Materi, Soal, dan Pembahasan – Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Materi, Soal, dan Pembahasan - Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

     Setiap fungsi memiliki grafik. Grafik suatu fungsi bisa saja simetris terhadap sumbu-$X$, sumbu-$Y$, maupun titik asal $(0, 0)$. Namun, ada juga yang tidak simetris. Simetris artinya sama kedua belah bagiannya. Sebagai contoh, huruf yang simetris terhadap garis horizontal atau vertikal adalah huruf A, B, C, D, E, H, I, K, M, O, T, U, V, W, X, dan Y, seperti yang tampak pada gambar berikut.

Beberapa huruf simetris terhadap garis horizontal dan vertikal
Beberapa huruf simetris terhadap garis horizontal dan vertikal (sumber: onlinemathlearning.com)

     Adanya grafik yang simetris seperti ini memunculkan dua istilah baru yang dikenal sebagai fungsi genap dan fungsi ganjil.

Baca: Soal dan Pembahasan – Komposisi dan Invers Fungsi 

Fungsi Genap

Definisi: Fungsi Genap

$f(x)$ merupakan fungsi genap apabila berlaku $f(-x) = f(x)$ untuk setiap bilangan real $x \in D_f.$

    Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-$Y$ (sumbu tegak). Contoh yang paling umum adalah $f(x) = x^2.$ Ini merupakan fungsi kuadrat yang grafiknya berupa parabola yang terbuka ke atas seperti gambar berikut.

Contoh fungsi genap
Contoh fungsi genap

    Tampak bahwa sumbu-$Y$ menjadi cermin sehingga kurva di sebelah kiri merupakan bayangan dari kurva di sebelah kanan, atau sebaliknya. Apabila ingin ditunjukkan bahwa $f(x) = x^2$ merupakan fungsi genap, maka gantilah $x$ menjadi $-x$ sehingga diperoleh $f(-x)$ seperti berikut.
$$\begin{aligned} f(-x) & = (-x)^2 \\ & = (-x)(-x) \\ & = x^2 \\ & = f(x) \end{aligned}$$Ternyata diperoleh $f(-x) = f(x).$

Baca: Soal dan Pembahasan – Relasi dan Fungsi 

Fungsi Ganjil

Definisi: Fungsi Ganjil 

$f(x)$ merupakan fungsi ganjil apabila berlaku $f(-x) = -f(x)$ untuk setiap bilangan real $x \in D_f.$

Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal $(0, 0).$ Contohnya adalah adalah $f(x) = x^3-x.$ Ini merupakan fungsi kubik yang grafiknya seperti gambar berikut.

Contoh fungsi ganjil
Contoh fungsi ganjil

     Tampak bahwa titik $(0, 0)$ menjadi cermin sehingga kurva di sebelah kiri sumbu-$Y$ merupakan bayangan dari kurva di sebelah kanan sumbu-$Y$, atau sebaliknya. Apabila ingin ditunjukkan bahwa $f(\color{red}{x}) = \color{red}{x}^3-\color{red}{x}$ merupakan fungsi ganjil, maka gantilah $x$ menjadi $-x$ sehingga diperoleh $f(-x)$ seperti berikut.
$$\begin{aligned} f(\color{red}{-x}) & = \color{red}{(-x)}^3-\color{red}{(-x)} \\ & = -x^3+x \\ & = -(x^3-x) \\ & = -f(x) \end{aligned}$$Ternyata diperoleh $f(-x) = -f(x).$

Sifat-sifat Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

  1. Penjumlahan dan pengurangan fungsi genap dengan fungsi genap menghasilkan fungsi genap juga.
  2. Penjumlahan dan pengurangan fungsi ganjil dengan fungsi ganjil menghasilkan fungsi genap juga.
  3. Hasil penjumlahan dan pengurangan fungsi genap dengan fungsi ganjil TIDAK menghasilkan fungsi genap maupun fungsi ganjil, kecuali salah satu fungsinya adalah nol.
  4. Hasil perkalian dua fungsi genap merupakan fungsi genap juga.
  5. Hasil perkalian dua fungsi ganjil merupakan fungsi genap.
  6. Hasil perkalian fungsi genap dan fungsi ganjil merupakan fungsi ganjil.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Sistem Koordinat Kartesius 

Frequently Asked Question (FAQ)

