Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Kalkulus Integral

Berikut ini adalah 5 soal UAS Kalkulus Integral (TA 2017/2018) yang diujikan pada tanggal 15 Januari 2018 oleh Drs. Ade Mirza, M.Pd. Materi yang diujikan mengenai perhitungan volume benda dengan integral, fungsi transenden dan turunannya, serta teknik integrasi tingkat lanjut.

Soal Nomor 1
Susunlah integral yang sesuai untuk menentukan volume benda yang terbentuk dengan menunjukkan sketsa jalur potongan dan hampirannya dari daerah R yang dibatasi oleh y = x^{-3}, x = 1, x = 3, dan y = 0 apabila diputar mengelilingi:
a) Sumbu Y
b) Garis y =-1

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 2
Hitunglah volume daerah yang terbentuk dan perlihatkan cara menentukannya pada daerah R yang dibatasi oleh kurva y = x^2, y = 2, dan x = 0 dan diputar mengelilingi y = 2 

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 3
Buktikan bahwa \sec(\tan^{-1} x) = \sqrt{1 + x^2}
(Gunakan hubungan \sec^2\beta = 1 + \tan^2 \beta)

Penyelesaian

Berangkat dari identitas trigonometri berikut.
\sec^2 \beta = 1 + \tan^2 \beta
Substitusi \beta = \tan^{-1} x, diperoleh
\sec^2 (\tan^{-1} x) = 1 + \tan^2 (\tan^{-1} x)
Gunakan fakta bahwa \tan(\tan^{-1} x) = x untuk mendapatkan
\sec^2 (\tan^{-1} x) = 1 + x^2
\sec(\tan^{-1} x) = \sqrt{1+x^2}
(Terbukti)

[collapse]



Soal Nomor 4
Tentukan \dfrac{dy}{dx} dari y =7 \cos^{-1}\sqrt{2x}

Penyelesaian

Ingat!!
\boxed{\dfrac{d}{dx} (\cos^{-1} u) = -\dfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}}
(u adalah fungsi dalam x)
Dalam kasus ini,
u =\sqrt{2x} \Rightarrow u' = \dfrac{1}{\sqrt{2x}}
Jadi, untuk y = 7 \cos^{-1}\sqrt{2x}
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-7}{\sqrt{2x}\sqrt{1-2x}} = \boxed{-\dfrac{7}{\sqrt{2x -4x^2}}}

[collapse]

Soal Nomor 5
Selesaikan integral berikut.
a) \displaystyle \int \dfrac{dx}{x\sqrt{x^2+9}}
b) \displaystyle \int \sqrt{x} \ln x~dx
c) \displaystyle \int \dfrac{2x^2+x-4}{x^3-x^2-2x} ~dx

Penyelesaian

(Jawaban a) Substitusi
u = \sqrt{x^2+9} \Leftrightarrow x^2 = u^2-9
sehingga diperoleh
du = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}~dx atau ditulis
dx = \dfrac{\sqrt{x^2+9}} {x}
Jadi, integralnya dapat ditulis menjadi
\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{1}{x\sqrt{x^2+9}} \times \dfrac{\sqrt{x^2+9}} {x} ~du & = \int \dfrac{1}{u^2-9}~du \\ & = \int \dfrac{1}{(u+3)(u-3)} ~du \end{aligned}
Selanjutnya, gunakan teknik dekomposisi pecahan parsial. Tinjau integrannya.
\begin{aligned} \dfrac{1}{(u+3)(u-3)} & = \dfrac{A}{u+3} + \dfrac{B} {u-3} \\ & = \dfrac{(A+B)u + (-3A+3B)}{(u+3)(u-3)} \end{aligned}
Diperoleh SPLDV
\begin{cases} A+B=0 \\ -3A+3B=1 \end{cases}
Selesaikan sehingga diperoleh A = - \dfrac{1}{6} dan B=\dfrac{1}{6}
Kembalikan pada integralnya.
\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{1}{(u+3)(u-3)} ~du & = \int \left(-\dfrac{1}{6(u+3)} + \dfrac{1}{6(u-3)}\right)~du \\ & = \dfrac{1}{6}(\ln (u-3) - \ln (u+3)) + C \\ & = \dfrac{1}{6} \times \ln \left(\dfrac{u-3}{u+3}\right) + C\end{aligned}
Substitusikan kembali u = \sqrt{x^2+9}, sehingga diperoleh
\boxed{\dfrac{\ln \left(\dfrac{\sqrt{x^2+9} - 3}{\sqrt{x^2+9} + 3}\right)}{6} + C}

(Jawaban b)
Gunakan teknik integrasi parsial
\boxed{\int uv' = uv - \int u'v}
Misal u = \ln x dan v' = \sqrt{x}, berarti u' = \dfrac{1}{x} dan v = \dfrac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}
Jadi, diperoleh
\begin{aligned} \dfrac{2x^{\frac{3}{2}} \ln x}{3} - \displaystyle \int \dfrac{1}{x} \times \dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} ~dx & = \dfrac{2x^{\frac{3}{2}} \ln x}{3} - \dfrac{2}{3} \displaystyle \int \sqrt{x}~dx \\ & = \dfrac{2x^{\frac{3}{2}} \ln x}{3} - \dfrac{4}{9}x^{\frac{3}{2}} + C \\ & = \boxed{\dfrac{2x^{\frac{3}{2}} (3 \ln x - 2)} {9} + C} \end{aligned}}

(Jawaban c) Gunakan metode dekomposisi pecahan parsial karena penyebutnya dapat difaktorkan. Tinjau integrannya.
\begin{aligned} \dfrac{2x^2+x-4}{x^3-x^2-2x} & = \dfrac{2x^2+x-4}{x(x-2)(x+1)} \\& = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x-2} + \dfrac{C}{x+1} \\ & = \dfrac{A(x-2)(x+1) +Bx(x+1) + C(x)(x-2)}{x(x-2)(x+1)} \\ & = \dfrac{(A+B+C)x^2 + (-A+B-2C)x - 2A}{x(x-2)(x+1)} \end{aligned}
Bandingkan pembilangnya untuk memperoleh SPLTV berikut.
\begin{cases} A+B+C=2 \\ -A+B-2C = 1 \\-2A = -4 \end{cases}
Selesaikan sehingga diperoleh A = 2, B = 1, dan C = -1
Jadi, dapat ditulis
\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{2x^2+x-4}{x^3-x^2-2x} ~dx & = \int \left(\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x-2} -\dfrac{1}{x+1}\right) ~dx \\ & = 2 \ln x + \ln (x - 2) -\ln (x +1) \\ &= \boxed{\ln \left(\dfrac{x^3-2x^2} {x+1}\right)} \end{aligned}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Geometri Analitik Datar

Berikut ini adalah 6 soal UAS Geometri Analitik Datar (TA 2017/2018) yang diujikan pada bulan Januari 2018 oleh Drs. Dian Ahmad B.S., M.Si.

Soal Nomor 1
Sisi-sisi segitiga dibentuk oleh garis 2x + 3y + 4 = 0, x - y + 3 = 0, dan 5x + 4y = 20. Carilah persamaan garis tinggi pada segitiga tersebut.

Penyelesaian



Ingat konsep garis tinggi pada segitiga: membentuk sudut siku-siku jika ditarik dari satu titik sudut ke sisi di depannya. Ada 3 garis tinggi yang dapat dibentuk pada segitiga.
(Garis tinggi pertama)
Titik potong garis 2x + 3y + 4 = 0 dan x - y + 3 = 0 adalah \left(-\dfrac{13}{5}, \dfrac{2}{5}\right). Persamaan garis tinggi yang melalui titik \left(-\dfrac{13}{5}, \dfrac{2}{5}\right) dan tegak lurus garis 5x + 4y = 20 (gradien garis ini adalah m_1 = -\dfrac{5}{4}, berarti gradien garis tingginya adalah m = \dfrac{4}{5}), yaitu
y = \dfrac{4}{5}\left(x + \dfrac{13}{5}\right) + \dfrac{2}{5} \Rightarrow 25y - 20x = 62
(Silakan cari dua garis tinggi lainnya)

[collapse]

Soal Nomor 2
Carilah persamaan keluarga garis yang perpotongannya dengan dua sumbu koordinat membentuk segitiga yang luasnya 17 satuan luas.



Penyelesaian

Misal titik potong garis terhadap sumbu X adalah (0, b) dan terhadap sumbu Y adalah (a, 0). Karena segitiga yang terbentuk memiliki luas sebesar 17, maka haruslah
\dfrac{ab} {2} = 17 \Rightarrow a = \dfrac{34}{b}
Persamaan garis yang melalui (0,b) dan (a, 0) adalah
\begin{aligned} & bx + ay = ab \\ & bx + \dfrac{34}{b}y= \dfrac{34}{b}b \\ & b^2x + 34y = 34b \end{aligned}
Jadi, persamaan keluarga garis yang dimaksud adalah b^2x + 34y = 34b dengan syarat b \neq 0 (karena bila demikian, maka tidak akan terbentuk segitiga).

