Materi, Soal, dan Pembahasan – Pengantar Logika Fuzzy

        Logika Fuzzy (istilah fuzzy diterjemahkan sebagai “kabur”, sehingga disebut Logika Kabur) dikatakan sebagai logika baru, tetapi sebenarnya telah ada sejak dulu. Ini dikarenakan metode dalam logika fuzzy baru ditemukan puluhan tahun yang lalu, padahal konsepnya telah diaplikasikan sejak lama.

       Berbeda dengan logika kuno (logika digital) yang hanya memiliki nilai 0 dan 1, atau true dan false, logika fuzzy memiliki nilai pada rentang 0 sampai 1. Oleh karena itu, logika fuzzy dapat mendefinisikan nilai menengah di antara dua evaluasi konvensional yang berbeda.

    Dalam bagian ini, kita akan membuat istilah “kekaburan” yang sebelumnya terdengar asing menjadi lazim. Kekaburan berasal dari kata “kabur”, dan di sini kita artikan sebagai ketidakjelasan (bukan melarikan diri). Kita sebenarnya telah menemui gejala kekaburan dalam hidup sehari-hari. Ambil contoh seperti kejadian di dalam kelas. Seorang guru bertanya kepada siswanya, “Siapa di sini yang menjadi anak bungsu?” Dengan tegas, siswa yang posisinya sebagai anak bungsu dalam keluarganya akan mengangkat tangan. Kejadian ini berbeda secara signifikan ketika guru bertanya, “Siapa di sini yang pintar berhitung?” Ini dikarenakan keraguan yang ditimbulkan cukup terasa karena ketidaktegasan dari istilah “pandai berhitung”. Hal ini merupakan salah satu contoh kekaburan.

         Kekaburan atau ketidaktegasan yang kita temui dalam kehidupan sehari-hari ada beberapa bentuk, di antaranya sebagai berikut:

  1. Keambiguan (ambiguity), terjadi karena suatu kata/istilah memiliki makna ganda. Misalnya, kata “bulan” bisa berarti benda langit yang muncul di malam hari, bisa juga berarti satuan waktu yang setara dengan $1/12$ tahun.
  2. Keacakan (randomness), yaitu ketidakpastian mengenai suatu hal karena hal itu belum terjadi. Misalnya, ketidakpastian mengenai keadaan kita pada lima tahun mendatang.
  3. Ketidakjelasan karena kurang lengkapnya informasi yang dimiliki (incompleteness). Misalnya, ketidakjelasan mengenai kehidupan di luar angkasa.
  4. Ketidakakuratan (imprecision), disebabkan oleh keterbatasan alat dan metode untuk mengumpulkan informasi. Misalnya, tidak akuratnya penggunaan penggaris untuk mengukur diameter kelereng.

    Diameter kelereng diukur menggunakan penggaris
    Pengukuran diameter kelereng menggunakan penggaris menimbulkan galat yang cukup besar
  5. Kekaburan semantik, yaitu kekaburan yang disebabkan karena makna dari suatu kata/istilah tidak dapat didefinisikan secara tegas dan berlaku sama bagi setiap orang, misalnya kata cantik, pandai, tinggi, berat, dan sebagainya.


Kekaburan semantik adalah topik yang dibahas dalam hal ini. Istilah “kabur” berasal dari bahasa Inggris, “fuzzy”. Beberapa referensi masih mempertahankan penggunaan istilah fuzzy dibandingkan menerjemahkannya ke dalam bahasa Indonesia.

      Secara teknis, logika fuzzy adalah cara atau teknik untuk memetakan suatu ruang input ke dalam suatu ruang output. Sebagai contoh:

  1. Manajer pergudangan memberi informasi kepada manajer produksi mengenai banyaknya persediaan barang pada akhir minggu ini, kemudian manajer produksi akan menetapkan jumlah barang yang harus diproduksi keesokan harinya.
  2. Pelayan restoran memberi pelayanan kepada pelanggan. Sebagai bentuk imbalan, sejumlah pelanggan memberikan tip kepada pelayan tersebut atas kinerjanya.
  3. Seorang anak menjelaskan seberapa sejuk ruangan yang ditempatinya. Ibunya lalu mengatur kecepatan putaran kipas di ruangan tersebut.
  4. Penumpang taksi menyuruh sopir taksi agar kecepatan kendaraannya dinaikkan sebanyak sekian. Sopir taksi lalu mengatur pijakan gas taksinya.


Contoh pemetaan input-output yang dimaksud pada pernyataan sebelumnya dalam bentuk grafis tampak pada gambar berikut.