  1. Apakah ada fungsi yang termasuk fungsi genap sekaligus fungsi ganjil?
    Sesuai dengan definisinya, fungsi genap harus berlaku $f(-x) = \color{blue}{f(x)},$ sedangkan fungsi ganjil harus berlaku $f(-x) = \color{blue}{-f(x)}.$ Perhatikan bahwa $f(x) = -f(x)$ terpenuhi hanya ketika $f(x) = 0.$ Jadi, ada fungsi yang termasuk fungsi genap sekaligus fungsi ganjil dan hanya ada satu, yaitu fungsi nol.
  2. Apakah benar bahwa semua fungsi konstan merupakan fungsi genap?
    Grafik fungsi konstan berupa garis mendatar (horizontal) yang pasti memotong sumbu-$Y$. Jadi, kurva di sebelah kiri akan simetris dengan kurva di sebelah kanannya sehingga benar bahwa setiap fungsi konstan merupakan fungsi genap.

      Berikut ini telah disajikan sejumlah soal dan pembahasan tentang fungsi ganjil dan fungsi genap. Semoga bermanfaat.

Today Quote

Terkadang kita menganggap hidup orang lain lebih enak, padahal mungkin saja dia lebih sulit, hanya saja dia tidak mengeluh.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Grafik fungsi ganjil yang memuat titik $(-2 10)$ juga akan memuat titik $\cdots \cdot$
A. $(2, 10)$                         D. $(10, -2)$
B. $(-2, -10)$                  E. $(-10, 2)$
C. $(2, -10)$

Pembahasan

Grafik fungsi ganjil simetris terhadap titik asal $(0, 0).$ Ini berarti setiap pasangan dua titik merupakan hasil dari pencerminan terhadap titik tersebut. Secara umum, ketika titik $(a, b)$ dicerminkan terhadap titik asal, maka bayangannya adalah $(-a, -b).$ Oleh karena itu, $(-2, 10)$ akan memiliki bayangan di $(2, -10)$ ketika dicerminkan terhadap titik asal.
(Jawaban C)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Dari fungsi-fungsi berikut ini, manakah yang merupakan fungsi genap, fungsi ganjil, dan bukan keduanya?
a. $f(x) = 6$
b. $f(x) = 3x$
c. $f(x) = x^2-3$
d. $f(x) = 2x^2-2x$
e. $g(x) = \sin x$
f. $g(x) = \cos x$
g. $h(x) = |x+1|$
h. $h(x) = |\sin x|$
i. $k(x) = \dfrac{x^2-16}{x-4}$
j. $k(x) = |x+1|-|x|$

Pembahasan

Jawaban a)
Berdasarkan bentuknya, $f(x) = 6$ merupakan fungsi konstan. Karena berlaku $f(x) = f(-x) = 6$, maka $f(x) = 6$ merupakan fungsi genap. Sebagai informasi tambahan, setiap fungsi konstan merupakan fungsi genap.
Jawaban b)
Berdasarkan bentuknya, $f(x) = 3x$ merupakan fungsi linear. Perhatikan bahwa $$f(-x) = 3(-x) = -(3x) = -f(x).$$ Karena berlaku $f(-x) = -f(x)$, maka $f(x) = 3x$ merupakan fungsi ganjil.
Jawaban c)
Berdasarkan bentuknya, $f(x) = x^2-3$ merupakan fungsi kuadrat. Perhatikan bahwa $$f(-x) = (-x)^2-3 = x^2-3 = f(x).$$ Karena berlaku $f(-x) = f(x)$, maka $f(x) = x^2-3$ merupakan fungsi genap.
Jawaban d)
Berdasarkan bentuknya, $f(x) = 2x^2-2x$ merupakan fungsi kuadrat. Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} f(-x) & = 2(-x)^2-2(-x) \\ & = 2x^2+2x \end{aligned}$$ Bentuk terakhir tidak sama dengan $f(x)$ maupun $-f(x)$. Dengan kata lain, $f(x) = 2x^2-2x$ bukan fungsi genap maupun fungsi ganjil.
Jawaban e)
Berdasarkan bentuknya, $g(x) = \sin x$ merupakan fungsi trigonometri. Perhatikan bahwa $$g(-x) = \sin (-x) = -\sin x = -g(x).$$ Karena berlaku $g(-x) = -g(x)$, maka $g(x) = \sin x$ merupakan fungsi ganjil.
Jawaban f)
Berdasarkan bentuknya, $g(x) = \cos x$ merupakan fungsi trigonometri. Perhatikan bahwa $$g(-x) = \cos (-x) = \cos x = g(x).$$ Karena berlaku $g(-x) = g(x)$, maka $g(x) = \cos x$ merupakan fungsi genap.
Jawaban g)
Berdasarkan bentuknya, $h(x) = |x+1|$ merupakan fungsi mutlak. Perhatikan bahwa $$h(-x) = |-x + 1| \neq h(x) \neq -h(x).$$ Jadi, $h(x) = |x+1|$ bukan fungsi genap maupun fungsi ganjil.
Jawaban h)
Berdasarkan bentuknya, $h(x) = |\sin x|$ merupakan fungsi campuran. Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} h(-x) & = |\sin (-x)| \\ & = |-\sin x| \\ & = \sin x = h(x) \end{aligned}$$ Karena berlaku $h(-x) = h(x)$, maka $h(x) = |\sin x|$ merupakan fungsi genap.
Jawaban i)
Berdasarkan bentuknya, $k(x) = \dfrac{x^2-16}{x-4}$ merupakan fungsi rasional. Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} k(-x) & = \dfrac{(-x)^2-16}{(-x)-4} \\ & = \dfrac{x^2-16}{-x-4} \neq k(x) \neq -k(x) \end{aligned}$$ Jadi, $k(x) = \dfrac{x^2-16}{x-4}$ bukan fungsi genap maupun fungsi ganjil.
Jawaban j)
Berdasarkan bentuknya, $k(x) = |x+1|-|x|$ merupakan fungsi mutlak. Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} k(-x) & = |(-x) + 1|-|-x| \\ & = |-x + 1|-|x| \neq k(x) \neq -k(x) \end{aligned}$$ Jadi, $k(x) = |x+1|-|x|$ bukan fungsi genap maupun fungsi ganjil.

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Himpunan (Tingkat SMP/Sederajat) 

Soal Nomor 2
Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut ini merupakan fungsi genap, fungsi ganjil, atau bukan keduanya.
a. $f(x) = 3x^4-5x^2-5$
b. $f(x) = \dfrac{x^3-5x}{x^4+1}$
c. $f(x) = \sqrt{x^2-4x-1}$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $f(x) = 3\color{red}{x}^4-5\color{red}{x}^2-5.$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} f(-x) & = 3(-x)^4-5(-x)^2-5 \\ & = 3x^4-5x^2-5 \\ & = f(x) \end{aligned}$$Karena $f(-x) = f(x)$, maka disimpulkan bahwa $f(x)$ merupakan fungsi genap.
Jawaban b)
Diketahui $f(\color{red}{x}) = \dfrac{\color{red}{x}^3-5\color{red}{x}}{\color{red}{x}^4+1}.$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} f(-x) & = \dfrac{(-x)^3-5(-x)}{(-x)^4+1} \\ & = \dfrac{-x^3+5x}{x^4+1} \\ & = -\dfrac{x^3-5x}{x^4+1} \\ & = -f(x) \end{aligned}$$Karena $f(-x) = -f(x)$, maka disimpulkan bahwa $f(x)$ merupakan fungsi ganjil.
Jawaban c)
Diketahui $f(x) = \sqrt{\color{red}{x}^2-4\color{red}{x}-1}.$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} f(-x) & = \sqrt{(-x)^2-4(-x)-1} \\ & = \sqrt{x^2+4x-1} \end{aligned}$$Bentuk terakhir tidak bisa diubah menjadi $f(x)$ maupun $-f(x)$, sehingga disimpulkan bahwa $f(x)$ bukan fungsi genap maupun fungsi ganjil.

[collapse]

Soal Nomor 3
Manakah dari fungsi yang dinyatakan dalam himpunan pasangan berurut berikut yang termasuk fungsi genap, fungsi ganjil, dan bukan keduanya?

  1. $\{(1, 2), (4, 7), (-1, 2), (-4, 7)\}$
  2. $\{(3, -1), (-1, 3), (1, -3), (4, 8)\}$
  3. $\{(0, 0), (2, 4), (-2, -4), (3, -5),$ $(-3, 5)\}$

Pembahasan

Pada fungsi genap, jika grafik melalui titik $(a, b)$, maka grafik juga harus melalui titik $(-a, b).$ Pada fungsi ganjil, jika grafik melalui titik $(a, b)$, maka grafik juga harus melalui titik $(-a, -b).$
Jawaban a)
Diketahui $$\{(1, 2), (4, 7), (-1, 2), (-4, 7)\}.$$ Perhatikan bahwa $(1, 2)$ dan $(-1, 2)$ dilalui oleh grafik, begitu juga dengan $(4, 7)$ dan $(-4, 7).$ Jadi, himpunan pasangan berurut ini mewakili fungsi genap.
Jawaban b)
Diketahui $$\{(3, -1), (-1, 3), (1, -3), (4, 8)\}.$$ Perhatikan bahwa $(3, -1)$ dilalui oleh grafik, sedangkan $(-3, 1)$ ataupun $(-3, -1)$ tidak dilalui oleh grafik. Hal ini serupa dengan titik $(4, 8).$ Jadi, himpunan pasangan berurut ini tidak mewakili fungsi genap maupun fungsi ganjil.
Jawaban c)
Diketahui $$\{(0, 0), (2, 4), (-2, -4), (3, -5), (-3, 5)\}.$$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} (0, 0) \leftrightarrow (0, 0) \\ (2, 4) \leftrightarrow (-2, -4) \\ (3, -5) \leftrightarrow (-3, 5) \end{aligned}$$Karena untuk setiap titik $(a, b)$ yang dilalui, titik $(-a, -b)$ juga turut dilalui, maka disimpulkan bahwa himpunan pasangan berurut ini mewakili fungsi ganjil.

[collapse]

Soal Nomor 4
Suatu fungsi dengan domain $\{x \mid -3 \le x \le 0\}$ memiliki grafik seperti gambar di bawah.
Tentukan rumus fungsi yang lain agar grafik dua fungsi secara keseluruhan membentuk suatu fungsi genap.

Pembahasan

Secara geometris, grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu-$Y.$ Misalkan grafik pada gambar merupakan grafik fungsi $f$. Agar diperoleh grafik fungsi genap, maka harus ada fungsi baru $g$ sedemikian sehingga grafiknya seperti gambar di bawah.
Grafik fungsi $g$ memotong sumbu koordinat di $(\color{blue}{3}, 0)$ dan $(0, \color{red}{4})$ sehingga persamaan garisnya adalah
$$\begin{aligned} \color{red}{4}x + (\color{blue}{3})y & = \color{red}{4} \cdot \color{blue}{3} \\ 4x+3y & = 12 \\ 3y & = 12-4x \\ y & = 4-\dfrac43x \end{aligned}$$Jadi, rumus fungsi yang lain itu adalah $g(x) = 4-\dfrac43x$ dengan domain $\{x \mid 0 \le x \le 3\}.$

[collapse]

Soal Nomor 5
Jika $f(x) = 3x^2 + 4x + 5,$ tentukan nilai $k$ sehingga grafik $f(x-k)$ simetris terhadap sumbu-$Y.$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = 3x^2 + 4x + 5.$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} f(x-k) & = 3(x-k)^2+4(x-k) + 5 \\ & = 3(x^2-2kx +k^2)+4x-4k + 5 \\ & = 3x^2-6kx+3k^2+4x-4k+5 \\ & = \underbrace{3}_{a}x^2+\underbrace{(-6k+4)}_{b}x + \underbrace{(3k^2-4k+5)}_{c} \end{aligned}$$Diketahui bahwa $f(x-k)$ merupakan fungsi kuadrat yang grafiknya berupa parabola. Agar grafik $f(x-k)$ simetris terhadap sumbu-$Y$, maka sumbu simetrinya harus berimpit dengan sumbu-$Y$. Akibatnya, $x_p = 0$, sehingga berdasarkan rumus sumbu simetri, didapat
$$\begin{aligned} -\dfrac{b}{2a} & = 0 \\ -\dfrac{-6k+4}{2(3)} & = 0 \\ -6k + 4 & = 0 \\ k & = \dfrac46 = \dfrac23 \end{aligned}$$Jadi, nilai $k$ sehingga grafik $f(x-k)$ simetris terhadap sumbu-$Y$ adalah $\boxed{k = \dfrac23}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Buktikan bahwa jika $f(x)$ dan $g(x)$ keduanya fungsi ganjil, maka $f(x)g(x)$ adalah fungsi genap.

Pembahasan

Karena $f(x)$ dan $g(x)$ fungsi ganjil, maka berlaku
$$\begin{aligned} f(-x) & = -f(x) \\ g(-x) & = -g(x) \end{aligned}$$Akan dibuktikan bahwa perkalian dua fungsi tersebut merupakan fungsi genap, yaitu berlaku $f(-x)g(-x) = f(x)g(x).$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} f(-x)g(-x) & = \left[-f(x)\right]\left[-g(x)\right] \\ & = f(x)g(x) \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $f(x)g(x)$ adalah fungsi genap.

[collapse]