Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Program Linear (Tingkat SMA/Sederajat)

      Berikut ini penulis sajikan sejumlah soal dan pembahasan super lengkap tentang program linear (tingkat SMA/Sederajat) yang dikumpulkan dari uji kompetensi buku pegangan siswa dan soal ulangan umum sekolah serta ujian nasional.

Baca: Soal dan Pembahasan- Gradien dan Persamaan Garis Lurus

Today Quote

Seseorang yang luar biasa itu sederhana dalam ucapannya, tetapi hebat dalam tindakannya.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Perhatikan grafik berikut!
Grafik pertidaksamaan linear
Daerah yang diarsir merupakan penyelesaian dari pertidaksamaan $\cdots \cdot$
A. $3y + x \geq-3$
B. $3y + x \leq-3$
C. $3y + x \leq 3$
D. $3x + y \geq-3$
E. $3y- x \leq 3$ 

Pembahasan

Grafik garis lurus di atas memotong sumbu-$X$ di $(-3, 0)$ dan memotong sumbu-$Y$ di $(0,-1)$. Dengan demikian, persamaan garisnya berbentuk
$\begin{aligned}-1x + (-3)y & = (-1)(-3) \\-x- 3y & = 3 \\ 3y + x & =-3 \end{aligned}$
Uji titik $(0, 0)$ untuk mengecek tanda:
$0 + 3(0) = 0 \geq-3$
Dengan demikian, pertidaksamaan garisnya adalah $\boxed{3y + x \geq-3}$
(Catatan: Bila garisnya putus-putus, gunakan tanda $>$)
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 2
Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear
$$\begin{cases} 2x+y & \leq 6 \\ x + 3y & \geq 6 \\  x & \geq 0 \\ y & \geq 0 \end{cases}$$untuk $x, y$ anggota bilangan real adalah $\cdots \cdot$
Grafik sistem pertidaksamaan linear
A. I                        C. III                    E. V
B. II                       D. IV         

Pembahasan

Titik potong garis $2x + y \leq 6$ terhadap sumbu koordinat dapat dinyatakan dalam tabel berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline  x & 0 & 3 \\ \hline y & 6 & 0 \\ \hline (x, y) & (0,6) & (3, 0) \\ \hline \end{array}$
Daerah I dan II adalah  daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan ini karena bertanda $\leq$ (arsirannya ke bawah).
Titik potong garis $x+3y \geq 6$ terhadap sumbu koordinat dapat dinyatakan dalam tabel berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline  x & 0 & 6 \\ \hline y & 2 & 0  \\ \hline (x, y) & (0,2) & (6, 0) \\ \hline \end{array}$
Daerah III dan IV adalah  daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan ini karena bertanda $\geq$ (arsirannya ke atas).
Perhatikan bahwa pertidaksamaan $x \geq 0, y \geq 0$ membatasi daerah penyelesaiannya hanya pada kuadran pertama.
Daerah irisannya adalah daerah III. Jadi, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear tersebut adalah daerah III.
(Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 3
Perhatikan grafik di bawah ini.
Grafik sistem pertidaksamaan linear
Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan $3x+2y \leq 36$; $x + 2y \geq 20$; $x \geq 0$ dan $y \geq 0$ pada gambar di atas adalah $\cdots \cdot$
A. V                        C. III                    E. I
B. IV                       D. II           

Pembahasan

Grafik dari pertidaksamaan $3x + 2y \leq 36$ memotong sumbu $X$ di $x = 12$ dan memotong sumbu $Y$ di $y = 18$. Karena bertanda $\leq$, maka arsiran daerah penyelesaiannya ke bawah, yaitu daerah II, III, dan V. 
Grafik dari pertidaksamaan $x + 2y \geq 20$ memotong sumbu $X$ di $x = 20$ dan memotong sumbu $Y$ di $y = 10$. Karena bertanda $\geq$, maka arsiran daerah penyelesaiannya ke atas, yaitu daerah I, II, dan V. 
$x, y$ juga bertanda nonnegatif. Ini berarti, daerah penyelesainnya hanya termuat di kuadran pertama. Dengan demikian, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut adalah daerah II.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Perhatikan gambar berikut!
Grafik sistem pertidaksamaan linear
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan $5x + 6y \geq 30$; $-2x + y \leq 0$, $y \geq 2$ ditunjukkan oleh daerah $\cdots \cdot$
A. I                        C. III                     E. V
B. II                       D. IV          

Pembahasan

Gambar garis $5x + 6y \geq 30$ dengan memanfaatkan titik potong terhadap sumbu koordinat.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 6 \\ \hline y & 5 & 0 \\ \hline (x, y) & (0, 5) & (6, 0) \\ \hline \end{array}$
Jadi, garis melalui titik $(0, 5)$ dan $(6, 0)$. Uji titik $(0, 0)$ pada $5x + 6y \geq 30$, sehingga diperoleh $0 + 0 = 0 \geq 30$ (bernilai salah), sehingga daerah penyelesaiannya tidak meliputi titik $(0, 0)$.

Daerah penyelesaian meliputi daerah II dan III.
Selanjutnya, gambar garis $-2x + y \leq 0$ dengan menentukan dua titik yang dilalui garis
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 1 & 2  \\ \hline y & 2 & 4 \\ \hline (x, y) & (1, 2) & (2, 4) \\ \hline \end{array}$
Jadi, garis melalui titik $(1, 2)$ dan $(2, 4)$. Uji titik $(1, 1)$ pada $-2x + y \leq 0$, sehingga diperoleh $-2(1) + 1 =-1 \leq 0$ (bernilai benar), sehingga daerah penyelesaiannya meliputi titik $(1, 1)$.

Daerah penyelesaian meliputi daerah III, IV, dan V.
Terakhir, gambarkan garis $y \geq 2$.

Daerah penyelesaian meliputi daerah I, II, III, dan V.
Daerah yang terkena ketiga arsiran daerah penyelesaian di atas adalah daerah III.
(Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 5
Daerah penyelesaian dari 
$\begin{cases} x + 2y \geq 2 \\-3x + y \leq-3 \\ y \leq 4 \end{cases}$
ditunjukkan oleh grafik $\cdots \cdot$
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 

Pembahasan

Gambar garis $x + 2y \geq 2$ dengan memanfaatkan titik potong terhadap sumbu koordinat.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 2 \\ \hline y & 1 & 0 \\ \hline (x, y) & (0, 1) & (2,0) \\ \hline \end{array}$
Jadi, garis melalui titik $(0, 1)$ dan $(2, 0)$. Uji titik $(0, 0)$ pada $x + 2y \geq 2$, sehingga diperoleh $0 + 0 = 0 \geq 2$ (bernilai salah), sehingga daerah penyelesaiannya tidak meliputi titik $(0, 0)$.

Gambar garis $-3x + y \leq-3$ dengan memanfaatkan titik potong terhadap sumbu koordinat.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 \\ \hline y &-3 & 0 \\ \hline (x, y) & (0,-3) & (1,0) \\ \hline \end{array}$
Jadi, garis melalui titik $(0,-3)$ dan $(1, 0)$. Uji titik $(0, 0)$ pada $-3x + y \leq-3$, sehingga diperoleh $0 + 0 = 0 \leq-3$ (bernilai salah), sehingga daerah penyelesaiannya tidak meliputi titik $(0, 0)$.

Gambar garis $y \leq 4$ seperti berikut.

Gabungkan ketiga gambar di atas dalam satu sistem koordinat.

(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 6
Sistem pertidaksamaan linear untuk daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah $\cdots \cdot$
Grafik sistem pertidaksamaan linear
A. $3x + 4y \geq 12; 3x+y \leq 6; x \geq 0; y \geq 0$
B. $3x + 4y \leq 12; 3x+y \geq 6; x \geq 0; y \geq 0$
C. $3x + 4y \geq 12; x+y \leq 6; x \leq 0; y \geq 0$
D. $3x + 4y \leq 12; 3x+y \leq 6; x \geq 0; y \geq 0$
E. $3x + 4y \geq 12; 3x+y \geq 6; x \geq 0; y \geq 0$

Pembahasan

Persamaan garis yang memotong sumbu $X$ di $x = 4$ dan sumbu $Y$ di $y = 3$ adalah $3x + 4y = 12$. Tanda ketaksamaan yang sesuai dengan daerah arsiran adalah $\geq$ karena arsirannya di atas garis, sehingga diperoleh pertidaksamaan linear $3x+4y \geq 12$
Persamaan garis yang memotong sumbu $X$ di $x = 2$ dan sumbu $Y$ di $y = 6$ adalah $6x + 2y = 12$ atau disederhanakan menjadi $3x+y = 6$.
Tanda ketaksamaan yang sesuai dengan daerah arsiran adalah $\leq$ karena arsirannya di bawah garis, sehingga diperoleh pertidaksamaan linear $3x+y \leq 6$.
Karena daerah arsiran terletak di kuadran pertama, maka kendala non-negatif ($x, y$ tak boleh bernilai negatif) diberlakukan.
Jadi, sistem pertidaksamaan linearnya adalah
$\begin{cases} 3x + 4y \geq 12 \\ 3x + y \leq 6 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 7
Daerah yang diarsir pada grafik di bawah merupakan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan $\cdots \cdot$
Grafik sistem pertidaksamaan linear
$\begin{aligned} & \text{A}. 5x + 4y \leq 200; 2x + y \leq 80; x \geq 0, y \geq 0 \\ & \text{B}. 5x + 4y \geq 200; x + 2y \leq 80; x \geq 0, y \geq 0 \\ & \text{C}. 4x + 5y \leq 200; 2x + y \leq 80; x \geq 0, y \geq 0 \\ & \text{D}. 4x + 5y \leq 200; 2x + y \geq 80; x \geq 0, y \geq 0 \\ & \text{E}. 5x + 4y \leq 200; x + 2y \leq 80; x \geq 0, y \geq 0 \end{aligned}$

Pembahasan

Persamaan garis pertama: $50x + 40y = 50 \cdot 40 = 2000$, kemudian disederhanakan dengan membagi 10 pada kedua ruasnya, sehingga didapat $\boxed{5x + 4y = 200}$.
Titik $(0, 0)$ merupakan salah satu himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut (perhatikan arsirannya), sehingga diperoleh $\boxed{5x + 4y \leq 200}$
Persamaan garis kedua: $40x + 80y = 40 \cdot 80 = 3200$, kemudian disederhanakan dengan membagi 40 pada kedua ruasnya, sehingga didapat $\boxed{x + 2y = 80}$.
Titik $(0, 0)$ merupakan juga salah satu himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut (perhatikan arsirannya), sehingga diperoleh $\boxed{x + 2y \leq 80}$
Kendala non-negatif diberikan oleh $x \geq 0$ dan $y \geq 0$ karena daerah penyelesaiannya hanya memuat kuadran pertama.
Jadi, sistem persamaan sesuai dengan daerah penyelesaian yang diberikan tersebut adalah
$\boxed{5x + 4y \leq 200; x + 2y \leq 80; x \geq 0; y \geq 0}$
(Jawaban E) 

[collapse]

Soal Nomor 8
Daerah penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan $x \geq 2$; $y \leq 8$, $x-y \leq 2$ berbentuk $\cdots \cdot$
A. segitiga lancip
B. segitiga sama sisi
C. segitiga sebarang
D. segitiga tumpul sama kaki
E. segitiga siku-siku sama kaki

Pembahasan

Gambarkan grafik pertidaksamaan pada sistem koordinat Kartesius seperti gambar.

Daerah yang diarsir merupakan daerah penyelesaian. Tampak bahwa daerah penyelesaian berbentuk segitiga siku-siku sama kaki ($AB = BC = 8$).
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 9
Perhatikan gambar berikut ini!
Grafik sistem pertidaksamaan linear
Nilai maksimum untuk fungsi objektif $P = 3x + 5y$ adalah $\cdots \cdot$

A. $15$                      C. $17$                 E. $19$
B. $16$                      D. $18$     

Pembahasan

Daerah penyelesaian itu memiliki 3 titik pojok. Salah satunya adalah titik potong kedua garis itu. Koordinat titik potongnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV. Persamaan garis yang dimaksud dituliskan dalam sistem persamaan linear dua variabel berikut.
$\begin{cases} 5x + 5y & = 25 \Rightarrow x + y = 5 \\ 3x + 6y & = 18 \Rightarrow x + 2y = 6 \end{cases}$
Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) pada SPLDV, diperoleh
$\begin{aligned} & x + y  = 5 \\ & x + 2y = 6 \\ & \rule{2.2 cm}{0.6pt}- \\ &-y  =-1 \\ & y = 1 \end{aligned}$
Substitusikan $y = 1$ pada persamaan pertama,

$\begin{aligned} x + y & = 5 \\ x + 1 & = 5 \\ x & = 4 \end{aligned}$
Jadi, titik potongnya ada di koordinat $(4, 1)$.
Koordinat titik pojok daerah penyelesaian tersebut adalah $(0, 3), (4, 1)$, dan $(5, 0)$. Uji titik ini pada fungsi objektif $P = 3x + 5y$.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & P = 3x+5y \\ \hline (0, 3) & 15 \\  \color{red}{(4, 1)} & \color{red}{17} \\ (5, 0) & 15 \\ \hline \end{array}$

Dari tabel di atas, nilai maksimum fungsi objektif $P = 3x+5y$ adalah $\boxed{17}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Perhatikan grafik berikut!
Grafik sistem pertidaksamaan linear
Nilai minimum dari $Z=2x+5y$ dari daerah yang diarsir adalah $\cdots \cdot$
A. $6$                    C. $10$                  E. $14$
B. $8$                    D. $11$        

Pembahasan

Daerah penyelesaian itu memiliki 3 titik pojok. Salah satunya adalah titik potong kedua garis itu. Koordinat titik potongnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV. Persamaan garis yang dimaksud dituliskan dalam sistem persamaan linear dua variabel berikut.
$\begin{cases} 6x + 3y & = 18 \Rightarrow 2x + y = 6 \\ 4x + 4y & = 16 \Rightarrow x + y = 4 \end{cases}$
Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) pada SPLDV, diperoleh
$\begin{aligned} & 2x + y  = 6 \\ & x + y = 4 \\ & \rule{2.2 cm}{0.6pt}- \\ & x  = 2 \end{aligned}$
Substitusikan $x = 2$ pada persamaan kedua,
$\begin{aligned} x + y & = 4 \\ 2 + y & = 4 \\ y & = 2 \end{aligned}$
Jadi, titik potongnya ada di koordinat $(2, 2)$.
Koordinat titik pojok daerah penyelesaian tersebut adalah $(4, 0), (2, 2)$, dan $(0, 6)$. Uji titik ini pada fungsi objektif $Z=2x+5y$.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & Z=2x+5y \\ \hline  \color{red}{ (4, 0)} & \color{red}{8} \\ (2, 2) & 14 \\ (0, 6) & 30 \\ \hline \end{array}$
Dari tabel di atas, nilai minimum fungsi objektif $Z=2x+5y$ adalah $\boxed{8}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11
Nilai maksimum fungsi objektif $f(x,y)=4x+5y$ yang memenuhi sistem pertidaksamaan $x+2y \geq 6$ ;$x+y \leq 8$; $x \geq 0;y\geq 2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $15$                     C. $34$                  E. $42$
B. $18$                     D. $40$        

Pembahasan

Gambar garis $x + 2y \geq 6$ dengan memanfaatkan titik potong terhadap sumbu koordinat.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 6 \\ \hline y & 3 & 0 \\ \hline (x, y) & (0, 3) & (6,0) \\ \hline \end{array}$
Jadi, garis melalui titik $(0, 3)$ dan $(6, 0)$. Uji titik $(0, 0)$ pada $x + 2y \geq 6$, sehingga diperoleh $0 + 0 = 0 \geq 6$ (bernilai salah), sehingga daerah penyelesaiannya tidak meliputi titik $(0, 0)$.

Gambar garis $x + y \leq 8$ dengan memanfaatkan titik potong terhadap sumbu koordinat.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 8 \\ \hline y & 8 & 0 \\ \hline (x, y) & (0, 8) & (8, 0) \\ \hline \end{array}$
Jadi, garis melalui titik $(0, 8)$ dan $(8, 0)$. Uji titik $(0, 0)$ pada $x + y \leq 8$, sehingga diperoleh $0 + 0 = 0 \leq 8$ (bernilai benar), sehingga daerah penyelesaiannya meliputi titik $(0, 0)$.

Daerah penyelesaian dari $x \geq 0$ berarti seluruh daerah di kuadran I dan IV.
Daerah penyelesaian dari $y \geq 2$ dapat dilihat langsung pada gambar di bawah sekaligus dengan semua garis yang ada.