Pemetaan input-output pada masalah produksi
Pemetaan input-output pada masalah produksi

Perhatikan bahwa di antara ruang input dan output, terdapat satu kotak hitam yang fungsinya melakukan pemetaan.

Sejarah Penemuan Logika Kabur

       Adanya kekaburan semantik dari segi keilmuan sering kali menimbulkan masalah karena penelitian ilmiah pada umumnya memerlukan ketepatan dan kepastian yang berkenaan dengan makna istilah yang dipakai. Bahasa baru yang dapat mengungkap ketidaktegasan/kekaburan tersebut amat diperlukan. Bahasa semacam itulah yang diciptakan oleh Lotfi Asker Zadeh (1921 – 2017), seorang guru besar berkebangsaan Amerika Serikat.

Lotfi Asker Zadeh
Lotfi Asker Zadeh

     Sejak tahun 1960, Zadeh telah merasa bahwa sistem analisis matematika konvensional terlalu eksak sehingga tidak dapat berfungsi untuk menyelesaikan banyak masalah dunia nyata yang teramat kompleks. Dalam salah satu karyanya, ia menuliskan:
“We need a radically different kind of mathematics, the mathematics of fuzzy or cloudy quantities which are not describable in terms of probability distributions” (1962).

        Ia menciptakan definisi baru mengenai himpunan. Himpunan yang selama ini kita kenal dinamakan himpunan tegas, dan sekarang kita diperkenalkan dengan apa yang disebut sebagai himpunan kabur. Istilah himpunan kabur dalam matematika ini juga membuahkan banyak istilah lainnya, termasuk nilai keanggotaan (membership grades). Selanjutnya berdasarkan konsep himpunan kabur itu, Zadeh mengembangkan konsep algoritma kabur (1968), yang merupakan landasan dari logika kabur (fuzzy logic) dan penalaran hampiran (approximate reasoning), yaitu penalaran yang melibatkan pernyataan-pernyataan dengan predikat yang kabur.

      Pada mulanya, teori kabur ditolak mentah-mentah oleh para ilmuwan di AS karena dianggap tidak memiliki landasan matematis yang dapat dipertanggungjawabkan. Tidak ada forum penerbit jurnal ilmiah yang tertarik untuk menerbitkan karangan Zadeh mengenai himpunan kabur itu. Bahkan Zadeh dituduh telah menghambur-hamburkan uang negara karena banyak penelitiannya yang didanai oleh NSF (National Science Foundation), sebuah institusi nasional milik pemerintah AS.

      Hal ini sangat kontras dengan apa yang terjadi di Eropa dan negara Jepang. Teori kabur diterima dengan baik di sana. Ini dikarenakan orang Eropa dan Asia cenderung lebih menerima keadaan abu-abu, dibandingkan orang AS yang cenderung hitam-putih. Sembari Zadeh memperdalam dan mengokohkan fondasi ilmu kabur tersebut, para ilmuwan di luar AS berlomba-lomba untuk mengaplikasikan penggunaan teori kabur. Alhasil, sampai sekarang teori kabur telah banyak memberikan kebermanfaatan bagi manusia dalam banyak bidang.

Alasan Digunakannya Logika Fuzzy

Ada beberapa alasan kita perlu menggunakan logika fuzzy, yaitu sebagai berikut.

  1. Konsep logika fuzzy mudah dipahami. Konsep matematis yang mendasarinya terbilang sederhana.
  2. Logika fuzzy sangat fleksibel.
  3. Logika fuzzy memiliki toleransi terhadap data yang tidak tepat.
  4. Logika fuzzy mampu memodelkan fungsi-fungsi nonlinear yang sangat kompleks.
  5. Logika fuzzy dapat membangun dan mengaplikasikan pengalaman-pengalaman para ahli secara langsung tanpa harus melalui proses pelatihan.
  6. Logika fuzzy dapat bekerja sama dengan teknik-teknik kendali secara konvensional.
  7. Logika fuzzy didasarkan pada bahasa alami.


Aplikasi (Penerapan) Logika Fuzzy

Beberapa aplikasi atau penerapan logika fuzzy yang telah diketahui bermanfaat bagi kehidupan umat manusia, antara lain:

  1. Pada tahun 1990, Jepang pertama kali menciptakan mesin cuci yang sistem kerjanya berlandaskan logika fuzzy. Mesin cuci tersebut diproduksi oleh Matsushita Electric Industrial Company (sekarang dikenal sebagai Panasonic Corporation). Sistem fuzzy digunakan untuk menentukan putaran yang tepat secara otomatis berdasarkan jenis dan banyaknya kotoran, serta banyak pakaian yang dicuci. Input yang digunakan adalah: persentase kekotoran pakaian, jenis kotoran, dan banyak pakaian yang dicuci. Mesin ini menggunakan sensor optik, mengeluarkan cahaya ke air, dan mengukur proses cahaya tersebut sampai ke ujung lainnya. Semakin kotor pakaian, maka sinar yang sampai akan semakin redup. Selain itu, sistem juga dapat menentukan jenis kotoran (daki atau minyak).
  2. Transmisi otomatis pada mobil. Salah satunya adalah mobil Nissan yang telah menggunakan sistem fuzzy pada transmisi otomatis dan mampu menghemat bensin sebesar 12 – 17%.

    Mobil Nissan
    Mobil Nissan merupakan salah satu produk otomotif yang mengaplikasikan logika fuzzy
  3. Sistem kereta bawah tanah Sendai (The Sendai Subway) mengontrol pemberhentian kereta secara otomatis pada area tertentu.

    Kereta Sendai
    Sistem pemberhentian kereta bawah tanah Sendai melibatkan logika fuzzy
  4. Dalam ilmu kedokteran dan biologi, sistem fuzzy dipakai dalam proses diagnosis, penelitian kanker, manipulasi peralatan prostetik, dan lain-lain.
  5. Dalam sistem manajemen dan pengambilan keputusan, sistem fuzzy diterapkan dalam manajemen basis data, tata letak pabrik, pembuatan keputusan di bidang militer, pembuatan gim, dan lain-lain.
  6. Dalam bidang ekonomi, logika fuzzy diterapkan pada sistem pemasaran yang kompleks.
  7. Logika fuzzy dipakai dalam klasifikasi dan pencocokan pola.
  8. Dalam bidang psikologi, logika fuzzy dipakai untuk menganalisis kelakuan masyarakat, pencegahan dan investigasi tindakan kriminal, dan lain-lain.
  9. Dalam ilmu-ilmu sosial, logika fuzzy banyak dipakai untuk memodelkan informasi yang tidak pasti.
  10. Dalam ilmu lingkungan, logika fuzzy dipakai pada sistem kendali kualitas air, prediksi cuaca, dan lain-lain.
  11. Dalam ilmu teknik, logika fuzzy dipakai dalam perancangan jaringan komputer, prediksi gempa bumi, dan sebagainya.
  12. Dalam riset operasi, logika fuzzy dipakai dalam penjadwalan dan pemodelan, pengalokasian, dan lain-lain.
  13. Logika fuzzy dipakai untuk meningkatkan taraf kepercayaan, seperti kegagalan diagnosis, inspeksi dan pemantauan produksi, dan lain-lain.


Himpunan Tegas dan Himpunan Fuzzy

Dalam ilmu logika fuzzy, dikenal 2 jenis himpunan, yaitu himpunan tegas (crisp) dan himpunan kabur (fuzzy). Keduanya dibedakan berdasarkan asumsi nilai keanggotaannya. Nilai keanggotaan selanjutnya disimbolkan dengan huruf Yunani $\mu$ (dibaca: mu).

  1. Himpunan tegas (crisp set) adalah himpunan yang menyatakan keanggotaan objek dengan dua nilai keanggotaan, yaitu $\mu = 1$ (merupakan anggota himpunan) dan $\mu = 0$ (bukan anggota himpunan). 
  2. Himpunan kabur (fuzzy set), berikutnya akan disebut sebagai himpunan fuzzy, adalah himpunan yang menyatakan keanggotaan objek dengan nilai keanggotaan ($\mu$) yang berbeda-beda pada interval $0 \leq \mu \leq 1$.


Himpunan yang terdefinisi secara tegas
memiliki arti bahwa untuk setiap elemen (unsur) dalam semestanya selalu dapat ditentukan secara tegas apakah ia termasuk anggota dari himpunan itu atau tidak. Dengan kata lain, terdapat batas yang tegas antara unsur-unsur yang merupakan anggota dan unsur-unsur yang bukan anggota dari suatu himpunan.

      Pada kenyataannya, tidak semua himpunan yang kita jumpai terdefinisi seperti itu, misalnya himpunan orang kaya, himpunan siswa pandai, himpunan orang gemuk, dan sebagainya. Pada himpunan orang kaya, kita tidak dapat menentukan secara tegas/pasti anggota dari himpunan tersebut. Andaikan kita definisikan bahwa orang kaya adalah orang yang memiliki kekayaan senilai Rp1 triliun, maka orang yang memiliki kekayaan senilai Rp999 miliar bukan termasuk orang kaya berdasarkan definisi tersebut. Sulit bagi sejumlah orang menerima keadaan tersebut. Hal itu menunjukkan bahwa memang batas antara orang yang kaya dan orang yang tidak kaya tidak dapat ditentukan secara tegas.