[collapse]

Soal Nomor 3
Carilah persamaan lingkaran yang menyinggung garis x + 2y = 3 di titik (-1, 2) dan berpusat pada sumbu Y.

Penyelesaian

Garis x + 2y = 3 menyinggung lingkaran di titik (-1,2), sehingga bila ditarik garis baru yang melewati titik pusat lingkaran dan memotong garis ini, maka akan terbentuk sudut siku-siku.
Gradien garis x + 2y = 3 adalah m_1 = -\dfrac{1}{2}.
Jadi, gradien garis yang tegak lurus dengannya adalah m = 2
Persamaan garis yang bergradien m = 2 dan melewati titik (-1, 2) adalah
y = 2\left(x + 1\right) + 2 \Rightarrow -2x + y = 4
Karena garis ini melewati titik pusat lingkaran dan pada soal diinformasikan bahwa titik pusat lingkaran berada pada sumbu Y, yang dapat diartikan koordinat titik pusat lingkaran adalah (0, y_1), maka dapat ditulis,
-2(0) + y_1 = 4 \Rightarrow y_1 = 4
Diperoleh titik pusat lingkaran (0,4).
Jarak titik pusat lingkaran ke titik (-1,2) adalah jari-jari lingkaran r, yaitu
r^2 = (0 + 1)^2 + (4 - 2)^2 = 5
Jadi, persamaan lingkaran yang dimaksud adalah
\boxed{x^2 + (y - 4)^2 = 5}

[collapse]

Soal Nomor 4
Carilah persamaan lingkaran yang menyinggung garis 5x + y = 3 di titik (2, -7) dan berpusat pada garis x - 2y = 19

Penyelesaian

Garis 5x + y = 3 menyinggung lingkaran di titik (2,-7), sehingga bila ditarik garis baru yang melewati titik pusat lingkaran dan memotong garis ini, maka akan terbentuk sudut siku-siku.
Gradien garis 5x + y = 3 adalah m_1 = -5.
Jadi, gradien garis yang tegak lurus dengannya adalah m = \dfrac{1}{5}
Persamaan garis yang bergradien m = \dfrac{1}{5} dan melewati titik (2,-7) adalah
y = \dfrac{1}{5}\left(x - 2\right) - 7 \Rightarrow -x + 5y = -37
Garis ini dan garis x - 2y = 19 keduanya melewati titik pusat lingkaran, sehingga titik potong kedua garis ini adalah titik pusat lingkaran.
\begin{cases} -x + 5y = -37 \\ x - 2y = 19 \end{cases}
Selesaikan SPL ini, yaitu x = 7 dan y = -6.
Diperoleh titik pusat lingkaran (7,-6)
Jarak titik pusat lingkaran ke titik (2, -7) adalah jari-jari lingkaran r, yaitu
r^2 = (7 - 2)^2 + (-6 + 7)^2 = 26
Jadi, persamaan lingkaran yang dimaksud adalah
\boxed{(x - 7)^2 + (y + 6)^2 = 26}

[collapse]

Soal Nomor 5
Carilah persamaan lingkaran yang melalui titik-titik (0,3), (2, 4), dan (1, 0)

Penyelesaian

Misalkan persamaan lingkarannya berbentuk x^2 + y^2 + ax + by + c = 0, sehingga dengan menyulihkan nilai x dan y berturut-turut sebagai suatu pasangan berurut (0,3), (2,4), dan (1,0), diperoleh suatu sistem persamaan linear tiga variabel berikut.
\begin{cases} 0 + 3^2 + 0 + 3b + c = 0 \Rightarrow 3b + c = -9 \\ 2^2 + 4^2 + 2a + 4b + c = 0 \Rightarrow 2a + 4b + c = -16 \\ 1 + 0 + a + 0 + c = 0 \Rightarrow a + c = -1 \end{cases}
Selesaikan SPLTV ini, sehingga nantinya diperoleh
\begin{cases} a = -\dfrac{25}{7} \\ b = -\dfrac{27}{7} \\ c = \dfrac{18}{7} \end{cases}
Jadi, persamaan lingkaran yang dimaksud adalah
x^2 + y^2 - \dfrac{25}{7}x - \dfrac{27}{7}y + \dfrac{18}{7} = 0
atau disederhanakan menjadi
\boxed{7x^2 + 7y^2 - 25x - 27y + 18 = 0}

[collapse]

Soal Nomor 6
Carilah persamaan yang baru dari lingkaran x^2 + y^2 - 2x - 6y + 4 = 0 setelah titik asal O(0, 0) dipindahkan ke titik O'(2, 3).

