Soal dan Pembahasan – Sistem Koordinat Kartesius (Tingkat SMP/Sederajat)

Sistem koordinat Kartesius merupakan salah satu materi dasar dalam kajian bidang geometri yang dipelajari pertama kali saat siswa menginjak kelas 6 SD. Selanjutnya, di kelas 8 SMP, siswa kembali mempelajari materi ini secara lebih mendalam. Sebagai bentuk latihan, berikut ini disajikan soal dan pembahasan mengenai sistem koordinat Kartesius setingkat SMP/Sederajat. 

Quote by Dolly Parton

If you don’t like the road you’re walking, start paving another one.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Diketahui titik $A(-3, 4)$. Pernyataan yang tepat mengenai posisi titik $A$ pada bidang Kartesius adalah $\cdots \cdot$

  1. $3$ satuan di atas sumbu-$X$ dan $4$ satuan di kiri sumbu-$Y$
  2. $4$ satuan di atas sumbu-$X$ dan $3$ satuan di kiri sumbu-$Y$
  3. $3$ satuan di bawah sumbu-$X$ dan $4$ satuan di kanan sumbu-$Y$
  4. $4$ satuan di bawah sumbu-$X$ dan $3$ satuan di kanan sumbu-$Y$

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut.
Tampak bahwa titik $A$ terletak $4$ satuan di atas sumbu-$X$ dan $3$ satuan di kiri sumbu-$Y$.
(Jawaban C)

[collapse]

Perhatikan gambar berikut untuk menjawab soal nomor 2 – 5.

Soal Nomor 2
Titik $A$ dan $E$ berturut-turut berkoordinat $\cdots \cdot$
A. $(0, 2)$ dan $(2, -4)$
B. $(2, 0)$ dan $(4, -2)$
C. $(0, 2)$ dan $(-4, 2)$
D. $(2, 0)$ dan $(-4, 2)$

Pembahasan

Penulisan koordinat titik adalah $(x, y)$ di mana $x$ adalah absis dan $y$ adalah ordinat. Dari gambar, tampak bahwa koordinat $A$ adalah $(0, 2)$ dan koordinat $E$ adalah $(2, -4)$.
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Titik Tengah Ruas Garis dan Jarak Dua Titik

Soal Nomor 3
Titik yang letaknya berada di kuadran IV adalah $\cdots \cdot$
A. $A$                         C. $C$
B. $B$                         D. $E$

Pembahasan

Pada bidang Kartesius, kuadran IV terletak di daerah pada posisi kanan bawah dari pusat koordinat. Di kuadran IV, absis (nilai $x$) bertanda positif, sedangkan ordinat (nilai $y$) bertanda negatif. Dari gambar, titik $A$ tidak terletak di kuadran mana pun, titik $B$ di kuadran I, titik $C$ di kuadran II, titik $D$ di kuadran III, dan titik $E$ di kuadran IV.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Titik yang berjarak $3$ satuan di atas sumbu-$X$ dan berjarak $5$ satuan di kanan sumbu-$Y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $A$                        C. $C$
B. $B$                        D. $D$

Pembahasan

Titik $A$ terletak $2$ satuan di atas sumbu-$X$ dan tepat di sumbu-$Y$.
Titik $B$ terletak $3$ satuan di atas sumbu-$X$ dan $5$ satuan di kanan sumbu-$Y$.
Titik $C$ terletak $3$ satuan di atas sumbu-$X$ dan $3$ satuan di kiri sumbu-$Y$.
Titik $D$ terletak $2$ satuan di bawah sumbu-$X$ dan $1$ satuan di kiri sumbu-$Y$.
Titik $E$ terletak $4$ satuan di bawah sumbu-$X$ dan $2$ satuan di kanan sumbu-$Y$.
Jadi, titik yang dimaksud adalah $B(5, 3)$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 5
Titik manakah yang terletak pada sumbu koordinat?
A. Titik $A$                        C. Titik $D$
B. Titik $C$                        D. Titik $E$

Pembahasan

Dari gambar, tampak bahwa titik $A(0, 2)$ terletak di sumbu koordinat, atau lebih tepatnya terletak di sumbu-$Y$.
(Jawaban A)

[collapse]

Perhatikan gambar berikut untuk menjawab soal nomor
Soal Nomor 6
Perhatikan tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{No.} & \text{Titik} & \text{Koordinat Terhadap Acuan}~B \\ \hline 1 & A & (0, 0) \\ 2 & C & (2, -2) \\ 3 & D & (-4, -8) \\ 4 & E & (9, 0) \\ \hline \end{array}$$Pernyataan yang benar dari tabel di atas adalah pada nomor $\cdots \cdot$
A. $1$ dan $3$
B. $1$ dan $4$
C. $2$ dan $3$
D. $3$ dan $4$

Pembahasan

Pandang $B$ sebagai titik acuan. Dari titik $B(2, 3)$, bergerak $2$ satuan ke kiri, lalu $3$ satuan ke bawah untuk ke titik $A$. Koordinat acuan terhadap $B$ untuk titik $A$ adalah $(-2, -3)$.
Dari titik $B(2, 3)$, bergerak $2$ satuan ke kanan, lalu $2$ satuan ke bawah untuk ke titik $C$. Koordinat acuan terhadap $B$ untuk titik $C$ adalah $(2, -2)$.
Dari titik $B(2, 3)$, bergerak $4$ satuan ke kiri, lalu $8$ satuan ke bawah untuk ke titik $C$. Koordinat acuan terhadap $B$ untuk titik $C$ adalah $(-4, -8)$.
Dari titik $B(2, 3)$, bergerak $9$ satuan ke bawah untuk ke titik $E$. Koordinat acuan terhadap $B$ untuk titik $E$ adalah $(0, -9)$.
Jadi, pernyataan yang benar dari tabel di atas adalah pada nomor $2$ dan $3$.
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Lingkaran (Tingkat SD)

Soal Nomor 7
Perhatikan gambar berikut.Sebuah pesawat semula berada di titik $A$. Pesawat itu bergerak $3$ satuan ke selatan, lalu belok ke arah barat sejauh $4$ satuan, dan belok ke arah utara sejauh $2$ satuan. Koordinat pesawat tersebut saat ini adalah $\cdots \cdot$
A. $(-3, -1)$                          C. $(-3, 1)$
B. $(3, -1)$                             D. $(5, -1)$

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut.

Dari titik $A(1, 2)$, bergerak $3$ satuan ke selatan menuju titik $(1, -1)$, kemudian belok ke arah barat sejauh $4$ satuan menjadi $(-3, -1)$. Terakhir belok ke arah utara sejauh $2$ satuan menjadi $(-3, 1)$.

Jadi, koordinat pesawat tersebut saat ini adalah $\boxed{(-3, 1)}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui koordinat $P(4,4)$, $Q(-2,4)$, $R(4,-4)$, dan $S(4, -2)$. Pasangan titik berikut yang bila dihubungkan menggunakan garis lurus membentuk garis yang sejajar dengan sumbu-$X$ adalah $\cdots \cdot$
A. $P$ dan $S$
B. $P$ dan $R$
C. $P$ dan $Q$
D. $R$ dan $S$

Pembahasan

Garis yang menghubungkan dua titik dengan ordinat yang sama pasti sejajar dengan sumbu-$X$.
Perhatikan gambar.
Tampak bahwa titik $P(4,4)$ dan $Q(-2, 4)$ memiliki ordinat yang sama, sehingga pasangan titik yang dimaksud adalah $P$ dan $Q$.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui titik $K(-5,3)$, $L(2, 3)$, $M(-3, -1)$, $N(-3, 5)$, dan $O(2, -2)$. Setiap dua titik dihubungkan menggunakan garis lurus. Pasangan garis yang saling berpotongan adalah $\cdots \cdot$
A. $KN$ dan $LM$
B. $KM$ dan $LN$
C. $MN$ dan $LO$
D. $KL$ dan $MN$

Pembahasan

Gambarkan kelima titik tersebut pada bidang Kartesius seperti berikut.
Tampak bahwa garis $KL$ dan $MN$ akan berpotongan di titik $(-3, 3)$, sedangkan tiga pasangan garis lainnya tidak. 
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Lingkaran (Tingkat SMP)

Soal Nomor 10
Diketahui titik $K(4, 3)$ dan $L(-5, 3)$. Jika dibuat garis yang melalui kedua titik tersebut, maka kedudukan garis tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. berimpit dengan sumbu-$Y$
B. tegak lurus terhadap sumbu-$X$
C. sejajar dengan sumbu-$Y$
d. sejajar dengan sumbu-$X$

Pembahasan

Garis yang menghubungkan dua titik dengan ordinat yang sama pasti sejajar dengan sumbu-$X$.
Perhatikan gambar.
Tampak bahwa titik $K(4, 3)$ dan $Q(-5, 3)$ memiliki ordinat yang sama, sehingga kedudukan garis yang melalui dua titik ini adalah sejajar dengan sumbu-$X$.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui titik $A(-1, 4)$, $B(-3, -1)$, dan $C(-1, -2)$. Jika $ABCD$ merupakan layang-layang, maka koordinat titik $D$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(1, -1)$                        C. $(2, -1)$
B. $(1, 1)$                         D. $(2, 1)$

Pembahasan

Gambarkan tiga titik tersebut pada bidang Kartesius.
Agar terbentuk layang-layang, titik $D$ seharusnya terletak di sekitar kuadran IV. Ordinatnya seharusnya sama dengan ordinat $B$, yaitu $y = -1$. Karena jarak absis $B$ dan $C$ adalah $-1-(-3) = 2$, maka jarak absis $C$ dan $D$ juga harus $2$, sehingga $x = -1 + 2 = 1$.
Jadi, koordinat titik $D$ adalah $\boxed{(1, -1)}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 12
$PQRS$ merupakan bangun trapesium siku-siku. Koordinat titik $P$, $Q$, dan $R$ berturut-turut adalah $(-3, 2)$, $(5, 2)$, dan $(2, -2)$. Titik $S$ terletak pada koordinat $\cdots \cdot$
A. $(-2, 3)$                         C. $(2, 3)$
B. $(2, -3)$                         D. $(-3, -2)$

Pembahasan

Gambarkan tiga titik tersebut pada bidang Kartesius.
Agar terbentuk trapesium siku-siku, titik $S$ seharusnya terletak di sekitar kuadran III dan sudutnya harus siku-siku. Agar hal itu terjadi, maka titik $S$ harus terletak di $(-3, -2)$ seperti yang diilustrasikan pada gambar di atas.
Jadi, koordinat titik $S$ adalah $\boxed{(-3, -2)}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 13
Diketahui titik $P(-2, 3)$, $Q(2, 3)$, $R(0, -3)$, dan $S(-4, -3)$. Jika $PQRS$ dihubungkan, maka terbentuk segiempat yang luasnya adalah $\cdots$ satuan luas.
A. $20$                        C. $24$
B. $22$                        D. $26$

Pembahasan

Gambarkan keempat titik tersebut pada bidang Kartesius dan hubungkan dengan menggunakan garis lurus.
Kita peroleh sebuah segiempat berupa jajar genjang. Panjang alas diwakili oleh panjang $SR$, yaitu $a = 4$. Tingginya diwakili oleh panjang $OR$, yaitu $t = 6$.
Jadi, luas jajar genjang $PQRS$ adalah $\boxed{a \times t = 4 \times 6 = 24}$ satuan luas.
(Jawaban C)

[collapse]

Bagian Uraian 

Soal Nomor 1
Diketahui koordinat titik $A(5, 2)$, $B(-2, 4)$, $C(-3, -3)$, dan $D(1, -2)$.

  1. Gambarlah keempat titik tersebut pada bidang Kartesius.
  2. Gambarlah $4$ buah titik ($P, Q, R, S$) yang berjarak sama terhadap titik $A$.

Pembahasan

Jawaban a)
Jawaban b)
Di gambar berikut, titik $P, Q, R, S$ berjarak $2$ satuan dari titik $A$. Koordinatnya berturut-turut adalah $(7, 2)$, $(5, 0)$, $(3, 2)$, dan $(5, 4)$.
 

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Garis Singgung Lingkaran (Tingkat SMP)

Soal Nomor 2
Diketahui titik $A, B$, dan $C$ pada bidang Kartesius seperti gambar berikut.

  1. Tentukan koordinat titik $D$ agar terbentuk persegi panjang $ABCD$.
  2. Tentukan keliling persegi panjang $ABCD$.
  3. Tentukan luas persegi panjang $ABCD$.
  4. Tentukan panjang diagonal $BD$.

Pembahasan

Dari gambar, diketahui koordinat titik $A$ adalah $(-3, 3)$, $B(3, 3)$, dan $C(3, -1)$.
Jawaban a)
Agar terbentuk persegi panjang $ABCD$, maka $D$ harus terletak di sekitar kuadran III, tepatnya di titik $(-3, -1)$, seperti yang tampak pada gambar berikut.
Jawaban b)
Keliling bangun datar adalah jumlah panjang setiap sisi-sisinya. Oleh karena itu,
$$\begin{aligned} \text{k}_{ABCD} & = AB + BC + CD + AD \\ & = 6 + 4 + 6 + 4 \\ & = 20 \end{aligned}$$Jadi, keliling persegi panjang $ABCD$ adalah $\boxed{20}$ satuan panjang.
Jawaban c)
Luas persegi panjang sama dengan panjang dikali lebarnya. Oleh karena itu,
$$\begin{aligned} \text{L}_{ABCD} & = AB \times BC \\ & = 6 \times 4 \\ & = 24 \end{aligned}$$Jadi, keliling persegi panjang $ABCD$ adalah $\boxed{24}$ satuan luas.
Jawaban d)
Untuk menentukan panjang diagonal $BD$, gunakan rumus Pythagoras di segitiga siku-siku $BCD$.
$$\begin{aligned} BD & = \sqrt{BC^2 + CD^2} \\ & = \sqrt{4^2 + 6^2} \\ & = \sqrt{16 + 36} \\ & = \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13} \end{aligned}$$Jadi, panjang diagonal $BD$ adalah $\boxed{2\sqrt{13}}$ satuan panjang.

[collapse]