Bilangan Palindrom – Materi, Soal, dan Pembahasan

       Dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI), palindrom diartikan sebagai kata, rangkaian kata, atau bilangan yang terbaca sama, baik dari depan maupun belakang, seperti kodok, radar, dan saat.

       Dalam matematika, kita dikenalkan dengan istilah bilangan palindrom. Pengertiannya juga sama. Bilangan palindrom (palindromic number) adalah bilangan asli yang terbaca sama dari depan maupun belakang. Contoh bilangan palindrom adalah $7, 22$, $434$, $9229$, dan $12721$. Tanggal “cantik” 2 Februari 2020, misalnya. Bila ditulis dalam format tanggal-bulan-tahun menjadi 02-02-2020, ternyata membentuk bilangan palindrom, loh.

        Jika kita ditanya ada berapa banyak bilangan palindrom yang terdiri atas $2$ angka, maka jawabannya jelas adalah $9$, yaitu $11$, $22$, $33$, sampai $99$, yang merupakan kelipatan $11$. Jika kita ditanya ada berapa banyak bilangan palindrom dua angka yang merupakan bilangan prima, kita jawab $1$, yaitu $11$. Bilangan palindrom lain bukan prima karena memiliki lebih dari $2$ faktor, salah satunya adalah $11$.

         Adapun bilangan palindrom tiga angka dapat dilihat pada daftar bilangan di bawah ini. Perhatikan bahwa ada $9 \times 10 = 90$ bilangan palindrom tiga angka.
Angka $9$ didapat dari banyaknya angka dari $0$ sampai $9$ yang dapat diisi pada posisi ratusan. Perhatikan bahwa $0$ tidak boleh menempati posisi ratusan.
Angka $10$ didapat dari banyaknya angka dari $0$ sampai $9$ yang dapat diisi pada posisi puluhan. Posisi satuan ditempati oleh digit yang sama dengan posisi ratusan.
$$\begin{array}{cccccccccc} 101 & 111 & 121 & 131 & 141 & 151 & 161 & 171 & 181 & 191 \\ 202 & 212 & 222 & 232 & 242 & 252 & 262 & 272 & 282 & 292 \\ 303 & 313 & 323 & 333 & 343 & 353 & 363 & 373 & 383 & 393 \\ 404 & 414 & 424 & 434 & 444 & 454 & 464 & 474 & 484 & 494 \\ 505 & 515 & 525 & 535 & 545 & 555 & 565 & 575 & 585 & 595 \\ 606 & 616 & 626 & 636 & 646 & 656 & 666 & 676 & 686 & 696 \\ 707 & 717 & 727 & 737 & 747 & 757 & 767 & 777 & 787 & 797 \\ 808 & 818 & 828 & 838 & 848 & 858 & 868 & 878 & 888 & 898 \\ 909 & 919 & 929 & 939 & 949 & 959 & 969 & 979 & 989 & 999 \\ \end{array}$$Istilah bilangan palindrom sepertinya cukup asing bagi kita karena kurang dikenalkan saat sekolah terutama pada saat pelajaran matematika. Namun, siswa yang mengikuti kompetisi matematika umumnya pernah menghadapi soal yang melibatkan bilangan palindrom. Bilangan palindrom bisa dikategorikan ke dalam ranah teori bilangan dan kombinatorika.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Kombinatorika (Tingkat Lanjut)

Today Quote

Kalau di sekolah, kita belajar dulu baru diberi ujian. Kalau di kehidupan luar, kita diuji dulu baru mendapat suatu pelajaran.

Berikut ini disajikan soal dan pembahasan terkait bilangan palindrom yang dikumpulkan dari berbagai sumber referensi.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Jumlah dua belas bilangan palindrom pertama yang tersusun dari lima angka adalah $\cdots \cdot$
A. $126630$                     D. $138632$
B. $126632$                     E. $138832$
C. $136629$

