Soal dan Pembahasan – Ujian Tengah Semester (UTS) Persamaan Diferensial Biasa (Versi 1)

Berikut ini merupakan soal & pembahasan UTS Persamaan Diferensial Biasa (PDB) Tahun Ajaran 2018/2019 yang diujikan oleh Drs. Dian Ahmad B.S, M.Si kepada mahasiswa program studi pendidikan matematika FKIP Untan semester 4 pada tanggal 2 April 2019.

Soal Nomor 1
Diberikan persamaan diferensial \dfrac{\text{d}y} {\text{d}x} + P(x)y = 0
Tunjukkan bahwa jika f dan g merupakan penyelesaian dari PD tersebut, maka c_1f +c_2g juga merupakan penyelesaian PD itu.

Penyelesaian

Karena f dan g merupakan solusi dari persamaan diferensial \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + p(x)y = 0, maka berlaku
\begin{aligned} \dfrac{\text{d}f}{\text{d}x} + p(x)f & = 0 && (\cdots 1) \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + p(x)y & = 0 && (\cdots 2) \end{aligned}
Dengan menggunakan kedua persamaan di atas, akan dibuktikan bahwa c_1f + c_2g juga merupakan solusi dari persamaan diferensial tersebut. Perhatikan bahwa
\begin{aligned} & \dfrac{\text{d}(c_1f + c_2g)}{\text{d}x} + p(x)(c_1f+c_2g) \\ & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (c_1f) + \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (c_2g) + p(x)c_1f + p(x)c_2g \\ & = c_1\left(\dfrac{\text{d}f}{\text{d}x} + p(x)f\right) + c_2\left(\dfrac{\text{d}g}{\text{d}x} + p(x)g\right) \\ & = c_1(0) + c_2(0) = 0 \end{aligned}
Jadi, pernyataan tersebut telah terbukti. \blacksquare

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui persamaan diferensial (4x+3y^2)~\text{d}x + 2xy~\text{d}y = 0 
Tunjukkan bahwa PD tersebut tidak eksak, kemudian carilah faktor integrasi berbentuk x^n dengan n bilangan bulat positif, lalu tentukan penyelesaiannya.

Penyelesaian

Langkah pertama adalah memeriksa apakah persamaan diferensial di atas eksak atau tidak. Misalkan
M = 4x + 3y^2
N = 2xy
sehingga hasil turunan parsialnya adalah
\dfrac{\partial M}{\partial y} = 6y
\dfrac{\partial N}{\partial x} = 2y
Karena \dfrac{\partial M}{\partial y} \neq \dfrac{\partial N}{\partial x}, maka PD ini tak eksak.
Agar eksak, kita harus mencari faktor integrasi terlebih dahulu.
Faktor integrasinya berbentuk \displaystyle e^{\int P(x)~\text{d}x}
P(x) dapat dicari dengan menggunakan cara berikut.
P(x) = \dfrac{1}{N}\left(\dfrac{\partial M}{\partial y} - \dfrac{\partial N}{\partial x}\right)
P(x) = \dfrac{1}{2xy}\left(6y - 2y\right)
P(x) = \dfrac{1}{2xy}(4y)
P(x) = \dfrac{2}{x}
Karena P(x) hanya bergantung terhadap variabel x (sesuai persyaratan metode PD tak eksak), maka kita dapatkan faktor integrasi
\displaystyle e^{\int \frac{2}{x}~\text{d}x} = e^{2 \ln x} = e^{\ln x^2} = x^2
Kalikan faktor integrasi ini ke PD semula untuk memperoleh
\begin{aligned} (4x+3y^2)~\text{d}x + 2xy~\text{d}y & = 0 \\ x^2 (4x+3y^2)~\text{d}x + (x^2)2xy~\text{d}y & = 0 \\ (4x^3 + 3x^2y^2)~\text{d}x + 2x^3y~\text{d}y & = 0 \end{aligned}
Misalkan
M = 4x^3 + 3x^2y^2
N = 2x^3y
Jika kita menurunkan secara parsial M terhadap y dan N terhadap x, diperoleh
\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x} = 6x^2y
Karena sama, maka PD ini eksak.
Misalkan F = C_0 (fungsi konstan). Telah diberikan
\dfrac{\partial F}{\partial x} =4x^3 + 3x^2y^2~~\bigstar
dan juga
\dfrac{\partial F}{\partial y} = 2x^3y~~\bigstar \bigstar
Integrasikan \bigstar secara parsial terhadap x, diperoleh
F = x^4 + x^3y^2 + \phi(y)
Lanjutkan: turunkan parsial kembali F ini tapi sekarang terhadap y, diperoleh
\dfrac{\partial F}{\partial y} = 2x^3y + \phi'(y)
Bandingkan dengan \bigstar \bigstar, sehingga didapat bahwa
\phi'(y) = 0 \Rightarrow \phi(y) = C_1
Berarti, solusinya adalah
F = x^4 + x^3y^2 + C_1 = C_0
atau disederhanakan menjadi
\boxed{x^4 + x^3y^2 = C}

