Soal dan Pembahasan Keluarga/Berkas Garis (Families of Lines)

Soal Nomor 1
Tentukan persamaan dari keluarga garis yang jaraknya 3 satuan dari titik (1,2) dan sejajar dengan garis 3x+4y+5=0.

Penyelesaian

Untuk soal di atas dapat menggunakan rumus jarak dari titik (X_1,Y_1) ke garis Ax+By+C=0
\boxed{\dfrac{Ax+By+c}{\sqrt{A^2+B^2}}}

Dalam hal ini kita akan mencari persamaan keluarga garis yang sejajar dengan garis Ax+By+C=0 (koefisien A dan koefisien B tetap, sedangkan konstanta C berubah dan gradien garisnya sama), karena berjarak 3 satuan dari titik (1,2) maka persamaan keluarga garisnya ada dua yaitu sebelah kanan dari titik (1,2) dan sebelah kiri dari titik (1,2)
jadi,
\dfrac{3x+4y+c}{\sqrt{3^2+4^2}}=3

Substitusikan titik (1,2)
\begin{aligned}\dfrac{3(1)+4(2)+c}{5}&=3\\\left3+8+c\right&=15\\11+c&=15\\c&=4\end{aligned}
\dfrac{3x+4y+c}{\sqrt{3^2+4^2}}=-3
Substitusikan titik (1,2)
\begin{aligned}\dfrac{3(1)+4(2)+c}{5}&=-3\\\left3+8+c\right&=15\\11+c&=-15\\c&=-26\end{aligned}
jadi, persamaan dari keluarga garisnya adalah
3x+4y+4=0 dan 3x+4y-26=0

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan persamaan dari keluarga garis yang melewati titik potong x-7y+3=0 dan 4x+2y-5=0 yang bergradien 3

Penyelesaian

untuk menyelesaikan soal di atas kita dapat menggunakan rumus jarak jarak dari titik (X_1,Y_1) ke garis Ax+By+C=0
\boxed{(A_1x+B_1y+C_1)+k(A_2+B_2+C)=0}
untuk mencari persamaan dari keluarga garis yang melewati titik potong dari garis-garis yang telah diketahui dan k merupakan sebuah parameter
jadi, penyelesaian untuk soal di atas adalah
\begin{aligned}(x-7y+3)+k(4x+2y-5)&=0\\\left(x-7y+3)+(4kx+2ky-5k)\right&=0\\x+4kx-7y+2ky+3-5k&=0\\(1+4k)x+(-7+2k)y+3-5k&=0\\(-7+2k)y&=-(1+4k)x-3+5k\\y&={\dfrac{-(1+4k)x-3+5k}{-7+2k}\end{aligned}
Ingat!! bahwa
\boxed{y=mx+b}
yangmana koefisien dari x merupakan gradien
y={\dfrac{-(1+4k)x-3+5k}{-7+2k}
Di soal diminta untuk menemukan persamaan dari anggota keluarga garis yang memiliki gradien 3 maka,
\begin{aligned}{\dfrac{-(1+4k)}{-7+2k}}&=3\\\left-(1+4k)\right&=3(-7+2k)\\-1-4k&=-21-6k\\-1-4k&=-21-6k\\20&=10k\\k&={\dfrac{20}{10}}\\k&=2\end{aligned}
lalu kita substitusikan k=2
\begin{aligned}(x-7y+3)+k(4x+2y-5)&=0\\\left(x-7y+3)+2(4x+2y-5)\right&=0\\(x-7y+3)+(8x+4y-10)&=0\\9x-3y-7&=0\end{aligned}
jadi,persamaan dari keluarga garis yang melewati titik potong x-7y+3=0 dan 4x+2y-5=0 yang bergradien 3 adalah 9x-3y-7=0

Soal Nomor 3
Carilah persamaan garis lurus yang melalui titik potong garis x+3y-7=0 dan 2x+y-1=0 serta berjarak sama dari titik-titik A(2,0) dan B(4,3)