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
\begin{aligned} & x^2 + y^2 - 2x - 6y + 4 = 0 \\ & (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 6 \end{aligned} 
merupakan persamaan lingkaran berpusat di (1,3) dan berjari-jari \sqrt{6}.
Karena titik asal dipindahkan dari titik (0,0) ke (2,3), maka titik pusat lingkaran berubah menjadi
(1-2, 3-3) = (-1,0)
dengan jari-jari yang masih sama seperti semula. Jadi, persamaan lingkaran setelah titik asal dipindah adalah
\boxed{(x + 1)^2 + y^2 = 6}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Teori Bilangan

Berikut ini adalah 6 soal UAS Teori Bilangan (TA 2017/2018) yang diujikan pada tanggal 10 Januari 2018 oleh Dr. Yulis Jamiah, M.Pd.

Soal Nomor 1
Tentukan dan urutkan pasangan bilangan berikut dari yang memiliki FPB paling kecil dan paling besar.
i) (247, 299)
ii) (299, 4453)

Penyelesaian

Gunakan algoritma pembagian untuk menentukan FPB dari (247, 299). Perhatikan bahwa,
299 = 1 \times 247 + 52
247 = 4 \times 52 + 39
52 = 1 \times 39 + 13
39 = 3 \times 13 + 0
Berarti, \text{FPB}(247,299) = 13
Dengan prinsip yang sama,
4453 = 14 \times 299 + 267
299 = 1 \times 267 + 32
267 = 8 \times 32 + 11
32 = 2 \times 11 + 10
11 = 1 \times 10 + 1
10 = 10 \times 1 + 0
Berarti, \text{FPB}(299,4453) = 1
Jadi, FPB paling besar adalah FPB dari (247,299), sedangkan FPB paling kecil adalah FPB dari (299,4543)

[collapse]

Soal Nomor 2
Di antara pernyataan 91 \equiv 0 (\text{mod}~7) dan -2 \equiv 2  (\text{mod}~8), manakah pernyataan yang benar? Jelaskan.

Penyelesaian

91 \equiv 0 (\text{mod 7}) merupakan pernyataan yang benar karena akan ditemukan bilangan bulat k = 13, sedemikian sehingga 91 - 0 = k \times 7
Di lain persoalan, -2 \equiv 2 (\text{mod 8}) merupakan pernyataan yang salah karena tidak ada bilangan bulat k yang memenuhi persamaan -2 - 2 = k \times 8

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui 2 himpunan P = \{100, -5, 9, 10, 4\} dan Q = \{5, 11, 17, 23, -11\}. Manakah yang merupakan suatu sistem residu lengkap modulo 5? Jelaskan!

Penyelesaian

Tinjau himpunan P = \{100, -5, 9, 10, 4\}
100 = 0 (\text{mod 5})
-5 = 0 (\text{mod 5})
9 = 4 (\text{mod 5})
10 = 0 (\text{mod 5})
4 = 4 (\text{mod 5})
Tinjau himpuan Q = \{5, 11, 17, 23, -11\}
5 = 0 (\text{mod 5})
11 = 1 (\text{mod 5})
17 = 2 (\text{mod 5})
23 = 3 (\text{mod 5})
-11 = 4 (\text{mod 5})
Dari sini, dapat disimpulkan bahwa Q merupakan sistem residu lengkap modulo 5.

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui 
a) Jika 12 | p, maka 3 | p
b) Jika 2 | p, maka 8 | p
c) Jika 15 | p, maka 3 | p
Di antara tiga pernyataan di atas, manakah yang benar? Jelaskan.

Penyelesaian

(Jawaban a) Pernyataan benar karena
12 | p \equiv 3.4 | p \Leftrightarrow 3 | p \lor 4 | p
(Jawaban b) Pernyataan salah karena pembagi pada bagian hipotesis lebih kecil dari pembagi pada bagian kesimpulan (2 < 8). Pernyataan yang benar: Jika 8 | p, maka 2 | p.
(Jawaban c) Pernyataan benar karena
15 | p \equiv 3.5 | p \Leftrightarrow 3 | p \lor 5 | p

[collapse]

Soal Nomor 5
Benarkah jika p.c \equiv q.c (\text{mod}~m), maka p \equiv q (\text{mod}~m)?
Berikan jawaban selengkap mungkin. Jika ya, berikan buktinya. Jika tidak, berikan contoh penyangkal.

