Soal dan Pembahasan – Dimensi Tiga (Konsep Sudut: Garis dan Bidang)

Dimensi tiga merupakan salah satu judul bab matematika tingkat SMA/Sederajat. Dimensi tiga yang dipelajari mencakup tentang konsep titik, garis, dan bidang pada bangun ruang termasuk mengenai jarak dan sudut. Postingan ini khusus membahas sejumlah soal terkait konsep sudut pada garis dan bidang di bangun ruang. Semoga bermanfaat.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Dimensi Tiga (Konsep Jarak)

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri (Dasar)

Today Quote

Hidup akan begitu berat bagi mereka yang selalu mengeluh dan bagi mereka yang lupa untuk bersyukur.

Soal Nomor 1
Kubus  $ABCD.EFGH$ memiliki rusuk $4~\text{cm}$. Sudut antara garis $AE$
dan bidang $AFH$ adalah $\alpha$. Nilai $\sin \alpha = \cdots$
A. $\frac12\sqrt2$              D. $\frac23\sqrt2$
B. $\frac12\sqrt3$              E. $\frac34\sqrt3$
C. $\frac13\sqrt3$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Misalkan $P$ titik tengah $EG$. Sudut $\alpha$ adalah sudut antara garis $AE$ dan bidang $AFH$ sama dengan sudut antara garis $AE$ dan $AP$. Perhatikan bahwa segitiga $AEF$ merupakan segitiga siku-siku di titik $E$. Panjang $EP$ merupakan setengah dari panjang diagonal bidang $EG$. Karena panjang rusuk kubus $4~\text{cm}$, maka dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$EG = 4\sqrt2~\text{cm}$
sehingga $EP = 2\sqrt2~\text{cm}$
Panjang $AP$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} AP & = \sqrt{AE^2 + EP^2} \\ & = \sqrt{(4)^2 + (2\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{16+8} \\ & = \sqrt{24} = 2\sqrt6~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \sin \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{EP}{AP} \\ & = \dfrac{2\sqrt2}{2\sqrt6} = \dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac13\sqrt3 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{\sin \alpha = \dfrac13\sqrt3}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$. Besar sudut antara garis $BD$ dan $DG$ adalah $\cdots$
A. $30^{\circ}$             D. $90^{\circ}$
B. $45^{\circ}$             E. $115^{\circ}$
C. $60^{\circ}$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Segitiga $BDG$ ternyata merupakan segitiga sama sisi karena $BD = BG = DG$, sebab ketiganya merupakan diagonal bidang kubus.
Dengan demikian, besar sudut antara garis $BD$ dan $DG$ adalah $\boxed{60^{\circ}}$ 
Catatan: Masing-masing sudut pada segitiga sama sisi besarnya $60^{\circ}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 3
Diberikan kubus $PQRS.TUVW$. Bila panjang rusuknya $8~\text{cm}$, maka nilai tangen sudut antara garis $TR$ dengan garis $PS$ adalah …
A. $\sqrt3$                   D. $\frac12\sqrt3$
B. $\sqrt2$                   E. $\frac12\sqrt2$
C. $\frac12\sqrt6$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Sudut antara garis $TR$ dan garis $PS$ sama dengan sudut antara garis $TR$ dan garis $QR$.

Perhatikan bahwa segitiga $TQR$ merupakan segitiga siku-siku di $Q$.
Diketahui bahwa panjang $QT$ merupakan diagonal bidang kubus, sehingga $QT = 8\sqrt2~\text{cm}$, sedangkan $QR = 8~\text{cm}$.
Dengan demikian,
$\tan \angle(TR, QR) = \dfrac{QT}{QR} = \dfrac{8\sqrt2}{8} = \sqrt2$
Jadi, nilai tangen sudut antara garis $TR$ dengan garis $PS$ adalah $\boxed{\sqrt2}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Kubus $ABCD.EFGH$ memiliki panjang rusuk $12~\text{cm}$. Nilai cosinus sudut antara bidang $AFH$ dan bidang $ABCD$ adalah …
A. $\frac12\sqrt6$             D. $\frac12\sqrt2$
B. $\frac13\sqrt6$             E. $\frac13\sqrt3$
C. $\frac12\sqrt3$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Misalkan titik $P$ dan $Q$ berturut-turut adalah titik tengah diagonal $EG$ dan $AC$. 

