Soal dan Pembahasan – Ulangan Tengah Semester (UTS) Kalkulus Diferensial Versi 3 Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Untan

      Berikut ini adalah soal ujian tengah semester beserta pembahasannya mata kuliah Kalkulus Diferensial (Tahun Ajaran 2018/2019) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 2 oleh Drs. Asep Nursangaji, M.Pd pada tanggal 10 April 2019.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – UTS Kalkulus Diferensial Versi 2 Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Untan

Soal Nomor 1
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan \sqrt{x^2} < 2 adalah \cdots

Penyelesaian

Berdasarkan definisi nilai mutlak, diketahui bahwa |x| = \sqrt{x^2} untuk setiap x \in \mathbb{R}.
Untuk itu, pertidaksamaan \sqrt{x^2} < 2 dapat ditulis menjadi
|x| < 2 \iff -2 < x < 2
Jadi, penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah \boxed{-2<x<2}

[collapse]

Soal Nomor 2
Penyelesaian dari |x+2| < |x+3| adalah \cdots

Penyelesaian

Karena kedua ruas telah dijamin tidak negatif oleh tanda mutlak, maka menguadratkan kedua ruas dapat dilakukan.
\begin{aligned} |x+2| & < |x+3| \\ (x+2)^2 & < (x+3)^2 \\ (x+2)^2 - (x+3)^2 & < 0 \\ (x+2+x+3)(x+2-x-3) & < 0 \\ (2x+5)(-1) & < 0 \\ 2x + 5 & < 0 \\ x & < -\dfrac52 \end{aligned}
Jadi, penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak itu adalah \boxed{x < -\dfrac52}

[collapse]

Soal Nomor 3
Domain alamiah dan range dari fungsi f dengan f(x) = \sqrt{\dfrac{x-2}{x-1}} adalah \cdots

Penyelesaian

Dari syarat pecahan, kita peroleh bahwa x - 1 \neq 0 atau ditulis x \neq 1.
Dari syarat radikan, kita peroleh bahwa \dfrac{x-2}{x-1} \geq 0
Pembuat nol pada pembilang: x = 2
Pembuat nol pada penyebut: x = 1
Buatlah garis bilangan dengan pembatas di x = 2 dan x = 1, lalu uji kepositivan masing-masing interval.

Uji daerah kepositivan: Misalkan ambil x = 0, lalu substitusikan ke \dfrac{x-2}{x-1}, sehingga diperoleh hasilnya bernilai positif. Ini berarti, daerah di sebelah kiri 1 positif.
Berdasarkan garis bilangan tersebut, diperoleh domain alamiah dari fungsi f, yaitu D_f = \{x~|~x < 1~\text{atau}~x \geq 2\}
sedangkan range (daerah hasil) fungsi f adalah
R_f = \{y~|~y \geq 0\}
karena bentuk akar tidak mungkin menghasilkan bilangan negatif.

[collapse]

Soal Nomor 4
Salah satu rumus fungsi g dari A = \{x \in \mathbb{R} : 1 \leq x < 3\} ke B = \{x \in \mathbb{R} : x \geq 2\} adalah g(x) = \cdots

Penyelesaian

Contoh rumus fungsi g yang sesuai dengan kondisi tersebut adalah
g(x) = \dfrac32 - \dfrac{1}{x-3} 
Grafik fungsi g bila digambarkan dalam sistem koordinat Kartesius dapat dilihat pada gambar berikut.

[collapse]

Soal Nomor 5
Jika fungsi f(x) = \dfrac{x^2+2x-8}{x-2}, maka f(2) = \cdots dan \displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) = \cdots

Penyelesaian

Diketahui: f(x) = \dfrac{x^2+2x-8}{x-2}
Untuk x = 2, diperoleh
f(2) = \dfrac{2^2 + 2(2) - 8}{2-2} = \dfrac{0}{0} =~\text{tak tentu}
Fungsi f tidak memiliki nilai saat x=2, sedangkan
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) & = \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2+2x-8}{x-2} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x+4)\cancel{(x-2)}} {\cancel{x-2}} \\ & = \lim_{x \to 2} (x+4) \\ & = 2+4 = 6 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) = 6}

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui \displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = l dan \displaystyle \lim_{x \to c} g(x) = m, maka \displaystyle \lim_{x \to c} \dfrac{g(x)}{f(x)} = \cdots jika \cdots

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat pembagian limit, diperoleh
\displaystyle \lim_{x \to c} \dfrac{g(x)}{f(x)} = \dfrac{\displaystyle \lim_{x \to c} g(x)} {\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)} = \dfrac{m} {l}
jika l \neq 0.

[collapse]

Soal Nomor 7
Hasil dari \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-4x+3}{x-1} = \cdots

Penyelesaian

Substitusi x=1 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu.
Dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-4x+3}{x-1} & = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x-3)\cancel{(x-1)}}{\cancel{x-1}} \\ & = \lim_{x \to 1} (x-3) = 1-3 = -2 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-4x+3}{x-1} = -2}

[collapse]

Soal Nomor 8
Jika \displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = -1, \displaystyle \lim_{x \to c} g(x) = 1, dan \displaystyle \lim_{x \to c} h(x) = -2, maka \displaystyle \lim_{x \to c} \sqrt{\dfrac{h(x) - g(x)}{f(x)}} = \cdots

Penyelesaian

\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to c} \sqrt{\dfrac{h(x) - g(x)}{f(x)}} & = \sqrt{\lim_{x \to c} \dfrac{h(x) - g(x)}{f(x)}} \\ & = \sqrt{\dfrac{\displaystyle \lim_{x \to c} h(x) - \lim_{x \to c} g(x)} {\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)}} \\ & = \sqrt{\dfrac{-2 - 1}{-1}} = \sqrt{3} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to c} \sqrt{\dfrac{h(x) - g(x)}{f(x)}} = \sqrt{3}}

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui fungsi f dengan f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x}, & \text{jika}~x < 0 \\ 1, & \text{jika}~x = 0 \\ x + 1, &\text{jika}~x > 0 \end{cases}.
Hasil dari \displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) adalah \cdots

Penyelesaian

Limit kiri untuk x mendekati 0 dari fungsi f dinyatakan oleh
\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} = \infty
Jadi, nilai dari \boxed{\lim_{x \to 0^-} f(x) = \infty}

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika fungsi f kontinu di x = 2, maka f(2) = \cdots

Penyelesaian

Agar suatu fungsi kontinu di titik tertentu, maka nilai fungsi di titik tersebut harus sama dengan nilai limit fungsi ketika mendekati titik tersebut. Dengan demikian, agar fungsi f kontinu di x=2, haruslah
\boxed{f(2) = \displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)}

[collapse]

Soal Nomor 11
Jika f(x) = \dfrac{x^2-x-2}{x-2}, maka fungsi f tidak kontinu di x = 2. Alasan f tidak kontinu di x = 2 adalah \cdots

Penyelesaian

Suatu fungsi tidak kontinu di titik tertentu apabila nilai fungsi di titik itu tidak terdefinisi (tidak ada).
Perhatikan bahwa jika f(x) = \dfrac{x^2-x-2}{x-2}, maka untuk x=2, didapat f(2) = \dfrac{2^2-2-2}{2-2} = \dfrac00, yang berarti fungsi f tidak memiliki nilai di titik x=2 sebab penyebutnya bernilai 0.

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui fungsi f dengan f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2+2x+1}{x+1}, &\text{jika}~x \neq -1 \\ b, &\text{jika}~x=-1 \end{cases}.
Supaya fungsi f kontinu di x = -1, maka b = \cdots

Penyelesaian

Supaya fungsi f kontinu di x = -1, nilai limit kiri dan nilai limit kanannya harus sama.
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to -1^-} f(x) & = \lim_{x \to -1^+} f(x) \\ \lim_{x \to -1} \dfrac{x^2+2x+1}{x+1} & = \lim_{x \to -1} b \\ \lim_{x \to -1} \dfrac{(x+1)\cancel{(x+1)} }{\cancel{x+1}} & = b \\ \lim_{x \to -1} (x+1) & = b \\ -1+1 & = b \\ b & = 0 \end{aligned}
Jadi, supaya fungsi f kontinu di x = -1, maka \boxed{b = 0}

[collapse]

Soal Nomor 13
Diketahui bahwa \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1.
Nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x}{3x} = \cdots

Penyelesaian

Diketahui: \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1
Untuk itu,
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x}{3x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin x \cos x} {3x} \\ & = \dfrac{2}{3} \times \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x} {x} \times \lim_{x \to 0} \cos x \\ & = \dfrac23 \times 1 \times \cos 0 = \dfrac23 \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 14
Diketahui fungsi f dan g dengan f(x) = \dfrac{-x+1}{x+1} dan g(x) = 2 + 3x. Nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 1} f(g(x)) = \cdots

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} f(x) & = \dfrac{-x+1}{x+1} \\ g(x) & = 2 + 3x \end{aligned}
Dengan demikian,
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} f(g(x)) & = \lim_{x \to 1} f(2+3x) \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{-(2+3x) +1}{(2+3x) +1} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{-3x - 1}{3x+3} \\ & = \dfrac{-3(1)-1}{3(1)+3} = -\dfrac{2}{3} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} f(g(x)) = -\dfrac23}

[collapse]

Soal Nomor 15
Jika fungsi g dengan g(x) = \begin{cases} x^2, &\text{jika}~x\leq -1 \\ 1-x, &\text{jika}~-1 < x \leq 1 \\ (1-x)^2, &\text{jika}~x > 1 \end{cases},
maka fungsi g diskontinu di x = \cdots

Penyelesaian

Agar fungsi kontinu di titik tertentu, nilai limit kiri dan limit kanannya harus bernilai sama.
Periksa kekontinuan di x = -1.
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to -1^-} g(x) = \lim_{x \to -1} x^2 = (-1)^2 = 1 \\ & \lim_{x \to -1^+} g(x) = \lim_{x \to -1} (1-x) = 1 - (-1) = 2 \end{aligned}
Dengan demikian, \displaystyle \lim_{x \to -1^-} g(x) \neq \displaystyle \lim_{x \to -1^+} g(x), sehingga g diskontinu di x=-1
Sekarang, periksa kekontinuan di x = 1.
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1} (1-x) = 1-1 = 0 \\ & \lim_{x \to 1^+} g(x) = \lim_{x \to 1} (1-x)^2 = (1-1)^2 = 0 \end{aligned}
Dengan demikian, \displaystyle \lim_{x \to 1^-} g(x) = \displaystyle \lim_{x \to 1^+} g(x), sehingga g kontinu di x=1
Jadi, fungsi g hanya diskontinu di titik \boxed{x = -1}.

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – UTS Kalkulus Diferensial Versi 1 Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Untan

Ayo Beri Rating Postingan Ini