Soal dan Pembahasan – Ulangan Tengah Semester (UTS) Mata Kuliah Trigonometri Prodi Pendidikan Matematika FKIP Untan

Berikut ini adalah soal ujian tengah semester beserta pembahasannya mata kuliah Trigonometri (Tahun Ajaran 2017/2018) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 2 oleh Drs. Romal Idjuddin, M.Pd pada tanggal 2 Mei 2018.

Soal Nomor 1
Tentukan nilai dari
a) \sin 225^{\circ}
b) \cos 300^{\circ}

Penyelesaian

Jawaban a) 
\begin{aligned} \sin 225^{\circ} & = \sin (180 + 45)^{\circ} \\ & = -\sin 45^{\circ} \\ & = -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \end{aligned}
Jawaban b) 
\begin{aligned} \cos 300^{\circ} & = \cos (270 + 30)^{\circ} \\ & = \sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan nilai dari
a) \tan 495^{\circ}
b \csc (-570^{\circ})

Penyelesaian

Jawaban a) 
\begin{aligned} \tan 495^{\circ} & = \tan (360 + 135)^{\circ} \\ & =\tan 135^{\circ} \\ & = \tan (90 + 45)^{\circ} \\ & = -\tan 45^{\circ} = -1 \end{aligned}
Jawaban b) 
\begin{aligned} \csc (-570^{\circ}) & = -\csc (210^{\circ}) \\ & = -\dfrac{1}{\sin 210^{\circ}} \\ & = -\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}} = 2 \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 3
Tunjukkan bahwa
\dfrac{\tan^2 x - \sin^2 x} {1 - \sin^2 x} = \tan^4 x

Penyelesaian

Pembuktian dari ruas kiri sebagai berikut. 
\begin{aligned} \dfrac{\tan^2 x - \sin^2 x} {1 - \sin^2 x} & = \dfrac{\tan^2 x - \sin^2 x} {\cos^2 x} \\ & = \dfrac{\tan^2 x} {\cos^2 x} - \tan^2 x \\ & = \dfrac{\tan^2 x - \tan^2 x \times \cos^2 x} {\cos^2 x} \\ & = \dfrac{\tan^2 x(1 - \cos^2 x)} {\cos^2 x} \\ & = \dfrac{\tan^2 x \times \sin^2 x} {\cos^2 x} \\ & = \tan^2 \times \tan^2 x \\ & = \tan^4 x \end{aligned}
(Terbukti) \blacksquare

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui \sin \theta = \dfrac{2}{\sqrt{5}}, 0 < \theta < \dfrac{\pi} {2}
Tentukan:
a) \sin 2\theta
b) \cos 2\theta
c) \tan 2\theta

Penyelesaian

Karena \theta berada dalam kuadran pertama, maka nilai perbandingan trigonometrinya adalah positif untuk setiap sudut \theta yang dimaksud. Perhatikan gambar berikut yang datanya diambil dari perbandingan trigonometri 
\sin \theta = \dfrac{2}{\sqrt{5}}

Ingat bahwa sinus adalah perbandingan panjang sisi depan sudut dan panjang hipotenusa dalam segitiga siku-siku. Dengan Teorema Pythagoras, didapat 
AB = \sqrt{5 - 4} = 1
Oleh karenanya, kita peroleh
\cos \theta = \dfrac{1}{\sqrt{5}}
Jawaban a) 
\begin{aligned} \sin 2\theta & = 2 \sin \theta \cos \theta \\ & = 2\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right) \\ & = \dfrac{4}{5} \end{aligned}
Jawaban b) 
\begin{aligned} \cos 2\theta & = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\ & = \left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 - \left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 \\ & = -\dfrac{3}{5} \end{aligned}
Jawaban c) 
\begin{aligned} \tan 2\theta & = \dfrac{\sin 2\theta} {\cos 2\theta} \\ & = \dfrac{\dfrac{4}{5}} {-\dfrac{3}{5}} \\ & = -\dfrac{4}{3} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 5
Tunjukkan bahwa
\dfrac{1-\sin x}{\cos x} = \dfrac{1}{\sec x + \tan x}

Penyelesaian

Pembuktian dari ruas kiri sebagai berikut. 
\begin{aligned} \dfrac{1-\sin x} {\cos x} & = \dfrac{1}{\cos x} - \dfrac{\sin x} {\cos x} \\ & = \sec x - \tan x \\ & = \sec x - \tan x \times \dfrac{\sec x + \tan x} {\sec x + \tan x} \\ & = \dfrac{\sec^2 x - \tan^2 x}{\sec x + \tan x} \end{aligned}
Dengan menggunakan teorema trigonometri
\boxed{\sec^2 x = 1 + \tan^2 x}
didapat
\dfrac{\sec^2 x - \tan^2 x} {\sec x + \tan x} = \dfrac{1}{\sec x + \tan x}
(Terbukti) \blacksquare

