}_{2011} \\ \underbrace{101 3 101}_{2012} & \cdots & \underbrace{101 9 101}_{2018} \\ \underbrace{102 0 201}_{2019} & \underbrace{102 1 201}_{2020} & \\ \end{array}$$Jadi, bilangan palindrom urutan ke-$2020$ adalah $\boxed{1.021.201}$
(Jawaban A) 

Bilangan palindrom $1$ angka ada sebanyak $8$ bilangan (tanpa bilangan $1$.
Bilangan palindrom $2$ angka juga ada sebanyak $9$ bilangan.
Bilangan palindrom $3$ angka ada sebanyak $9 \times 10 = 90$ bilangan.
Bilangan palindrom $4$ angka dengan bentuk $\overline{1aa1}$ ada sebanyak $10$, karena $a$ dapat ditempati oleh $10$ angka dari $0$ sampai $9$.
Bilangan palindrom $4$ angka di atas $2000$ dan di bawah $2020$ hanya ada satu, yaitu $2002.$
Jadi, total keseluruhan bilangan palindrom di antara $1$ dan $2020$ adalah $\boxed{8+9+90+10+1 = 118}$
(Jawaban D)

$\overline{abc}$ merupakan bilangan palindrom sehingga $a = c.$
Karena $a \leq b \leq c$, ini berarti $b$ juga harus sama dengan $a$ dan $c$.
Jelas bahwa jika $a = b = c$, maka bilangan palindrom yang dimaksud ada $\boxed{9},$ yaitu $111, 222, \cdots, 999.$
(Jawaban D)

Misalkan bilangan palindrom empat angka itu adalah $\overline{abba}$.
Ada $5$ angka, yaitu $1, 2, 3, 4$, dan $5$, yang dapat menempati $a$, begitu juga dengan $b$. Artinya, ada $5 \times 5 = 25$ bilangan palindrom yang terbentuk, yaitu sebagai berikut.
$\begin{array}{ccccc} 1111 & 1221 & 1331 & 1441 & 1551 \\ 2112 & 2222 & 2332 & 2442 & 2552 \\ 3113 & 3223 & 3333 & 3443 & 3553 \\ 4114 & 4224 & 4334 & 4444 & 4554 \\ 5115 & 5225 & 5335 & 5445 & 5555 \\ \end{array}$
Untuk mencari jumlah dari $25$ bilangan palindrom tersebut, kita gunakan perhitungan cepat sesuai posisi angkanya (seperti penjumlahan bersusun).
Angka satuan:
$\begin{aligned} & 5 \times 1 + 5 \times 2 + 5 \times 3 + 5 \times 4 + 5 \times 5 \\ & = 5(1+2+3+4+5) = 5(15) = 75 \end{aligned}$
Tulis $5$ simpan $\color{red}{7}$.
Angka puluhan:
$5 \times (1+2+3+4+5) + \color{red}{7} = 82$
Tulis $2$ simpan $\color{red}{8}.$
Angka ratusan:
$5 \times (1+2+3+4+5) + \color{red}{8} = 83$
Tulis $3$ simpan $\color{red}{8}$.
Angka ribuan:
$5 \times (1+2+3+4+5) + \color{red}{8} = 83$
Tulis $83.$
Jadi, hasil jumlahnya adalah $83325$. Artinya, $A=8$, $B=3$, $C=3$, $D=2$, dan $E=5$ sehingga $\boxed{A+B+C+D+E=21}$
(Jawaban C)

Misalkan bilangan palindrom enam angka dinotasikan dengan $\overline{ABCCBA}.$
Karena genap, $A$ hanya boleh diisi oleh digit $2, 4, 6$, dan $8$. Digit $0$ tidak diperbolehkan karena $A$ juga menempati posisi ratusan ribu.
$B$ dan $C$ keduanya dapat diisi oleh $10$ angka dari $0$ sampai $9$.
Dengan demikian, banyak bilangan palindrom enam angka yang merupakan bilangan genap adalah $\boxed{4 \times 10 \times 10 = 400}$
(Jawaban B)