Pembahasan

Dua belas bilangan palindrom yang dimaksud adalah:
$\begin{array}{ccc} 10001 & 10101 & 10201 & 10301 \\ 10401 & 10501 & 10601 & 10701 \\ 10801 & 10901 & 11011 & 11111 \\ \end{array}$
Jumlah $12$ bilangan palindrom tersebut bila kita hitung hasilnya adalah $\boxed{126632}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Pada suatu jam digital yang angka-angkanya tertera mulai dari $00 : 00$ hingga $23 : 59$, dimungkinkan kemunculan bilangan palindrom, misalnya saat pukul $13 : 31$. Banyaknya bilangan palindrom yang muncul dari jam digital tersebut selama satu hari adalah $\cdots \cdot$
A. $12$                    C. $16$                 E. $24$
B. $14$                    D. $18$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $1$ jam = $60$ menit, sehingga pada jam digital, dua digit yang menunjukkan menit hanya sampai $59$.
Formasi digit pada jam digital, dimisalkan $AB : CD$.
Untuk $A = 0$, maka $D = 0$ (karena palindrom).
Sekarang, $B = C$ dapat ditempati oleh $6$ angka, yaitu $0, 1, 2, 3, 4$, dan $5$.
Jadi, ada $6$ bilangan palindrom.
Selanjutnya, $A = 1 = D$.
$B = C$ juga dapat ditempati oleh $6$ angka, yaitu $0, 1, 2, 3, 4$, dan $5$.
Jadi, ada $6$ bilangan palindrom.
Terakhir, $A = 2 = D$.
$B = C$ hanya dapat ditempati oleh $4$ angka, yaitu $0, 1, 2$, dan $3$.
Jadi, hanya ada $4$ bilangan palindrom.
Secara keseluruhan, jam digital memunculkan $\boxed{6+6+4 = 16}$ bilangan palindrom selama satu hari.
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Teorema Binomial dan Perluasannya

Soal Nomor 3
Banyaknya bilangan palindrom $10$ angka adalah $\cdots \cdot$
A. $9.000$                   D. $100.000$
B. $10.000$                 E. $900.000$
C. $90.000$

Pembahasan

Misalkan bilangan palindrom $10$ angka berbentuk $\overline{ABCDEEDCBA}$.
Banyak digit untuk menempati $A$ adalah $9$, yaitu dari $1$ sampai $9$.
Banyak digit untuk menempati $B, C, D$, dan $E$ masing-masing adalah $10$, yaitu dari $0$ sampai $9$.
Secara keseluruhan, banyak bilangan palindrom $10$ angka adalah $\boxed{9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 90.000}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 4
Bilangan palindrom dalam urutan naik adalah
$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, \cdots$
Bilangan palindrom urutan ke-$2020$ adalah $\cdots \cdot$
A. $102 1 201$
B. $102 2 201$
C. $102 3 201$
D. $102 4 201$
E. $102 5 201$

Pembahasan

Bilangan palindrom $1$ angka ada sebanyak $9$ bilangan.
Bilangan palindrom $2$ angka juga ada sebanyak $9$ bilangan.
Bilangan palindrom $3$ angka ada sebanyak $9 \times 10 = 90$ bilangan.
Bilangan palindrom $4$ angka juga ada sebanyak $9 \times 10 = 90$ bilangan.
Bilangan palindrom $5$ angka ada sebanyak $9 \times 10 \times 10 = 900$ bilangan.
Bilangan palindrom $6$ angka juga ada sebanyak $9 \times 10 \times 10 = 900$ bilangan.
Sampai saat ini, bilangan palindrom $6$ angka terakhir menempati suku ke
$9+9+90+90+900+900 = 1998$
Suku ke-$1999$ selanjutnya ditempati oleh bilangan palindrom $7$ angka.
Sekarang, kita kerjakan secara manual untuk mendapatkan suku ke-$2020$.
$$\begin{array}{cccc} \underbrace{100 0 001}_{1999} & \underbrace{100 1 001}_{2000} & \underbrace{100 2 001}_{2001} \\ \underbrace{100 3 001}_{2002} & \cdots & \underbrace{100 9 001}_{2008} \\ \underbrace{101 0 101}_{2009} & \underbrace{101 1 101}_{2010} & \underbrace{101 2 101}_{2011} \\ \underbrace{101 3 101}_{2012} & \cdots & \underbrace{101 9 101}_{2018} \\ \underbrace{102 0 201}_{2019} & \underbrace{102 1 201}_{2020} & \\ \end{array}$$Jadi, bilangan palindrom urutan ke-$2020$ adalah $\boxed{1021201}$
(Jawaban A) 

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Peluang dan Kombinatorika (Tingkat SMA)

Soal Nomor 5
Berapa banyak bilangan palindrom yang terdapat di antara bilangan $1$ sampai $2.020$?
A. $112$                    C. $116$                  E. $120$
B. $114$                    D. $118$

