Soal dan Pembahasan – Keliling dan Luas Bangun Datar (Tingkat Lanjut)

      Berikut ini merupakan soal dan pembahasan terkait keliling dan luas bangun datar yang umumnya dipelajari oleh siswa kelas IV sampai VIII. Beberapa di antaranya merupakan soal yang sempat muncul saat perlombaan matematika, sehingga beberapa siswa akan menganggapnya sebagai soal yang cukup menantang untuk diselesaikan.

        Khusus untuk soal mengenai keliling dan luas lingkaran, dipisahkan pembahasannya di tautan berikut.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Lingkaran (Tingkat SD)

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Lingkaran (Tingkat SMP)

Quote by Mahatma Gandhi

Tolerance is the only thing that will enable persons belonging to different religions to live as good neighbours and friends.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Luas daerah warna kuning pada gambar adalah $5~\text{cm}^2$. Berapakah luas bangun secara keseluruhan?

A. $30~\text{cm}^2$                    C. $60~\text{cm}^2$
B. $45~\text{cm}^2$                    D. $90~\text{cm}^2$

Pembahasan

Luas persegi sama dengan dua kali dari luas daerah warna kuning. Karena ada $6$ buah persegi, maka luas bangun keseluruhan sama dengan $6 \times 2 = 12$ kali dari luas daerah warna kuning, yaitu $\boxed{L = 12 \times 5 = 60~\text{cm}^2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 2
Sebidang kebun memiliki bentuk seperti huruf L. Bentuknya tersusun dari 2 buah persegi panjang yang tidak tumpang-tindih. Kebun itu memiliki keliling $160~\text{m}$. Jika hanya ada $2$ ukuran sisi kebun tersebut, maka luas kebun sama dengan $\cdots~\text{m}^2$.
A. $256$                        C. $812$
B. $512$                        D. $1.024$

Pembahasan

Perhatikan sketsa bentuk kebun berikut.
Misalkan persegi panjang yang dimaksud memiliki ukuran panjang $x$ dan lebar $y$. Karena dikatakan kebun hanya memiliki $2$ ukuran sisi, maka panjang sisi yang diberi tanda ? adalah $x$. Dengan kata lain, $y = 2x$.

Diketahui keliling $k = 160~\text{m}$. Kita peroleh
$$\begin{aligned} 4x + 3y & = 160 \\ 4x + 3(2x) & = 160 \\ 10x & = 160 \\ x & = 16~\text{m} \end{aligned}$$Berarti $y = 32~\text{m}$. Luas kebun dinyatakan oleh $\boxed{L = 2xy = 2 \times 16 \times 32 = 1.024}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 3
Bangun berikut terbentuk dari $5$ persegi identik. Jika luas setiap persegi adalah $25~\text{cm}^2$, maka keliling bangun tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $70~\text{cm}$                         C. $90~\text{cm}$
B. $80~\text{cm}$                         D. $100~\text{cm}$

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut.
Keliling bangun tersebut sama dengan jumlah panjang sisi yang diberi warna merah dan biru dari gambar di atas. Karena luas tiap persegi adalah $25~\text{cm}^2$, maka panjang sisinya adalah $s = \sqrt{25} = 5~\text{cm}.$ Dua ruas garis biru bila digabungkan akan memiliki panjang sisi $5$ cm. Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} k & = (16 \times 5) + (2 \times 5) \\ & = 80 + 10 \\ & = 90~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, keliling bangun di atas adalah $\boxed{90~\text{cm}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 4
Perhatikan gambar berikut.
Bangun datar $A, B$, dan $C$ berbentuk persegi dengan luas masing-masing secara berurutan adalah $25~\text{cm}^2$, $16~\text{cm}^2$, dan $9~\text{cm}^2$. Keliling dari gabungan ketiga persegi tersebut adalah $\cdots \cdot$

A. $30$ cm                      C. $34$ cm
B. $32$ cm                      D. $36$ cm

Pembahasan

Diketahui:
$$\begin{aligned} L_A & = 25~\text{cm}^2 \\ L_B & = 16~\text{cm}^2 \\ L_C & = 9~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Panjang sisi persegi $A, B$, dan $C$ berturut-turut adalah
$$\begin{aligned} s_A & = \sqrt{25} = 5~\text{cm} \\ s_B & = \sqrt{16} = 4~\text{cm}  \\ s_C & = \sqrt{9} = 3~\text{cm}  \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan gambar berikut.
Jumlah panjang dari lima ruas garis merah di atas sama dengan panjang sisi persegi terbesar, yaitu $5$ cm. Keliling gabungan dari bangun tersebut adalah
$$\begin{aligned} k & = (3 \times 5) + (2 \times 4) + (2 \times 3) + 5 \\ & = 15 + 8 + 6 + 5 \\ & = 34~ \text{cm} \end{aligned}$$(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5
Persegi berikut memiliki panjang sisi $10~\text{cm}$. Sebanyak $4$ buah segitiga sama kaki yang kongruen disusun seperti gambar.

Berapakah jumlah luas keempat segitiga tersebut?
A. $20~\text{cm}^2$                        C. $30~\text{cm}^2$
B. $25~\text{cm}^2$                        D. $40~\text{cm}^2$

Pembahasan

Karena panjang sisi persegi $10~\text{cm}$, maka luasnya adalah $10 \times 10 =  100~\text{cm}^2$. Apabila keempat segitiga tersebut disusun berdekatan, maka bentuknya akan menutupi $\dfrac14$ bagian dari persegi, sehingga jumlah luasnya adalah $\dfrac14 \times 100 =  25~\text{cm}^2$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Persegi panjang $PQRS$ dibagi dalam $6$ persegi yang sama besar dan diarsir seperti tampak pada gambar. Perbandingan luas daerah yang diarsir terhadap luas persegi panjang $PQRS$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1 : 12$                     C. $5 : 12$

B. $1 : 6$                       D. $1 : 2$

Pembahasan

Bila dibelah menurut diagonalnya, satu persegi terdiri dari 2 bagian yang sama luasnya. Daerah yang diarsir terdiri dari 5 bagian, sedangkan secara keseluruhan, persegi panjang $PQRS$ yang disusun dari $6$ persegi terdiri dari $6 \times 2 = 12$ bagian.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa perbandingan luas daerah yang diarsir terhadap luas persegi panjang $PQRS$ adalah $\boxed{5 : 12}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Panjang sisi suatu persegi adalah $4~\text{cm}$. Jika panjang diagonalnya sama dengan panjang sisi persegi yang lain, maka luas persegi lain yang dimaksud tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $24~\text{cm}^2$                    C. $32~\text{cm}^2$
B. $28~\text{cm}^2$                    D. $36~\text{cm}^2$

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut.
Luas segitiga siku-siku (daerah warna kuning) adalah $L_{\triangle} = \dfrac{4 \times 4}{2} = 8~\text{cm}^2.$

Luas persegi yang lain sama dengan $4$ kali dari luas segitiga siku-siku tersebut, yaitu $L = 4 \times L_{\triangle} = 4 \times 8 =32~\text{cm}^2.$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Luas persegi panjang $ABCD$ pada gambar adalah $60~\text{cm}^2$ dengan panjang $BC = 6~\text{cm}$.
Jika diketahui bahwa $CQ = RD = 2~\text{cm}$, berapakah luas daerah berwarna kuning?
A. $18~\text{cm}^2$                        C. $42~\text{cm}^2$
B. $36~\text{cm}^2$                        D. $52~\text{cm}^2$

Pembahasan

Karena luas persegi panjang $ABCD$ adalah $60~\text{cm}^2$  dan $BC = 6~\text{cm}$, maka $AB = CD = \dfrac{60}{6} = 10~\text{cm}$. Dengan demikian, panjang $RQ = 10-2-2 = 6~\text{cm}.$
Perhatikan gambar berikut.
Luas daerah berwarna kuning sama dengan luas persegi panjang $ABCD$ dikurangi luas segitiga $PQR$.
$$\begin{aligned} L & = L_{ABCD}-L_{\triangle PQR} \\ & = 60-\dfrac{6 \times 6}{2} \\ & = 60-18 = 42~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas daerah warna kuning adalah $\boxed{42~\text{cm}^2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9
Pada gambar di bawah, sebuah garis membelah persegi panjang menjadi dua bagian yang luasnya berbanding $1 : 6$. Berapakah perbandingan $a : b$?
A. $2 : 5$                        C. $1 : 5$

B. $1 : 6$                        D $1 : 4$

Pembahasan

Anggap luas persegi panjang sama dengan $1+6 = 7$. Tarik garis diagonal persegi panjang seperti gambar di bawah. 
Perhatikan bahwa segitiga yang  luasnya $1$ dan $2,5$ di atas memiliki tinggi yang sama, sehingga panjang alasnya memiliki perbandingan yang sama dengan besar luasnya, yaitu $a : b = 1 : 2,5 = 2 : 5$.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 10
Dua buah persegi dengan luas $m$ dan $n$ terletak di dalam persegi besar seperti gambar di bawah. 

Berapakah perbandingan $m : n$?
A. $4 : 3$                   C. $9 : 8$
B. $4 : 5$                   D. $8 : 9$

Pembahasan

Tarik garis yang membelah bagian persegi dengan ukuran yang sama.
Pada daerah di atas diagonal, terdapat 9 segitiga siku-siku dan 4 di antaranya menempati daerah dengan luas $m$. Jadi, $m = 4 : 9 = \dfrac49$.
Pada daerah di bawah diagonal, terdapat 4 segitiga siku-siku dan 2 di antaranya menempati daerah dengan luas $n$. Jadi, $n = 2 : 4  = \dfrac12$. Dengan demikian,
$$\begin{aligned} m : n & = \dfrac49 : \dfrac12 && (\cdots \times 18) \\ & = 8 : 9 \end{aligned}$$Jadi, perbandingan $\boxed{m : n = 8 : 9}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11
Gambar di bawah merupakan dua buah persegi dengan panjang sisinya masing-masing berukuran $12~\text{cm}$ dan $8~\text{cm}$.
Luas daerah yang diarsir adalah $\cdots \cdot$

A. $34~\text{cm}^2$                    C. $56~\text{cm}^2$
B. $48~\text{cm}^2$                    D. $72~\text{cm}^2$

Pembahasan

Luas daerah yang diarsir sama dengan jumlah luas kedua persegi dikurangi jumlah kedua segitiga siku-siku yang diberi warna pada gambar berikut.
$$\begin{aligned} L_{\text{Arsir}} & = (12 \times 12 + 8 \times 8)-\dfrac12 \times \left(12 \times 12 + (12 + 8) \times 8\right) \\ & = (144 + 64)-\dfrac12 \times (144 + 160) \\ & = 208-152 \\ & = 56~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $\boxed{56~\text{cm}^2}$

(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 12
Berikut merupakan gambar sebuah persegi panjang dan sebuah persegi.
Luas daerah yang diarsir adalah $\cdots~\text{cm}^2$.
A. $8,5$                      C. $10,5$
B. $9,5$                      D. $11,5$

Pembahasan

Posisikan titik $O$ sehingga terbentuk segitiga siku-suku $AOF$ seperti gambar.
Luas daerah yang diarsir, yaitu luas segitiga $ACF$, sama dengan luas persegi panjang $ABEO$ dikurangi luas segitiga siku-siku $ABC$, $CEF$, dan $AOF$.

$$\begin{aligned} L_{\triangle ACF} & = L_{ABEO}-(L_{\triangle ABC} + L_{\triangle CEF} + L_{\triangle AOF}) \\ & = (6 \times 4)-\dfrac12 \times (3 \times 4 + 3 \times 3 + 1 \times 6) \\ & = 24-\dfrac12 \times (12 + 9 + 6) \\ & = 24-\dfrac12 \times 27 \\ & = 24-13,5 =10,5 \end{aligned}$$Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $\boxed{10,5~\text{cm}^2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 13
Terdapat segitiga $DCE$ dan jajar genjang $ABCD$ seperti tampak pada gambar.
Luas jajar genjang $ABCD$ adalah $54~\text{cm}^2$, sedangkan luas segitiga $DCE$ adalah $45~\text{cm}^2$. Tinggi segitiga jika alasnya $CD$ adalah $\cdots \cdot$
A. $8$ cm                       C. $12$ cm 
B. $10$ cm                     D. $15$ cm

Pembahasan

Perhatikan bahwa $CD$ merupakan alas jajar genjang, sekaligus alas segitiga. Karena luas jajar genjang $ABCD$ adalah $54~\text{cm}^2$, maka $CD = \dfrac{54}{6} = 9~\text{cm}$. Diketahui luas segitiga $DCE$ adalah $45~\text{cm}^2$, sehingga
$$\begin{aligned} L_{\triangle DCE} & = \dfrac12 \times CD \times t \\ 45 & = \dfrac12 \times 9 \times t \\ t & = \dfrac{45 \times 2}{9} = 10~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, tinggi segitiga tersebut jika alasnya $CD$ adalah $\boxed{10~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Sistem Koordinat Kartesius

Soal Nomor 14
Sebuah jajar genjang $ABCD$ memiliki panjang alas $14$ cm dan tinggi $10$ cm. Jika luas segitiga $BFC$ adalah $50~\text{cm}^2$, maka luas segitiga $FDC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $50~\text{cm}^2$                      C. $20~\text{cm}^2$
B. $30~\text{cm}^2$                      D. $15~\text{cm}^2$

Pembahasan

Perhatikan bahwa luas segitiga $BCD$ sama dengan setengah kalinya dari luas jajar genjang $ABCD$.
$$\begin{aligned} L_{\triangle BCD} & = \dfrac12 \times L_{ABCD} \\ & = \dfrac12 \times (14 \times 10) \\ & = 70~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Karena diketahui luas segitiga $BFC$ adalah $50~\text{cm}^2$, maka
$$\begin{aligned} L_{\triangle FDC} & = L_{\triangle BCD}-L_{\triangle BFC} \\ & = 70-50 = 20~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas segitiga $FDC$ adalah $\boxed{20~\text{cm}^2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15
Gambar berikut adalah persegi panjang berukuran $12~\text{cm} \times 6~\text{cm}$.  Luas daerah yang berwarna kuning adalah $\cdots~\text{cm}^2.$
A. $36$                         C. $18$
B. $24$                         D. $12$

Pembahasan

Dari gambar, tampak ada $6$ buah segitiga yang jumlah panjang alasnya sama dengan $12$ cm. Tinggi tiap segitiga adalah $3$ cm. Tanpa perlu mencari luas segitiga masing-masing, kita cukup menggunakan fakta tersebut untuk menentukan jumlah luas segitiga, yaitu
$$\begin{aligned} L & = \dfrac12 \times \text{Jumlah Alas} \times t \\ & = \dfrac12 \times 12 \times 3 = 18~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas daerah yang berwarna kuning adalah $\boxed{18~\text{cm}^2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 16
Seperti yang tampak pada gambar di bawah, luas $\triangle BEG$ dan $\triangle CFG$ berturut-turut adalah $2017~\text{cm}^2$ dan $1221~\text{cm}^2$. Luas daerah yang diarsir adalah $\cdots \cdot$
A. $796~\text{cm}^2$                      C. $3238~\text{cm}^2$

B. $1619~\text{cm}^2$                    D. $6476~\text{cm}^2$

Pembahasan

Perhatikan $\triangle BEG$ dan $\triangle CFG$ pada gambar. Jumlah panjang alasnya sama dengan panjang dari persegi panjang tersebut, yaitu $BG + GC = BC$, sedangkan tinggi kedua segitiga itu sama, yaitu $AB = CD$. Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle BEG} + L_{\triangle CFG} & = 2017 + 1221 \\ \dfrac{BC \times AB}{2} & = 3238 \\ L_{ABCD} & = 6476~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Karena luas daerah yang diarsir sama dengan luas persegi panjang $ABCD$ dikurangi luas kedua segitiga tersebut, maka diperoleh $\boxed{L_{\text{Arsir}} = 6476-3238 = 3238~\text{cm}^2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 17
Perhatikan jajar genjang $ABCD$ berikut.
$E$ dan $F$ berturut-turut adalah titik tengah $AB$ dan $BC$. Luas jajar genjang tersebut adalah $240$. Luas $\triangle DEF$ adalah $\cdots \cdot$

A. $60$                         C. $90$
B. $75$                         D. $120$

Pembahasan

Untuk menghitung luas $\triangle DEF$, kita harus mencari luas $\triangle BEF$, $\triangle CDF$, dan $\triangle ADE$ terlebih dahulu.
Misalkan $G$ dan $H$ berturut-turut adalah titik tengah $CD$ dan $AD$, sedangkan $O$ adalah titik potong ruas garis $EG$ dan $FH$.

Luas $\triangle ADE$ dan $\triangle CDF$ masing-masing sama dengan $\dfrac14$ kali luas jajar genjang, sedangkan luas $\triangle BEF$ sama dengan $\dfrac18$ kali luas jajar genjang. Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle BEF} + L_{\triangle CDF}+L_{\triangle ADE} & = \dfrac18 \times 240 + \dfrac14 \times 240 + \dfrac14 \times 240 \\ & = 30 + 60 + 60 = 150 \end{aligned}$$Luas $\triangle DEF$ sama dengan luas jajar genjang dikurangi luas ketiga segitiga tersebut, yaitu $\boxed{240-150=90}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 18
Perhatikan gambar berikut.
Jika $AE = 2CE$, $CD = 3BD$, dan luas segitiga $ABC$ adalah $144~\text{cm}^2$, maka selisih luas segitiga $BDF$ dan segitiga $AEF$ adalah $\cdots~\text{cm}^2.$
A. $60$                             C. $48$
B. $54$                             D. $36$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $\triangle ABC$ di atas dibagi menjadi 4 daerah yang luasnya dimisalkan $L_1, L_2, L_3$, dan $L_4$ seperti yang tampak pada gambar.
Kita akan mencari selisih luas segitiga $BDF$ dan segitiga $AEF$ , yaitu $L_4-L_2$. 
Pertama, akan dicari luas segitiga $BCE$. Diketahui $AE = 2CE$, sehingga $AC : CE = 3 : 1$. Oleh karena itu, diperoleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle BCE} & = \dfrac13 \times L_{\triangle ABC} \\ L_2 + L_3 & = \dfrac13 \times 144 \\ L_2 + L_3 & = 48~\text{cm}^2 && (\cdots 1) \end{aligned}$$Berikutnya, akan dicari luas segitiga $ADC$. Diketahui $CD = 3BD$, sehingga $BC : DC = 4 : 3$. Oleh karena itu, diperoleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle ADC} & = \dfrac34 \times L_{\triangle ABC} \\ L_3 + L_4 & = \dfrac34 \times 144 \\ L_3 + L_4 & = 108~\text{cm}^2 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dari dua persamaan di atas, kita peroleh
$$\begin{aligned} (L_3 + L_4)-(L_2 + L_3) & = 108-48 \\ L_4-L_2 & = 60~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, selisih luas segitiga $BDF$ dan segitiga $AEF$ adalah $\boxed{60~\text{cm}^2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 19
$P$ adalah titik di dalam persegi panjang $ABCD$. Diketahui luas $APD = 92~\text{cm}^2$ dan luas $BCP$ sama dengan $27\%$ dari luas persegi panjang $ABCD$. Berapakah luas persegi panjang $ABCD$?
A. $200~\text{cm}^2$                      C. $400~\text{cm}^2$

B. $300~\text{cm}^2$                      D. $450~\text{cm}^2$

Pembahasan

Diketahui $L_{\triangle APD} = 92~\text{cm}^2$ dan $L_{\triangle BCP} = 27% L_{ABCD}.$
Posisikan titik $O$ di $AD$ dan $Q$ di $BC$, sehingga $AD \perp OP$ dan $BC \perp PQ$ seperti tampak pada gambar.
Dengan demikian, kita akan peroleh

$$\begin{aligned} \dfrac{AD \times OP}{2} + \dfrac{AD \times PQ}{2} & = \dfrac{AD \times OQ}{2} \\ L_{\triangle APD} + 27\% L_{ABCD} & = \dfrac{L_{ABCD}}{2} \\ 92 + 27\%L_{ABCD} & = \dfrac{L_{ABCD}}{2} \\ 184 + 54\%L_{ABCD} & = L_{ABCD} \\ 184 & = 46\%L_{ABCD} \\ L_{ABCD} & = 184 \times \dfrac{100}{46} = 400 \end{aligned}$$Jadi, luas persegi panjang $ABCD$ adalah $\boxed{400~\text{cm}^2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 20
Pada gambar di bawah, luas persegi panjang $ABCD$ adalah $200~\text{cm}^2$.
Pada segitiga $HEB$, panjang alas $HE$ dan tinggi $HI$ berturut-turut adalah $9~\text{cm}$ dan $15~\text{cm}$. Jika jumlah luas segitiga $ABF$, segiempat $GBCD$, dan segiempat $HEGF$ adalah $207,5~\text{cm}^2$, maka luas segitiga $BFG$ adalah $\cdots \cdot$
A. $20~\text{cm}^2$                    C. $30~\text{cm}^2$

B. $25~\text{cm}^2$                    D. $50~\text{cm}^2$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} L_{\triangle HEB} & = \dfrac{HE \times HI}{2} \\ L_{HEGF} + L_{\triangle BFG} & = \dfrac{9 \times 15}{2} \\ L_{HEGF} & = 67,5-L_{\triangle BFG} \end{aligned}$$Diketahui luas $ABCD$ sama dengan $200~\text{cm}^2.$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} L_{\triangle ABF} + L_{\triangle BFG} + L_{GBCD} & = 200 \\ L_{\triangle ABF} + L_{GBCD} & = 200-L_{\triangle BFG} \end{aligned}$$Karena jumlah luas segitiga $ABF$, segiempat $GBCD$, dan segiempat $HEGF$ adalah $207,5~\text{cm}^2$, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle ABF} + L_{GBCD} + L_{HEGF} & = 207,5 \\ (200 – L_{\triangle BFG}) + (67,5-L_{\triangle BFG}) & = 207,5 \\ 267,5-2L_{\triangle BFG} & = 207,5 \\ 2L_{\triangle BFG} & = 60 \\ L_{\triangle BFG} & = 30~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas segitiga $BFG$ adalah $\boxed{30~\text{cm}^2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Garis Singgung Lingkaran (Tingkat SMP)

Soal Nomor 21
Gambar menunjukkan segitiga $ABC$ yang luasnya $960~\text{cm}^2$. Jika $D, E$, dan $F$ berturut-turut adalah titik tengah $AC, BC$, dan $CE$, maka luas daerah yang diarsir adalah $\cdots \cdot$
A. $720~\text{cm}^2$                      C. $540~\text{cm}^2$

B. $600~\text{cm}^2$                      D. $480~\text{cm}^2$

Pembahasan

Diketahui $L_{\triangle ABC} = 960~\text{cm}^2.$
Karena $D$ di tengah $AC$, maka
$$\begin{aligned} L_{\triangle ABD} = L_{\triangle BCD} & = \dfrac12 \times L_{\triangle ABC} \\ & = \dfrac12 \times 960 \\ & = 480~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Karena $E$ di tengah $BC$, maka
$$\begin{aligned} L_{\triangle CDE} = L_{\triangle BDE} & = \dfrac12 \times L_{\triangle BCD} \\ & = \dfrac12 \times 480 \\ & = 240~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Karena $F$ di tengah $CE$, maka
$$\begin{aligned} L_{\triangle CDF} = L_{\triangle DEF} & = \dfrac12 \times L_{\triangle CDE} \\ & = \dfrac12 \times 240 \\ & = 120~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $$\boxed{L_{\triangle ABD} + L_{\triangle DEF} = 480 + 120 = 600~\text{cm}^2}$$(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 22
Luas sebuah persegi panjang sama dengan $576$. Ukuran panjang dan lebarnya berupa bilangan bulat. Nilai terkecil yang mungkin dari keliling persegi panjang tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $50$                        C. $100$
B. $80$                        D. $120$

Pembahasan

Keliling persegi panjang akan bernilai semakin kecil ketika ukuran panjang dan lebarnya sedekat mungkin, bahkan jika memungkinkan, panjang dan lebarnya sama, sehingga menjadi sebuah persegi.
Perhatikan bahwa $576 = 2^6 \times 3^2$. Perhatikan tabel berikut. Notasi $|p-\ell|$ menyatakan selisih ukuran panjang dan lebar.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline p & \ell & |p-\ell| \\ \hline 192 & 3 & 189 \\ 64 & 9 & 55 \\ 32 & 18 & \color{blue}{14} \\ 16 & 36 & 20 \\ 8 & 72 & 64 \\ 4 & 144 & 140 \\ 2 & 288 & 286 \\ 1 & 576 & 575 \\ \hline \end{array}$$Tampak dari tabel di atas bahwa selisih terkecil tercapai ketika $p = 32$ dan $\ell = 18$.
Dengan demikian, keliling terkecilnya adalah $\boxed{2 \times (32 + 18) = 100}$
(Jawaban C)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Tentukan keliling dan luas dari bangun datar gabungan berikut.

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut.

Keliling bangun datar adalah jumlah dari semua panjang sisinya. Pindahkan sisi yang diberi warna merah  untuk membentuk persegi panjang utuh.  Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned}  k & = 2 \times (8 + 10) + (3 + 3  + 3 + 3) \\ & = 36 + 12 \\ & = 48 \end{aligned}$$Luas bangun gabungan sama dengan luas persegi panjang besar dikurangi dengan luas dua persegi panjang kecil di dalamnya.
$$\begin{aligned} L & = (8 \times 10)-(3 \times 2 + 3 \times 4)  \\ & = 80-18  = 62 \end{aligned}$$Jadi, keliling bangun gabungan pada gambar adalah $\boxed{48}$ satuan panjang, sedangkan luasnya adalah $\boxed{62}$ satuan luas.

[collapse]

Soal Nomor 2
Sebuah persegi panjang dibentuk dari $1221$ persegi yang panjang sisinya $1$ cm. Carilah nilai minimum dari keliling persegi panjang tersebut dalam satuan cm.

Pembahasan

Persegi panjang tersebut akan memiliki keliling minimum jika ukuran panjang dan lebarnya sedekat mungkin, bahkan jika memungkinkan, panjang dan lebarnya sama, sehingga menjadi sebuah persegi.
Perhatikan bahwa $1221 = 3 \times 11 \times 37.$
Dari tiga bilangan tersebut, perkalian dua bilangan yang hasilnya mendekati bilangan sisanya adalah $3 \times 11 = 33$ dengan $37$ (berselisih $4$). Jadi, ukuran persegi panjang itu adalah $33 \times 37$ (atau kebalikannya), sehingga keliling minimumnya adalah $\boxed{2 \times (33 + 37) = 140~\text{cm}}$

[collapse]