Angka yang menyatakan bulan adalah kebalikan dari angka yang menyatakan menit, sedangkan angka yang menyatakan tanggal adalah kebalikan dari angka yang menyatakan jam.
Bulan $01, 02, 03, 04, 05, 10, 11$, dan $12$ bila dibalik angkanya (sebagai angka pada menit) memungkinkan kemunculan bilangan palindrom.
Jadi, banyak angka yang menyatakan bulan untuk membentuk palindrom ada $9$ buah.
Kemudian, kita lihat angka yang menyatakan tanggal, kebalikan dari angka itu menyatakan jam sehingga tanggal yang diperbolehkan adalah $01, 02, 10, 11, 12$, $20, 21, 22$, $30$, dan $31$. Hari $03$ sampai $09$, hari $13$ sampai $19$, dan hari $23$ sampai $29$ tidak diperbolehkan karena bila dibalik angkanya, hasilnya lebih dari $23$ (padahal jam hanya terbatas di $23 : 59).$
Jadi, banyak angka yang menyatakan tanggal untuk membentuk palindrom adalah $10$ buah.
Perlu diperhatikan juga bahwa dari $8$ bulan yang disebutkan di atas, hanya ada $3$ bulan yang tidak sampai $31$ hari. Tanggal $30$ Februari juga tidak ada. Dengan demikian, banyak bilangan palindrom totalnya adalah $\boxed{(8 \times 10)-3-1 = 76}$
(Jawaban C)

Misalkan bilangan palindrom tiga angka dinotasikan dengan $\overline{ABA}$ dan $\overline{CDC}.$ Penjumlahan dari kedua bilangan ini menghasilkan bilangan palindrom empat angka, yaitu
$\overline{XYYX} = \overline{ABA} + \overline{CDC}.$
Jumlah terbesar yang mungkin tercapai adalah $999 + 999 = 1.998$ (tetapi ini bukan palindrom). Ini artinya, digit ribuan (dan satuan) harus $1$.
Jadi, ditulis
$\overline{1YY1} = \overline{ABA} + \overline{CDC}.$
Jika kita tuliskan dalam bentuk panjang, diperoleh
$$\begin{aligned} 1(1.000) + Y(100) + Y(10) + 1 & = A(100) + B(10) + A + C(100) + D(10) + C \\ (10+Y)(100) + Y(10) + 1 & = (A+C)(100) + (B+D)(10) + (A + C). \end{aligned}$$ $A + C$ harus dibuat menjadi $1$. Pilih $A + C = 11$ (tulis $1$, simpan $1).$
$B + D$ harus dibuat menjadi $Y$ sehingga kita tuliskan
$B + D + 1 = Y$ (simpan $1).$
Selanjutnya, $A+C$ yang bernilai $11+1=12$ mengisi digit ratusan, sekaligus ribuan.
Jadi, terbentuk bilangan palindrom terbesar, yaitu $\boxed{1.221}$
(Jawaban B)

Bilangan 11-angka dengan angka tengahnya $0$ digambarkan dalam filling slot seperti berikut.
Angka yang digunakan ada $5$, yaitu $0, 2, 3, 4, 8$.
Untuk mengisi posisi paling kiri, hanya ada $4$ angka yang diperbolehkan ($0$ tidak boleh di depan), lalu posisi berikutnya semua angkanya boleh, masing-masing $5$.
Digit ke-7 dan seterusnya mengikuti digit awal karena palindrom.
Dengan demikian, banyak susunan bilangan yang demikian adalah $\boxed{4 \times 5^4 = 2.500}$
(Jawaban D)

Suatu bilangan habis dibagi $13$ apabila hasil jumlah silang tanda untuk setiap $3$ angka dari kanan ke kiri bilangan tersebut juga habis dibagi $13$.
Misalkan bilangan tersebut adalah
$X =\underbrace{111\cdots 11}_{\text{ada}~{12}}ABCD \underbrace{111\cdots11}_{\text{ada}~{12}}.$
Karena $X$ habis dibagi $13$, diperoleh
$111-111+111-111+BCD-$ $11A+111-111+111-1 =$ $BCD-11A+110.$
Karena $X$ diketahui palindrom, $B=C$ dan $A = D$ sehingga dapat ditulis
$BBD-11D + 110.$ Bilangan ini harus habis dibagi $13$.
Ambil $D = 0$ sehingga didapat $BB0-110+110 = BB0,$
dan ini menunjukkan bahwa $B$ juga harus bernilai $0$, sebab $000 =0$ jelas habis dibagi $13$.
Jadi, nilai minimum dari $A+B+C+D$ adalah $\boxed{0+0+0+0=0}$
(Jawaban A)