Sudut antara bidang $AFH$ dan bidang $ABCD$ adalah sudut $\alpha$, yang dapat diwakili oleh $\angle PAQ$ pada segitiga siku-siku $PQA$.
Panjang $AQ$ adalah setengah dari panjang $AC$ (diagonal bidang kubus). Karena $AC = 12\sqrt2~\text{cm}$, maka $AQ = \dfrac12(AC) = 6\sqrt2~\text{cm}$. Panjang $PQ$ sama dengan panjang rusuk kubus, yakni $PQ = 12~\text{cm}$.
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada $\triangle PQA$, panjang $AP$ dapat ditentukan sebagai berikut.
$\begin{aligned} AP & = \sqrt{AQ^2 + PQ^2} \\ & = \sqrt{(6\sqrt2)^2 + (12)^2} \\ & = \sqrt{72 +144} \\ & = \sqrt{216} = 6\sqrt6~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \cos \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{AQ}{AP} \\ & = \dfrac{6\sqrt2}{6\sqrt6} = \dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac13\sqrt3 \end{aligned}$
Jadi, cosinus sudut antara bidang $AFH$ dan bidang $ABCD$ adalah $\boxed{\dfrac13\sqrt3}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 5
Kubus $ABCD.EFGH$ memiliki panjang rusuk $6~\text{cm}$. Jika besar sudut antara garis $BF$ dan bidang $ACF$ adalah $\theta$, maka $\cos \theta = \cdots$
A. $\frac12\sqrt6$              D. $\frac13\sqrt6$
B. $\frac12\sqrt3$              E. $\frac16\sqrt3$
C. $\frac13\sqrt3$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Misalkan $P$ titik tengah $AC$. Sudut $\theta$ adalah sudut antara garis $PF$ dan $BF$. Perhatikan bahwa segitiga $BFP$ merupakan segitiga siku-siku di titik $B$. Panjang $BP$ merupakan setengah dari panjang diagonal bidang $BD$. Karena panjang rusuk kubus $6~\text{cm}$, maka dengan Teorema Pythagoras, diperoleh

$BD = 6\sqrt2~\text{cm}$
sehingga $BP = 3\sqrt2~\text{cm}$
Panjang $PF$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} PF & = \sqrt{BP^2 + BF^2} \\ & = \sqrt{(3\sqrt2)^2 + (6)^2} \\ & = \sqrt{18+36} \\ & = \sqrt{54} = 3\sqrt6~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{BF}{PF} \\ & = \dfrac{6}{3\sqrt6} = \dfrac{2}{\sqrt6} = \dfrac13\sqrt6 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{\cos \theta = \dfrac13\sqrt6}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $4~\text{cm}$. Tangen sudut antara garis $BF$ dan bidang $BEG$ adalah …
A. $\frac12\sqrt6$                 D. $\frac13\sqrt3$
B. $\frac12\sqrt3$                 E. $\frac13\sqrt2$
C. $\frac12\sqrt2$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Misalkan titik $P$ merupakan titik tengah diagonal bidang $EG$. Sudut antara garis $BF$ dan bidang $BEG$ sama dengan sudut antara garis $BF$ dan $BP$. Sekarang, perhatikan $\triangle BPF$ yang siku-siku di $F$.
Diketahui bahwa $BF = 4~\text{cm}$, sedangkan $PF = 2\sqrt2~\text{cm}$ karena merupakan setengah dari panjang diagonal bidang kubus.
Dengan demikian,
$\tan \angle(BF, BP) = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{2\sqrt2}{4} = \dfrac12\sqrt2$
Jadi, tangen sudut antara garis $BF$ dan bidang $BEG$ adalah $\boxed{\dfrac12\sqrt2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $6~\text{cm}$. Titik $R$ pada $FG$ sehingga $\angle BRE = \theta$. Agar $\cos \theta = \dfrac25$, maka panjang $RF = \cdots$
A. $2\sqrt3$                 D. $3\sqrt3$
B. $2\sqrt6$                 E. $3\sqrt6$
C. $3\sqrt2$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Dari gambar, kita misalkan $ER = BR = x~\text{cm}$. $BE$ merupakan diagonal bidang kubus, sehingga $BE = 6\sqrt2~\text{cm}$.

