Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Gradien dan Persamaan Garis Lurus

     Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai gradien dan persamaan garis lurus yang dianjurkan untuk dipelajari oleh siswa tingkat SMP/Sederajat, terutama untuk menguatkan pemahaman konsep dan persiapan ulangan semester.

Quote by Charles R. Swindoll

Hidup adalah 10% hal yang terjadi pada kita dan 90% bagaimana kita meresponnya.

Soal Nomor 1
Gradien garis $PQ$ berdasarkan gambar adalah $\cdots \cdot$

A. $-2$           B. $-\dfrac12$           C. $\dfrac12$           D. $2$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Bergerak dari titik $P$ ke $Q$:
Turun (-) sejauh 3 petak, lalu belok kanan (+) sejauh 6 petak.
Gradien garis $PQ$ adalah $\boxed{m = \dfrac{-3}{6} = -\dfrac12}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Perhatikan gambar garis $l$ berikut.
Gradien garis
Gradien garis $l$ adalah $\cdots \cdot$

A. $-4$           B. $-\dfrac14$           C. $\dfrac14$            D. $4$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Bergerak dari titik yang ditandai dengan noktah hitam (lihat gambar di atas):
Turun (-) sejauh 1 petak, lalu belok kanan (+) sejauh $4$ petak.
Gradien garis $l$ adalah $\boxed{m_l = – \dfrac{1}{4}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3
Gradien garis $k$ pada gambar berikut adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac23$                         C. $\dfrac32$
B. $-\dfrac32$                         D. $\dfrac23$

Pembahasan

Garis $k$ memotong sumbu-$X$ dan sumbu-$Y$ berturut-turut di $(-3,0)$ dan $(0,-2)$. Karena melalui kedua titik tersebut, maka gradien $k$ dapat ditentukan dengan menggunakan koordinat titiknya.
Dari $(-3, 0)$ bergerak ke $(0,-2)$:
Turun (-) sejauh $2$ satuan, lalu belok ke kanan (+) sejauh $3$ satuan. Dengan demikian, gradien garis $k$ adalah $\boxed{m_k = -\dfrac23}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4
Gradien garis yang tegak lurus terhadap garis $a$ adalah $\cdots \cdot$
Gradien garis

A. $-\dfrac32$                        C. $\dfrac23$
B. $-\dfrac23$                        D. $\dfrac32$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Bergerak dari titik $A$ ke $B$:
Turun (-) sejauh $4$ petak, lalu belok kanan (+) sejauh $6$ petak.
Gradien garis $a$ adalah $m_a = – \dfrac{4}{6} = -\dfrac23$
Gradien garis yang tegak lurus dengan garis $a$ adalah $m = -\dfrac{1}{m_a} = \dfrac{3}{2}$
(Secara verbal: dinegatifkan lalu dibalik)
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Perhatikan gambar berikut!
Gradien garis sejajar dan tegak lurus
Gradien garis $c$ adalah $\cdots \cdot$

A. $-\dfrac12$                        C. $\dfrac12$
B. $-2$                          D. $2$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Gradien garis $k$ dapat ditentukan karena melalui $2$ titik yang koordinatnya telah diketahui, tidak seperti garis $c$.
Bergerak dari titik $(0,4)$ ke $(-2,0)$:
Turun (-) sejauh $4$ petak, lalu belok kiri (-) sejauh $2$ petak.
Gradien garis $k$ adalah $m_k = \dfrac{-4}{-2} = 2$
Karena garis $k$ dan $c$ sejajar, maka gradiennya sama. Dengan demikian, gradien garis $c$ adalah $\boxed{m_c = 2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Gradien garis dengan persamaan $5x-4y-20=0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac54$                          C. $-\dfrac45$
B. $\dfrac45$                          D. $-\dfrac54$

Pembahasan

Gradien garis $5x-4y-20 = 0$ adalah
$m = -\dfrac{\text{Koef.}~x} {\text{Koef.}~y} = -\dfrac{5}{-4} = \dfrac54$
Jadi, gradien garis tersebut adalah $\boxed{m = \dfrac54}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 7
Di antara persamaan garis berikut:
1) $2y=8x+20$
2) $6y=12x+18$
3) $3y=12x+15$
4) $3y=-6x+15$
yang grafiknya saling sejajar adalah $\cdots \cdot$
A. $1$ dan $2$                C. $2$ dan $4$
B. $1$ dan $3$                D. $3$ dan $4$

Pembahasan

Dalam bentuk $y = mx + c$, $m$ merupakan gradien garisnya.
Untuk itu, ubah semua bentuk persamaan garisnya seperti itu.
1) $2y = 8x + 20$
Bagi kedua ruas dengan $2$, sehingga diperoleh $y = 4x + 10$. Gradien garisnya adalah $\color{red} {m_1 = 4}$.

2) $6y = 12x + 18$
Bagi kedua ruas dengan $6$, sehingga diperoleh $y = 2x + 3$. Gradien garisnya adalah $m_2 = 2$.

3) $3y = 12x + 15$
Bagi kedua ruas dengan $3$, sehingga diperoleh $y = 4x + 5$. Gradien garisnya adalah $\color{red}{m_3 = 4}$.