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal dan Pembahasan – Ulangan Tengah Semester (UTS) Statistika Matematika – Prodi Pendidikan Matematika FKIP Untan

Berikut ini adalah soal ujian tengah semester beserta pembahasannya mata kuliah Statistika Matematika (Tahun Ajaran 2017/2018) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 6 oleh Dr. Ahmad Yani T., M. Pd pada tanggal 23 April 2018.

Soal Nomor 1
Jika X dan Y peubah acak dengan variansi \sigma_x^2 = \sigma_y^2 = 3 dan kovariansi \sigma_{xy} = 3, tentukan variansi peubah acak Z = 2X - 3Y + 7

Penyelesaian

\begin{aligned} \sigma_Z^2 = \sigma_{2X-3Y+7} & = \sigma_{2X-3Y} \\ & = 4\sigma_x^2 - 12\sigma_{xy} + 9\sigma_y^2 \\ & = 4(3) - 12(3) + 9(3) = 3 \end{aligned}
Jadi, variansi peubah acak Z = 2X - 3Y + 7 adalah 3.

[collapse]

Soal Nomor 2
Misalkan kita mengundi sebuah dadu yang seimbang sebanyak 8 kali. Tentukan peluang bahwa munculnya mata dadu 5 paling sedikit 6 kali.

Penyelesaian

Gunakan distribusi binomial. 
Misalkan x menyatakan banyak mata dadu yang muncul, dan dalam kasus ini, n = 8 dan p = \dfrac{1}{6}, di mana n menyatakan banyaknya percobaan dan p menyatakan peluang munculnya mata dadu 5 saat satu kali pelemparan dadu. Fungsi peluang dari X selanjutnya dinyatakan sebagai
\begin{aligned} & P(X = x) = \displaystyle \binom{n} {x} p^x(1-p) ^{n-x} \\ & P(X \geq 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) \\ & = P(X \geq 6) = \binom{8}{6}\left(\dfrac{1}{6}\right) ^6 \left(\dfrac{5}{6}\right)^2 + \binom{8}{7}\left(\dfrac{1}{6}\right) ^7 \left(\dfrac{5}{6}\right) \\ & + \binom{8}{8}\left(\dfrac{1}{6}\right) ^8 \left(\dfrac{5}{6}\right)^0 \\ & = \dfrac{700 + 40 + 1}{6^8} = 0,00044 \end{aligned}
Jadi, peluang munculnya mata dadu 5 paling sedikit 6 kali adalah 0,00044.

[collapse]

Soal Nomor 3
Jika X mempunyai fungsi peluang
f(x) = \begin{cases} 2(1-x), &~\text{jika}~0 < x < 1 \\ 0, &~\text{untuk x yang lain} \end{cases}
Tentukan nilai E(6x + x^2).

Penyelesaian

Dengan menggunakan definisi ekspektasi, 
\begin{aligned} \displaystylr E(6x + x^2) & = \int_0^1 (6x+x^2)(2(1-x))~dx \\ & = \int_0^1 (12x - 10x^2 - 2x^3)~dx \\ & = \left[6x^2 - \dfrac{10}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^4\right]_0^1 \\ & = 6 -\dfrac{10}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{13}{6} \end{aligned}
Jadi, nilai dari E(6x + x^2) adalah \dfrac{13}{6}

[collapse]

Soal Nomor 4
Dalam suatu kelas terdapat 20 orang siswa, 5 siswa di antaranya berbaju putih, 10 siswa berbaju coklat, dan 5 siswa lainnya berbaju merah. Dipilih secara acak 3 siswa satu per satu. Peluang kejadian dua siswa terpilih berbaju coklat dan satu siswa berbaju putih adalah \cdots

Penyelesaian

Ada 3 kemungkinan yang dapat terjadi, yaitu (C, C, P), (C, P, C), (P, C, C), di mana P menyatakan terpilihnya siswa berbaju putih dan C menyatakan terpilihnya siswa berbaju coklat. Karena pemilihannya satu per satu, maka peluang kejadian dua siswa terpilih berbaju coklat dan satu siswa berbaju putih (kejadiannya dinotasikan X) adalah
\begin{aligned} P(X) & = \dfrac{10}{20} \times \dfrac{9}{19} \times \dfrac{5}{18} + \dfrac{10}{20} \times \dfrac{5}{19} \times \dfrac{9}{18} + \dfrac{5}{20} \times \dfrac{10}{19} \times \dfrac{9}{18}  \\ & = 3 \times \dfrac{10}{20} \times \dfrac{9}{19} \times \dfrac{5}{18} = \dfrac{15}{76} \end{aligned}
Catatan: Selain cara di atas, kita juga dapat menggunakan Aturan Kombinasi,