Pembahasan

Bilangan palindrom $1$ angka ada sebanyak $8$ bilangan (tanpa bilangan $1$.
Bilangan palindrom $2$ angka juga ada sebanyak $9$ bilangan.
Bilangan palindrom $3$ angka ada sebanyak $9 \times 10 = 90$ bilangan.
Bilangan palindrom $4$ angka dengan bentuk $\overline{1aa1}$ ada sebanyak $10$, karena $a$ dapat ditempati oleh $10$ angka dari $0$ sampai $9$.
Bilangan palindrom $4$ angka di atas $2000$ dan di bawah $2020$ hanya ada satu, yaitu $2002$.
Jadi, total keseluruhan bilangan palindrom di antara $1$ dan $2020$ adalah $\boxed{8+9+90+10+1 = 118}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Berapa banyak bilangan palindrom tiga angka positif $\overline{abc}$ yang memenuhi $a \leq b \leq c$?
A. $0$                    C. $7$                 E. $90$
B. $1$                    D. $9$

Pembahasan

$\overline{abc}$ merupakan bilangan palindrom, maka haruslah $a = c$.
Karena $a \leq b \leq c$, maka ini berarti $b$ juga harus sama dengan $a$ dan $c$.
Jelas bahwa jika $a = b = c$, maka bilangan palindrom yang dimaksud ada $\boxed{9}$, yaitu $111, 222, \cdots, 999$.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 7
Jumlah semua bilangan palindrom empat angka yang boleh berulang dengan pengambilan angka-angka $1, 2, 3, 4$, dan $5$ adalah $\overline{ABCDE}$. Nilai dari $A+B+C+D+E=\cdots \cdot$
A. $19$                     C. $21$                    E. $24$
B. $20$                     D. $23$

Pembahasan

Misalkan bilangan palindrom empat angka itu adalah $\overline{abba}$.
Ada $5$ angka, yaitu $1, 2, 3, 4$, dan $5$, yang dapat menempati $a$, begitu juga dengan $b$. Artinya, ada $5 \times 5 = 25$ bilangan palindrom yang terbentuk, yaitu sebagai berikut.
$\begin{array}{ccccc} 1111 & 1221 & 1331 & 1441 & 1551 \\ 2112 & 2222 & 2332 & 2442 & 2552 \\ 3113 & 3223 & 3333 & 3443 & 3553 \\ 4114 & 4224 & 4334 & 4444 & 4554 \\ 5115 & 5225 & 5335 & 5445 & 5555 \\ \end{array}$
Untuk mencari jumlah dari $25$ bilangan palindrom tersebut, kita gunakan perhitungan cepat sesuai posisi angkanya (seperti penjumlahan bersusun).
Angka satuan:
$\begin{aligned} & 5 \times 1 + 5 \times 2 + 5 \times 3 + 5 \times 4 + 5 \times 5 \\ & = 5(1+2+3+4+5) = 5(15) = 75 \end{aligned}$
Tulis $5$ simpan $\color{red}{7}$.
Angka puluhan:
$5 \times (1+2+3+4+5) + \color{red}{7} = 82$
Tulis $2$ simpan $\color{red}{8}$.
Angka ratusan:
$5 \times (1+2+3+4+5) + \color{red}{8} = 83$
Tulis $3$ simpan $\color{red}{8}$.
Angka ribuan:
$5 \times (1+2+3+4+5) + \color{red}{8} = 83$
Tulis $83$.
Jadi, hasil jumlahnya adalah $83325$. Artinya, $A=8$, $B=3$, $C=3$, $D=2$, dan $E=5$, sehingga $\boxed{A+B+C+D+E=21}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Berapakah banyak bilangan palindrom enam angka yang merupakan bilangan genap?
A. $300$                   C. $500$                 E. $900$
B. $400$                   D. $600$

Pembahasan

Misalkan bilangan palindrom enam angka dinotasikan dengan $\overline{ABCCBA}$.
Karena genap, maka $A$ hanya boleh diisi oleh digit $2, 4, 6$, dan $8$. Digit $0$ tidak diperbolehkan karena $A$ juga menempati posisi ratusan ribu.
$B$ dan $C$ keduanya dapat diisi oleh $10$ angka dari $0$ sampai $9$.
Dengan demikian, banyak bilangan palindrom enam angka yang merupakan bilangan genap adalah $\boxed{4 \times 10 \times 10 = 400}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Sebuah jam digital mempunyai tampilan, yaitu MM : DD : HH : mm dengan keterangan bahwa MM menyatakan bulan (month), DD menyatakan tanggal (date), HH menyatakan jam (hour), dan mm menyatakan menit (minute). Banyaknya bilangan palindrom yang terbentuk sepanjang tahun $2020$ pada tampilan jam digital tersebut adalah $\cdots \cdot$
(03 : 02 : 20 : 30 merupakan contoh palindrom, artinya tanggal $2$ Maret, jam $20.30$)
A. $56$                    C. $76$                  E. $86$
B. $66$                    D. $77$

