Soal dan Pembahasan – Residu Fungsi Kompleks dan Pengintegralan dengan Residu


Soal Nomor 1
Tentukan residu pada semua titik singular (pole) dari fungsi
f(z) = \dfrac{4}{1+z^2}

Penyelesaian

Fungsi itu dapat ditulis menjadi
f(z) = \dfrac{4}{(z+i) (z-i)}
Diperoleh titik singular z_0 = -i dan z_0 = i yang masing-masing berorde satu alias kutub sederhana (simple pole).
Ambil
p(z) = 4 dan q(z) = 1 + z^2
Dengan menggunakan rumus
\boxed{\displaystyle \text{Res}_{z = z_0} f(z) = \text{Res} \limits_{z = z_0} \dfrac{p(z)} {q(z)} = \dfrac{p(z_0)} {q'(z_0)}}
diperoleh
\displaystyle \text{Res}_{z = -i} \dfrac{4}{z^2+i} = \dfrac{4}{[2z]_{z = -i}} = \dfrac{4}{-2i}= -2i
dan
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = i} \dfrac{4}{z^2+i} = \dfrac{4}{[2z]_{z = i}} = \dfrac{4}{2i}= 2i
Jadi, untuk titik singular z_0= i, residu fungsinya adalah 2i, sedangkan untuk titik singular z_0 = -i, residu fungsinya adalah -2i.

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan residu pada titik singular dari fungsi f(z) = \dfrac{\cos z} {z^4}

Penyelesaian

(Cara I)
Diketahui titik singular fungsi ini adalah z_0 = 0. Ubah bentuk fungsinya dalam deret Laurent, di mana ekspresi \cos z sebagai bagian deret Taylor dan \dfrac{1}{z^4} sebagai principal part deret Laurent, sehingga
\begin{aligned} \displaystyle \dfrac{\cos z} {z^4} & = \dfrac{1}{z^4} \times \displaystyle \sum \dfrac{(-1)^n \times z^{2n}} {(2n)!} \\ & = \dfrac{1}{z^4} \times \left(1 - \dfrac{z^2}{2!} + \dfrac{z^4}{4!} - \dfrac{z^6}{6!} + \cdots\right) \\ & = \dfrac{1}{z^4} -\dfrac{1}{z^4.2!} + \dfrac{1}{4!} - \dfrac{z^2}{6!} + \cdots \end{aligned}
Residu fungsi pada titik singular z_0 = 0 adalah koefisien dari \dfrac{1}{z - z_0} = \dfrac{1}{z}. Tampak pada ekspresi terakhir, tidak ada bentuk \dfrac{1}{z} yang berarti koefisiennya 0. Jadi, residu fungsi ini untuk titik singular z_0 = 0 adalah 0.
(Cara II)
Anda dapat menggunakan rumus residu secara langsung untuk z_0 = 0, yaitu
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = z_0} f(z) = \dfrac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to z_0} \left[\dfrac{d^{n-1}} {dz^{n-1}} \left((z - z_0)^n \times f(z)\right)\right],
maka
\begin{aligned} \displaystyle \text{Res} \limits_{z = 0} \dfrac{\cos z} {z^4} & = \dfrac{1}{(4-1)!} \lim_{z \to 0} \left[\dfrac{d^{4-1}} {dz^{4-1}} \left(z^n \times \dfrac{\cos z} {z^4} \right)\right]\\ & = \dfrac{1}{3!} \lim_{z \to 0} \left(\dfrac{d^3}{dz^3} (\cos z)\right) \\ & = \dfrac{1}{6} \lim_{z \to 0} (\sin z) = 0 \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan residu pada titik singular dari fungsi f(z) = \dfrac{\sin 2z} {z^6}

Penyelesaian

Diketahui titik singular fungsi ini adalah z_0 = 0.
Kita dapat memanfaatkan penjabaran fungsinya menjadi deret Laurent untuk mencari residunya.
\begin{aligned}\dfrac{\sin 2z} {z^6} & = \displaystyle \dfrac{1}{z^6} \times \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n(2z)^{n+1}} {(2n+1)!} \\ & = \dfrac{1}{z^6} \times \left((2z) - \dfrac{(2z)^3} {3!} + \dfrac{(2z) ^5}{5!} - \cdots\right) \\ & = \dfrac{2}{z^5} - \dfrac{2^3}{z^3.3!} + \dfrac{2^5}{z. 5!} - \cdots \end{aligned}
Residunya adalah koefisien dari \dfrac{1}{z - z_0} = \dfrac{1}{z} (karena z_0 = 0), yaitu
\boxed{\dfrac{2^5}{5!} = \dfrac{4}{15}}

[collapse]

Soal Nomor 4
Carilah residu dari f(z) =\tan z

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
f(z) = \tan z = \dfrac{\sin z} {\cos z}
Titik singular fungsinya adalah nilai z yang membuat \cos z = 0, yaitu z_0 = \dfrac{\pi}{2}, sehingga dengan menggunakan rumus
\boxed{\displaystyle \text{Res} \limits_{z = z_0} f(z) = \text{Res} \limits_{z = z_0} \dfrac{p(z)} {q(z)} = \dfrac{p(z_0)} {q'(z_0)}}
diperoleh
\displaystyle \text{Res}_{z = \frac{\pi} {2}} \dfrac{\sin z} {\cos z} = \dfrac{\sin \dfrac{\pi} {2}} {-\sin \dfrac{\pi} {2}} = -1
Jadi, residu fungsinya adalah -1

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan residu dari fungsi f(z) = \sec z

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
f(z) = \sec z = \dfrac{1}{\cos z}
Titik singular/pole fungsinya adalah nilai z saat \cos z = 0, yaitu z_0 = \dfrac{\pi} {2}, sehingga
\displaystyle \text{Res}_{z = \frac{\pi} {2}} \dfrac{1}{\cos z} = \dfrac{1}{-\sin \dfrac{\pi} {2}} = -1
Jadi, residu fungsinya adalah -1.

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan residu dari fungsi f(z) = \dfrac{1}{1 - e^z}

Penyelesaian

Titik singular/pole fungsi ini adalah nilai z sehingga 1 - e^z = 0, yaitu z_0 = 0
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = 0} \dfrac{1}{1 - e^z} = \dfrac{1}{-e^0} = -1
Jadi, residu fungsinya adalah -1

[collapse]

Soal Nomor 7
Carilah residu dari fungsi f(z) = \dfrac{1}{(z^2-1)^2}

Penyelesaian

Fungsi ini dapat ditulis menjadi
f(z) = \dfrac{1}{(z-1)^2(z+1)^2}
Fungsi ini ternyata memiliki dua buah pole, yaitu z_0 = 1 (berorde dua) dan z_0 = -1 (berorde dua).
Residu pada titik singular z_0 = 1 adalah
\begin{aligned}& \displaystyle \text{Res} \limits_{z = 1} \dfrac{1}{(z-1)^2(z+1)^2} \\ & = \dfrac{1}{(2-1)!} \lim_{z \to 1} \left[\dfrac{d} {dz} \left((z-1)^2 \times \dfrac{1}{(z-1)^2(z+1)^2} \right)\right]\\ & = \lim_{z \to 1} \left(\dfrac{d}{dz} \left(\dfrac{1}{(z+1)^2}\right)\right) \\ & = \lim_{z \to 1} \left(\dfrac{-2}{(z+1)^3}\right) = -\dfrac{1}{4} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan residu dari f(z) = \dfrac{z^4}{z^2 - iz + 2}

Penyelesaian

Fungsi di atas dapat ditulis
f(z) = \dfrac{z^4}{(z-2i) (z+i)}
Diperoleh pole fungsinya, yaitu z_0 = 2i dan z_0 = -i (masing-masing berorde satu).
Residu pada titik singular/pole z_0 = 2i adalah
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = 2i} \dfrac{z^4}{z^2 - iz + 2} = \dfrac{(2i^4}{2(2i) - i} = \dfrac{16}{3}i
Residu pada titik singular/pole z_0 = -i adalah
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = -i} \dfrac{z^4}{z^2 - iz + 2} = \dfrac{(-i) ^4}{2(-i) - i} = -\dfrac{1}{3}i