Daerah yang diarsir merupakan daerah penyelesaian dengan 4 titik pojok, yaitu titik $A(0, 3), B, C$, dan $D(0, 8)$.
Garis $y = 2$ dan $x + 2y = 6$ berpotongan di titik $B$ dengan koordinat $(2, 2)$.
Garis $y = 2$ dan $x + y = 8$ berpotongan di titik $C$ dengan koordinat $(6, 2)$.
Uji keempat titik pojok pada fungsi objektif $f(x, y) = 4x + 5y$.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & f(x, y) = 4x + 5y \\ \hline A(0, 3) & 15 \\  B(2, 2) & 18 \\ C(6, 2) & 34 \\ \color{green}{D(0, 8)} & \color{green}{40} \\ \hline \end{array}$
Dari tabel di atas, nilai maksimum fungsi objektif $f(x,y) = 4x+5y$ adalah $\boxed{40}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- SPLDV

Soal Nomor 12
Perhatikan gambar berikut.
Grafik sistem pertidaksamaan linear
Diketahui sistem pertidaksamaan: $2y \geq x$; $y \leq 2x$; $2y + x \leq 20$; $x + y \geq 9$. Nilai maksimum untuk $3y-x$ adalah di titik $\cdots \cdot$
A. $P$                     C. $R$                  E. $T$
B. $Q$                    D. $S$

Pembahasan

Gambarkan keempat garis pada bidang Kartesius.
Tabel pasangan titik untuk $2y = x$:
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & y & (x, y) \\ \hline 0 & 0 & (0, 0) \\ 2 & 1 & (2, 1) \\ \hline \end{array}$
Buat titik di $(0, 0)$ dan $(2,1)$, lalu tarik garis lurus melalui kedua titik tersebut. Garis itu mewakili persamaan $2y = x$. Karena pertidaksamaannya berbentuk $2y \geq x$, maka kita perlu menentukan titik uji guna mencari daerah penyelesaiannya. Pilih titik $(1, 0)$, lalu substitusi:
$2(0) \geq 1 \Leftrightarrow 0 \geq 1$ (SALAH)
Artinya, daerah penyelesaiannya di bidang atas (menolak titik $(1, 0)$).

Tabel pasangan titik untuk $y = 2x$:
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & y & (x, y) \\ \hline 0 & 0 & (0, 0) \\ 1 & 2 & (1, 2) \\ \hline \end{array}$
Buat titik di $(0, 0)$ dan $(1,2)$, lalu tarik garis lurus melalui kedua titik tersebut. Garis itu mewakili persamaan $y = 2x$. Karena pertidaksamaannya berbentuk $y \leq 2x$, maka kita perlu menentukan titik uji guna mencari daerah penyelesaiannya. Pilih titik $(1, 0)$, lalu substitusi:
$0 \leq 2(1) \Leftrightarrow 0 \leq 2$ (BENAR)

Artinya, daerah penyelesaiannya di bidang bawah (menerima titik $(1, 0)$).
Tabel pasangan titik untuk $2y + x \leq 20$:
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & y & (x, y) \\ \hline 0 & 10 & (0, 10) \\ 20 & 0 & (20, 0) \\ \hline \end{array}$
Buat titik di $(0, 10)$ dan $(20, 0)$, lalu tarik garis lurus melalui kedua titik tersebut. Garis itu mewakili persamaan $2y+x=20$. Karena pertidaksamaannya berbentuk $2y+x \leq 20$, maka kita perlu menentukan titik uji guna mencari daerah penyelesaiannya. Pilih titik $(0, 0)$, lalu substitusi:
$2(0) + 0 \leq 20 \Leftrightarrow 0 \leq 20$ (BENAR)
Artinya, daerah penyelesaiannya di bidang bawah (menerima titik $(0, 0)$).

Tabel pasangan titik untuk $x + y \geq 9$:
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & y & (x, y) \\ \hline 0 & 9 & (0, 9) \\ 9 & 0 & (9, 0) \\ \hline \end{array}$
Buat titik di $(0, 9)$ dan $(9, 0)$, lalu tarik garis lurus melalui kedua titik tersebut. Garis itu mewakili persamaan $x+y=9$. Karena pertidaksamaannya berbentuk $x+y \geq 9$, maka kita perlu menentukan titik uji guna mencari daerah penyelesaiannya. Pilih titik $(0, 0)$, lalu substitusi:
$0 + 0 \geq 9 \Leftrightarrow 0 \geq 9$ (SALAH)
Artinya, daerah penyelesaiannya di bidang atas (menolak titik $(0, 0)$).
Grafik sistem pertidaksamaan linear
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut adalah daerah segiempat $PQRS$. Langkah selanjutnya adalah mencari koordinat masing-masing titik dengan menggunakan metode eliminasi atau substitusi (SPLDV).
Titik $P$ merupakan titik potong garis $x + y = 9$ dan $2y = x$. Penyelesaiannya adalah $(6, 3)$. Jadi, koordinat titik $P$ adalah $(6, 3)$.
Titik $Q$ merupakan titik potong garis $x + y = 9$ dan $y = 2x$. Penyelesaiannya adalah $(3, 6)$. Jadi, koordinat titik $Q$ adalah $(3, 6)$.
Titik $R$ merupakan titik potong garis $2y + x = 20$ dan $y = 2x$. Penyelesaiannya adalah $(4, 8)$. Jadi, koordinat titik $R$ adalah $(4, 8)$.
Titik $S$ merupakan titik potong garis $2y + x = 20$ dan $2y = x$. Penyelesaiannya adalah $(10, 5)$. Jadi, koordinat titik $S$ adalah $(10, 5)$.
Terakhir, kita akan menguji nilai setiap titik pojok daerah penyelesaian terhadap fungsi objektif $f(x, y) = 3y-x$.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & \text{Nilai} \\ \hline P(6,3) & 3(3)-6=3 \\ \hline Q(3,6) & 3(6)-3 = 15 \\ \hline R(4, 8) & \color{red}{3(8)-4 = 20} \\ \hline S(10, 5) & 3(5)-10 = 5 \\ \hline \end{array}$
Jadi, nilai maksimum dari $3y-x$ adalah $\boxed{20}$ dan tercapai di titik $R$.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 13
Luas daerah yang dibatasi oleh $2x-y \leq 2$, $x+y \leq 10$, dan $x \geq-2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $44$ satuan luas               D. $54$ satuan luas
B. $48$ satuan luas               E. $56$ satuan luas
C. $50$ satuan luas

Pembahasan

Pertama, akan digambar grafik dari $2x-y \leq 2$ terlebih dahulu.
Uji titik untuk persamaan $2x-y=2$.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 \\ \hline y &-2 & 0 \\ \hline (x, y) & (0,-2) & (1, 0) \\ \hline \end{array}$
Grafik melalui titik $(0,-2)$ dan $(1, 0)$.
Sekarang kita akan mencari daerah penyelesaiannya dengan uji titik $(0, 0)$ pada pertidaksamaan $2x-y \leq 2$.
$2(0)-0 = 0 \leq 2$ (BENAR)
Ini berarti, daerah penyelesaiannya ada di daerah yang memuat titik $(0, 0)$. Dengan demikian, gambar grafik $2x-y \leq 2$ adalah sebagai berikut.

Kedua, akan digambar grafik dari $x+y \leq 10$.
Uji titik untuk persamaan $x+y=10$.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 10 \\ \hline y & 10 & 0 \\ \hline (x, y) & (0, 10) & (10, 0) \\ \hline \end{array}$
Grafik melalui titik $(0, 10)$ dan $(10, 0)$.
Sekarang kita akan mencari daerah penyelesaiannya dengan uji titik $(0, 0)$ pada pertidaksamaan $x+y \leq 10$.
$0+0 = 0 \leq 10$ (BENAR)
Ini berarti, daerah penyelesaiannya ada di daerah yang memuat titik $(0, 0)$. Dengan demikian, gambar grafik $x+y \leq 10$ adalah sebagai berikut.

Ketiga, akan digambar grafik dari $x \geq-2$.
Posisikan titik $(-2, 0)$, lalu tarik garis tegak (vertikal) panjang melalui titik tersebut. Karena bertanda lebih besar, maka daerah penyelesaiannya di sebelah kanan garis seperti gambar berikut.

Sekarang, gabungkan ketiga grafik dalam satu sistem koordinat sehingga akan ditemukan daerah penyelesaian yang dimaksud pada soal.

Daerah penyelesaiannya berupa sebuah segitiga sembarang. Kita namai sebagai segitiga $ABC$.
Koordinat titik $A$ dapat dicari dengan mensubstitusikan $x =-2$ pada persamaan $x + y = 10$.
$\color{red}{-2} + y = 10 \Leftrightarrow y = 12$
Jadi, koordinat titik $A$ adalah $(-2, 12)$.
Koordinat titik $B$ dapat dicari dengan mensubstitusikan $x =-2$ pada persamaan $2x-y = 2$.
$2\color{red}{-2}-y = 2 \Leftrightarrow-4-y = 2 \Leftrightarrow y =-6$
Jadi, koordinat titik $B$ adalah $(-2,-6)$.
Titik $C$ merupakan titik potong garis $x + y = 10$ dan $2x-y=2$.
Substitusi $x = 10-y$ pada $2x-y=2$ untuk mendapatkan
$\begin{aligned} 2\color{blue}{(10-y)}-y & = 2 \\ 20-3y & = 2 \\-3y & =-18 \\ y & = 6 \end{aligned}$
Substitusi $y = 6$ pada persamaan $x+y=10$ sehingga diperoleh $x=4$.
Jadi, koordinat titik $C$ adalah $(4, 6)$.
Sekarang, kita dapat mengukur panjang alas dan tinggi segitiga seperti gambar berikut.

