Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Teori Bilangan

Berikut ini adalah 6 soal Ujian Akhir Semester mata kuliah Teori Bilangan (TA 2017/2018) yang diujikan pada tanggal 10 Januari 2018 oleh Dr. Yulis Jamiah, M.Pd, salah satu dosen pendidikan matematika FKIP Universitas Tanjungpura.

Soal Nomor 1
Tentukan dan urutkan pasangan bilangan berikut dari yang memiliki FPB paling kecil dan paling besar.
a. $(247, 299)$
b. $(299, 4453)$

Pembahasan

Jawaban a)
Gunakan Algoritma Euclid untuk menentukan FPB dari $(247, 299)$. Perhatikan bahwa,

$$\begin{aligned} 299 & = 1 \times 247 + 52 \\ 247 & = 4 \times 52 + 39 \\ 52 & = 1 \times 39 + \color{blue}{13} \\ 39 & = 3 \times 13 + 0 \end{aligned}$$Jadi, $\text{FPB}(247,299) = 13$.
Jawaban b)
Dengan cara yang sama, kita peroleh

$$\begin{aligned} 4453 & = 14 \times 299 + 267 \\ 299 & = 1 \times 267 + 32 \\267 & = 8 \times 32 + 11 \\ 32 & = 2 \times 11 + 10 \\ 11 & = 1 \times 10 + 1 \\ 10 & = 10 \times 1 + 0 \end{aligned}$$Jadi,$\text{FPB}(299,4453) = 1$.
Dengan demikian, FPB paling besar adalah FPB dari $(247,299)$, sedangkan FPB paling kecil adalah FPB dari $(299,4543)$.

[collapse]

Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Algoritma Euclid

Soal Nomor 2
Di antara pernyataan $91 \equiv 0~(\text{mod}~7)$ dan $-2 \equiv 2~(\text{mod}~8)$, manakah pernyataan yang benar? Jelaskan.

Pembahasan

Bentuk kongruensi $a \equiv b~(\text{mod}~c)$ memiliki makna bahwa terdapat bilangan bulat $k$ sehingga $ck + b = a$.
$91 \equiv 0~(\text{mod}~7)$ merupakan pernyataan yang benar karena akan ditemukan bilangan bulat $k = 13$, sedemikian sehingga $7k + 0 =91$.

Di lain persoalan, $-2 \equiv 2~(\text{mod}~8)$ merupakan pernyataan yang salah karena tidak ada bilangan bulat $k$ yang memenuhi persamaan $8k+2=-2$.

[collapse]

Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Kongruensi Modulo

Soal Nomor 3
Diketahui 2 himpunan $P = \{100,-5, 9, 10, 4\}$ dan $Q = \{5, 11, 17, 23,-11\}$. Manakah yang merupakan suatu sistem residu lengkap modulo $5$? Jelaskan!

Pembahasan

Tinjau himpunan $P = \{100,-5, 9, 10, 4\}$.
$$\begin{aligned} 100 & \equiv 0~(\text{mod}~5) \\ -5 & \equiv 0~(\text{mod}~5) \\ 9 & \equiv 4~(\text{mod}~5) \\ 10 & \equiv 0~(\text{mod}~5) \\ 4 & \equiv 4~(\text{mod}~5) \end{aligned}$$Tinjau himpunan $Q = \{5, 11, 17, 23,-11\}$.
$$\begin{aligned} 5 & \equiv 0~(\text{mod}~5) \\ 11 & \equiv 1~(\text{mod}~5) \\ 17 & \equiv 2~(\text{mod}~5) \\ 23 & \equiv 3~(\text{mod}~5) \\ -11 & \equiv 4~(\text{mod}~5) \end{aligned}$$Dari sini, dapat disimpulkan bahwa $Q$ merupakan sistem residu lengkap modulo $5$.

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui tiga pernyataan berikut.
a. Jika $12~|~p$, maka $3~|~p$.
b. Jika $2~|~p$, maka $8~|~p$.
c. Jika $15~|~p$, maka $3~|~p$.
Di antara tiga pernyataan di atas, manakah yang benar? Jelaskan.

Pembahasan

Jawaban a)
Pernyataan benar karena
$12~|~p \equiv 3 \cdot 4 | p \Leftrightarrow 3~|~p \lor 4~|~p$.
Jawaban b)
Pernyataan salah karena pembagi pada bagian hipotesis lebih kecil dari pembagi pada bagian kesimpulan ($2 < 8$). Pernyataan yang benar: Jika $8~|~p$, maka $2~|~p$.
Jawaban c)
Pernyataan benar karena
$15~|~p \equiv 3 \cdot 5~|~p \Leftrightarrow 3~|~p \lor 5~|~p$.

[collapse]

Soal Nomor 5
Benarkah jika $p \cdot c \equiv q \cdot c~(\text{mod}~m)$, maka $p \equiv q~ (\text{mod}~m)$?
Berikan jawaban selengkap mungkin. Jika ya, berikan buktinya. Jika tidak, berikan contoh penyangkal.

Pembahasan

Pernyataan tersebut salah. Akan diberikan contoh penyangkal sebagai berikut.
Misal diberikan $16 \times 5 \equiv 8 \times 5 (\text{mod 10})$, merupakan pernyataan yang benar karena ada bilangan bulat $k = 4$ sedemikian sehingga berlaku $16 \times 5- 8 \times 5 = k \times 10$. Di lain sisi, $16 \equiv 8 (\text{mod 10})$ merupakan pernyataan yang salah karena tidak ada bilangan bulat $k$ yang memenuhi $16- 8 = k \times 10$.

[collapse]

Soal Nomor 6
Benarkah pernyataan bahwa jika $a$ dan $b$ bilangan cacah dengan $b < a$, maka $a + (-b) = a- b$?
Berikan jawaban selengkap mungkin. Jika ya, berikan buktinya. Jika tidak, berikan contoh penyangkal.

Pembahasan

Pernyataan tersebut bernilai benar dan akan dibuktikan sebagai berikut.
Jika $b < a$, maka ada bilangan asli $k$ sedemikian sehingga $a = b + k$. Menurut definisi pengurangan bilangan cacah, $a = b + k$ jhj $a- b = k$. Jadi, dengan menggunakan sifat komutatif penjumlahan, asosiasitif penjumlahan, identitas, dan invers penjumlahan, diperoleh
$\begin{aligned} a + (-b) & = (b + k) + (-b) \\ & = (k + b) + (-b) \\ & = k + (b + (-b)) \\ & = k + 0 \\ & = k \\ &  = a- b \end{aligned}$
(Terbukti)

[collapse]