Materi, Soal, dan Pembahasan – Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar Segitiga

Segitiga adalah bangun datar paling sederhana yang berdiri dengan tiga sisi dan tiga titik sudut. Selain itu, ada lingkaran yang hadir dengan sisi lengkungnya yang membentuk bulat sempurna. Keduanya sering kita temukan dalam kehidupan sehari-hari.

Segitiga memiliki keliling dan luas. Lingkaran juga memiliki keliling (circumference), tetapi luasnya kadang diperdebatkan. Ini terjadi karena adanya definisi yang mengatakan bahwa lingkaran adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu (yang disebut sebagai titik pusat). Definisi ini menunjukkan bahwa lingkaran bukanlah bangun datar. Andaikan “lingkaran” yang kita maksud di sini adalah sisi lengkung beserta interior (daerah yang dibatasi oleh sisi lengkung itu), maka lingkaran juga memiliki luas karena ia dapat dipandang sebagai bangun datar. Jadi, setiap kali kita berbicara tentang “luas lingkaran”, itu merujuk pada luas daerah yang dibatasi oleh lingkaran.

Ada hubungan spesial yang dapat kita temukan dari segitiga dan lingkaran. Setiap kali kita menggambar segitiga sembarang, apa pun bentuknya, kita selalu bisa menggambarkan lingkaran di dalamnya yang menyinggung setiap sisi segitiga. Lingkaran seperti ini disebut juga sebagai lingkaran dalam. Selain itu, setiap kali kita menggambar segitiga sembarang, kita juga bisa membuat lingkaran di luarnya yang melalui ketiga titik sudut segitiga. Lingkaran ini disebut sebagai lingkaran luar. Mari kita telaah lebih lanjut dengan diawali oleh definisi berikut.

Definisi: Lingkaran Dalam Segitiga

Lingkaran dalam segitiga (incircle) didefinisikan sebagai lingkaran yang terletak di dalam segitiga dan menyinggung ketiga sisi segitiga tersebut. Gambar berikut menunjukkan $\triangle ABC$ dan lingkaran dalamnya.

Definisi: Lingkaran Luar Segitiga

Lingkaran luar segitiga (excircle) didefinisikan sebagai lingkaran yang terletak di luar segitiga dan menyinggung ketiga sisi atau perpanjangan sisi segitiga tersebut. Gambar berikut menunjukkan $\triangle ABC$ dan lingkaran luarnya.

Ada teorema terkait lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga. Teorema tersebut memberi hubungan terkait panjang sisi segitiga, luas segitiga, panjang jari-jari lingkaran, dan luas lingkaran. Sebelum kita lanjut, kita diharapkan sudah memahami penggunaan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku terlebih dahulu. Teorema tersebut diberikan sebagai berikut.

Teorema: Panjang Jari-Jari Lingkaran Dalam Segitiga

Diketahui segitiga sembarang $ABC.$ Jika segitiga tersebut memiliki luas $L_{\triangle ABC}$ dan setengah dari kelilingnya adalah $s = \dfrac12(AB + AC + BC),$ maka panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut sama dengan $$r = \dfrac{L_{\triangle ABC}}{s}.$$

Bukti

Misalkan terdapat $\triangle ABC$ dan lingkaran dalam dengan pusat $O$ dan berjari-jari $r.$ Tarik garis dari titik $O$ ke setiap sisi segitiga tepat di titik singgung lingkaran, yakni $D, E, F$ sehingga saling tegak lurus seperti gambar berikut.
Lingkaran Dalam SegitigaDengan menggunakan garis bantu (garis putus-putus) yang ditarik dari titik $O$ ke titik sudut segitiga, kita peroleh tiga segitiga berbeda, yaitu $\triangle AOC, \triangle BOC,$ dan $\triangle AOB.$ Luas total $\triangle ABC$ sama dengan jumlahan luas ketiga segitiga tersebut.
$$\begin{aligned} L_{\triangle ABC} & = L_{\triangle AOC} + L_{\triangle BOC} + L_{\triangle AOB} \\ L_{\triangle ABC}  & = \left(\dfrac12 \cdot BC \cdot r\right) + \left(\dfrac12 \cdot AC \cdot r\right)  + \left(\dfrac12 \cdot AB \cdot r\right) \\ L_{\triangle ABC}  & = \dfrac12(BC + AC + AB)r \\ r & = \dfrac{L_{\triangle ABC}}{\dfrac12(BC + AC + AB)} \\ r & = \dfrac{L_{\triangle ABC}}{s} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa panjang jari-jari lingkaran dalamnya adalah $r = \dfrac{L_{\triangle ABC}}{s}.$ $\blacksquare$

[collapse]

Teorema: Panjang Jari-Jari Lingkaran Luar Segitiga

Diketahui segitiga sembarang $ABC.$ Jika segitiga tersebut memiliki luas $L_{\triangle ABC},$ maka panjang jari-jari lingkaran luar segitiga tersebut sama dengan $$R = \dfrac{AB \cdot AC \cdot BC}{4 \cdot L_{\triangle ABC}}.$$


Bukti

Misalkan terdapat $\triangle ABC$ dan lingkaran luar dengan pusat $O$ dan berjari-jari $R.$ Tarik garis tinggi segitiga dari salah satu titik sudut, misalnya dari titik $C.$ Titik tingginya kita sebut sebagai titik $D.$ Selanjutnya, tarik garis dari $C$ ke sisi lingkaran di seberangnya sehingga melalui titik pusat $O.$ 
Lingkaran Luar SegitigaPerhatikan bahwa $\angle EAC$ siku-siku karena merupakan sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran. Selain itu, $\angle AEC = \angle CBD = \theta$ karena menghadap busur yang sama, yaitu $AC.$ Diketahui juga bahwa $CE = 2R$ karena merupakan diameter lingkaran.
Perhatikan $\triangle BCD$ dan $\triangle AEC.$ Kedua segitiga ini sebangun $(\triangle BCD \sim \triangle AEC)$ karena ada dua sudut yang bersesuaian sama besar. Kesebandingan sisinya adalah
$$\begin{aligned} CE & \propto BC \\ AC & \propto CD \\ AE & \propto BD. \end{aligned}$$Berdasarkan kesebangunan tersebut, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{CE}{BC} & = \dfrac{AC}{CD} \\ \dfrac{2R}{BC} & = \dfrac{AC}{CD} \\ 2R \cdot CD & = BC \cdot AC \\ R & = \dfrac{BC \cdot AC}{2 \cdot CD} \color{red}{\times \dfrac{AB}{AB}} \\ R & = \dfrac{AB \cdot BC \cdot AC}{2 \cdot CD \cdot AB} \\ R & = \dfrac{AB \cdot BC \cdot AC}{4 \cdot \dfrac12 \cdot CD \cdot AB} \\ R & = \dfrac{AB \cdot BC \cdot AC}{4 L_{\triangle ABC}} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa panjang jari-jari lingkaran luarnya adalah $R = \dfrac{AB \cdot AC \cdot BC}{4 \cdot L_{\triangle ABC}}.$ $\blacksquare$

[collapse]

Beberapa soal tentang lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga telah disusun beserta pembahasannya di bawah ini. Semoga dapat dijadikan sebagai bahan untuk meningkatkan pemahaman terkait materi yang kita bahas.

Today Quote

I would rather own little and see the world… than own the world and see little of it.

Bagian Pilihan Ganda 

Soal Nomor 1

Perhatikan gambar berikut.
Jika panjang $AC$ dan $BC$ berturut-turut adalah $8$ cm dan $15$ cm, maka panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $2,5$ cm                    D. $5,0$ cm
B. $3,0$ cm                    E. $6,0$ cm
C. $4,0$ cm

Pembahasan

Segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku dengan panjang alas = $8~\text{cm}$ dan tinggi = $15~\text{cm}.$ Karena siku-siku, Teorema Pythagoras dapat dipakai untuk mencari panjang sisi satunya.
$$\begin{aligned} AB & = \sqrt{8^2+15^2} \\ & = \sqrt{289} \\ & = 17~\text{cm} \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran dalam dapat dicari dengan membagi luas segitiga $(L)$ terhadap setengah kelilingnya $(s).$
$$\begin{aligned} r & = \dfrac{L}{s} \\ & = \dfrac{\dfrac12 \cdot 8 \cdot 15}{\dfrac12(8 + 15 + 17)} \\ & = \dfrac{60}{20} \\ & = 3~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalamnya adalah $\boxed{3,0~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2

Suatu segitiga ditempatkan pada bidang koordinat Kartesius sehingga titik sudutnya di $(0, 0), (6, 0),$ dan $(0, 12).$ Panjang jari-jari lingkaran dalamnya adalah $\cdots \cdot$
A. $6 + 3\sqrt5$
B. $6-3\sqrt5$
C. $9+3\sqrt5$
D. $9-3\sqrt5$
E. $12+3\sqrt5$

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut.
Segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku dengan panjang alas = $6$ dan tinggi = $12.$ Karena siku-siku, Teorema Pythagoras dapat dipakai untuk mencari panjang sisi satunya.
$$\begin{aligned} x & = \sqrt{6^2+12^2} \\ & = \sqrt{180} \\ & = 6\sqrt5 \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran dalam dapat dicari dengan membagi luas segitiga $(L)$ terhadap setengah kelilingnya $(s).$
$$\begin{aligned} r & = \dfrac{L}{s} \\ & = \dfrac{\dfrac12 \cdot 6 \cdot 12}{\dfrac12(12 + 6 + 6\sqrt5)} \\ & = \dfrac{12}{3 + \sqrt5} \color{red}{\times \dfrac{3-\sqrt5}{3-\sqrt5}} \\ & = \dfrac{\cancelto{3}{12}(3-\sqrt5)}{\cancel{4}} \\ & = 9-3\sqrt5 \end{aligned}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalamnya adalah $\boxed{9-3\sqrt5}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 3

Gambar berikut menunjukkan segitiga $ABC$ dengan sudut siku-siku di $A.$ Luas daerah yang diberi warna biru adalah $\cdots \cdot$
A. $(54-6\pi)~\text{cm}^2$
B. $(54-9\pi)~\text{cm}^2$
C. $(54-12\pi)~\text{cm}^2$
D. $(36-4\pi)~\text{cm}^2$
E. $(36-9\pi)~\text{cm}^2$

Pembahasan

Untuk mencari luas daerah yang diberi warna biru, kita harus mencari luas segitiga, kemudian dikurangi dengan luas lingkaran dalam.
Segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku dengan panjang sisi $AB= 9~\text{cm}$ dan $BC = 15~\text{cm}.$ Karena siku-siku, Teorema Pythagoras dapat dipakai untuk mencari panjang sisi satunya.

$$\begin{aligned} AC & = \sqrt{15^2-9^2} \\ & = \sqrt{144} \\ & = 12~\text{cm} \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran dalam dapat dicari dengan membagi luas segitiga $(L_{\triangle})$ terhadap setengah kelilingnya $(s).$
$$\begin{aligned} r & = \dfrac{L_{\triangle}}{s} \\ & = \dfrac{\dfrac12 \cdot 9 \cdot 12}{\dfrac12(9 + 12 + 15)} \\ & = \dfrac{9 \cdot \cancel{12}}{\cancelto{3}{36}} \\ & = 3~\text{cm} \end{aligned}$$Dengan demikian, luas lingkaran sama dengan $L_{O} = \pi r^2 = \pi (3)^2 = 9\pi~\text{cm}^2,$ sedangkan luas segitiga sama dengan $L_{\triangle} = \dfrac12(9)(12) = 54~\text{cm}^2.$ Jadi, luas daerah yang diberi warna biru adalah
$$\begin{aligned} L_{\text{biru}} & = L_{\triangle}-L_{O} \\ & = \dfrac12(9)(12)-9\pi \\ & = (54-9\pi)~\text{cm}^2. \end{aligned}$$(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4

Suatu segitiga memiliki lingkaran dalam. Keliling lingkaran tersebut adalah $\dfrac83\pi~\text{cm}.$ Jika luas segitiga tersebut adalah $12~\text{cm}^2,$ maka keliling segitiga sama dengan $\cdots \cdot$
A. $12~\text{cm}$                     D. $22~\text{cm}$
B. $16~\text{cm}$                     E. $24~\text{cm}$
C. $18~\text{cm}$

Pembahasan

Karena keliling lingkarannya $\dfrac83\pi,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} k & = 2\pi r \\ \dfrac83\pi & = 2\pi r \\ r & = \dfrac43. \end{aligned}$$Karena lingkaran tersebut merupakan lingkaran dalam segitiga, maka berlaku hubungan berikut.
$$r = \dfrac{L_{\triangle}}{s}$$Diketahui $L_{\triangle} = 12~\text{cm}^2.$ Kita akan mencari nilai dari $2s$ sebagaimana bahwa $s$ adalah setengah keliling segitiga.
$$\begin{aligned}\dfrac43 & = \dfrac{12}{s} \\ s & = 12 \cdot \dfrac34 \\ s & = 9 \\ 2s & = 18 \end{aligned}$$Jadi, keliling segitiga tersebut adalah $\boxed{18~\text{cm}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5

Perhatikan gambar berikut.
$\triangle ABC$ adalah segitiga siku-siku. Lingkaran di dalamnya menyinggung setiap sisi segitiga dengan $O$ sebagai titik pusatnya. Luas $\triangle BOC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $9~\text{cm}^2$                    D. $15~\text{cm}^2$
B. $10~\text{cm}^2$                  E. $17~\text{cm}^2$
C. $13~\text{cm}^2$

Pembahasan

Jika kita menarik jari-jari dari pusat lingkaran ke sisi $BC$ di titik $P,$ maka kita akan peroleh garis tinggi $\triangle BOC$ (karena $P$ adalah titik singgung lingkaran). Jadi, luas $\triangle BOC$ dapat kita hitung jika panjang $BC$ dan $OP$ diketahui.Panjang $BC$ dapat dicari dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada $\triangle ABC.$
$$\begin{aligned} BC & = \sqrt{AB^2 + AC^2} \\ & = \sqrt{12^2 + 5^2} \\ & = \sqrt{169} \\ & = 13~\text{cm} \end{aligned}$$Panjang $OP$, yaitu jari-jari lingkaran dalam segitiga, dapat dicari dengan membagi luas $\triangle ABC$ terhadap setengah kelilingnya.
$$\begin{aligned} OP & = \dfrac{L_{\triangle ABC}}{s_{\triangle ABC}} \\ & = \dfrac{\dfrac12 \cdot 12 \cdot 5}{\dfrac12(5 + 12 + 13)} \\ & = \dfrac{60}{30} \\ & = 2~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, luas $\triangle BOC$ adalah $$\dfrac12 \cdot OP \cdot BC = \dfrac12 \cdot 2 \cdot 13 = 13~\text{cm}^2.$$(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 6

Jika nilai luas dan keliling dari suatu segitiga adalah sama, maka panjang jari-jari lingkaran dalamnya sama dengan $\cdots \cdot$
A. $1$                  C. $3$                  E. $6$
B. $2$                  D. $4$

Pembahasan

Diketahui $L_{\triangle} = k_{\triangle}.$ Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga ditentukan oleh $r = \dfrac{L_{\triangle}}{s}$ dengan $s = \dfrac12k_{\triangle}.$
$$\begin{aligned} r = \dfrac{L_{\triangle}}{\dfrac12k_{\triangle}} = \dfrac{\cancel{k_{\triangle}}}{\dfrac12\cancel{k_{\triangle}}} = \dfrac{1}{\dfrac12} = 2 \end{aligned}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalamnya sama dengan $\boxed{2}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 7

Sebuah segitiga siku-siku mempunyai panjang sisi berpenyiku masing-masing $15$ cm dan $36$ cm. Jika sebuah lingkaran akan dibuat, maka panjang jari-jari lingkaran terkecil yang dapat menutupi segitiga itu adalah $\cdots \cdot$
A. $18,0$ cm                       D. $21,5$ cm
B. $19,0$ cm                        E. $24,0$ cm
C. $19,5$ cm

Pembahasan

Lingkaran terkecil yang dapat menutupi segitiga adalah lingkaran luar segitiga itu, artinya lingkaran yang melalui ketiga titik sudut segitiga seperti gambar berikut.
Pertama, kita cari dulu panjang $AC$ dengan menggunakan rumus Pythagoras.
$$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AB^2 + BC^2} \\ & = \sqrt{36^2 + 15^2} \\ & = \sqrt{3^2(12^2 + 5^2)} \\ & = 3\sqrt{169} \\ & = 39~\text{cm} \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga dapat kita cari dengan cara mengalikan panjang ketiga sisi segitiga, lalu dibagi dengan 4 kali luas segitiga.
$$\begin{aligned} R & = \dfrac{\cancel{AB} \cdot AC \cdot \cancel{BC}}{4 \cdot \dfrac12 \cdot \cancel{AB} \cdot \cancel{BC}} \\ R & = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{39}{2} = 19,5~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran terkecil yang dapat menutupi segitiga itu adalah $\boxed{19,5~\text{cm}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8

Sebuah segitiga mempunyai luas $6\sqrt6~\text{cm}^2.$ Jika panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah $\dfrac23\sqrt6~\text{cm},$ maka panjang ketiga sisi segitiga tersebut yang mungkin dalam satuan cm adalah $\cdots \cdot$
A. $14, 16, 18$
B. $11, 15, 19$
C. $12, 15, 18$
D. $9, 12, 20$
E. $9, 12, 18$

Pembahasan

Hubungan luas segitiga dan jari-jari lingkaran dalamnya dinyatakan oleh
$$\boxed{r = \dfrac{L_{\triangle}}{s}$$dengan $s$ sama dengan setengah dari keliling segitiga. Jadi, kita akan menggunakan ini untuk mencari nilai dari keliling segitiga. Diketahui $L_{\triangle} = 6\sqrt6~\text{cm}^2$ dan $r = \dfrac23\sqrt6~\text{cm}.$
$$s  = \dfrac{L_{\triangle}}{r} = \dfrac{6\sqrt6}{\dfrac23\sqrt6} = 19~\text{cm}$$Artinya, keliling segitiga sama dengan $2 \cdot 19 = 38~\text{cm}.$ 
Keliling didapat dengan cara menjumlahkan ketiga panjang sisi segitiga. Jadi, dari lima opsi jawaban di atas, kita hanya perlu mencari pasangan tiga bilangan yang bila dijumlahkan menghasilkan $39.$ Setelah diselidiki, kita peroleh bahwa panjang ketiga sisi segitiga yang mungkin adalah $9, 12, 18$ cm karena $9 + 12 + 18 = 39.$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 9

Perhatikan gambar berikut.
Luas lingkaran di atas adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{7.225}{64}\pi~\text{cm}^2$             D. $\dfrac{4.225}{64}\pi~\text{cm}^2$
B. $\dfrac{6.400}{64}\pi~\text{cm}^2$              E. $\dfrac{3.125}{64}\pi~\text{cm}^2$
C. $\dfrac{5.625}{64}\pi~\text{cm}^2$

Pembahasan

Luas lingkaran dapat ditentukan jika jari-jarinya diketahui. Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga dapat dicari dengan menggunakan formula $R = \dfrac{abc}{4L_{\triangle}}.$ Jadi, kita mesti mencari luas segitiga terlebih dahulu dengan menggunakan rumus Heron.
Diketahui setengah keliling segitiga sama dengan $s = \dfrac12(10+17+21) = 24$ cm sehingga
$$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ & = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} \\ & = \sqrt{24(14)(7)(3)} \\ & = \sqrt{2^3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 3} \\ & = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} \\ & = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \\ & = 84~\text{cm}^2. \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat
$$\begin{aligned} R & = \dfrac{abc}{4L_{\triangle}} \\ & = \dfrac{\cancelto{5}{10} \cdot 17 \cdot \cancel{21}}{\cancelto{2}{4} \cdot \cancelto{4}{84}} \\ & = \dfrac{85}{8}~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, luas lingkaran luar sama dengan
$$L = \pi R^2 = \cdot \left(\dfrac{85}{8}\right)^2\pi = \dfrac{7.225}{64}\pi~\text{cm}^2.$$(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 10

Lingkaran dalam dan lingkaran luar akan dilukiskan pada segitiga $PQR$ yang memiliki sudut siku-siku di $P.$ Jika panjang $PQ = 8$ cm dan $PR = 15$ cm, maka perbandingan panjang jari-jari lingkaran dalam dan luarnya adalah $\cdots \cdot$
A. $3 : 13$                      D. $6 : 17$
B. $6 : 13$                      E. $9 : 17$
C. $3 : 17$

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut.Panjang $QR$ dapat dicari dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada $\triangle PQR.$
$$\begin{aligned} QR & = \sqrt{PQ^2 + PR^2} \\ & = \sqrt{8^2 + 15^2} \\ & = \sqrt{289} \\ & = 17~\text{cm} \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran dalam dihitung dengan cara berikut.
$$\begin{aligned} r & = \dfrac{L}{s} \\ & = \dfrac{\dfrac12 \cdot 8 \cdot 15}{\dfrac12(8 + 15 + 17)} \\ & = \dfrac{120}{40} = 3~\text{cm} \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran luar dihitung dengan cara berikut.

$$\begin{aligned} R & = \dfrac{PQ \cdot PR \cdot QR}{4 \cdot \dfrac12 \cdot PQ \cdot PR} \\ & = \dfrac{QR}{2} \\ & = \dfrac{17}{2}~\text{cm} \end{aligned}$$Dengan demikian, perbandingan panjang jari-jari lingkaran dalam dan luar segitiga tersebut adalah $\boxed{r : R = 3 : \dfrac{17}{2} = 6 : 17}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11

Diberikan segitiga $ABC$ dengan $\angle ABC = 50^\circ.$ Titik $I$ merupakan titik pusat lingkaran dalam segitiga $ABC.$ Titik $O$ merupakan titik pusat lingkaran luar segitiga $AIC.$ Besar $\angle AOC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $115^\circ$                      D. $150^\circ$
B. $130^\circ$                      E. $160^\circ$
C. $145^\circ$

Pembahasan

Misalkan kita memiliki $\triangle ABC$ dengan $\angle ABC = 50^\circ.$ Gambarkan lingkaran dalamnya dengan pusat $I.$ Kemudian, gambarkan lingkaran luar $\triangle AIC$ dengan pusat $O.$ Posisikan titik $P$ di sembarang titik pada lingkaran sehingga terbentuk segi empat tali busur $PAIC$ seperti gambar berikut.Perhatikan bahwa titik $I$ (titik pusat lingkaran dalam) adalah titik perpotongan ketiga garis bagi pada $\triangle ABC.$ Garis bagi akan membagi dua sudut sama besar sehingga $\angle ACI = \angle BCI = \alpha$ dan $\angle CAI = \angle BAI = \beta.$ Jumlah sudut dalam segitiga adalah $180^\circ$ sehingga dapat kita tuliskan
$$\begin{aligned} \angle A + \angle B + \angle C & = 180^\circ \\ (\beta + \beta) + 50^\circ + (\alpha + \alpha) & = 180^\circ \\ 2\beta + 2\alpha & = 130^\circ \\ \alpha + \beta & = 65^\circ. \end{aligned}$$Selanjutnya, perhatikan $\triangle AIC$ yang jumlah ketiga sudutnya tentu saja $180^\circ.$
$$\begin{aligned} \angle AIC + \angle ACI + \angle CAI & = 180^\circ \\ \angle AIC + \alpha + \beta & = 180^\circ \\ \angle AIC + 65^\circ & = 180^\circ \\ \angle AIC & = 115^\circ \end{aligned}$$Pada segi empat tali busur lingkaran, jumlah sudut yang berhadapan selalu $180^\circ.$ Dengan kata lain, $\angle AIC + \angle APC = 180^\circ$ sehingga berakibat $\angle APC = 65^\circ.$
Karena $\angle APC$ adalah sudut keliling yang menghadap busur $AC,$ sedangkan $\angle AOC$ merupakan sudut pusatnya, maka $\angle AOC = 2 \times \angle APC = 2 \times 65^\circ = 130^\circ.$
Jadi, besar $\angle AOC$ adalah $\boxed{130^\circ}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12

Diketahui $\triangle ABC$ dengan $AC = 8$ cm dan $\angle ABC = 60^\circ.$ Jika panjang jari-jari lingkaran luarnya adalah $R,$ maka nilai dari $3R^2 = \cdots \cdot$
A. $16~\text{cm}^2$                    D. $64~\text{cm}^2$
B. $25~\text{cm}^2$                    E. $100~\text{cm}^2$
C. $36~\text{cm}^2$

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut.
Kita akan mencari panjang jari-jari lingkaran luar $R$ dengan menggunakan hubungan panjang sisi dan luas segitiga. Kita juga akan menggunakan trigonometri untuk menentukan luas segitiga bahwa $L_{\triangle} = \dfrac12 \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B.$

$$\begin{aligned} R & = \dfrac{AB \cdot AC \cdot BC}{4 \cdot L_{\triangle ABC}} \\ & = \dfrac{\cancel{AB} \cdot AC \cdot \bcancel{BC}}{4 \cdot \dfrac12 \cdot \cancel{AB} \cdot \bcancel{BC} \sin A} \\ & = \dfrac{AC}{2 \cdot \sin 60^\circ} = \dfrac{8}{2 \cdot \dfrac12\sqrt3} = \dfrac{8}{\sqrt3}~\text{cm} \end{aligned}$$Karena $R = \dfrac{8}{\sqrt3}$ cm, maka nilai dari $3R^2 = 3\left(\dfrac{8}{\sqrt3}\right)^2 = 64~\text{cm}^2.$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 13

Sebuah lingkaran memiliki panjang jari-jari $1.$ Luas maksimum segitiga sama sisi yang dapat dibuat di dalam lingkaran tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac12\sqrt3$                      D. $\sqrt3$
B. $\dfrac14\sqrt3$                      E. $\dfrac32\sqrt3$
C. $\dfrac34\sqrt3$

Pembahasan

Misalkan kita mempunyai $\triangle ABC.$ Agar luas segitiganya maksimum, titik sudutnya harus terletak pada sisi lingkaran seperti gambar.
Perhatikan bahwa hubungan panjang jari-jari lingkaran luar segitiga $R,$ panjang sisi segitiga, dan sudut segitiga diberikan oleh $R = \dfrac{a}{2 \sin A}.$
Diketahui $R = 1$ dan $\angle A = 60^\circ$ (karena segitiga sama sisi) sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} 1 = \dfrac{a}{2 \sin 60^\circ} \Leftrightarrow a = 2 \sin 60^\circ = 2 \cdot \dfrac12\sqrt3 = \sqrt3. \end{aligned}$$Karena segitiganya sama sisi, maka $a = b = c = \sqrt3.$ Dengan demikian, luas segitiga $L$ dapat kita tentukan dengan beberapa cara, salah satunya dengan cara berikut.
$$\begin{aligned} R & = \dfrac{abc}{4L} \\ L & = \dfrac{abc}{4R} = \dfrac{\sqrt3 \cdot \sqrt3 \cdot \sqrt3}{4(1)} = \dfrac34\sqrt3 \end{aligned}$$Jadi, luas maksimum segitiga sama sisi yang dapat dibuat di dalam lingkaran tersebut adalah $\boxed{\dfrac34\sqrt3}$ 
(Jawaban C)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Panjang sisi-sisi dari suatu segitiga adalah $15$ cm, $20$ cm, dan $25$ cm. Tentukan:
a. keliling segitiga;
b. luas segitiga; dan
c. panjang jari-jari lingkaran dalamnya.

Pembahasan

Perhatikan bahwa segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku karena panjang sisinya memenuhi rumus Pythagoras, yaitu $15^2 + 20^2 = 25^2.$
Jawaban a)
Keliling segitiga didapat dengan menjumlahkan ketiga panjang sisinya.
$$k_{\triangle} = 15 + 20 + 25 = 60~\text{cm}$$Jadi, keliling segitiga tersebut adalah $\boxed{60~\text{cm}}$
Jawaban b)
Segitiga tersebut siku-siku dengan alas $15$ cm dan tinggi $20$ cm sehingga luasnya dapat dihitung dengan cara berikut.
$$L_{\triangle} = \dfrac{1}{\cancel{2}} \cdot 15 \cdot \cancelto{10}{20} = 150~\text{cm}^2$$Jadi, luas segitiga tersebut adalah $\boxed{150~\text{cm}^2}}$
Jawaban c)
Perhatikan gambar berikut.
Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga dapat dicari dengan membagi luas segitiga terhadap setengah kelilingnya.
$$r = \dfrac{L_{\triangle}}{s} = \dfrac{150}{\frac12 \cdot 60} = 5~\text{cm}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga itu adalah $\boxed{5~\text{cm}}$

[collapse]

Soal Nomor 2

Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah $13$ cm, $24$ cm, dan $15$ cm. Hitunglah:

  1. Keliling segitiga itu; dan
  2. Panjang jari-jari lingkaran luarnya.

Pembahasan

Jawaban a)
Keliling didapat dengan menjumlahkan panjang ketiga sisinya, yaitu $k_{\triangle} = 13 + 24 + 15 = 52~\text{cm}.$
Jawaban b)
Panjang jar-jari lingkaran luar dapat dicari dengan mengalikan ketiga panjang sisi segitiga, kemudian dibagi dengan $4$ kali luas segitiga.
Luas segitiga dapat kita cari dengan rumus Heron.
Diketahui setengah keliling segitiga $s = \dfrac{52}{2} = 26$ cm.
$$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ & = \sqrt{26(26-13)(26-24)(26-15)} \\ & = \sqrt{26(13)(2)(11)} \\ & = \sqrt{2^2 \cdot 11 \cdot 13^2} \\ & = 2 \cdot 13\sqrt{11} \\ & = 26\sqrt{11}~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} R & = \dfrac{abc}{4 \cdot L_{\triangle}} \\ & = \dfrac{\cancel{13} \cdot 24 \cdot 15}{4 \cdot \cancelto{2}{26}\sqrt{11}} \\ & = \dfrac{45}{\sqrt{11}} \\ & = \dfrac{45}{11}\sqrt{11}~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran luarnya adalah $\boxed{\dfrac{45}{11}\sqrt{11}~\text{cm}}$

[collapse]

Soal Nomor 3

Buktikan bahwa Jika $R$ adalah jari-jari lingkaran luar $\triangle ABC,$ maka $R = \dfrac{BC}{2 \sin A}.$

Pembahasan

Misalkan pusat lingkaran di $O.$ Tarik garis diameter dari titik $C$ ke sisi lingkaran di seberangnya, yaitu di titik $Q.$ Karena jari-jarinya $R,$ maka $CQ = 2R$ (diameter = 2 kali jari-jari).
Pada $\triangle BCQ,$ sudut $B$ besarnya $90^\circ$ (siku-siku) karena merupakan sudut keliling yang menghadap diameter.
Selain itu, $\angle BQC = \angle BAC$ karena merupakan sudut keliling yang menghadap busur yang sama, yaitu $BC.$
Dengan menggunakan definisi sinus pada $\triangle BCQ,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} \sin \angle BQC & = \dfrac{BC}{CQ} \\ \sin BAC & = \dfrac{BC}{2R} \\ \sin A & = \dfrac{BC}{2R} \\ R & = \dfrac{BC}{2 \sin A}. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $R = \dfrac{BC}{2 \sin A}.$ $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 4

Buktikan bahwa perbandingan panjang jari-jari lingkaran luar terhadap lingkaran dalam pada segitiga sama sisi sembarang adalah $2 : 1.$

Pembahasan

Alternatif I:
Misalkan kita punya segitiga sama sisi $ABC$ dengan panjang sisi $x.$

Untuk mencari panjang jari-jari lingkaran dalam dan luar, kita memerlukan informasi berupa luas segitiga dan setengah keliling segitiga.
Tinggi segitiga $t$ dapat kita tentukan dengan rumus Pythagoras, yaitu
$$\begin{aligned} t & = \sqrt{x^2-\left(\dfrac12x\right)^2} \\ & = \sqrt{x^2-\dfrac14x^2} \\ & = \sqrt{\dfrac34x^2} \\ & = \dfrac12x\sqrt3. \end{aligned}$$Luas segitiga sama sisi tersebut selanjutnya dapat kita tentukan, yakni
$$L_{\triangle} = \dfrac12 \cdot AB \cdot t = \dfrac12 \cdot x \cdot \dfrac12x\sqrt3 = \dfrac14x^2\sqrt3.$$Setengah keliling segitiga dapat dengan mudah dicari, yaitu $s = \dfrac12(x + x + x) = \dfrac32x.$
Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga sama sisi tersebut adalah
$$r= \dfrac{L_{\triangle}}{s} = \dfrac{\dfrac14x^2\sqrt3}{\dfrac32x} = \dfrac16x\sqrt3,$$sedangkan panjang jari-jari lingkaran luarnya adalah
$$\begin{aligned} R & = \dfrac{AB \cdot AC \cdot BC}{4 \cdot L_{\triangle}} \\ & = \dfrac{x \cdot x \cdot x}{4 \cdot \dfrac14x^2\sqrt3} \\ & = \dfrac{x}{\sqrt3} = \dfrac{x}{3}\sqrt3. \end{aligned}$$Jadi, perbandingan panjang jari-jari lingkaran luar terhadap lingkaran dalam pada segitiga sama sisi tersebut adalah
$$\begin{aligned} R : r & = \dfrac{x}{3}\sqrt3 : \dfrac16x\sqrt3 = 2 : 1. \end{aligned}$$Alternatif II:
Perhatikan gambar berikut.
Segitiga sama sisi besar dapat kita bagi menjadi 4 segitiga sama sisi yang kongruen. Jadi, luas segitiga sama sisi besar sama dengan 4 kali luas segitiga sama sisi.
Lingkaran dalam segitiga sama sisi besar merupakan lingkaran luar bagi segitiga sama sisi kecil yang berwarna biru. Lingkaran hijau sendiri merupakan lingkaran luar bagi segitiga sama sisi besar. Jadi, luas lingkaran kecil akan sama dengan 4 kali luas lingkaran besar. Akibatnya,
$$\begin{aligned} L_R : L_r & = 4 : 1 \\ \pi R^2 : \pi r^2 & = 4 : 1 \\ R^2 : r^2 & = 4 : 1 \\ R : r & = 2 : 1. \end{aligned}$$Jadi, perbandingan panjang jari-jari lingkaran luar terhadap lingkaran dalam pada segitiga sama sisi tersebut adalah $2 : 1.$

[collapse]