Luas segitiga $ABC$ adalah
$\text{L} = \dfrac{a \times t}{2} = \dfrac{\cancelto{9}{18} \times 6}{\cancel{2}} = 54$
Jadi, Luas daerah yang dibatasi oleh $2x-y \leq 2$, $x+y \leq 10$, dan $x \geq-2$ adalah $54$ satuan luas.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14 ($\bigstar$)
Agar fungsi $f(x, y)=nx+4y$ dengan kendala $2x+y \geq 10$, $x+2y \geq 8$, $x \geq 0$, dan $y \geq 0$ mencapai minimum hanya di titik $(4, 2)$, maka konstanta $n$ memenuhi $\cdots \cdot$
A. $n \leq -8$ atau $n \geq -2$
B. $n \leq 2$ atau $n \geq 8$
C. $-2 \leq n \leq 8$
D. $2 \leq n \leq 8$
E. $2 \leq n \leq 10$

Pembahasan

Gunakan konsep gradien fungsi.
$$\boxed{\text{Garis}~ax+by+c=0~\text{memiliki gra}\text{dien}~m = -\dfrac{a}{b}}$$

  1. Gradien $f(x, y) = nx + 4y$ adalah $m = -\dfrac{n}{4}$.
  2. Gradien $2x+y=10$ adalah $m=-2$.
  3. Gradien $x+2y=8$ adalah $m=-\dfrac12$.

Perhatikan bahwa titik $(4, 2)$ merupakan titik potong kedua kendala seperti tampak pada gambar.

Agar $f$ selalu minimum di $(4, 2)$, maka gradien garisnya harus di antara gradien kedua kendala itu (inklusif), yakni
$\begin{aligned} -2 \leq -\dfrac{n}{4} \leq -\dfrac12 \\ \dfrac12 \leq \dfrac{n}{4} \leq 2 \\ 2 \leq n \leq 8 \end{aligned}$
Jadi, nilai konstanta $n$ adalah $\boxed{2 \leq n \leq 8}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 15 ($\bigstar$)
Jika nilai maksimum $x+y$ pada himpunan $\{(x, y)~|~x \geq 0, y \geq 0, x+3y \leq 6, 3x+y \leq a\}$ adalah $4$, maka nilai $a = \cdots \cdot$
A. $6$                     C. $10$                 E. $16$
B. $8$                     D. $12$

Pembahasan

Syarat batas nilai $x$ adalah
$\begin{cases} x & \geq 0 \\ y & \geq 0 \\ \color{blue}{x+3y} & \leq \color{blue}{6} \\ \color{red}{3x+y} & \leq \color{red}{a} \end{cases}$
Dari sini, kita dapat peroleh
$\begin{aligned} \color{blue}{(x+3y)}+\color{red}{(3x+y)} & \leq \color{blue}{6}+\color{red}{a} \\ 4x+4y & \leq 6+a \\ 4(x+y) & \leq 6+a \end{aligned}$
Nilai maksimum $x+y$ adalah $4$ sehingga
$\begin{aligned} 4 \times \color{blue}{4} & = 6+a  \\ 16 & = 6+a \\ a & = 10 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{a=10}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 16
Seorang pedagang paling sedikit menyewa $28$ kendaraan untuk jenis truk dan colt, dengan jumlah yang diangkut sebanyak $272$ karung. Truk dapat mengangkut tidak lebih dari $14$ karung dan colt $8$ karung. Ongkos sewa truk Rp500.000,00 dan colt Rp300.000,00. Jika $x$ menyatakan banyaknya truk dan $y$ menyatakan banyaknya colt, maka model matematika dari permasalahan di atas adalah $\cdots \cdot$
A. $x + y \leq 28; 7x + 4y \leq 136; x \geq 0; y \geq 0$
B. $x + y \geq 28; 7x + 4y \leq 136; x \geq 0; y \geq 0$
C. $x + y \geq 28; 4x + 7y \geq 136; x \geq 0; y \geq 0$
D. $x + y \leq 28; 7x + 4y \geq 136; x \geq 0; y \geq 0$
E. $x + y \leq 28; 4x + 7y \leq 136; x \geq 0; y \geq 0$

Pembahasan

Misalkan $x$ menyatakan banyaknya truk dan $y$ menyatakan banyaknya colt, maka dapat dibentuk model matematika berupa sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut dengan memperhatikan tabel di bawah.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Truk} & \text{Colt} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Banyak Karung} & 14 & 8  & \leq 272 \\ \text{Kuantitas} & 1 & 1 & \geq 28 \\ \hline \end{array}$$ $\begin{cases} x + y \geq 28 \\  14x + 8y \leq 272 \Rightarrow 7x + 4y \leq 136 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$

(Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 17
Anis akan membeli mangga dan apel. Jumlah buah yang dibeli paling sedikit $12$ buah. Mangga yang dibeli paling banyak $6$ buah. Harga mangga Rp2.000,00 per buah dan apel Rp4.000,00 per buah. Ia mempunyai uang Rp20.000,00. Jika ia membeli $x$ mangga dan $y$ apel, maka sistem pertidaksamaan yang sesuai adalah $\cdots \cdot$
A. $x + 2y \geq 10; x + y \geq 12; x \geq 6$
B. $x + 2y \leq 10; x + y \geq 12; x \leq 6$
C. $x + 2y \leq 10; x + y \leq 12; x \geq 6$
D. $x + 2y \leq 10; x + y \geq 12; x \geq 6$
E. $x + 2y \geq 10; x + y \geq 12; x \leq 6$

Pembahasan

Misalkan $x$ menyatakan banyaknya mangga dan $y$ menyatakan banyaknya apel, maka dapat dibentuk model matematika berupa sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut dengan memperhatikan tabel di bawah.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Mangga} & \text{Apel} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Uang} & 2.000 & 4.000  &  \leq 20.000 \\ \text{Kuantitas} & 1 & 1 & \geq 12 \\ & \leq 6 & & \\ \hline \end{array}$$ $$\begin{cases} 2.000x + 4.000y \leq 20.000 \Leftrightarrow x + 2y \leq 10 \\  x + y \geq 12 \\ x \leq 6 \end{cases}$$(Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 18 
Seorang pengusaha roti akan membuat roti. Roti jenis I membutuhkan $20$ gram tepung dan $10$ gram mentega, sedangkan roti jenis II membutuhkan $15$ gram tepung dan $10$ gram mentega. Bahan yang tersedia adalah tepung $5$ kg dan mentega $4$ kg. Jika $x$ menyatakan banyaknya roti jenis I dan $y$ menyatakan banyaknya jenis roti II, model matematika persoalan tersebut adalah $\cdots \cdot$
$$\begin{aligned} & \text{A}. 4x+3y \geq 1000; x+y \geq 400; x \geq 0; y \geq 0 \\ & \text{B}. 4x+3y \geq 1000; x+y \leq 400; x \geq 0; y \geq 0 \\ & \text{C}. 4x+3y \leq 1000; x+y \geq 400; x \geq 0; y \leq 0 \\ & \text{D}. 4x+3y \leq 1000; x+y \leq 400; x \geq 0; y \geq 0 \\ & \text{E}. 4x+3y \geq 1000; x+y \geq 400; x \leq 0; y \leq 0 \end{aligned}$$

Pembahasan

Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, dapat disusun tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Roti Jenis I} & \text{Roti Jenis II} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Tepung} & 20 & 15  & \leq 5000 \\ \text{Mentega} & 10 & 10 & \leq 4000 \\ \hline \end{array}$$Semua satuan produk pada tabel di atas menggunakan satuan gram (5 kg = 5.000 g, 4 kg = 4.000 g). Tanda $\leq$ digunakan karena kebutuhan bahan pembuatan roti tidak boleh melebihi persediaan yang ada. Karena $x, y$ masing-masing mewakili banyaknya roti jenis I dan roti jenis II, maka haruslah $x \geq 0, y \geq 0$.
Untuk itu, model matematika persoalan tersebut adalah
$\begin{cases} 20x + 15y \leq 5.000 \\ 10x + 10y \leq 4.000 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
atau disederhanakan menjadi
$\begin{cases} 4x + 3y \leq 1.000 \\ x + y \leq 400 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 16
Luas sebuah tempat parkir adalah $420~\text{m}^2$. Tempat parkir yang diperlukan oleh sebuah sedan adalah $5~\text{m}^2$ dan luas rata-rata sebuah truk $15~\text{m}^2$. Tempat parkir tersebut dapat menampung tidak lebih dari $60$ kendaraan. Biaya parkir untuk sebuah sedan Rp3.000,00 dan untuk sebuah truk Rp5.000,00. Jika banyak sedan yang diparkir $x$ buah dan banyak truk $y$ buah, model matematika dari masalah tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $x+3y \leq 84, x + y \leq 60, x \geq 0, y \geq 0$
B. $x+3y \geq 84, x + y \leq 60, x \geq 0, y \geq 0$
C. $x+3y \leq 84, x + y \geq 60, x \geq 0, y \geq 0$
D. $x+3y \geq 84, x + y \geq 60, x \geq 0, y \geq 0$
E. $3x+y \leq 84, x + y \leq 60, x \geq 0, y \geq 0$