\dfrac{C_3^{10} \times C_1^5}{C_3^{20}}
Setelah diproses perhitungannya, jawaban akhirnya juga sama, yaitu \dfrac{15}{76}

[collapse]

Soal Nomor 5
Misalkan X dan Y memiliki fungsi peluang bersama
f(x, y) = c(y^2-x^2)e^{-y}, -y \leq x \leq y, 0 < y < \infty
Tentukan nilai c.

Penyelesaian

Karena X dan Y fungsi peluang bersama, maka haruslah persamaan berikut terpenuhi. 
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y)~dx~dy = 1
Untuk itu,
\begin{aligned} 1 & = \displaystyle \int_{0}^{\infty} \int_{-y}^{y} c(y^2-x^2)e^{-y}~dx~dy \\ & = \int_0^{\infty} \left[c\left(y^2x - \dfrac{x^3}{3}\right e^{-y}\right]_{-y}^y~dy \\ & = \dfrac{4}{3}c \int_0^{\infty} e^{-y}y^3~dy \bigstar \\ & = \dfrac{4}{3}c(3!) \\ & = 8c \end{aligned}
Dengan demikian, diperoleh 
1 = 8c \Rightarrow c = \dfrac{1}{8}
Jadi, nilai c yang memenuhi adalah \dfrac{1}{8}
Catatan: \bigstar Gunakan teorema
\boxed{\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-y}y^n~dy = n!}

[collapse]

Soal Nomor 6
Berdasarkan teori genetika, perbandingan seekor hamster betina akan melahirkan anak dengan warna bulu merah, hitam, dan putih adalah 8 : 4 : 4. Peluang akan lahirnya anak hamster dengan warna merah sebanyak 5 ekor, hitam 2 ekor, dan putih 1 ekor dari kelahiran 8 ekor adalah

Penyelesaian

Diketahui perbandingan seekor hamster betina melahirkan anaknya dengan warna bulu merah, hitam, putih adalah
8 : 4 : 4 = 2 : 1 : 1
Dengan menggunakan distribusi multinomial, didapat
\begin{aligned} f\left(5;2;1;\dfrac{2}{4}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{4}\right) & = \binom{8}{5~2~1}\left(\dfrac{2}{4}\right)^5 \times \left(\dfrac{1}{4}\right) ^2 \times \left(\dfrac{1}{4}\right) \\ & = \dfrac{8!} {5!~2!~1!} \times \dfrac{1}{32 \times 16 \times 4} = \dfrac{3}{7} = 0,656 \end{aligned}
Jadi, peluang lahirnya anak hamster dengan bulu berwarna merah, hitam, dan putih berturut-turut sebanyak 5, 2, dan 1 ekor adalah 0,656.

[collapse]

Bagian Esai
Soal Nomor 1
Buktikan teorema berikut. 
Jika X berdistribusi eksponen, dengan
f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{\lambda}e^{-\frac{x} {\lambda}}, &~\text{jika}~0 \leq x < \infty \\ 0, &~\text{untuk x yang lain} \end{cases}
maka E(X) = \lambda dan Var(X) = \lambda^2

Penyelesaian

Akan dibuktikan bahwa E(X) = \lambda. Dengan menggunakan definisi ekspektasi, 
E(X) = \displaystyle \int_0^{\infty} x \times \dfrac{1}{\lambda}e^{-\frac{x} {\lambda}}~dx
Sekarang, misalkan y = \dfrac{x} {\lambda}, sehingga dy = \dfrac{1}{\lambda}~dx, berarti 
\begin{aligned} E(X) & = \displaystyle \int_0^{\infty} ye^{-y}(\lambda)~dy \\ & = \lambda \int_0^{\infty} ye^{-y}~dy \end{aligned}
Dengan menggunakan teorema, 
\boxed{n! = \displaystyle \int_0^{\infty} y^n~e^{-y}~dy}
diperoleh
E(X) = \lambda(1!) = \lambda
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa Var(X) = \lambda^2
Ingat bahwa, Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2. Untuk itu, harus dicari dulu E(X^2) sebagai berikut. 
\begin{aligned} E(X^2) & = \displaystyle \int_0^{\infty} x^2 \times \dfrac{1}{\lambda}e^{-\frac{x} {\lambda}}~dx \\ & = \int_0^{\infty} \lambda~\dfrac{x} {\lambda}~\dfrac{x} {\lambda}~e^{-\frac{x} {\lambda}}~dx \\ & \text{Substitusi}~y = \dfrac{x} {\lambda}~\text{dan}~dy = \dfrac{1}{\lambda}~dx \\ & = \int_0^{\infty} \lambda~y~y~e^{-y}~\lambda~dy \\ & = \lambda^2 \int_0^{\infty} y^2e^{-y}~dy \\ & = \lambda^2(2!) = 2\lambda^2 \end{aligned}
Dengan demikian, 
Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 2\lambda^2 - \lambda^2 = \lambda^2
(Terbukti)