Pada segitiga sama kaki $BER$, berlaku Aturan Cosinus. Aturan ini diterapkan untuk mencari nilai $x$.
$\begin{aligned} BE^2 & = BR^2 + ER^2 – 2 \cdot BR \cdot ER \cdot \cos \theta \\ (6\sqrt2)^2 & = x^2+x^2-2(x)(x) \cdot \dfrac25 \\ 72 & = 2x^2 – \dfrac45x^2 \\ 72 & = \dfrac65x^2 \\ x^2 & = 72 \cdot \dfrac{5}{6} = 60 \end{aligned}$
Ini berarti, $ER = BR = \sqrt{60}~\text{cm}$
Sekarang, perhatikan bahwa $\triangle EFR$ merupakan segitiga siku-siku di $F$, sehingga panjang $RF$ dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} ER^2 & = EF^2 + RF^2 \\ (\sqrt{60})^2 & = 6^2 + RF^2 \\ 60 & = 36 + RF^2 \\ RF^2 & = 24 \\ RF & = \sqrt{24} = 2\sqrt6~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $RF$ adalah $\boxed{2\sqrt6~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 8
Pada kubus $ABCD.EFGH$, $P$ merupakan titik tengah $FG$. Jika panjang rusuk kubus $8~\text{cm}$, besar sudut antara bidang $BPD$ dan $EPD$ adalah …
A. $120^{\circ}$               D. $45^{\circ}$
B. $90^{\circ}$                 E. $30^{\circ}$
C. $60^{\circ}$

Soal Nomor 9
Diketahui balok $PQRS.TUVW$ dengan panjang $PQ = 12~\text{cm}$, $QR = 20 ~\text{cm}$, dan $RV = 9~\text{cm}$. Nilai cosinus sudut antara garis $TQ$ dan garis $QW$ adalah …
A. $\dfrac13$        B. $\dfrac12$       C. $\dfrac35$       D. $\dfrac34$      E. $\dfrac45$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Segitiga $QTW$ merupakan segitiga siku-siku. Siku-sikunya di titik $T$ (ini dapat diketahui karena jarak $Q$ ke garis $TW$ sama dengan jarak $Q$ ke $T$).
Pada $\triangle PQT$ berlaku Teorema Pythagoras untuk mencari panjang $QT$.
$\begin{aligned} QT & = \sqrt{PQ^2+PT^2} \\ & = \sqrt{(12)^2+(9)^2} \\ & = \sqrt{144+81} = \sqrt{225} = 15~\text{cm} \end{aligned}$
Pada $\triangle QTW$ berlaku Teorema Pythagoras untuk mencari panjang $QW$.
$\begin{aligned} QW & = \sqrt{QT^2+TW^2} \\ & = \sqrt{(15)^2+(20)^2} \\ & = \sqrt{225+400} = \sqrt{625} = 25~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\cos \angle(QT, QW) = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{QT}{QW} = \dfrac{15}{25} = \dfrac35$
Jadi, nilai cosinus sudut antara garis $TQ$ dan garis $QW$ adalah $\boxed{\dfrac35}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Diketahui balok $ABCD.EFGH$ sebagai berikut.

Jika $CP : CG = 3 : 4$, nilai sinus sudut antara bidang $ABFE$ dengan bidang $ABPQ$ adalah …
A. $\frac{1}{13}\sqrt{13}$             D. $\frac{4}{13}\sqrt{13}$
B. $\frac{2}{13}\sqrt{13}$             E. $\frac{6}{13}\sqrt{13}$
C. $\frac{3}{13}\sqrt{13}$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Misalkan titik $R$ pada $BF$ sehingga tingginya setara dengan $P$.
Sudut antara bidang $ABFE$ dengan bidang $ABPQ$ sama dengan sudut antara $BP$ dan $BR$.
Perhatikan segitiga siku-siku $BPR$.
Diketahui panjang $BR = \dfrac34 \times 8 = 6~\text{cm}$ dan $RP = BC = 4~\text{cm}$, sehingga dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} BP & = \sqrt{BR^2+RP^2} \\ & = \sqrt{(6)^2+(4)^2} \\ & = \sqrt{36+16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\sin \angle(BR, BP) = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{RP}{BP} = \dfrac{4}{2\sqrt{13}} = \dfrac{2}{13}\sqrt{13}$
Jadi, nilai sinus sudut antara bidang $ABFE$ dan bidang $ABPQ$ adalah $\boxed{ \dfrac{2}{13}\sqrt{13}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui balok $ABCD.EFGH$ dengan panjang $AB = AD = 10~\text{cm}$ dan $AE = 5~\text{cm}$. Jika $\alpha$ adalah sudut antara bidang $BDE$ dan $BDG$, nilai $\sin \alpha = \cdots$
A. $\frac13\sqrt2$               D. $\frac13\sqrt3$
B. $\frac23\sqrt2$               E. $\frac23\sqrt3$
C. $\sqrt2$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Misalkan $P$ titik tengah bidang alas $ABCD$. Sudut $\alpha$ antara kedua bidang itu dapat diwakili oleh sudut antara garis $PE$ dan $PG$.
$AC$ merupakan diagonal persegi (bidang alas), sehingga $AC = 10\sqrt2~\text{cm}$.
Sekarang, perhatikan segitiga siku-siku $AEP$ (siku-siku di $A$).
Diketahui bahwa $AE = 5~\text{cm}$ dan $AP = \dfrac12(AC) = 5\sqrt2~\text{cm}$, sehingga dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} PE & = \sqrt{AE^2+AP^2} \\ & = \sqrt{(5)^2+(5\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{25+50} = \sqrt{75} = 5\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$
Panjang $PG$ sama dengan panjang $PE$, yaitu $5\sqrt3~\text{cm}$.
Panjang $EG$ jelas $10\sqrt2~\text{cm}$ (diagonal bidang kubus).
Dengan menggunakan Aturan Cosinus pada segitiga sama kaki $EPG$, diperoleh
$\begin{aligned} \cos \alpha & = \dfrac{PE^2+PG^2-EG^2}{2(PE)(PG)} \\ & = \dfrac{(5\sqrt3)^2+(5\sqrt3)^2-(10\sqrt2)^2}{2(5\sqrt3)(5\sqrt3)} \\ & = \dfrac{75+75-200}{150} = -\dfrac{1}{3} \end{aligned}$
$\cos \alpha$ merupakan perbandingan panjang sisi samping sudut $\alpha$ terhadap panjang sisi miring segitiga siku-siku, sehingga dapat dimisalkan $\text{sa} = 1$ dan $\text{mi} = 3$ (abaikan tanda negatifnya dulu). Dengan menggunakan Teorema Pythagoras,
$\text{de} = \sqrt{3^2-1^2} = \sqrt8 = 2\sqrt2$
Sudutnya berada di kuadran II karena cosinus sudut bernilai negatif. Ini berarti, sinus sudutnya bernilai positif.
Untuk itu, kita peroleh
$\boxed{\sin \alpha = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{2}{3}\sqrt2}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui balok $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $AB = 10~\text{cm}$, $BC = 5~\text{cm}$, dan $CG = 10~\text{cm}$. Jika titik $P$ pada pertengahan $AB$ dan titik $Q$ pada pertengahan $CG$, cosinus sudut yang dibentuk oleh garis $PQ$ dengan bidang alas adalah …
A. $\frac13\sqrt6$               D. $\sqrt3$
B. $\frac12\sqrt3$               E. $3\sqrt2$
C. $\frac23\sqrt6$

Soal Nomor 13
Diketahui prisma tegak segiempat $ABCD.EFGH$ memiliki panjang rusuk
$AB = BC = 2~\text{cm}$ dan $CG = 4~\text{cm}$. Cosinus sudut yang dibentuk oleh bidang $BDG$ dan $BDE$ adalah …
A. $\dfrac19$       B. $\dfrac49$         C. $\dfrac59$          D. $\dfrac79$       E. $1$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut (prisma tegak yang dimaksud di sini adalah balok).