Pembahasan

Misalkan $x, y$ berturut-turut menyatakan banyaknya sedan dan truk. Untuk itu, dapat dibuat sistem pertidaksamaan linear yang disusun berdasarkan tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Sedan} & \text{Truk} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Luas parkiran} & 5 & 15  & \leq 420 \\ \text{Kuantitas} & 1 & 1 & \leq 60 \\ \hline \end{array}$$ $\begin{cases} 5x + 15y \leq 420 \\ x + y \leq 60 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
atau disederhanakan menjadi
$\begin{cases} x + 3y \leq 84 \\ x + y \leq 60 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
(Jawaban A) 

[collapse]

Soal Nomor 19
Untuk menambah penghasilan, seorang ibu rumah tangga setiap harinya memproduksi dua jenis kue untuk dijual. Setiap kue jenis I modalnya Rp1.000,00 dengan keuntungan Rp800,00, sedangkan setiap kue jenis II modalnya Rp1.500,00 dengan keuntungan Rp900,00. Jika modal yang tersedia setiap harinya adalah Rp500.000,00 dan paling banyak hanya dapat memproduksi $400$ kue, maka keuntungan terbesar yang dapat diperoleh ibu rumah tangga tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. Rp300.000,00           
B. Rp320.000,00            
C. Rp340.000,00
D. Rp360.000,00
E. Rp400.000,00

Pembahasan

Misalkan banyaknya kue jenis I dan II berturut-turut dinotasikan sebagai $x$ dan $y$. Dengan demikian, dapat dibentuk sistem pertidaksamaan linear berdasarkan tabel berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \text{K1} & \text{K2} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Kuantitas} &  1 & 1 & \leq 400 \\ \text{Biaya} & 1000 & 1500 & \leq 500.000 \\ \hline \end{array}$
$\begin{cases} 1.000x + 1.500y \leq 500.000 \\ x + y \leq 400 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
atau dapat disederhanakan menjadi
$\begin{cases} 2x + 3y \leq 1.000 \\ x + y \leq 400 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
yang merupakan kendala dari fungsi objektif $P = 800x + 900y$. Dalam hal ini, akan dicari nilai maksimum dari $P$ dengan uji titik pojok daerah penyelesaiannya.
Gambarkan grafik dari sistem pertidaksamaan linear di atas pada sistem koordinat Kartesius seperti berikut.

Titik pojok daerah penyelesaian tersebut adalah $B(400, 0), C(200, 200)$, dan $D\left(0, \dfrac{1000}{3}\right)$. Uji ketiga titik pojoknya pada fungsi objektif $P = 800x + 900y$ dengan menggunakan tabel seperti di bawah.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & P = 800x+900y \\ \hline B(400,0) & 320.000  \\ \color{green}{C(200, 200)} & \color{green}{340.000} \\ D\left(0, \dfrac{1000}{3}\right) & 300.000 \\ \hline \end{array}$
Jadi, keuntungan terbesar yang dapat diperoleh ibu rumah tangga tersebut adalah Rp340.000,00.
(Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 20
Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung $5$ unit vitamin A dan $3$ unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung $10$ unit vitamin A dan $1$ unit vitamin B. Dalam $1$ hari, anak tersebut memerlukan $25$ vitamin A dan $5$ unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp4.000,00 per butir dan tablet II Rp8.000,00 per butir, maka pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah $\cdots \cdot$
A. Rp6.000,00
B. Rp6.700,00
C. Rp7.000,00
D. Rp20.000,00
E. Rp22.000,00   

Pembahasan

Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, dapat disusun tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Tablet Jenis I} & \text{Tablet Jenis II} & \text{Kebutuhan} \\ \hline \text{Vit. A} & 5 & 10  & \geq 25 \\ \text{Vit. B} & 3 & 1 & \geq 5 \\ \hline \end{array}$$Dari tabel di atas, dapat disusun sistem pertidaksamaan linear
$\begin{cases} & 5x + 10y \geq 25 \Rightarrow x + 2y \geq 5 \\ & 3x + y \geq 5 \\ & x \geq 0 \\ & y \geq 0 \end{cases}$
yang merupakan kendala dari fungsi objektif $P = 4.000x + 8.000y$.
Gambarkan grafik dari setiap pertidaksamaan linear di atas pada koordinat Kartesius seperti berikut.

Daerah penyelesaiannya tampak pada gambar di atas (diwarna), dengan titik pojok $A(0,5), B(1, 2)$, dan $C(5, 0)$. Perhatikan bahwa koordinat titik $B$ dapat ditentukan dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.
Selanjutnya, ujilah nilai optimum dari masing-masing titik pojok itu terhadap fungsi objektif $P = 4.000x+8.000y$ dengan menggunakan tabel seperti di bawah ini.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & P = 4.000x+8.000y \\ \hline A(0, 5) & 40.000 \\ \color{green}{B(1, 2)} & \color{green}{20.000} \\ \color{green} {C(5, 0)} & \color{green}{20.000} \\ \hline \end{array}$
Berdasarkan tabel di atas, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari sesuai dengan persoalan tersebut adalah Rp20.000,00.
(Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 21
Suatu area parkir mempunyai luas $1.760~\text{m}^2$. Luas rata-rata untuk mobil kecil $4~\text{m}^2$ dan mobil besar $20~\text{m}^2$. Daya tampung daerah parkir maksimum 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp1.000,00/jam dan mobil besar Rp2.000,00/jam. Jika dalam satu jam daerah parkir terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, maka penghasilan maksimum tempat parkir itu sebesar $\cdots \cdot$
A. Rp176.000,00          
B. Rp200.000,00          
C. Rp260.000,00
D. Rp300.000,00
E. Rp340.000,00

Pembahasan

Misalkan $x, y$ berturut-turut menyatakan banyaknya mobil kecil dan mobil besarmaka dapat dibentuk model matematika berupa sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut dengan memperhatikan tabel di bawah.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Mobil Kecil} & \text{Mobil Besar} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Luas} & 4 & 20  &  \leq 1.760 \\ \text{Kuantitas} & 1 & 1 & \leq 200 \\ \hline \end{array}$$ $\begin{cases} 4x + 20y \leq 1.760 \Leftrightarrow x + 5y \leq 440 \\ x + y \leq 200 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
Fungsi objektif: $Z = 1.000x + 2.000y$
Gambarkan sistem pertidaksamaan linear di atas ke dalam sistem koordinat.

Daerah yang diarsir merupakan daerah penyelesaian dengan tiga titik pojok, yaitu titik $B(200, 0), C(140, 60)$, dan $D(0, 88)$.
Untuk mencari koordinat titik $C$, carilah penyelesaian dari $\begin{cases} x + y = 200 \\ x + 5y = 440 \end{cases}$ karena $C$ merupakan titik potong kedua garis itu.
Uji ketiga titik pojok pada fungsi objektif $Z = 1.000x + 2.000y$.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & Z = 1.000x + 2.000y \\ \hline B(200, 0) & 200.000 \\ \color{green}{C(140, 60)} & \color{green}{260.000} \\ D(0, 88) & 176.000  \\ \hline \end{array}$
Dari tabel di atas, diketahui bahwa keuntungan maksimum yang dapat dicapai sebesar Rp260.000,00.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 22
Panitia karyawisata suatu sekolah ingin menyewa 2 jenis bus selama 3 hari. Bus jenis A dapat menampung $30$ orang dengan harga Rp3.000.000,00. Bus jenis B dapat menampung 40 orang dengan harga Rp4.500.000,00. Karyawisata tersebut diikuti oleh $240$ orang. Jika bus yang dibutuhkan paling banyak $7$ unit, maka jenis bus yang harus disewa agar pengeluaran seminimum mungkin adalah $\cdots \cdot$
A. 7 bus jenis A
B. 6 bus jenis B
C. 4 bus jenis A dan 3 bus jenis B
D. 3 bus jenis B dan 4 bus jenis A
E. 2 bus jenis A dan 3 bus jenis B