[collapse]

Soal Nomor 2
Sebuah koin seimbang (dengan sisi muka dan belakang) dilantunkan sebanyak 7 kali. Berapa peluang mendapatkan
a) tepat 3 belakang. 
b) sekurang-kurangnya 5 belakang.
c) paling banyak 3 belakang. 

d) antara 3 sampai 5 belakang. 
e) 3 muka dan 4 belakang.

Penyelesaian

Diketahui banyak pelantunan koin n = 7, peluang mendapatkan belakang koin adalah p = \dfrac{1}{2}, begitu juga peluang tidak mendapatkan belakang koin q = 1 - p = \dfrac{1}{2}. Misalkan x menyatakan banyaknya muncul belakang koin, sehingga x dapat bernilai 0,1,2,\cdots, 7
Dengan distribusi binomial, diperoleh
P(X = x) = \displaystyle \binom{7}{x} \left(\dfrac{1}{2}\right) ^x\left(\dfrac{1}{2}\right)^{7 - x} 
Jawaban a) 
\begin{aligned} P(X = 3) & = \displaystyle \binom{7}{3} \left(\dfrac{1}{2}\right) ^3\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 \\ & = \dfrac{7!} {4!3!} \times \dfrac{1}{2^7} = \dfrac{35}{128} \end{aligned}
Jadi, peluang munculnya belakang koin tepat 3 kali adalah \dfrac{35}{128}
Jawaban b) 
\begin{aligned} & P(X \geq 5) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) \\ & = \displaystyle \binom{7}{5} \left(\dfrac{1}{2}\right) ^5\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 +\displaystyle \binom{7}{6} \left(\dfrac{1}{2}\right)^6\left(\dfrac{1}{2}\right) +\displaystyle \binom{7}{7} \left(\dfrac{1}{2}\right)^7\left(\dfrac{1}{2}\right)^0 \\ & = \dfrac{7!} {4!3!} \times \dfrac{1}{2^7} \\ & = \dfrac{7!} {5!2!} \times \dfrac{1}{128} + \dfrac{7!} {6!1!} \times \dfrac{1}{128} + \dfrac{7!} {7!0!} \times \dfrac{1}{128} \\ & = \dfrac{21 + 7 + 1}{128} = \dfrac{29}{128} \end{aligned}
Jadi, peluang munculnya belakang koin sekurang-kurangnya 5 kali adalah \dfrac{29}{128}
Jawaban c) 
\begin{aligned} & P(X \leq 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) \\ & = \displaystyle \binom{7}{1} \left(\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}\right)^6 + \displaystyle \binom{7}{2} \left(\dfrac{1}{2}\right)^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^5 + \displaystyle \binom{7}{3} \left(\dfrac{1}{2}\right)^3\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 \\ & = \dfrac{7!} {6!1!} \times \dfrac{1}{128} + \dfrac{7!} {5!2!} \times \dfrac{1}{128} + \dfrac{7!} {4!3!} \times \dfrac{1}{128} \\ & = \dfrac{7 + 21 + 35}{128} = \dfrac{63}{128} \end{aligned}
Jadi, peluang munculnya belakang koin paling banyak 3 kali adalah \dfrac{63}{128}
Jawaban d) 
\begin{aligned} & P(3 \leq X \leq 5) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) \\ & = \displaystyle \binom{7}{3} \left(\dfrac{1}{2}\right)^3\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 + \displaystyle \binom{7}{4} \left(\dfrac{1}{2}\right)^4\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 + \displaystyle \binom{7}{5} \left(\dfrac{1}{2}\right)^5\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \\ & = \dfrac{7!} {4!3!} \times \dfrac{1}{128} + \dfrac{7!} {3!4!} \times \dfrac{1}{128} + \dfrac{7!} {5!2!} \times \dfrac{1}{128} \\ & = \dfrac{35 + 35 + 21}{128} = \dfrac{91}{128} \end{aligned}
Jadi, peluang munculnya belakang koin paling banyak 3 kali adalah \dfrac{91}{128}
Jawaban e) 
Peluang munculnya 3 muka koin dan 4 belakang koin sama halnya dengan peluang munculnya tepat 3 belakang koin (karena 4 sisanya pastilah muka koin). Jadi, peluang munculnya 3 muka koin dan 4 belakang koin adalah \dfrac{35}{128}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal dan Pembahasan – Ulangan Tengah Semester (UTS) Kalkulus Diferensial (FKIP Untan) Tahun 2016/2017

Berikut ini adalah soal ujian tengah semester (soal B) beserta pembahasannya mata kuliah Kalkulus Diferensial (Tahun Ajaran 2016/2017) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 2 oleh Drs. Edy Yusmin, M. Pd pada tanggal 19 April 2017.

Soal Nomor 1
Tentukan HP dari pertidaksamaan berikut. 
a) \dfrac{x+1}{2-x} < \dfrac{x} {3+x}
b) 2|x| - |x - 3| \geq 3

Penyelesaian

Jawaban a) 
\begin{aligned} & \dfrac{x+1}{2-x} < \dfrac{x} {3+x} \\ & \dfrac{x+1}{2-x} - \dfrac{x}{3+x} < 0 \\ & \dfrac{(x+1)(3+x) - x(2-x)} {(2-x) (3+x)} < 0 \\ & \dfrac{2x^2 + 2x + 3}{(2-x)(3+x)} < 0 \end{aligned}
Pembilang pada pertidaksamaan terakhir definit positif, sehingga agar bernilai negatif, haruslah
(2-x) (3+x) < 0
dengan pembuat nol x = 2 atau x = -3. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 
HP = \{x | -3 < x < 2\} 
Jawaban b) 
Gunakan definisi harga mutlak
|x| = \begin{cases} x, &~\text{jika}~x \geq 0 \\ -x, &~\text{jika}~x < 0 \end{cases}
dan
|x - 3| = \begin{cases} x - 3, &~\text{jika}~x \geq 3 \\ -x + 3, &~\text{jika}~x < 3 \end{cases}
Untuk x < 0, pertidaksamaan yang diberikan menjadi
\begin{aligned}& 2(-x) -(-x + 3) \geq 3 \\ & -x - 3 \geq 3 \\ & x \leq -6 \end{aligned}
Diperoleh HP_1 = \{x | x < 0 \land x \leq -6\} = \{x| x \leq -6\}
Untuk 0 \leq x < 3, pertidaksamaan menjadi
\begin{aligned} & 2x - (-x + 3) \geq 3 \\ & 3x \geq 6 \\ & x \geq 2 \end{aligned}
Diperoleh HP_2 = \{x | 0 \leq x < 3 \land x \geq 2\} = \{x | 2 \leq x < 3\}
Untuk x \geq 3, pertidaksamaan menjadi
\begin{aligned} 2x - (x - 3) \geq 3 \\ x \geq 0 \end{aligned}
Diperoleh HP_3 = \{x | x \geq 3 \land x \geq 0\} = \{x | x \geq 3\}
Hasil gabungan dari tiga himpunan penyelesaian tersebut adalah HP dari pertidaksamaan yang dimaksud, yaitu
HP = \{x | x \leq 6 \lor x \geq 2, x \in \mathbb{R}\}

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan daerah asal (domain) dan daerah nilai dari fungsi f(x) = \sqrt{\dfrac{x-4}{3x-6}}

Penyelesaian

Syarat radikan tidak boleh negatif, jadi haruslah
\dfrac{x - 4}{3x - 6} \geq 0
Pembuat nol masing-masing bagian adalah x = 4 dan x = 2. Ambil titik uji, misalkan x = 0, lalu substitusikan ke pertidaksamaan itu, sehingga didapat \dfrac{-4}{-6} = \dfrac{2}{3} (positif), sehingga dari formasi garis bilangan yang dibuat, diperoleh penyelesaiannya adalah 
\{x~|~x \leq 2 \lor x \geq 4\}
Selain itu, penyebut juga tidak boleh bernilai nol, ditulis
\begin{aligned} & 3x - 6 \neq 0 \\ & x \neq 2\end{aligned}
Jadi, daerah asal (domain) fungsi f adalah \{x~|~ x < 2 \lor x \geq 4\}
Selanjutnya, daerah hasil (range) suatu bentuk akar kuadrat termasuk dalam kasus ini adalah \{y ~| ~y \geq 0\} (akar kuadrat dari suatu bilangan tidak mungkin menghasilkan bilangan negatif)

[collapse]

Soal Nomor 3
Diberikan fungsi f(x) = 2 + x^2 dan g(x) = \sqrt{2-x^2}
a) Tunjukkan apakah fungsi f \circ g terdefinisi. 
b) Tentukan persamaan fungsi komposisi f \circ g jika ada. 
c) Tentukan daerah definisi dan daerah nilai dari fungsi komposisi f \circ g

Penyelesaian

Jawaban a) 
Fungsi komposisi tersebut akan terdefinisi jika hasil irisan antara domain fungsi f dan range fungsi g bukan himpunan kosong. 
Perhatikan bahwa daerah asal (domain) fungsi f adalah \mathbb{R}, sedangkan daerah hasil (range) fungsi g terbatas dengan syarat 2 - x^2 \geq 0 atau diselesaikan sebagai berikut. 
\begin{aligned} & x^2 \leq 2 \\ & -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \end{aligned} 
Jelaslah bahwa irisan keduanya tidak kosong, sehingga fungsi komposisi f \circ g terdefinisi. 
Jawaban b) 
\begin{aligned}(f \circ g)(x) & = f(g(x)) = f(\sqrt{2-x^2}) \\ & = 2 + \left(\sqrt{2-x^2}\right)^2 \\ & = 2 + (2 - x^2) = 4 - x^2 \end{aligned}
Jawaban c) 
Daerah definisi (daerah asal/domain) fungsi f \circ g adalah \mathbb{R} (berapun nilai x yang dimasukkan, tidak membuat fungsi menjadi tak terdefinisi), sedangkan daerah hasilnya adalah \{</span><span style="font-family: verdana, geneva, sans-serif; font-size: 10pt;"> y~|~ y \leq 4, y \in \mathbb{R}\}, karena jika kita perhatikan bentuk 4 - x^2, kita dapat mengetahui bahwa nilai maksimum fungsinya adalah 4, dan jika x menjauh dari 0, maka nilai fungsinya justru semakin kecil.

[collapse]

Soal Nomor 4
Anda bermaksud membuat kolam ikan yang akan dipagari dengan kawat pagar siap jadi. Kolam tersebut dibagi menjadi dua bidang kolam berbentuk persegi panjang berdampingan yang identik, dengan luas masing-masing kolam adalah 300~m^2. Jika panjang masing-masing kolam dinyatakan dalam x dan lebarnya dinyatakan dalam y, nyatakan keliling pagar sebagai fungsi dari x.

Penyelesaian

Buatlah sketsa gambar seperti berikut. 

Dengan menggunakan konsep luas persegi panjang, diperoleh
xy = 300 \Rightarrow y = \dfrac{300}{x}
Selanjutnya, keliling pagar dinyatakan sebagai fungsi dari x adalah
\begin{aligned} f(x) & = x + x + x + x + y + y + y \\ & = 4x + 3y = 4x + 3\left(\dfrac{300}{x}\right) = \left(4x + \dfrac{900}{x}\right)~m \end{aligned}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal dan Pembahasan – Ulangan Tengah Semester Kalkulus Diferensial (FKIP Untan) Tahun 2017/2018

Berikut ini adalah soal ujian tengah semester beserta pembahasannya mata kuliah Kalkulus Diferensial (Tahun Ajaran 2017/2018) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 2 oleh Drs. Dian Ahmad B.S, M. Si pada tanggal 23 April 2018.

Soal Nomor 1
Carilah titik-titik potong fungsi f(x) = 21x^2 + 22x - 8 dengan sumbu X dan sumbu Y.

Penyelesaian

Titik potong fungsi pada sumbu X terjadi saat f(x) = y = 0, yaitu
0 = 21x^2 + 22x - 8 = (3x + 4)(7x - 2)
Dengan demikian, titik potongnya adalah \left(-\dfrac{4}{3}, 0\right) dan \left(\dfrac{2}{7}, 0\right)
Titik potong fungsi pada sumbu Y terjadi saat x = 0, yaitu
f(x) = y = 21(0)^2 + 22(0) - 8 = -8
Jadi, titik potongnya adalah (0,-8)

[collapse]

Soal Nomor 2
Selesaikanlah dengan dua cara (aljabar dan garis bilangan)
i) \dfrac{2}{3x} < 4
ii) \dfrac{-3}{2x} < \dfrac{1}{4}

Penyelesaian

Jawaban i)
Cara aljabar
\begin{aligned} & \dfrac{2}{3x} < 4 \\ & \dfrac{2}{3x} - 4 < 0 \\ & \dfrac{2-12x} {3x} < 0 \end{aligned}
Dua kemungkinan agar pertidaksamaan di atas bernilai benar adalah 1) 2 - 12x > 0 dan 3x < 0 atau 2) 2- 12x < 0 dan 3x > 0
Kemungkinan 1) menghasilkan x < \dfrac{1}{6} dan x < 0. Hasil irisannya adalah x < 0. Kemungkinan 2) menghasilkan x > \dfrac{1}{6} dan x > 0. Hasil irisannya adalah x > \dfrac{1}{6}
Gabungan dari kedua himpunan penyelesaian masing-masing kemungkinan tersebut adalah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan yang diberikan sebelumnya, yaitu \{x| x < 0 \lor x > \dfrac{1}{6}, x \in \mathbb{R}\}
Cara garis bilangan
Perhatikan bahwa \dfrac{2}{3x} < 4 ekuivalen dengan \dfrac{2-12x} {3x} < 0. Pembuat nol pada pembilang adalah x = \dfrac{1}{6}, sedangkan pada penyebut adalah x = 0.
Ujilah dengan titik-titik lain, misal diambil x = 1, diperoleh \dfrac{-10}{3} (bernilai negatif), sehingga dapat dibuat garis bilangan yang telah dilengkapi tanda kepositivan dan daerah penyelesaiannya sebagai berikut.

Jawaban ii)
Cara aljabar
\begin{aligned} & \dfrac{-3}{2x} < \dfrac{1}{4} \\ & \dfrac{-6 - x}{4x} < 0 \end{aligned}
Dua kemungkinan agar pertidaksamaan di atas bernilai benar adalah 1) -6 - x > 0 dan 4x < 0 atau 2) -6 - x < 0 dan 4x > 0
Kemungkinan 1) menghasilkan x < -6 dan x < 0. Hasil irisannya adalah x < -6. Kemungkinan 2) menghasilkan x > -6 dan x > 0. Hasil irisannya adalah x > 0. Gabungan dari kedua himpunan penyelesaian masing-masing kemungkinan tersebut adalah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan yang diberikan sebelumnya, yaitu \{x| x < -6 \lor x > 0, x \in \mathbb{R}\}
Cara garis bilangan
Perhatikan bahwa \dfrac{-3}{2x} < \dfrac{1}{4} ekuivalen dengan \dfrac{-6 - x} {4x} < 0
Pembuat nol pada pembilang adalah x = -6, sedangkan pada penyebut adalah x = 0
Ujilah dengan titik-titik lain, misal diambil x = 1, diperoleh \dfrac{-7}{4} (bernilai negatif), sehingga dapat dibuat garis bilangan yang telah dilengkapi tanda kepositivan dan daerah penyelesaiannya sebagai berikut.

[collapse]

Soal Nomor 3
Gambarkan grafik fungsi f dengan f(x) = \begin{cases} 5 - x, &~ \text{jika}~x \geq 3 \\ (x - 2)^2, &~\text{jika}~1 < x < 3 \\ \dfrac{1}{3}(x+2), &~\text{jika}~x \leq 1 \end{cases}

Tentukanlah nilai-nilai di bawah ini:
i) f\left(\dfrac{1}{2}\right)
ii) f(1)
iii) f(3)
iv) \displaystyle \lim_{x \to 1^{-}} f(x)
v) \displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} f(x)
vi) \displaystyle \lim_{x \to 3^{-}} f(x)
vii) \displaystyle \lim_{x \to 3^{+}} f(x)

Penyelesaian


Jawaban i) Karena x = \dfrac{1}{2} \leq 1, maka f(x) = \dfrac{1}{3}(x+2), sehingga f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2} + 2\right) = \dfrac{5}{6}
Jawaban ii) Karena x = 1 \leq 1, maka f(x) = \dfrac{1}{3}(x+2), sehingga f(1) = \dfrac{1}{3}(1+2) = 1
Jawaban iii) Karena x = 3 \geq 3, maka f(x) = 5 - x, sehingga f(3) = 5 - 3 = 2
Jawaban iv) \displaystyle \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1} \dfrac{1}{3}(x+2) = 1
Jawaban v) \displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1} (x-2)^2 = 1
Jawaban vi) \displaystyle \lim_{x \to 3^{-}} f(x) = \lim_{x \to 3} = (x - 2)^2 = 1
Jawaban vii) \displaystyle \lim_{x \to 3^{+}} f(x) = \lim_{x \to 3} 5 - x = 2
Catatan: Pada gambar, terlihat jelas bahwa grafik fungsi tidak kontinu di x = 3

[collapse]

Soal Nomor 4
Hitunglah \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{8-x^3}{x-2}

Penyelesaian

Substitusi x = 2 pada fungsinya menghasilkan bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}. Tetapi, dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh \begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{8-x^3}{x-2} & = \lim_{x \to 2} \dfrac{-(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2} \\ & = \lim_{x \to 2} -(x^2 + 2x + 4) \\ & = -(2^2 + 2(2) + 4) = -12 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{8-x^3}{x-2} adalah -12.

