Soal dan Pembahasan – Relasi Rekursi Linear Homogen dengan Koefisien Konstan

Berikut ini penulis sajikan soal dan pembahasannya mengenai Relasi Rekursi Linear Homogen dengan Koefisien Konstan. Semoga bermanfaat.

Baca: Soal dan Pembahasan – Relasi Rekurensi dengan Fungsi Pembangkit

Quote by Merry Riana

Jadilah pemuda yang memberi solusi, menebarkan inspirasi, menoreh banyak prestasi, dan membakar semangat dan memotivasi.

Soal Nomor 1
Tentukan solusi khusus dari relasi rekursi $a_n = 2a_{n- 1}$ dengan $a_0 = 3$.

Pembahasan

Ubah persamaannya menjadi $a_n-  2a_{n- 1} = 0$.
Persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut adalah
$r- 2 = 0 \Leftrightarrow r = 2$
Solusi umum relasi rekursi dengan akar tunggal adalah $\boxed{a_n = C_1r^n}$
Berarti, solusi umum untuk kasus ini adalah $a_n = C_1(2)^n$.
Untuk menentukan nilai $C_1$, gunakan nilai awal yang telah diberikan, yaitu $a_0 = 3$. Substitusi $n = 0$ pada $a_n = C_1(2)^n$ untuk mendapatkan
$a_0 = C_1(2)^0 = 3 \Leftrightarrow C_1 = 3$.
Jadi, solusi khusus relasi rekursinya adalah $\boxed{a_n = 3(2)^n}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan solusi khusus dari relasi rekursi $a_n = a_{n- 1} + 2a_{n- 2}$ dengan $a_0 = 2$ dan $a_1 = 7$.

Pembahasan

Ubah persamaan yang diberikan menjadi
$a_n- a_{n- 1}- 2a_{n- 2} = 0$
Persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut adalah
$r^2- r- 2 = 0$
$(r- 2)(r + 1) = 0$
Diperoleh $r = 2$ atau $r =-1$.
Solusi umum relasi rekursi dengan 2 akar berbeda adalah $\boxed{a_n = C_1r_{1}^n + C_2r_{2}^n}$
Berarti, solusi umum berdasarkan nilai $r$ yang telah didapat adalah
$a_n = C_1(2)^n + C_2(-1)^n$
Untuk mendapatkan nilai $C_1$ dan $C_2$, masukkan $a_0 = 2$ dan $a_1 = 7$ ke persamaan itu.
$a_0 = C_1(2)^0 + C_2(-1)^0 \Rightarrow C_1 + C_2 = 2$
$a_1 = C_1(2)^1 + C_2(-1)^1 \Rightarrow 2C_1- C_2 = 7$
Selesaikan SPLDV tersebut sehingga diperoleh $C_1 = 3$ dan $C_2 =-1$.
Jadi, solusi khusus relasi rekursinya adalah $\boxed{a_n = 3(2)^n- (-1)^n}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan solusi khusus dari relasi rekursi $a_n = 6a_{n- 1}-  9a_{n- 2}$ dengan $a_0 = 1$ dan $a_1 = 6$.

Pembahasan

Ubah persamaan yang diberikan menjadi $a_n- 6_{n- 1} + 9a_{n- 2} = 0$.
Persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut adalah
$r^2- 6r + 9 = 0$
$(r- 3)(r- 3) = 0$
Diperoleh $r = 3$.
Solusi umum relasi rekursi dengan 2 akar kembar adalah $\boxed{a_n = C_1r_{1}^n + C_2nr_{2}^n}$
Berarti, solusi umum berdasarkan nilai $r$ yang telah didapat adalah
$a_n = C_1(3)^n + C_2n(3)^n$
Untuk mendapatkan nilai $C_1$ dan $C_2$, substitusi $a_0 = 1$ dan $a_1 = 6$ ke persamaan itu.
$a_0 = C_1(3)^0 + C_2(0)(3)^0 \Rightarrow C_1  = 1$
$\begin{aligned} a_1 & = C_1(3)^1 + C_2(1)(3)^1 \\ & \Rightarrow 3C_1 + 3C_2= 6 \end{aligned}$
Selesaikan SPLDV tersebut sehingga diperoleh $C_1 = C_2 = 1$.
Jadi, solusi khusus relasi rekursinya adalah $\boxed{a_n = 3^n + n(3)^n}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Tentukan solusi khusus dari relasi rekursi $a_n = 5a_{n- 1}-  6a_{n- 2}$ dengan $a_0 = 1$ dan $a_1 = 0$.