Pembahasan

Misalkan $x$ dan $y$ berturut-turut menyatakan banyaknya bus jenis A dan bus jenis B yang disewa.
Fungsi objektif dari kasus di atas adalah $f(x, y) = 3.000.000x + 4.500.000y$.
Tabel berikut digunakan untuk menentukan sistem pertidaksamaan linear.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & x & y & \text{Batas} \\ \hline \text{Kapasitas} & 30 & 40 & \ge 240 \\ \text{Banyak Bus} & 1 & 1 & \le 7 \\ \hline \end{array}$$Sistem pertidaksamaan linear yang sesuai untuk kasus ini adalah
$$\begin{cases} 30x + 40y & \ge 240 \\ x + y & \le 7 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$atau dapat disederhanakan menjadi
$$\begin{cases} 3x + 4y & \ge 24 \\ x + y & \le 7 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$Gambarkan daerah penyelesaiannya, kemudian tentukan titik pojoknya.
Dari gambar, diketahui ada $3$ titik pojok, yaitu titik $A, B$, dan $C$. Titik $B$ merupakan titik potong kedua garis dan koordinatnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x + 4y & = 24 \\ x + y & = 7 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~3x+4y & = 24 \\ 3x + 3y & = 21 \end{aligned} \\ & \rule{3 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} y & = 3 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $y = 3$, sehingga didapat $x = 4$. Jadi, koordinat titik $B$ adalah $(4, 3)$. Sekarang, uji nilai pada fungsi objektif.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & f(x, y) = 3.000.000x + 4.500.000y \\ \hline A(0, 6) & 27.000.000 \\ \hline B(4, 3) & \color{red}{25.500.000} \\ \hline C(0, 7) & 31.500.000 \\ \hline \end{array}$$Pengeluaran minimum tercapai di titik pojok $B(4, 3)$. Ini artinya, pengeluaran akan minimum bila jenis bus yang disewa adalah 4 bus jenis A dan 3 bus jenis B.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 23
Seorang pedagang kopi akan membuat kopi campuran dengan cara mencampur kopi toraja dan kopi flores. Kopi campuran yang pertama terdiri dari 4 kg kopi toraja dan 6 kg kopi flores, sedangkan kopi campuran yang kedua terdiri dari 8 kg kopi toraja dan 2 kg kopi flores. Kopi yang tersedia untuk kopi toraja dan kopi flores berturut-turut adalah 48 ton dan 54 ton. Jika harga jual kopi campuran pertama adalah Rp80.000,00/kg dan harga jual kopi campuran kedua adalah Rp100.000,00/kg, maka penjualan maksimum yang diperoleh sebesar $\cdots \cdot$
A. Rp600.000.000,00
B. Rp720.000.000,00
C. Rp852.000.000,00
D. Rp900.000.000,00
E. Rp974.000.000,00

Pembahasan

Misalkan $x$ dan $y$ berturut-turut menyatakan banyaknya kopi campuran pertama dan kopi campuran kedua (dalam satuan kg).
Fungsi objektif dari kasus di atas adalah $f(x, y) = 80.000x + 100.000y$.
Tabel berikut digunakan untuk menentukan sistem pertidaksamaan linear.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & x & y & \text{Batas} \\ \hline \text{Kopi Toraja} & 4 & 8 & \le 48.000 \\ \text{Kopi Flores} & 6 & 2 & \le 54.000 \\ \hline \end{array}$$Catatan: 1 ton = 1.000 kg.
Sistem pertidaksamaan linear yang sesuai untuk kasus ini adalah
$$\begin{cases} 4x + 8y & \le 48.000 \\ 6x + 2y & \le 54.000 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$atau dapat disederhanakan menjadi
$$\begin{cases} x + 2y & \le 12.000 \\ 3x + y & \le 27.000 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$Gambarkan daerah penyelesaiannya, kemudian tentukan titik pojoknya.
Dari gambar, diketahui ada $4$ titik pojok, yaitu titik $A, B, C$, dan $D$. Titik $C$ merupakan titik potong kedua garis dan koordinatnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x + 2y & = 12.000 \\ 3x + y & = 27.000 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~3x + 6y & = 36.000 \\ 3x + y & = 27.000 \end{aligned} \\ & \rule{3.8 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 5y & = 9.000 \\ y & = 1.800 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $y = 1.800$, sehingga didapat $x = 8.400$. Jadi, koordinat titik $C$ adalah $(8.400, 1.800)$. Sekarang, uji nilai pada fungsi objektif.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & f(x, y) = 80.000x + 100.000y \\ \hline A(0, 0) & 0 \\ \hline B(9.000, 0) & 720.000.000 \\ \hline C(8.400, 1.800) & \color{red}{852.000.000} \\ \hline D(0, 6.000) & 600.000.000 \\ \hline \end{array}$$Jadi, penghasilan maksimum yang diperoleh sebesar Rp852.000.000,00, tercapai ketika terjual sebanyak 8.400 kg kopi campuran pertama dan 1.800 kopi campuran kedua.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 24
Bu Beatrix menjual dua jenis kue, yaitu kue sus kering dan kue nastar. Kue sus kering dibeli dengan harga Rp20.000,00 per stoples dan dijual dengan laba $40\%$. Kue nastar dibeli dengan harga Rp30.000,00 per stoples dan dijual dengan laba $30\%$. Jika Bu Beatrix memiliki modal Rp10.000.000,00 dan penjualan maksimum sebanyak $400$ stoples per hari, maka keuntungan maksimum yang diperoleh Bu Beatrix adalah $\cdots \cdot$
A. Rp3.000.000,00
B. Rp3.200.000,00
C. Rp3.400.000,00
D. Rp3.600.000,00
E. Rp4.000.000,00

Pembahasan

Misalkan $x$ dan $y$ berturut-turut menyatakan banyaknya kue sus kering dan kue nastar yang dijual (dalam satuan stoples).
Fungsi objektif dari kasus di atas adalah
$$\begin{aligned} f(x, y) & = 40\% \cdot 20.000x + 30\% \cdot 30.000 \\ & = 8.000x + 9.000y \end{aligned}$$Tabel berikut digunakan untuk menentukan sistem pertidaksamaan linear.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & x & y & \text{Batas} \\ \hline \text{Harga Beli} & 20.000 & 30.000 & \le 10.000.000 \\ \text{Banyak Kue (Stoples)} & 1 & 1 & \le 400 \\ \hline \end{array}$$Sistem pertidaksamaan linear yang sesuai untuk kasus ini adalah
$$\begin{cases} 20.000x + 30.000y & \le 10.000.000 \\ x + y & \le 400 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$atau dapat disederhanakan menjadi
$$\begin{cases} 2x + 3y & \le 1.000 \\ x +y & \le 400 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$Gambarkan daerah penyelesaiannya, kemudian tentukan titik pojoknya.
Dari gambar, diketahui ada $4$ titik pojok, yaitu titik $A, B, C$, dan $D$. Titik $C$ merupakan titik potong kedua garis dan koordinatnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x + 3y & = 1.000 \\ x+y & = 400 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2x+3y & = 1.000 \\ 2x+2y & = 800 \end{aligned} \\ & \rule{3 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} y & = 200 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $y = 200$, sehingga didapat $x = 200$. Jadi, koordinat titik $C$ adalah $(200, 200)$. Karena nilai $y$ menyatakan banyak stoples kue, maka nilainya harus bulat, sehingga diambil $D$ berkoordinat $(0, 333)$. Sekarang, uji nilai pada fungsi objektif.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & f(x, y) = 8.000x + 9.000y \\ \hline A(0, 0) & 0 \\ \hline B(400, 0) & 3.200.000 \\ \hline C(200, 200) & \color{red}{3.400.000} \\ \hline D(0, 333) & 2.997.000 \\ \hline \end{array}$$Jadi, penghasilan maksimum yang diperoleh Bu Beatrix sebesar Rp3.400.000,00, tercapai ketika terjual sebanyak 200 stoples kue sus kering dan 200 stoples kue nastar.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 25
Seorang penjahit memiliki persediaan $20$ m kain polos dan $20$ m kain bergaris untuk membuat $2$ jenis pakaian. Pakaian model $1$ memerlukan $1$ m kain polos dan $3$ m kain bergaris. Pakaian model II memerlukan $2$ m kain polos dan $1$ m kain bergaris. Pakaian model I dijual dengan harga Rp150.000,00 per potong dan pakaian model II dijual dengan harga Rp100.000,00 per potong. Penghasilan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut adalah $\cdots \cdot$

A. Rp1.400.000,00
B. Rp1.600.000,00
C. Rp1.800.000,00
D. Rp1.900.000,00
E. Rp2.000.000,00

Pembahasan

Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, dapat disusun tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Model I} & \text{Model II} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Kain Polos} & 1 & 2  & \leq 20 \\ \text{Kain Bergaris} & 3 & 1 & \leq 20 \\ \hline \end{array}$$Dari tabel di atas, dapat disusun sistem pertidaksamaan linear di mana $x$ adalah banyaknya pakaian model I dan $y$ adalah banyaknya pakaian model II.
$\begin{cases} & x + 2y \leq 20 \\ & 3x + y \leq 20 \\ & x \geq 0 \\ & y \geq 0 \end{cases}$
yang merupakan kendala dari fungsi objektif $P = 150.000x + 100.000y$.
Gambarkan grafik dari setiap pertidaksamaan linear di atas pada koordinat Kartesius seperti berikut.