Penyelesaian

Untuk menyelesaikan soal tersebut kita dapat menggunakan rumus
\boxed{(A_1x+B_1y+C)+k(A_2x+B_2+C)=0}
dimana k merupakan parameter
\begin{aligned}{(x+3y-7)+k(2x+y-1)}&=0\\\leftx+3y-7+2kx+yk-k\right&=0\\2kx+x+yk+3y-7-k&=0\\(2k+1)x+(3+k)y-7-k&=0\\(3+k)y&=-(2k+1)x+7+k\\y&=\dfrac{-(2x+1)x+7+k}{3+k}\end{aligned}
Ingat!!! bahwa
y=mx+c
Jadi, berdasarkan persamaan garis tersebut gradien garisnya merupakan koefisien dari x yaitu
\dfrac{-(2x+1)}{3+k}
\dfrac{-2x-1}{3+k}
kemudian cari gradien dari titik A(2,0) dan B(4,3) menggunakan rumus
\boxed{m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}
\begin{aligned}{m}&=\dfrac{3-0}{4-2}\\\leftm\right&=\dfrac{3}{2}\end{aligned}
persamaan garis yang melalui titik A(2,0) dan B(4,3) sejajar dengan garis  lurus yang melalui titik potong garis x+3y-7=0 dan 2x+y-1=0 serta berjarak sama dari titik A(2,0) dan B(4,3) sehingga
\begin{aligned}{m}&=\dfrac{-2k-1}{3+k}\\\left\dfrac{3}{2}\right&=\dfrac{-2k-1}{3+k}\\9+3k&=-4k-2\\-7k&=11\\k&=\dfrac{-11}{7}\end{aligned}
kemudian substitusikan k ke (x+3y-7)+k(2x+y-1)=0
\begin{aligned}{(x+3y-7)+\dfrac{-11}{7}{(2x+y-1)}}&=0\\\leftx+3y-7-\dfrac{22}{7}x-\dfrac{11}{7}y+\dfrac{11}{7}\right&=0\end{aligned}
kalikan semuanya dengan 7
\begin{aligned}{7x+21y-49-22x-11y+11}&=0\\\left-15x+10y-38\right&=0\end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 4
Tentukan persamaan dari dua garis sejajar yang terletak 6 satuan terpisah yangmana garis 2x-3y+2=0 berada diantara dua garis sejajar tersebut
Penyelesaian

Gradien dari persaamaan garis ax+by+c=0 adalah koefisien dari x
\begin{aligned}ax+by+c&=0\\by&=-ax-c\\y&=\dfrac{-ax-c}{b}\end{aligned}
Mencari dua persamaan garis sejajar yang berjarak 6 satuan, dan tepat di tengah dua garis sejajar terdapat garis 2x-3y+2=0, sehingga ada 3 satuan disebalah kiri dan kanan garis tersebut. Garis yang sejajar merupakan garis yang memilki gradien yang sama
\begin{aligned}2x-3y+2&=0\\ \left-3y\right&=-2x-2\\y&=\dfrac{-2x-2}{-3}\\y&=\dfrac{2x+2}{3}\end{aligned}
Persamaan garis yang berada di sebelah kanan garis 2x-3y+2=0, kita tambah 3 satuan yang bernilai positif
\begin{aligned}y&=\dfrac{2x+2}{3}+3 \text{(kedua ruas dikali 3)}\\3y&=2x+2+9\\3y&=2x+11\\ 2x-3y+11&=0\end{aligned}
Persamaan garis yang berada di sebelah kiri garis 2x-3y+2=0 maka kita tambahkan 3 satuannya yang bernilai negatif
\begin{aligned}y&=\dfrac{2x+2}{3}+(-3)\\ \lefty\right&=\dfrac{2x+2}{3}-3\text{(kedua ruas dikali 3)}\\3y&=2x+2-9\\3y&=2x-7\\2x-3y-7&=0\end{aligned}
Jadi, persamaan dua garisnya adalah 2x-3y+11=0 dan 2x-3y-7=0

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong x-5y-4=0 dan 2x+3y+2=0 serta melalui titik (2,5)

Penyelesaian

Pertama kita mencari titik potong dari x-5y-4=0 dan 2x+3y+2=0

\begin{aligned}x-5y-4&=0\\ \left-5y\right&=-x+4\\y&=\dfrac{-x+4}{-5}\end{aligned}
\begin{aligned}2x+3y+2&=0\\ \left3y\right&=-2x-2\\y&=\dfrac{-2x-2}{3}\end{aligned}
\begin{aligned}y_1&=y_2\\ \left\dfrac{-x+4}{-5}&=\dfrac{-2x-2}{3}\\-3x+12&=10x+10\\-13x&=-2\\x&=\dfrac{2}{13}\end{aligned}
kemudian substitusikan nilai x kesalah satu persamaan
\begin{aligned}{x-5y-4&=0}\\ \left{\dfrac{2}{13}}-5y-4\right&=0\\-5y&=4-{\dfrac{2}{13}}\\-5y={\dfrac{50}{13}}\\y&={\dfrac{50}{13}}\times{\dfrac{1}{-5}}\\y&={\dfrac{-10}{13}}\end{aligned}
setelah menemukan titik potong dari dua garis, kita dapat mencari persamaan garis dengan menggunakan rumus persamaan garis yang melalui dua titik
\boxed{\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}}
persamaan garis yang melalui (\dfrac{2}{13},\dfrac{-10}{13}) dan (2,5)
\dfrac{y-(-\dfrac{10}{13})}{5-(-\dfrac{10}{13})}=\dfrac{x-\dfrac{2}{13}}{2-\dfrac{2}{13}}
\dfrac{y+\dfrac{10}{13}}{5+\dfrac{10}{13}}=\dfrac{x-\dfrac{2}{13}}{2-\dfrac{2}{13}}
\dfrac{y+\dfrac{10}{13}}{\dfrac{65+10}{13}}=\dfrac{x-\dfrac{2}{13}}{\dfrac{26-2}{13}}
\dfrac{y+\dfrac{10}{13}}{\dfrac{75}{13}}=\dfrac{x-\dfrac{2}{13}}{\dfrac{24}{13}}
\dfrac{24}{13}(y+\dfrac{10}{13})=\dfrac{75}{13}(x-\dfrac{2}{13})
\dfrac{24}{13}y+\dfrac{240}{13\times13}=\dfrac{75}{13}x-\dfrac{900}{13\times13}
Kedua ruas dikalikan dengan 169
169(\dfrac{24}{13}y+\dfrac{240}{169})=(\dfrac{75}{13}x-\dfrac{900}{169})169
312y+240=975x-900
975x-312y-1140=0

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong 2x+5y+7=0 dan 4x-2y+3=0 dan x berpotongan di 4

Penyelesaian


Yang pertama kita lakukan untuk menyelesaikan soal tersebut adalah dengan mencari titik potong dari 2x+5y+7=0 dan 4x-2y+3=0 dengan cara substitusi
2x+5y+7=0
2x=-7-5y
x=\dfrac{-7-5y}{2}
kemudian kita substitusikan persamaan x ke persamaan garis 4x-2y+3=0
4(\dfrac{-7-5y}{2})-2y+3=0
2(\dfrac{-7-5y}{2})-2y+3=0
-14-10y-2y+3=0
-11-12y=0
-11=12y
y=\dfrac{-11}{12}
setelah mendapatkan nilai y kita dapat menggunakannya untuk mencari nilai x yaitu dengan mensubstitusikannya ke x=\dfrac{-7-5y}{2}
x=\dfrac{-7-5(\dfrac{-11}{12})}{2}
x=\dfrac{-7+\dfrac{55}{12}}{2}
x=\dfrac{\dfrac{-84+55}{12}}{2}
x=\dfrac{\dfrac{-29}{12}}{2}
x=\dfrac{-29}{12}\times{\dfrac{1}{2}}
x=\dfrac{-29}{24}
sehingga ditemukanlah titik potongnya yaitu (\dfrac{-29}{24}\dfrac{-11}{12})
kemudian gunakan rumus
\boxed{\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}}
di soal diketahui bahwa x berpotongan di titik 4 maka ynya adalah 0. Kemudian substitusikan titik-titik yang sudah diketahui y_1=0, x_1=4, y_2=\dfrac{-11}{12}, dan x_2=\dfrac{-29}{24}
\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}
\dfrac{y-0}{-\dfrac{11}{12}-0}=\dfrac{11-4}{1\dfrac{29}{24}-4}
\dfrac{y}{-\dfrac{11}{12}}=\dfrac{11-4}{-\dfrac{125}{24}}
-\dfrac{125}{24}y=-\dfrac{11}{12}x+\dfrac{44}{12}
kemudian kedua ruas dikalikan dengan 24
(-\dfrac{125}{24}y=-\dfrac{11}{12}x+\dfrac{44}{12})24
-125y=-22x+88
22x-125y-88=0

[collapse]

 

 

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Problem Solver Mission List (PSML)

Soal Nomor 1 (Sumber: tercantum di gambar)

Penyelesaian


Diketahui B : C = C : D = 1 : 2
Jika dalam bentuk pecahan, perbandingannya ditulis sebagai berikut.
\dfrac{B}{C} = \dfrac{1}{2} dan \dfrac{C}{D} = \dfrac{1}{2}
sehingga
\dfrac{B}{C} \times \dfrac{C}{D} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}
\dfrac{B}{D} = B : D = \dfrac{1}{4} = 1 : 4
Jadi, nilai dari B : D adalah 1 : 4

[collapse]

Soal Nomor 2
Gambar berikut menunjukkan sekumpulan huruf yang disusun dalam formasi diamond.

Berapa banyak cara menyusun kata “HIMMATFKIPUNTAN” jika pengambilannya dipilih dari atas ke bawah dan pemilihan huruf di bawahnya harus berdekatan dengan huruf di atasnya?

Tantangan! Coba Selesaikan
[collapse]

Soal Nomor 3
Manakah yang lebih besar e^{\pi} atau \pi^e?

Penyelesaian

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Profil Administrator

       Bagi para pelanggan blog mathcyber1997.com ini mungkin sudah pernah melihat nama penulis postingan di sini, yaitu “shanedizzysukardy“. Ya, itu adalah nama siber yang saya pakai, termasuk juga di media sosial.

       Nama asli saya adalah Sukardi, lahir di Pontianak, tanggal 18 Juli 1997. Tebakan Anda tepat bila angka pada nama blog “mathcyber1997” diambil dari tahun kelahiran saya. Seorang penyuka matematika yang mewarisi sifat “cuek” dari cerita romans bahwa sifat klasik seorang matematikawan adalah pendiam dan serius saat menyelesaikan masalah. Calon guru matematika yang sedang menempuh masa kuliah Strata-1 di Prodi Pendidikan Matematika FKIP Untan ini adalah anak laki-laki yang normal, tidak unik, dan terlalu ambisius. Saya juga adalah orang yang memiliki IQ standar, tidak sejenius Albert Einstein dan tidak secerdas Thomas Alva Edison. Jika ditanya apa hobi saya, saya akan menjawab “membaca dan menulis”. Mungkin ada juga yang bertanya-tanya mengapa saya menggunakan nama “shanedizzysukardy”. Shane Dizzy adalah nama ilham yang saya dapat saat masa SMA dulu. Entah bagaimana cerita jelasnya, saya merasa terikat batin dengan nama Shane Dizzy, sehingga saya menggabungkannya menjadi Shane Dizzy Sukardi (atau Shane Dizzy Sukardy).


Latar Belakang
          Saya mulai menyukai matematika pada saat beberapa bulan menjelang UN SMA pada tahun 2015. Awalnya, saya membuat catatan berupa materi dan soal-soal latihan yang dicatat di kertas, kemudian dikumpulkan dalam binder untuk mata pelajaran matematika, kimia, dan fisika. Ini merupakan metode yang saya pakai untuk menghadapi UN saat itu. Tetapi, hari demi hari saya menemukan hal baru dalam hidup saya ketika saya menyadari dan yakin bahwa matematika akan membawa saya menuju kesuksesan dan masa depan. Hal yang begitu mengesankan pada momen itu ketika pada saat pengumuman hasil tes SBMPTN 2015, saya diterima sebagai mahasiswa prodi matematika FKIP Untan Angkatan 2015. Ada yang menyayangkan mengapa saya tidak memilih jurusan komputer, karena saya sering kali menjuarai lomba mapel komputer/TIK, terutama programming dan blogging. Tapi, saya sendiri yakin bahwa pilihan ini tidak mungkin salah karena Tuhan yang mengantarkannya. Lama kelamaan, saya menemukan pada penulisan materi dan soal pada kertas yang dijepit oleh binder ini tak mungkin bertahan lama (bisa saja hilang, rusak, dan memakan banyak tempat).

Kumpulan Catatan dalam Binder
            Kumpulan Catatan dalam Binder

         Pada masa kuliah semester 2, saya mencoba merestorasi blog yang dulu dipakai saat lomba, yaitu saintpaul50.blogspot.com (penamaannya berasal dari nama sekolah, SMA Santo Paulus Pontianak, saat perayaan hari ultahnya yang ke-50), sekarang diganti menjadi mathcyber1997.blogspot.com. Tujuan saya adalah membagikan ilmu yang saya punya kepada mereka yang membutuhkan karena berdasarkan pengalaman, jarang sekali ada postingan blog yang menjelaskan materi perkuliahan dan contoh soal secara rinci.  Banyak sekali blog yang saya temukan memberi penjelasan yang tidak sistematis dan kurang rapi. Tetapi, fakta menunjukkan bahwa menuliskan rumus/simbol matematika di blog/website tidak semudah di Ms. Word. Di masa-masa itu, saya mulai meninggalkan aktivitas blogging. Pada saat menjelang semester 5, saya diperkenalkan dengan LaTEX , fitur mirip bahasa pemrograman yang dikhususkan untuk membantu menuliskan simbol/rumus matematika termasuk pada website. LaTEX mulai saya pakai saat menjawab pertanyaan di aplikasi Brainly, kemudian keinginan untuk blogging kembali muncul, tetapi saya ingin memulai lembaran baru. Dengan modal 250 ribuan (berkat bantuan abang kandung saya), saya membeli domain untuk blog yang baru (fiturnya lebih lengkap), khusus untuk memposting materi dan soal serta ilmu-ilmu lainnya tentang matematika. Blog itulah yang bernama “mathcyber1997.com” di mana saya mengombinasikan ilmu matematika dan komputer dalam satu kesatuan yang tak terpisahkan.


Kesan
        Sebagai founder sekaligus administrator blog ini, saya sungguh bersyukur kepada Tuhan atas apa yang dilimpahkannya. Saya sekarang menggunakan blog ini untuk menuangkan catatan beserta soal (dan penyelesaiannya) yang saya dapat semasa kuliah agar kelak bermanfaat bagi para mahasiswa angkatan berikutnya yang membutuhkan atau umum. Kelak, saya akan memperbesar jejaring blog ini agar semakin ramai dikunjungi sehingga pemanfaatannya lebih optimal.

         Bagi Anda yang membaca profil ini, jangan sungkan untuk memberi kritik dan saran atau request materi/soal matematika pada kolom komentar di bawah. Sesuai dengan ilmu biologi bahwa makhluk hidup peka terhadap rangsangan, saya tentunya akan sangat senang bila Anda meninggalkan balasan yang sifatnya membangun blog ini.

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal dan Pembahasan – Sistem Persamaan Linear Dua Variabel


Soal Nomor 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari
\begin{cases} 3x + 9y = 36 \\ 2x + 8y = 16 \end{cases}
dengan menggunakan metode gabungan dan metode grafik.

Penyelesaian:
Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi + substitusi),
3x + 9y = 36|\times 2
2x + 8y = 16|\times 3
——————— –
-6y = 24 \Leftrightarrow y = -4
Substitusikan y = -4, misalnya ke persamaan kedua.
2x + 8y = 16 \Rightarrow 2x+8(-4) = 2x - 32 = 16
2x = 48 \Leftrightarrow x = 24
Selanjutnya, akan diselesaikan dengan metode grafik. Gambar grafik dari kedua persamaan garis itu di sistem koordinat kartesius seperti berikut.

Titik potong kedua garis itu adalah penyelesaiannya, yaitu (24, -4).
Jadi, \boxed{HP = \{(24, -4)\}}.

Ayo Beri Rating Postingan Ini