Pembahasan

Ubah persamaan yang diberikan menjadi $a_n- 5a_{n- 1}  +  6a_{n- 2} = 0$.
Persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut adalah
$r^2- 5r + 6 = 0$
$(r- 2)(r- 3) = 0$
Diperoleh $r = 2$ atau $r = 3$.
Solusi umum relasi rekursi dengan 2 akar berbeda adalah $\boxed{a_n = C_1r_{1}^n + C_2r_{2}^n}$
Berarti, solusi umum berdasarkan nilai $r$ yang telah didapat adalah
$a_n = C_1(2)^n + C_2(3)^n$
Untuk mendapatkan nilai $C_1$ dan $C_2$, substitusi $a_0 = 1$ dan $a_1 = 0$ ke persamaan itu.
$a_0 = C_1(2)^0 + C_2(3)^0 \Rightarrow C_1 + C_2 = 1$
$a_1 = C_1(2)^1 + C_2(3)^1 \Rightarrow 2C_1 + 3C_2= 0$
Selesaikan SPLDV tersebut sehingga diperoleh $C_1 = 3$ dan $C_2 =-2$.
Jadi, solusi khusus relasi rekursinya adalah $\boxed{a_n = 3(2)^n- 2(3)^n = 3^{n+1}- 2(3)^n}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan solusi khusus dari relasi rekursi $a_n = 6a_{n- 1}- 11a_{n- 2} + 6a_{n- 3}$, dengan $a_0 = 2, a_1 = 5$, dan $a_2 = 15$.

Pembahasan

Ubah persamaannya menjadi $a_n- 6a_{n- 1} + 11a_{n- 2}- 6a_{n- 3} = 0$.
Persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut adalah
$r^3- 6r^2 + 11r- 6 = 0$
$(r-1)(r-2)(r-3) = 0$
Diperoleh $r = 1, r = 2$, atau $r = 3$.
Solusi umum relasi rekursi dengan 3 akar berbeda adalah $\boxed{a_n = C_1r_{1}^n + C_2r_{2}^n + C_3r_{3}^n}$
Berarti, solusi umum berdasarkan nilai $r$ yang telah didapat adalah
$a_n =  C_1(1)^n + C_2(2)^n + C_3(3)^n$
$a_n = C_1 + C_2(2)^n + C_3(3)^n$
Untuk mendapatkan nilai $C_1$ dan $C_2$, masukkan $a_0 = 2, a_1 = 5$, dan $a_2 = 15$ ke persamaan itu.

$$\begin{aligned} & a_0 = C_1 + C_2(2)^0 + C_3(3)^0 \Rightarrow C_1 + C_2 + C_3 = 2 \\ & a_1 = C_1 + C_2(2)^1 + C_3(3)^1 \Rightarrow C_1 + 2C_2  + 3C_3 = 5 \\ & a_2 = C_1 + C_2(2)^2+ C_3(3)^2 \Rightarrow C_1 + 4C_2 + 9C_3 = 15 \end{aligned}$$Selesaikan SPLTV tersebut sehingga diperoleh $C_1 = 1, C_2 =-1$, dan $C_3 = 2$.
Jadi, solusi khusus relasi rekursinya adalah $\boxed{a_n = 1 – 2^n + 2(3)^n }$

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan solusi umum dari relasi rekursi $a_{n + 1} = 2na_n + n(n-1)a_{n-1}$.