[collapse]

Soal Nomor 9
Hitunglah \displaystyle \int \limits_{C} \tan \pi z~dz dengan C: |z| = 1

Penyelesaian

Kurva yang diberikan adalah kurva lingkaran berpusat di titik asal dan berjari-jari 1. Pertama, kita akan mencari pole dari integrannya, yaitu
\tan \pi z = \dfrac{\sin \pi z} {\cos \pi z}
Nilai z yang membuat \cos \pi z = 0 adalah z_0 = \pm \dfrac{1}{2}. Selain itu, z_0 = \pm \dfrac{3}{2} juga membuat \cos \pi z = 0, tetapi z_0 ini berada di luar kurva C, jadi tidak perlu ditinjau.
Langkah selanjutnya akan dicari residu pada pole z_0 = \dfrac{1}{2} pada fungsi tersebut, yaitu
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = \frac{1}{2}} \dfrac{\sin \pi z} {\cos \pi z} = \dfrac{\sin \dfrac{1}{2}\pi} {-\pi \sin \dfrac{1}{2}\pi} = -\dfrac{1}{\pi}
Berikutnya, akan dicari residu pada pole z_0 = -\dfrac{1}{2} pada fungsi tersebut, yaitu
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = -\frac{1}{2}} \dfrac{\sin \pi z} {\cos \pi z} = \dfrac{\sin -\dfrac{1}{2}\pi} {-\pi \sin -\dfrac{1}{2}\pi} = -\dfrac{1}{\pi}
Dengan demikian,
\begin{aligned} \displaystyle \int \limits_{C} \tan \pi z~dz & = 2\pi i \times \sum \text{Res} \tan \pi z \\ & = 2 \pi i\left(-\dfrac{1}{\pi} - \dfrac{1}{\pi}\right) = -4i \end{aligned}
Jadi, hasil integralnya adalah -4i

[collapse]

Soal Nomor 10
Hitunglah \displaystyle \int \limits_{C} \dfrac{z^2 \sin z} {4z^2 - 1}~dz dengan C: |z| = 2

Penyelesaian

Pole fungsinya adalah nilai z yang membuat 4z^2 - 1 = 0, yaitu z_0 = \pm \dfrac{1}{2} (keduanya berorde satu dan berada dalam kurva C).
Berikut akan dicari residu dari kedua pole itu satu per satu, yaitu
\displaystyle \text{Res}_{z = \frac{1}{2} \dfrac{z^2 \sin z} {4z^2 - 1} = \dfrac{\frac{1}{4} \sin \frac{1}{2}} {4} = \dfrac{1}{16} \sin \dfrac{1}{2}
dan
\displaystyle \text{Res}_{z = -\frac{1}{2} \dfrac{z^2 \sin z} {4z^2 - 1} = \dfrac{\frac{1}{4} \sin -\frac{1}{2}} {-4} = \dfrac{1}{16} \sin \dfrac{1}{2}
Dengan demikian,
\begin{aligned}\displaystyle \int \limits_{C} \dfrac{z^2 \sin z} {4z^2 - 1}~dz & = 2\pi i \times \left(\dfrac{1}{16} \sin \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{16} \sin \dfrac{1}{2} \right) \\ & = \boxed{\dfrac{1}{4}\pi i \sin \dfrac{1}{2}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 11
Hitunglah \displaystyle \int \limits_{C} \dfrac{e^z + z} {z^3 - z} dengan C: |z| = \dfrac{1}{2}\pi

Penyelesaian

Integrannya dapat ditulis menjadi
f(z) = \dfrac{e^z + z} {z(z-1)(z+1)}
Pole fungsi ini adalah z_0 = 0, z_0 = 1, dan z_0 = -1, ketiganya berorde satu dan berada dalam kurva C.
Berikut ini akan dicari residunya.
Residu untuk z_0 = 0 adalah
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = 0} \dfrac{e^z + z} {z^3 - z} = \dfrac{e^0 + 0}{3(0)^2 - 1} = -1
Residu untuk z_0 = 1 adalah
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = 1} \dfrac{e^z + z} {z^3 - z} = \dfrac{e^1 + 1}{3(1)^2 - 1} = \dfrac{e + 1}{2}
Residu untuk z_0 = -1 adalah
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = -1} \dfrac{e^z - z} {z^3 - z} = \dfrac{e^{-1} - 1}{3(-1)^2 - 1} = \dfrac{e^{-1} - 1}{2}
Dengan demikian,
\begin{aligned} \displaystyle \int \limits_{C} \dfrac{e^z + z} {z^3 - z} & = \dfrac{1}{2}\pi \\ & = 2\pi i \times \left(-1 + \dfrac{e + 1}{2} + \dfrac{e^{-1} - 1}{2}\right) \\ & = \boxed{\pi i(-2 + e + e^{-1})} \end{aligned}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal dan Pembahasan – Deret Laurent dalam Analisis Kompleks

 

Soal Nomor 1
Uraikan fungsi \dfrac{1}{z+3} dalam deret Laurent untuk daerah konvergensi |z| > 3.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa ada 2 arti dari daerah |z|>3, yaitu
1) Perlu menguraikan fungsi tersebut untuk daerah konvergensinya, yaitu pada semua z yang berada di luar lingkaran berpusat di titik asal dan berjari-jari 3.
2) Perlu menguraikan fungsi tersebut ke dalam bentuk deret pangkat positif maupun negatif dari z. Singkatnya menjadi
\boxed{\displaystyle \sum a_n.z^n + \sum \dfrac{b_n}{z^n} }
Perhatikan bahwa,
\dfrac{1}{z+3} = \dfrac{1}{z} \times \dfrac{1}{1 +\dfrac{z} {3}}
Uraikan ekspresi \dfrac{1}{1 + \dfrac{z}{3}} dalam deret Taylor. Ingat bentuk berikut.
\boxed{\displaystyle \dfrac{1}{1 + z} = \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^nz^n}
Jadi, dapat ditulis
\dfrac{1}{z} \times \dfrac{1}{1 +\dfrac{z} {3}} = \dfrac{1}{z} \times \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n. \left(\dfrac{3}{z}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n. 3^n} {z^{n+1}}
Dapat dilihat bahwa kita hanya mencari principal part dari deret Laurent karena daerah yang diminta adalah |z| > 3

[collapse]

Soal Nomor 2
Uraikan fungsi \dfrac{1}{z - 1} dalam deret Taylor pada daerah |z - 2| < 2 dan bagian principal part deret Laurent pada daerah |z - 2| > 2.