Contoh Himpunan Tegas:
Jika diketahui
$$\begin{aligned} S & = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}~\text{adalah semesta pembicaraan} \\ A & = \{1, 2, 3\} \\ B & = \{3, 4, 5\} \end{aligned}$$maka bisa dikatakan bahwa

  1. Nilai keanggotaan $2$ pada himpunan $A$ adalah $\mu_A[2] = 1$, karena $2 \in A$.
  2. Nilai keanggotaan $3$ pada himpunan $A$ adalah $\mu_A[3] = 1$, karena $3 \in A$.
  3. Nilai keanggotaan $6$ pada himpunan $A$ adalah $\mu_A[6] = 1$, karena $6 \notin A$.
  4. Nilai keanggotaan $2$ pada himpunan $B$ adalah $\mu_B[2] = 0$, karena $2 \notin A$.
  5. Nilai keanggotaan $5$ pada himpunan $B$ adalah $\mu_B[5] = 1$, karena $5 \in B$.


Contoh Himpunan Tegas:

Misalkan variabel umur dibagi meniadi $3$ kategori, yaitu
$$\begin{cases} \text{Muda} & \text{Umur} < 35~\text{tahun} \\ \text{Dewasa} & 35 \leq \text{Umur} \leq 55~\text{tahun} \\ \text{Tua} & \text{Umur} > 55~\text{tahun} \end{cases}$$Nilai keanggotaan himpunan Muda, Dewasa, dan Tua ini dapat direpresentasikan dalam bentuk grafik berikut.
Dari grafik tersebut, dapat dilihat bahwa

  1. Apabila seseorang berumur 18 tahun, maka ia dikatakan Muda, ditulis $\mu_{\text{Muda}}[18] = 1.$
  2. Apabila seseorang berumur 35 tahun, maka ia dikatakan tidak Muda, ditulis $\mu_{\text{Muda}}[35] = 0.$
  3. Apabila seseorang berumur 35 tahun kurang $1$ hari, maka ia juga dikatakan Muda, ditulis $\mu_{\text{Muda}}[35~\text{th}-1\text{hr}] = 1.$
  4. Apabila seseorang berumur 33 tahun, maka ia dikatakan tidak Dewasa, ditulis $\mu_{\text{Dewasa}}[33] = 0.$
  5. Apabila seseorang berumur 90 tahun, maka ia dikatakan Tua, ditulis $\mu_{\text{Tua}}[90] = 1.$


Dari sini, dapat dikatakan bahwa pemakaian himpunan tegas untuk menyatakan kategori umur seseorang sangat tidak adil. Perubahan waktu yang sangat kecil saja pada suatu nilai dapat mengakibatkan perbedaan kategori yang cukup signifikan. Himpunan fuzzy digunakan untuk mengantisipasi kelemahan tersebut. Seseorang dapat saja masuk dalam $2$ himpunan yang berbeda, misalkan ia dikategorikan Muda dan Dewasa, tetapi dengan nilai keanggotaan tertentu pada interval $0$ sampai $1$. Sebagai contoh, seseorang yang berusia $30$ tahun termasuk dalam himpunan MUDA dengan nilai keanggotaan $0,6$ sekaligus termasuk dalam himpunan DEWASA dengan nilai keanggotaan $0,4$. 

