Soal dan Pembahasan – Distribusi Normal

Berikut ini merupakan kumpulan soal dan pembahasan mengenai distribusi normal. Materi ini dipelajari oleh siswa/i jurusan MIPA saat kelas 12 mata pelajaran Matematika Peminatan.

Gunakan Tabel Z berikut bila perlu untuk menjawab soal-soal yang berkaitan dengan distribusi normal. Tabel juga tersedia dalam format PDF: Tabel Z (PDF).

Tabel Z

Today Quote

Matahari mengajarkan kita bahwa pada setiap pertemuan yang hangat terdapat sebuah perpisahan yang indah.

Baca Juga: Pengantar Dasar Statistika 

Soal Nomor 1
Luas daerah di bawah kurva normal baku yang diberi arsir adalah $\cdots \cdot$
A. $0,3596$                        D. $0,6793$
B. $0,4952$                        E. $0,7965$
C. $0,5637$

Pembahasan

Bagilah arsiran menjadi dua daerah, yaitu daerah I pada interval $-0,50 < Z < 0$ dan daerah II pada interval $0 < Z < 2,25.$
Luas daerah I:
Cek tabel nilai $Z$ untuk bilangan $0,50.$ Lihat baris $0,5$, kemudian pilih kolom $0$ seperti berikut.
Diperoleh bahwa luasnya adalah $P(-0,50 < Z < 0) = 0,1915.$
Luas daerah II:
Cek tabel nilai $Z$ untuk bilangan $2,25.$ Lihat baris $2,2$, kemudian pilih kolom $5$ seperti berikut.
Diperoleh bahwa luasnya adalah $P(0 < Z < 2,25) = 0,4878.$
Luas daerah yang diberi arsir adalah jumlah luas keduanya, yakni
$$\begin{aligned} P(-0,50 < Z < 2,25) & = P(-0,50 < Z < 0) + P(0 < Z < 2,25) \\ & = 0,1915 + 0,4878 \\ & = 0,6793 \end{aligned}$$Jadi, luas daerah di bawah kurva normal baku tersebut adalah $\boxed{0,6793}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca: Materi, Soal dan Pembahasan – Distribusi Poisson 

Soal Nomor 2
Luas daerah di bawah kurva normal baku yang diberi arsir adalah $\cdots \cdot$
A. $0,0683$                        D. $0,4596$
B. $0,0968$                        E. $0,9192$
C. $0,1066$

Pembahasan

Luas arsir sama dengan luas setengah bagian daerah di bawah kurva normal dikurangi luas daerah pada interval $-1,30 < Z < 0.$
Luas daerah pada interval $-1,30 < Z < 0$:
Cek tabel nilai $Z$ untuk bilangan $1,30.$ Lihat baris $1,3$, kemudian pilih kolom $0$ seperti berikut.
Diperoleh bahwa luasnya adalah $P(-1,30 < Z < 0) = 0,4032.$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(Z < -1,30) & = P(Z < 0)-P(-1,30 < Z < 0) \\ & = 0,5-0,4032 \\ & = 0,0968 \end{aligned}$$Jadi, luas daerah di bawah kurva normal baku tersebut adalah $\boxed{0,0968}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3
Luas daerah di bawah kurva normal baku yang diberi arsir adalah $\cdots \cdot$
A. $0,8888$                          E. $0,1112$
B. $0,6668$                          D. $0,2224$
C. $0,4444$

Pembahasan

Bagilah arsiran menjadi dua daerah, yaitu daerah I pada interval $-1,22 < Z < 0$ dan daerah II pada interval $Z > 0.$
Luas daerah I:
Cek tabel nilai $Z$ untuk bilangan $1,22.$ Lihat baris $01,2$, kemudian pilih kolom $2$ seperti berikut.
Diperoleh bahwa luasnya adalah $P(-1,22 < Z < 0) = 0,3888.$
Luas daerah II:
Karena daerahnya merupakan setengah bagian di bawah kurva distribusi normal, maka $P(Z > 0) = 0,5.$
Luas daerah yang diberi arsir adalah jumlah luas keduanya, yakni
$$\begin{aligned} P(Z > -1,22) & = P(-1,22 < Z < 0) + P(Z > 0) \\ & = 0,3888 + 0,5 \\ & = 0,8888 \end{aligned}$$Jadi, luas daerah di bawah kurva normal baku tersebut adalah $\boxed{0,8888}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4
Luas daerah di bawah kurva normal baku yang diberi arsir adalah $\cdots \cdot$
A. $0,8522$                      E. $0,0414$
B. $0,6271$                      D. $0,1296$
C. $0,1478$