Pembahasan

Bagilah $a_{n+1} = 2\,n\,a_n + n(n-1)\,a_{n-1}$ dengan $n!$ untuk memperoleh
$\dfrac{a_{n+1}}{n!} = 2\,\dfrac{a_n}{(n-1)!} + \dfrac{a_{n-1}}{(n-2)!}$
Misalkan $b_n = \dfrac{a_n}{(n-1)!}$, sehingga dapat ditulis $b_{n+1} = 2b_n + b_{n- 1}$.
Bentuk di atas ekuivalen dengan
$\begin{aligned} b_n & = 2b_{n- 1} + b_{n- 2} \\ b_n- 2b_{n- 1}- b_{n- 2} & = 0 \end{aligned}$
Persamaan karakteristiknya adalah $r^2- 2r- 1 = 0$.
Carilah akar-akarnya dengan menggunakan rumus kuadrat (rumus ABC). Selanjutnya, diperoleh $r = 1 \pm \sqrt{2}$.
Dengan demikian, solusi umum untuk $b_n$ adalah
$\begin{aligned} b_n & = C_1r_1^n + C_2r_2^n  \\ &= C_1(1 + \sqrt{2})^n + C_2(1- \sqrt{2})^n \end{aligned}$
Solusi umum untuk $a_n$, yaitu
$$\boxed{a_n = (n-1)!b_n = (n- 1)!~\left(C_1(1 + \sqrt{2})^n + C_2(1- \sqrt{2})^n\right)}$$

[collapse]

Soal Nomor 7 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Wilayah Tahun 2016)
Didefinisikan fungsi rekursif, $\forall n \in \mathbb{Z}, f(1)=1, f(2)=5$, dan $f(n+1)=f(n)+2f(n-1), n > 2$, maka $f(n) = \cdots \cdot$

Pembahasan

Fungsi rekursif $f(n+1)=f(n)+2f(n-1)$ ekuivalen dengan $f(n)=f(n-1)+2f(n-2)$ atau ditulis menjadi $f(n) -f(n-1) – 2f(n-2)=0$. Relasi di atas termasuk relasi rekursif homogen dengan koefisien konstan, dengan persamaan karakteristik
$r^2 -r -2 = (r -2)(r+1) = 0$
Diperoleh $r = 2$ atau $r = -1$.
Jadi, solusi relasinya adalah
$f(n) = C_12^n + C_2(-1)^n$.
Substitusikan $f(1) = 1$ dan $f(2) = 5$ berturut-turut untuk mendapatkan
$1 = C_1(2) + C_2(-1)$ dan $5 = C_1(4) + C_2$
Gunakan metode penyelesaian SPLDV untuk mendapatkan $C_1 = C_2 = 1$, sehingga $\boxed{f(n) = 2^n + (-1)^n}$

[collapse]

Soal Nomor 8 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Solusi rekursif $u_n = 2u_{n- 1}, n \geq 0$ di mana $u_0 = 3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2^{n+2}- 1$
B. $3. 2^n$
C. $3^n + 2$
D. $2 \cdot 3^n$
E. $3(3^{n+1}- 2)$