Konsep dalam Himpunan Kabur

  1. Pendukung (Support) dari suatu himpunan kabur $\widetilde{A}$, dinotasikan $\text{supp}(\widetilde{A})$, adalah himpunan tegas yang memuat semua unsur dari semesta yang memiliki derajat keanggotaan tak nol dalam $\widetilde{A}$.
  2. Teras (Core) dari suatu himpunan kabur $\widetilde{A}$, dinotasikan $\text{core}(\widetilde{A})$, adalah himpunan tegas yang memuat semua unsur dari semesta yang memiliki derajat keanggotaan sama dengan $1$ dalam $\widetilde{A}$.
  3. Titik Silang (Crossover Point) dari suatu himpunan kabur $\widetilde{A}$, dinotasikan $\text{crossover}(\widetilde{A})$, adalah himpunan tegas yang memuat semua unsur dari semesta yang memiliki derajat keanggotaan sama dengan $0,5$ dalam $\widetilde{A}$.
  4. Tinggi (Height) dari suatu himpunan kabur $\widetilde{A}$, dinotasikan $\text{height}(\widetilde{A})$, adalah batas atas terkecil (supremum) dari himpunan semua derajat keanggotaan unsur-unsur semesta dalam himpunan kabur $\widetilde{A}$. Bila tingginya sama dengan $1$, maka $\widetilde{A}$ disebut himpunan kabur normal. Bila tidak, maka $\widetilde{A}$ disebut himpunan kabur subnormal.
  5. Pusat (Center) dari himpunan kabur $\widetilde{A}$, dinotasikan $\text{center}(\widetilde{A})$, adalah titik yang merupakan purata dari semua titik di dalam semesta dengan nilai keanggotaannya pertama kali mencapai nilai maksimum (bila kurva menanjak) atau terakhir kali mencapai maksimum (bila kurva menurun). Jika nilai purata itu berhingga, maka pusat himpunan kabur itu adalah titik dengan nilai purata tersebut. Jika nilai purata itu tak hingga positif atau tak hingga negatif, maka pusat himpunan kabur itu adalah titik dengan nilai terkecil atau terbesar di antara semua titik yang mencapai nilai keanggotaan maksimum.
    Titik a adalah pusat himpunan kabur untuk nilai purata berhingga
    Titik a adalah pusat himpunan kabur untuk nilai purata berhingga
    Titik a adalah pusat himpunan kabur untuk nilai purata tak hingga positif
    Titik a adalah pusat himpunan kabur untuk nilai purata tak hingga positif

    Titik a adalah pusat himpunan kabur untuk nilai purata tak hingga negatif
    Titik a adalah pusat himpunan kabur untuk nilai purata tak hingga negatif

Berikut ini adalah soal dan pembahasan terkait dasar-dasar logika fuzzy, termasuk juga mengenai himpunan tegas dan himpunan fuzzy.

Quote by Damkerng Mungthanya


Saya percaya ada banyak guru-guru yang telah menjalankan tugasnya dengan amat baik. Saya hanya berpesan, teruslah lakukan itu, begitu juga dengan perbuatan baik Bapak/Ibu guru. Apa yang Bapak/Ibu lakukan akan membuat hidup lebih bahagia.

 Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Kata/istilah berikut yang tidak menimbulkan kekaburan semantik adalah $\cdots \cdot$
A. dingin                          D. cantik
B. pandai                         E. mamalia
C. tinggi  

Pembahasan

Kekaburan semantik didefinisikan sebagai kekaburan yang disebabkan oleh kata/istilah yang maknanya tidak dapat diartikan secara tegas, misalnya cantik, tinggi, pandai, dingin, dan sebagainya. Hal ini karena kata tersebut memiliki ukuran yang “relatif” bagi masing-masing orang. Berbeda dengan mamalia, istilah ini didefinisikan secara tegas terutama dalam biologi, yaitu makhluk hidup vertebrata yang memiliki kelenjar susu dan berdarah panas.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 2
Himpunan berikut yang tidak terdefinisi sebagai himpunan tegas adalah $\cdots \cdot$
A. $K = \{\text{binatang berkaki enam}\}$
B. $L = \{x \mid x < 2, x \in \mathbb{R}\}$
C. $M = \{x \mid -2 < x < -1, x \in \mathbb{Z}\}$
D. $N = \{\text{nama pahlawan super Marvel}\}$
E. $O = \{\text{nama ilmuwan genius}\}$

Pembahasan

Perhatikan bahwa himpunan $O$ adalah himpunan nama ilmuwan genius. Kata “genius” di sini menghasilkan kekaburan semantik, karena tidak ada spesifikasi yang berlaku umum bagi semua orang mengenai ukuran kegeniusan seseorang. Beberapa referensi menyebutkan bahwa seseorang dikatakan genius bila memiliki $\text{IQ} > 160$, tetapi tidak semua pihak bisa menerimanya.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui himpunan tegas:
$$\begin{aligned} S & = \{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j\} \\ P & = \{e, f, g, h\} \\ Q & = \{a, b, c, i, j\} \end{aligned}$$Nilai keanggotaan $\mu_P[i], \mu_Q[a]$, dan $\mu_Q[h]$ berturut-turut adalah $\cdots \cdot$
A. $1, 1$, dan $1$
B. $0, 1$, dan $0$
C. $0, 1$, dan $1$
D. $1, 1$, dan $0$
E. $0, 0$, dan $0$

Pembahasan

Karena $i \notin P$, maka nilai keanggotaan $i$ pada himpunan $P$ adalah $\mu_P[i] = 0.$
Karena $a \in Q$, maka nilai keanggotaan $a$ pada himpunan $Q$ adalah $\mu_Q[a] = 1.$
Karena $h \notin Q$, maka nilai keanggotaan $h$ pada himpunan $Q$ adalah $\mu_Q[h] = 0.$
Jadi, Nilai keanggotaan $\mu_P[i], \mu_Q[a]$, dan $\mu_Q[h]$ berturut-turut adalah $0, 1$, dan $0$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor
Misalkan terdapat himpunan tegas $A = \{x \mid -3 < x < 9, x \in \mathbb{R}\}$. Pernyataan berikut yang bernilai benar terkait nilai keanggotaan pada $A$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\mu_A\left[\dfrac{19}{99}\right] = 0$
B. $\mu_A[-0,2333] = 0$
C. $\mu_A[8,9999] = 1$
D. $\mu_A[-4] = 1$
E. $\mu_A[\sqrt2 + \sqrt3] = 0$

Pembahasan

$A$ merupakan himpunan bilangan real di antara $-3$ dan $9$.
Cek Opsi A:
$\dfrac{19}{99} \in A$ sehingga seharusnya $\mu_A\left[\dfrac{19}{99}\right] = 1.$
Cek Opsi B:
$-0,2333 \in A$ sehingga seharusnya $\mu_A[-0,2333] = 1.$
Cek Opsi C:
$8,9999 \in A$ sehingga benar bahwa $\mu_A[8,9999] = 1.$
Cek Opsi D:
$-4 \notin A$ sehingga seharusnya $\mu_A[-4] = 0.$
Cek Opsi E:
$\sqrt2 + \sqrt3 \approx 1,4 + 1,7 = 3,1 \in A$ sehingga seharusnya $\mu_A[\sqrt2 + \sqrt3] = 1.$
Jadi, pernyataan yang benar adalah $\boxed{\mu_A[8,9999] = 1}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 4
Perhatikan representasi grafis dari variabel suhu dalam satuan derajat Celsius berikut.
Pernyataan berikut yang tidak benar adalah $\cdots \cdot$

  1. nilai keanggotaan untuk suhu $20^{\circ}\text{C}$ pada himpunan Dingin adalah $1$
  2. nilai keanggotaan untuk suhu $10^{\circ}\text{C}$ pada himpunan Panas adalah $0$
  3. nilai keanggotaan untuk suhu $25^\circ \text{C}$ pada himpunan Dingin maupun himpunan Panas adalah $0$
  4. suhu $30^{\circ}C$ sampai $40^{\circ}\text{C}$ memiliki nilai keanggotaan $1$ pada himpunan Panas
  5. nilai keanggotaan untuk suhu $0^\circ \text{C}$ pada himpunan Dingin bukan bernilai $1$.

Pembahasan

Dari representasi grafis di atas, informasi yang kita peroleh adalah sebagai berikut.

  1. Suhu $0^{\circ}\text{C}$ sampai $20^{\circ}\text{C}$ memiliki nilai keanggotaan $1$ pada himpunan Dingin, selain itu bernilai $0$.
  2. Suhu $30^{\circ}\text{C}$ sampai $40^{\circ}\text{C}$ memiliki nilai keanggotaan $1$ pada himpunan Panas, selain itu bernilai $0$.

Dari kelima pernyataan yang diberikan, pernyataan pada opsi E tidak tepat karena nilai keanggotaan suhu $0^{\circ}\text{C}$ pada himpunan Dingin seharusnya $1$.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui nilai keanggotaan untuk variabel UMUR secara grafis seperti gambar berikut.
Seseorang yang berumur 40 tahun mempunyai nilai $\mu_{\text{Muda}}[40]$ dan $\mu_{\text{Dewasa}}[40]$ masing-masing sebesar $\cdots \cdot$
A. $0,6$ dan $0,8$
B. $0,25$ dan $0,5$
C. $1$ dan $0$
D. $0,8$ dan $0.6$
E. $0.2$ dan $0.4$

Pembahasan

Perhatikan kembali representasi grafis berikut.
Dari garis merah pada grafik tersebut, dapat kita ketahui bahwa
$$\begin{aligned} \mu_{\text{Muda}}[40] & = \dfrac{40-45}{25-45} \\ & = \dfrac{-5}{-20} = \dfrac14 = 0,25 \end{aligned}$$Dari garis biru pada grafik tersebut, dapat kita ketahui bahwa
$$\begin{aligned} \mu_{\text{Dewasa}}[40] & = \dfrac{40-35}{45-35} \\ & = \dfrac{5}{10} = \dfrac12 = 0,5 \end{aligned}$$Jadi, seseorang yang berumur 40 tahun mempunyai nilai $\mu_{\text{Muda}}[40]$ dan $\mu_{\text{Dewasa}}[40]$ masing-masing sebesar $\boxed{0,25~\text{dan}~0,5}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Dalam semesta himpunan semua bilangan real $\mathbb{R}$, didefinisikan himpunan kabur $\widetilde{A}$ dengan fungsi keanggotaan:
$$\mu_{\widetilde{A}}(x) = \begin{cases} 0 & \text{untuk}~x < 1 \\ 0,1x & \text{untuk}~1 \leq x \leq 9 \\ 0,5 & \text{untuk}~x > 9 \end{cases}$$Berdasarkan definisi fungsi keanggotaan himpunan kabur di atas, teras darinya adalah $\text{Teras}(\widetilde{A}) = \cdots \cdot$
A. $\{x \in \mathbb{R} \mid x < 1\}$
B. $\{x \in \mathbb{R} \mid 1 \leq x \leq 9\}$
C. $\{x \in \mathbb{R} \mid x > 9\}$
D. $\{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 1\}$
E. $\{ \}$

Pembahasan

Teras (core) dari suatu himpunan kabur $\widetilde{A}$, dinotasikan $\text{Teras}(\widetilde{A})$ adalah himpunan tegas yang memuat semua unsur semestanya yang mempunyai derajat keanggotaan sama dengan $1$.
Dari rumus fungsi keanggotaan yang diberikan, dapat diperhatikan bahwa tidak ada unsur semesta dengan $\mu_{\widetilde{A}} = 1$ (derajat keanggotaan tertinggi hanya sampai $0.9$), sehingga $\text{Teras}(\widetilde{A}) = \{ \}$.
(Jawaban E)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Perhatikan grafik fungsi keanggotaan dari variabel UMUR berikut.
Misalkan kumpulan orang yang dikategorikan Muda, Dewasa, dan Tua berturut-turut dinotasikan sebagai himpunan $\widetilde{M}, \widetilde{D}$, dan $\widetilde{T}$. Tentukan:

  1. pendukung dari ketiga himpunan kabur tersebut;
  2. teras dari ketiga himpunan kabur tersebut;
  3. titik silang dari ketiga himpunan kabur tersebut;
  4. tinggi dari ketiga himpunan kabur tersebut; dan
  5. pusat dari ketiga himpunan kabur tersebut.