[collapse]

Soal Nomor 5
Hitunglah \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{2 - \dfrac{6}{x}}{x^2 - 9}

Penyelesaian

Substitusi x = 3 pada fungsinya menghasilkan bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}. Tetapi, dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh \begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{2 - \dfrac{6}{x}}{x^2 - 9} & = \lim_{x \to 3} \dfrac{2\left(1 - \dfrac{3}{x}\right)}{x\left(1 - \dfrac{3}{x}\right)\left(x+3\right)} & = \lim_{x \to 3} \dfrac{2}{x(x+3)} \\ & = \dfrac{2}{3(3+3)} = \dfrac{1}{9} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 6
Hitunglah \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 6x}{\sin 7x}

Penyelesaian

Substitusi x = 0 pada fungsinya menghasilkan bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}. Dengan menggunakan teorema:
\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax} {\sin bx} = \dfrac{a} {b}
diperoleh bahwa
\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 6x}{\sin 7x} = \dfrac{6}{7}
Alternatif lain untuk menyelesaikan soal ini (termasuk soal nomor 4 dan 5) adalah dengan menggunakan Dalil L’Hospital/turunan (dengan syarat substitusi titik limit menghasilkan bentuk tak tentu). Jadi, \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 6x}{\sin 7x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{6 \cos 6x} {7 \cos 7x} = \dfrac{6}{7}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal Ulangan Tengah Semester Program Linear Prodi Matematika FKIP Untan


Berikut ini adalah soal ujian tengah semester (paket B) mata kuliah Program Linear (Tahun Ajaran 2017/2018) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 6 oleh Dra. Halini, M. Pd pada tanggal 16 April 2018.

Soal Nomor 1
Suatu keluarga yang mempunyai usaha katering mendapat pesanan menyediakan makanan untuk suatu acara syukuran keluarga. Ada 3 macam makanan berbahan ikan yang harus disiapkan, yaitu bakso ikan, siomai, dan empek-empek. Untuk membuat satu porsi bakso ikan, diperlukan ikan sebanyak 150 gram, sedangkan satu porsi siomai dan empek-empek berturut-turut dibutuhkan 150 gram dan 250 gram. Sedangkan bahan campuran tepung untuk membuat satu porsi bakso ikan, siomai, dan empek-empek berturut-turut adalah 50 gram, 75 gram, dan 80 gram. Bahan campuran lainnya sudah cukup tersedia. Untuk memesan 3 macam makanan ini keluarga pemesan tersebut memiliki anggaran dana Rp3.000.000,00. Karena musim badai, ikan yang tersedia di pasar hanya 22 kg dan bahan campuran tepung ada 1 karung berisi 0,5 kuintal. Makanan favorit keluarga pemesan adalah siomai. Mengenai harga, satu porsi bakso, siomai, dan empek-empek dijual seharga Rp18.500,00; Rp19.000,00; dan Rp17.500,00.
Rumuskan model matematika dari permasalahan di atas. Apakah model masalah yang Anda rumuskan merupakan masalah program linear? Jelaskan.

Soal Nomor 2
Tuliskan dengan lengkap langkah-langkah menyelesaikan masalah program linear dengan metode grafik dan jelaskan kapan masalah program linear unbounded terjadi.

Soal Nomor 3
Diberikan masalah PL yang dirumuskan sebagai berikut.
Memaksimumkan Z = 10x_1 + x_2 + 2x_3 dan memenuhi batasan:
\begin{cases} x_1 + x_2 - 2x_3 \leq 10 \\ 4x_1 + x_2 + x_3 \leq 20 \\ x_1, x_2, x_3 \geq 0 \end{cases}
Tentukan penyelesaian masalah di atas.

Soal Nomor 4
Buktikan masalah berikut merupakan masalah PL unbounded.
Mencari p, q nonnegatif yang memaksimumkan g = 30p + 90q + 100 dan memenuhi batasan:
\begin{cases} 2p + q \geq 12 \\ 2p - q \geq 4 \\ 2p - 4q \geq 5 \\ -p + 8q \leq 80 \end{cases}

Ayo Beri Rating Postingan Ini