4) $3y = -6x + 15$
Bagi kedua ruas dengan $3$, sehingga diperoleh $y = -2x + 5$. Gradien garisnya adalah $m_4 = -2$.
Dua garis saling sejajar apabila gradiennya sama. Dengan demikian, garis yang saling sejajar adalah $2y = 8x +20$ dan $3y = 12x + 15$ (nomor 1 dan 3).
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 8
Garis $h$ melalui titik $A(-2,3)$ dan $B(2,p)$ serta memiliki nilai kemiringan $\dfrac12$. Nilai $p$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5$           B. $1$             C. $-1$           D. $-5$

Pembahasan

Berdasarkan konsep gradien, kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{y_B -y_A} {x_B -x_A} & = m \\ \dfrac{p -3}{2 -(-2)} & = \dfrac12 \\ \dfrac{p-3}{\cancel{4}} & = \dfrac{2}{\cancel{4}} \\ p -3 & = 2 \\ p & = 5 \end{aligned}$
Jadi, nilai $p$ adalah $\boxed{5}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 9
Persamaan garis yang melalui titik $R(-3,-2)$ dengan gradien $2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2x+y-4=0$
B. $2x-y+4=0$
C. $2x+y+4=0$
D. $x-y-4=0$

Pembahasan

Persamaan garis yang melalui titik $(x_1, y_1)$ dan bergradien $m$ adalah
$y -y_1 = m(x -x_1)$
Untuk itu, persamaan garis yang melalui titik $(-3, -2)$ dan bergradien $2$ adalah
$\begin{aligned} y -(-2) & = 2(x -(-3)) \\ y + 2 & = 2x + 6 \\ y – 2x + 2 -6 & = 0 \\ y -2x -4 & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas} ~&\text{dengan}~-1 \\ 2x -y + 4 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis yang melalui titik $R(-3,-2)$ dengan gradien $2$ adalah $\boxed{2x -y + 4 = 0}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10
Persamaan garis yang melalui titik $(2, -5)$ dan sejajar dengan garis $4y-3x=-4$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3y+4x+2=0$
B. $3y-4x-2=0$
C. $4y-3x-26=0$
D. $4y-3x+26=0$

Pembahasan

Cara 1:
Gradien garis $4y -3x = -4$ adalah
$m_1 = -\dfrac{\text{Koef.}~x} {\text{Koef.}~y} = -\dfrac{-3}{4} = \dfrac34$
Karena sejajar, maka gradien garis $m = m_1 = \dfrac34$.
Persamaan garis yang melalui titik $(2, -5)$ dan bergradien $\dfrac34$ adalah
$\begin{aligned} y -y_1 & = m(x -x_1) \\ y -(-5) & = \dfrac34(x -2) \\ 4(y+5) & = 3(x-2) \\ 4y + 20 & = 3x -6 \\ 4y- 3x + 26 & = 0 \end{aligned}$
Cara 2:
Persamaan garis yang sejajar berbentuk $4y -3x = c$. Substitusikan $x = 2$ dan $y =-5$.
$\begin{aligned} 4(-5) -3(2) & = c \\ -20 -6 & = c \\ c & = -26 \end{aligned}$
Dengan demikian, persamaan garisnya berbentuk $4y-3x=-26$ atau ditulis menjadi $4y -3x + 26 = 0$
Jadi, persamaan garis yang melalui titik $(2, -5)$ dan sejajar dengan garis $4y-3x=-4$ adalah $\boxed{4y-3x+26=0}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11
Persamaan garis yang melalui titik $(4, -5)$ dan sejajar dengan garis $y=-\dfrac23x+6$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2y-3x=-23$         
B. $2y+3x=-6$
C. $3y-2x=2$
D. $3y+2x=-7$

Pembahasan

Cara 1:
Gradien garis $y = -\dfrac23x + 6$ adalah $m_1 = = -\dfrac23$
Karena sejajar, maka gradien garis $m = m_1 = -\dfrac23$.
Persamaan garis yang melalui titik $(4, -5)$ dan bergradien $-\dfrac23$ adalah
$\begin{aligned} y -y_1 & = m(x -x_1) \\ y – (-5) & = -\dfrac23(x -4) \\ 3(y+5) & = -2(x-4) \\ 3y + 15 & = -2x + 8 \\ 3y + 2x = & = -7 \end{aligned}$
Cara 2:
Persamaan garis yang sejajar berbentuk $y = -\dfrac23x + c$. Substitusikan $x = 4$ dan $y =-5$.
$\begin{aligned} -5 & = -\dfrac23(4) + c \\ -5 & = -\dfrac83 + c \\ c & = -5 + \dfrac83 = -\dfrac{7}{3} \end{aligned}$
Dengan demikian, persamaan garisnya berbentuk $y = -\dfrac23x -\dfrac73$. Kalikan kedua ruas dengan $3$, sehingga diperoleh
$3y = -2x -7 \Leftrightarrow 3y + 2x = -7$
Jadi, persamaan garis yang melalui titik $(4, -5)$ dan sejajar dengan garis $y=-\dfrac23x+6$ adalah $\boxed{3y+2x=-7}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 12
Persamaan garis yang melalui titik $(2, -7)$ dan tegak lurus garis $4x-3y+8=0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3x-4y=34$                
B. $3x+4y=-22$
C. $4x+3y=-13$
D. $4x-3y=21$             