Pembahasan

Angka yang menyatakan bulan adalah kebalikan dari angka yang menyatakan menit, sedangkan angka yang menyatakan tanggal adalah kebalikan dari angka yang menyatakan jam.
Bulan $01, 02, 03, 04, 05, 10, 11$, dan $12$ bila dibalik angkanya (sebagai angka pada menit) memungkinkan kemunculan bilangan palindrom.
Jadi, banyak angka yang menyatakan bulan untuk membentuk palindrom ada $9$ buah.
Kemudian kita lihat angka yang menyatakan tanggal, kebalikan dari angka itu menyatakan jam sehingga tanggal yang diperbolehkan adalah $01, 02, 10, 11, 12$, $20, 21, 22$, $30$, dan $31$. Hari $03$ sampai $09$, hari $13$ sampai $19$, dan hari $23$ sampai $29$ tidak diperbolehkan karena bila dibalik angkanya, hasilnya lebih dari $23$ (padahal jam hanya terbatas di $23 : 59$).
Jadi, banyak angka yang menyatakan tanggal untuk membentuk palindrom adalah $10$ buah.
Perlu diperhatikan juga bahwa dari $8$ bulan yang disebutkan di atas, hanya ada $3$ bulan yang tidak sampai $31$ hari. Tanggal $30$ Februari juga tidak ada. Dengan demikian, banyak bilangan palindrom totalnya adalah $\boxed{(8 \times 10)-3-1 = 76}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Bilangan palindrom $4$ angka terbesar yang merupakan jumlah dari $2$ bilangan palindrom $3$ angka berbeda adalah $\cdots \cdot$
A. $1111$                       D. $1441$
B. $1221$                       E. $1551$
C. $1331$

Pembahasan

Misalkan bilangan palindrom tiga angka dinotasikan dengan $\overline{ABA}$ dan $\overline{CDC}$. Penjumlahan dari kedua bilangan ini menghasilkan bilangan palindrom empat angka, yaitu
$\overline{XYYX} = \overline{ABA} + \overline{CDC}$.
Jumlah terbesar yang mungkin tercapai adalah $999 + 999 = 1998$ (tetapi ini bukan palindrom). Ini artinya, digit ribuan (dan satuan) harus $1$.
Jadi, ditulis
$\overline{1YY1} = \overline{ABA} + \overline{CDC}$.
Jika kita tuliskan dalam bentuk panjang, diperoleh
$$\begin{aligned} 1(1000) + Y(100) + Y(10) + 1 & = A(100) + B(10) + A + C(100) + D(10) + C \\ (10+Y)(100) + Y(10) + 1 & = (A+C)(100) + (B+D)(10) + (A + C) \end{aligned}$$ $A + C$ harus dibuat menjadi $1$. Pilih $A + C = 11$ (tulis $1$, simpan $1$).
$B + D$ harus dibuat menjadi $Y$ sehingga kita tuliskan
$B + D + 1 = Y$ (simpan $1$)
Selanjutnya, $A+C$ yang bernilai $11+1=12$ mengisi digit ratusan, sekaligus ribuan.
Jadi, terbentuk bilangan palindrom terbesar, yaitu $\boxed{1221}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12 (LMNAS 28 UGM Tingkat SMP)
Misalkan $a$ adalah suatu bilangan palindrom yang terdiri atas $28$ digit. Diketahui $a$ merupakan kelipatan $13$ dan semua digitnya selain digit ke-$13$, $14$, $15$, dan $16$ merupakan angka $1$. Misalkan $A, B, C$, dan $D$ berturut-turut merupakan digit ke-$13$, $14$, $15$, dan $16$. Nilai minimum yang mungkin dari $A+B+C+D$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                     C. $5$                   E. $10$
B. $4$                     D. $7$

Pembahasan

Suatu bilangan habis dibagi $13$ apabila hasil jumlah silang tanda untuk setiap $3$ angka dari kanan ke kiri bilangan tersebut juga habis dibagi $13$.
Misalkan bilangan tersebut adalah
$X =\underbrace{111\cdots 11}_{\text{ada}~{12}}ABCD \underbrace{111\cdots11}_{\text{ada}~{12}}$
Karena $X$ habis dibagi $13$, maka diperoleh
$111-111+111-111+BCD-11A+$ $111-111+111-1 =$ $BCD-11A+110$
Karena $X$ diketahui palindrom, maka $B=C$ dan $A = D$ sehingga dapat ditulis
$BBD-11D + 110$. Bilangan ini harus habis dibagi $13$.
Ambil $D = 0$, sehingga didapat
$BB0-110+110 = BB0$,
dan ini menunjukkan bahwa $B$ juga harus bernilai $0$, sebab $000 =0$ jelas habis dibagi $13$.
Jadi, nilai minimum dari $A+B+C+D$ adalah $\boxed{0+0+0+0=0}$
(Jawaban A)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Carilah dan tuliskan semua bilangan palindrom $4$ angka.

