Soal dan Pembahasan – Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri

Berikut ini adalah contoh soal dan pembahasan mengenai limit fungsi aljabar dan trigonometri. Soal-soalnya dikumpulkan penulis dari berbagai sumber.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Limit Tak Hingga

Soal Nomor 1
Carilah nilai dari limit berikut. 
a) \displaystyle \lim_{x \to 3} 9
b) \displaystyle \lim_{x \to -2} 2x
c) \displaystyle \lim_{x \to 3} (2x^2+7x +8)
d) \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x + 2}{x + 3}

Penyelesaian

Semua bentuk limit tersebut dapat dicari dengan hanya mensubstitusikan langsung titik limitnya. 
Jawaban a) 
\displaystyle \lim_{x \to 3} 9 = 9
Jawaban b) 
\displaystyle \lim_{x \to -2} 2x = 2(-2) = -4
Jawaban c) 
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 3} (2x^2+7x+8) & = 2(3)^2 + 7(3) + 8 \\ & = 18 + 21+8 = 47 \end{aligned}
Jawaban d) 
\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x+2}{x+3} = \dfrac{0+2}{0+3} = \dfrac{2}{3}

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1} {x-1}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 1 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}
Limit tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan metode pemfaktoran sebagai berikut. 
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1} {x-1} & = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x+1)\cancel{(x-1)}} {\cancel{x-1}} \\ & = \lim_{x \to 1} (x+1) \\ & = 1+1 = 2 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1} {x-1} = 2}

[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2+x-6}{x^2-4}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 2 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}Dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2+x-6}{x^2-4} & = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x+3)\cancel{(x-2)} }{(x+2)\cancel{(x-2)}} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{x+3}{x+2} \\ & = \dfrac{2+3}{2+2} = \dfrac{5}{4} \end{aligned}
Jadi, nilai dari  \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2+x-6}{x^2-4} = \dfrac{5}{4}}

[collapse]

Soal Nomor 4
Nilai \displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{3x^3 - 48x}{x^2-16} = \cdots
A. 4      B. 12       C. 16      D. 24        E. 48

Penyelesaian

Substitusi menghasilkan bentuk tak tentu
Dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{3x^3 - 48x}{x^2-16} & = \lim_{x \to 4} \dfrac{3x\cancel{(x^2-16x)}} {\cancel{x^2-16}} \\ & = \lim_{x \to 4} 3x = 3(4) = 12 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{3x^3 - 48x}{x^2-16} = 12} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{2}{x-2} - \dfrac{8}{x^2-4}\right)

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 2 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}
Dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{2}{x-2} - \dfrac{8}{x^2-4}\right) \\ & = \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{2(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \dfrac{8}{(x+2)(x-2)}\right) \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{2x-4}{(x-2)(x+2)} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{2\cancel{(x-2)}} {\cancel{(x-2)}(x+2)} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{2}{x+2} \\ & = \dfrac{2}{2+2} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{2}{x-2} - \dfrac{8}{x^2-4}\right) = \dfrac{1}{2}}

[collapse]

Soal Nomor 6
Nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{6}{x^2-x-2} - \dfrac{2}{x-2}\right) adalah \cdots
A. -1     B. -\frac{2}{3}    C. -\frac{1}{3}      D. \frac{1}{3}    E. \frac{2}{3}

Penyelesaian

Substitusi menghasilkan bentuk tak tentu
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{6}{x^2-x-2} - \dfrac{2}{x-2}\right) \\ & = \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{6}{(x-2)(x+1)} - \dfrac{2(x+1)}{(x-2)(x+1)}\right) \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{-2x+4}{(x-2)(x+1)} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{-2\cancel{(x - 2)}}{\cancel{(x-2)} (x+1)} \\ & = \lim_{x \to 2}\dfrac{-2}{x+1} \\ & = \dfrac{-2}{2+1} = -\dfrac{2}{3} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{6}{x^2-x-2} - \dfrac{2}{x-2}\right) = -\dfrac{2}{3}} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 7
Nilai \displaystyle \lim_{x \to 27} \dfrac{x-27}{x^{\frac{1}{3}} - 3} = \cdots
A. 27     B. 18     C. 9     D. 3     E. 1

Penyelesaian

Substitusi menghasilkan bentuk tak tentu
Perhatikan bahwa bentuk x-27 dapat ditulis dalam bentuk pemfaktoran:
x - 27 = (x^{\frac{1}{3}} - 3)(x^{\frac{2}{3}} + 3x^{\frac{1}{3}} + 9)
Dengan demikian, limitnya dapat ditulis
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 27} \dfrac{x-27}{x^{\frac{1}{3}} - 3} \\ & = \lim_{x \to 27} \dfrac{\cancel{(x^{\frac{1}{3}} - 3)} (x^{\frac{2}{3}} + 3x^{\frac{1}{3}} + 9) }{\cancel{x^{\frac{1}{3}} - 3}} \\ & = \lim_{x \to 27} (x^{\frac{2}{3}} + 3x^{\frac{1}{3}} + 9) \\ & = 27^{\frac{2}{3}} + 3(27)^{\frac{1}{3}} + 9 \\ & = 9 + 3(3) + 9 = 27 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 27} \dfrac{x-27}{x^{\frac{1}{3}} - 3} = 27} (Jawaban A) 

[collapse]

Soal Nomor 8
Nilai \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}} adalah \cdots

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 0 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}
Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}} \times \dfrac{3+\sqrt{9+x}}{3+\sqrt{9+x}} \right) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{5x(3+\sqrt{9+x})} {9-(9+x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{5\cancel{x}(3+\sqrt{9+x})} {-\cancel{x}} \\ & = \lim_{x \to 0} -5(3+\sqrt{9+x}) \\ & = -5(3 + \sqrt{9+0}) \\ & = -5(3 + 3) = -30 \end{aligned}
Jadi, nilai \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}} adalah \boxed{-30}.