Pembahasan

Cara 1:
Gradien garis $4x-3y+8=0$ adalah $m_1 = -\dfrac{\text{Koef.}~x} {\text{Koef.}~y} = -\dfrac{4}{-3} = \dfrac43$
Karena tegak lurus, maka gradien garis $m = -\dfrac{1}{m_1} = -\dfrac34$. 
Persamaan garis yang melalui titik $(2, -7)$ dan bergradien $-\dfrac34$ adalah
$\begin{aligned} y -y_1 & = m(x -x_1) \\ y – (-7) & = -\dfrac34(x -2) \\ 4(y+7) & = -3(x-2) \\ 4y + 28 & = -3x + 6 \\ 3x + 4y & = -22 \end{aligned}$
Cara 2:
Persamaan garis yang melalui titik $(a, b)$ dan tegak lurus garis $Ax + By = c$ adalah $Bx -Ay = Ba -Ab$. Dengan demikian, persamaan garis yang melalui titik $(2, -7)$ dan tegak lurus garis $4x – 3y + 8 = 0$ adalah 
$\begin{aligned} -3x -4y & = -3(2) -4(-7) \\ -3x -4y & = 22 \\ 3x + 4y & = -22 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis yang melalui titik $(2, -7)$ dan tegak lurus garis $4x-3y+8=0$ adalah $\boxed{3x + 4y = -22}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Persamaan garis yang melalui titik $(-2, 1)$ dan tegak lurus garis yang persamaannya $2y=-x+1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $y=2x+5$                  
B. $y=-2x+5$
C. $y=2x-5$
D. $y=\dfrac12x-5$    

Pembahasan

Cara 1:
Persamaan $2y = -x +1$ bila kedua ruasnya dibagi 2 menjadi $y = -\dfrac12x + \dfrac12$
Gradien garis $y = -\dfrac12x + \dfrac12$ adalah $m_1 = -\dfrac12$
Karena tegak lurus, maka gradien garis $m = -\dfrac{1}{m_1} = 2$. 
Persamaan garis yang melalui titik $(-2, 1)$ dan bergradien $2$ adalah
$\begin{aligned} y -y_1 & = m(x -x_1) \\ y -1 & = 2(x -(-2)) \\ y – 1 & = 2x + 4 \\ y & = 2x + 5 \end{aligned}$
Cara 2:
Persamaan garis yang melalui titik $(a, b)$ dan tegak lurus garis $Ax + By = c$ adalah $Bx -Ay = Ba -Ab$. Dengan demikian, persamaan garis yang melalui titik $(-2, 1)$ dan tegak lurus garis $x + 2y= 1$ adalah 
$\begin{aligned} 2x -y & = 2(-2) -1(1) \\ 2x -y & = -5 \\ -y & = -2x -5  \\ y &  = 2x + 5 \end{aligned}$
Jadi, Persamaan garis yang melalui titik $(-2, 1)$ dan tegak lurus garis yang persamaannya $2y=-x+1$ adalah $\boxed{y = 2x + 5}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 14
Persamaan garis yang melalui titik $(5, 3)$ dan $(-2, 1)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $7y=2x-11$          
B. $7y=2x+11$
C. $2y=7x-11$
D. $2y=7x+11$          

Pembahasan

Cara 1: Normal
Persamaan garis yang melalui titik $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$ adalah
$\dfrac{y -y_1}{y_2-y_1} = \dfrac{x – x_1}{x_2-x_1}$
Persamaan garis yang melalui titik $(5, 3)$ dan $(-2, 1)$ adalah
$\begin{aligned} \dfrac{y -1}{3 -1} & = \dfrac{x – (-2)}{5 -(-2)} \\ \dfrac{y-1}{2} & = \dfrac{x+2}{7} \\ 7(y-1) & = 2(x+2) \\ 7y-7 & = 2x+4 \\ 7y & = 2x + 11 \end{aligned}$
Cara 2: Kece
Perhatikan cara skematik berikut.

[collapse]

Soal Nomor 15
Sisi persegi $ABCD$ sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat. Titik $A(1,-2)$ dan $C(5,1)$ adalah titik sudut yang saling berhadapan. Persamaan garis yang melalui titik $B$ dan $D$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3x+4y+7=0$
B. $3x+4y-7=0$
C. $3x-4y+7=0$
D. $4x-3y+7=0$

Pembahasan

Posisikan titik $A(1,-2)$ dan $C(5,1)$ dalam sistem koordinat Kartesius. Agar $ABCD$ membentuk sebuah persegi panjang, titik $B$ dan $D$ mesti berkoordinat $(5, -2)$ dan $(1, 1)$.
Grafik garis yang melalui titik sudut suatu persegi panjang

Persamaan garis yang melalui kedua titik tersebut dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} & =\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \dfrac{y-(-2)}{1-(-2)} & = \dfrac{x-5}{1-5} \\ \dfrac{y+2}{3} & = \dfrac{x-5}{-4} \\ -4(y+2) & = 3(x-5) \\ -4y-8 & = 3x-15 \\ 3x+4y-7 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis yang melalui titik $B$ dan $D$ adalah $\boxed{3x+4y-7=0}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 16
Garis $k$ memotong sumbu-$Y$ di titik $(a+3, a-7)$. Jika garis $k$ juga melalui titik $(8,6)$, maka persamaan garis $k$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2x+y=-10$               
B. $2x-y=-10$
C. $2x-y=10$
D. $2x+y=10$              

Pembahasan

Karena $k$ memotong sumbu-$Y$, maka absis koordinatnya harus bernilai $0$, yaitu $a+3 = 0$, sehingga $a=-3$. 
Ini berarti, garis $k$ memotong sumbu tersebut di titik $(0, -10)$. 
Persamaan garis yang melalui dua titik, yaitu $(0,-10)$ dan $(8,6)$ dapat ditentukan dengan sejumlah cara. 
Cara 1: Manual
Dengan menggunakan rumus $\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} = \dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{y -(-10)} {6-(-10)} & = \dfrac{x -0}{8-0} \\ \dfrac{y+10}{\cancelto{2}{16}} & = \dfrac{x} {\cancel{8}} \\ y+10 & = 2x \\ 2x -y & = 10 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis $k$ adalah $\boxed{2x-y=10}$
Cara 2: Kece
Perhatikan penggunaan metode skematik berikut.