Pembahasan

Bilangan palindrom $4$ angka dinotasikan dengan $\overline{ABBA}$.
Ada $9$ digit (semua digit kecuali $0$) untuk mengisi $A$ dan $10$ digit untuk mengisi $B$, sehingga totalnya ada $9 \times 10 = 90$ bilangan.
Adapun $90$ bilangan palindrom tersebut adalah sebagai berikut.
$$\begin{array}{cccccccccc} 1001 & 1111 & 1221 & 1331 & 1441 & 1551 & 1661 & 1771 & 1881 & 1991 \\ 2002 & 2112 & 2222 & 2332 & 2442 & 2552 & 2662 & 2772 & 2882 & 2992 \\ 3003 & 3113 & 3223 & 3333 & 3443 & 3553 & 3663 & 3773 & 3883 & 3993 \\ 4004 & 4114 & 4224 & 4334 & 4444 & 4554 & 4664 & 4774 & 4884 & 4994 \\ 5005 & 5115 & 5225 & 5335 & 5445 & 5555 & 5665 & 5775 & 5885 & 5995 \\ 6006 & 6116 & 6226 & 6336 & 6446 & 6556 & 6666 & 6776 & 6886 & 6996 \\ 7007 & 7117 & 7227 & 7337 & 7447 & 7557 & 7667 & 7777 & 7887 & 7997 \\ 8008 & 8118 & 8228 & 8338 & 8448 & 8558 & 8668 & 8778 & 8888 & 8998 \\ 9009 & 9119 & 9229 & 9339 & 9449 & 9559 & 9669 & 9779 & 9889 & 9999 \\ \end{array}$$

[collapse]

Soal Nomor 2
Jika $x + 20503$ merupakan bilangan palindrom, maka tentukan bilangan asli terkecil $x$.

Pembahasan

Bilangan palindrom berikutnya di atas $20503$ adalah $20602$.
Dengan demikian, nilai $x$ terkecil adalah $\boxed{20602-20503 = 99}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Manakah yang terbesar, banyaknya bilangan palindrom $5$ angka atau banyaknya bilangan palindrom $6$ angka?

Pembahasan

Misalkan bilangan palindrom $5$ angka berbentuk $\overline{abcba}$.
Digit $a$ menempati posisi puluh ribuan sehingga tidak boleh bernilai $0$. Artinya, tersisa $9$ digit yang boleh menjadi nilai $a$.
Digit $b$ bisa ditempati oleh semua digit yang ada ($10$ digit).
Digit $c$ juga demikian ($10$ digit).
Secara keseluruhan, ada $\boxed{9 \times 10 \times 10 = 900}$ bilangan palindrom $5$ angka.
Misalkan bilangan palindrom $6$ angka berbentuk $\overline{abccba}$.
Dengan cara yang sama, banyaknya bilangan palindrom $6$ angka tersebut adalah $\boxed{9 \times 10 \times 10 = 900}$
Jadi, disimpulkan bahwa bilangan palindrom $5$ angka dan bilangan palindrom $6$ angka sama banyaknya.

[collapse]

Soal Nomor 4
Sebuah odometer pada sebuah mobil terbaca $15951$ yang merupakan bilangan palindrom. Berapa kilometer paling sedikit mobil tersebut melakukan perjalanan sehingga odometer mobil tersebut menunjukkan bilangan palindrom berikutnya?

Pembahasan

$15951$ merupakan bilangan palindrom $5$ angka.
Jika kita ubah digit satuannya menjadi $2$, maka digit puluhan ribunya juga harus berubah menjadi $2$ (terlalu jauh).
Jika kita ubah digit puluhannya menjadi $6$, berarti digit ribuannya juga menjadi $6$, lalu kita ubah digit ratusannya menjadi $0$ agar sedekat mungkin dengan $15951$.
Jadi, bilangan palindrom berikutnya adalah $16061$.
Jadi, mobil tersebut harus melakukan perjalanan sejauh $\boxed{16.061-15.951 = 110}$ km agar odometernya menunjukkan bilangan palindrom berikutnya.