Penyelesaian

Pernyataan tersebut salah. Akan diberikan contoh penyangkal sebagai berikut.
Misal diberikan 16 \times 5 \equiv 8 \times 5 (\text{mod 10}), merupakan pernyataan yang benar karena ada bilangan bulat k = 4 sedemikian sehingga berlaku 16 \times 5 - 8 \times 5 = k \times 10. Tetapi, 16 \equiv 8 (\text{mod 10}) merupakan pernyataan yang salah karena tidak ada bilangan bulat k yang memenuhi 16 - 8 = k \times 10.

[collapse]

Soal Nomor 6
Benarkah pernyataan “Jika a dan b bilangan cacah dengan b < a, maka a + (-b) = a - b“?
Berikan jawaban selengkap mungkin. Jika ya, berikan buktinya. Jika tidak, berikan contoh penyangkal.

Penyelesaian

Pernyataan tersebut bernilai benar. Buktinya sebagai berikut.
Jika b < a, maka ada bilangan asli k sedemikian sehingga a = b + k. Menurut definisi pengurangan bilangan cacah, a = b + k jhj a - b = k. Jadi, dengan menggunakan sifat komutatif penjumlahan, asosiasitif penjumlahan, identitas, dan invers penjumlahan, diperoleh
\begin{aligned} a + (-b) & = (b + k) + (-b) \\ & = (k + b) + (-b) \\ & = k + (b + (-b)) \\ & = k + 0 \\ & = k \\ &  = a - b \end{aligned}
(Terbukti)

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Landasan Matematika/Mathematics Foundation

Soal Nomor 1
Kalimat terbuka 2x + y = 11 mendefinisikan suatu relasi R pada W = \{1, 2, \cdots, 8\}. Tentukan
a) Domain R
b) Range R
c) Range R^{-1}

Penyelesaian

Domain R sama dengan himpunan W yaitu \{0, 1, \cdots, 8\}. Dengan menganggap y sebagai variabel terikat dan x sebagai variabel bebas pada persamaan 2x + y = 11, diperoleh bahwa untuk
x = 1 \Rightarrow y = 9 \notin W
x = 2 \Rightarrow y = 7 \in W
x = 3 \Rightarrow y = 5 \in W
x = 4 \Rightarrow y = 3 \in W
x = 5 \Rightarrow y = 1 \in W
x = 6 \Rightarrow y = -1 \notin W
x = 7 \Rightarrow y = -3 \notin W
x = 8 \Rightarrow y = -5\notin W
Dari sini, diperoleh range R adalah \{1, 3, 5, 7\}, sedangkan range R^{-1} (invers R) adalah \{2,3,4,5\}

[collapse]

Soal Nomor 2
Tuliskan definisi fungsi bijektif dan injektif.

Penyelesaian

Definisi fungsi injektif:
Fungsi A \mapsto B dikatakan fungsi injektif jika dan hanya jika \forall x \in f(A), f^{-1}(x) merupakan himpunan tunggal (himpunan yang memuat satu anggota). Secara simbolik, ditulis
f : A \mapsto B_{\text{injektif}} \Leftrightarrow \forall x, y \in A, x \neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)
atau dengan kontraposisinya,
f : A \mapsto B_{\text{injektif}} \Leftrightarrow \forall x, y \in A, f(x) = f(y) \Rightarrow x = y
Definisi fungsi bijektif:
Suatu fungsi disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi tersebut adalah fungsi injektif sekaligus fungsi surjektif (dua-duanya harus terpenuhi).
(Sebagai tambahan):
Definisi fungsi surjektif:
Suatu fungsi f : A \mapsto B dikatakan fungsi surjektif jika dan hanya jika daerah hasil (range) sama dengan daerah kawan (kodomain). Secara simbolik, ditulis
f : A \mapsto B_{\text{surjektif}} \Leftrightarrow \forall y \in B, \exists x \in A \ni f(x) = y

[collapse]

Soal Nomor 3
Apakah invers fungsi merupakan suatu fungsi? Jika iya, buktikan.

Penyelesaian

Invers dari suatu fungsi belum tentu merupakan suatu fungsi kecuali fungsi itu bijektif. Misalkan diberikan fungsi f : A \mapsto B merupakan fungsi bijektif, maka untuk setiap b \in B, f^{-1}(b) akan terdiri dari unsur tunggal dalam A (memiliki pasangan tepat satu ke A yang merupakan kodomainnya) sehingga memenuhi definisi fungsi. Jika tidak bijektif, maka akan ada anggota B yang memiliki pasangan tidak tunggal.

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika R merupakan relasi ekuivalen, apakah R^{-1} juga merupakan relasi ekuivalen? Buktikan!

Penyelesaian

Karena R merupakan relasi ekuivalen, berlaku
R merupakan relasi refleksif, yaitu \forall a \in A, maka (a, a) \in R
R merupakan relasi simetri, yaitu \forall a,b \in A, jika (a, b) \in R, maka (b, a) \in R
R merupakan relasi transitif, yaitu \forall a, b, c \in A, jika (a, b) \in R dan (b, c) \in R, maka (a, c) \in R.
Untuk menunjukkan bahwa R^{-1} relasi yang ekuivalen, maka harus dibuktikan bahwa R^{-1} merupakan relasi refleksif, simetri, dan transitif (tiga-tiganya harus terpenuhi).
(Menunjukkan bahwa R^{-1} relasi refleksif) Diketahui bahwa untuk setiap a \in A berlaku (a, a) \in R. Berdasarkan definisi relasi invers, (a, a) \in R^{-1}, berarti R^{-1} merupakan relasi refleksif.
(Menunjukkan bahwa R^{-1} relasi simetri) Ambil sembarang a, b \in A dengan (a, b) \in R^{-1}. Akan ditunjukkan bahwa (b, a) \in R^{-1}. Perhatikan bahwa (a, b) \in R^{-1} ekuivalen dengan (b, a) \in R. Karena R simetri, maka berlaku (a, b) \in R, yang berarti (b, a) \in R^{-1}. Terbukti bahwa R^{-1} simetri.
(Menunjukkan bahwa R^{-1} relasi transitif) Ambil sembarang a, b, c \in A dengan (a, b) \in R^{-1} dan (b, c) \in R^{-1}. Akan ditunjukkan bahwa (a, c) \in R^{-1}
(a, b) \in R^{-1}, artinya (b, a) \in R
(b, c) \in R^{-1}, artinya (c, b) \in R
R transitif sehingga jika (c, b) \in R dan (b, a) \in R, maka berlaku (c, a) \in R. Berdasarkan definisi relasi invers, (c, a) \in R berarti (a, c) \in R^{-1}. Terbukti bahwa R^{-1} relasi transitif.
Karena R^{-1} merupakan relasi refleksif, simetri, dan transitif, maka R^{-1} merupakan relasi ekuivalen.

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui fungsi f(x) = x^2. Apakah fungsi itu merupakan fungsi satu-satu (injektif)? Buktikan!

Penyelesaian

Suatu fungsi dikatakan fungsi injektif jika memenuhi
f(x) = f(y) \Rightarrow x = y, \forall x, y \in D_f
Perhatikan bahwa
f(x) = f(y) \Rightarrow x^2 = y^2 \Leftrightarrow x = \pm y
Karena tidak memenuhi definisi, maka fungsi f(x) = x^2 bukan fungsi injektif.

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika logika matematika atau teori himpunan merupakan mata kuliah penting, maka mahasiswa mempelajarinya.
Logika matematika dan kalkulus merupakan mata kuliah penting.
Oleh karena itu, mahasiswa mempelajarinya.
a) Tentukan bentuk simbolik dari pernyataan di atas.
b) Buat tabel kebenaran dan tentukan nilai kebenarannya.
c) Apakah pernyataan itu valid atau tidak? Buktikan.

Penyelesaian Belum Tersedia

Misalkan 
p = Logika matematika merupakan mata kuliah penting.
q = Teori himpunan merupakan mata kuliah penting.
r = Kalkulus merupakan mata kuliah penting.
s = Mahasiswa mempelajarinya.
Berarti, bentuk simbolik dari pernyataan-pernyataan di atas adalah
{[(p \lor q) \Rightarrow s] \land (p \land r)} \Rightarrow s</span>

[collapse]
Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Kalkulus Lanjut

Berikut ini adalah 5 soal UAS Kalkulus Lanjut (TA 2017/2018) yang diujikan pada tanggal 11 Januari 2018 oleh Drs. Ade Mirza, M.Pd.