(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 17

Perhatikan grafik berikut!

Persamaan garis $g$ adalah $\cdots \cdot$

A. $3x+2y-6=0$
B. $3x+2y+6=0$
C. $2x+3y-6=0$
D. $2x+3y+6=0$

Pembahasan

Cara 1: Normal
Garis $g$ melalui titik $(0,3)$ dan $(2,0)$. Persamaan garis yang melalui kedua titik tersebut adalah
$\begin{aligned} \dfrac{y -y_1}{y_2 -y_1} & = \dfrac{x -x_1}{x_2 -x_1} \\ \dfrac{y -3}{0 -3} & = \dfrac{x -0}{2 -0} \\ \dfrac{y-3}{-3} & = \dfrac{x}{2} \\ 2(y-3) & = -3x \\ 2y -6 & = -3x \\ 3x + 2y -6 & = 0 \end{aligned}$
Cara 2: Kilat
(Cara ini dipakai apabila titik potong garis terhadap kedua sumbu koordinat diketahui)
Perhatikan cara skematik berikut.

[collapse]

Soal Nomor 18
Grafik garis dengan persamaan $y=\dfrac12x-2$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Diketahui persamaan garis lurus: $y = \dfrac12x -2$.
Titik potong garis terhadap sumbu koordinat harus ditentukan dulu.
Titik potong terhadap sumbu-$X$ terjadi saat $y = 0$.
$0 = \dfrac12x -2 \Leftrightarrow 2 = \dfrac12x \Leftrightarrow x = 4$
Jadi, koordinat titik potongnya adalah $(4, 0)$.
Titik potong terhadap sumbu-$Y$ terjadi saat $x = 0$.
$y = \dfrac12(0) -2 \Leftrightarrow y = -2$
Jadi, koordinat titik potongnya adalah $(0, -2)$.
Gambarkan kedua titik tersebut pada sistem koordinat Kartesius, lalu hubungkan kedua titik itu sehingga membentuk garis lurus.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 19
Grafik garis dengan persamaan $4x-y-1=0$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Diketahui persamaan garis lurus: $4x-y-1 = 0$.
Berdasarkan alternatif jawaban yang diberikan, kita harus memeriksa nilai $y$ saat $x$ bernilai $-1, 0$, dan $1$.
Untuk $x = -1$, kita peroleh
$\begin{aligned} 4(-1) -y -1 & = 0 \\ -5 -y & = 0 \\ y & = -5 \end{aligned}$
Garis melalui titik $(-1, -5)$.
Untuk $x = 0$, kita peroleh
$\begin{aligned} 4(0) -y -1 & = 0 \\ -y -1& = 0 \\ y & = -1 \end{aligned}$
Garis melalui titik $(0, -1)$.
Untuk $x = 1$, kita peroleh
$\begin{aligned} 4(1) -y -1 & = 0 \\ 3 -y & = 0 \\ y & = 3 \end{aligned}$
Garis melalui titik $(1, 3)$.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 20
Grafik garis $k$ tegak lurus dengan garis $m$ dan memotong sumbu-$X$ di titik $(2, 0)$. Jika gradien garis $m$ adalah $2$, maka persamaan garis $k$ adalah $\cdots \cdot$
A. $y-2x=-4$          
B. $x+2y=1$
C. $x+2y=2$
D. $2y-x=-2$             

Pembahasan

Gradien garis $m$ adalah $m_m = 2$.
Karena tegak lurus, maka gradien garis $k$ adalah $m_k = -\dfrac{1}{m_m} = -\dfrac{1}{2}$
Persamaan garis yang melalui titik $(2, 0)$ dan bergradien $m = -\dfrac12$ adalah
$\begin{aligned} y -y_1 & = m(x -x_1) \\ y -0 & = -\dfrac12(x -2) \\ 2y & = -x + 2 \\ x + 2y & = 2 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis $k$ adalah $\boxed{x + 2y = 2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 21
Diketahui $P(-3,-5)$ dan $R(-2,-8)$. Persamaan garis yang melalui $(-2,4)$ dan tegak lurus garis $PR$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3y-x-14=0$
B. $3y-x+14=0$
C. $y-3x+10=0$
D. $y-3x-10=0$

Pembahasan

Gradien garis $PR$ di mana $P(-3,-5)$ dan $R(-2,-8)$ adalah
$m_{PR} = \dfrac{y_2 -y_1}{x_2 -x_1} = \dfrac{-8 -(-5)}{-2 -(-3)} = \dfrac{-3}{1} = -3$
Karena garis yang dimaksud tegak lurus dengan garis $PR$, maka gradien garisnya adalah $m = -\dfrac{1}{m_{PR}} = -\dfrac{1}{-3} = \dfrac13$
Persamaan garis yang melalui titik $(-2, 4)$ dan bergradien $\dfrac13$ adalah
$\begin{aligned} y -y_1 & = m(x -x_1) \\ y -4 & = \dfrac13(x -(-2)) \\ 3(y -4) & = x + 2 \\ 3y -12 & = x + 2 \\ 3y -x -14 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garisnya adalah $\boxed{3y-x-14=0}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 22
Perhatikan garis $g$ pada koordinat Kartesius berikut.
Grafik garis lurus
Garis $k$ tegak lurus garis $g$ dan saling berpotongan di titik $(0, -20)$. Koordinat titik potong garis $k$ dengan sumbu-$X$ adalah $\cdots \cdot$

A. $(8, 0)$                     C. $(16, 0)$
B. $(12, 0)$                   D. $(20, 0)$

Pembahasan

Gradien garis $g$ adalah $m_g = \dfrac{-20}{25} = -\dfrac45$.
Karena tegak lurus, maka gradien garis $k$ adalah $m_k = -\dfrac{1}{m_g} = \dfrac54$
Persamaan garis yang melalui titik $(0, -20)$ dan bergradien $m = \dfrac54$ adalah
$\begin{aligned} y -y_1 & = m(x -x_1) \\ y -(-20) & = \dfrac54(x -0) \\ 4(y + 20) & = 5x \\ 4y + 80 & = 5x \end{aligned}$
Titik potong garis $k$ terhadap sumbu-$X$ terjadi saat $y = 0$, berarti kita tulis $4(0) + 80 = 5x \Leftrightarrow x = \dfrac{80}{5} = 16$
Jadi, titik potong garis $k$ terhadap sumbu-$X$ adalah $\boxed{(16, 0)}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 23
Persamaan garis $b$ seperti tampak pada gambar adalah $\cdots \cdot$
Grafik dua garis berpotongan tegak lurus

A. $2y=x-1$                   
B. $2y=-x-1$
C. $2y=x+1$
D. $2y=-x+1$                

Pembahasan

Gradien garis $a$ adalah $m_a = \dfrac{-2}{-1} = 2$.
Karena tegak lurus, maka gradien garis $b$ adalah $m_b = -\dfrac{1}{m_a} = -\dfrac{1}{2} = -\dfrac12$
Perhatikanlah bahwa garis $b$ melalui titik $(-1, 0)$
Persamaan garis yang melalui titik $(-1, 0)$ dan bergradien $m = -\dfrac12$ adalah
$\begin{aligned} y -y_1 & = m(x -x_1) \\ y – 0 & = -\dfrac12(x -(-1)) \\ 2y & = -x – 1 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis $b$ adalah $\boxed{2y = -x-1}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 24
Diketahui titik $A(4, 10)$, $B(-1, p)$, dan $C(2, 2)$ terletak pada satu garis lurus. Nilai $p$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-10$                         C. $5$
B. $-5$                           D. $10$

Pembahasan

Diketahui $A(4, 10)$, $B(-1, p)$, dan $C(2, 2)$.
Karena ketiga titik itu terletak pada satu garis lurus, maka gradien $AB$ haruslah sama dengan gradien $BC$. Kita tuliskan
$\begin{aligned} m_{AB} & = m_{BC} \\ \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} & = \dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B} \\ \dfrac{p-10}{-1-4} & = \dfrac{2-p}{2-(-1)} \\ \dfrac{p-10}{-5} & = \dfrac{2-p}{3} \\ 3(p-10) & = -5(2-p) \\ 3p-30 & = -10+5p \\ 3p-5p & = -10+30 \\ -2p & = 20 \\ p & = -10 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{p=-10}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 25
Empat di antara lima titik $(2, 4)$, $(4, 7)$, $(7, 10)$, $(10, 16)$, dan $(16, 25)$ membentuk sebuah garis lurus. Manakah yang tidak termasuk?
A. $(2, 4)$                     D. $(10, 16)$
B. $(4, 7)$                     E. $(16, 25)$
C. $(7, 10)$

Pembahasan

Agar titik-titik terletak pada satu garis lurus, maka gradien garis yang terbentuk harus sama.
Perhatikan bahwa pada titik $(2, 4)$, $(4, 7)$, $(10, 16)$, dan $(16, 25)$ membentuk garis lurus dengan gradien masing-masing:
$\dfrac{7-4}{4-2} = \dfrac{16-7}{10-4} = \dfrac{25-16}{16-10} = \dfrac32$.
Perhatikan juga bahwa,
$\dfrac{10-7}{7-4} = 1 \neq \dfrac32$.
Jadi, titik yang tidak segaris adalah $\boxed{(7, 10)}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 26 ($\bigstar$ HOTS $\bigstar$)
Jika $a_1x+b_1y = c_1$ dan $a_2x + b_2y = c_2$ merupakan persamaan garis lurus yang saling berpotongan tegak lurus, maka akan dipenuhi $\cdots \cdot$
A. $a_1b_1-a_2b_2=0$
B. $a_1a_2-b_1b_2=0$
C. $a_1b_1+a_2b_2=0$
D. $a_1a_2+b_1b_2=0$
E. $a_1b_2+a_2b_1=0$