Pembahasan

Ubah persamaan rekursifnya menjadi $u_n- 2u_{n-1} = 0$.
Persamaan karakteristiknya adalah $r- 2 = 0$ yang berarti $r = 2$.
Jadi, solusi umumnya adalah $u_n = C_1(2)^n$.
Substitusikan $u_0 = 3$, sehingga diperoleh
$3 = C_1(2)^0 \Leftrightarrow C_1 = 3$.
Berarti, solusi khusus yang dimaksud adalah $\boxed{u_n = 3 \cdot 2^n}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9 (Soal KSN-K Tingkat SMA/MA Tahun 2020)
Suatu barisan bilangan real $a_1, a_2, a_3, \cdots$ memenuhi $a_1 = 1$, $a_2=\dfrac35$, dan $\dfrac{1}{a_n} = \dfrac{2}{a_{n-1}}-\dfrac{1}{a_{n-2}}$ untuk setiap $n \geq 3$. Bilangan $a_{2020}$ dapat ditulis sebagai $\dfrac{p}{q}$ dengan $p$ dan $q$ bilangan asli relatif prima. Nilai $p+q$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Diketahui $a_1 = 1$ dan $a_2 = \dfrac35$.
Untuk $n \geq 3$, berlaku $\dfrac{1}{a_n} = \dfrac{2}{a_{n-1}}-\dfrac{1}{a_{n-2}}$.
Cara pertama: Relasi rekurensi
Misalkan $\dfrac{1}{a_n} = b_n$, sehingga persamaan di atas ditulis $b_n = 2b_{n-1}-b_{n-2}$. Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi tersebut adalah
$\begin{aligned} r^2 & = 2r-1 \\ r^2-2r+1 & = 0 \\ (r-1)^2 &= 0 \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $r = 1$ (kembar).
Karena memiliki akar kembar, maka solusi umum relasi rekurensi tersebut adalah $b_n = C_1r^2 + C_2nr^2$.
Perhatikan bahwa $a_1 = 1$, sehingga $b_1 = 1$. Substitusi $n = 1$ dan kita peroleh
$\begin{aligned} b_1 & = C_1(1)^2 + C_2(1)(1)^2 \\ 1 & = C_1 + C_2 && (\cdots 1) \end{aligned}$
Perhatikan juga bahwa $a_2 = \dfrac35$, sehingga $b_2 = \dfrac53$. Substitusi $n = 2$ dan kita peroleh
$\begin{aligned} b_2 & = C_1(1)^2 + C_2(2)(1)^2 \\ \dfrac53 & = C_1 + 2C_2 && (\cdots 2) \end{aligned}$
Dari kedua persamaan yang didapat, kita mendapat $C_1 = \dfrac13$ dan $C_2 = \dfrac23$, sehingga $b_n = \dfrac13 + \dfrac23n = \dfrac{1+2n}{3}$, artinya $a_n = \dfrac{3}{1+2n}$.
Substitusi $n = 2020$ dan akhirnya didapat $a_{2020} = \dfrac{3}{1+2(2020)} = \dfrac{1}{1347}$.
Oleh karena itu, nilai $p = 1$ dan $q = 1347$, berarti $\boxed{p+q=1348}$
Cara kedua: Pola
Substitusi $n = 3$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{1}{a_3} & = \dfrac{2}{a_2}-\dfrac{1}{a_1} \\ \dfrac{1}{a_3} & = \dfrac{2}{\frac35}-\dfrac11 \\ \dfrac{1}{a_3} & = \dfrac{10}{3}-1 \\ a_3 & = \dfrac37 \end{aligned}$
Substitusi $n = 4$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{1}{a_4} & = \dfrac{2}{a_3}-\dfrac{1}{a_2} \\ \dfrac{1}{a_4} & = \dfrac{2}{\frac37}-\dfrac{1}{\frac35} \\ \dfrac{1}{a_4} & = \dfrac{14}{3}-\dfrac53 \\ a_4 & = \dfrac39 \end{aligned}$
Substitusi $n = 5$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{1}{a_5} & = \dfrac{2}{a_4}-\dfrac{1}{a_3} \\ \dfrac{1}{a_5} & = \dfrac{2}{\frac39}-\dfrac{1}{\frac37} \\ \dfrac{1}{a_5} & = 6-\dfrac73 \\ a_5 & = \dfrac{3}{11} \end{aligned}$
Dari $3$ nilai yang telah didapat, tampak suatu pola barisan: $\dfrac37, \dfrac39, \dfrac{3}{11}$, yaitu pembilang tetap $3$, namun penyebut bertambah $2$ membentuk barisan aritmetika.
Rumus suku ke-$n$ dari barisan semula adalah $a_n = \dfrac{3}{2n+1}$
dengan $n \geq 3$.
Dengan demikian,
$a_{2020} = \dfrac{3}{2(2020)+1} = \dfrac{1}{1347}$
Oleh karena itu, nilai $p = 1$ dan $q = 1347$, berarti $\boxed{p+q=1348}$

[collapse]