Penyelesaian

Titik singular fungsi tersebut adalah z = 1, sedangkan daerah konvergensinya adalah |z - 2| < 2 (di dalam lingkaran dengan pusat (2,0) dan berjari-jari 2). Karena titik singularnya berada dalam daerah konvergensi, maka uraikan fungsinya hanya dengan deret Taylor (sebagaimana yang diminta pada soal).
\dfrac{1}{z - 1} = \dfrac{1}{1 + (z - 2)} = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-z + 2)^n
Di lain pihak, titik singular fungsi berada di luar daerah konvergensi |z - 2| > 2, sehingga diuraikan dalam principal part deret Laurent.
\begin{aligned} \dfrac{1}{z-1} & = \dfrac{1}{1 + (z - 2)} \\ & = \dfrac{1}{(z - 2)\left(1 + \dfrac{1}{z - 2}\right)} \\ & = \dfrac{1}{z-2} \times \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n. \left(\dfrac{1}{z-2}\right)^n \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n} {(z - 2)^{n+1}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 3
Uraikan fungsi \dfrac{1}{(z+2)(z-1)} dalam deret Laurent untuk daerah 4 < |z - 2| < \infty

Penyelesaian

Daerah konvergensi 4 < |z - 2| < \infty ekuivalen dengan |z - 2| > 4. Titik singular fungsinya, yaitu z = -2 dan z = 1 masing-masing di luar daerah konvergensinya, sehingga penguraiannya dengan menggunakan principal part deret Laurent sebagai berikut.
\begin{aligned}& \dfrac{1}{(z+2)(z-1)} = \dfrac{-\dfrac{1}{3}}{z + 2} + \dfrac{\dfrac{1}{3}} {z - 1} \\ & = -\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4 + (z - 2)} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{1 + (z - 2)} \\ & = -\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{(z - 2)\left(1 + \dfrac{4}{z - 2}\right)} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{(z-2)\left(1 + \dfrac{1}{z - 2}\right)} \\ & = -\dfrac{1}{3(z-2)} \times \displaystyle \sum (-1)^n\left(\dfrac{4}{z -2}\right)^n + \dfrac{1}{3(z-2)} \times \sum (-1)^n\left(\dfrac{1}{z-2}\right)^n \\ & = \boxed{\dfrac{1}{3}(1-4^n) \sum \dfrac{(-1)^n} {(z-2)^{n+1}}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 4 (Soal ON-MIPA PT Seleksi Untan)
Uraian deret Laurent dari fungsi f(z) = \dfrac{3}{z^2 - iz} pada daerah |z + i| < 1 adalah…..

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
f(z) = \dfrac{3}{z^2 - iz} = \dfrac{3}{z(z - i)}
Titik singular fungsi ini adalah z = 0 dan z = i yang letaknya TIDAK berada di luar daerah konvergensi |z + i| < 1 (lingkaran dengan pusat di (0,1) dan berjari-jari 1), sehingga kita menguraikan keduanya ini hanya dalam bentuk deret Taylor.
\begin{aligned} & \dfrac{3}{z(z + i)} = 3\left(\dfrac{-\dfrac{1}{i}} {z} + \dfrac{\dfrac{1}{i}} {z - i}\right) \\ & = -\dfrac{3}{i} \times \dfrac{1}{-i + (z + i)} + \dfrac{3}{i} \times \dfrac{1}{-2i + (z + i)} \\ & =-\dfrac{3}{i} \times \dfrac{1}{-i\left(1 + \dfrac{z + i}{-i}\right)} + \dfrac{3}{i} \times \dfrac{1}{-2i\left(1 + \dfrac{z+i}{-2i}\right)} \\ & = -3 \displaystyle \sum (-1)^n\left(\dfrac{z+i} {-i}\right)^n + \dfrac{3}{2} \times \sum (-1)^n\left(\dfrac{z+i} {-2i}\right)^n \\ & = \displaystyle \sum 3\left(\dfrac{z+i} {i} \right)^n + \sum \dfrac{3}{2}\left(\dfrac{z+i}{2i}\right)^n \\ & = \boxed{3 \sum (z + i)^n\left(\dfrac{1}{2^{n+1}i^n} - \dfrac{1}{i^n}}\right) \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 5
Uraikan dalam deret Laurent dari fungsi f(z) = \sin \left( \dfrac{1}{z}\right) pada daerah konvergensi |z| > 0

Penyelesaian

Karena daerah konvergensinya adalah |z| > 0, maka penyelesaiannya melibatkan principal part deret Laurent. Perhatikan bahwa,
\boxed{\sin z = \displaystyle \sum \dfrac{(-1)^nz^{2n+1}} {(2n+1)!}}
Jadi,
\sin \left( \dfrac{1}{z}\right) = \displaystyle \sum \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!} \times \left(\dfrac{1}{z} \right)^{2n+1} = \sum \dfrac{(-1)^n} {(2n+1)!.z^{2n+1}}

[collapse]

Soal Nomor 6
Uraikan dalam deret Laurent dari fungsi f(z) = \dfrac{1}{z^3-2z^2+z} untuk daerah konvergensi 0 < |z - 1| < 1

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
f(z) = \dfrac{1}{z^3-2z^2+z} = \dfrac{1}{z(z-1)^2}
Tampak titik singular z_1 = 0 dan z_2 = 1, berturut-turut berada dalam syarat konvergensi |z - 1| < 1 dan |z - 1| > 0, berarti bagian fungsi yang memiliki syarat |z - 1| < 1 akan diselesaikan seperti deret Taylor dan bagian fungsi yang memiliki syarat |z - 1| > 0 akan diselesaikan seperti principal part dalam deret Laurent.
Bentuk fungsi di atas dapat dipecah menjadi
f(z) = \dfrac{1}{z} \times \dfrac{1}{(z-1)^2}
Tinjau bagian \dfrac{1}{(z-1)^2} yang akan dicari bentuk principal part. Tetapi, ternyata bentuk tersebut sudah dalam bentuk deret pangkat \dfrac{1}{(z-1)^n} sehingga tidak perlu diubah lagi.
Jadi,
\begin{aligned} f(z) & = \dfrac{1}{z} \times \dfrac{1}{(z-1)^2} \\ & = \dfrac{1}{1 + (z - 1} \times \dfrac{1}{(z-1)^2} \\ & = \displaystyle \sum (-1)^n(z-1)^n \times \dfrac{1}{(z-1)^2} \\ & = \boxed{\sum (-1)^n(z-1)^{n-2}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 7
Uraikan fungsi f(z) = \dfrac{5z + 2i} {z(z+i)} dalam deret Laurent untuk daerah 1 < |z - i| < 2

Penyelesaian

Anulus konvergensinya adalah daerah di antara lingkaran berpusat di (0,1) dan berjari-jari 1 dengan 2. Fungsi yang diberikan memiliki titik singular z = 0 dan z = i. Titik singular z = 0 berada lebih kecil dari daerah konvergensi, sehingga diselesaikan dalam bentuk principal part, sedangkan z = i diselesaikan seperti deret Taylor karena lebih besar dari daerah konvergensi. Pertama-tama, pecahkan fungsinya dalam bentuk parsial.
\dfrac{5z+2i} {z(z+i}} = \dfrac{2}{z} + \dfrac{3}{z+i}
(i) Menguraikan bentuk \dfrac{2}{z} dalam principal part deret Laurent.
\begin{aligned} \dfrac{2}{z} & = \dfrac{2}{i + (z - i)} \\ & = \dfrac{2}{(z-i)\left(1 + \dfrac{i}{z-i}\right)} \\ & = \dfrac{2}{z-i} \displaystyle \sum (-1)^n\left(\dfrac{i} {z-i} \right)^n \\ & = \boxed{2 \sum (-1)^n \times \dfrac{(i)^n} {(z-i)^{n+1}}} \end{aligned}
(ii) Menguraikan bentuk \dfrac{3}{z + i} dalam bentuk deret Taylor.
\begin{aligned} \dfrac{3}{z+i} & = \dfrac{3}{2i + (z - i)} \\ & = \dfrac{3}{2i\left(1 + \dfrac{z-i} {2i} \right)} \\ & = \dfrac{3}{2i} \displaystyle \sum (-1)^n\left(\dfrac{z-i} {2i} \right)^n \\ & = \boxed{3 \sum (-1)^n \times \dfrac{(z-i)^n} {(2i)^{n+1}}} \end{aligned}
Jadi, deret Laurentnya adalah penjumlahan dari keduanya, yaitu
\boxed{2 \sum (-1)^n \times \dfrac{(i)^n} {(z-i)^{n+1}} + 3 \sum (-1)^n \times \dfrac{(z-i)^n} {(2i)^{n+1}}}

[collapse]

Soal Nomor 8 (Soal ON-MIPA PT Seleksi UGM Tahun 2015)
Uraikan fungsi f(z) = \dfrac{z+3}{z^2-6z+8} dalam bentuk deret Laurent dari daerah 0 < |z - 2| < 2