Bilangan palindrom $4$ angka dinotasikan dengan $\overline{ABBA}$.
Ada $9$ digit (semua digit kecuali $0$) untuk mengisi $A$ dan $10$ digit untuk mengisi $B$ sehingga totalnya ada $9 \times 10 = 90$ bilangan.
Adapun $90$ bilangan palindrom tersebut adalah sebagai berikut.
$$\begin{array}{cccccccccc} 1001 & 1111 & 1221 & 1331 & 1441 & 1551 & 1661 & 1771 & 1881 & 1991 \\ 2002 & 2112 & 2222 & 2332 & 2442 & 2552 & 2662 & 2772 & 2882 & 2992 \\ 3003 & 3113 & 3223 & 3333 & 3443 & 3553 & 3663 & 3773 & 3883 & 3993 \\ 4004 & 4114 & 4224 & 4334 & 4444 & 4554 & 4664 & 4774 & 4884 & 4994 \\ 5005 & 5115 & 5225 & 5335 & 5445 & 5555 & 5665 & 5775 & 5885 & 5995 \\ 6006 & 6116 & 6226 & 6336 & 6446 & 6556 & 6666 & 6776 & 6886 & 6996 \\ 7007 & 7117 & 7227 & 7337 & 7447 & 7557 & 7667 & 7777 & 7887 & 7997 \\ 8008 & 8118 & 8228 & 8338 & 8448 & 8558 & 8668 & 8778 & 8888 & 8998 \\ 9009 & 9119 & 9229 & 9339 & 9449 & 9559 & 9669 & 9779 & 9889 & 9999 \\ \end{array}$$

Bilangan palindrom berikutnya di atas $20.503$ adalah $20.602.$
Dengan demikian, nilai $x$ terkecil adalah $\boxed{20.602-20.503 = 99}$

Misalkan bilangan palindrom $5$ angka berbentuk $\overline{abcba}.$
Digit $a$ menempati posisi puluh ribuan sehingga tidak boleh bernilai $0.$ Artinya, tersisa $9$ digit yang boleh menjadi nilai $a.$
Digit $b$ bisa ditempati oleh semua digit yang ada ($10$ digit).
Digit $c$ juga demikian ($10$ digit).
Secara keseluruhan, ada $\boxed{9 \times 10 \times 10 = 900}$ bilangan palindrom $5$ angka.
Misalkan bilangan palindrom $6$ angka berbentuk $\overline{abccba}.$
Dengan cara yang sama, banyaknya bilangan palindrom $6$ angka tersebut adalah $\boxed{9 \times 10 \times 10 = 900}$
Jadi, disimpulkan bahwa bilangan palindrom $5$ angka dan bilangan palindrom $6$ angka sama banyaknya.

$15.951$ merupakan bilangan palindrom $5$ angka.
Jika kita ubah digit satuannya menjadi $2$, maka digit puluhan ribunya juga harus berubah menjadi $2$ (terlalu jauh).
Jika kita ubah digit puluhannya menjadi $6$, berarti digit ribuannya juga menjadi $6$, lalu kita ubah digit ratusannya menjadi $0$ agar sedekat mungkin dengan $15.951$.
Jadi, bilangan palindrom berikutnya adalah $16.061$.
Jadi, mobil tersebut harus melakukan perjalanan sejauh $\boxed{16.061-15.951 = 110}$ km agar odometernya menunjukkan bilangan palindrom berikutnya.

Alternatif 1:
Gunakan metode dasar untuk mencari faktor prima dari $99.999.744$, misalnya menggunakan pohon faktor seperti di bawah ini.

Dapat kita tuliskan,
$99.999.744= 2^{13} \times 3 \times 13 \times \color{red}{313}.$
Tampak bahwa $\boxed{313}$ adalah bilangan palindrom tiga angka yang merupakan salah satu faktor prima dari $99.999.744.$
Alternatif 2:
Perhatikan bahwa $99.999.744 = 100.000.000-256 = 10^8-2^8$ sehingga dapat kita faktorkan menjadi bentuk berikut.
$$\begin{aligned} 99.999.744 & = (10^4 + 2^4)(10^4-2^4) \\ & = (10.016)(10^2+2^2)(10^2-2^2) \\ & = 313 \cdot 32 \cdot 104 \cdot 12 \cdot 8 \\ & = 313 \cdot 2^5 \cdot (2^3 \cdot 13)  \cdot (2^2 \cdot 3) \cdot 2^3 \\ & = 313 \cdot 2^{13} \cdot 3 \cdot 13 \end{aligned}$$Karena $313$ adalah bilangan prima, dari bentuk terakhir, disimpulkan bahwa faktor prima yang merupakan bilangan palindrom tiga angka dari $99.999.744$ adalah $\boxed{313}$

Misalkan bilangan palindrom tujuh angka dinotasikan dengan $\overline{ABCDCBA}.$
Bilangan habis dibagi $15$ bila ia habis dibagi $3$, sekaligus $5$.
$A$ menempati posisi satuan dan jutaan. Agar habis dibagi $5$, haruslah $A = 0$ atau $A = 5$, tetapi posisi jutaan tidak boleh ditempati oleh $0$ sehingga $A = 5$ merupakan satu-satunya pilihan.
Bilangan palindrom: $\overline{5BCDCB5}.$
Agar habis dibagi $3$, jumlah digitnya juga harus habis dibagi $3$.
$\begin{aligned} 5+B+C+D+C+B+5 & = 3k \\ 10+2B+2C+D & = 3k \end{aligned}$
(Bilangan palindrom terbesar)
Agar kita memperoleh bilangan palindrom terbesar, $B$ dan $C$ keduanya secara berurutan harus dibuat sebesar mungkin.
Jika kita pilih $B = 9$ dan $C = 9$, maka diperoleh
$\begin{aligned} 10+2(9)+2(9)+D & = 3k \\ 46+D & = 3k. \end{aligned}$
Nilai $D$ yang mungkin adalah $2, 5$, atau $8$. Pilih $D = 8$ (yang paling besar).
Jadi, bilangan palindrom $7$ angka terbesar adalah $\boxed{5.998.995}$
(Bilangan palindrom terkecil)
Agar kita memperoleh bilangan palindrom terkecil, $B$ dan $C$ keduanya secara berurutan harus dibuat sekecil mungkin.
Jika kita pilih $B = 0$ dan $C = 0$, maka diperoleh
$\begin{aligned} 10+2(0)+2(0)+D & = 3k \\ 10+D & = 3k \end{aligned}$
Nilai $D$ yang mungkin adalah $2, 5$, atau $8$. Pilih $D = 2$ (yang paling kecil).
Jadi, bilangan palindrom $7$ angka terkecil adalah $\boxed{5.002.005}$

Misal bilangan 6-digit palindrom itu berbentuk $\overline{ABCCBA}$.
Perhatikan bahwa $495 = 5 \times 9 \times 11$, artinya bilangan palindrom tersebut juga habis dibagi $5$, $9$, dan $11$.
Keterbagian oleh $\textbf{5}$:
Agar habis dibagi $5$, angka satuan bilangan harus $0$ atau $5$, tetapi $A$ tidak mungkin $0 karena ia menempati angka depan. Satu-satunya nilai $A$ adalah $5.$ Diperoleh bilangan $\overline{5BCCB5}.$
Keterbagian oleh $\textbf{11}$:
$\overline{5BCCB5}$ habis dibagi $11$ karena jumlah silang tanda digit-digitnya habis dibagi $11$, yaitu $5-B+C-C+B-5 = 0.$
Keterbagian oleh $\textbf{9}$:
Agar suatu bilangan habis dibagi $9$, jumlah angka-angka penyusunnya harus habis dibagi $9.$ Artinya, untuk kasus ini, $5+B+C+C+B+5$ $= 2(B + C)+ 10 = 9k$
untuk suatu bilangan asli $k.$ Ruas kiri bernilai genap sehingga ruas kanan juga demikian, berarti $k$ harus genap.
Sekarang kita cari pasangan $(B, C)$ yang memenuhi persamaan tersebut.
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Nilai}~k & \text{Nilai}~9k & (B, C) \\ \hline 2 & 18 & (0, 4), (1, 3), (2, 2) \\ & & (3, 1), (4, 0) \\ \hline 4 & 36 & (4, 9), (5, 8), (6, 7) \\ & & (7, 6), (8, 5), (9, 4) \\ \hline 6 & 54 & – \\ \hline \end{array}$$Ada $11$ pasangan nilai $(A, B)$ yang memenuhi, artinya ada $11$ bilangan palindrom yang memenuhi kriteria, yaitu sebagai berikut.
$\boxed{\begin{array}{ccc} 504.405 & 513.315 & 522.225 \\ 531.135 & 540.045 & 549.945 \\ 558.855 & 567.765 & 576.675 \\ 585.585 & 594.495 \\ \end{array}}$

Contoh kata palindrom $5$ huruf adalah $ABCBA$ (kata palindromnya tidak harus bermakna). 
Banyaknya kata palindrom yang dapat dibentuk dapat dicari dengan menggunakan metode filling slot seperti berikut.
Untuk posisi huruf pertama, kedua, dan ketiga, kita dapat memilih $26$ huruf yang ada, namun huruf keempat dan kelima hanya ada $1$ pilihan karena keduanya berturut-turut harus mengikuti huruf kedua dan pertama supaya diperoleh kata palindrom. Dengan demikian, banyak kata palindrom $5$ huruf adalah $\boxed{26 \times 26 \times 26 = 17.576}$

Dimisalkan $\overline{ABCBA}$ sebagai bilangan palindrom $5$ angka.

1. Agar genap, digit $A$ yang mungkin adalah $2, 4, 6$, atau $8$, sedangkan masing-masing dari $B$ dan $C$ dapat ditempati oleh semua digit yang ada ($10$).
   Jika palindromnya berbentuk $\overline{2BCB2},$ akan ada $10 \times 10 = 100$ bilangan palindrom sehingga jumlah bilangan pada satuannya adalah $100 \times 2 = 200.$
   Hal ini juga berlaku untuk $A = 4$, jumlah satuannya menjadi $100 \times 4 = 400.$
   Untuk $A = 6$, jumlah satuannya menjadi $100 \times 6 = 600.$
   Untuk $A = 8$, jumlah satuannya menjadi $100 \times 8 = 800.$
   Totalnya: $200+400+600+800 = 2000$ (tulis $0$ simpan $200$).
2. Sekarang untuk posisi puluhannya, $B$ dapat ditempati oleh digit $0$ sampai $9$.
   Jumlah bilangan dari $0$ sampai $9$ adalah $1+2+\cdots+9 = 45$.
   Kemunculan masing-masing digit ini sebanyak $4 \times 10 = 40$.
   Jadi, jumlah bilangan pada posisi puluhan adalah $40 \times 45 + 200 = 2000$ (tulis $0$ simpan $200.$)
3. Untuk posisi ratusan, $C$ dapat ditempati oleh semua digit dari $0$ sampai $9$. Jumlah bilangan dari $0$ sampai $9$ adalah $1+2+\cdots+9 = 45.$
   Kemunculan masing-masing digit ini juga sebanyak $4 \times 10 = 40.$
   Jadi, jumlah bilangan pada posisi ratusan adalah $40 \times 45 + 200 = 2000$ (tulis $0$ simpan $200$.
4. Digit ribuan adalah $B$ (sama dengan puluhan) sehingga jumlah bilangan pada posisi ribuan adalah $40 \times 45 + 200 = 2000$ (tulis $0$ simpan $200$).
5. Digit puluh ribuan adalah $A$ (sama dengan satuan) sehingga jumlah bilangan pada posisi puluh ribuan adalah $200 + 400 + 600 +$ $800 + 200 = 2200.$

Jadi, jumlah seluruh bilangan palindrom $5$ angka yang genap adalah $\boxed{22.000.000}$