Daerah penyelesaiannya tampak pada gambar di atas (diwarna), dengan titik pojok $B\left(\dfrac{20}{3}, 0\right), C(4, 8)$, dan $D(0, 10)$. Perhatikan bahwa koordinat titik $C$ dapat ditentukan dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.
Selanjutnya, ujilah nilai optimum dari masing-masing titik pojok itu terhadap fungsi objektif $P = 150.000x + 100.000y$ dengan menggunakan tabel seperti di bawah ini.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & P = 150.000x + 100.000y \\ \hline B\left(\dfrac{20}{3}, 0\right) & 1.000.000 \\ \color{green}{C(4, 8)} & \color{green}{1.400.000} \\ D(0, 10) & 1.000.000 \\ \hline \end{array}$
Berdasarkan tabel di atas, penghasilan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut adalah Rp1.400.000,00.
(Jawaban A) 

[collapse]

Soal Nomor 26
Seorang perajin tas membuat dua jenis tas. Sebuah tas jenis I memerlukan $300~\text{cm}^2$ kulit sintetis dan $1.000~\text{cm}^2$ kain kanvas, sedangkan sebuah tas jenis II memerlukan $250~\text{cm}^2$ kulit sintetis dan $500~\text{cm}^2$ kain kanvas. Persediaan kulit sintetis dan kain kanvas berturut-turut adalah $4.500~\text{cm}^2$ dan $12.000~\text{cm}^2$. Perajin tas menginginkan laba dari penjualan tas jenis I dan tas jenis II berturut-turut sebesar Rp30.000,00 dan Rp25.000,00 per buah. Jika seluruh tas terjual, laba maksimum yang dapat diperoleh perajin tas adalah $\cdots \cdot$
A. Rp360.000,00
B. Rp435.000,00
C. Rp450.000,00
D. Rp540.000,00
E. Rp630.000,00

Pembahasan

Misalkan $x$ dan $y$ berturut-turut menyatakan banyaknya tas jenis I dan tas jenis II yang dijual. Fungsi objektif dari masalah di atas adalah $f(x, y) = 30.000x + 25.000y$.
Tabel berikut dapat dipakai untuk membuat sistem pertidaksamaan linear.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & x & y & \text{Batas} \\ \hline \text{Kulit Sintetis} & 300 & 250 & \le 4.500 \\ \text{Kain Kanvas} & 1.000 & 500 & \le 12.000 \\ \hline \end{array}$$Sistem pertidaksamaan linear yang merepresentasikan kasus di atas adalah $$\begin{cases} 300x + 250y & \le 4.500 \\ 1.000x + 500y & \le 12.000 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$atau disederhanakan menjadi $$\begin{cases} 6x + 5y & \le 90 \\ 2x + y & \le 24 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$Selanjutnya, tentukan daerah penyelesaian dan titik-titik pojoknya.
Dari gambar, terdapat 4 titik pojok, yaitu titik $A, B, C$, dan $D$. Titik pojok $C$ merupakan titik potong kedua garis dan koordinatnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x + y & = 24 \\ 6x + 5y & = 90 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 5 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~10x+5y & = 120 \\ 6x + 5y & = 90 \end{aligned} \\ & \rule{3.2 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 4x & = 30 \\ x & = 7,5 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi dan diperoleh $x = 9$. Perlu diperhatikan bahwa $x$ menyatakan banyak tas, sehingga nilainya harus bulat. Oleh karena itu, kita anggap titik pojok $C$ berkoordinat $(7, 9)$. Sekarang, kita sudah peroleh 4 titik pojok beserta koordinatnya. Uji nilai pada fungsi objektif.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & f(x, y) = 30.000x + 25.000y \\ \hline A(0,0) & 0 + 0 = 0 \\ \hline B(12, 0) & 30.000(12) + 0 = 360.000 \\ \hline C(7, 9) & 30.000(7) + 25.000(9) = \color{red}{435.000} \\ \hline D(0, 18) & 0 + 25.000(8) = 200.000 \\ \hline \end{array}$$Jadi, laba maksimum yang diperoleh perajin tas adalah sebesar Rp435.000,00, tercapai Ketika menjual 7 tas jenis I dan 9 tas jenis II.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 27
Pak Chandra memiliki suatu home industry alat kesenian yang menghasilkan 2 jenis produk, yaitu alat kesenian A dan B. Dua jenis alat kesenian tersebut diproduksi dengan mesin pemotong dan mesin pengamplas. Untuk memproduksi alat kesenian A diperlukan waktu kerja 2 jam pada mesin pemotong dan 1 jam pada mesin pengamplas. Untuk memproduksi alat kesenian B diperlukan waktu kerja 2 jam pada mesin pemotong dan 3 jam pada mesin pengamplas. Tiap jenis mesin bekerja tidak lebih dari $12$ jam sehari. Pak Chandra memperkirakan laba dari penjualan tiap unit alat kesenian A sebesar Rp175.000,00 dan alat kesenian B sebesar Rp215.000,00. Jika Pak Chandra memiliki 3 unit mesin pemotong dan 3 unit mesin pengamplas, maka keuntungan maksimumnya adalah $\cdots \cdot$
A. Rp1.575.000,00
B. Rp1.935.000,00
C. Rp2.580.000,00
D. Rp3.150.000,00
E. Rp3.510.000,00

Pembahasan

Misalkan $x$ dan $y$ berturut-turut adalah banyaknya alat kesenian A dan B yang diproduksi.
Fungsi objektifnya adalah $f(x, y) = 175.000x + 215.000y.$
Tabel berikut dapat dipakai untuk membuat sistem pertidaksamaan linear.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & x & y & \text{Batas} \\ \hline \text{Mesin Pemotong} & 2 & 2 & \le 12 \\ \text{Mesin Pengamplas} & 1 & 3 & \le 12 \\ \hline \end{array}$$Sistem pertidaksamaan linear yang merepresentasikan kasus di atas adalah $$\begin{cases} 2x + 2y & \le 12 \\ x + 3y & \le 12 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$atau disederhanakan menjadi $$\begin{cases} x + y & \le 6 \\ x + 3y & \le 12 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$Selanjutnya, tentukan daerah penyelesaian dan titik-titik pojoknya.Dari gambar, terdapat 4 titik pojok, yaitu titik $A, B, C$, dan $D$. Titik pojok $C$ merupakan titik potong kedua garis dan koordinatnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+3y & = 12 \\ x+y & = 6 \end{aligned} \\ \rule{2.1 cm}{0.6pt} – \\  \! \begin{aligned} 2y & = 6 \\ y & = 3 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi dan diperoleh $x = 3$. Sekarang, kita sudah peroleh 4 titik pojok beserta koordinatnya. Uji nilai pada fungsi objektif.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & f(x, y) = 175.000x + 215.000y \\ \hline A(0,0) & 0 + 0 = 0 \\ \hline B(6, 0) & 175.000(6) + 0 = 1.050.000 \\ \hline C(3,3) & 175.000(3) + 215.000(3) = \color{red}{1.170.000} \\ \hline D(0, 4) & 0 + 215.000(4) = 860.000 \\ \hline \end{array}$$Keuntungan maksimum yang dapat dicapai per hari dari penggunaan satu unit mesin pemotong dan mesin pengamplas adalah Rp1.170.000,00. Karena mesinnya masing-masing ada tiga unit, maka keuntungan maksimum menjadi 3 kali lipat, yaitu Rp3.510.000,00.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 28
Pak Alim memiliki lahan pertanian seluas $8$ hektare. Ia akan menanami lahan tersebut dengan tanaman padi dan jagung. Dari satu hektare lahan yang ditanam padi dapat dipanen $3$ ton padi, sedangkan dari satu hektare lahan yang ditanam jagung dapat dipanen $4$ ton jagung. Pak Alim ingin memperoleh hasil panen tidak kurang dari $30$ ton. Jika biaya menanam padi pada $1$ hektare lahan adalah Rp500.000,00 dan biaya menanam jagung pada $1$ hektare lahan adalah Rp600.000,00, maka biaya minimum yang harus dikeluarkan Pak Alim adalah $\cdots \cdot$
A. Rp5.500.000,00
B. Rp5.000.000,00
C. Rp4.800.000,00
D. Rp4.500.000,00
E. Rp4.200.000,00