Pembahasan

Persamaan garis $ax + by = c$ memiliki gradien $m = -\dfrac{a}{b}$. Oleh karena persamaan $a_1x+b_1y = c_1$ dan $a_2x + b_2y = c_2$ tegak lurus, maka berlaku
$\begin{aligned} m_1 & = -\dfrac{1}{m_2} \\ -\dfrac{a_1}{b} & = -\dfrac{1}{-\dfrac{a_2}{b_2}} \\ \dfrac{a_1}{b_1} & = -\dfrac{b_2}{a_2} \\ a_1a_2 & = -b_1b_2 \\ a_1a_2+b_1+b_2 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $\boxed{a_1a_2+b_1+b_2 = 0}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 27 ($\bigstar$ HOTS $\bigstar$)
Jika garis yang menghubungkan titik $(-1, 1)$ dan $\left(1,\dfrac12\right)$ tegak lurus terhadap garis yang menghubungkan titik $\left(1,\dfrac12\right)$ dan $(7, t)$, maka $t = \cdots \cdot$
A. $2$                        C. $12\dfrac14$              E. $24\dfrac12$
B. $-\dfrac43$                   D. $24$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{aligned} (x_1, y_1) & = (-1, 1) \\ (x_2, y_2) & = \left(1,\dfrac12\right) \\ (x_3, y_3) & = \left(1,\dfrac12\right) \\ (x_4, y_4) & = (7, t) \end{aligned}$
Gradien garis yang melalui titik $(-1, 1)$ dan $\left(1,\dfrac12\right)$ adalah
$\begin{aligned} m_1 & = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ & = \dfrac{\dfrac12-1}{1-(-1)} = \dfrac{-\dfrac12}{2} = -\dfrac14 \end{aligned}$
Gradien garis yang melalui titik $\left(1,\dfrac12\right)$ dan $(7, t)$ adalah
$\begin{aligned} m_2 & = \dfrac{y_4-y_3}{x_4-x_3} \\ & = \dfrac{t-\dfrac12}{7-1} = \dfrac{t-\dfrac12}{6} \color{red}{\times \dfrac22} = \dfrac{2t-1}{12} \end{aligned}$
Karena kedua garis yang menghubungkan titik-titik tersebut saling tegak lurus, maka berlaku hubungan gradien $m_1 = -\dfrac{1}{m_2}$.
Untuk itu, kita peroleh
$\begin{aligned} -\dfrac14 & = -\dfrac{1}{\dfrac{2t-1}{12}} \\ \dfrac14 & = \dfrac{12}{2t-1} \\ 2t-1 & = 48 \\ 2t & = 49 \\ t & = \dfrac{49}{2} = 24\dfrac12 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{t = 24\dfrac12}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 28 ($\bigstar$ HOTS $\bigstar$)
Perhatikan grafik tarif taksi berikut!
Grafik fungsi linear
Jika Rudi naik taksi sejauh $19~\text{km}$, berapa harga yang harus ia bayar?

A. Rp76.000,00                C. Rp84.000,00
B. Rp82.000,00                D. Rp88.000,00

Pembahasan

Berdasarkan grafik di atas, gradien garisnya adalah
$m = \dfrac{22 -14}{4 -2} = \dfrac{8}{2} = 4$
Misalkan harga yang harus dibayar untuk jarak tempuh 19 km adalah $x$ ribu rupiah, maka
$\begin{aligned} m = \dfrac{x -14}{19 -2} & = 4 \\ \dfrac{x-14}{17} & = 4 \\ x- 14 & = 68 \\ x & = 82 \end{aligned}$
Jadi, harga yang harus dibayar Rudi sebesar Rp82.000,00.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 29 ($\bigstar$ HOTS $\bigstar$)
Banyak tenaga kerja laki-laki berusia lebih dari $20$ tahun yang bekerja di suatu kota bertambah secara linear. Jika digambarkan, grafik pertambahan tenaga kerja laki-laki dapat direpresentasikan oleh garis lurus berikut.
Grafik fungsi linear
Pada tahun $1980$, sekitar $600$ laki-laki berusia di atas 20 tahun yang bekerja. Pada tahun $2000$, jumlah ini meningkat menjadi $800$. Berapa banyak tenaga kerja laki-laki di kota tersebut pada tahun $2015$?
A. $1.150$ orang               C. $1.000$ orang
B. $1.050$ orang               D. $950$ orang

Pembahasan

Gradien garis lurus pada grafik di atas dapat dihitung dengan cara berikut.
$m = \dfrac{800-600}{2000-1980} = \dfrac{200}{20} = 10$
Misalkan ada sebanyak $x$ orang pada tahun $2015$, sehingga dengan menggunakan konsep gradien, diperoleh
$m = \dfrac{x -800}{2015-2000}$
Karena garis lurus yang ditinjau sama, maka gradiennya juga pasti sama.
$\begin{aligned} 10 & = \dfrac{x -800}{15} \\ 150 & = x -800 \\ x & = 950 \end{aligned}$
Jadi, banyak tenaga kerja laki-laki di kota tersebut pada tahun $2015$ adalah $\boxed{950~\text{orang}}$
(Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 30 ($\bigstar$ HOTS $\bigstar$)
Pada suatu hari, dua pemuda mengunjungi sebuah kafe. Setelah memesan minuman, mereka masing-masing diberikan kertas yang bertuliskan username dan password untuk mengaktifkan koneksi WiFi kafe tersebut.
Salah satu dari mereka menemukan kertas lain seperti itu tercecer di lantai.
Ia pun kemudian menjajarkan kertas tersebut seperti berikut.

Setelah diperhatikan dengan seksama, mereka menduga bahwa ada hubungan username dengan password di sampingnya. Perhatikan bahwa dua karakter pertama pada username selalu bertuliskan “on“, diikuti dengan bilangan puluhan ganjil.
Berdasarkan pola (hubungan) itu, password yang sesuai untuk username on75 adalah $\cdots \cdot$
A. $682$                       C. $702$
B. $692$                       D. $712$

Pembahasan

Dugaan kita adalah bahwa penambahan bilangan di username memengaruhi penambahan bilangan di bagian password secara linear (membentuk garis lurus).
Katakanlah terdapat titik $(15, 552)$ dan $(19, 562)$. Gradien garis yang ditarik dari dua titik ini adalah
$\dfrac{562-552}{19-15} = \dfrac{10}{4} = \dfrac52$
Sekarang, katakanlah ada titik $(43, 622)$ dan $(19, 562)$. Gradien garis yang melalui titik ini adalah
$\dfrac{622-562}{43-19} = \dfrac{60}{24} = \dfrac52$
Karena gradiennya sama, maka pasangan bilangan pada username dan password bergerak secara linear. Dugaan sebelumnya memang benar.
Setiap penambahan $2$ pada bilangan di username, bilangan di password bertambah $5$.
Password untuk on75 dapat dicari sebagai berikut. Kita simbolkan sebagai $x$ dan kita menggunakan $(43, 622)$ sebagai titik bantu.
$\begin{aligned} \dfrac25 & = \dfrac{x-622}{75-43} \\ \dfrac52 & = \dfrac{x-622}{32} \\ \dfrac{80}{\cancel{32}} & = \dfrac{x-622}{\cancel{32}} \\ 80 & = x-622 \\ x & = 702 \end{aligned}$
Jadi, password untuk username on75 adalah $\boxed{702}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 31 ($\bigstar$ HOTS $\bigstar$)
Misalkan $m$ menyatakan bilangan bulat positif serta garis $13x+11y = 700$ dan $y = mx-1$ berpotongan di titik yang koordinatnya bilangan bulat. Banyak kemungkinan nilai $m$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                    C. $2$                    E. $4$
B. $1$                    D. $3$

Pembahasan

Substitusi $\color{red}{y} = mx-1$ pada persamaan $13x+11\color{red}{y} = 700$.
$\begin{aligned} 13x+11(mx-1) & = 700 \\ 13x+11mx-11 & = 700 \\ (13+11m)x & = 711 \\ x & = \dfrac{711}{13+11m} \end{aligned}$
Karena $x$ bulat, maka $13+11m$ harus merupakan faktor dari $711$.
Perhatikan bahwa $711$ memiliki faktor $\{1, 9, 79, 711\}$.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Nilai}~13+11m & \text{Nilai}~m \\ \hline 1 & -\dfrac{12}{11} \\ 9 & -\dfrac{4}{11} \\ 79 & 6 \\ 711 & \dfrac{698}{11} \\ \hline \end{array}$
Dari tabel di atas, tampak bahwa hanya ada $1$ nilai $m$ yang mungkin, yaitu $m = 6$, berakibat $x = 9$ dan $y = 53$.
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Titik Tengah Ruas Garis dan Jarak Dua Titik

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Periksa apakah titik berikut berada di atas, di bawah, atau terletak tepat pada garis yang diberikan.

  1. Titik $(2, -1)$ dan titik $(3, 9)$ terhadap garis $2x + y = 4$.
  2. Titik $(3, -5)$ dan titik $(1, 6)$ terhadap garis $y = 2x-4$.
  3. Titik $(0, 0)$ dan titik $(2, 2)$ terhadap garis $-9x+2y=18$.

Pembahasan

Sebelum mengerjakan, kita perlu memperhatikan definisi (pengertian) mengenai posisi titik terhadap garis berikut.

  1. Suatu titik dikatakan berada di posisi bawah suatu garis apabila nilai ordinat titik itu lebih kecil dari nilai ordinat titik yang dilalui garis tersebut pada absis yang sama.
  2. Suatu titik dikatakan berada di posisi atas suatu garis apabila nilai ordinat titik itu lebih besar dari nilai ordinat titik yang dilalui garis tersebut pada absis yang sama.
  3. Suatu titik dikatakan berada tepat pada suatu garis apabila nilai ordinat titik itu sama dengan dari nilai ordinat titik yang dilalui garis tersebut pada absis yang sama.

Jawaban a)
Titik $(2, -1)$ memiliki nilai ordinat $y = -1$.
Substitusi $x = 2$ pada persamaan $2x + y = 4$ untuk memperoleh
$\begin{aligned} 2\color{red}{(2)} + y & = 4 \\ 4 + y & = 4 \\ y & = 0 \end{aligned}$
Karena nilai ordinat titik lebih kecil ($-1 < 0$), maka disimpulkan bahwa titik $(2, -1)$ di bawah garis $2x + y = 4$.
Titik $(3, 9)$ memiliki nilai ordinat $y = 9$.
Substitusi $x = 3$ pada persamaan $2x + y = 4$ untuk memperoleh
$\begin{aligned} 2\color{red}{(3)} + y & = 4 \\ 6 + y & = 4 \\ y & = -2 \end{aligned}$
Karena nilai ordinat titik lebih besar ($9 > -2$), maka disimpulkan bahwa titik $(3, 9)$ di atas garis $2x + y = 4$.

Jawaban b)
Titik $(3, -5)$ memiliki nilai ordinat $y = -5$.

Substitusi $x = 3$ pada persamaan $y=2x-4$ untuk memperoleh
$y = 2\color{red}{(3)}-4 = 6-4=2$.
Karena nilai ordinat titik lebih kecil ($-5 < 2$), maka disimpulkan bahwa titik $(3, -5)$ di bawah garis $y=2x-4$.
Titik $(1, 6)$ memiliki nilai ordinat $y = 6$.
Substitusi $x = 1$ pada persamaan $y=2x-4$ untuk memperoleh
$y = 2\color{red}{(1)}-4 = 2-4= -2$.
Karena nilai ordinat titik lebih besar ($6 > -2$), maka disimpulkan bahwa titik $(1, 6)$ di atas garis $y = 2x-4$.