Soal Nomor 1
Buktikan bahwa \displaystyle \lim_{(x, y) \to (1, 1)} (2x^2 + y^2) = 3

Penyelesaian

Fungsi f(x, y) = z = (2x^2 + y^2) terdefinisi pada \mathbb{R}^2, dengan (1, 1) sebagai titik limitnya. Kita akan tunjukkan bahwa:
\boxed{\begin{aligned}\forall \epsilon > 0, & \exists \delta > 0 \ni 0 < ||(x, y) - (1, 1)|| \\ & < \delta \Rightarrow |f(x, y) - 3| < \epsilon \end{aligned} }
atau
\boxed{\begin{aligned} \forall \epsilon > 0, & \exists \delta > 0 \ni 0 < \sqrt{(x-1)^2 + (y -1)^2} < \delta \\ &  \Rightarrow |2x^2 + y^2 - 3| < \epsilon \end{aligned}}
Analisis:
\begin{aligned} |2x^2 + y^2 - 3| & = |2x^2 - 2 + y^2 - 1| \\ & = |2(x+1)(x-1) + (y+1)(y-1)| \\ & \leq 2|x+1||x-1| + |y+1||y-1| \end{aligned}
Untuk ini, kita harus membatasi faktor |x + 1| dan |y + 1| oleh suatu konstanta real.
Misalkan 0 < \sqrt{(x-1)^2 + (y -1)^2} < \delta \leq 1 \bigstar, maka berlaku
0 < |x - 1| <  \sqrt{(x-1)^2 + (y -1)^2} < \delta \leq 1
0 < |y - 1| < \sqrt{(x-1)^2 + (y -1)^2} < \delta \leq 1
Akibatnya,
|x + 1| = |x - 1 + 2| \leq |x - 1| + 2 \leq 1 + 2 = 3
|y + 1| = |y - 1 + 2| \leq |y - 1| + 2 \leq 1 + 2 = 3
sehingga dari pemisalan tersebut, diperoleh
\begin{aligned} & 2|x+1||x-1| + |y+1||y-1| \leq 6|x - 1| + 3|y - 1| \\ & \leq 6\sqrt{(x-1)^2 + (y -1)^2} + 3\sqrt{(x-1)^2 + (y -1)^2} \\ & = 9\sqrt{(x-1)^2 + (y -1)^2} \\ & < 9\delta \end{aligned}
Dengan demikian, (langkah bukti):
Ambil sembarang \epsilon > 0, pilih \delta = \min\left\{1, \dfrac{1}{6}\epsilon\right\}, akibatnya jika 0 < \sqrt{(x-1)^2 + (y -1)^2} < \delta, maka berlaku
|2x^2 + y^2 - 3| < \epsilon
Jadi, terbukti bahwa \displaystyle \lim_{(x, y) \to (1, 1)} (2x^2 + y^2) = 3
Catatan \bigstar: Mengapa harus 1? Untuk mempermudah pembuktian/perhitungan, ambil bilangan bulat positif terkecil, yaitu 1 sebagai batas konstanta real yang dimaksud.

[collapse]

Soal Nomor 2
Gunakan integral ganda dua untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = x^2 - 2 dan y = x

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 3
Dengan menggunakan integral ganda dua, hitung isi benda yang terletak dalam silinder x^2 + z^2 = 9 dan x^2 + y^2 = 9

Penyelesaian

Klik sini untuk mengetahui representasi geometrik dan penjelasan yang lebih kompleks mengenai Steinmetz Solid (benda ruang yang diperoleh dari pengirisan/perpotongan dua atau lebih silinder)

Batas integrasi diberikan oleh
-3 \leq x \leq 3
-\sqrt{9 - x^2} \leq z \leq \sqrt{9 - x^2}
Jadi, volume bisilinder yang terbentuk ditentukan oleh
\begin{aligned} V & = \displaystyle \int_{-3}^{3} \int_{-\sqrt{9 - x^2}}^{\sqrt{9 - x^2}} 2\sqrt{9 - x^2}~dy~dx \bigstar \\ & = \int_{-3}^{3} \left[2\sqrt{9 - x^2}y\right]_{-\sqrt{9 - x^2}}^{\sqrt{9 - x^2}}~dx \\ & = \int_{-3}^{3} \left(2(9 - x^2) + 2(9 - x^2)\right)~dx \\ & = \left[36x - \dfrac{4}{3}x^3\right]_{-3}^{3} \\ & = 144~\text{satuan volume} \end{aligned}
Jadi, volume dari perpotongan dua silinder tersebut adalah 144 satuan volume.
Catatan \bigstar: Angka 2 pada integran didapat karena sifat kesimetrian.