[collapse]

Soal Nomor 9
Nilai \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}} {x-3} adalah \cdots

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x=3 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}
Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}} {x-3} \\ & = \lim_{x \to 3} \left(\dfrac{2-\sqrt{x+1}} {x-3} \times \dfrac{2+\sqrt{x+1}}{2+\sqrt{x+1}} \right) \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{4-(x+1)} {(x-3)(2+\sqrt{x+1})} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{\cancel{-x+3}} {-\cancel{(-x+3)}(2+\sqrt{x+1})} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{1}{-2 - \sqrt{x+1}} \\ & = \dfrac{1}{-2 - \sqrt{3+1}} \\ & = -\dfrac{1}{4} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}} {x-3} adalah -\dfrac{1}{4}

[collapse]
 

Soal Nomor 10
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{4-x^2}{3-\sqrt{x^2+5}}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 2 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}
Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{4-x^2} {3-\sqrt{x^2+5}} \\ & = \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{4-x^2} {3-\sqrt{x^2+5}} \times \dfrac{3+\sqrt{x^2+5}}{3+\sqrt{x^2+5}} \right) \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{(4-x^2)(3+\sqrt{x^2+5})} {9-(x^2+5)} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{\cancel{(4-x^2)} (3+\sqrt{x^2+5})} {\cancel{4-x^2}} \\ & = \lim_{x \to 2} (3+\sqrt{x^2+5}) \\ & = 3 + \sqrt{2^2+5} \\ & = 3 + 3 = 6 \end{aligned}
Jadi, nilai \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{4-x^2} {3-\sqrt{x^2+5}} adalah \boxed{6}.

[collapse]

Soal Nomor 11
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x-4} {\sqrt{x}-2}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 1 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x-4} {\sqrt{x}-2} & = \lim_{x \to 4} \left( \dfrac{x-4} {\sqrt{x}-2} \times \dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x} +2}\right) \\ & = \lim_{x \to 4} \dfrac{\cancel{(x-4)} (\sqrt{x}+2)} {\cancel{x-4}} \\ & = \lim_{x \to 4} (\sqrt{x} +2) \\ & = \sqrt{4} + 2 = 4 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x-4} {\sqrt{x}-2} = 4}

[collapse]

Soal Nomor 12
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \sqrt{2}} \dfrac{x^2-2} {x-\sqrt{2}}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 1 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \sqrt{2}} \dfrac{x^2-2} {x-\sqrt{2}} & = \lim_{x \to \sqrt{2}} \left( \dfrac{x^2-2} {x-\sqrt{2}} \times \dfrac{x+\sqrt{2}} {x+\sqrt{2}}\right) \\ & = \lim_{x \to \sqrt{2}} \dfrac{\cancel{(x^2-2)} (x+\sqrt{2})} {\cancel{x^2-2}} \\ & = \lim_{x \to \sqrt{2}} (x+\sqrt{2}) \\ & = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \sqrt{2}} \dfrac{x^2-2} {x-\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}}

[collapse]

Soal Nomor 13
Tentukan nilai limit berikut.
a. \displaystyle \lim_{x \to 9} \dfrac{9-x}{\sqrt{x} - 3}
b. \displaystyle \lim_{x \to -2} \dfrac{2-\sqrt{2-x}}{6+x-x^2}

Penyelesaian

Jawaban a)
Substitusi langsung nilai x = 9 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}. Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 9} \dfrac{9-x}{\sqrt{x} - 3} \\ & = \lim_{x \to 9} \dfrac{9-x}{\sqrt{x} - 3} \times \dfrac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} \\ & = \lim_{x \to 9} \dfrac{-\cancel{(x-9)}(\sqrt{x} + 3)}{\cancel{x - 9}} \\ & = \lim_{x \to 9} -(\sqrt{x} + 3) \\ & = -(\sqrt{9} + 3) = -6 \end{aligned}
Jawaban b)
Substitusi langsung nilai x = -2 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}. Dengan menggunakan metode perkalian akar sekawan, diperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to -2} \dfrac{2-\sqrt{2-x}}{6+x-x^2} & = \lim_{x \to -2} \dfrac{2-\sqrt{2-x}}{6+x-x^2} \times \dfrac{2 + \sqrt{2-x}}{2 + \sqrt{2-x}} \\ & = \lim_{x \to -2} \dfrac{4 - (2 -x)}{-(x - 3)(x+2)(2 + \sqrt{2-x})} \\ & = \lim_{x \to -2} \dfrac{\cancel{x+2}}{-(x+3)\cancel{(x+2)}(2+\sqrt{2-x})} \\ & = \lim_{x \to -2} \dfrac{1}{-(x+3)(2+\sqrt{2-x})} \\ & = \dfrac{1}{-(-2+3)(2+\sqrt{2-(-2)})} \\ & = \dfrac{1}{-(1)(4)} = -\dfrac{1}{4} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 14
Tentukan nilai c yang memenuhi persamaan berikut.
a. \displaystyle \lim_{x \to -1} (5x^7 - 10x^2 + cx - 2) = c - 4
b. \displaystyle \lim_{x \to -3} \dfrac{cx^2 + 5x - 3}{x+3} = -7

Penyelesaian

Jawaban a)
Substitusi langsung x = -1 untuk memperoleh
\begin{aligned} 5(-1)^7 - 10(-1)^2 - c - 2 & = c - 4 \\ -5 - 10 - c - 2 & = c - 4 \\ -17 - c & = c - 4 \\ c & = \dfrac{13}{2} \end{aligned}
Jadi, nilai c adalah \boxed{\dfrac{13}{2}}
Jawaban b)
Dengan menggunakan dalil L’Hospital, kita dapat menentukan nilai c pada persamaan tersebut, dengan syarat substitusi langsung x = -3 menghasilkan bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}. Ini berarti,
\dfrac{c(-3)^2 + 5(-3) - 3}{-3 + 3} = \dfrac{9c - 18}{0} = \dfrac{0}{0}.
Jadi, diperoleh \boxed{c = 2}.

[collapse]

Soal Nomor 15
Tentukan nilai a agar \displaystyle \lim_{x \to a} \dfrac{x^3+(3-a)x-3a}{x-a}  ada dan berhingga.

Penyelesaian

Agar limit dari suatu fungsi ada dan berhingga, substitusi titik limitnya harus menghasilkan bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}.
Pada penyebut, jelas bahwa jika x = a, maka x - a  = a - a = 0.
Tinjau pembilang fungsi tersebut.
\begin{aligned} x^3 + (3 - a)x - 3a & = 0 \\ \text{Substitusi}~x = a & \\ a^3 + (3-a)a - 3a & = 0 \\ a^3 -a^2 & = 0 \\ a^2(a- 1) & = 0 \end{aligned}
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa a = 0 atau a = 1.
Jadi, nilai a yang dimaksud adalah \boxed{0} atau \boxed{1}

[collapse]

Soal Nomor 16 (\bigstar HOTS \bigstar)
Jika \displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x^2 + a\sqrt{x} + b}{x-4} = 5, maka nilai a+b = \cdots
A. -20       B. -8         C. -4        D. 6        E. 12

Penyelesaian

Dengan menggunakan dalil L’Hospital, kita dapat menentukan persamaan yang melibatkan a dan b pada bentuk limit tersebut, dengan syarat substitusi langsung x = 4 menghasilkan bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}. Ini berarti,
\dfrac{4^2 + a\sqrt{4} + b}{4 - 4} = \dfrac{2a + b + 16}{0} = \dfrac{0}{0}.
Jadi, diperoleh persamaan 2a + b = -16.
Selanjutnya, terapkan dalil L’Hospital (turunkan terhadap variabel x)
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x^2 + a\sqrt{x} + b}{x-4} & = 5 \\ \stackrel{\text{L'H}}{\Rightarrow} \lim_{x \to 4} \dfrac{2x + \frac{1}{2\sqrt{x}}a}{1} & = 5 \\ 2(4) + \dfrac{1}{2\sqrt{4}}a & = 5 \\ 8 + \dfrac{1}{4}a & = 5 \\ a & = (5 - 8) \times 4 = -12 \end{aligned}
Substitusi a = -12 pada persamaan 2a + b = -16.
2(-12) + b = -16 \Leftrightarrow b = 8
Jadi, nilai \boxed{a + b = -12 + 8 = -4}

[collapse]

Soal Nomor 17 (\bigstar HOTS \bigstar)
Diketahui \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1} = -2 dan \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{f(x)}{x-3} = 10. Jika f(x) adalah fungsi berderajat 3 yang memenuhi kedua limit tersebut, tentukanlah rumus fungsi f(x).

Penyelesaian

Misalkan f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, a \neq 0.
Gunakan dalil L’Hospital pada \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1} = -2 dengan syarat f(1) = 0, yaitu
\begin{aligned} & a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d \\ & = a + b + c + d = 0 \end{aligned}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1} & = -2 \\ \lim_{x \to 1} f'(x) & = -2 \\ \lim_{x \to 1} (3ax^2 + 2bx + c) & = -2 \\ 3a(1)^2 + 2b(1) + c & = -2 \\ 3a + 2b + c & = -2 \end{aligned}
Selanjutnya, gunakan dalil L’Hospital pada \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{f(x)}{x-3} = 10 dengan syarat f(3) = 0, yaitu
\begin{aligned} & a(3)^3 + b(3)^2 + c(3) + d \\ & = 27a + 9b + 3c + d = 0 \end{aligned}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{f(x)}{x-3} & = 10 \\ \stackrel{\text{L'H}}{\Rightarrow} \lim_{x \to 3} f'(x) & = 10 \\ \lim_{x \to 3} (3ax^2 + 2bx + c) & = 10 \\ 3a(3)^2 + 2b(3) + c & = 10 \\ 27a + 6b + c & = 10 \end{aligned}
Dengan demikian, diperoleh SPLEV berikut.
\begin{cases} a+b+c+d=0 \\ 3a+2b+c=-2 \\ 27a+9b+3c+d=0 \\ 27a+6b+c=10 \end{cases}
Selesaikan sistem di atas sehingga didapat a = 2, b = -9, c = 10, dan d = -3
Jadi, rumus fungsi f adalah \boxed{f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 10x - 3}

[collapse]

Soal Nomor 18
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(\sqrt{5-x} -2)(\sqrt{2-x} +1)} {1-x}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 1 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}.
Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(\sqrt{5-x} -2)(\sqrt{2-x} +1)} {1-x} \\ & = \lim_{x \to 1} \left( \dfrac{(\sqrt{5-x} -2)(\sqrt{2-x} +1)} {1-x} \times \dfrac{\sqrt{5-x} +2}{\sqrt{5-x} +2}\right) \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{(5-x-4)(\sqrt{2-x} +1)} {(1-x)(\sqrt{5-x} +2)} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{\cancel{(1-x)} (\sqrt{2-x} +1)} {\cancel{(1-x)} (\sqrt{5-x} +2)} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{2-x} +1} {\sqrt{5-x} +2} \\ & = \dfrac{\sqrt{2-1} + 1}{\sqrt{5-1} +2} \\ & = \dfrac{1+1}{2+2} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(\sqrt{5-x} -2)(\sqrt{2-x} +1)} {1-x} = \dfrac{1}{2}}

[collapse]

Soal Nomor 19
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x^2+6x+5}{x^2-3x-4}

Penyelesaian

Substitusikan x = 4 menghasilkan
\dfrac{4^2+6(4)+5}{4^2-3(4)-4} = \dfrac{45}{0}
Karena tidak menghasilkan bentuk tak tentu, maka hanya ada 2 kemungkinan, yaitu limitnya tidak ada atau limitnya tak hingga
Gunakan pendekatan tabel:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 2 & 3 & 5 & 6\\ \hline f(x) & -\dfrac{7}{2} & -8 & 10 & \dfrac{11}{2} \\ \hline \end{array}
Tampak dari tabel bahwa nilai dari limit kiri semakin mengecil, sedangkan nilai dari limit kanan semakin membesar. 
Ini berarti, dapat dipastikan bahwa limit kiri dan limit kanannya berbeda, sehingga menurut definisi limit, nilainya tidak ada. 
Dengan menggunakan pendekatan geometris, tampak bahwa 
\lim_{x \to 4^{-}} \dfrac{x^2+6x+5}{x^2-3x-4} = -\infty dan \lim_{x \to 4^{+}} \dfrac{x^2+6x+5}{x^2-3x-4} = \infty

[collapse]

Soal Nomor 20 (\bigstar HOTS \bigstar)
Jika \displaystyle \lim_{x \to b} \dfrac{4 - \sqrt{a(x+b)}} {b-x} = b dengan a < 0, b < 0, maka nilai a-b=\cdots
A. -9     B. -7      C. -5      D. 7      E. 9