Pembahasan

Misalkan $x$ dan $y$ berturut-turut menyatakan luas lahan yang ditanami padi dan jagung (dalam satuan hektare).
Fungsi objektif dari kasus di atas adalah $f(x, y) = 500.000x + 600.000y$.
Tabel berikut digunakan untuk menentukan sistem pertidaksamaan linear.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & x & y & \text{Batas} \\ \hline \text{Hasil Panen} & 3 & 4 & \ge 30 \\ \text{Luas Lahan} & 1 & 1 & \le 8 \\ \hline \end{array}$$Sistem pertidaksamaan linear yang sesuai untuk kasus ini adalah
$$\begin{cases} 3x + 4y & \ge 30 \\ x + y & \le 8 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$Gambarkan daerah penyelesaiannya, kemudian tentukan titik pojoknya.
Dari gambar, diketahui ada $3$ titik pojok, yaitu titik $A, B$, dan $C$. Titik $B$ merupakan titik potong kedua garis dan koordinatnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x+4y & = 30 \\ x+y & = 8\end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~3x+4y & = 30 \\ 3x+3y & = 24 \end{aligned} \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} y & = 6 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $y = 6$, sehingga didapat $x = 2$. Jadi, koordinat titik $B$ adalah $(2, 6)$. Perhatikan bahwa koordinat $A$ tidak bulat, tetapi ini tidak menjadi masalah, karena $x$ mewakili luas lahan dalam hektare, sehingga nilainya tidak harus bulat.
Sekarang, uji nilai pada fungsi objektif.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & f(x, y) = 500.000x + 600.000y \\ \hline A(0; 7,5) & \color{red}{4.500.000} \\ \hline B(2, 6) & 4.600.000 \\ \hline C(0, 8) & 4.800.000 \\ \hline \end{array}$$Jadi, biaya minimum yang harus dikeluarkan Pak Alim adalah Rp4.500.000,00.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 29
Pemerintah akan mengirim bantuan logistik minimal berupa $100$ peti makanan dan $84$ peti obat-obatan menggunakan $2$ jenis kendaraan, yaitu helikopter dan truk. Helikopter dapat mengangkut $10$ peti makanan dan $14$ peti obat-obatan. Truk dapat mengangkut $10$ peti makanan dan $6$ peti obat-obatan. Jika biaya operasional pengiriman menggunakan helikopter adalah Rp2.500.000,00 dan truk Rp1.500.000,00 sekali jalan, maka biaya minimum untuk mengangkut seluruh bantuan logistik adalah $\cdots \cdot$
A. Rp10.000.000,00
B. Rp12.000.000,00
C. Rp18.000.000,00
D. Rp21.000.000,00
E. Rp25.000.000,00

Pembahasan

Misalkan $x$ dan $y$ berturut-turut menyatakan banyaknya helikopter dan truk yang digunakan.
Fungsi objektif dari kasus di atas adalah $f(x, y) = 2.500.000x + 1.500.000y$.
Tabel berikut digunakan untuk menentukan sistem pertidaksamaan linear.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & x & y & \text{Batas} \\ \hline \text{Makanan} & 10 & 10 & \ge 100 \\ \text{Obat-obatan} & 14 & 6 & \ge 84 \\ \hline \end{array}$$Sistem pertidaksamaan linear yang sesuai untuk kasus ini adalah
$$\begin{cases} 10x + 10y & \ge 100 \\ 14x + 6y & \ge 84 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$atau dapat disederhanakan menjadi
$$\begin{cases} x + y & \ge 10 \\ 7x + 3y & \ge 42 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$Gambarkan daerah penyelesaiannya, kemudian tentukan titik pojoknya.
Dari gambar, diketahui ada $3$ titik pojok, yaitu titik $A, B$, dan $C$. Titik $B$ merupakan titik potong kedua garis dan koordinatnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 7x + 3y & = 42 \\ x+y & = 10 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~7x+3y & = 42 \\ 3x+3y & = 30 \end{aligned} \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 4x & = 12 \\ x & = 3 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $x = 3$, sehingga didapat $y = 7$. Jadi, koordinat titik $B$ adalah $(3, 7)$. Sekarang, uji nilai pada fungsi objektif.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & f(x, y) = 2.500.000x + 1.500.000y \\ \hline A(10, 0) & 25.000.000 \\ \hline B(3, 7) & \color{red}{18.000.000} \\ \hline C(0, 14) & 21.000.000 \\ \hline \end{array}$$Biaya minimum tercapai di titik pojok $B(3, 7)$, yaitu sebesar Rp18.000.000,00.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 30
Sebuah industri rumah tangga pembuat paku membuat $2$ jenis paku dan bahan yang tersedia setiap harinya, yaitu $60$ kg bahan $A$ dan $72$ kg bahan $B$. Tiap satu buah paku jenis I memerlukan $200$ gram bahan $A$ dan $160$ gram bahan $B$, sedangkan tiap satu buah paku jenis II memerlukan $250$ gram bahan $A$ dan $400$ gram bahan $B$. Jika paku jenis I dijual dengan harga Rp500,00/buah dan paku jenis II dijual dengan harga Rp350,00/buah, maka banyak paku yang harus dibuat setiap hari agar penghasilan maksimum adalah $\cdots \cdot$

  1. $120$ buah paku jenis I dan $150$ buah paku jenis II
  2. $120$ buah paku jenis I dan $150$ buah paku jenis II
  3. $180$ buah paku jenis II
  4. $300$ buah paku jenis II
  5. $300$ buah paku jenis I

Pembahasan

Misalkan $x$ dan $y$ berturut-turut menyatakan banyaknya paku jenis I dan paku jenis II yang dibuat.
Fungsi objektif dari kasus di atas adalah $f(x, y) = 500x + 350y$.
Tabel berikut digunakan untuk menentukan sistem pertidaksamaan linear.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & x & y & \text{Batas} \\ \hline \text{Bahan}~A & 200 & 250 & \le 60.000 \\ \text{Obat-obatan} & 160 & 400 & \le 72.000 \\ \hline \end{array}$$Catatan: 1 kg = 1.000 g.
Sistem pertidaksamaan linear yang sesuai untuk kasus ini adalah
$$\begin{cases} 200x + 250y & \le 60.000 \\ 160x + 400y & \le 72.000 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$atau dapat disederhanakan menjadi
$$\begin{cases} 4x + 5y & \le 1.200 \\ 2x + 5y & \le 900 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$Gambarkan daerah penyelesaiannya, kemudian tentukan titik pojoknya.
Dari gambar, diketahui ada $4$ titik pojok, yaitu titik $A, B, C$, dan $D$. Titik $C$ merupakan titik potong kedua garis dan koordinatnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.
$$\begin{aligned} & 4x+5y = 1.200 \\ & 2x + 5y = 900 \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt}- \\ & 2x = 300 \\ & x = 150 \end{aligned}$$Substitusi $x = 150$, sehingga didapat $y = 120$. Jadi, koordinat titik $C$ adalah $(150, 120)$. Sekarang, uji nilai pada fungsi objektif.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & f(x, y) = 500x + 350y \\ \hline A(0, 0) & 0 \\ \hline B (300, 0) & \color{red}{150.000} \\ \hline C(150, 120) & 117.000 \\ \hline D(0, 180) & 63.000 \\ \hline \end{array}$$Jadi, paku yang harus dibuat setiap hari agar penghasilan maksimum adalah paku jenis I sebanyak $300$ buah.
(Jawaban E)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Suatu lembaga survei disewa oleh stasiun TV di kota A untuk mengetahui animo pemirsa tentang program-program penyiaran TV tersebut. Ketentuan-ketentuan responden yang diajukan oleh pihak TV adalah sebagai berikut.

  1. Responden sekurang-kurangnya $500$ orang yang berasal dari luar kota A.
  2. Banyak responden dalam kota A tidak lebih dari responden luar kota A.
  3. Jumlah semua responden tidak lebih dari $1.500$ orang.


Jika lembaga survei telah menetapkan bahwa banyaknya responden di luar kota dan dalam kota A berturut-turut adalah $x$ dan $y$, maka:

  1. tuliskan sistem pertidaksamaan yang memenuhi masalah di atas;
  2. gambarkan daerah penyelesaiannya;
  3. tentukan koordinat titik pojoknya.

Pembahasan

Jawaban a)
Berturut-turut dari ketentuan pertama, kedua, dan ketiga, dapat dibuat sistem pertidaksamaan linear berikut. $$\begin{cases} x & \geq 500 \\ y & \le x \\ x + y & \le 1.500 \\ y & \ge 0 && (\text{kendala non-negatif}) \end{cases}$$atau dapat ditulis menjadi
$$\begin{cases} x & \geq 500 \\ -x+y & \le 0 \\ x + y & \le 1.500 \\ y & \ge 0 && (\text{kendala non-negatif}) \end{cases}$$Jawaban b)
Gambarkan grafik dari keempat pertidaksamaan di atas pada sistem koordinat, kemudian arsirlah daerah penyelesaian seperti tampak pada gambar berikut.
Jawaban c)
Dari gambar daerah penyelesaian di atas, terdapat 4 titik pojok, yaitu titik $A, B, C$, dan $D$. Titik $C$ merupakan titik potong garis $x + y = 1.500$ dan $-x + y = 0$. Dengan menggunakan metode substitusi-eliminasi, diperoleh $x = 750$ dan $y = 750$, sehingga koordinat titik $C$ adalah $(750, 750)$. Titik $D$ merupakan titik potong garis $-x + y = 0$ dan $x = 500$. Substitusi dan diperoleh $y = 500$. Jadi, koordinat titik $D$ adalah $(500, 500)$. Dengan demikian, koordinat keempat titik pojok itu dapat dinyatakan dalam tabel berikut. $$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & \text{Koordinat} \\ \hline A & (500, 0) \\ \hline B & (1500, 0) \\ \hline C & (750, 750) \\ \hline D & (500, 500) \\ \hline \end{array}$$

[collapse]