Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Statistika Matematika – Prodi Pendidikan Matematika FKIP Untan

     Berikut ini adalah soal ujian akhir semester beserta pembahasan mata kuliah Statistika Matematika (Tahun Ajaran 2017/2018) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 6 oleh Dr. Ahmad Yani T, M.Pd pada tanggal 4 Juli 2018.

-Bagian Utama-
Soal Nomor 1
Diberikan definisi berikut.
Sebuah variabel acak dengan distribusi t didefinisikan sebagai rasio dari variabel acak Z \sim N(0,1) dibagi dengan akar dari hasil pembagian variabel acak V \sim \chi^2(n-1) oleh derajat kebebasan r = n-1.
Secara matematis, dituliskan sebagai
T = \dfrac{z}{\sqrt{\dfrac{v} {r}}} = \dfrac{z} {\sqrt{\dfrac{v}{n-1}}}
Buktikan bahwa T = \dfrac{\overline{x} - \mu}{\dfrac{S} {\sqrt{n}}} \sim t(n-1)

Penyelesaian

Dengan menggunakan teorema bahwa
1. z = \dfrac{\overline{x} - \mu}{\dfrac{\sigma}{n}} \sim N(0,1)
2. v = \dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)
3. z dan v saling bebas (independen)
maka diperoleh

dengan
\begin{aligned} & \overline{x} = ~\text{mean sampel} \\ & \mu = \text{mean populasi} \\ & S = \sqrt{\dfrac{1}{n-1} \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2} = \text{standar deviasi} \end{aligned}
dan dengan derajat kebebasan r = n - 1.

[collapse]

-Bagian Kedua-
Soal Nomor 1
Terdapat 50 bola dalam suatu kotak, 5 bola di antaranya rusak. Apabila diambil 4 bola, tentukan peluang dua di antaranya rusak.

Penyelesaian

Gunakan pendekatan distribusi hipergeometrik dengan diketahui
\begin{aligned} & N = \text{Jumlah bola seluruhnya} = 50 \\ & n = \text{Jumlah bola yang diambil} = 4 \\ & k = \text{Jumlah bola yang rusak} = 5 \\ & x = \text{Jumlah bola rusak yang diinginkan} = 2 \end{aligned}
Peluang dua bola di antaranya rusak dinyatakan oleh P(X = 2), yaitu
\displaystyle P(X = 2) = \dfrac{\binom{5}{2} \binom{45}{2}} {\binom{50}{4}} = \dfrac{99}{2303} \approx 0,42987
Jadi, peluang terambilnya 4 bola di mana 2 bola di antaranya rusak sebesar 0,42987.
Catatan: Fungsi kepadatan peluang dari distribusi hipergeometrik dinyatakan oleh
\displaystyle h(x; N, n, k) = \dfrac{\binom{k} {x} \binom{N - k} {n - x}} {\binom{N} {n}}

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui variabel acak X berdistribusi normal dengan \mu = 6 dan \sigma = 3. Tentukan fungsi densitasnya.

Penyelesaian

Fungsi densitas/kepadatan peluang dari variabel acak X yang distribusi normal diberikan oleh
f(x) = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}
Untuk \mu = 6 dan \sigma = 3, didapat fungsi densitasnya, yaitu
\boxed{f(x) = \dfrac{1}{3\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-6}{3}\right)^2}}

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui variabel acak Y berdistribusi eksponensial dengan parameter \beta = 2. Tentukan peluang bahwa Y bernilai lebih dari 2.

Penyelesaian

Fungsi densitas dari Y yang berdistribusi eksponensial dengan parameter \beta = 2 diberikan oleh
f(y) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}e^{-\frac{y} {2}}, &~\text{jika}~y > 0 \\ 0, &~\text{jika}~y \leq 0 \end{cases}
Selanjutnya akan dihitung P(Y > 2) sebagai berikut (ingat bahwa fungsi densitas dari distribusi eksponensial menyebar secara kontinu, sehingga perhitungannya melibatkan integral).
\begin{aligned} P(Y > 2) & = 1 - P(Y \leq 2) \\ & = 1 - \displaystyle \int_0^2 \dfrac{1}{2}e^{-\frac{y} {2}}~\text{d}y \\ & = 1 - \dfrac{1}{2} \times (-2) \left[e^{-\frac{y} {2}}\right]_0^2 \\& = 1 + (e^{-1} - 1) \\ & = e^{-1} \approx 0,369 \end{aligned}
Jadi, peluang bahwa Y bernilai lebih dari 2 adalah 0,369.
Catatan: \bigstar Fungsi densitas/kepadatan peluang dari distribusi eksponensial dengan parameter \beta adalah f(y) = \dfrac{1}{\beta}e^{-\frac{y} {\beta}}

[collapse]

Soal Nomor 4
Apa arti dari X \sim \chi^2(6)? Tuliskan fungsi densitasnya.