Penyelesaian

Bentuk limit di atas dapat ditentukan dengan menggunakan Dalil L’Hospital, namun syaratnya ketika x = b disubstitusikan menghasilkan bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}
Pada penyebut, jelas substitusi menghasilkan 0
Pada pembilang
\begin{aligned} 4 - \sqrt{a(x+b)} & = 0 \\ 4 - \sqrt{a(b+b)} & = 0 \\ -\sqrt{2ab} & = -4 \\ ab & = 8 && (\bigstar) \end{aligned}
Terapkan Dalil L’Hospital dengan cara menurunkan masing-masing pembilang dan penyebut terhadap variabel x
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to b} \dfrac{4 - \sqrt{a(x+b)}} {b-x} & = b \\ \stackrel{\text{L'H}}{\Rightarrow} \lim_{x \to b} \dfrac{-\frac{1}{2}a(a(x+b))^{-\frac{1}{2}}} {-1} & = b \\ \text{Substitusi x = b} & \\ \dfrac{a} {2\sqrt{a(b+b)}} & = b \\ a & = 2b\sqrt{2ab} \\ a^2 & = 4b^2 \cdot 2ab \\ a^2 & = 8ab^3 \\ a(a - 8b^3) & = 0 \end{aligned}
Diperoleh a = 0 (tidak memenuhi karena diberikan bahwa a < 0) atau a = 8b^3
Substitusi a = 8b^3 pada \bigstar
\begin{aligned} ab & = 8 \\ (8b^3)b & = 8 \\ b^4 & = 1 \end{aligned}
Diperoleh b = 1 (tidak memenuhi karena diberikan bahwa b < 0) atau b = -1 (memenuhi). 
Untuk b = -1, diperoleh a = 8b^3 = 8(-1)^3 = -8
Jadi, \boxed{a-b=-8-(-1)=-7} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 21
Jika \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)} {x^2} = 1, maka nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = \cdots
A. tak ada            D. \frac{1}{2}
B. 0                      E. 2
C. 1

Penyelesaian

Perhatikan bentuk \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)} {x^2} = 1. Karena memiliki nilai limit berhingga, maka substitusi langsung x = 0 harus menghasilkan bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}. Ini mengimplikasikan
\dfrac{\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)} {\displaystyle \lim_{x \to 0} x^2} = 1
sehingga mengharuskan
\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = 0}

[collapse]

Soal Nomor 22
Apakah fungsi f berikut kontinu di x = 1
f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1}, x \neq 1 \\ 2, x = 1 \end{cases}

Penyelesaian

Perhatikan bahwa f(x) berbentuk fungsi parsial (piecewise function) yang rumus fungsinya tergantung dari nilai x
Diketahui: f(1) = 2
Agar kontinu, \displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1} juga harus bernilai 2.
Limit tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode pemfaktoran
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1} & = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x+1)\cancel{(x-1)} } {\cancel{x-1}} \\ & = \lim_{x \to 1} (x+1) \\ & = 1+1 = 2 \end{aligned}
Karena f(1) = \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1}, maka fungsi tersebut kontinu di x = 1

[collapse]

Soal Nomor 23
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 4^+} \dfrac{x} {x-4}

Penyelesaian

Substitusi langsung x = 4 menghasilkan bentuk tak terdefinisi \dfrac{4}{0}, sehingga limitnya tidak bernilai real. 
Karena nilai limitnya ditinjau hanya dari limit kanan (notasi + menyatakan limit kanan), maka kita dapat menggunakan pendekatan tabel untuk menganalisis nilai limitnya. 
\begin{array} {|c|c|c|c|} \hline x & 7 & 6 & 5 \\ \hline f(x) & \dfrac{7}{3} & 3 & 5 \\ \hline \end{array}
Tampak bahwa ketika x semakin mengecil mendekati 4, nilai fungsinya semakin membesar menuju tak hingga
Selain menggunakan pendekatan tabel, nilai limitnya juga dapat ditentukan dengan menggunakan pendekatan geometris, yaitu dengan cara menggambar grafiknya seperti berikut.

Dengan demikian, dapat dipastikan bahwa \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 4^+} \dfrac{x} {x-4} = \infty}

[collapse]

Soal Nomor 24
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x \cdot \tan 5x} {1 - \cos 5x}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 0 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}, sehingga perlu dilakukan manipulasi bentuk dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut.
\boxed{\begin{aligned} & \cos ax = 1 - 2 \sin^2 \dfrac{a}{2}x \\ & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{\sin bx} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan ax}{\sin bx} = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x \cdot \tan 5x} {1 - \cos 5x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x \cdot \tan 5x} {1 - (1 - 2 \sin^2 \dfrac{5}{2}x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x \cdot \tan 5x}{2 \cdot \sin \dfrac{5}{2}x \cdot \sin \dfrac{5}{2}x} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sin 3x} {\sin \dfrac{5}{2}x} \cdot \dfrac{\tan 5x} {\sin \dfrac{5}{2}x}\right) \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{10}{5} = \dfrac{6}{5} \end{aligned}

Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x \cdot \tan 5x} {1 - \cos 5x} = \dfrac{6}{5}}

[collapse]

Soal Nomor 25
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 2x} {x \tan 2x}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 0 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}
Ingat bahwa
\boxed{\begin{aligned} \cos 2x & = 1 - 2 \sin^2 x \\ \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax} {bx} & = \dfrac{a} {b} \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{ax}{\tan bx} & = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}
Untuk itu, diperoleh
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 2x} {x \tan 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{1-(1-2 \sin^2 x)} {x \tan 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin^2 x} {x \tan 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(2 \cdot \dfrac{\sin x} {x} \cdot \dfrac{\sin x}{\tan 2x}  = 2 \times 1 \times \dfrac{1}{2} = 1 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 2x} {x \tan 2x} = 1}

[collapse]

Soal Nomor 26
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{x \tan (2x-6)} {\sin (x-3)}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 3 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}
Ingat bahwa
\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan ax}{\sin bx} = \dfrac{a} {b}}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} & \lim_{x \to 3} \dfrac{x \tan (2x-6)} {\sin (x-3)} \\ & = \lim_{x \to 3} \left(x \cdot \dfrac{\tan 2(x-3)} {\sin (x-3)}\right) \\ & = 3 \cdot 2 = 6 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{x \tan (2x-6)} {\sin (x-3)} = 6}

[collapse]

Soal Nomor 27
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x} - \dfrac{2}{x^2}\right)

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 0 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}, sehingga perlu dilakukan manipulasi bentuk dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut.
\boxed{\begin{aligned} & \displaystyle \tan ax = \dfrac{\sin ax}{\cos ax} \\ & \sin 2ax = 2 \sin ax \cos ax \\ & \sin^2 ax + \cos^2 ax = 1 \\ & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{bx} = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x} - \dfrac{2}{x^2}\right) \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x} - \dfrac{2 \tan 2x}{x^2 \tan 2x}\right) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x - 2 \tan 2x}{x^2 \tan 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x - 2 \cdot \dfrac{\sin 2x} {\cos 2x}}{x^2 \tan 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin (2\cdot 2x) \cos 2x - 2 \sin 2x}{x^2 \tan 2x \cos 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{(2 \sin 2x \cos 2x) \cos 2x}{x^2 \tan 2x \cos 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin 2x(\cos^2 2x - 1)}{x^2 \tan 2x \cos 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin 2x (-\sin^2 2x)}{x^2 \cdot \dfrac{\sin 2x}{\cancel{\cos 2x}} \cancel{\cos 2x} } \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{-2 \sin 2x} {x} \cdot \dfrac{-\sin 2x} {x} \cdot \dfrac{-\sin 2x} {x}\right) \\ & = -2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = -16 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x} - \dfrac{2}{x^2}\right)=-16}