Posisikan titik $P$ dan $Q$ sebagai titik tengah diagonal bidang $AC$ dan $EG$. Sudut yang dibentuk oleh bidang $BDG$ dan $BDE$ dapat diwakili oleh sudut antara garis $EP$ dan $PG$. Misalkan $\angle QPG = \theta$. Pada segitiga siku-siku $PQG$ dengan $PQ = 4~\text{cm}$ dan $QG = \dfrac12(EG) = \dfrac12(2\sqrt2) = \sqrt2~\text{cm}$, berlaku Teorema Pythagoras.

$\begin{aligned} PG & = \sqrt{QG^2 + PQ^2} \\ & = \sqrt{(\sqrt2)^2 + (4)^2} \\ & = \sqrt{2+16} = \sqrt{18}~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\cos \theta = \dfrac{PQ}{PG} = \dfrac{4}{\sqrt{18}}$
Akibatnya,
$\begin{aligned} \cos \angle EPQ & = \cos 2\angle \theta \\ & = 2 \cos^2 \theta – 1 \\ & = 2 \left(\dfrac{4}{\sqrt{18}}\right)^2 – 1 \\ & = 2 \cdot \dfrac{16}{18} – 1 = \dfrac79 \end{aligned}$
Jadi, cosinus sudut yang dibentuk oleh bidang $BDG$ dan $BDE$ adalah $\boxed{\dfrac79}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14
Diketahui limas segiempat beraturan $P.QRST$ dengan panjang rusuk alas $3~\text{cm}$ dan rusuk tegak $3\sqrt2~\text{cm}$. Tangen sudut antara garis $PT$ dan alas $QRST$ adalah …
A. $\frac13\sqrt3$                D. $2\sqrt2$
B. $\sqrt2$                   E. $2\sqrt3$
C. $\sqrt3$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Misalkan proyeksi titik $P$ ke bidang $QRST$ adalah titik $O$ yang terletak tepat di tengah bidang. 
Selanjutnya, perhatikan segitiga siku-siku $POT$.
Karena $TR$ merupakan diagonal bidang $QRST$ (berupa persegi), maka dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh $TR = 3\sqrt2~\text{cm}$, sehingga $TP = \dfrac12TR = \dfrac32\sqrt2~\text{cm}$.
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada $\triangle POT$, panjang $PO$ dapat ditentukan sebagai berikut.
$\begin{aligned} PO & = \sqrt{PT^2 – TP^2} \\ & = \sqrt{(3\sqrt2)^2 – \left(\dfrac32\sqrt2\right)^2} \\ & = \sqrt{18 – \dfrac92} \\ & = \sqrt{\dfrac{27}{2}} = \dfrac{3\sqrt3}{\sqrt2} = \dfrac32\sqrt6~\text{cm} \end{aligned}$
Sudut $\alpha$ merupakan sudut antara garis $PT$ dan bidang alas $QRST$, sehingga 
$\begin{aligned} \tan \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} \\ & = \dfrac{PO}{TP} = \dfrac{\cancel{\frac32}\sqrt6}{\cancel{\frac32}\sqrt2} = \sqrt3 \end{aligned}$
Jadi, tangen sudut antara garis $PT$ dan bidang alas $QRST$ adalah $\boxed{\sqrt3}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15
Diketahui limas segitiga beraturan $T.ABC$ dengan panjang rusuk $AB= 6~\text{cm}$ dan $TA = 6\sqrt3~\text{cm}$. Nilai cosinus sudut antara $TC$ dan bidang $ABC$ adalah …

Soal Nomor 16
Diketahui limas segiempat beraturan $T.ABCD$ dengan panjang rusuk alas $12~\text{cm}$ dan panjang rusuk tegak $6\sqrt6~\text{cm}$. Titik $P$ dan $Q$ berturut-turut merupakan titik tengah $TB$ dan $TD$. Nilai cosinus sudut antara bidang $APQ$ dan $ABCD$ adalah …
A. $\frac13\sqrt6$                 D. $\frac16\sqrt6$
B. $\frac13\sqrt3$                 E. $\frac16\sqrt3$
C. $\frac13\sqrt2$

Ayo Beri Rating Postingan Ini