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
f(z) = \dfrac{z+3}{z^2-6z+8} = \dfrac{z+3}{(z-4)(z-2)}
Daerah konvergensinya adalah di antara lingkaran berpusat di (2,0) berjari-jari 0 dan 2.
Titik singular fungsi tersebut adalah z = 4 dan z = 2. Titik singular z = 2 lebih kecil dari daerah konvergensi, sehingga diselesaikan dalam bentuk principal part, sedangkan titik singular z = 4 lebih besar dari daerah konvergensi, dan harus diselesaikan dalam bentuk deret Taylor.
Untungnya, \dfrac{1}{z - 2} sudah dalam bentuk principal part, sehingga tidak perlu diubah. Sekarang, akan diuraikan bentuk \dfrac{1}{z -4} dalam deret Taylor sebagai berikut.
\begin{aligned} \dfrac{z+3}{z-2} \times \dfrac{1}{z-4} & = \dfrac{z+3}{z-2} \times \dfrac{1}{-2 + (z - 2)} \\ & = \dfrac{z+3}{z-2} \times \dfrac{1}{-2\left(1 + \dfrac{z-2}{-2}\right) } \\ & = \dfrac{z+3}{z-2} \times \dfrac{1}{-2} \times \displaystyle \sum (-1)^n\left(\dfrac{z-2}{-2}\right)^n \\ & = \boxed{ -(z + 3) \sum \dfrac{(z-2)^{n-1}} {2^{n+1}}} \end{aligned}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal dan Pembahasan – Analisis Kurva Kompleks dan Integral Kontur (Integral Garis)

Berikut ini adalah kumpulan soal beserta pembahasannya mengenai analisis kurva kompleks (termasuk Kurva Yordan) dan integral kontur (integral garis) yang didapat dari berbagai referensi. Beberapa soal merupakan soal olimpiade tingkat perguruan tinggi bidang Analisis Kompleks dan juga soal-soal yang diujikan saat Ujian Akhir Semester (UAS) sehingga dapat dijadikan sebagai referensi/sumber belajar. Selamat belajar! Jika ada pertanyaan/perbaikan, silakan ajukan di kolom komentar.



Persamaan Integral Cauchy
Jika f(z) analitik dalam domain D yang terhubungkan sederhana, maka untuk sembarang titik z_0 dalam D dan sembarang lintasan tertutup sederhana C dalam D yang melingkungi z_0 berlaku
\boxed{\displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{f(z)} {z -z_0}= 2\pi if(z_0)}
Pengintegralannya dilakukan dalam arah berlawanan jarum jam.

Turunan dari Fungsi Hasil Integral Cauchy
Jika f(z) analitik dalam domain D, maka f(z) mempunyai turunan semua ordo di dalam D, yang semuanya juga analitik dalam D. Nilai turunan di titik z_0 itu dinyatakan sebagai
f'(z_0) = \displaystyle \dfrac{1}{2\pi i} \oint \limits_{C} \dfrac{f(z)} {(z-z_0)^2}~dz
Secara umum, dapat ditulis
\boxed{f^n(z_0) = \displaystyle \dfrac{n!} {2\pi i} \oint \limits_{C} \dfrac{f(z)} {(z-z_0)^{n+1}}~dz}
atau
\boxed{\displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{f(z)} {(z-z_0)^{n+1}}~dz = f^n(z_0) \times \dfrac{2\pi i} {n!}}

Soal Nomor 1
Tentukan nilai dari integral kompleks \int \limits_{C} \cos z~dz jika C adalah setengah lingkaran |z| = \pi, x \geq 0 dari -\pi i ke \pi i

Penyelesaian

Dalam mata kuliah kalkulus, diketahui bahwa
\boxed{\int \cos x~dx = \sin x + C}
Jadi,
\begin{aligned} \displaystyle \int \limits_{C} \cos z~dz & = \int_{-\pi i}^{\pi i} \cos z~dz \\ & = [\sin z]_{-\pi i}^{\pi i} \\ & = \sin \pi i + \sin \pi i = 2 \sin \pi i \end{aligned}
Karena \sin iz = i~\sinh z, berarti dapat ditulis,
\boxed{\int \limits_{C} \cos z~dz = 2 \sin \pi i = 2i \sinh \pi}

[collapse]

Soal Nomor 2
Nilai dari \displaystyle \int \limits_{C} f(z)~dz jika f(z) = y - x + 6ix^2 dan C terdiri atas dua penggal garis dari z = 0 sampai z = i dan dari z = i sampai z = 1 +i adalah \cdots

Penyelesaian

Integral garis dalam kasus ini memberikan
\begin{aligned} \displaystyle \int \limits_{C} & (y - x + 6ix^2)~(dx + idy) \\ & = \int \limits_{C} (y - x +6ix^2)~dx + \int \limits_{C} (iy - ix - 6x^2)~dy \end{aligned}
Garis dari z = 0 sampai z = i sama dengan garis dari titik (0,0) ke (0,1) berarti x = 0 sehingga dx = 0
Jadi, integralnya ditulis
\int_0^{1} 0 + \int_0^{1} (iy - 0)~dy = \left[\dfrac{i} {2}y^2\right]_0^{1} = \dfrac{i} {2}
Selanjutnya, garis dari z = i sampai z = 1+i sama dengan garis dari titik (0,1) ke (1, 1) berarti y = 1 sehingga dy = 0
Jadi, integralnya ditulis
\begin{aligned} \int_0^{1} (1-x+6ix^2)~dx + \int_0^{1} 0 & = \left[x - \dfrac{1}{2}x^2 + 2ix^3\right]_0^{1} \\ & = 1 -\dfrac{1}{2} + 2i \\ & = \dfrac{1}{2} +2i \end{aligned}
Ini berarti, nilai dari \int_C f(z) ~dz yang dimaksud adalah
\dfrac{i} {2}+ \dfrac{1}{2} +2i = \boxed{\dfrac{1+5i} {2}}

[collapse]

Soal Nomor 3
Hitunglah \int \limits_{C} \overline{z}~dz dari z = 0 ke z = 4 + 2i sepanjang kurva C yang diberikan oleh
a) z = t^2 + it
b) garis z = 0 ke z = 2i kemudian dari z = 2i ke z = 4 + 2i

Penyelesaian

(Jawaban a)
Diketahui z = t^2+it berarti konjugatnya adalah \overline{z} = t^2-it
Titik z = 0 dan z = 4+2i berkaitan dengan t = 0 dan t = 2 (akan menjadi batas bawah dan atas integral). Selain itu, dari z = t^2+it, diperoleh
dz = (2t + i)~dt
Jadi, integral garisnya diberikan oleh
\begin{aligned} \displaystyle \int_{0}^{2} (t^2-it)(2t+i)~dt & = \int_{0}^{2} (2t^3-it^2+t) ~dt \\ & = \boxed{10 - \dfrac{8}{3}i} \end{aligned}
(Jawaban b)
Integral garis yang diberikan adalah
\begin{aligned} \int \limits_{C} (x-iy)&(dx + i~dy) = \int_C (x~dx + y~dy) \\ & + i \int_C (x~dy - y~dx) \end{aligned}
Garis dari z = 0 ke z = 2i sama dengan garis dari titik (0,0) ke (0,2), sehingga x = 0, dx = 0, dan integral garisnya adalah
\int_{y=0}^{2} (0 +y~dy) + i \int_{y = 0}^{2}(0 - 0) = \int_{y = 0}^{2} y~dy = 2
Garis dari z = 2i ke z = 4+2i sama dengan garis dari titik (0,2) ke (4,2), sehingga y = 2, dy = 0, dan integral garisnya adalah
\begin{aligned}& \int_{x=0}^{4} (x~dx + 0) + i \int_{x = 0}^{4}(0 - 2~dx) \\ & = \int_{x = 0}^{4} x~dx + \int_{x =0}^{4} (-2)~dx \\ & = 8 - 8i \end{aligned}
Jadi, nilai yang diinginkan adalah
(2) + (8 - 8i) = 10 - 8i

[collapse]

Soal Nomor 4
Tentukan letak dan nama kesingularan dari f(z) = \dfrac{z^3+2}{(z - 2)^3}

Penyelesaian

Titik singular adalah titik di mana suatu fungsi tidak memiliki turunan. Sedangkan kesingularan adalah keadaan di mana suatu titik pada bidang kompleks menjadi titik singular.
Fungsi f untuk kasus ini memiliki kesingularan kutub berderajat 3 di z = 2 (perhatikan penyebutnya).
Untuk memeriksa kesingularan di z = \infty, andaikan bahwa w = 0 dan z = \dfrac{1}{w}, sehingga
\begin{aligned} f(z) & = f\left(\dfrac{1}{w} \right)\\ &  = \dfrac{\dfrac{1}{w^3} + 2}{\left(\dfrac{1}{w} -2\right)^3} \\ & = \dfrac{1 + 2w^3}{(1-2w)^3} \end{aligned}.
Dari bentuk ini, kita dapatkan bahwa tidak terjadi kesingularan saat w = 0, yang artinya f tidak memiliki kesingularan di z = \infty

[collapse]

Soal Nomor 5 (Soal ON-MIPA PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Jika C: persegi panjang dengan titik sudut 2 + 2i, -2 + 2i, -2 - 2i, dan 2 - 2i, dengan C berorientasi positif, nilai dari
\displaystyle \oint \dfrac{\cos z} {z(z^2-8)}~dz adalah \cdots

Penyelesaian

C adalah kurva yang membentuk bangun persegi pada bidang kompleks. Perhatikanlah bahwa titik singular integran, yaitu z = 0 berada dalam C, sedangkan z^2 - 8 = 0 \Rightarrow z = \pm\sqrt{8} tidak berada dalam C, jadi dapat ditulis
\begin{aligned} \displaystyle \oint \dfrac{\cos z} {z(z^2-8)}~dz & = \oint \dfrac{\cos z}{z^2-8} \times \dfrac{dz}{z} \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{\cos z}{z^2 - 8}\right]_{z = 0} \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{\cos 0}{0 - 8}\right] \\ & = \boxed{-\dfrac{1}{4} \pi i} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 6
Hitunglah dengan Rumus Cauchy
\displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{\cos \pi z} {z^2-1}

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 7
Hitunglah integral kompleks
\displaystyle \int \limits_{C} ze^{z^2}~dz, C adalah kurva dari 1 menuju i sepanjang sumbu kompleks.

Penyelesaian

Integral ini dapat diselesaikan dengan metode substitusi.
Misal u = z^2 berarti du =2z~dz atau z~dz = \dfrac{du} {2}, sehingga
\displaystyle \int \limits_{C} ze^{z^2}~dz = \dfrac{1}{2} \int \limits_{C_1} e^u~du
di mana C_1 adalah kurva hasil transformasi C karena adanya perubahan variabel integrasi.
Perhatikan pada kurva C:
z_0 = 1 (batas bawah)
z_1 = i (batas atas)
berarti pada kurva C_1 (pemisalan u = z^2) :
u_0 = 1^2 = 1 (batas bawah)
u_1 = i^2 = -1 (batas atas)
Selanjutnya, kita siap menghitung integralnya.
\begin{aligned} \displaystyle \dfrac{1}{2} \int \limits_{C_1} e^u~du & = \dfrac{1}{2}\left[e^u\right]_{1}^{-1} \\ & = \dfrac{1}{2}(e^{-1} - e^1) \\ & = -\dfrac{1}{2}(e^1 - e^{-1}) \\ & = \boxed{-\sinh 1} \end{aligned}
Catatan:
Hal yang perlu Anda perhatikan:
\boxed{\sinh z = \dfrac{1}{2}(e^z - e^{-z})}

[collapse]

Soal Nomor 8
Hitunglah \displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{e^z} {z - 2}~dz dengan integral Cauchy.

Penyelesaian

\displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{e^z} {z - 2}~dz = 2\pi i e^z\left|_{z = 2} = \boxed{2\pi i e^2}
untuk setiap kontur (lintasan tertutup sederhana) yang melingkungi z_0 = 2 dan bernilai 0 untuk setiap kontur yang tidak melingkungi z_0 = 2.

[collapse]

Soal Nomor 9
Hitunglah \displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{z^3-6}{2z-i}~dz dengan menggunakan integral Cauchy.

Penyelesaian

\begin{aligned} \displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{z^3-6}{2z-i}~dz & = \oint \limits_{C} \dfrac{\dfrac{z^3-6}{2}} {z - \dfrac{i} {2}}~dz \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{z^3-6}{2}\right]_{z = \dfrac{i} {2}} \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{\dfrac{-i} {8} - 6}{2} \right] \\ & = \boxed{\dfrac{\pi} {8} - 6\pi i} \end{aligned}
untuk setiap kontur yang melingkungi z_0 = \dfrac{i} {2} di mana z_0 terletak di dalam C.

[collapse]

Soal Nomor 10
Integralkan \dfrac{z^2}{z^2+1} dengan arah berlawanan jarum jam sepanjang lingkaran |z + i| = 1

Penyelesaian

Perhatikan bahwa C adalah kurva berupa lingkaran yang berpusat di (0,-1) beradius 1.
\displaystyle \begin{aligned} \oint \limits_{C} \dfrac{z^2}{z^2+1}& ; C: |z + i| = 1 \\ & = \oint \limits_{C} \dfrac{z^2}{z-i}. \dfrac{dz} {z+i} \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{z^2}{z-i} \right] _{z = -i} \\ & = 2\pi i \times \dfrac{-1}{-i-i} \\ & = -\pi \end{aligned}
untuk setiap kontur yang melingkungi z = -i termasuk dalam kasus ini C: |z + i| = 1

[collapse]

Soal Nomor 11
Integralkan \dfrac{z^2}{z^4-1} dengan arah berlawanan jarum jam sepanjang lingkaran |z - 1| = 1

Penyelesaian

Perhatikan bahwa C adalah kurva berupa lingkaran yang berpusat di (1, 0) beradius 1.
\displaystyle \begin{aligned} \oint \limits_{C} \dfrac{z^2}{z^4-1} & ; C: |z - 1| = 1 \\ & = \oint \limits_{C} \dfrac{z^2}{(z^2+1)(z+1)}. \dfrac{dz} {z-1} \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{z^2}{(z^2+1)(z+1)} \right] _{z = 1} \\ & = 2\pi i \times \dfrac{1}{(1+1)(1+1)} \\ & = \dfrac{1}{2}\pi i \end{aligned}
untuk setiap kontur yang melingkungi z = 1 termasuk dalam kasus ini C: |z - 1| = 1

[collapse]

Soal Nomor 12
Integralkan \dfrac{1}{4z + i} dengan arah berlawanan jarum jam sepanjang lingkaran satuan.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa C adalah kurva berupa lingkaran yang berpusat di (0, 0) beradius 1 (lingkaran satuan).
\displaystyle \begin{aligned}& \oint \limits_{C} \dfrac{1}{4z + i}~dz ; C: |z| = 1 \\ & = \oint \limits_{C} \dfrac{\dfrac{1}{4}}{z + \dfrac{i} {4}}~dz \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{1}{4}\right] _{z = \dfrac{1}{4}\\ & = \dfrac{\pi i} {2} \end{aligned}
untuk setiap kontur yang melingkungi z = \dfrac{1}{4} termasuk dalam kasus ini C: |z|= 1

[collapse]

Soal Nomor 12
Hitunglah integral kompleks \displaystyle \oint \limits_{|z| = 2} z^2e^{2z}~dz.

Penyelesaian

Fungsi f(z) = z^2e^{2z} merupakan fungsi analitik karena merupakan hasil perkalian polinom z^2 dan bentuk eksponensial e^{2z} yang keduanya merupakan fungsi analitik. (Ingat: suatu fungsi dikatakan analitik pada domain D jika fungsinya terdefinisi dan dapat diturunkan pada setiap titik dari D). Lintasannya (pada integral) adalah |z| = 2 yang merupakan lingkaran berpusat di titik asal dan berjari-jari 2, sehingga merupakan lintasan tertutup. Menurut akibat Teorema Cauchy-Goursat, diperoleh 
\boxed{\displaystyle \oint \limits_{|z| = 2} z^2e^{2z}~dz = 0} 

[collapse]

Soal Nomor 13
Hitunglah integral kompleks \displaystyle \oint_{C} e^{-x}e^{-iy}~dz jika C adalah persegi dengan titik-titik sudut 0, 1, 1 + i, i

Penyelesaian

Perhatikan integran f(z) = e^{-x}e^{-iy} = e^{-x - iy} = e^{-z} yang merupakan fungsi analitik. Karena lintasannya berupa persegi (lintasan tertutup), maka dengan menggunakan Teorema Cauchy-Goursat, dapat disimpulkan bahwa
\boxed{\displaystyle \oint_{C} e^{-x}e^{-iy}~dz = 0}

[collapse]

Soal Nomor 14
Integralkan fungsi berikut dalam arah berlawanan jarum jam sepanjang lingkaran satuan.
a) \dfrac{z^2}{(2z-1)^2}
b) \dfrac{z^3}{(2z+1)^3}

Penyelesaian

Ingat bahwa
\boxed{\displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{f(z)} {(z - z_0)^{n+1}} = f^n(z_0)\dfrac{2\pi i} {n!}}
Dengan demikian,
(Jawaban a)
\begin{aligned} \displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{z^2}{(2z-1)^2}~dz & = \dfrac{1}{4} \oint \limits_{C} \dfrac{z^2}{\left(z - \dfrac{1}{2}\right)^2}~dz \\ & = \dfrac{1}{4}\left[\dfrac{d}{dz}(z^2)\right] _{z= \dfrac{1}{2}} \times \dfrac{2\pi i} {1!} \\ & = \dfrac{1}{2}\pi i \end{aligned}
(Jawaban b)
\begin{aligned} \displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{z^3}{(2z+i)^3}~dz & = \dfrac{1}{8} \oint \limits_{C} \dfrac{z^3}{\left(z + \dfrac{i}{2}\right)^3}~dz \\ & = \dfrac{1}{8}\left[\dfrac{d}{dz^2}(z^3)\right] _{z = -\dfrac{i}{2}} \times \dfrac{2\pi i} {2!} \\ & = \dfrac{3}{8}\pi \end{aligned}

[collapse]
Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal dan Pembahasan – Fungsi Analitik dan Harmonik serta Teoremanya dalam Sistem Bilangan Kompleks

Suatu fungsi kompleks disebut fungsi analitik jika memenuhi Persamaan Cauchy-Riemann (PCR). PCR melibatkan turunan parsial, sehingga Anda harus sudah memahami materi turunan parsial beserta teknik diferensial terkait (baca: kalkulus).
Suatu fungsi kompleks disebut fungsi harmonik dalam \mathbb{R} jika fungsi tersebut memenuhi Persamaan Laplace (PL).

Soal Nomor 1
Periksa apakah f(z) = z^2 memenuhi Persamaan Cauchy-Riemann.

Penyelesaian

Misalkan z = x + iy berarti
f(z) = z^2 = (x + iy)^2 = (x^2 - y^2) + 2ixy
Diperoleh u =x^2 - y^2 dan v = 2xy di mana u dan v masing-masing merepresentasikan bagian real dan imajiner dalam fungsi f.
(1a) Cek turunan parsial u =x^2 terhadap x
\dfrac{\partial (x^2 - y^2)}{\partial x} = 2x
(1b) Cek turunan parsial v = 2xy terhadap y
\dfrac{\partial (2xy)} {\partial x} = 2x
Kita dapatkan bahwa hasil (1a) dan (1b) sama.
Selanjutnya,
(2a) Cek turunan parsial u = x^2 - y^2 terhadap y
\dfrac{\partial (x^2 - y^2)} {\partial y} = -2y
(2b) Cek negatif turunan parsial v = 2xy terhadap x
-\dfrac{\partial (2xy)} {x} = -2y
Kita dapatkan bahwa hasil (2a) dan (2b) sama.
Dengan demikian, f(z) memenuhi PCR.

[collapse]

Soal Nomor 2
Apakah fungsi berikut memenuhi PCR?
a) f(z) = r^2 \cos^2 \theta + ir^2 \sin^2 \theta
b) f(z) = \dfrac{1}{z} dengan z = re^{i\theta}

Penyelesaian

(Jawaban a)
Perhatikan bahwa
x = r \cos \theta, sedangkan
y = r \sin \theta
sehingga fungsi f bisa ditulis sebagai
f(z) = x^2 + iy^2
Jadi, u = x^2 dan v = y^2
(1a) Cek turunan parsial u =x^2 terhadap x
\dfrac{\partial (x^2)}{\partial x} = 2x
(1b) Cek turunan parsial v = y^2 terhadap y
\dfrac{\partial (y^2)} {\partial y} = 2y
Kita dapatkan bahwa hasil (1a) dan (1b) tidak sama. \bigstar
Selanjutnya,
(2a) Cek turunan parsial u = x^2 terhadap y
\dfrac{\partial (x^2)} {\partial y} = 0
(2b) Cek negatif turunan parsial v = y^2 terhadap x
-\dfrac{\partial (y^2)} {x} = 0
Kita dapatkan bahwa hasil (2a) dan (2b) sama.
Dengan demikian, f(z) tetap tidak memenuhi PCR karena salah satu syarat tak terpenuhi.
Catatan: \bigstar Dari sini sebenarnya sudah dapat disimpulkan bahwa f(z) tidak memenuhi PCR.
(Jawaban b)
Ubah fungsi f dalam bentuk x dan y (sebelumnya dalam bentuk eksponen)
\begin{aligned} f(z) & = f(re^{i\theta}) = \dfrac{1}{re^{i\theta}} \\ & = \dfrac{1}{r(\cos \theta + i~\sin \theta)} \\ & = \dfrac{1}{x + iy} = \dfrac{x -iy} {x^2+y^2} \\ & = \dfrac{x} {x^2+y^2} - \left(\dfrac{y} {x^2+y^2}\right) i \end{aligned}
Diperoleh u = \dfrac{x} {x^2+y^2} dan v = \dfrac{-y} {x^2+y^2}
(1a) Cek turunan parsial u terhadap x
\dfrac{\partial \left(\dfrac{x} {x^2+y^2}\right)}{\partial x} = \dfrac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}
(1b) Cek turunan parsial v terhadap y
\dfrac{\partial \left(-\dfrac{y} {x^2+y^2}\right)} {\partial y} = \dfrac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}
Kita dapatkan bahwa hasil (1a) dan (1b) sama.
Selanjutnya,
(2a) Cek turunan parsial u terhadap y
\dfrac{\partial \left(\dfrac{x} {x^2+y^2}\right)} {\partial y} = \dfrac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}
(2b) Cek negatif turunan parsial v terhadap x
-\dfrac{\partial \left(\dfrac{-y} {x^2+y^2}\right)} {x} = \dfrac{-2xy} {(x^2+y^2)^2}
Kita dapatkan bahwa hasil (2a) dan (2b) sama.
Dengan demikian, f(z) memenuhi PCR.

[collapse]

Soal Nomor 3
Apakah fungsi kompleks f(z) = 2x(1-y) + (x^2 - y^2 + 2y) i analitik?

Penyelesaian

Periksa apakah fungsi kompleks tersebut memenuhi PCR atau tidak. Perhatikan bahwa,
\dfrac{\partial (2x(1-y))} {\partial x} = 2 - 2y = \dfrac{\partial (x^2-y^2+2y)} {\partial y}
dan juga
\dfrac{\partial (2x(1-y))} {\partial y} = -2x = -\dfrac{\partial (x^2-y^2+2y)} {\partial x}
Terlihat bahwa solusi sistem PCR terpenuhi di seluruh bidang kompleks. Jadi, f fungsi analitik.

[collapse]

Soal Nomor 4
Buktikan bahwa fungsi real U = 2x(1 - y) harmonik.

Penyelesaian

Cek turunan parsial kedua dari 2x(1-y) = 2x - 2xy terhadap x
\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial (2x - 2xy)}{\partial x}\right) = \dfrac{\partial (2-2y)} {\partial x} =0
Selanjutnya, cek turunan parsial kedua dari 2x(1-y) = 2x - 2xy terhadap y
\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial (2x - 2xy)}{\partial y}\right) = \dfrac{\partial (-2x)} {\partial y} =0
Karena \dfrac{\partial^2 u} {\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 u} {\partial y^2} = 0, maka U memenuhi Persamaan Laplace sehingga dapat dikatakan bahwa fungsi U adalah fungsi harmonik. 

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan fungsi v sehingga f(z) = (2x - 2xy) + iv adalah fungsi analitik (menentukan fungsi sekawan dari u)

Penyelesaian

Suatu fungsi kompleks dikatakan fungsi analitik jika memenuhi PCR, yaitu:
(1)
\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y} = 2 -2y
berarti
\begin{aligned}v & = \displaystyle \int \left(\dfrac{\partial v}{\partial y}\right)~dy \\ & = \int (2-2y)~dy \\ & = 2y - y^2+ C(x) \end{aligned}
(2)
\begin{aligned} & \dfrac{\partial v} {\partial x} = -\dfrac{\partial u} {\partial y} \\& \dfrac{\partial (2y-y^2+C(x))} {\partial x} = -(-2x) \\ & C'(x) = 2x \\ & C(x) = x^2 \end{aligned}
Dengan demikian, kita dapatkan
\boxed{v = 2y - y^2+x^2}

[collapse]

Soal Nomor 6 (Soal ON-MIPA PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Harmonik sekawan/konjugat dari fungsi u(x, y) = y^3 - 3x^2y yang dituliskan dalam bentuk f(z) adalah \cdots

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
f(z) = u + iv = (y^3 - 3x^2y) + iv
Fungsi f memenuhi PCR sehingga haruslah berlaku
(1)
\dfrac{\partial (y^3-3x^2y)} {\partial x} = \dfrac{\partial v} {\partial y} = -6xy
Dengan integral, kita dapat menentukan v sebagai berikut.
v = \displaystyle \int \dfrac{\partial v} {\partial y}~dy = \int (-6xy)~dy = -3xy^2 + C(x) \bigstar
(2)
\dfrac{\partial (y^3-3x^2y)} {\partial y} = -\dfrac{\partial v} {\partial x} = 3y^2 - 3x^2
Dari \bigstar, kita tuliskan
-3y^2 +C'(x) = 3y^2- 3x^2
Diperolehlah
C'(x) =3x^2 atau C(x) = x^3
Jadi, v = -3y^2 + x^3, sehingga
\boxed{f(z) = y^3 - 3x^2y + (x^3 - 3y^2)i}

[collapse]

Soal Nomor 7
Tentukan daerah lingkaran konvergensi (disk of convergence) dari fungsi kompleks f(z) = \ln (1-z)

Penyelesaian

Fungsi f(z) dapat diekspansikan dalam bentuk deret pangkat di sekitar z = 0 dengan uraian Maclaurin, yaitu
\ln (1-z) = -z - \dfrac{z^2}{2} - \dfrac{z^3}{3} - \dfrac{z^4}{4} - \cdots
Untuk menentukan titik singularnya, harus dicari titik di mana f(z) tidak memiliki turunan. Perhatikan bahwa jika f(z) = \ln (1-z), maka
f'(z) = -\dfrac{1}{1-z}, berarti titik singular yang dimaksud adalah z = 1. Jadi, daerah lingkaran konvergensinya adalah lingkaran dengan pusat di titik asal dan berjari-jari 1.

[collapse]

Soal Nomor 8
Suatu fungsi u(x, y) = x^2-y^2 adalah bagian real dari fungsi kompleks f. Tentukan bagian imajinernya agar fungsi tersebut analitik.

Penyelesaian

Diketahui u(x, y) =x^2-y^2
Agar fungsi tersebut analitik, maka PCR harus terpenuhi, yaitu
\dfrac{\partial u} {\partial x} = 2x = \dfrac{\partial v} {\partial y}
berarti,
v = \displaystyle \int \dfrac{\partial v} {\partial y}~dy = \int 2x~dy = 2xy + C(x) \bigstar
Selain itu, juga harus memenuhi persamaan
-\dfrac{\partial u} {\partial y} = 2y = \dfrac{\partial v} {\partial x}, dan dari \bigstar, didapat
2y + C'(x) = 2y
berarti
C'(x) = 0 dan akibatnya C(x) = C
Jadi, bagian imajiner dalam fungsi kompleks tersebut adalah
v = 2xy + C dengan C sebagai suatu konstanta sembarang.

[collapse]
Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal dan Pembahasan – Fungsi Kompleks, Limit, dan Turunannya

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai fungsi kompleks (dasar) serta limit dan turunan fungsi kompleks. Sebelumnya, Anda diharapkan sudah menguasai bilangan kompleks di link ini

Soal Nomor 1
Tentukan nilai fungsi f(z) jika z = 1 + i
a. f(z) = \dfrac{1}{z}
b. f(z) = iz
c, f(z) = z^2 + 1

Penyelesaian

(Jawaban a)
f(z) = \dfrac{1}{z} \Rightarrow f(1 + i) = \dfrac{1}{1 + i} = \boxed{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i}
(Jawaban b)
f(z) = iz \Rightarrow f(1 + i) = i(1 + i) = \boxed{-1 + i}
(Jawaban c)
f(z) = z^2 + 1 \Rightarrow f(1 + i) = (1 + i)^2 + 1 = \boxed{1 + 2i}

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan fungsi kompleks f(z) = 2x^2 + iy dalam bentuk z

Penyelesaian

Misalkan z = x + iy dan \overline{z} = x - iy, berarti
x = \dfrac{z + \overline{z}} {2}
y = \dfrac{z - \overline{z}} {2i}
Jadi,
\begin{aligned} f(z) & = 2x^2 + iy \\ & = 2\left( \dfrac{z + \overline{z}} {2}\right) ^2 + i\left(\dfrac{z - \overline{z}}{2i} \right) \\ & = \boxed{\dfrac{1}{2}(z^2+ \overline{z}^2 + z - \overline{z}) + z\overline{z}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui f(z) = x + iy + \dfrac{x - iy} {x^2+y^2}
a) Tentukan f(z) dalam z
b) Tentukan bagian real dan imajiner dalam f(z)
c) Tentukan f(1 +2i)

Penyelesaian

(Jawaban a)
Ingat!!
\boxed{\begin{aligned} & x = \dfrac{z + \overline{z}} {2} \\ & y = \dfrac{z - \overline{z}} {2i} \end{aligned}}
Berarti,
\begin{aligned} f(z) & = x + iy + \dfrac{x - iy} {x^2+y^2} \\& = \dfrac{z + \overline{z}} {2} + i\left(\dfrac{z - \overline{z}} {2i}\right) + \dfrac{\dfrac{z + \overline{z}}{2} + \dfrac{z - \overline{z}}{2i}}{z\overline{z}} \\ & = z + \dfrac{1}{z} \end{aligned}
(Jawaban b)
Dalam hal ini, u dan v masing-masing mewakili bagian real dan bagian imajiner dalam fungsi f.
\begin{aligned} f(z) & = x + iy + \dfrac{x - iy} {x^2+y^2} \\ & = \left(x + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\right) + \left(y - \dfrac{y}{x^2 + y^2}\right)i \end{aligned}
Jadi, diperoleh u = \dfrac{x}{x^2 + y^2} dan v = y - \dfrac{y}{x^2 + y^2}
(Jawaban c)
Diketahui bahwa
f(z) = z + \dfrac{1}{z}
sehingga
f(1 + 2i) = (1 + 2i) + \dfrac{1}{1 + 2i} = \dfrac{6}{5} + \dfrac{8}{5}i