[collapse]

Soal Nomor 28
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {\sin x + \sin 3x}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 0 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}.
Gunakan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut.
\boxed{\begin{aligned} & \sin ax + \sin bx = 2 \sin \left(\dfrac{a+b}{2}x\right) \cos \left(\dfrac{a-b}{2}x\right) \\ & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{ax} {\sin bx} = \dfrac{a} {b} \end{aligned}}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {\sin x + \sin 3x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {2 \sin \left(\dfrac{1+3}{2}x\right) \cos \left(\dfrac{1-3}{2}x}\right) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cdot \cancel{\cos x} } {2 \cdot \sin 2x \cdot \cancel{\cos x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{4}{2} \cdot \dfrac{x} {\sin 2x} \right) \\ & = 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 1 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {\sin x + \sin 3x} = 1}

[collapse]

Soal Nomor 29
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1- \cos 4x} {x \sin x}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 0 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}.
Gunakan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut.

\boxed{\begin{aligned} & \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x \\ & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{bx} = \dfrac{a}{b} \\ & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{\sin bx} = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}
Dengan demikian, dapat ditulis
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos 4x}{x \sin x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos (2 \cdot 2x)}{x \sin x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - (1 - 2 \sin^2 2x)}{x \sin x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin^2 x}{x \sin x} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(2 \cdot \dfrac{\sin x}{x} \cdot \dfrac{\sin x}{\sin x}\right) \\ & = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos 4x}{x \sin x}= 2}

[collapse]

Soal Nomor 30
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x} {\tan x - \sin 2x}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 0 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}.
Gunakan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut.

\boxed{\begin{aligned} & \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \\ & \sin 2x = 2 \sin x \cos x \\ & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x} = 1 \\ & \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan ax}{bx} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{bx} = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}
Alternatif I:

Dengan demikian, dapat ditulis
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x}{\tan x - \sin 2x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x}{\dfrac{\sin x}{\cos x} - 2 \sin x \cos x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x \cos x}{\sin x - 2 \sin x \cos^2 x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x \cos x}{\sin x (1 - 2 \cos^2 x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{x}{\sin x} \cdot \dfrac{\cos 2x \cos x}{1 - 2 \cos^2 x}\right) \\ & = 1 \cdot \dfrac{\cos 0 \cdot \cos 0}{1 - 2 \cos^2 0} \\ & = 1 \cdot \dfrac{1 \cdot 1}{1 - 2 \cdot 1} = -1 \end{aligned}
Alternatif II:

\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x} {\tan x - \sin 2x} & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{x \cos 2x} {\tan x - \sin 2x} \cdot \dfrac{\frac{1}{x}} {\frac{1}{x}}\right) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos 2x} {\frac{\tan x} {x} - \frac{\sin 2x} {x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos 0}{1-2} = \dfrac{1}{-1} = -1 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x}{\tan x - \sin 2x} = -1}

[collapse]

Soal Nomor 31
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(x^2-1) \tan (2x-2)} {\sin^2 (x-1)}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 1 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}.
Gunakan sifat limit trigonometri berikut.

\boxed{\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x} =1 \\ & \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan ax}{\sin bx} = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}
Dengan demikian, dapat ditulis
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(x^2-1) \tan (2x-2)}{\sin^2 (x-1)} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x+1)(x-1) \tan 2(x-1)}{\sin (x-1) \cdot \sin (x-1)} \\ & = \lim_{x \to 1} \left((x + 1) \cdot \dfrac{x-1}{\sin (x-1)} \cdot \dfrac{\tan 2(x-1)}{\sin (x-1)}\right) \\ & = (1 + 1) \cdot 1 \cdot 2 = 4 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(x^2-1) \tan(2x-2)}{\sin^2 (x-1)} = 4}

[collapse]

Soal Nomor 32
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} \dfrac{\cos 2x} {\sin x - \cos x}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = \dfrac{\pi}{4} mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}
Gunakan identitas trigonometri berikut.

\boxed{\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x}
Dengan mengalikan limit fungsi tersebut dengan bentuk sekawan penyebutnya, diperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} \dfrac{\cos 2x} {\sin x - \cos x} & = \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} \left(\dfrac{\cos 2x} {\sin x - \cos x} \times \dfrac{\sin x + \cos x} {\sin x + \cos x} \right) \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} \dfrac{\cos 2x (\sin x + \cos x)} {\sin^2 x - \cos^2 x} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} \dfrac{\cancel{\cos 2x} (\sin x + \cos x)} {-\cancel{\cos 2x}} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} -(\sin x+ \cos x) \\ & = -\left(\sin \dfrac{\pi} {4} + \cos \dfrac{\pi} {4}\right) \\ & = -\left(\dfrac{1}{2}\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right) = -\sqrt{2} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} \dfrac{\cos 2x} {\sin x - \cos x} = -\sqrt{2}}

[collapse]

Soal Nomor 33
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {8}} \dfrac{\sin^2 2x - \cos^2 2x} {\sin 2x - \cos 2x}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = \dfrac{\pi}{8} mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}.
Dengan mengalikan limit fungsi tersebut dengan bentuk sekawan penyebutnya, diperoleh,
\begin{aligned} \displaystyle & \lim_{x \to \frac{\pi} {8}} \dfrac{\sin^2 2x - \cos^2 2x} {\sin 2x - \cos 2x} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {8}} \left(\dfrac{\sin^2 2x - \cos^2 2x} {\sin 2x - \cos 2x} \times \dfrac{\sin 2x + \cos 2x}{\sin 2x + \cos 2x}\right) \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {8}} \dfrac{\cancel{(\sin^2 2x - \cos^2 2x)}(\sin 2x + \cos 2x)}{\cancel{\sin^2 2x - \cos^2 2x}} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {8}} (\sin 2x + \cos 2x) \\ & = \sin \dfrac{2\pi}{8} + \cos \dfrac{2\pi}{8} \\ & = \dfrac{1}{2}\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2} = \sqrt{2} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle & \lim_{x \to \frac{\pi} {8}} \dfrac{\sin^2 2x - \cos^2 2x} {\sin 2x - \cos 2x} = \sqrt{2}}