Pembahasan

Luas arsir sama dengan luas seluruh daerah di bawah kurva distribusi normal (yaitu $1$) dikurangi dengan luas daerah I pada interval $-1,14 < Z < 0$ dan luas daerah II pada interval $0 < Z < 2,04.$
Luas daerah I: $-1,14 < Z < 0$
Cek tabel nilai $Z$ untuk bilangan $1,14.$ Lihat baris $1,1$, kemudian pilih kolom $4$ seperti berikut.
Diperoleh bahwa luasnya adalah $P(-1,14 < Z < 0) = 0,3729.$
Luas daerah II: $0 < Z < 2,04$
Cek tabel nilai $Z$ untuk bilangan $2,04.$ Lihat baris $2,0$, kemudian pilih kolom $4$ seperti berikut.
Diperoleh bahwa luasnya adalah $P(0 < Z < 2,04) = 0,4793.$
Luas daerah I + Luas daerah II adalah
$$\begin{aligned} P(-1,14 < Z < 2,04) & = P(-1,14 < Z < 0) + P(0 < Z < 2,04) \\ & = 0,3729 + 0,4793 \\ & = 0,8522 \end{aligned}$$Jadi, luas daerah di bawah kurva normal baku tersebut adalah $\boxed{1-0,8522 = 0,1478}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5
Sekelompok data dinyatakan dengan $X \sim N(200, 50).$ Jika data tersebut terdiri dari $10.000$ sampel, maka perkiraan banyak sampel yang memiliki nilai antara 210 dan 260 adalah $\cdots \cdot$
A. $2.056$                  D. $3.056$
B. $2.142$                  E. $3.849$
C. $2.568$

Pembahasan

Arti dari notasi $X \sim N(200, 50)$ adalah data $X$ berdistribusi normal dengan rata-rata $\mu = 200$ dan simpangan baku $\sigma = 50.$
Pertama, transformasikan (ubah) nilai $X_1 = 210$ dan $X_2 = 260$ dalam $Z.$
$$\begin{aligned} Z_1 & = \dfrac{X_1-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{210-200}{50} = 0,20 \\ Z_2 & = \dfrac{X_2-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{260-200}{50} = 1,20 \end{aligned}$$Artinya, kita mencari luas di bawah kurva normal $P(0,20 < Z < 1,20).$
Dengan menggunakan Tabel Z, diperoleh
$$\begin{aligned} P(0,20 < Z < 1,20) & = P(0 < Z < 1,20)-P(0 < Z < 0,20) \\ & = 0,3849-0,793 \\ & = 0,3056 \end{aligned}$$Jadi, peluang diperolehnya sampel dengan nilai di antara $210$ dan $260$ adalah $0,3056.$
Dengan demikian, perkiraan banyak sampel yang memiliki nilai antara 210 dan 260 adalah $\boxed{0,3056 \times 10.000 = 3.056}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Peluang Binomial 

Soal Nomor 6
Distribusi tingkat kolesterol pada remaja pria bisa didekati oleh distribusi normal dengan $\mu = 180$ dan $\sigma = 30.$ Tingkat kolesterol di atas $200$ memerlukan perhatian. Probabilitas bahwa seorang remaja pria memiliki tingkat kolesterol lebih besar daripada $200$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0,8948$                      D. $0,3857$
B. $0,7486$                      E. $0,2514$
C. $0,6750$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} \mu & = 180 \\ \sigma & = 30 \\ X & = 200 \end{aligned}$
Dengan demikian,

$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{200-180}{30} \\ & = \dfrac{20}{30} = \dfrac23 \approx 0,67 \end{aligned}$$Probabilitas bahwa seorang remaja pria memiliki tingkat kolesterol lebih besar daripada $200$ dinotasikan oleh $P(X > 200) = P(Z > 0,67).$
Kurva distribusi normalnya ditunjukkan oleh gambar di bawah.
Cek tabel nilai $Z$ untuk skor $0,67$ seperti berikut dan akan diperoleh $P(0 < Z < 0,67) = 0,2486.$
Untuk mencari luas daerah yang diarsir, kita tuliskan
$$\begin{aligned} P(Z > 0,67) & = P(Z > 0)-P(0 < Z < 0,67) \\ & = 0,5-0,2486 \\ & = 0,2514 \end{aligned}$$Jadi, probabilitas kejadian tersebut terjadi adalah $\boxed{0,2514}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 7
Suatu perusahaan penerbangan berdasarkan pengalaman mengetahui bahwa distribusi jumlah koper penumpang yang hilang tiap minggu pada suatu rute tertentu mendekati distribusi normal dengan $\mu = 15,5$ dan $\sigma = 3,6.$ Probabilitas pada minggu tertentu terdapat kejadian kehilangan kurang dari $20$ koper adalah $\cdots \cdot$
A. $0,8944$                        D. $0,3944$
B. $0,6755$                        E. $0,1055$
C. $0,4040$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} \mu & = 15,5 \\ \sigma & = 3,6 \\ X & = 20 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{20-15,5}{3,6} \\ & = \dfrac{4,5}{3,6} = 1,25 \end{aligned}$$Probabilitas pada minggu tertentu terdapat kejadian kehilangan kurang dari $20$ koper dinotasikan oleh $P(X < 20) = P(Z < 1,25).$
Kurva distribusi normalnya ditunjukkan oleh gambar di bawah.
Cek tabel nilai $Z$ untuk skor $1,25$ seperti berikut dan akan diperoleh $P(0 < Z < 1,25) = 0,3944.$
Untuk mencari luas daerah yang diarsir, kita tuliskan
$$\begin{aligned} P(Z < 1,25) & = P(Z < 0)+P(0 < Z < 1,25) \\ & = 0,5+0,3944 \\ & = 0,8944 \end{aligned}$$Jadi, probabilitas kejadian tersebut terjadi adalah $\boxed{0,8944}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 8
Anggap bahwa tinggi mahasiswi memiliki distribusi normal dengan tinggi rata-rata $165$ cm dan simpangan baku $4$ cm. Jika kita memilih seorang mahasiswi secara acak, maka probabilitas tinggi mereka akan berada di antara $161$ cm dan $171$ cm adalah $\cdots \cdot$
A. $0,3413$                         D. $0,7745$
B. $0,4332$                         E. $0,8820$
C. $0,5668$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} \mu & = 165 \\ \sigma & = 4 \\ X_1 & = 161 \\ X_2 & = 171 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} Z_1 & = \dfrac{X_1-\mu}{\sigma} = \dfrac{161-165}{4} = -1 \\ Z_2 & = \dfrac{X_2-\mu}{\sigma} = \dfrac{171-165}{4} = 1,5 \end{aligned}$$Probabilitas tinggi mereka akan berada di antara $161$ cm dan $171$ cm dinotasikan oleh $$P(161 < X < 171) = P(-1 < Z < 1,5).$$
Kurva distribusi normalnya ditunjukkan oleh gambar di bawah.
Cek tabel nilai $Z$ untuk skor $1,00$ dan $1,50$ seperti berikut dan akan diperoleh $P(-1,00 < Z < 0) = 0,3413$ dan $P(0 < Z < 1,50) = 0,4332.$
Untuk mencari luas daerah yang diarsir, kita tuliskan
$$\begin{aligned} P(-1,00 < Z < 1,50) & = P(-1,00 < Z < 0)+P(0 < Z < 1,50) \\ & = 0,3413 + 0,4332 \\ & = 0,7745 \end{aligned}$$Jadi, probabilitas kejadian tersebut terjadi adalah $\boxed{0,7745}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 9
Pada distribusi normal tertentu, simpangan baku $\sigma$ ketika $\mu = 50$ dan $9,18\%$ luas berada di sebelah kanan dari $54$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                       C. $3$                   E. $5$
B. $2$                      D. $4$