[collapse]




Soal Nomor 4
Jika z = 1 + 2i, tentukan
a) f(z) = \dfrac{x - iy} {1 + z}
b) f(z) = \dfrac{1}{|z|}

Penyelesaian

(Jawaban a)
\begin{aligned} f(1 + 2i) & = \dfrac{x - iy}{2 + 2i} \times \dfrac{2-2i} {2-2i} \\ & = \dfrac{2x - 2ix - 2iy + 2i^2y} {8} \\ & = \boxed{\dfrac{(x - y) +(-x-y) i} {4}} \end{aligned}
(Jawaban b)
f(1+2i) = \dfrac{1}{|1+2i|} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \boxed{\dfrac{1}{5}\sqrt{5}}

[collapse]

Soal Nomor 5
Misalkan w = f(z) = z(2-z). Tentukan nilai w yang dinyatakan oleh
a) z = 1 + i
b) z = 2 - 2i

Penyelesaian

(Jawaban a)
Diketahui f(z) = z(2-z) berarti
f(1+i) = (1+i)(1-i) = 2
(Jawaban b)
Dengan prinsip yang sama,
f(2-2i) = (2-2i)(2i) = 4 + 4i

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika w = f(z) = \dfrac{1+z} {1-z}, tentukan
a) f(i)
b) f(1-i)

Penyelesaian

(Jawaban a)
f(i) = \dfrac{1+i} {1-i} \times \dfrac{1+i} {1+i} = i
(Jawaban b)
f(1-i) = \dfrac{2-i} {i} = \dfrac{2i +1}{-1} =-1-2i

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika f(z)=\dfrac{2z+1}{3z-2}, z \neq \dfrac{2}{3}, tentukanlah f(f(z))

Penyelesaian

\begin{aligned} f(f(z)) & = f\left(\dfrac{2z+1}{3z-2}\right) \\ & = \dfrac{2\left(\dfrac{2z+1}{3z-2}\right) +1} {3\left(\dfrac{2z+1}{3z-2}\right - 2} \\ & = \dfrac{4z + 2 + 3z -2}{6z + 3 - 6z + 4} \\ & = z \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan nilai z sehingga f(z) = \dfrac{z+2}{2z-1}=i

Penyelesaian

Gunakan metode yang sudah kita ketahui sebelumnya, yaitu dengan mengelompokkan variabel z
\begin{aligned} & \dfrac{z+2}{2z-1}=i \\ & z + 2 = 2iz - i \\ & z(1-2i) = -i-2 \\ & z = \dfrac{-i-2}{1-2i} = -i \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 9
Pisahkan setiap fungsi kompleks berikut dalam bagian real dan khayalnya.
a) f(z) = 2z^2 - 3iz
b) f(z) = \dfrac{z+1}{2}

Penyelesaian

Ingat bahwa:
\boxed{z = x + iy}
(Jawaban a)
\begin{aligned} f(z) & = 2z^2 - 3iz \\ & = 2(x + iy)^2 -3i(x + iy) \\ & = 2x^2 + 4ixy - 2y^2 - 3ix + 3y \\ & = (2x^2 - 2y^2 + 3y) +(4xy - 3x)i \end{aligned}
Diperoleh bagian real (nyata) dalam f(z) adalah 2x^2 - 2y^2 + 3y, sedangkan bagian khayal (imajiner) dalam f(z) adalah 4xy -3x
(Jawaban b)
\begin{aligned} f(z) & = \dfrac{z+1}{2} \\ & = \dfrac{x + iy + 1}{2} \\ & = \dfrac{x +1}{2} + \dfrac{y} {2}i \end{aligned}
Diperoleh bagian real (nyata) dalam f(z) adalah \dfrac{x+1}{2}, sedangkan bagian khayal (imajiner) dalam f(z) adalah \dfrac{y}{2}

[collapse]

Soal Nomor 10
Diketahui f: D \mapsto \mathbb{C} dengan aturan f(z) =\dfrac{1}{z}. Tentukan range dari himpunan A = \{z : |z| \leq 4\}

Penyelesaian

Fungsi tersebut dapat ditulis menjadi
\begin{aligned} f(z) &= \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{x + iy} \\ & = \dfrac{x} {x^2+y^2}-\dfrac{y} {x^2+y^2}i \end{aligned}
Jika fungsinya diubah dalam koordinat polar, dengan
\begin{aligned} & r^2 = x^2 + y^2 \\ & x = r \cos \theta \\ & y = r \sin \theta \end{aligned}
diperoleh
f(z) = \dfrac{1}{r}\left(\cos \theta -i~sin \theta\right) 
Jika kita ubah dalam transformasi \mathbb{R}^2 ke \mathbb{R}^2, maka
f(r, \theta) = \left(\dfrac{1}{r} \cos \theta, -\dfrac{1}{r} \sin \theta\right)
Batas daerah A merupakan lingkaran dengan jari-jari 4, jadi ditulis

f(4, \theta) = \left(\dfrac{1}{4} \cos \theta, -\dfrac{1}{4} \sin \theta\right) 
Kita peroleh bahwa range A adalah lingkaran dengan jari-jari \dfrac{1}{4}. Semakin kecil jari-jari lingkaran pada domain, semakin besar jari-jari lingkaran pada rangenya (berbanding terbalik).

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui u(x, y) = x^2 - y^2 + x dan v(x, y) = 2xy - y serta w = u(x, y) + iv(x, y). Bentuk fungsi w dalam variabel kompleks z adalah….

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
\boxed{\begin{aligned} & z = x + iy \\ & \overline{z} = x - iy \\ & z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy \end{aligned}}
Berarti,
\begin{aligned} w & = u(x, y) + iv(x, y) \\ & = (x^2 - y^2 + x) + i(2xy - y) \\ & = (x^2 - y^2 + 2ixy) + (x - iy) \\ & = \boxed{z^2 + \overline{z}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 12
Limit dari fungsi kompleks (untuk z menuju i):
f(z) = \dfrac{z(z^2 + (2 - i)z - 2i)} {z - i}, & z \neq i adalah…

Penyelesaian

Substitusikan z = i sehingga bentuk limit f(z) menjadi \dfrac{0}{0}, berarti berlaku Dalil L’Hospital (turunan).
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{z \to i} f(z) & = \lim_{z \to i} f'(z) \\ & = \lim_{z \to i} \dfrac{3z^2 + 2(2-i)z - 2i}{1} \\ & = 3(i)^2 + 2(2-i) i - 2i \\ & = -1 + 2i \end{aligned}
Jadi, limit dari fungsi tersebut (untuk z mendekati i) adalah \boxed{-1 + 2i}

[collapse]

Soal Nomor 13
Jika z = x + iy, maka hasil dari
\displaystyle \lim_{x \to 3 - 4i} \dfrac{i \text{Re}(z)^2}{|z|} adalah…

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 14 (Soal ON-MIPA PT Seleksi Wilayah Tahun 2014)
Diketahui polinomial p(z) dan q(z) sehingga berlaku
p(z) \cos^2 z + q(z) \sin^2 z = 2
untuk setiap z \in \mathbb{C}.
Hitunglah p(1) + q(1)

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]
Ayo Beri Rating Postingan Ini