[collapse]

Soal Nomor 34
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2) \cos (\pi x - 2\pi)} {\tan (2\pi x - 4\pi)}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 2 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}.
Gunakan sifat limit trigonometri berikut.
\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{ax}{\tan bx} = \dfrac{a}{b}}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2) \cos (\pi x - 2\pi)} {\tan (2\pi x - 4\pi)} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2) \cos \pi(x - 2)}{\tan 2\pi(x-2)} \\ & = \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{x-2}{\tan 2\pi(x-2)} \cdot \cos \pi(x-2)\right) \\ & = \dfrac{1}{2\pi} \cdot 1 = \dfrac{1}{2\pi} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2) \cos (\pi x - 2\pi)} {\tan (2\pi x - 4\pi)} = \dfrac{1}{2\pi}}

[collapse]

Soal Nomor 35
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x} - \dfrac{2}{x^2}\right)

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 0 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}.
Gunakan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut.

\boxed{\begin{aligned} & \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \\ & \tan ax = \dfrac{\sin ax}{\cos ax} \\ & \sin 2ax = 2 \sin ax \cos ax \\ & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{ax} {\sin bx} = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x} - \dfrac{2}{x^2}\right) & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x} - \dfrac{2 \tan 2x}{x^2 \tan 2x}\right) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x - 2 \tan 2x}{x^2 \tan 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x - 2 \cdot \dfrac{\sin 2x} {\cos 2x}}{x^2 \tan 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin (2\cdot 2x) \cos 2x - 2 \sin 2x}{x^2 \tan 2x \cos 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{(2 \sin 2x \cos 2x) \cos 2x - 2 \sin 2x}{x^2 \cdot \dfrac{\sin 2x} {\cos 2x} \cdot \cos 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin 2x \cos^2 2x - 2 \sin 2x} {x^2 \sin 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin 2x (\cos^2 2x - 1)}{x^2 \sin 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin 2x(-\sin^2 2x)} {x^2 \sin 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(-2 \cdot \dfrac{\cancel{\sin 2x} }{\cancel{\sin 2x}} \cdot \dfrac{x} {\sin 2x} \cdot \dfrac{x} {\sin 2x} \right) \\ & = -2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{2} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x} - \dfrac{2}{x^2}\right) = -\dfrac{1}{2}}

[collapse]

Soal Nomor 36
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {\sin x + \sin 3x}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 0 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}.
Gunakan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut.
\boxed{\begin{aligned} & \sin ax + \sin bx = 2 \sin \left(\dfrac{a+b}{2}x\right) \cos \left(\dfrac{a-b}{2}x\right) \\ & \cos (-x) = \cos x \\ & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{ax} {\sin bx} = \dfrac{a} {b} \end{aligned}}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {\sin x + \sin 3x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cdot \cos x} {2 \sin \left(\dfrac{1+3}{2}x\right) \cos \left(\dfrac{1-3}{2}x\right)}\ \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cdot \cancel{\cos x} } {2 \sin 2x \cancel{\cos x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{4}{2} \cdot \dfrac{x} {\sin 2x} \right) \\ & = 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 1 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {\sin x + \sin 3x} = 1}

[collapse]

Soal Nomor 37
Hitunglah \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{3x + \sin 4x}{5x - \tan 2x}.

Penyelesaian

Bagilah pembilang dan penyebut dengan x sehingga rumus limit fungsi trigonometri dapat diterapkan.
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{3x + \sin 4x}{5x - \tan 2x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{3 + \dfrac{\sin 4x}{x}}{5 - \dfrac{2 \tan 2x}{2x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{3 + \dfrac{4 \sin 4x}{4x}}{5 - \dfrac{\tan 2x}{x}} \\ & = \dfrac{3 + 4 \cdot \displaystyle \lim_{4x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{4x}}{5 - 2 \cdot \displaystyle \lim_{2x \to 0} \dfrac{\tan 2x}{2x}} \\ & = \dfrac{3+4}{5-2} = \dfrac{7}{3} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{3x + \sin 4x}{5x - \tan 2x} = \dfrac{7}{3}}

[collapse]

Soal Nomor 38
Hitunglah \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos x}{x - \dfrac{\pi}{2}}.

Penyelesaian

Gunakan rumus trigonometri berikut.
\boxed{\cos x = \sin \left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos x}{x - \dfrac{\pi}{2}} & = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin \left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)}{x - \dfrac{\pi}{2}} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin \left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)}{-\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)} \\ & = - \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin \left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)}{\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)} = -1 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos x}{x - \dfrac{\pi}{2}} = -1}

[collapse]

Soal Nomor 39
Tentukan nilai dari
\displaystyle \lim_{a \to 0} \dfrac{1}{a} \left(\dfrac{\sin^3 2a} {\cos 2a} + \sin 2a \cos 2a\right) adalah \cdots

Penyelesaian

Ingat bahwa \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{bx} = \dfrac{a} {b}}
Dengan demikian, 
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{a \to 0} \dfrac{1}{a} \left(\dfrac{\sin^3 2a} {\cos 2a} + \sin 2a \cos 2a\right) \\ & = \lim_{a \to 0} \dfrac{\sin 2a} {a} \left(\dfrac{\sin^2 2a} {\cos 2a} + \cos 2a\right) \\ & = \lim_{a \to 0} \dfrac{\sin 2a} {a} \cdot \lim_{a \to 0} \left(\dfrac{\sin^2 2a} {\cos 2a} + \cos 2a\right) \\ & = 2(0+1) = 2 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{a \to 0} \dfrac{1}{a} \left(\dfrac{\sin^3 2a} {\cos 2a} + \sin 2a \cos 2a\right) = 2}

[collapse]

Soal Nomor 40
Tentukan nilai dari
\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos 4x \sin 3x} {5x}

Penyelesaian

Dalam trigonometri, terdapat formula berikut (yang selanjutnya akan digunakan untuk mencari limit fungsinya). 
\boxed{\cos A \cdot \sin B = \dfrac{1}{2} \sin (A + B) - \dfrac{1}{2} \sin (A - B)}
Juga ingat teorema limit trigonometri berikut. 
\boxed{\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax} {bx} = \dfrac{a} {b}}
Dengan demikian,
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos 4x \sin 3x} {5x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\frac{1}{2} \sin (4x+3x) - \frac{1}{2} \sin (4x-3x)} {5x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\frac{1}{2} \sin 7x - \frac{1}{2} \sin x}{5x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 7x - \sin x} {10x} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 7x} {10x} - \dfrac{\sin x} {10x} \right) \\ & = \dfrac{7}{10} - \dfrac{1}{10} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 41
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2 \tan 2x} {x - x \cos 4x}

Penyelesaian

Gunakan identitas trigonometri dan teorema limit trigonometri berikut.
\boxed{\begin{aligned} \cos ax & = 1 - 2 \sin^2 \dfrac{a}{2}x \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{ax}{\sin bx} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan ax}{\sin bx} = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2 \tan 2x} {x - x \cos 4x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cancel{x} \cdot x \tan 2x} {\cancel{x} (1 - \cos 4x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x \tan 2x} {1- (1-2 \sin^2 2x)} \\ & \lim_{x \to 0} \dfrac{x \tan 2x}{2 \sin^2 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{x} {\sin 2x} \cdot \dfrac{\tan 2x} {\sin 2x} \right) \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1 = \dfrac{1}{4} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2 \tan 2x} {x - x \cos 4x} adalah \dfrac{1}{4}

[collapse]
 

Soal Nomor 42
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \dfrac{\pi} {2}} \dfrac{4(x - \pi) \cos^2 x} {\pi(\pi - 2x) \tan (x - \frac{\pi} {2})}

Penyelesaian

Gunakan identitas trigonometri dan teorema limit trigonometri berikut. 
\boxed{\begin{aligned} & \cos \theta = \sin \left(\dfrac{\pi} {2} - \theta\right) \\ & \cos^2 \theta = \sin^2 \left(\theta - \dfrac{\pi} {2}\right) \\ & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax} {bx} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax} {\tan bx} = \dfrac{a} {b} \end{aligned}}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {2}} \dfrac{4(x - \pi) \cos^2 x} {\pi(\pi - 2x) \tan (x - \frac{\pi} {2})} \\ &= \lim_{x \to \frac{\pi} {2}} \dfrac{4(x - \pi) \sin^2 \left(x - \frac{\pi} {2}\right)} {-2\pi\left(x - \frac{\pi} {2}\right) \tan (x - \frac{\pi} {2}} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {2}} \left(\dfrac{4(x - \pi)} {-2\pi} \cdot \dfrac{\sin \left(x - \frac{\pi} {2}\right)} {\left(x - \frac{\pi} {2}\right)} \cdot \dfrac{\sin \left(x - \frac{\pi} {2}\right)} {\tan \left(x - \frac{\pi} {2}\right)} \right) \\ & = \dfrac{4\left(\frac{\pi} {2} - \pi\right)} {-2\pi} \cdot 1 \cdot 1 = \dfrac{-2\pi} {-2\pi} = 1 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \dfrac{\pi} {2}} \dfrac{4(x - \pi) \cos^2 x} {\pi(\pi - 2x) \tan (x - \frac{\pi} {2})} adalah \boxed{1}

[collapse]

Soal Nomor 43
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 45^{\circ}} \dfrac{\cos 2x} {1-\tan x}

Penyelesaian

Gunakan perbandingan dan identitas trigonometri berikut. 
\boxed{\begin{aligned} \tan x & = \dfrac{\sin x} {\cos x} \\ \cos 2x & = \cos^2 x - \sin^2 x \end{aligned}}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 45^{\circ}} \dfrac{\cos 2x} {1-\tan x} \\ & = \lim_{x \to 45^{\circ}} \dfrac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\dfrac{\cos x - \sin x} {\cos x}} \\ & = \lim_{x \to 45^{\circ}} \dfrac{(\cos^2 x - \sin^2 x) \cos x} {\cos x - \sin x} \\ & = \lim_{x \to 45^{\circ}} \dfrac{(\cos x + \sin x) \cancel{(\cos x - \sin x)} \cos x} {\cancel{\cos x - \sin x}} \\ & = \lim_{x \to 45^{\circ}} (\cos x + \sin x) \cos x \\ & = (\cos 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) \cos 45^{\circ} \\ & = \left(\dfrac{1}{2}\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right) \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} = 1 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 45^{\circ}} \dfrac{\cos 2x} {1-\tan x} adalah \boxed{1}

[collapse]

Soal Nomor 44
Nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\tan (1-x)}{x^3 - 1} = \cdots
A. \frac{1}{3}    B. -\frac{1}{3}    C. 1    D. -1    E. \frac{1}{2}

Penyelesaian

Perhatikan bahwa x^3 - 1 dapat difaktorkan menjadi (x - 1)(x^2 + x + 1) sehingga dengan menggunakan metode pemfaktoran dalam limit, didapat
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\tan (1-x)}{x^3 - 1} & = \lim_{x \to 1} \dfrac{\tan (1-x)}{(x-1)(x^2+x+1)} \\ & = \lim_{x \to 1} -\dfrac{\tan (x-1)}{x-1} \cdot \dfrac{1}{x^2 + x + 1} \\ & = -\dfrac{1}{1^2 + 1 + 1} = -\dfrac{1}{3} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\tan (1-x)}{x^3 - 1} = -\dfrac{1}{3}}
Catatan: Ingat bahwa \boxed{\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} = 1}

[collapse]

Soal Nomor 45
Jika f(x) = \sin^2 3x, maka \displaystyle \lim_{p \to 0} \dfrac{f(x+2p)-f(x)}{2p} = \cdots
A. 2 \cos 3x         D. 6 \sin 3x \cos 3x
B. 2 \sin 3x          E. 6 \cos^2 x
C. 6 \sin^2 x

Penyelesaian

Dengan menggunakan Dalil L’Hospital, akan ditentukan nilai limitnya sebagai berikut. Ingat bahwa turunannya terhadap variabel p, sehingga x dianggap sebagai konstanta.
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{p \to 0} \dfrac{f(x+2p)-f(x)}{2p} \\ & = \lim_{p \to 0} \dfrac{\sin^2 3(x+2p) - \sin^2 3x}{2p} \\ & = \lim_{p \to 0} \dfrac{6 \sin^2 3(x+2p) \cos 3(x+2p) - 0}{2} \\ & = 6 \sin^2 3(x + 0) \cos 3(x + 0) \\ & = 3 \sin 3x \cos 3x \end{aligned}
Jadi, nilai dari limitnya adalah \boxed{3 \sin 3x \cos 3x}

[collapse]

Soal Nomor 46 (\bigstar HOTS \bigstar)
Hitunglah \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin \left(x \sin \frac{1}{x} \right)} {x \sin \frac{1}{x}}

Penyelesaian

Alternatif I:
Dengan menggunakan teorema limit trigonometri
\boxed{\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x} {x} = 1}
dan perhatikan bahwa x \sin \dfrac{1}{x} akan bernilai 0 apabila x \to 0, maka
\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin \left(x \sin \frac{1}{x} \right)} {x \sin \frac{1}{x}} = \lim_{a \to 0} \dfrac{\sin a} {a} = 0
Alternatif II:
Perhatikan bahwa
\begin{aligned} & -1 \leq \sin \dfrac{1}{x} \leq 1 \\ & -x \leq x \sin \dfrac{1}{x} \leq x \\ & 0 \leq \lim_{x \to 0} x \sin \dfrac{1}{x} \leq 0 \end{aligned}
Dengan menggunakan Teorema Apit, dapat disimpulkan bahwa
\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin \left(x \sin \frac{1}{x} \right)} {x \sin \frac{1}{x}} = 0

[collapse]

Soal Nomor 47 (\bigstar HOTS \bigstar)
Tentukan nilai a agar fungsi
f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin (ax)} {x}, & x < 0 \\ x + 1, & x \geq 0 \end{cases}
mempunyai limit di x = 0.

Penyelesaian

Agar f memiliki limit di x = 0, haruslah berlaku
\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x)
Ekspresi pada ruas kiri persamaan di atas memberikan
\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin (ax)} {x} = a
Ekspresi pada ruas kanan persamaan di atas memberikan
\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} (x + 1) = 1
Dapat disimpulkan bahwa agar f memiliki limit di x = 0, nilai a haruslah \boxed{1}.

[collapse]

Soal Nomor 48 (\bigstar HOTS \bigstar)
Tentukan nilai k agar fungsi
f(x) = \begin{cases} \dfrac{\tan (kx)} {x}, & x < 0 \\ 3x + 2k^2, & x \geq 0 \end{cases}
kontinu di x = 0.

Penyelesaian

Agar f kontinu di x = 0, haruslah berlaku
\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)
Untuk itu, dapat ditulis
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) & = \lim_{x \to 0^+} f(x) \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan (kx)} {x} & = \lim_{x \to 0} (3x+2k^2) \\ k & = 3(0) + 2k^2 \\ k & = 2k^2 \\ k(2k-1) & = 0 \end{aligned}
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa nilai k = 0 atau k = \dfrac{1}{2}
Jadi, agar f kontinu di x=0, haruslah \boxed{k \in \left\{0,\dfrac{1}{2}\right\}} 

[collapse]

Soal Nomor 49 (\bigstar HOTS \bigstar)
Tentukan nilai a dan b sehingga
\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{a + \cos (bx)} {x^2} = -2

Penyelesaian

Perhatikan bahwa \displaystyle \lim_{x \to 0} (a + \cos (bx)) haruslah bernilai 0 sebab jika hal ini tidak terjadi (katakanlah \displaystyle \lim_{x \to 0} (a + \cos (bx)) = c \neq 0), maka akan berakibat
\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{a + \cos (bx)} {x^2} = \dfrac{c} {\displaystyle \lim_{x \to 0} x^2} = \infty
Jadi, kita dapat menuliskan
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} (a + \cos (bx)) & = 0 \\ a + \cos (0b) & = 0 \\ a + 1 & = 0 \\ a & = -1 \end{aligned}
Karena sekarang bentuk limitnya menjadi \dfrac{0}{0} saat substitusi x = 0, maka berlaku Dalil L’Hospital, sehingga diperoleh
\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{-b \sin (bx) } {2x} = -2
Terapkan dalil tersebut sekali lagi untuk memperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{-b^2 \cos (bx) } {2} & = -2 \\ \dfrac{-b^2 \cos (0b)} {2} & = -2 \\ -b^2 & = -4 \\ b & = \pm 2 \end{aligned}
Jadi, nilai \boxed{a =1} dan \boxed{b=\pm 2}

[collapse]

Soal Nomor 50 (\bigstar HOTS \bigstar)
Tentukan apakah fungsi berikut kontinu di x = 1
f(x) = \begin{cases} (x-1)^2 \sin \left(\dfrac{1}{x-1}\right), & x \neq 1 \\ 1, & x = 1 \end{cases}

Penyelesaian

Fungsi tersebut akan kontinu di x = 1 apabila \displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 1
Sekarang, perhatikan bahwa untuk setiap x \neq 1, berlaku
\begin{aligned} & -1 \leq \sin \left(\dfrac{1}{x-1}\right) \leq 1 \\ & -(x-1)^2 \leq (x-1)^2 \sin \left(\dfrac{1}{x-1}\right) \leq (x-1)^2 \\ & -(x-1)^2 \leq f(x) \leq (x-1)^2 \end{aligned}
Perhatikan bahwa 
\displaystyle \lim_{x \to 1} -(x-1)^2 = \lim_{x \to 1} -(x-1)^2 = 0
sehingga menurut Teorema Apit dalam konsep limit berlaku \displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 0. Ternyata kita peroleh bahwa \lim_{x \to 1} f(x) \neq f(1). Dengan demikian, f tidak kontinu di x = 1.

[collapse]

Soal Tambahan

Soal Nomor 51 
Nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^3-x^2}{\sqrt{2+2x} - \sqrt{6-2x}} = \cdots
A. -2       B. -1        C. 0         D. 1        E. 2

Penyelesaian

Substitusi langsung x = 1 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}.
Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^3-x^2}{\sqrt{2+2x} - \sqrt{6-2x}} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2(x-1)}{\sqrt{2+2x} - \sqrt{6-2x}} \times \dfrac{\sqrt{2+2x} + \sqrt{6-2x}}{\sqrt{2+2x} + \sqrt{6-2x}} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2(x-1)(\sqrt{2+2x} + \sqrt{6-2x})}{(2+2x) - (6-2x)} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2(x-1)(\sqrt{2+2x} + \sqrt{6-2x})}{-4 + 4x} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2\cancel{(x-1)}(\sqrt{2+2x} + \sqrt{6-2x})}{4\cancel{(x - 1)}} \\ & = \dfrac{(1)^2(\sqrt{2+2(1)} + \sqrt{6-2(1)})}{4} \\ & = \dfrac{2 + 2}{4} = 1 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^3-x^2}{\sqrt{2+2x} - \sqrt{6-2x}} = 1} (Jawaban D)

[collapse]

 

Ayo Beri Rating Postingan Ini