Penyelesaian

Arti dari X \sim \chi^2(6) adalah variabel acak X berdistribusi chi kuadrat dengan derajat kebebasan 6. Fungsi kepadatan/densitas peluang dari distribusi chi kuadrat dengan derajat kebebasan r dinyatakan oleh
f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2^{\frac{r} {2}}\Gamma\left(\dfrac{r} {2}\right)}x^{\frac{r} {2}-1}e^{-\frac{x}{2}},  &~\text{jika}~x> 0 \\ 0, &~\text{jika}~x \leq 0 \end{cases}
Untuk kasus ini, derajat kebebasan diketahui, yaitu r = 6, sehingga fungsi kepadatan peluangnya adalah
\begin{aligned} f(x) & = \begin{cases} \dfrac{1}{2^{\frac{6} {2}}\Gamma\left(\dfrac{6} {2}\right)}x^{\frac{6} {2}-1}e^{-\frac{x}{2}}, &~\text{jika}~x > 0 \\ 0,&~\text{jika}~x \leq 0 \end{cases} \\ & = \begin{cases} \dfrac{1}{8.2!} x^2e^{-\frac{x}{2}}, &~\text{jika}~x > 0 \\ 0,&~\text{jika}~x \leq 0 \end{cases} \\ & = \begin{cases} \dfrac{1}{16}x^2e^{-\frac{x}{2}} &~\text{jika}~x > 0 \\ 0,&~\text{jika}~x \leq 0 \end{cases} \end{aligned}
Catatan: Ingat salah satu sifat fungsi gamma berikut. \Gamma(r) = (r-1)!
Notasi \Gamma dibaca: gamma.

[collapse]

Soal Nomor 5
Terdapat 1000 mahasiswa yang memiliki tinggi rata-rata 174,5 berdistribusi normal dengan simpangan baku 6,9. Tentukan banyaknya mahasiswa yang diharapkan memiliki tinggi:
a) kurang dari 160 cm
b) di antara 171,5 cm dan 182 cm
c) lebih dari atau sama dengan 188 cm.

Penyelesaian

Gunakan formula Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
Jawaban a)
Diberikan x = 160, berarti
\begin{aligned} P(X < 160) & = P\left(Z < \dfrac{160-174,5}{6,9}\right) \\ & = P(Z < -2,1) \\ & = 0,5 - P(Z < 2,1) \\ &= 0,5 - 0,4821 = 0,0179 \end{aligned}
Jadi, banyak mahasiswa yang diharapkan memiliki tinggi badan kurang dari 160 cm adalah 1000 \times 0,0179 \approx 18 orang.
Jawaban b) Diberikan x = 171,5 dan x = 182, berarti
\begin{aligned} & P(171,5 < X < 160) \\ & = P\left(\dfrac{171,5-174,5}{6,9} < Z < \dfrac{182-174,5}{6,9}\right) \\ & = P(-0,43 < Z < 1,09) \\ & = P(Z < 0,43) + P(Z < 1,09) \\ & = 0,1664 + 0,3621 = 0,5285 \end{aligned}
Jadi, banyak mahasiswa yang diharapkan memiliki tinggi badan di antara 171,5 cm dan 182 cm adalah 1000 \times 0,5285 \approx 529 orang.
Jawaban c)
Diberikan x = 188, berarti
\begin{aligned} P(X \geq 188) & = P\left(Z \geq \dfrac{188-174,5}{6,9}\right) \\ & = P(Z \geq 1,96) \\ &= 0,5 - P(Z < 1,96) \\ & = 0,5 - 0,475 = 0,025 \end{aligned}
Jadi, banyak mahasiswa yang diharapkan memiliki tinggi badan lebih dari atau sama dengan 188 cm adalah 1000 \times 0,025 \approx 25 orang.
Catatan:
\bigstar Karena distribusi normal merupakan salah satu tipe distribusi kontinu, maka tanda ketaksamaan < dan \leq (atau sebaliknya) dianggap sama (tidak memiliki pengaruh, tetapi untuk kasus distribusi diskrit, kedua tanda ini dibedakan).
\bigstar \bigstar Tabel z dapat dilihat pada gambar utama di bagian atas postingan ini. 

[collapse]

Soal Nomor 6
Sebuah sampel acak berukuran 64 yang diambil dari populasi berdistribusi normal dengan rataan 51,4 dan simpangan baku 6,8. Hitunglah peluang bahwa rataan sampel bernilai lebih dari 52,9.

Penyelesaian

Diberikan:
\overline{x} = 51,4; S = 6,8; \mu = 51,4; n = 64
Dari informasi tersebut, nilai z hitung adalah
Z = \dfrac{\overline{x} - \mu}{\dfrac{S}{\sqrt{n}}} = \dfrac{52,9-51,4}{\dfrac{6,8}{\sqrt{64}}} = \dfrac{1,5}{0,85} = 0,76
Dengan menggunakan pendekatan uji z, didapat peluang yang dimaksud sebagai berikut.
\begin{aligned} & P(\overline{X} > 52,9) \\ & = P(Z > 1,76) \\ & = 0,5 - P(0 \leq Z \leq 1,76) \\ & = 0,5 - 0,4608 && (\text{Lihat tabel z}) \\ & = 0,0392 \end{aligned}
Jadi, peluang bahwa rataan sampelnya akan bernilai lebih dari 52,9 adalah 0,0392.

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini