Materi, Soal, dan Pembahasan – Operasi Biner dan Dasar-Dasar Grup

Dalam matematika, struktur (structure) adalah himpunan takkosong yang dilengkapi dengan setidaknya satu operasi. Sejumlah struktur diberi nama khusus karena sering kali digunakan. Istilah yang dimaksud antara lain grupoid, semigrup, monoid, dan grup. Grupoid adalah himpunan takkosong yang dilengkapi dengan operasi biner. Semigrup adalah grupoid yang operasinya bersifat asosiatif. Monoid adalah semigrup yang mempunyai elemen identitas.

Secara matematis, kita mendefinisikannya seperti berikut.

Definisi: Grupoid

Misalkan $G$ merupakan himpunan takkosong dan $*$ merupakan operasi biner pada $G.$ Himpunan $G$ yang dilengkapi dengan operasi $*,$ dinotasikan $(G, *),$ disebut sebagai grupoid (groupoid). Dengan kata lain, $G$ harus tertutup terhadap operasi $*.$

Definisi: Semigrup

Misalkan $(G, *)$ merupakan grupoid. Jika $(a*b)*c = a*(b*c)$ untuk setiap $a, b, c \in G,$ maka $(G, *)$ disebut sebagai semigrup (semigroup).

Definisi: Monoid

Misalkan $(G, *)$ merupakan semigrup. Jika terdapat elemen identitas $e$ sehingga $a*e = e*a = a$ untuk setiap $a \in G,$ maka $(G, *)$ disebut monoid (monoid).

Dari definisi tersebut, diketahui bahwa semua grupoid adalah semigrup dan semua semigrup adalah monoid.

Sebagai contoh, misalkan $\mathbb{N}$ merupakan himpunan bilangan asli. Didefinisikan operasi biner $*$ oleh $a*b = (a+b)+ab$ untuk setiap $a, b \in \mathbb{N}.$ Struktur $(\mathbb{N}, *)$ merupakan grupoid karena $\mathbb{N}$ tertutup terhadap operasi biner $*.$ Fakta tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut. Ambil sembarang $a, b \in \mathbb{N}.$ Berdasarkan definisi operasi biner $*,$ diperoleh $a*b = (a + b) + ab.$ Karena $\mathbb{N}$ tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa, diperoleh $a + b \in \mathbb{N}$ dan $ab \in \mathbb{N}.$ Akibatnya, $(a + b) + ab \in \mathbb{N}.$

Bagaimana kalau operasi biner $*$ didefinisikan oleh $a*b = (a+b)-ab$ untuk setiap $a, b \in \mathbb{N}?$ Jika definisinya demikian, $(\mathbb{N}, *)$ bukan grupoid karena $\mathbb{N}$ tidak tertutup terhadap operasi $*.$ Sebagai contoh, pilih $a = 2$ dan $b = 3$ sehingga didapat $2*3 = (2 + 3)-2(3) = -1 \notin \mathbb{N}.$ Kita sebut $(\mathbb{N}, *)$ sebagai suatu struktur aljabar biasa.

Struktur aljabar pada dasarnya berfondasi pada apa yang kita kenal sebagai teori grup. Secara informal, grup adalah monoid yang setiap elemen himpunannya memiliki invers terhadap operasi yang disematkan. Kita akan memberikan definisi formal dari grup sebagai berikut.

Definisi: Grup

Misalkan $G$ merupakan himpunan takkosong yang dilengkapi dengan operasi biner $*.$ Struktur $(G, *)$ disebut grup (group) jika memenuhi tiga kriteria berikut.

  1. Operasi biner $*$ bersifat asosiatif, yaitu untuk setiap $a, b, c \in G,$ berlaku $a*(b*c) = (a*b)*c.$
  2. Terdapat elemen identitas $e \in G$ sehingga $a*e = e*a = a$ untuk setiap $a \in G.$
  3. Untuk setiap $a \in G,$ terdapat elemen invers $a^{-1} \in G$ sehingga $a*a^{-1} = e.$

Lebih lanjut, jika $(G, *)$ merupakan grup yang operasi binernya memenuhi sifat komutatif, artinya untuk setiap $a, b \in G,$ berlaku $a*b = b*a,$ maka $(G, *)$ disebut sebagai grup komutatif atau grup Abel (Abelian group), diambil dari nama matematikawan Norwegia, Niels Henrik Abel (1802–1829). Beliau banyak memberikan kontribusi dalam aljabar abstrak, tetapi sayangnya, beliau meninggal dalam usia yang masih muda karena menderita tuberkulosis. Berikutnya, jika $(G, *)$ merupakan grup, tetapi operasi binernya tidak memenuhi sifat komutatif, maka $(G,*)$ disebut sebagai grup nonkomutatif atau grup non-Abel (non-Abelian group).


Tabel Cayley mendeskripsikan struktur dari suatu himpunan hingga dengan menyusun semua hasil operasi biner dari setiap elemen grup pada tabel dengan ukuran $n \times n.$ Kata “Cayley” diambil dari nama Matematikawan Britania Raya, Arthur Cayley (1821–1895), sebagai tanda jasa atas kontribusi beliau pada bidang aljabar abstrak.

Sebagai contoh, misalkan $G = \{0, 1, 2\}$ merupakan himpunan yang dilengkapi dengan operasi perkalian modulo $2,$ dinotasikan dengan $\times_2.$ Karena $G$ merupakan himpunan berhingga, tabel Cayley dapat digunakan untuk menyusun semua hasil operasi perkalian modulo $2$ pada tiga elemen yang termuat di $G.$
Jika himpunan hingga $G$ bersama-sama dengan operasi biner $*$ memenuhi kriteria sesuai definisi grup, maka struktur $(G, *)$ disebut sebagai grup hingga (finite group).


Artikel ini ditulis berdasarkan beberapa sumber. Untuk sumber berbahasa Inggris, salah satu yang digunakan adalah buku “A First Course in Abstract Algebra, Fourth Edition” yang ditulis oleh John B. Fralegh. Oleh karena itu, untuk meminimalisasi kesalahan penafsiran, padanan untuk beberapa kata/istilah diberikan dalam tabel berikut.

$$\begin{array}{ccc} \hline \text{No.} & \text{Bahasa Indonesia} & \text{Bahasa Inggris} \\ \hline 1. & \text{Aljabar Abstrak} & \text{Abstract Algebra} \\ 2. & \text{Operasi Biner} & \text{Binary Operation} \\ 3. & \text{Himpunan Takkosong} & \text{Nonempty Set} \\ 4. & \text{Struktur Aljabar} & \text{Algebraic Structure} \\ 5. & \text{Grupoid} & \text{Groupoid} \\ 6. & \text{Semigrup} & \text{Semigroup} \\ 7. & \text{Monoid} & \text{Monoid} \\ 8. & \text{Sifat Ketertutupan} & \text{Closure Property} \\ 9. & \text{Sifat Asosiatif} & \text{Associative Property} \\ 10. & \text{Elemen identitas} & \text{Identity Element} \\ 11. & \text{Invers} & \text{Inverse} \\ 12. & \text{Sifat Komutatif} & \text{Commutative Property} \\ 13. & \text{Grup Komutatif} & \text{Commutative Group} \\ 14. & \text{Grup Abel} & \text{Abelian Group} \\ 15. & \text{Grup Non-Abel} & \text{Non-Abelian Group} \\ 16. & \text{Tabel Cayley} & \text{Cayley Table} \\ 17. & \text{Himpunan Hingga} & \text{Finite Set} \\ 18. & \text{Grup Hingga} & \text{Finite Group} \\  \hline \end{array}$$


Di bawah ini telah disediakan sejumlah soal dan pembahasan tentang operasi biner dan dasar-dasar grup. Sebagian soal dibuat oleh penulis sendiri dan sebagian lainnya diadaptasi dari literatur.

Quote by Buya Hamka

Iman tanpa ilmu bagaikan lentera di tangan bayi. Namun, ilmu tanpa iman bagaikan lentera di tangan pencuri.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Misalkan $\mathbb{Z}^+$ merupakan himpunan bilangan bulat positif dan $a, b \in \mathbb{Z}^+.$ Definisi $*$ yang tepat agar $*$ merupakan operasi biner pada $\mathbb{Z}^+$ adalah $\cdots \cdot$
A. $a*b = a-b$
B. $a*b=5a-b$
C. $a*b = -ab$
D. $a*b = -(a-b)$
E. $a*b = a^b$

Pembahasan

Misalkan $\mathbb{Z}^+$ merupakan himpunan bilangan bulat positif dan $a, b \in \mathbb{Z}^+.$ Agar $*$ merupakan operasi biner pada $\mathbb{Z}^+,$ sifat ketertutupan harus dijamin, yaitu $a*b \in \mathbb{Z}^+.$
Cek opsi A:
Himpunan $\mathbb{Z}^+$ dengan operasi $*$ yang diberikan oleh $a*b = a-b$ tidak tertutup karena, sebagai contoh, untuk $a = 2$ dan $b = 3,$ diperoleh $2*3 = 2-3 = -1 \notin \mathbb{Z}^+.$
Cek opsi B:
Himpunan $\mathbb{Z}^+$ dengan operasi $*$ yang diberikan oleh $a*b = 5a-b$ tidak tertutup karena, sebagai contoh, untuk $a = 1$ dan $b = 5,$ diperoleh $1*5 = 5(1)-5 = 0 \notin \mathbb{Z}^+.$
Cek opsi C:
Himpunan $\mathbb{Z}^+$ dengan operasi $*$ yang diberikan oleh $a*b = -ab$ tidak tertutup karena, sebagai contoh, untuk $a = 1$ dan $b = 1,$ diperoleh $1*1 = -(1(1)) = -1 \notin \mathbb{Z}^+.$
Cek opsi D:
Himpunan $\mathbb{Z}^+$ dengan operasi $*$ yang diberikan oleh $a*b = -(a-b)$ tidak tertutup karena, sebagai contoh, untuk $a = 2$ dan $b = 1,$ diperoleh $2*1 = -(2-1) = -1 \notin \mathbb{Z}^+.$
Cek opsi E:
Himpunan $\mathbb{Z}^+$ dengan operasi $*$ yang diberikan oleh $a*b = a^b$ tertutup karena $a^b \in \mathbb{Z}^+$ untuk setiap $a, b \in \mathbb{Z}^+.$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 2

Misalkan $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q},$ dan $\mathbb{R}$ berturut-turut menyatakan himpunan bilangan asli, bulat, rasional, dan real. Struktur berikut yang termasuk grupoid adalah $\cdots \cdot$

  1. $(\mathbb{N}, *)$ yang operasinya didefinisikan oleh $a*b = ab-2a+b$ untuk setiap $a, b \in \mathbb{N}$
  2. $(\mathbb{Z}, *)$ yang operasinya didefinisikan oleh $a*b = a \div b$ untuk setiap $a, b \in \mathbb{Z}$
  3. $(\mathbb{Q}, *)$ yang operasinya didefinisikan oleh $a*b = a+b+\sqrt2$ untuk setiap $a, b \in \mathbb{Q}$
  4. $(\mathbb{R}, *)$ yang operasinya didefinisikan oleh $a*b = a \div b$ untuk setiap $a, b \in \mathbb{R}$
  5. $(\mathbb{R}, *)$ yang operasinya didefinisikan oleh $a*b = a+2b$ untuk setiap $a, b \in \mathbb{R}$

Pembahasan

Misalkan $G$ merupakan himpunan takkosong dan $*$ merupakan operasi biner pada $G.$ Himpunan $G$ yang dilengkapi dengan operasi $*,$ dinotasikan $(G, *),$ disebut sebagai grupoid. Dengan kata lain, $G$ harus tertutup terhadap operasi $*.$
Cek opsi A:
$(\mathbb{N}, *)$ yang operasinya didefinisikan oleh $a*b = ab-2a+b$ untuk setiap $a, b \in \mathbb{N}$ bukan grupoid karena $\mathbb{N}$ tidak tertutup terhadap operasi $*.$ Sebagai contoh, pilih $a = 1$ dan $b = 1$ sehingga $1*1 = 1(1)-2(1)+1 = 0 \notin \mathbb{N}.$
Cek opsi B:
$(\mathbb{Z}, *)$ yang operasinya didefinisikan oleh $a*b = a \div b$ untuk setiap $a, b \in \mathbb{Z}$ bukan grupoid karena $*$ tidak terdefinisi dengan baik. Sebagai contoh, pilih $a = 1$ dan $b = 0$ sehingga $1*0 = 1 \div 0$ tidak terdefinisi.
Cek opsi C:
$(\mathbb{Q}, *)$ yang operasinya didefinisikan oleh $a*b = a+b+\sqrt2$ untuk setiap $a, b \in \mathbb{Q}$ bukan grupoid karena $\mathbb{Q}$ tidak tertutup terhadap operasi $*.$ Sebagai contoh, pilih $a = 1$ dan $b = 1$ sehingga $1*1 = 1+1+\sqrt2 = 2+\sqrt2 \notin \mathbb{Q}$ karena $\sqrt2$ irasional.
Cek opsi D:
$(\mathbb{R}, *)$ yang operasinya didefinisikan oleh $a*b = a \div b$ untuk setiap $a, b \in \mathbb{R}$ bukan grupoid karena $*$ tidak terdefinisi dengan baik. Sebagai contoh, pilih $a = 1$ dan $b = 0$ sehingga $1*0 = 1 \div 0$ tidak terdefinisi.
Cek opsi E:
$(\mathbb{R}, *)$ yang operasinya didefinisikan oleh $a*b = a+2b$ untuk setiap $a, b \in \mathbb{R}$ grupoid karena $\mathbb{R}$ tertutup terhadap operasi $*.$ Fakta tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut. Ambil sembarang $a, b \in \mathbb{R}.$ Berdasarkan definisi operasi biner $*,$ diperoleh $a*b = a+2b.$ Karena $\mathbb{R}$ tertutup terhadap operasi perkalian dan penjumlahan biasa, diperoleh $2b \in \mathbb{R}$ sehingga $a+2b \in \mathbb{R}.$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 3

Misalkan $(\mathbb{R}, *)$ merupakan grup. Operasi $*$ didefinisikan oleh $a*b = 2a+3b-\dfrac45$ untuk setiap $a, b \in \mathbb{R}.$ Nilai dari $(3*2)*5 = \dfrac{x}{y}$ untuk suatu bilangan bulat positif $x$ dan $y$ dengan $x$ dan $y$ relatif prima. Nilai dari $x+y = \cdots \cdot$
A. $5$                               D. $188$
B. $163$                          E. $193$
C. $183$

Pembahasan

Dengan menggunakan definisi operasi $*$ yang disematkan pada $\mathbb{R},$ diperoleh
$$\begin{aligned} (3*2)*5 & = \left(2(3) + 3(2)-\dfrac45\right)*5 \\ & = \dfrac{56}{5}*5 \\ & = 2\left(\dfrac{56}{5}\right) + 3(5)-\dfrac45 \\ & = \dfrac{112}{5} + 15-\dfrac45 \\ & = \dfrac{183}{5} \end{aligned}$$Karena $183$ dan $5$ relatif prima, nilai dari $x = 183$ dan $y = 5$ sehingga $x + y = 188.$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4

Misalkan $\mathbb{Z}$ merupakan himpunan bilangan bulat yang dilengkapi dengan operasi $*$ dengan $a*b = a+b-ab$ untuk setiap $a, b \in \mathbb{Z}.$ Elemen identitas dari $(\mathbb{Z}, *)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$                       D. $2$
B. $0$                            E. tidak ada
C. $1$

Pembahasan

Berdasarkan definisi, $e \in \mathbb{Z}$ dikatakan sebagai elemen identitas dari $(\mathbb{Z}, *)$ jika $a*e = e*a = a$ untuk setiap $a \in \mathbb{Z}.$
Karena didefinisikan $a*b = a+b-ab$ untuk setiap $a, b\in \mathbb{Z},$ diperoleh
$$\begin{aligned} a*e & = a \\ a+e-ae & = a \\ e-ae & = 0 \\ e(1-a) & = 0 \\ e & = 0 \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} e*a & = a \\ e+a-ea & = a \\ e-ea & = 0 \\ e(1-a) & = 0 \\ e & = 0. \end{aligned}$$Oleh karena itu, $e = 0 \in \mathbb{Z}$ merupakan elemen identitas yang dimaksud karena $a*0 = 0*a = a$ untuk setiap $a \in G.$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 5

Misalkan $(\mathbb{R}, \times)$ merupakan struktur berupa himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan operasi perkalian biasa. Struktur $(\mathbb{R}, \times)$ tidak termasuk grup karena $\cdots \cdot$

  1. $\times$ bukan operasi biner
  2. $\times$ tidak asosiatif pada $\mathbb{R}$
  3. $(\mathbb{R}, \times)$ tidak memiliki elemen identitas
  4. tidak semua elemen $\mathbb{R}$ memiliki invers terhadap $\times$
  5. semua elemen $\mathbb{R}$ memiliki invers terhadap $\times$

Pembahasan

Operasi perkalian biasa merupakan operasi biner karena melibatkan dua operan. Pada himpunan bilangan real, operasi perkalian biasa juga bersifat asosiatif, yaitu $a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$ untuk setiap $a, b, c \in \mathbb{R}.$ Lebih lanjut, elemen identitas dari $(\mathbb{R}, \times)$ adalah $e = 1$ karena $a \times 1 = 1 \times a = a$ untuk setiap $a \in \mathbb{R}.$ Namun, tidak semua elemen $\mathbb{R}$ memiliki invers terhadap $\times.$ Elemen yang dimaksud adalah $0 \in \mathbb{R}.$ Jelas bahwa tidak ada elemen $a^{-1}$ di $\mathbb{R}$ sehingga $0 \times a^{-1} = 1.$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6

Misalkan $(G, \star)$ merupakan grup dan $a, b \in G.$ Jika $a \star b = b \star a^{-1},$ maka elemen identitas dari $(G, \star)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $a^5$                    C. $a^3$                    E. $a$
B. $a^4$                    D. $a^2$

Pembahasan

Misalkan $(G, \star)$ merupakan grup dan $a, b \in G.$ Misalkan juga $a \star b = b \star a^{-1}.$
Karena $a^{-1} \in G,$ haruslah berlaku $a \star a^{-1} = a^{-1} \star a^{-1}$ dengan spesialisasi $b = a^{-1}.$ Selanjutnya, dengan menggunakan hukum kanselasi kanan, diperoleh $a = a^{-1}.$ Jadi, invers dari elemen $G$ terhadap operasi $\star$ adalah dirinya sendiri. Misalkan $e$ merupakan elemen identitas dari $(G, \star).$ Berdasarkan definisi invers, didapat
$$\begin{aligned} a \star a^{-1} & = e \\ a \star a & = e \\ a^2 & = e \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} a^{-1} \star a & = e \\ a \star a & = e \\ a^2 & = e. \end{aligned}$$Karena $\star$ merupakan operasi biner yang tertutup di $G$ (berdasarkan definisi grup), haruslah $a^2 \in G.$ Jadi, disimpulkan bahwa elemen identitas dari $(G, \star)$ adalah $\boxed{a^2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 7

Misalkan $*$ merupakan operasi yang disematkan pada himpunan bilangan rasional $\mathbb{Q}.$ Didefinisikan $*$ oleh $\dfrac{a}{b} * \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}-\dfrac14$ untuk setiap $\dfrac{a}{b}, \dfrac{c}{d} \in \mathbb{Q}.$ Invers dari $\dfrac15$ terhadap operasi $*$ pada $\mathbb{Q}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac14$                       D. $\dfrac{3}{10}$
B. $\dfrac15$                       E. $\dfrac{9}{10}$
C. $\dfrac18$

Pembahasan

Misalkan $*$ merupakan operasi yang disematkan pada himpunan bilangan rasional $\mathbb{Q}.$ Untuk menentukan invers dari $\dfrac15$ terhadap operasi $*$ pada $\mathbb{Q},$ perlu ditentukan elemen identitas dari $(\mathbb{Q}, *)$ terlebih dahulu.
Misalkan $\dfrac{a}{b}, e \in G.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \dfrac{a}{b}*e & = \dfrac{a}{b} \\ \dfrac{a}{b}+e-\dfrac14 & = \dfrac{a}{b} \\ e-\dfrac{1}{4} & = 0 \\ e & = \dfrac14 \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} e*\dfrac{a}{b} & = \dfrac{a}{b} \\ e+\dfrac{a}{b}-\dfrac14 & = \dfrac{a}{b} \\ e-\dfrac{1}{4} & = 0 \\ e & = \dfrac14. \end{aligned}$$Disimpulkan bahwa $e = \dfrac14 \in \mathbb{Q}$ merupakan elemen identitas dari $(\mathbb{Q}, *).$
Selanjutnya, misalkan invers dari $\dfrac15$ terhadap operasi $*$ pada $\mathbb{Q}$ adalah $x.$ Dengan demikian, didapat
$$\begin{aligned} \dfrac15*x & = e \\ \dfrac15+x-\dfrac14 & = \dfrac14 \\ \dfrac15+x & = \dfrac12 \\ x & = \dfrac{3}{10} \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} x*\dfrac15 & = e \\ x+\dfrac15-\dfrac14 & = \dfrac14 \\ x+\dfrac15 & = \dfrac12 \\ x & = \dfrac{3}{10}. \end{aligned}$$Jadi, $x = \dfrac{3}{10} \in \mathbb{Q}$ merupakan invers dari $\dfrac15$ terhadap operasi $*$ pada $\mathbb{Q}.$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8

Misalkan $\mathbb{Z}, \mathbb{Z}^-,$ dan $\mathbb{Z}^+$ berturut-turut menyatakan himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan bulat negatif, dan himpunan bilangan bulat positif. Misalkan juga operasi $+$ dan $\times$ berturut-turut merupakan operasi penjumlahan biasa dan operasi perkalian biasa. Pernyataan berikut ini yang benar terkait grupoid, semigrup, monoid, dan grup adalah $\cdots \cdot$

  1. $(\mathbb{Z}, \times)$ merupakan monoid, tetapi bukan grup
  2. $(\mathbb{Z}^+, \times)$ merupakan monoid, tetapi bukan grup
  3. $(\mathbb{Z}, +)$ merupakan monoid, tetapi bukan grup
  4. $(\mathbb{Z}^+, +)$ merupakan grupoid, tetapi bukan semigrup
  5. $(\mathbb{Z}^-, +)$ merupakan monoid, tetapi bukan grup

Pembahasan

Grupoid adalah himpunan takkosong yang dilengkapi dengan operasi biner. Semigrup adalah grupoid yang operasinya bersifat asosiatif. Monoid adalah semigrup yang mempunyai elemen identitas. Terakhir, grup adalah monoid yang setiap elemennya memiliki invers terhadap operasi biner yang disematkan.
Cek opsi A:
$(\mathbb{Z}, \times)$ merupakan monoid karena $\mathbb{Z}$ tertutup terhadap operasi $\times,$ operasi $\times$ bersifat asosiatif $($sebagai contoh, $3 \times (2 \times 4) = (3 \times 2) \times 4),$ dan $(\mathbb{Z}, \times)$ memiliki elemen identitas, yaitu $e = 1.$ Oleh karena itu, $(\mathbb{Z}, \times)$ merupakan monoid. Namun, tidak semua elemen $\mathbb{Z}$ memiliki invers terhadap operasi $\times$ di $\mathbb{Z},$ misalnya invers dari $2$ adalah $\dfrac12 \notin \mathbb{Z}.$ Jadi, $(\mathbb{Z}, \times)$ bukan grup.
Cek opsi B:
Meskipun $\mathbb{Z}^+$ tertutup terhadap operasi $\times$ dan operasi $\times$ bersifat asosiatif $($sebagai contoh, $3 \times (2 \times 4) = (3 \times 2) \times 4),$ tidak ditemukan elemen identitas pada $(\mathbb{Z}^+, \times).$ Dengan kata lain, tidak ada elemen $e \in \mathbb{Z}^+$ sehingga $a \times e = e \times a = a$ untuk setiap $a \in \mathbb{Z}^+.$ Ini berarti $(\mathbb{Z}^+, \times)$ bukan monoid.
Cek opsi C:
$(\mathbb{Z}, +)$ merupakan grup karena $\mathbb{Z}$ tertutup terhadap operasi $+,$ operasi $+$ bersifat asosiatif $($sebagai contoh, $5 + (-2 + 1) = (5 + (-2)) + 1),$ $(\mathbb{Z}, +)$ memiliki elemen identitas, yaitu $e = 0,$ dan untuk setiap $a \in \mathbb{Z},$ terdapat elemen invers $a^{-1} = -a \in \mathbb{Z}$ sehingga $a + (-a) = 0.$
Cek opsi D:
$(\mathbb{Z}^+, +)$ merupakan semigrup karena $\mathbb{Z}^+$ tertutup terhadap operasi $+$ dan operasi $+$ bersifat asosiatif $($sebagai contoh, $5 + (-2 + 1) = (5 + (-2)) + 1).$
Cek opsi E:
Meskipun $\mathbb{Z}^-$ tertutup terhadap operasi $+$ dan operasi $+$ bersifat asosiatif $($sebagai contoh, $-3 + (-2 + (-1)) = (-3+ (-2)) + (-1)),$ tidak ditemukan elemen identitas pada $(\mathbb{Z}^-, +).$ Dengan kata lain, tidak ada elemen $e \in \mathbb{Z}^-$ sehingga $a + e = e + a = a$ untuk setiap $a \in \mathbb{Z}^-.$ Ini berarti $(\mathbb{Z}^-, +)$ bukan monoid.
(Jawaban A)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Misalkan $\mathbb{Q}-\{0\}$ merupakan himpunan bilangan rasional taknol dan $\dfrac{a}{b}, \dfrac{c}{d} \in \mathbb{Q} -\{0\}.$ Didefinisikan operasi $*$ dengan $$\dfrac{a}{b} * \dfrac{c}{d} = \dfrac{a + c}{b^2 + d}.$$Tunjukkan bahwa $*$ bukan operasi biner pada $\mathbb{Q}-\{0\}.$

Pembahasan

Misalkan $\mathbb{Q}-\{0\}$ merupakan himpunan bilangan rasional taknol dan $\dfrac{a}{b}, \dfrac{c}{d} \in \mathbb{Q} -\{0\}.$ Untuk menunjukkan bahwa $*$ bukan operasi biner pada $\mathbb{Q}-\{0\},$ harus dibuktikan bahwa terdapat dua elemen $x, y \in \mathbb{Q} -\{0\}$ sehingga $x*y \notin \mathbb{Q}-\{0\}.$ Dengan kata lain, himpunan $\mathbb{Q}-\{0\}$ tidak tertutup terhadap operasi $*.$
Pilih $a = -c$ dan $a, b, c, d$ semuanya tidak bernilai $0$ dengan $a, b, c, d \in \mathbb{Z}.$ Jelas bahwa $\dfrac{a}{b}, \dfrac{c}{d} \in \mathbb{Q} -\{0\}$ sesuai definisi bilangan rasional taknol. Namun,
$$\begin{aligned} \dfrac{a}{b} * \dfrac{c}{d} & = \dfrac{a + c}{b^2 + d} \\ & = \dfrac{-c + c}{b^2 + d} \\ & = \dfrac{0}{b^2 + d} \\ & = 0 && (b^2 + d \neq 0). \end{aligned}$$Karena $0 \notin \mathbb{Q}-\{0\},$ disimpulkan bahwa himpunan $\mathbb{Q}-\{0\}$ tidak tertutup terhadap operasi $*.$ Jadi, terbukti bahwa $*$ bukan operasi biner pada $\mathbb{Q}-\{0\}.$

[collapse]

Soal Nomor 2

Buktikan bahwa himpunan $G = \{0, 1\}$ yang dilengkapi dengan operasi perkalian biasa $\times$ bukan grup.

Pembahasan

Misalkan himpunan $G = \{0, 1\}$ yang dilengkapi dengan operasi perkalian biasa $\times$ membentuk struktur $(G, \times).$ Akan ditunjukkan bahwa $(G, \times)$ bukan grup. Dengan kata lain, kita hanya perlu menunjukkan ada setidaknya satu kriteria dari definisi grup yang tidak terpenuhi oleh $(G, \times).$
Perhatikan bahwa $e = 1 \in G$ merupakan elemen identitas dari $G$ karena $0 \times e = 0$ dan $1 \times e = 1.$ Namun, ternyata $0 \in G$ tidak memiliki invers terhadap operasi perkalian biasa. Hal ini dapat diketahui karena tidak ada elemen $0^{-1} \in G$ sehingga $0 \times 0^{-1} = e = 1.$ Karena itu, terbukti bahwa $(G, \times)$ bukan grup. $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 3

Buktikan bahwa setiap operasi biner yang didefinisikan pada himpunan dengan satu elemen selalu bersifat asosiatif dan komutatif.

Pembahasan

Misalkan $G$ merupakan himpunan dengan satu elemen $a,$ yaitu $G = \{a\}.$ Ambil sembarang operasi biner $*$ yang didefinisikan pada $G.$
Karena $*$ merupakan operasi biner, $G$ tertutup terhadap operasi $*$ sehingga $a*a = a \in G.$
Perhatikan bahwa $a*(a*a) = a*a = (a*a)*a.$ Artinya, operasi $*$ bersifat asosiatif.
Berikutnya, ambil sembarang $x, y \in G = \{a\}.$ Jelas bahwa $x*y = y*x$ karena $x = y = a.$ Artinya, operasi $*$ bersifat komutatif.
Jadi, terbukti bahwa setiap operasi biner yang didefinisikan pada himpunan dengan satu elemen selalu bersifat asosiatif dan komutatif. $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 4

Misalkan $\mathbb{Z}^+$ merupakan himpunan bilangan bulat positif dan didefinisikan operasi $*$ oleh $x*y = |x-y|$ untuk setiap $x, y \in \mathbb{Z}^+.$ Selidiki apakah operasi $*$ pada himpunan tersebut bersifat tertutup, asosiatif, dan komutatif.

Pembahasan

Misalkan $\mathbb{Z}^+$ merupakan himpunan bilangan bulat positif dan didefinisikan operasi $*$ oleh $x*y = |x-y|$ untuk setiap $x, y \in \mathbb{Z}^+.$ Akan diselidiki apakah apakah operasi $*$ pada himpunan tersebut bersifat tertutup, asosiatif, dan komutatif.


Operasi $*$ pada $\mathbb{Z}^+$ tidak bersifat tertutup. Pilih $x = y = 3 \in \mathbb{Z}^+,$ tetapi $3*3 = |3-3| = 0 \notin \mathbb{Z}^+.$


Operasi $*$ pada $\mathbb{Z}^+$ tidak bersifat asosiatif. Pilih $x = 1 \in \mathbb{Z}^+,$ $y = 2 \in \mathbb{Z}^+,$ dan $z = 3 \in \mathbb{Z}^+,$ tetapi
$$\begin{aligned} 1*(2*3) & = 1*|2-3| = 1*1 = |1-1| = 0 \\ (1*2)*3 & = |1-2|*3 = 1*3 = |1-3| = 2. \end{aligned}$$Artinya, terdapat $x, y, z \in \mathbb{Z}^+$ sehingga $x*(y*z) \ne (x*y)*z.$


Operasi $*$ pada $\mathbb{Z}^+$ bersifat komutatif. Untuk membuktikannya, pertama, ambil sembarang $x, y \in \mathbb{Z}^+.$ Kemudian, diperoleh
$$\begin{aligned} x*y & = |x-y| \\ & = |-(y-x)| \\ & = |-1| \cdot |y-x| \\ & = 1 \cdot |y-x| \\ & = |y-x| \\ & = y*x. \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 5

Misalkan $\mathbb{R}^+$ merupakan himpunan bilangan real positif dan $*$ merupakan operasi biner yang didefinisikan oleh $a*b = \sqrt{ab}$ untuk setiap $a, b \in \mathbb{R}^+.$ Selidiki apakah $(\mathbb{R}^+, *)$ merupakan grup.

Pembahasan

Misalkan $\mathbb{R}^+$ merupakan himpunan bilangan real positif dan $*$ merupakan operasi biner yang didefinisikan oleh $a*b = \sqrt{ab}$ untuk setiap $a, b \in \mathbb{R}^+.$ Klaim bahwa $(\mathbb{R}^+, *)$ bukan grup. Klaim tersebut dapat dibuktikan, salah satu caranya adalah dengan menunjukkan bahwa operasi $*$ tidak bersifat asosiatif.


Ambil sembarang $a, b, c \in \mathbb{R}^+.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} a*(b*c) = a*\sqrt{bc} =\sqrt{a\sqrt{bc}} \\ (a*b)*c = \sqrt{ab}*c = \sqrt{\sqrt{ab}c}. \end{aligned}$$Padahal, $\sqrt{a\sqrt{bc}}$ tidak selalu sama dengan $\sqrt{\sqrt{ab}c}.$ Sebagai contoh, pilih $a = 1,$ $b = 2,$ dan $c = 4$ sehingga $$\sqrt{a\sqrt{bc}} = \sqrt{1\sqrt{2(4)}} = \sqrt{2\sqrt2}$$ dan $$\sqrt{\sqrt{ab}c} = \sqrt{\sqrt{1(2)}(4)} = \sqrt{4\sqrt2}.$$Ini menunjukkan bahwa terdapat $a, b, c \in \mathbb{R}^+$ sehingga $a*(b*c) \ne (a*b)*c.$ Dengan kata lain, operasi $*$ tidak bersifat asosiatif. Oleh karena itu, $(\mathbb{R}^+, *)$ bukan grup. $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 6

Misalkan $\mathbb{Q}^+$ merupakan himpunan rasional positif dan operasi $*$ didefinisikan oleh $a*b = \dfrac{ab}{2}$ untuk setiap $a, b \in \mathbb{Q}^+.$ Buktikan bahwa $(\mathbb{Q}^+, *)$ merupakan grup.

Pembahasan

Misalkan $\mathbb{Q}^+$ merupakan himpunan rasional positif dan operasi $*$ didefinisikan oleh $a*b = \dfrac{ab}{2}$ untuk setiap $a, b \in \mathbb{Q}^+.$ Akan dibuktikan bahwa $(\mathbb{Q}^+, *)$ merupakan grup, artinya kita perlu menunjukkan bahwa $\mathbb{Q}^+$ tertutup terhadap operasi $*,$ operasi $*$ bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada $(\mathbb{Q}^+, *),$ dan setiap elemen $\mathbb{Q}^+$ memiliki invers terhadap operasi $*.$


Untuk menunjukkan bahwa $\mathbb{Q}^+$ tertutup terhadap operasi $*,$ pertama, ambil sembarang $a, b \in \mathbb{Q}^+.$ Berdasarkan definisi operasi $*,$ diperoleh $a*b = \dfrac{ab}{2}.$ Karena $a$ dan $b$ keduanya merupakan bilangan rasional positif, $ab$ juga demikian. Akibatnya, $\dfrac{ab}{2} \in \mathbb{Q}^+.$ Jadi, terbukti bahwa $\mathbb{Q}^+$ tertutup terhadap operasi $*.$


Untuk menunjukkan bahwa operasi $*$ bersifat asosiatif, pertama, ambil sembarang $a, b, c \in \mathbb{Q}^+.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} a*(b*c) & = a*\dfrac{bc}{2} \\ & = \dfrac{a(bc)}{2(2)} \\ & = \dfrac{(ab)c}{2(2)} \\ & = \dfrac{ab}{2}*c \\ & = (a*b)*c. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa operasi $*$ bersifat asosiatif.


Untuk menunjukkan bahwa $(\mathbb{Q}^+, *)$ memuat elemen identitas, pilih $e = 2 \in \mathbb{Q}^+.$ Ambil sembarang $a \in \mathbb{Q}^+.$ Dengan demikian, diperoleh $a*2 = \dfrac{a(2)}{2} = a$ dan $2*a = \dfrac{2a}{2} = 2.$ Jadi, $(\mathbb{Q}^+, *)$ memuat elemen identitas.


Untuk menunjukkan bahwa setiap elemen $\mathbb{Q}^+$ memiliki invers terhadap operasi $*,$ pertama, ambil sembarang $a \in \mathbb{Q}^+.$ Pilih $a^{-1} = \dfrac{4}{a} \in \mathbb{Q}^+$ sehingga diperoleh
$$a*a^{-1} = a*\dfrac{4}{a} = \dfrac{a \cdot \dfrac{4}{a}}{2} = 2 = e$$dan $$a^{-1}*a = \dfrac{4}{a}*a = \dfrac{\dfrac{4}{a} \cdot a}{2} = 2 = e.$$Jadi, setiap elemen $\mathbb{Q}^+$ memiliki invers terhadap operasi $*.$


Karena $\mathbb{Q}^+$ tertutup terhadap operasi $*,$ operasi $*$ bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada $(\mathbb{Q}^+, *),$ dan setiap elemen $\mathbb{Q}^+$ memiliki invers terhadap operasi $*,$ disimpulkan bahwa $(\mathbb{Q}^+, *)$ merupakan grup. $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 7

Misalkan $\mathbb{Z}$ merupakan himpunan bilangan bulat. Misalkan juga $2\mathbb{Z}$ didefinisikan oleh $\{2n \mid n \in \mathbb{Z}\}$ dan operasi $*$ didefinisikan oleh $a*b = a + b$ untuk setiap $a, b \in 2\mathbb{Z}.$ Buktikan bahwa $(2\mathbb{Z}, *)$ merupakan grup.

Pembahasan

Misalkan $\mathbb{Z}$ merupakan himpunan bilangan bulat. Misalkan juga $2\mathbb{Z}$ didefinisikan oleh $\{2n \mid n \in \mathbb{Z}\}$ dan operasi $*$ didefinisikan oleh $a*b = a + b$ untuk setiap $a, b \in 2\mathbb{Z}.$ Akan dibuktikan bahwa $(2\mathbb{Z}, *)$ merupakan grup, artinya kita perlu menunjukkan bahwa $2\mathbb{Z}$ tertutup terhadap operasi $*,$ operasi $*$ bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada $(2\mathbb{Z}, *),$ dan setiap elemen $2\mathbb{Z}$ memiliki invers terhadap operasi $*.$


Untuk menunjukkan bahwa $2\mathbb{Z}$ tertutup terhadap operasi $*,$ pertama, ambil sembarang $a, b \in 2\mathbb{Z}.$ Misalkan $a = 2x$ dan $b = 2y$ untuk suatu bilangan bulat $x$ dan $y.$ Menurut definisi $*,$ berlaku $$a*b = a+b = 2x + 2y = 2(x + y).$$Karena $x$ dan $y$ keduanya merupakan bilangan bulat dan himpunan bilangan bulat tertutup terhadap operasi penjumlahan, disimpulkan bahwa $x + y \in \mathbb{Z}.$ Dengan demikian, $2(x + y) \in 2\mathbb{Z}.$ Jadi, terbukti bahwa $2\mathbb{Z}$ tertutup terhadap operasi $*.$


Untuk menunjukkan bahwa operasi $*$ bersifat asosiatif, pertama, ambil sembarang $a, b, c \in 2\mathbb{Z}.$ Misalkan $a = 2x, b = 2y,$ dan $c = 2z$ untuk suatu bilangan bulat $x, y,$ dan $z.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} a*(b*c) & = a+(b+c) \\ & = 2x + (2y + 2z) \\ & = (2x + 2y) + 2z && (\text{Sifat asosiatif}+\text{pada}~\mathbb{Z}) \\ & = (a + b) + c \\ & = (a*b)*c. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa operasi $*$ bersifat asosiatif.


Untuk menunjukkan bahwa $(2\mathbb{Z}, *)$ memuat elemen identitas, pilih $e = 0.$ Perhatikan bahwa $e = 0 \in 2\mathbb{Z}$ karena $0 = 2(0).$ Ambil sembarang $a \in 2\mathbb{Z}$ sehingga diperoleh
$$a*0 = a+0 = a$$dan $$0*a = 0+a = a.$$Jadi, $(2\mathbb{Z}, *)$ memuat elemen identitas.


Untuk menunjukkan bahwa setiap elemen $2\mathbb{Z}$ memiliki invers terhadap operasi $*,$ pertama, ambil sembarang $a \in 2\mathbb{Z}.$ Misalkan $a = 2x$ untuk suatu bilangan bulat $x.$ Pilih $a^{-1} = -a = -2x.$ Perhatikan bahwa $a^{-1} = -2x \in 2\mathbb{Z}$ karena $-2x = 2(-x)$ dan $-x$ merupakan bilangan bulat. Dengan demikian,
$$a*a^{-1} = 2x*(-2x) = 2x+(-2x) = 0 = e$$dan
$$a^{-1}*a = (-2x)*2x = (-2x) +2x = 0 = e.$$Jadi, setiap elemen $2\mathbb{Z}$ memiliki invers terhadap operasi $*.$


Karena $2\mathbb{Z}$ tertutup terhadap operasi $*,$ operasi $*$ bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada $(2\mathbb{Z}, *),$ dan setiap elemen $2\mathbb{Z}$ memiliki invers terhadap operasi $*,$ disimpulkan bahwa $(2\mathbb{Z}, *)$ merupakan grup. $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 8

Misalkan $\mathbb{Z}$ merupakan himpunan bilangan bulat dan didefinisikan operasi $*$ oleh $x*y = x + y -1$ untuk setiap $x, y \in \mathbb{Z}.$ Buktikan bahwa $(\mathbb{Z}, *)$ merupakan grup Abel.

Pembahasan

Misalkan $\mathbb{Z}$ merupakan himpunan bilangan bulat dan didefinisikan operasi $*$ oleh $x*y = x + y -1$ untuk setiap $x, y \in \mathbb{Z}.$ Akan dibuktikan bahwa $(\mathbb{Z}, *)$ merupakan grup Abel, artinya kita perlu menunjukkan bahwa $\mathbb{Z}$ tertutup terhadap operasi $*,$ operasi $*$ bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada $(\mathbb{Z}, *),$ setiap elemen $\mathbb{Z}$ memiliki invers terhadap operasi $*,$ dan operasi $*$ bersifat komutatif.


Untuk menunjukkan bahwa $\mathbb{Z}$ tertutup terhadap operasi $*,$ pertama, ambil sembarang $x, y \in \mathbb{Z}.$ Menurut definisi $*,$ $x*y = x+y-1.$ Karena $\mathbb{Z}$ tertutup terhadap operasi penjumlahan, diperoleh $x*y = x+y-1 \in \mathbb{Z}.$ Jadi, terbukti bahwa $\mathbb{Z}$ tertutup terhadap operasi $*.$


Untuk menunjukkan bahwa operasi $*$ bersifat asosiatif, pertama, ambil sembarang $x, y, z \in \mathbb{Z}.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} x*(y*z) & = x*(y+z-1) \\ & = x+(y+z-1)-1 \\ & = (x+y-1)+z-1 \\ & = (x*y)+z-1 \\ & = (x*y)*z. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa operasi $*$ bersifat asosiatif.


Untuk menunjukkan bahwa $(\mathbb{Z}, *)$ memuat elemen identitas, pilih $e = 1 \in \mathbb{Z}.$ Ambil sembarang $x \in \mathbb{Z}$ sehingga diperoleh
$$x*1 = x+1-1 = x$$dan $$1*x = 1+x-1 = x.$$Jadi, $(\mathbb{Z}, *)$ memuat elemen identitas.


Untuk menunjukkan bahwa setiap elemen $\mathbb{Z}$ memiliki invers terhadap operasi $*,$ pertama, ambil sembarang $x \in \mathbb{Z}.$ Pilih $x^{-1} = 2-x \in \mathbb{Z}$ sehingga diperoleh
$$x*x^{-1} = x*(2-x) = x+(2-x)-1 = 1 = e$$dan
$$x^{-1}*x = (2-x)*x = (2-x)+x-1 = 1 = e.$$Jadi, setiap elemen $\mathbb{Z}$ memiliki invers terhadap operasi $*.$


Untuk menunjukkan bahwa operasi $*$ bersifat komutatif, pertama, ambil sembarang $x, y\in \mathbb{Z}.$ Perhatikan bahwa
$$x*y = x+y-1 = y+x-1 = y*x.$$Jadi, terbukti bahwa operasi $*$ bersifat komutatif.


Karena $\mathbb{Z}$ tertutup terhadap operasi $*,$ operasi $*$ bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada $(\mathbb{Z}, *),$ setiap elemen $\mathbb{Z}$ memiliki invers terhadap operasi $*,$ dan operasi $*$ bersifat komutatif, disimpulkan bahwa $(\mathbb{Z}, *)$ merupakan grup Abel. $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 9

Misalkan $P$ merupakan himpunan bilangan bulat yang habis dibagi $3.$ Buktikan bahwa $P$ yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan biasa merupakan grup Abel.

Pembahasan

Misalkan $P$ merupakan himpunan bilangan bulat yang habis dibagi $3,$ ditulis $P = \{3x \mid x \in \mathbb{Z}\}.$ Akan dibuktikan bahwa $(P, +)$ merupakan grup Abel, artinya kita perlu menunjukkan bahwa $P$ tertutup terhadap operasi $+,$ operasi $+$ bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada $(P, +),$ setiap elemen $P$ memiliki invers terhadap operasi $+,$ dan operasi $+$ bersifat komutatif.


Untuk menunjukkan bahwa $P$ tertutup terhadap operasi $+,$ pertama, ambil sembarang $a, b \in P$ sehingga dapat ditulis $a = 3x$ dan $b = 3y$ untuk suatu bilangan bulat $x$ dan $y.$ Dengan demikian, diperoleh $a + b = 3x + 3y = 3(x + y).$ Karena himpunan bilangan bulat tertutup terhadap operasi penjumlahan, haruslah $x + y \in \mathbb{Z}.$ Artinya, $a + b \in P.$ Jadi, terbukti bahwa $P$ tertutup terhadap operasi $+.$


Untuk menunjukkan bahwa operasi $+$ bersifat asosiatif, pertama, ambil sembarang $a, b, c \in P$ sehingga dapat ditulis $a = 3x,$ $b = 3y,$ dan $c = 3z$ untuk suatu bilangan bulat $x, y,$ dan $z.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} a+(b+c) & = 3x + (3y + 3z) \\ & = 3x + 3(y + z) \\ & = 3(x + (y + z)) \\ & = 3((x + y) + z) \\ & = 3(x+y) + 3z \\ & = (3x + 3y) + 3z \\ & = (a+b)+c. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa operasi $+$ bersifat asosiatif.


Untuk menunjukkan bahwa $(P, +)$ memuat elemen identitas, pilih $e = 0 = 3(0) \in P.$ Ambil sembarang $a \in P$ sehingga dapat ditulis $a = 3x$ untuk suatu bilangan bulat $x.$ Dengan demikian, diperoleh
$$a+0 = 3x + 0 = 3x = a$$dan $$0 + a = 0 + 3x = 3x = a.$$Jadi, $(P, +)$ memuat elemen identitas.


Untuk menunjukkan bahwa setiap elemen $P$ memiliki invers terhadap operasi $+,$ pertama, ambil sembarang $a \in P$ sehingga dapat ditulis $a = 3x$ untuk suatu bilangan bulat $x.$ Pilih $a^{-1} = 3(-x) \in P$ sehingga diperoleh
$$a+a^{-1} = 3x+3(-x) = 3(x + (-x)) = 3(0) = 0 = e$$dan
$$a^{-1} + a = 3(-x) + x = 3(-x + x) = 3(0) = 0 = e.$$Jadi, setiap elemen $P$ memiliki invers terhadap operasi $+.$


Untuk menunjukkan bahwa operasi $+$ bersifat komutatif, pertama, ambil sembarang $a, b\in \mathbb{Z}$ sehingga dapat ditulis $a = 3x$ dan $b = 3y$ untuk suatu bilangan bulat $x$ dan $y.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} a+b & = 3x + 3y \\ & = 3(x + y) \\ & = 3(y + x) \\ & = 3y+3x \\ & = b+a. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa operasi $+$ bersifat komutatif.


Karena $P$ tertutup terhadap operasi $+,$ operasi $+$ bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada $(P, +),$ setiap elemen $P$ memiliki invers terhadap operasi $+,$ dan operasi $+$ bersifat komutatif, disimpulkan bahwa $(P, +)$ merupakan grup Abel. $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 10

Misalkan $\mathbb{D}$ merupakan himpunan matriks diagonal berukuran $n \times n$ dengan entri bilangan real dan operasi $+$ merupakan operasi penjumlahan matriks. Buktikan bahwa $(\mathbb{D}, +)$ merupakan grup Abel.
Catatan: Matriks diagonal adalah matriks persegi yang entri-entri di atas dan di bawah diagonal utamanya bernilai $0.$

Pembahasan

Misalkan $\mathbb{D}$ merupakan himpunan matriks diagonal berukuran $n \times n$ dengan entri bilangan real dan operasi $+$ merupakan operasi penjumlahan matriks. Akan dibuktikan bahwa $(\mathbb{D}, +)$ merupakan grup Abel, artinya kita perlu menunjukkan bahwa $\mathbb{D}$ tertutup terhadap operasi $+,$ operasi $+$ bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada $(\mathbb{D}, +),$ setiap elemen $\mathbb{D}$ memiliki invers terhadap operasi $+,$ dan operasi $+$ bersifat komutatif.


Untuk menunjukkan bahwa $\mathbb{D}$ tertutup terhadap operasi $+,$ pertama, ambil sembarang $A, B \in \mathbb{D}$ dengan $$A = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix}$$dan $$B = \begin{bmatrix} b_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & b_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & b_n \end{bmatrix}$$untuk suatu $a_i, b_i \in \mathbb{R}$ dengan $i \in \{1, 2, \cdots, n\}.$ Dengan demikian, diperoleh
$$A + B = \begin{bmatrix} a_1+b_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2+b_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3+b_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n + b_n\end{bmatrix}.$$Karena himpunan bilangan real tertutup terhadap operasi penjumlahan biasa, diperoleh $a_i + b_i \in \mathbb{R}$ dengan $i \in \{1, 2, \cdots, n\}.$ Oleh karena itu, $A + B \in \mathbb{D}.$ Jadi, terbukti bahwa $\mathbb{D}$ tertutup terhadap operasi $+.$


Untuk menunjukkan bahwa operasi $*$ bersifat asosiatif, pertama, ambil sembarang $A, B, C \in \mathbb{D}$ dengan $$A = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix},$$ $$B = \begin{bmatrix} b_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & b_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & b_n \end{bmatrix},$$dan $$C = \begin{bmatrix} c_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & c_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & c_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & c_n \end{bmatrix}$$untuk suatu $a_i, b_i, c_i \in \mathbb{R}$ dengan $i \in \{1, 2, \cdots, n\}.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} A + (B + C) & = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix} + \left(\begin{bmatrix} b_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & b_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & b_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & c_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & c_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & c_n \end{bmatrix}\right) \\ & = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1+c_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_2+c_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & b_3+c_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & b_n+c_n \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} a_1 + (b_1+c_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 + (b_2+c_2) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 + (b_3+c_3) & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n+(b_n+c_n) \end{bmatrix}. \end{aligned}$$Karena operasi penjumlahan biasa bersifat asosiatif pada himpunan bilangan real, diperoleh
$$\begin{aligned} & \begin{bmatrix} (a_1 + b_1)+c_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & (a_2 + b_2)+c_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & (a_3 + b_3)+c_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & (a_n+b_n)+c_n \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} a_1 + b_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 + b_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 + b_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n+b_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & c_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & c_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & c_n \end{bmatrix} \\ & = \left(\begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & b_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & b_n \end{bmatrix}\right) + \begin{bmatrix} c_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & c_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & c_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & c_n \end{bmatrix} \\ & = (A + B) + C. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa operasi $+$ bersifat asosiatif.


Untuk menunjukkan bahwa $(\mathbb{D}, +)$ memuat elemen identitas, pilih $e = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{D}.$ Ambil sembarang $A \in \mathbb{D}$ dengan $$A = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix}$$untuk suatu $a_i \in \mathbb{R}$ dengan $i \in \{1, 2, \cdots, n\}.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} A + e & = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} a_1+0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2+0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3+0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n+0 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix} \\ & = A \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} e + A & = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 0+a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0+a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0+a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0+a_n \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix} \\ & = A. \end{aligned}$$Jadi, $(\mathbb{D}, +)$ memuat elemen identitas.


Untuk menunjukkan bahwa setiap elemen $\mathbb{D}$ memiliki invers terhadap operasi $+,$ pertama, ambil sembarang $A \in \mathbb{D}$ dengan $$A = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix}$$untuk suatu $a_i \in \mathbb{R}$ dengan $i \in \{1, 2, \cdots, n\}.$ Pilih $A^{-1} = \begin{bmatrix} -a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & -a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & -a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -a_n \end{bmatrix}.$ Perhatikan bahwa $A^{-1} \in \mathbb{D}$ karena merupakan matriks diagonal dengan entri-entri bilangan real. Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} A + A^{-1} & = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & -a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & -a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -a_n \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} a_1+(-a_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2+(-a_2) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 +(-a_3) & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n + (-a_n) \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \\ & = e \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} A^{-1} + A & = \begin{bmatrix} -a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & -a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & -a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -a_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} -a_1 + a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & -a_2 + a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & -a_3 + a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -a_n + a_n\end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \\ & = e. \end{aligned}$$Jadi, setiap elemen $\mathbb{D}$ memiliki invers terhadap operasi $+.$


Untuk menunjukkan bahwa operasi $*$ bersifat komutatif, pertama, ambil sembarang $A, B\in \mathbb{D}$ dengan $$A = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix}$$dan $$B = \begin{bmatrix} b_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & b_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & b_n \end{bmatrix}$$untuk suatu $a_i, b_i \in \mathbb{R}$ dengan $i \in \{1, 2, \cdots, n\}.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} A + B & = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & b_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & b_n \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} a_1 + b_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 + b_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 + b_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n + b_n \end{bmatrix}. \end{aligned}$$Karena operasi penjumlahan biasa bersifat komutatif pada himpunan bilangan real, diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{bmatrix} b_1 + a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_2 + a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & b_3 + a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & b_n + a_n \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} b_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & b_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & b_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix} \\ & = B + A. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa operasi $+$ bersifat komutatif.


Karena $\mathbb{D}$ tertutup terhadap operasi $+,$ operasi $+$ bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada $(\mathbb{D}, +),$ setiap elemen $\mathbb{D}$ memiliki invers terhadap operasi $+,$ dan operasi $+$ bersifat komutatif, disimpulkan bahwa $(\mathbb{D}, +)$ merupakan grup Abel. $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 11

Buktikan bahwa jika setiap elemen dari grup $(G, *)$ merupakan invers dari dirinya sendiri, maka $(G, *)$ merupakan grup Abel.

Pembahasan

Misalkan $(G, *)$ merupakan grup dengan $a = a^{-1}$ untuk setiap $a \in G.$ Akan dibuktikan bahwa $G$ merupakan grup Abel, artinya kita perlu menunjukkan bahwa operasi biner $*$ bersifat komutatif.
Ambil sembarang $a, b\in G$ sehingga berlaku $a = a^{-1}$ dan $b = b^{-1}.$ Karena $*$ merupakan operasi biner, haruslah $a*b \in G$ (sifat ketertutupan). Dengan demikian, $a*b = (a*b)^{-1}.$
Berdasarkan teorema, $(a*b)^{-1} = b^{-1}*a^{-1}.$ Karena $a = a^{-1}$ dan $b = b^{-1},$ didapat
$$a*b = (a*b)^{-1} = b^{-1}*a^{-1} = b*a.$$Jadi, terbukti bahwa $*$ bersifat komutatif sehingga $(G,*)$ merupakan grup Abel. $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 12

Jika $(G, *)$ merupakan grup dengan $(a*b)^2 = a^2*b^2$ untuk setiap $a, b \in G,$ maka $(G,*)$ merupakan grup Abel.

Pembahasan

Misalkan $(G, *)$ merupakan grup dengan $(a*b)^2 = a^2*b^2$ untuk setiap $a, b \in G.$ Akan dibuktikan bahwa $(G,*)$ merupakan grup Abel, artinya kita perlu menunjukkan bahwa operasi biner $*$ bersifat komutatif.
Ambil sembarang $a, b\in G$ sehingga $(a*b)^2 = a^2*b^2 = (a*a)*(b*b).$ Lebih lanjut, menurut definisi, $(a*b)^2 = (a*b)*(a*b).$ Dari sini, diperoleh
$$\begin{aligned} (a*a)*(b*b) & = (a*b)*(a*b) \\ a*(a*b)*b & = a*(b*a)*b && (\text{Sifat asosiatif dari}~*) \\ a^{-1} * (a*(a*b)*b)*b^{-1} & = a^{-1}*(a*(b*a)*b)*b^{-1} && (\text{Operasikan}~a^{-1}~\text{dari kiri dan}~b^{-1}~\text{dari kanan})\\ (a^{-1}*a)*(a*b)*(b*b^{-1}) & = (a^{-1}*a)*(b*a)*(b*b^{-1}) && (\text{Sifat asosiatif dari}~*) \\ e*(a*b)*e & = e*(b*a)*e && (\text{Definisi elemen invers}) \\ a*b & = b*a. && (\text{Definisi elemen identitas}) \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $(G,*)$ bersifat komutatif sehingga $(G, *)$ merupakan grup Abel. $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 13

Jika $(G, *)$ merupakan grup dengan $a^2 = e$ untuk setiap $a \in G,$ maka $(G,*)$ merupakan grup Abel.

Pembahasan

Misalkan $(G, *)$ merupakan grup dengan $a^2 = a*a = e$ untuk setiap $a \in G.$ Akan dibuktikan bahwa $(G,*)$ merupakan grup Abel, artinya kita perlu menunjukkan bahwa operasi biner $*$ bersifat komutatif.
Ambil sembarang $a, b \in G$ sehingga $a^2 = a * a = e$ dan $b^2 = b*b = e.$ Karena $*$ merupakan operasi biner pada $G,$ haruslah $a*b \in G$ (sifat ketertutupan) sehingga $(a*b)^2 = e.$ Dari sini, diperoleh
$$\begin{aligned} (a*b)*(a*b) & = e \\ a*((a*b)*(a*b)) & = a*e && (\text{Operasikan}~a~\text{dari kiri}) \\ (a*a)*(b*a*b) & = a && (\text{Sifat asosiatif dari}*\text{dan definisi elemen identitas}) \\ e*(b*a*b) & = a && (a^2 = a*a = e) \\ b*a*b & = a && (\text{Definisi elemen identitas}) \\ b*(b*a*b) & = b*a && (\text{Operasikan}~b~\text{dari kiri}) \\ (b*b)*(a*b) & = b*a && (\text{Sifat asosiatif dari}~*) \\ e*(a*b) & = b*a && (b^2 = b*b = e) \\ a*b & = b*a. && (\text{Definisi elemen identitas}) \end{aligned}$$Jadi,Jadi, terbukti bahwa $(G,*)$ bersifat komutatif sehingga $(G, *)$ merupakan grup Abel. $\blacksquare$

[collapse]