Jawaban c)
Titik $(0, 0)$ memiliki nilai ordinat $y = 0$.

Substitusi $x = 0$ pada persamaan $-9x+2y=18$ untuk memperoleh
$\begin{aligned} -9\color{red}{(0)} + 2y & = 18 \\ 0 + 2y & = 18 \\ y & = 9 \end{aligned}$
Karena nilai ordinat titik lebih kecil ($0 < 9$), maka disimpulkan bahwa titik $(0, 0)$ di bawah garis $-9x+2y=18$.
Titik $(2, 2)$ memiliki nilai ordinat $y = 2$.
Substitusi $x = 2$ pada persamaan $-9x+2y=18$ untuk memperoleh
$\begin{aligned} -9\color{red}{(2)} + 2y & = 18 \\ -18 + 2y & = 18 \\ 2y & = 36 \\ y & = 18 \end{aligned}$
Karena nilai ordinat titik lebih kecil ($2 < 18$), maka disimpulkan bahwa titik $(2,2)$ di bawah garis $-9x+2y=18$.

[collapse]

Soal Nomor 2 ($\bigstar$ HOTS $\bigstar$)
Absis titik potong garis $g$ dengan sumbu-$X$ dan ordinat titik potong garis $g$ dengan sumbu-$Y$ merupakan bilangan genap positif yang kurang dari $10$. Jika garis $g$ melalui titik $(3, 4)$, tentukan persamaan garis $g$ tersebut.

Pembahasan

Misalkan titik potong garis $g$ terhadap kedua sumbu koordinat adalah $(p, 0)$ dan $(0, q)$ dengan $p, q$ bilangan genap positif yang kurang dari $10$.
Garis $g$ diketahui melalui titik $(3, 4)$. Berdasarkan prinsip kesamaan gradien dalam satu garis lurus, kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{q-4}{0-3} & = \dfrac{0-4}{p-3} \\ \dfrac{q-4}{-3} & = \dfrac{-4}{p-3} \\ (q-4)(p-3) & = 12 \end{aligned}$
Selanjutnya kita harus mencari kombinasi dua faktor yang mungkin untuk menghasilkan $12$. Faktor dari $12$ adalah $1, 2, 3, 4, 6$, dan $12$.
Periksa setiap kemungkinan yang ada menggunakan tabel berikut dengan mengingat syarat $a, b$ harus genap dan nilainya kurang dari $10$.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline q-4 & p-3 & q & p & \text{Keterangan} \\ \hline 1 & 12 & 5 & 9 & \text{Tidak Memenuhi} \\ 2 & 6 & 6 & 9 & \text{Tidak Memenuhi} \\ 3 & 4 & 7 & 7 & \text{Tidak Memenuhi} \\ 4 & 3 & 8 & 6 & \text{Memenuhi} \\ 6 & 2 & 10 & 5 & \text{Tidak Memenuhi} \\ 12 & 1 & 16 & 4 & \text{Tidak Memenuhi} \\ \hline \end{array}$$Jadi, nilai $p = 6$ dan $q = 8$.
Persamaan garis lurus yang melalui titik $(6, 0)$ dan $(0, 8)$ adalah $8x + 6y = 8 \cdot 6$, dan disederhanakan menjadi $4x + 3y = 24$. Grafiknya dapat dilihat pada gambar berikut.
Grafik Garis 4x + 3y = 24
Jadi, persamaan garis $g$ adalah $\boxed{4x+3y=24}$

[collapse]

Soal Nomor 3 (OSK 2007)
Absis titik potong garis $\ell$ dengan sumbu-$X$ dan ordinat titik potong $\ell$ dengan sumbu-$Y$ adalah bilangan-bilangan prima. Jika $\ell$ juga melalui titik $(3, 4)$, tentukan persamaan garis $\ell$.

Pembahasan

Perhatikan sketsa grafik garis $\ell$ berikut.
Dimisalkan bahwa garis $\ell$ memotong sumbu-$X$ di $(a, 0)$ dan sumbu-$Y$ di $(0, b)$.
Persamaan garis $\ell$ adalah $bx + ay = ab.$
Karena garis $\ell$ melalui titik $(3, 4)$, maka dapat disubstitusi $x = 3$ dan $y = 4$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} 3b+4a & = ab \\ ab-4a & = 3b \\ a(b-4) & = 3b \\ a & = \dfrac{3b}{b-4} \\ a & = \dfrac{3(b-4)+12}{b-4} \\ a & = 3+\dfrac{12}{b-4} \end{aligned}$
Karena $a$ prima (dan berarti juga bulat), maka $b-4$ harus merupakan faktor $12$, yaitu $1, 2, 3, 4, 6, 12$.
Analisis nilai $a$ dan $b$ yang keduanya harus prima dalam tabel berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Nilai}~(b-4) & \text{Nilai}~b & \text{Nilai}~a \\ \hline 1 & 5 & \color{red}{15} \\ \hline 2 & \color{red}{6} & 5 \\ \hline 3 & 7 & 7 \\ \hline 4 & \color{red}{8} & \color{red}{6} \\ \hline 6 & \color{red}{10} & 5 \\ \hline 12 & \color{red}{16} & \color{red}{4} \\ \hline \end{array}$
Keterangan: Bilangan yang diwarnai merah artinya bukan prima.
Jadi, dipilih nilai $b = 7$, berakibat $a = 7$ (keduanya prima), sehingga persamaan garis $\ell$ adalah $7x + 7y = 49$, disederhanakan menjadi $\boxed{x + y = 7}$

[collapse]