Pembahasan

Diketahui $\mu = 50$ dan $P(X > 54) = P(Z > z)$ $= 9,18\% = 0,0918.$
Karena $X = 54$ lebih besar dari $\mu = 50,$ maka $Z$ bernilai positif sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} P(Z > z) & = P(Z > 0)-P(0 < Z < z) \\ 0,0918 & = 0,5-P(0<Z<z) \\ P(0<Z<z) & = 0,4082 \end{aligned}$$Berdasarkan tabel $Z$, diperoleh bahwa skor $z = 1,33 \approx \dfrac43.$
Berikutnya, tinggal dicari nilai simpangan baku $\sigma.$
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ \sigma & = \dfrac{X-\mu}{Z} \\ \sigma & = \dfrac{54-50}{\frac43} = \dfrac{4}{\frac43} = 3 \end{aligned}$$Jadi, nilai simpangan baku untuk kasus distribusi normal tersebut adalah $\boxed{\sigma = 3}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Pada suatu distribusi normal tertentu, sebesar $5,48\%$ data terletak di sebelah kanan $55$ nilai simpangan baku $\sigma$ sama dengan $5.$ Nilai rata-rata $\mu$ pada distribusi tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $63$                      C. $48$                    E. $42$
B. $55$                      D. $47$

Pembahasan

Diketahui $\sigma = 5$ dan $P(X > 55) = P(Z > z) $ $= 5,48\% = 0,0548.$ Dari sini, dapat diketahui juga bahwa $z$ harus bernilai positif karena $0,0548 < 0,50.$
Oleh karena itu, kita tuliskan
$$\begin{aligned} P(Z > z) & = P(Z > 0)- P(0 < Z < z) \\ 0,0548 & = 0,5-P(0 < Z < z) \\ P(0 < Z < z) & = 0,4452 \end{aligned}$$Dari tabel $Z$, diperoleh bahwa skor $z = 1,60.$
Selanjutnya, tinggal dicari nilai rata-rata $\mu.$
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ 1,60 & = \dfrac{55-\mu}{5} \\ 8 & = 55-\mu \\ \mu & = 47 \end{aligned}$$Jadi, nilai rata-rata distribusi tersebut adalah $\boxed{47}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Peluang (Tingkat SMP/Sederajat) 

Soal Nomor 11
Kondisi berikut yang cukup untuk mendekati distribusi binomial dengan distribusi normal adalah $\cdots \cdot$
A. $n = 10, p = 0,3$
B. $n = 100, p = 0,2$
C. $n = 100, p = 0,01$
D. $n = 10, p = 0,8$
E. $n = 1000, p = 0,5$

Pembahasan

Misalkan suatu eksperimen dengan $n$ kali percobaan dengan peluang sukses dan gagal untuk tiap percobaan berturut-turut adalah $p$ dan $q = 1-p$ memenuhi distribusi binomial. Rata-rata dan simpangan bakunya dinyatakan oleh $\mu = np$ dan $\sigma = \sqrt{npq}.$
Distribusi normal dianggap bisa menjadi pendekatan bagi distribusi binomial jika nilai $\mu$ dan $\sigma$ keduanya lebih besar dari $5.$
Cek Opsi A:
Karena $n = 10$ dan $p = 0,3$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \mu & = np = 10(0,3) = 3 \\ \sigma & = \sqrt{npq} = \sqrt{10(0,3)(0,7)} = \sqrt{2,1} \end{aligned}$$Karena keduanya bernilai tidak lebih dari $5$, maka kondisi ini tidak memenuhi.
Cek Opsi B:
Karena $n = 100$ dan $p = 0,2$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \mu & = np = 100(0,2) = 20 \\ \sigma & = \sqrt{npq} = \sqrt{100(0,2)(0,8)} = \sqrt{16} = 4 \end{aligned}$$Karena $\sigma$ bernilai tidak lebih dari $5$, maka kondisi ini tidak memenuhi.
Cek Opsi C:
Karena $n = 100$ dan $p = 0,01$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \mu & = np = 100(0,01) = 1 \\ \sigma & = \sqrt{npq} = \sqrt{10(0,01)(0,99)} = \sqrt{0,99} \end{aligned}$$Karena keduanya bernilai tidak lebih dari $5$, maka kondisi ini tidak memenuhi.
Cek Opsi D:
Karena $n = 10$ dan $p = 0,8$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \mu & = np = 10(0,8) = 8 \\ \sigma & = \sqrt{npq} = \sqrt{10(0,8)(0,2)} = \sqrt{1,6} \end{aligned}$$Karena $\sigma$ bernilai tidak lebih dari $5$, maka kondisi ini tidak memenuhi.
Cek Opsi E:
Karena $n = 1000$ dan $p = 0,5$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \mu & = np = 1000(0,5) = 500 \\ \sigma & = \sqrt{npq} = \sqrt{1000(0,5)(0,5)} = \sqrt{250} \end{aligned}$$Karena keduanya bernilai lebih dari $5$, maka kondisi ini memenuhi.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 12
Suatu distribusi binomial memiliki parameter $n=400$ dan $p = 0,20.$ Dengan menggunakan pendekatan distribusi normal, maka probabilitas dari variabel acak $X$ sama dengan atau lebih besar dari $96$ (ditulis $P(X \geq 96)$) adalah $\cdots \cdot$
A. $0,9772$                       D. $0,0228$
B. $0,5228$                        E. $0,0114$
C. $0,5114$

Pembahasan

Diketahui $n = 400$ dan $p = 0,20.$ Pertama, akan dihitung nilai rata-rata $\mu$ dan simpangan baku $\sigma.$
$$\begin{aligned} \mu & = np = 400(0,20) = 80 \\ \sigma & = \sqrt{npq} = \sqrt{400(0,20)(0,80)} = \sqrt{64} = 8 \end{aligned}$$Perhatikan bahwa nilai $\mu$ dan $\sigma$ keduanya lebih besar dari $5$ sehingga pendekatan distribusi normal terhadap distribusi binomial adalah layak.
Selanjutnya, kita hitung nilai $Z$ untuk $X = 96.$
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{96-80}{8} = 2,00 \end{aligned}$$Dengan menggunakan tabel Z untuk skor $z = 2,00$, kita peroleh
$$\begin{aligned} P(X \ge 96) & = P(X > 96) \\ & = P(Z > 2,00) \\ & = P(Z > 0)-P(0<Z<2,00) \\ & = 0,5-0,4772 = 0,0228 \end{aligned}$$Jadi, probabilitas dari variabel acak $X$ sama dengan atau lebih besar dari $96$ (ditulis $P(X \geq 96)$) adalah $\boxed{0,0228}$
(Jawaban D)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Diberikan suata data yang berdistribusi normal dengan rata-rata $60$ dan simpangan baku $10.$ Hitung dan gambarkan luas daerah yang dibatasi antara $X = 40$ dan $X = 70.$

Pembahasan

Diketahui $\mu = 60$ dan $\sigma = 10.$
Ambil $X_1 = 40$ sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} Z_1 & = \dfrac{X_1-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{40-60}{10} \\ & = -2,00 \end{aligned}$$Berikutnya, ambil $X_2 = 70$ sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} Z_2 & = \dfrac{X_2-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{70-60}{10} \\ & = 1,00 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita dapatkan
$$\begin{aligned} P(40 < X < 70) & = P(-2,00 < Z < 1,00) \\ & = P(-2,00 < Z < 0) + P(0 < Z < 1,00) \\ & = 0,4772 + 0,3413 \\ & = 0,8185 \end{aligned}$$Jadi, luas daerah yang dibatasi antara $X = 40$ dan $X = 70$ adalah $\boxed{0,8185}$ dengan gambar kurva distribusi normalnya seperti berikut.

[collapse]

Soal Nomor 2
Seorang pemasok (supplier) minyak tanah yang menguasai suatu daerah dari bulan Januari sampai Maret suatu tahun dapat memasarkan minyak tanah rata-rata $8.000$ liter per hari dengan simpangan baku $1.000$ per hari. Jika suatu hari pemasok dapat menawarkan $9.250$ liter per hari, berapa probabilitas bahwa permintaan minyak tanah pada suatu hari melampaui jumlah yang dapat ditawarkan tersebut?

Pembahasan

Diketahui $\mu = 8.000$ dan $\sigma = 1.000.$
Permintaan minyak tanah melampaui $9.250$ liter per hari.
Ambil $X = 9.250$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{9.250-8.000}{1.000} \\ & = 1,25 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(X > 9.250) & = P(Z > 1,25) \\ & = P(Z > 0)-P(0<Z<1,25) \\ & = 0,5-0,3944 \\ & = 0,1056 \end{aligned}$$Jadi, probabilitas bahwa permintaan minyak tanah pada suatu hari melampaui jumlah yang dapat ditawarkan tersebut adalah $\boxed{0,1056}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Upah bulanan karyawan perusahaan asing mengikuti distribusi normal dengan rata-rata Rp15.000.000,00 dan simpangan baku Rp3.500.000,00. Jika peristiwa ini dianggap sebagai peristiwa acak, berapa peluang terpilihnya karyawan yang upahnya lebih besar daripada Rp16.260.000,00?

Pembahasan

Diketahui $\mu = 15.000.000$ dan $\sigma = 3.500.000.$
Karyawan yang dipilih memiliki upah yang lebih besar daripada Rp16.260.000,00.
Ambil $X = 16.260.000$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{16.260.000-15.000.000}{3.500.000} \\ & = 0,36 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(X > 16.260.000) & = P(Z > 0,36) \\ & = P(Z > 0)-P(0<Z<0,36) \\ & = 0,5-0,1406 \\ & = 0,3594 \end{aligned}$$Jadi, peluang terpilihnya karyawan yang upahnya lebih besar daripada Rp16.260.000,00 adalah $\boxed{0,3594}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Berdasarkan data kependudukan, usia harapan hidup penduduk di suatu wilayah berdistribusi normal dengan rata-rata $44,8$ tahun dan simpangan baku $11,3$ tahun. Jika jumlah penduduk mencapai $110$ orang, tentukan perkiraan jumlah penduduk yang mempunyai harapan hidup dengan usia:
a. di atas $60$ tahun;
b. di atas $40$ tahun;
c. di antara $45$ dan $65$ tahun;
d. di antara $55$ dan $60$ tahun.
Catatan: Skor $Z$ yang didapat dari hasil perhitungan dibulatkan sampai dua angka desimal.

Pembahasan

Diketahui $\mu = 44,8$ dan $\sigma = 11,3.$
Jawaban a)
Penduduk memiliki harapan hidup dengan usia di atas $60$ tahun.
Ambil $X = 60$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{60-44,8}{11,3} \\ & \approx 1,35 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(X > 60) & = P(Z > 1,35) \\ & = P(Z > 0)-P(0<Z<1,35) \\ & = 0,5-0,4115 \\ & = 0,0885 \end{aligned}$$Peluang harapan hidup di atas $60$ tahun sebesar $0,0885$. Ini artinya dari $110$ orang yang ada, diperkirakan terdapat $$\boxed{0,0885 \times 110 = 9,735 \approx 10}$$ orang penduduk yang memiliki harapan hidup dengan kriteria tersebut.
Jawaban b)
Penduduk memiliki harapan hidup dengan usia di atas $40$ tahun.
Ambil $X = 40$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{40-44,8}{11,3} \\ & \approx -0,42 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(X > 40) & = P(Z > -0,42) \\ & = P(-0,42 < Z < 0) + P(Z > 0) \\ & = 0,1628 + 0,5 \\ & = 0,6628 \end{aligned}$$Peluang harapan hidup di atas $60$ tahun sebesar $0,6628$. Ini artinya dari $110$ orang yang ada, diperkirakan terdapat $$\boxed{0,6628 \times 110 = 72,908 \approx 73}$$ orang penduduk yang memiliki harapan hidup dengan kriteria tersebut.
Jawaban c)
Penduduk memiliki harapan hidup dengan usia di antara $45$ tahun dan $65$ tahun.
Ambil $X_1 = 45$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z_1 & = \dfrac{X_1-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{45-44,8}{11,3} \\ & \approx 0,02 \end{aligned}$$Berikutnya, ambil $X_2 = 65$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z_2 & = \dfrac{X_2-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{65-44,8}{11,3} \\ & \approx 1,79 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(45 < X < 65) & = P(0,02 < Z < 1,79) \\ & = P(0 < Z < 1,79)-P(0<Z<0,02) \\ & = 0,4633-0,0080 \\ & = 0,4553 \end{aligned}$$Peluang harapan hidup di antara $45$ tahun dan $65$ tahun sebesar $0,4553$. Ini artinya dari $110$ orang yang ada, diperkirakan terdapat $$\boxed{0,4553 \times 110 = 50,083 \approx 50}$$ orang penduduk yang memiliki harapan hidup dengan kriteria tersebut.
Jawaban d)
Penduduk memiliki harapan hidup dengan usia di antara $55$ tahun dan $60$ tahun.
Ambil $X_1 = 55$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z_1 & = \dfrac{X_1-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{55-44,8}{11,3} \\ & \approx 0,90 \end{aligned}$$Berikutnya, ambil $X_2 = 60$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z_2 & = \dfrac{X_2-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{60-44,8}{11,3} \\ & \approx 1,35 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(55 < X < 60) & = P(0,90 < Z < 1,35) \\ & = P(0 < Z < 1,35)-P(0<Z<0,90) \\ & = 0,4115-0,3159 \\ & = 0,0956 \end{aligned}$$Peluang harapan hidup di antara $55$ tahun dan $60$ tahun sebesar $0,0956$. Ini artinya dari $110$ orang yang ada, diperkirakan terdapat $$\boxed{0,0956 \times 110 = 10,516 \approx 11}$$ orang penduduk yang memiliki harapan hidup dengan kriteria tersebut.

[collapse]

Soal Nomor 5
Seorang pengusaha telah memimpin studi meneliti waktu hidup (life time) suatu lampu pijar tipe tertentu. Studi tersebut menyimpulkan bahwa waktu hidup, diukur dalam jam, adalah suatu variabel acak yang memenuhi distribusi normal. Waktu hidup rata-rata $750$ jam dengan simpangan baku $110$ jam. Berapa peluang bahwa sebuah lampu pijar yang dipilih secara acak akan memiliki waktu hidup:
a. antara $600$ jam dan $900$ jam?
b. lebih besar dari $100$ jam?

Pembahasan

Diketahui $\mu = 750$ dan $\sigma = 110.$
Jawaban a)
Lampu pijar yang dipilih memiliki waktu hidup antara $600$ jam dan $900$ jam.
Ambil $X_1 = 600$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z_1 & = \dfrac{X_1-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{600-750}{110} \\ & = -\dfrac{15}{11} \approx -1,36 \end{aligned}$$Berikutnya, ambil $X_2 = 900$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z_1 & = \dfrac{X_2-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{900-750}{110} \\ & = \dfrac{15}{11} \approx 1,36 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(-1,36 < Z < 1,36) & = 2 \cdot P(0 < Z < 1,36) \\ & = 2 \cdot 0,4131 \\ & = 0,8262 \end{aligned}$$Jadi, probabilitas bahwa lampu pijar yang dipilih memiliki waktu hidup antara $600$ jam dan $900$ jam adalah $\boxed{0,8262}$
Jawaban b)
Lampu pijar yang dipilih memiliki waktu hidup lebih dari $100$ jam.
Ambil $X = 100$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{100-750}{110} \\ & = -\dfrac{65}{11} \approx -5,91 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(X > 100) & = P(Z > -5,91) \\ & = P(-5,91 < Z < 0) + P(Z > 0) \\ & = 0,4999 + 0,5 \\ & = 0,9999 \end{aligned}$$Jadi, probabilitas bahwa lampu pijar yang dipilih memiliki waktu hidup lebih besar dari $100$ jam adalah $\boxed{0,9999}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Manajer pemasaran sebuah perusahaan percaya bahwa penjualan total perusahaan bisa dimodelkan oleh suatu distribusi normal, dengan rata-rata $\$$2 juta (dua juta dolar) dan simpangan baku $\$$250.000 (dua ratus lima puluh ribu dolar).

  1. Berapa peluang penjualan perusahaan melebihi $\$$2,5 juta?
  2. Berapa peluang bahwa penjualan perusahaan akan berada di bawah $\$$1.250.000?
  3. Untuk menutupi biaya tetap, penjualan perusahaan harus melebihi tingkat pulang-pokok (break-even level) , yaitu sebesar $\$$1,45 juta. Berapa peluang bahwa penjualan akan melebihi tingkat pulang-pokok?
  4. Tentukan tingkat penjualan yang hanya memiliki kesempatan $9\%$ untuk dilampaui tahun depan.

Pembahasan

Diketahui $\mu = \$2~\text{juta}$ dan $\sigma = \$250.000 = \$0,25~\text{juta}.$ 
Jawaban a)
Penjualan perusahaan melebihi $\$$2,5 juta.
Ambil $X = 2,5$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{2,5-2}{0,25} \\ & = \dfrac{0,5}{0,25} = 2 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(X > 2,5) & = P(Z > 2) \\ & = P(Z > 0)-P(0 < Z < 2) \\ & = 0,5-0,4772 \\ & = 0,0228 \end{aligned}$$Jadi, peluang penjualan perusahaan melebihi $\$$2,5 juta adalah $\boxed{0,0228}$
Jawaban b)
penjualan perusahaan akan berada di bawah $\$$1.250.000 = $\$$1,25 juta.
Ambil $X = 1,25$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{1,25-2}{0,25} \\ & = -\dfrac{0,75}{0,25} = -3 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(X < 1,25) & = P(Z < -3) \\ & = P(Z < 0)-P(-3 < Z < 0) \\ & = 0,5-0,4987 \\ & = 0,0013 \end{aligned}$$Jadi, peluang penjualan perusahaan akan berada di bawah $\$$1.250.000 adalah $\boxed{0,0013}$
Jawaban c)
Penjualan perusahaan melebihi tingkat pulang-pokok, yaitu sebesar  $\$$1,45 juta.
Ambil $X = 1,45$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{1,45-2}{0,25} \\ & = -\dfrac{0,55}{0,25} = -2,2  \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(X > 1,45) & = P(Z > -2,2) \\ & = P(-2,2 < Z < 0) + P(Z > 0) \\ & = 0,4861 + 0,5 \\ & = 0,9861 \end{aligned}$$Jadi, peluang penjualan perusahaan akan melebihi tingkat pulang-pokok adalah $\boxed{0,9861}$
Jawaban d)

Tingkat penjualan yang diinginkan memiliki kesempatan $9\% = 0,09$ untuk dilampaui tahun depan. Kata “dilampaui” menunjukkan bahwa tingkat penjualan bakal lebih tinggi dari rata-rata $\mu$ sehingga nilai $Z$ bakal bernilai positif seperti yang ditunjukkan pada gambar kurva normal berikut.
Karena $P(Z > z) = 0,09,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} P(Z > z) & = P(Z > 0) + P(0 < Z < z) \\ 0,09 & = 0,5 + P(0 < Z < z) \\ P(0 < Z < z) & = 0,5-0,09=0,41 \end{aligned}$$Berdasarkan tabel $Z$, diperoleh bahwa skor $z \approx 1,34.$
Berikutnya, tinggal dicari
$X$ dengan menggunakan nilai $Z$ tersebut
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ 1,34 & = \dfrac{X-2}{0,25} \\ X & = (1,34 \times 0,25) + 2 \\ X & = 2,335 \end{aligned}$$Jadi, tingkat penjualan yang dimaksud sebesar $\boxed{2,335~\text{juta}}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Nilai rata-rata ujian mata kuliah matematika adalah $60$ dengan variasi $64.$ Ditentukan bahwa peserta ujian memperoleh nilai A jika nilai minimal $80.$ Peserta ujian akan mendapat nilai B jika nilai paling sedikit $65$ dan kurang dari $80.$ Peserta harus mengikuti ujian perbaikan jika nilainya kurang dari $65.$ Bila distribusi nilai ujian ini mendekati distribusi normal dan seorang peserta dipilih secara acak, tentukan peluang bahwa peserta itu:
a. memperoleh nilai A;
b. memperoleh nilai B;
c. harus ikut ujian perbaikan.

Pembahasan

Diketahui $\mu = 60$ dan $\sigma^2 = 64 \Rightarrow \sigma = 8.$
Jawaban a)
Peserta yang dipilih memperoleh nilai A, artinya ia memiliki nilai $X \geq 80.$
Ambil $X = 80$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{80-60}{8} \\ & = \dfrac{5}{2} \approx 2,50 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(X \ge 80) & = P(X > 80) \\ & = P(Z > 2,50) \\ & = P(Z > 0)-P(0<Z<2,50) \\ & = 0,5-0,4938 \\ & = 0,0062 \end{aligned}$$Jadi, peluang peserta yang dipilih memperoleh nilai A adalah $\boxed{0,0062}$
Jawaban b)
Peserta yang dipilih memperoleh nilai B, artinya ia memiliki nilai $65 \ge < X < 80.$
Ambil $X_1 = 65$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z_1 & = \dfrac{X_1-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{65-60}{8} \\ & = \dfrac{5}{8} \approx 0,63 \end{aligned}$$Ambil $X_2 = 80$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z_2 & = \dfrac{X_2-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{80-60}{8} \\ & = \dfrac{5}{2} \approx 2,50 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(65 \ge X < 80) & = P(65 < X < 80) \\ & = P(0,63 < Z < 2,50) \\ & = P(0 < Z < 2,50)-P(0 <Z<0,63) \\ & = 0,4938-0,2357 \\ & = 0,2581 \end{aligned}$$Jadi, peluang peserta yang dipilih memperoleh nilai B adalah $\boxed{0,2581}$
Jawaban c)
Peserta yang dipilih mengikuti ujian perbaikan, artinya ia memiliki nilai $X < 65.$
Ambil $X_1 = 65$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{65-60}{8} \\ & = \dfrac{5}{8} \approx 0,63 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(X < 65) & = P(Z < 0,63) \\ & = P(Z < 0) + P(0 < Z < 0,63) \\ & = 0,5 + 0,2357  \\ & = 0,7357 \end{aligned}$$Jadi, peluang peserta yang dipilih mengikuti ujian perbaikan adalah $\boxed{0,7357}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Statistika (Tingkat SMA/Sederajat) 

Soal Nomor 8
Pengukuran panjang jari telunjuk tangan kanan manusia adalah suatu variabel yang terdistribusi normal dengan rata-rata $6$ cm dan simpangan baku $0,4$ cm. Seseorang dipilih secara acak. Tentukan probabilitas panjang jari telunjuk tangan kanan orang itu:
a. lebih pendek dari $6,5$ cm;
b. lebih panjang dari $5,5$ cm;
c. di antara $5$ cm dan $7,5$ cm.

Pembahasan

Diketahui $\mu = 6$ dan $\sigma = 0,4.$
Jawaban a)
Panjang jari telunjuk tangan kanan lebih pendek dari $6,5$ cm.
Ambil $X = 6,5$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{6,5-6}{0,4} = 1,25 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(X < 6,5) & = P(Z < 1,25) \\ & = P(Z < 0) + P(0 < Z < 1,25) \\ & = 0,5 + 0,3944 \\ & = 0,8944 \end{aligned}$$Jadi, probabilitas bahwa orang yang dipilih memiliki jari telunjuk tangan kanan lebih pendek dari $6,5$ cm adalah $\boxed{0,8944}$
Jawaban b)
Panjang jari telunjuk tangan kanan lebih panjang dari $5,5$ cm.
Ambil $X = 5,5$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{5,5-6}{0,4} = -1,25 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(X > 5,5) & = P(Z > -1,25) \\ & = P(-1,25 < Z < 0) + P(Z > 0) \\ & = 0,3944 + 0,5 \\ & = 0,8944 \end{aligned}$$Jadi, probabilitas bahwa orang yang dipilih memiliki jari telunjuk tangan kanan lebih panjang dari $5,5$ cm adalah $\boxed{0,8944}$
Jawaban c)
Panjang jari telunjuk tangan kanan di antara $5$ cm dan $7,5$ cm.
Ambil $X_1 = 5$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z_1 & = \dfrac{X_1-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{5-6}{0,4} \\ & = -\dfrac52 = -2,50 \end{aligned}$$Berikutnya, ambil $X_2 = 7,5$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z_2 & = \dfrac{X_2-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{7,5-6}{0,4} \\ & = \dfrac{15}{4} = 3,75 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(5 < X < 7,5) & = P(-2,50 < Z < 3,75) \\ & = P(-2,50 < Z < 0) + P(0 < Z < 3,75) \\ & = 0,4938 + 0,4999 \\ & = 0,9937 \end{aligned}$$Jadi, probabilitas bahwa orang yang dipilih memiliki panjang jari telunjuk tangan kanan di antara $5$ cm dan $7,5$ cm adalah $\boxed{0,9937}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Sebuah survei pendapatan per kapita menunjukkan bahwa pendapatan tahunan penduduk di suatu kota didistribusikan secara normal dengan pendapatan rata-rata (mean) Rp98.000.000,00 dan simpangan baku Rp16.000.000,00. Jika seseorang dipilih secara acak, berapa probabilitas bahwa pendapatan tahunan sebesar:

  1. lebih besar dari Rp50.000.000,00?
  2. lebih besar dari Rp122.000.000,00?
  3. di antara Rp85.200.000,00 dan Rp122.000.000,00?
  4. di antara Rp114.000.000,00 dan Rp130.000.000,00?

Pembahasan

Diketahui $\mu = 98.000.000$ dan $\sigma = 16.000.000.$
Jawaban a)
Pendapatan tahunan lebih besar dari Rp50.000.000,00.
Ambil $X = 50.000.000$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{50.000.000-98.000.000}{16.000.000} \\ & = -3,00 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(X > 50.000.000) & = P(Z > -3,00) \\ & = P(-3,00 < Z < 0) + P(Z > 0) \\ & = 0,4987 + 0,5 \\ & = 0,9987 \end{aligned}$$Jadi, probabilitas bahwa orang yang dipilih memiliki pendapatan tahunan lebih besar dari Rp50.000.000,00 adalah $\boxed{0,9987}$
Jawaban b)
Pendapatan tahunan lebih besar dari Rp122.000.000,00.
Ambil $X = 122.000.000$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{122.000.000-98.000.000}{16.000.000} \\ & = 1,50 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(X > 122.000.000) & = P(Z > 1,50) \\ & = P(Z > 0)-P(0 < Z < 1,50) \\ & = 0,5-0,4332 \\ & = 0,0668 \end{aligned}$$Jadi, probabilitas bahwa orang yang dipilih memiliki pendapatan tahunan lebih besar dari Rp122.000.000,00 adalah $\boxed{0,0668}$
Jawaban c)
Pendapatan tahunan di antara Rp85.200.000,00 dan Rp122.000.000,00.
Ambil $X_1 = 85.200.000$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z_1 & = \dfrac{X_1-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{85.200.000-98.000.000}{16.000.000} \\ & = -0,80 \end{aligned}$$Berikutnya, ambil $X_2 = 122.000.000$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z_2 & = \dfrac{X_2-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{122.000.000-98.000.000}{16.000.000} \\ & = 1,50 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(85.200.000 < Z < 122.000.000) & = P(-0,80 < Z < 1,50) \\ & = P(-0,80 < Z < 0) + P(0 < Z < 1,50) \\ & = 0,2881 + 0,4332 \\ & = 0,7213 \end{aligned}$$Jadi, probabilitas bahwa orang yang dipilih memiliki pendapatan tahunan di antara Rp85.200.000,00 dan Rp122.000.000,00 adalah $\boxed{0,7213}$
Jawaban d)
Pendapatan tahunan di antara Rp114.000.000,00 dan Rp130.000.000,00.
Ambil $X_1 = 114.000.000$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z_1 & = \dfrac{X_1-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{114.000.000-98.000.000}{16.000.000} \\ & = 1,00 \end{aligned}$$Berikutnya, ambil $X_2 = 130.000.000$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z_2 & = \dfrac{X_2-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{130.000.000-98.000.000}{16.000.000} \\ & = 2,00 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(114.000.000 < X < 130.000.000) & = P(1,00 < Z < 2,00) \\ & = P(0 < Z < 2,00)-P(0 < Z < 1,00) \\ & = 0,4772-0,3413 \\ & = 0,1359 \end{aligned}$$Jadi, probabilitas bahwa orang yang dipilih memiliki pendapatan tahunan di antara Rp114.000.000,00 dan Rp130.000.000,00 adalah $\boxed{0,1359}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Peluang dan Kombinatorika (Tingkat SMA) 

Soal Nomor 10
Dari data di suatu gim daring, diketahui bahwa lamanya waktu yang dihabiskan pemain setiap harinya berdistribusi normal dengan simpangan baku $37$ menit. Diketahui juga bahwa terdapat $14\%$ pemain yang menghabiskan waktu bermain gim tersebut lebih dari $230$ menit. Tentukan rata-ratanya.

Pembahasan

Diketahui $\sigma = 37$ dan $P(X > 230) = P(Z > z)$ $= 14\% = 0,14.$ Dari sini, dapat diketahui juga bahwa $z$ harus bernilai positif karena $0,14 < 0,50.$
Oleh karena itu, kita tuliskan
$$\begin{aligned} P(Z > z) & = P(Z > 0)- P(0 < Z < z) \\ 0,14 & = 0,5-P(0 < Z < z) \\ P(0 < Z < z) & = 0,36 \end{aligned}$$Dari tabel $Z$, diperoleh bahwa skor $z = 1,08$ (dibulatkan).
Selanjutnya, tinggal dicari nilai rata-rata $\mu.$
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ 1,08 & = \dfrac{230-\mu}{37} \\ \mu & = 230-(1,08 \times 37) \\ \mu & = 230-39,96 = 190,04 \end{aligned}$$Jadi, rata-rata pemain bermain gim daring tersebut adalah $\boxed{190,04~\text{menit}}$

[collapse]