[collapse]

Soal Nomor 5
Carilah faktor prima yang merupakan bilangan palindrom tiga angka dari $99.999.744$.

Pembahasan

Gunakan metode dasar untuk mencari faktor prima dari $99.999.744$, misalnya menggunakan pohon faktor seperti di bawah ini.
Pohon Faktor dari 99.999.744
Dapat kita tuliskan,
$99.999.744= 2^{13} \times 3 \times 13 \times \color{red}{313}$
Tampak bahwa $\boxed{313}$ adalah bilangan palindrom tiga angka yang merupakan salah satu faktor prima dari $99.999.744$.

[collapse]

Soal Nomor 6
Carilah bilangan palindrom tujuh angka terbesar dan terkecil yang habis dibagi $15$.

Pembahasan

Misalkan bilangan palindrom tujuh angka dinotasikan dengan $\overline{ABCDCBA}$.
Bilangan habis dibagi $15$ bila ia habis dibagi $3$, sekaligus $5$.
$A$ menempati posisi satuan dan jutaan. Agar habis dibagi $5$, maka $A = 0$ atau $A = 5$, tetapi posisi jutaan tidak boleh ditempati oleh $0$, sehingga $A = 5$ merupakan satu-satunya pilihan.
Bilangan palindrom: $\overline{5BCDCB5}$.
Agar habis dibagi $3$, jumlah digitnya juga harus habis dibagi $3$.
$\begin{aligned} 5+B+C+D+C+B+5 & = 3k \\ 10+2B+2C+D & = 3k \end{aligned}$
(Bilangan palindrom terbesar)
Agar kita memperoleh bilangan palindrom terbesar, $B$ dan $C$ keduanya secara berurutan harus dibuat sebesar mungkin.
Jika kita pilih $B = 9$ dan $C = 9$, maka diperoleh
$\begin{aligned} 10+2(9)+2(9)+D & = 3k \\ 46+D & = 3k \end{aligned}$
Nilai $D$ yang mungkin adalah $2, 5$, atau $8$. Pilih $D = 8$ (yang paling besar).
Jadi, bilangan palindrom $7$ angka terbesar adalah $\boxed{5998995}$.
(Bilangan palindrom terkecil)
Agar kita memperoleh bilangan palindrom terkecil, $B$ dan $C$ keduanya secara berurutan harus dibuat sekecil mungkin.
Jika kita pilih $B = 0$ dan $C = 0$, maka diperoleh
$\begin{aligned} 10+2(0)+2(0)+D & = 3k \\ 10+D & = 3k \end{aligned}$
Nilai $D$ yang mungkin adalah $2, 5$, atau $8$. Pilih $D = 2$ (yang paling kecil).
Jadi, bilangan palindrom $7$ angka terkecil adalah $\boxed{5002005}$.

[collapse]

Soal Nomor 7
Carilah semua bilangan palindrom 6-digit yang habis dibagi $495$.

Pembahasan

Misal bilangan 6-digit palindrom itu berbentuk $\overline{ABCCBA}$.
Perhatikan bahwa $495 = 5 \times 9 \times 11$, artinya bilangan palindrom tersebut juga habis dibagi $5$, $9$, dan $11$.
Keterbagian oleh $\textbf{5}$:
Agar habis dibagi $5$, maka angka satuan bilangan harus $0$ atau $5$, tetapi $A$ tidak mungkin $0$, sebab ia menempati angka depan. Satu-satunya nilai $A$ adalah $5$. Diperoleh bilangan $\overline{5BCCB5}$.
Keterbagian oleh $\textbf{11}$:
$\overline{5BCCB5}$ habis dibagi $11$ karena jumlah silang tanda digit-digitnya habis dibagi $11$, yaitu $5-B+C-C+B-5 = 0$.
Keterbagian oleh $\textbf{9}$:
Agar suatu bilangan habis dibagi $9$, jumlah angka-angka penyusunnya harus habis dibagi $9$, artinya untuk kasus ini,
$5+B+C+C+B+5$ $= 2(B + C)+ 10 = 9k$
untuk suatu $k$ bilangan asli. Ruas kiri bernilai genap, sehingga ruas kanan juga demikian, berarti $k$ harus genap.
Sekarang, kita cari pasangan $(B, C)$ yang memenuhi persamaan tersebut.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Nilai}~k & \text{Nilai}~9k & (B, C) \\ \hline 2 & 18 & (0, 4), (1, 3), (2, 2) \\ & & (3, 1), (4, 0) \\ \hline 4 & 36 & (4, 9), (5, 8), (6, 7) \\ & & (7, 6), (8, 5), (9, 4) \\ \hline 6 & 54 & – \\ \hline \end{array}$
Ada $11$ pasangan nilai $(A, B)$ yang memenuhi, artinya ada $11$ bilangan palindrom yang memenuhi kriteria, yaitu sebagai berikut.
$\boxed{\begin{array}{ccc} 504.405 & 513.315 & 522.225 \\ 531.135 & 540.045 & 549.945 \\ 558.855 & 567.765 & 576.675 \\ 585.585 & 594.495 \\ \end{array}}$

[collapse]

Soal Nomor 8
Berapa banyak susunan kata palindrom yang terdiri dari $5$ huruf (tanpa memperhatikan penulisan huruf kapital atau huruf kecil)?

Pembahasan

Contoh kata palindrom $5$ huruf adalah $ABCBA$ (kata palindromnya tidak harus bermakna). 
Banyaknya kata palindrom yang dapat dibentuk dapat dicari dengan menggunakan metode filling slot seperti berikut.




Untuk posisi huruf pertama, kedua, dan ketiga, kita dapat memilih $26$ huruf yang ada, namun huruf keempat dan kelima hanya ada $1$ pilihan karena keduanya berturut-turut harus mengikuti huruf kedua dan pertama supaya diperoleh kata palindrom. Dengan demikian, banyak kata palindrom $5$ huruf adalah $\boxed{26 \times 26 \times 26 = 17.576}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Carilah jumlah semua palindrom $5$ angka yang berupa bilangan genap.

Pembahasan

Dimisalkan $\overline{ABCBA}$ sebagai bilangan palindrom $5$ angka.
Agar genap, maka digit $A$ yang mungkin adalah $2, 4, 6$, atau $8$, sedangkan masing-masing dari $B$ dan $C$ dapat ditempati oleh semua digit yang ada ($10$).
Jika palindromnya berbentuk $\overline{2BCB2}$, akan ada $10 \times 10 = 100$ bilangan palindrom sehingga jumlah bilangan pada satuannya adalah $100 \times 2 = 200$.
Hal ini juga berlaku untuk $A = 4$, jumlah satuannya menjadi $100 \times 4 = 400$.
Untuk $A = 6$, jumlah satuannya menjadi $100 \times 6 = 600$.
Untuk $A = 8$, jumlah satuannya menjadi $100 \times 8 = 800$.
Totalnya: $200+400+600+800 = 2000$ (tulis $0$ simpan $200$).
Sekarang, untuk posisi puluhannya, $B$ dapat ditempati oleh digit $0$ sampai $9$.
Jumlah bilangan dari $0$ sampai $9$ adalah $1+2+\cdots+9 = 45$.
Kemunculan masing-masing digit ini sebanyak $4 \times 10 = 40$.
Jadi, jumlah bilangan pada posisi puluhan adalah $40 \times 45 + 200 = 2000$ (tulis $0$ simpan $200$.
Untuk posisi ratusan, $C$ dapat ditempati oleh semua digit dari $0$ sampai $9$. Jumlah bilangan dari $0$ sampai $9$ adalah $1+2+\cdots+9 = 45$.
Kemunculan masing-masing digit ini juga sebanyak $4 \times 10 = 40$.
Jadi, jumlah bilangan pada posisi ratusan adalah $40 \times 45 + 200 = 2000$ (tulis $0$ simpan $200$.
Digit ribuan adalah $B$ (sama dengan puluhan), sehingga jumlah bilangan pada posisi ribuan adalah $40 \times 45 + 200 = 2000$ (tulis $0$ simpan $200$).
Digit puluh ribuan adalah $A$ (sama dengan satuan), sehingga jumlah bilangan pada posisi puluh ribuan adalah $200 + 400 + 600 + 800 + 200 = 2200$.
Jadi, jumlah seluruh bilangan palindrom $5$ angka yang genap adalah $\boxed{22.000.000}$

[collapse]

Soal Nomor 10
Bilangan palindrom di antara $1.000$ dan $10.000$ dipilih secara acak. Tentukan peluang terpilihnya bilangan palindrom kelipatan $7$.

Pembahasan

Bilangan palindrom $4$ angka tersebut kita misalkan $\overline{abba}$.
Berdasarkan aturan keterbagian (divisibility rule) oleh $7$, kita kalikan masing-masing digit bilangan dimulai dari kanan ke kiri dengan angka $1, 3, 2, 6, 4, 5$ secara berulang terus menerus. Jika hasilnya berupa bilangan yang habis dibagi $7$, maka bilangan mula-mula juga habis dibagi $7$.
Contoh: $2772$ merupakan bilangan palindrom kelipatan $7$.
Periksa bahwa:
$\begin{aligned} & 2(1) + 7(3) + 7(2) + 2(6) \\ & = 2 + 21+14+12 = 49 \end{aligned}$
Karena $49$ habis dibagi $7$, maka demikian halnya dengan $2772$.
Sekarang, untuk bilangan $\overline{abba}$:
$\begin{aligned} a(1) + b(3) + b(2) + a(6) & = 7k \\ 5b + 7a & = 7k \end{aligned}$
dengan $k$ bilangan bulat.
Jika $b = 0$, maka $a = 1, 2, \cdots, 9$.
Jika $b = 7$, maka $a = 1, 2, \cdots, 9$.
Secara keseluruhan, ada $9+9=18$ bilangan palindrom $4$ angka yang merupakan kelipatan $7$.
Banyak bilangan palindrom $4$ angka seluruhnya adalah $9 \times 10 = 90$.
Jadi, peluang terpilihnya bilangan palindrom kelipatan $7$ adalah
$\boxed{\dfrac{18}{90} = \dfrac15}$

[collapse]

Soal Nomor 11
Berapa banyak bilangan palindrom positif yang terdiri atas $n$ angka?

Pembahasan

Misalkan bilangan palindrom $n$ angka dinotasikan dengan $\overline{a_1a_2a_3 \cdots a_{\frac{n}{2}}a_{\frac{n}{2}} \cdots a_3a_2 \cdots a_1}$.
Ada $9$ angka yang dapat menempati $a_1$ (semua angka kecuali $0$).
Ada $10$ angka yang masing-masing dapat menempati $a_2, a_3, \cdots, a_{\frac{n}{2}}$.
Jadi, secara keseluruhan, banyak bilangan palindrom $n$ angka adalah $\boxed{\begin{aligned} 9 \times \underbrace{10 \times 10 \times \cdots \times 10}_{\text{ada}~\frac{n}{2}-1} & = 9 \times 10^{\frac{n}{2}-1} \\ & = \dfrac{9}{10} \times 10^{\frac{n}{2}} \end{aligned}}$

[collapse]

Soal Nomor 12
Buktikan bahwa semua bilangan palindrom empat angka selalu habis dibagi $11$.

Pembahasan

Misalkan bilangan palindrom empat angka dinotasikan $\overline{abba}$.
Jika kita uraikan bilangan tersebut dalam bentuk panjang, diperoleh
$\begin{aligned} \overline{abba} & = a(1000) + b(100) + b(10) + a(1) \\ & = 1001a + 110b \\ & = \color{blue}{11}(91a+10b) \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $\overline{abba}$ memuat faktor $11$ sehingga $\overline{abba}$ habis dibagi $11$.
(Terbukti)

[collapse]

Soal Nomor 13 (OSK Matematika SMA Tahun 2016)
Tentukan bilangan palindrom $5$ digit terbesar yang habis dibagi $303$.

Pembahasan

Misalkan bilangan palindrom $5$ digit itu adalah $A$.
$A$ habis dibagi $303$, artinya $A$ habis dibagi $3$ dan habis dibagi $101$.
Untuk itu, $A$ dapat dinyatakan dengan $A = 101 \times \overline{xyz}$ dengan $\overline{xyz}$ adalah bilangan $3$ digit.
Kita tuliskan,
$\begin{aligned} A & = (100 + 1) \times \overline{xyz} \\ & = \overline{xyz00} + \overline{xyz} \end{aligned}$
Penjumlahan dari bilangan di atas adalah $\overline{xy*yz}$ dengan $* = z + x$.
Karena bilangan ini palindrom, maka $x = z$ dan $z + x$ harus bernilai kurang dari $10$ agar digit puluhan ribunya tetap $y$. Ini artinya, nilai $x = z$ maksimum yang dapat dipilih adalah $4$.
Selanjutnya, $A = \overline{4y8y4}$ adalah bilangan kelipatan $3$, artinya jumlah digit-digit bilangannya harus merupakan kelipatan $3$.
$4 + y + 8 + y + 4 = 16 + 2y = 3k$
Nilai $y$ maksimum yang dapat dipilih adalah $y = 7$.
Jadi, bilangan palindrom $5$ digit tersebut adalah $\boxed{47874}$

[collapse]

CategoriesTeori Bilangan, KombinatorikaTags, , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *