Materi, Soal, dan Pembahasan – Sudut Apit Antargaris

Jika $\theta$ menyatakan besar sudut apit antara garis $\ell$ dan garis $k$ yang masing-masing bergradien $m_{\ell}$ dan $m_k,$ maka besar sudut $\theta$ ditentukan oleh
$$\boxed{\tan \theta = \left|\dfrac{m_{\ell}-m_k}{1+m_{\ell} \cdot m_k}\right|}$$

Soal Nomor 1
Besar sudut apit antara garis $3x-4y-5=0$ dan garis $y-7x+4=0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $15^\circ$                     D. $60^\circ$
B. $30^\circ$                    E. $90^\circ$
C. $45^\circ$

Pembahasan

Diketahui bahwa garis $\ell: 3x-4y-5=0$ bergradien $m_{\ell} = \dfrac34,$ sedangkan garis $k: y-7x+4=0$ bergradien $m_{k} = 7.$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \tan \theta & = \left|\dfrac{m_{\ell}-m_k}{1+m_{\ell} \cdot m_k}\right| \\ \tan \theta & = \left|\dfrac{\frac34-7}{1+\frac34 \cdot 7}\right| \\ \tan \theta & = \left|\dfrac{3-28}{4 + 21}\right| \\ \tan \theta & = 1 \\ \theta & = 45^\circ \end{aligned}$$Jadi, besar sudut apit antara kedua garis tersebut adalah $\boxed{45^\circ}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 2
Sudut yang dibentuk oleh garis $3x+y-6=0$ dan garis $2x-y=0$ adalah $\alpha.$ Besar sudut $\alpha$ adalah $\cdots \cdot$
A. $90^\circ$                       D. $45^\circ$
B. $75^\circ$                       E. $30^\circ$
C. $60^\circ$

Pembahasan

Diketahui bahwa garis $\ell: 3x+y-6=0$ bergradien $m_{\ell} = -3,$ sedangkan garis $k: 2x-y=0$ bergradien $m_{k} = 2.$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \tan \alpha & = \left|\dfrac{m_{\ell}-m_k}{1+m_{\ell} \cdot m_k}\right| \\ \tan \alpha & = \left|\dfrac{-3-2}{1+(-3) \cdot 2}\right| \\ \tan \alpha & = \left|\dfrac{-5}{-5}\right| \\ \tan \alpha & = 1 \\ \alpha & = 45^\circ \end{aligned}$$Jadi, besar sudut $\alpha$ adalah $\boxed{45^\circ}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 3
Nilai $m$ agar sudut apit antara garis $mx-y-8=0$ dan garis $2y-x+1=0$ memiliki besar $45^\circ$ adalah $\cdots \cdot$
A. $m = -3$ atau $m = -\dfrac13$
B. $m = -3$ atau $m = \dfrac13$
C. $m = -3$ atau $m = 3$
D. $m = -\dfrac13$ atau $m = \dfrac13$
E.$m = -\dfrac13$ atau $m = 3$

Pembahasan

Diketahui bahwa gradien garis $\ell: mx-y-8=0$ adalah $m_\ell = m,$ sedangkan gradien garis $k: 2y-x+1=0$ adalah $m_k = \dfrac12$.
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \tan \theta & = \left|\dfrac{m_{\ell}-m_k}{1+m_{\ell} \cdot m_k}\right| \\ \tan 45^\circ & = \left|\dfrac{m-\frac12}{1+m \cdot \frac12}\right| \\ 1 & = \left|\dfrac{2m-1}{2+m}\right| \\ \dfrac{2m-1}{2+m} & = \pm 1 \end{aligned}$$Dari persamaan terakhir, kita simpulkan bahwa ada 2 kemungkinan jawaban untuk nilai $m.$
Kemungkinan 1:
$$\begin{aligned} \dfrac{2m-1}{2+m} & = 1 \\ 2m-1 & = 2+m \\ m & = 3 \end{aligned}$$Kemungkinan 2:
$$\begin{aligned} \dfrac{2m-1}{2+m} & = -1 \\ 2m-1 & = -2-m \\ 3m & = -1 \\ m & = -\dfrac13 \end{aligned}$$Jadi, nilai $m$ yang dimaksud adalah $\boxed{m = -\dfrac13~\text{atau}~m = 3}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 4
Misalkan $m_1, m_2, m_3$ adalah kemiringan ketiga sisi segitiga sama sisi pada bidang koordinat. Diketahui bahwa tidak ada sisi yang sejajar dengan sumbu $Y.$ Ruas garis yang bergradien $m_1$ memiliki sudut sebesar $\alpha$ terhadap sumbu $X.$ Di antara semua segitiga yang mungkin tergambar, nilai terbesar dari $m_1m_2 + m_2m_3 + m_1m_3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-3$                      D. $\dfrac13$

B. $-\dfrac13$                    E. $3$
C. $0$

Pembahasan

Perhatikan bahwa nilai gradien dari tiap ruas garis yang mewakili sisi dari segitiga tersebut sama dengan tangen sudut garisnya terhadap sumbu $X.$
Dari gambar, jelas bahwa $m_1 = \tan \alpha.$ Untuk menentukan nilai $m_2,$ tarik sebuah garis putus-putus vertikal dan horizontal seperti gambar di bawah.
Dengan mengingat bahwa jumlah sudut pada setiap segitiga adalah $180^\circ,$ kita tahu bahwa setiap sudut segitiga sama sisi memiliki besar $60^\circ.$ Selanjutnya, nilai $m_2$ sama dengan $$\tan (90^\circ + (30^\circ + \alpha)) = \tan (\alpha + 120^\circ).$$Terakhir, $m_3$ sama dengan $\tan (\alpha + 60^\circ).$

Langkah berikutnya adalah menjabarkan bentuk tangen pada $m_2$ dan $m_3$ dengan menggunakan identitas trigonometri.
$$\begin{aligned} m_2 = \tan (\alpha + 120^\circ) & = \dfrac{\tan \alpha + \tan 120^\circ}{1-\tan \alpha \tan 120^\circ} \\ & = \dfrac{m_1-\sqrt3}{1+\sqrt3 m_1} \color{red}{\times \dfrac{1-\sqrt3 m_1}{1-\sqrt3 m_1}} \\ & = \dfrac{(m_1-\sqrt3)(1-\sqrt3m_1)}{1-3m_1^2} \\ m_3 = \tan (\alpha + 60^\circ) & = \dfrac{\tan \alpha + \tan 60^\circ}{1-\tan \alpha \tan 60^\circ} \\ & = \dfrac{m_1+\sqrt3}{1-\sqrt3 m_1} \color{red}{\times \dfrac{1+\sqrt3 m_1}{1+\sqrt3 m_1}} \\ & = \dfrac{(m_1+\sqrt3)(1+\sqrt3m_1)}{1-3m_1^2} \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} m_1m_2 + m_2m_3 + m_1m_3 & = m_2m_3 + m_1(m_2 + m_3) \\ & = \dfrac{(m_1-\sqrt3)(1-\sqrt3m_1)}{1-3m_1^2} \cdot \dfrac{(m_1+\sqrt3)(1+\sqrt3m_1)}{1-3m_1^2} + m_1\left(\dfrac{(m_1-\sqrt3)(1-\sqrt3m_1)}{1-3m_1^2} + \dfrac{(m_1+\sqrt3)(1+\sqrt3m_1)}{1-3m_1^2}\right) \\ & = \dfrac{(m_1^2-3)\cancel{(1-3m_1^2)}}{\cancel{(1-3m_1^2)}(1-3m_1^2)} + m_1 \cdot \dfrac{8m_1}{1-3m_1^2} \\ & = \dfrac{m_1^2-3}{1-3m_1^2} + \dfrac{8m_1^2}{1-3m_1^2} \\ & = \dfrac{9m_1^2-3}{1-3m_1^2} \\ & = \dfrac{-3\bcancel{(1-3m_1^2)}}{\bcancel{1-3m_1^2}} \\ & = -3. \end{aligned}$$Jadi, nilai terbesar dari $m_1m_2 + m_2m_3 + m_1m_3$ adalah $\boxed{-3}$
(Jawaban A)

[collapse]