Bilangan palindrom $4$ angka tersebut kita misalkan $\overline{abba}$.
Berdasarkan aturan keterbagian (divisibility rule) oleh $7$, kita kalikan masing-masing digit bilangan dimulai dari kanan ke kiri dengan angka $1, 3, 2, 6, 4, 5$ secara berulang terus menerus. Jika hasilnya berupa bilangan yang habis dibagi $7$, maka bilangan mula-mula juga habis dibagi $7.$
Contoh: $2772$ merupakan bilangan palindrom kelipatan $7$.
Periksa bahwa:
$\begin{aligned} & 2(1) + 7(3) + 7(2) + 2(6) \\ & = 2 + 21+14+12 = 49 \end{aligned}$
Karena $49$ habis dibagi $7$, demikian halnya dengan $2772.$
Sekarang untuk bilangan $\overline{abba}$:
$\begin{aligned} a(1) + b(3) + b(2) + a(6) & = 7k \\ 5b + 7a & = 7k \end{aligned}$
dengan $k$ bilangan bulat.
Jika $b = 0$, maka $a = 1, 2, \cdots, 9.$
Jika $b = 7$, maka $a = 1, 2, \cdots, 9.$
Secara keseluruhan, ada $9+9=18$ bilangan palindrom $4$ angka yang merupakan kelipatan $7$.
Banyak bilangan palindrom $4$ angka seluruhnya adalah $9 \times 10 = 90$.
Jadi, peluang terpilihnya bilangan palindrom kelipatan $7$ adalah
$\boxed{\dfrac{18}{90} = \dfrac15}$

Misalkan bilangan palindrom $n$ angka dinotasikan dengan $\overline{a_1a_2a_3 \cdots a_{\frac{n}{2}}a_{\frac{n}{2}} \cdots a_3a_2 \cdots a_1}.$
Ada $9$ angka yang dapat menempati $a_1$ (semua angka kecuali $0$).
Ada $10$ angka yang masing-masing dapat menempati $a_2, a_3, \cdots, a_{\frac{n}{2}}.$
Jadi, secara keseluruhan, banyak bilangan palindrom $n$ angka adalah $\boxed{\begin{aligned} 9 \times \underbrace{10 \times 10 \times \cdots \times 10}_{\text{ada}~\frac{n}{2}-1} & = 9 \times 10^{\frac{n}{2}-1} \\ & = \dfrac{9}{10} \times 10^{\frac{n}{2}}. \end{aligned}}$

Misalkan bilangan palindrom empat angka dinotasikan $\overline{abba}.$
Jika kita uraikan bilangan tersebut dalam bentuk panjang, diperoleh
$$\begin{aligned} \overline{abba} & = a(1000) + b(100) + b(10) + a(1) \\ & = 1001a + 110b \\ & = \color{blue}{11}(91a+10b). \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $\overline{abba}$ memuat faktor $11$ sehingga $\overline{abba}$ habis dibagi $11$.
(Terbukti)

Misalkan bilangan palindrom $5$ digit itu adalah $A.$
$A$ habis dibagi $303$, artinya $A$ habis dibagi $3$ dan habis dibagi $101.$
Untuk itu, $A$ dapat dinyatakan dengan $A = 101 \times \overline{xyz}$ dengan $\overline{xyz}$ adalah bilangan $3$ digit.
Kita tuliskan,
$\begin{aligned} A & = (100 + 1) \times \overline{xyz} \\ & = \overline{xyz00} + \overline{xyz} \end{aligned}$
Penjumlahan dari bilangan di atas adalah $\overline{xy*yz}$ dengan $* = z + x.$
Karena bilangan ini palindrom, $x = z$ dan $z + x$ harus bernilai kurang dari $10$ agar digit puluhan ribunya tetap $y.$ Artinya, nilai $x = z$ maksimum yang dapat dipilih adalah $4.$
Selanjutnya, $A = \overline{4y8y4}$ adalah bilangan kelipatan $3$, artinya jumlah digit-digit bilangannya harus merupakan kelipatan $3.$
$4 + y + 8 + y + 4 = 16 + 2y = 3k$
Nilai $y$ maksimum yang dapat dipilih adalah $y = 7.$
Jadi, bilangan palindrom $5$ digit tersebut adalah $\boxed{47874}$