[collapse]

Soal Nomor 4
Hitunglah integral berikut dengan mengubahnya dalam koordinat tabung terlebih dahulu.
\displaystyle \int_{0}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9 - x^2}} \int_{0}^{2} \sqrt{x^2 + y^2}~dz~dy~dx

Penyelesaian

Ingat bahwa dalam sistem koordinat tabung, dV = dz~r~dr~d\theta (posisinya menyesuaikan integralnya)
Kita akan mengubah batas integralnya terlebih dahulu.
Integral ketiga memiliki batas yang tidak perlu diubah (untuk variabel z)
Integral kedua memiliki batas 0 < y < \sqrt{9 - x^2} \Leftrightarrow 0 < x^2 + y^2 < 9
Pertidaksamaan itu merupakan pertidaksamaan lingkaran dengan radius 3, sehingga diperoleh
0 \leq \theta \leq 2\pi
-3 \leq r \leq 3
Jadi,
\begin{aligned} \displaystyle \int_{0}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9 - x^2}} \int_{0}^{2} \sqrt{x^2 + y^2}~dz~dy~dx  & = \int_{-3}^{3} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} r^2~dz~d\theta~dr \\ & = \int_{-3}^{3} \int_{0}^{2\pi} 2r^2~d\theta~dr \\ & = \int_{-3}^{3} 4\pi r^2~dr \\ & = 72\pi \end{aligned}
Jadi, diperoleh \boxed{\displaystyle \int_{0}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9 - x^2}} \int_{0}^{2} \sqrt{x^2 + y^2}~dz~dy~dx = 72\pi}

[collapse]

Soal Nomor 5
Perlihatkan dengan integral ganda dua bahwa volume bola berjari-jari r adalah \dfrac{4}{3}\pi r^3

Penyelesaian

Gunakan integral ganda dua (double integrals) dalam sistem koordinat polar. Persamaan umum bola yang berpusat di titik asal dan berjari-jari r adalah x^2 + y^2 + z^2 = r^2. Jika z dijadikan subjek persamaan, diperoleh z = \pm \sqrt{r^2 - x^2 - y^2}. Dalam koordinat polar, ditulis z = \pm \sqrt{r^2 - R^2}. Batas integral yang ditentukan oleh variabel R dan \theta, yaitu
0 \leq R \leq r
0 \leq \theta 2\phi
Karena bola bersifat simetris dengan bagian separuhnya, maka kita dapat menentukan volume bola dengan menghitung volume setengah bola dikali 2, yaitu
\begin{aligned} V & = \displaystyle 2 \int_D \int \sqrt{r^2 - R^2}~dA \\ & = 2 \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - R^2}~R~dR~d\theta \\ & = 2 \int_{0}^{2\pi} \left[-\dfrac{1}{3}\left(r^2 - R^2\right)^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{r}~d\theta \\ & = \dfrac{2}{3} \int_{0}^{2\pi} r^3~d\theta \\ & = \dfrac{2}{3} \left[r^3\theta\right]_{0}^{2\pi} \\ & = \dfrac{4}{3}\pi r^3 \end{aligned}
(Terbukti)

[collapse]

Selanjutnya, soal berikut merupakan soal UAS tahun-tahun sebelumnya yang diharapkan dapat melengkapi ilmu kita bersama.

Soal Nomor 6 
Selidiki apakah fungsi berikut kontinu pada daerah definisinya.
f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2 + y^2}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases}

Soal Nomor 7
Tentukan turunan parsial pertama dari f(x, y) = \tan^{-1} (x^2 + y^2)

Penyelesaian

Ingat!!
\boxed{\dfrac{d}{dx} (\tan^{-1} u) = \dfrac{u'}{1 + u^2}}
(u adalah fungsi terhadap variabel x)
Akan dicari turunan parsial pertama dari f(x, y) terhadap variabel x dan y.
(Turunan parsial pertama terhadap x)
Anggap x sebagai variabel dan y sebagai suatu konstanta.
\dfrac{\partial}{\partial x}(\tan^{-1} (x^2 + y^2) = \boxed{\dfrac{2x}{1 + (x^2 + y^2)^2}}
(Turunan parsial pertama terhadap y)
Anggap y sebagai variabel dan x sebagai suatu konstanta.
\dfrac{\partial}{\partial y}(\tan^{-1} (x^2 + y^2) = \boxed{\dfrac{2y}{1 + (x^2 + y^2)^2}}

[collapse]
Ayo Beri Rating Postingan Ini