Pembahasan

Variabel UMUR melibatkan nilai-nilai yang real non-negatif (dalam satuan tahun), sehingga semesta yang kita pakai adalah bilangan real non-negatif, dinotasikan $\mathbb{R}^0$.
Jawaban a)
Pendukung (Support) dari suatu himpunan kabur $\widetilde{A}$, dinotasikan $\text{supp}(\widetilde{A})$, adalah himpunan tegas yang memuat semua unsur dari semesta yang memiliki derajat keanggotaan tak nol dalam $\widetilde{A}$. Dari grafik di atas, kita peroleh bahwa
$$\begin{aligned} \text{supp}(\widetilde{M}) & = \{x \in \mathbb{R}^0, x < 45\} \\ \text{supp}(\widetilde{D}) & = \{x \in \mathbb{R}^0, 35 < x < 55\} \\ \text{supp}(\widetilde{T}) & = \{x \in \mathbb{R}^0, x > 45\} \end{aligned}$$Jawaban b)
Teras (Core) dari suatu himpunan kabur $\widetilde{A}$, dinotasikan $\text{core}(\widetilde{A})$, adalah himpunan tegas yang memuat semua unsur dari semesta yang memiliki derajat keanggotaan sama dengan $1$ dalam $\widetilde{A}$.
Dari grafik di atas, kita peroleh bahwa
$$\begin{aligned} \text{core}(\widetilde{M}) & = \{x \in \mathbb{R}^0, 0 \leq x \leq 25\} \\ \text{core}(\widetilde{D}) & = \{x \in \mathbb{R}^0, x = 45\} \\ \text{core}(\widetilde{T}) & = \{x \in \mathbb{R}^0, x \geq 65\} \end{aligned}$$Jawaban c)
Titik Silang (Crossover Point) dari suatu himpunan kabur $\widetilde{A}$, dinotasikan $\text{crossover}(\widetilde{A})$, adalah himpunan tegas yang memuat semua unsur dari semesta yang memiliki derajat keanggotaan sama dengan $0,5$ dalam $\widetilde{A}$.
Dari grafik di atas, kita peroleh bahwa
$$\begin{aligned} \text{crossover}(\widetilde{M}) & = \{x \in \mathbb{R}^0, x = 35\} \\ \text{crossover}(\widetilde{D}) & = \{x \in \mathbb{R}^0, x = 40~\text{atau}~x = 50\} \\ \text{crossover}(\widetilde{T}) & = \{x \in \mathbb{R}^0, x = 55\} \end{aligned}$$Jawaban d)
Tinggi (Height) dari suatu himpunan kabur $\widetilde{A}$, dinotasikan $\text{height}(\widetilde{A})$, adalah batas atas terkecil (supremum) dari himpunan semua derajat keanggotaan unsur-unsur semesta dalam himpunan kabur $\widetilde{A}$.
Dari grafik di atas, kita peroleh bahwa ketiga himpunan kabur tersebut masing-masing memiliki anggota dengan nilai keanggotaan sama dengan $1$, sehingga
$$\begin{aligned} \text{height}(\widetilde{M}) & = 1 \\ \text{height}(\widetilde{D}) & = 1 \\ \text{height}(\widetilde{T}) & = 1 \end{aligned}$$Jawaban e)
Pusat (Center) dari himpunan kabur $\widetilde{A}$, dinotasikan $\text{center}(\widetilde{A})$, adalah titik yang merupakan purata dari semua titik di dalam semesta dengan nilai keanggotaannya pertama kali mencapai nilai maksimum (bila kurva menanjak) atau terakhir kali mencapai maksimum (bila kurva menurun).
Dari grafik di atas, kita peroleh bahwa
$$\begin{aligned} \text{center}(\widetilde{M}) & = 25 \\ \text{center}(\widetilde{D}) & = 45 \\ \text{center}(\widetilde{T}) & = 65 \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 2
Diberikan himpunan kabur $\widetilde{C}$ dengan fungsi yang menyatakan nilai keanggotaan pada semesta bilangan real non-negatif berikut.
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x+2}{4}, & \text{untuk}~0 \leq x < 2 \\ \dfrac{4,4-0,7x}{3}, & \text{untuk}~2 \leq x < 5 \\ 0,3, & \text{untuk}~5 \leq x < 8 \\ \dfrac{3-0,3x}{2}, & \text{untuk}~8 \leq x < 10 \\ 0, & \text{untuk}~x~\text{lainnya} \end{cases}$$Tentukan:
a. $\text{supp}(\widetilde{C})$;
b. $\text{core}(\widetilde{C})$;
c. $\text{crossover}(\widetilde{C})$;
d. $\text{height}(\widetilde{C})$;
E. $\text{center}(\widetilde{C})$.

Pembahasan

Pertama, gambarkan grafik fungsi keanggotaan tersebut dalam diagram Cartesius seperti berikut.
Jawaban a)
Berdasarkan grafik di atas, nilai $x$ yang membuat $\mu_{\widetilde{C}}(x) = f(x) \neq 0$ adalah $0 \leq x < 10$, sehingga
$\boxed{\text{supp}(\widetilde{C}) = \{x \in \mathbb{R}^0, 0 \leq x < 10\}}$
Jawaban b)
Berdasarkan grafik di atas, nilai $x$ sehingga $\mu_{\widetilde{C}}(x) = f(x) = 1$ adalah $x = 2$, sehingga
$\boxed{\text{core}(\widetilde{C}) = \{x \in \mathbb{R}^0, x = 2\}}$
Jawaban c)
Berdasarkan grafik di atas, nilai $x$ sehingga $\mu_{\widetilde{C}}(x) = f(x) = 0,5$ adalah $x = 0$ atau pada selang $2 \leq x < 5$, yaitu
$$\begin{aligned} \dfrac{4,4-0,7x}{3} & = 0,5 \\ 4,4-0,7x & = 1,5 \\ 0,7x & = 2,9 \\ x & = \dfrac{29}{7} \end{aligned}$$sehingga
$$\boxed{\text{crossover}(\widetilde{C}) = \left\{x \in \mathbb{R}^0, x = 0~\text{atau}~x = \dfrac{29}{7}\right\}}$$Jawaban d)
Berdasarkan grafik di atas, nilai keanggotaan maksimum tercapai saat $x = 2$, sehingga $\mu_{\widetilde{C}}(2) = f(2) = 1$. Oleh karena itu, kita peroleh $\boxed{\text{height}(\widetilde{C}) = 2}$
Jawaban e)
Berdasarkan grafik di atas, puratanya berhingga dengan nilai keanggotaan maksimum $1$, sehingga $\text{center}(\widetilde{C}) = 1$.

[collapse]