[collapse]

Soal Nomor 3
Selesaikan PD \left(\dfrac{2x-1}{y}\right)~\text{d}x + \left(\dfrac{x-x^2}{y^2}\right)~\text{d}y = 0

Penyelesaian

Dari PD di atas, kalikan kedua ruas dengan \dfrac{y} {x - x^2} sehingga diperoleh
\begin{aligned} \left(\dfrac{2x-1}{x-x^2}\right)~\text{d}x + \left(\dfrac{y} {y^2}\right)~\text{d}y & = 0 \\ \left(\dfrac{2x-1}{x-x^2}\right)~\text{d}x + \left(\dfrac{1} {y}\right)~\text{d}y & = 0 \\ \text{Integralkan kedua}~&\text{ruas} \\ \displaystyle \int \dfrac{2x-1}{x-x^2}~\text{d}x + \int \dfrac{1} {y}~\text{d}y & = \ln C \\ -\ln (x - x^2) + \ln y & = \ln C \\ \ln (x-x^2)^{-1}y & = \ln C \\ \dfrac{y} {x-x^2} & = C \end{aligned}
Jadi, penyelesaian dari PD tersebut adalah \boxed{\dfrac{y} {x-x^2} = C} 
Intermezzo:
Menghitung \displaystyle \int \dfrac{2x-1}{x-x^2}~\text{d}x
Dengan metode substitusi, misalkan u = x - x^2, sehingga \text{d}u = (1 - 2x)~\text{d}x = -(2x - 1)~\text{d}x, yang ekuivalen dengan -\text{d}u = (2x - 1)~\text{d}x, sehingga integralnya dapat ditulis menjadi
\displaystyle \int \dfrac{-1}{u}~\text{d}u & = -\ln u + C = -\ln (x - x^2) + C

[collapse]

Soal Nomor 4
Selesaikan PD (x^2+1)~\dfrac{\text{d}y} {\text{d}x} - 4xy = x

Penyelesaian

Persamaan diferensial di atas merupakan persamaan diferensial linear orde satu. Bagi kedua ruas dengan x^2+1 untuk mendapatkan \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} - \left(\dfrac{4x}{x^2+1}\right)y = \dfrac{x}{x^2+1}
Diketahui
\begin{aligned} \displaystyle \int p(x)~\text{d}x & = \int \left(-\dfrac{4x}{x^2+1}\right)~\text{d}x \\ & = -2 \ln (x^2+1) \\ & = \ln (x^2+1)^{-2} \end{aligned}

Dengan demikian, faktor integrasinya adalah
e^{\int p(x)~\text{d}x}= e^{\ln (x^2+1)^{-2}} = (x^2+1)^{-2}
Dengan demikian, persamaan diferensial  \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} - \left(\dfrac{4x}{x^2+1}\right)y = \dfrac{x}{x^2+1} dapat langsung kita tuliskan sebagai berikut.
\begin{aligned} \displaystyle y &= e^{\int -p(x)~\text{d}x} \cdot \int e^{\int p(x)~\text{d}x} \cdot \dfrac{x}{x^2+1}~\text{d}x \\ & = e^{- \ln (x^2+1)^{-2}} \cdot \int (x^2 + 1)^{-2} \cdot \dfrac{x}{x^2+1}~\text{d}x \\ & = (x^2+1)^2 \cdot \displaystyle \int \dfrac{x}{(x^2+1)^3}~\text{d}x \\ & = (x^2+1)^2 \cdot \left( \dfrac{-1}{4}(x^2+1)^{-2} + C\right) = -\dfrac{1}{4} + C(x^2+1)^2 \end{aligned}

Jadi, penyelesaian PD tersebut adalah \boxed{y = -\dfrac14 + C(x^2+1)^2} 

[collapse]

Soal Nomor 5
Selesaikan PD \dfrac{\text{d}y} {\text{d}x} - \dfrac{y} {x} = -\dfrac{y^2}{x}

Penyelesaian

Misalkan v = \dfrac{y} {x}, berarti y = vx. Dengan demikian, PD di atas selanjutnya dapat ditulis sebagai berikut. 
\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y} {\text{d}x} - \dfrac{y} {x} & = -\dfrac{y^2}{x} \\ \dfrac{\text{d}(vx)} {\text{d}x} - v & = -v^2x \\ \dfrac{x~\text{d}v + v~\text{d}x} {\text{d}x} - v & = -v^2x \\x~\dfrac{\text{d}v} {\text{d}x} & = -v^2x \\ \text{Kalikan kedua}~&\text{ruas dengan}~\dfrac{\text{d}x} {v^2x} \\ \dfrac{1}{v^2}~\text{d}v & = -\text{d}x \\ \text{Integralkan kedua}~& \text{ruas} \\ \displaystyle \int \dfrac{1}{v^2}~\text{d}v & = - \int \text{d}x \\ -\dfrac{1}{v} & = -x + C \\ \text{Substitusi balik}~&v = \dfrac{y}{x} \\ -\dfrac{x} {y} + x & = C \end{aligned}
Jadi, penyelesaian PD tersebut adalah \boxed{-\dfrac{x} {y} + x = C}

[collapse]

Soal Nomor 6
Selesaikan PD (2x^2+y)~\text{d}x + (x^2y - x)~\text{d}y = 0

Penyelesaian

Diberikan PD: (2x^2+y)~\text{d}x + (x^2y-x)~\text{d}y = 0
PD di atas berbentuk persamaan diferensial eksak. 
Pertama-tama, akan ditentukan dulu apakah PD tersebut eksak atau tidak. 
Misalkan M = 2x^2+y dan N = x^2y-x, sehingga
\dfrac{\partial M} {\partial y} = 1~~\text{dan}~~\dfrac{\partial N} {\partial x} = 2xy - 1
Karena \dfrac{\partial M} {\partial y} \neq \dfrac{\partial N} {\partial x}, maka PD tersebut tidak eksak. 
Untuk itu, diperlukan faktor integrasi di mana diberikan
\begin{aligned} \dfrac{1}{N}\left(\dfrac{\partial M} {\partial y} - \dfrac{\partial N} {\partial x}\right) & = \dfrac{1}{x^2y-x}(1 - (2xy-1)) \\ & = \dfrac{1}{x(xy - 1)} \cdot (-2)(xy - 1) \\ &= -\dfrac{2}{x} \end{aligned}
Karena hanya bergantung pada variabel x, maka dapat kita misalkan p(x) = -\dfrac{2}{x}, sehingga faktor integrasinya adalah 
\begin{aligned} F(x) & = e^{\int p(x)~\text{d}x} \\ & = e^{\int -\frac{2}{x}~\text{d}x} \\ & = e^{-2 \ln x} = e^{\ln x^{-2}} = x^{-2} \end{aligned}
Kalikan faktor integrasi x^{-2} ke PD semula, sehingga diperoleh
\begin{aligned} x^{-2}(2x^2+y)~\text{d}x + x^{-2}(x^2y-x)~\text{d}y & = 0 \\ \left(2 + \dfrac{y} {x^2}\right)~\text{d}x + \left(y - \dfrac{1}{x}\right) & = 0 \end{aligned}
Sekarang, misalkan M = 2 + \dfrac{y} {x^2} dan N = y - \dfrac{1}{x}, sehingga
\dfrac{\partial M} {\partial y} = \dfrac{1}{x^2}~~\text{dan}~~\dfrac{\partial N} {\partial x} = \dfrac{1}{x^2} 
Karena telah memenuhi hubungan \dfrac{\partial M} {\partial y}= \dfrac{\partial N} {\partial x}, maka PD tersebut eksak. 
Ambil \dfrac{\partial u} {\partial x} = M, sehingga
\begin{aligned} u & = \displaystyle \int M~\text{d}x + \phi(y) \\ & = \int \left(2 + \dfrac{y} {x^2}\right)~\text{d}x + \phi(y) \\ & = 2x - \dfrac{y}{x} + \phi(y) \end{aligned}
Turunkan u secara parsial terhadap y, sehingga ditulis
\begin{aligned} \dfrac{\partial u} {\partial y} & = N \\ -\dfrac{1}{x} + \phi'(y) & = y - \dfrac{1}{x} \\ \phi'(y) & = y \\ \int \phi'(y)~\text{d}y & = \int y~\text{d}y \\ \phi(y) & = \dfrac{1}{2}y^2 + C \end{aligned}
Substitusikan \phi(y) ke u
u = 2x - \dfrac{y}{x} + \dfrac{1}{2}y^2 + C
Kalikan dengan 2x, sehingga diperoleh 4x^2 - 2y + xy^2 + K = 0
Jadi, penyelesaian PD tersebut adalah \boxed{4x^2 - 2y + xy^2 + K = 0}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini