Soal dan Pembahasan – Vektor (Tingkat SMA/Sederajat)

       Vektor merupakan salah satu materi matematika peminatan (mathematics- extended/further) yang dipelajari oleh siswa kelas X jurusan MIPA Tingkat SMA. Secara singkat, vektor merupakan besaran yang memiliki nilai sekaligus arah. Kadang vektor juga disebut sebagai garis berarah (garis yang memiliki panah), di mana panjang garis mewakili nilai vektor, sedangkan panah mewakili arah vektor. Untuk memperkuat pemahaman konsep tentang vektor, berikut disajikan sejumlah soal dan pembahasannya. Semoga bermanfaat dan dapat dijadikan sumber pembelajaran.

Soal Nomor 1
Diketahui $ABC.DEF$ adalah segienam beraturan dengan pusat $O$. Jika vektor $\vec{AB} = \vec u$ dan $\vec{AF} = \vec v$, tentukan vektor-vektor di bawah ini dalam $\vec u$ dan $\vec v$.

a. $\vec{OA}$
b. $\vec{AE}$
c. $\vec{AD}$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $\vec{AB} = \vec u$ dan $\vec{AF} = \vec v$. Dengan demikian,
$\vec{OF} = \vec{AB} = \vec u$
Untuk itu,
$\begin{aligned} \vec{OA} & = \vec{AF} + \vec{FO} \\ & = \vec{AF}-\vec{OF} \\ & = \vec v-\vec u \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $\boxed{\vec{OA} = \vec v-\vec u}$
Jawaban b)
Diketahui $\vec{AF} = \vec v$. Dari jawaban a di atas, diketahui juga bahwa $\vec{OA} = \vec{EF} = \vec v-\vec u$.
Untuk itu,
$\begin{aligned} \vec{AE} & = \vec{AF} + \vec{FE} \\ & = \vec{AF}-\vec{EF} \\ & = \vec v-(\vec v-\vec u) = \vec u \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $\boxed{\vec{AE} = \vec u}$
Jawaban c)
Dari jawaban a di atas, diketahui bahwa $\vec{OA} = \vec v- \vec u$, sehingga
$\vec{AO} = \vec u-\vec v$.
Karena $\vec{AO} = \vec{OD}$ (memiliki arah dan nilai yang sama), maka
$\begin{aligned} \vec{AD} & = \vec{AO} + \vec{OD} \\ & = \vec{AO} + \vec{AO} \\ & = 2\vec{AO} = 2(\vec u-\vec v) \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $\boxed{\vec{AD} = 2(\vec u-\vec v)}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Pada persegi panjang $OPQR$, diketahui $M$ titik tengah $QR$ dan $N$ titik tengah $PR$. Jika $\vec u = \vec{OP}$ dan $\vec v = \vec{OQ}$, maka $\vec{MN} = \cdots \cdot$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Diketahui:
$\begin{aligned} \vec{OP} & = \vec u \\ \vec{OQ} & = \vec v \end{aligned}$
Perhatikan vektor $QP$. Jumlah dari vektor $QO$ dan $OP$ sama dengan $\vec{QP}$, sehingga
$\begin{aligned} \vec{QP} & = \vec{QO} + \vec{OP} \\ & =-\vec{OQ} + \vec{OP} \\ & =-\vec v + \vec u \end{aligned}$
Karena panjang $\vec{MN}$ setengah dari panjang $\vec{QP}$, maka
$\boxed{\vec{MN} = \dfrac12(-\vec v + \vec u)}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui vektor $\vec a = \widehat{i}+2\widehat{j}-3\widehat{k}$, $\vec b = 3\widehat{i}+5\widehat{k}$, $\vec c=-2\widehat{i}-4\widehat{j}+\widehat{k}$, dan $\vec u= 2 \vec a + \vec b- \vec c$. Vektor $\vec u$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5\widehat{i}+6\widehat{j}+\widehat{k}$
B. $3\widehat{i}-2\widehat{j}-2\widehat{k}$
C. $2\widehat{i}-2\widehat{j}$
D. $7\widehat{i}+8\widehat{j}-2\widehat{k}$
E. $7\widehat{i}-8\widehat{j}-2\widehat{k}$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} \vec a & = (1,2,-3) \\ \vec b & = (3,0,5) \\ \vec c & = (-2,-4,1) \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \vec u & = 2 \vec a + \vec b-\vec c \\ & = 2(1,2,-3)+(3,0,5)-(-2,-4,1) \\ & = (2,4,-6)+(3,0,5)+(2,4,-1) \\ & = (2+3+2,4+0+4,-6+5-1) \\ & = (7,8,-2) \end{aligned}$
Jadi, vektor $\vec u$ adalah $\boxed{7\widehat{i} + 8\widehat{j}-2\widehat k}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui $A(1,2,3),B(3,3,1)$, dan $C(7,5,-3)$, Jika $A,B$, dan $C$ segaris (kolinear), maka $\vec{AB} : \vec{AC}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1 : 2$                       D. $5 : 7$
B. $2 : 1$                       E. $7 : 5$
C. $2 : 5$

Pembahasan

Karena $A, B, C$ segaris, maka vektor yang dibentuk oleh dua dari tiga titik itu akan saling berkelipatan (memiliki perbandingan). 
Dari koordinat titik yang diberikan, diketahui
$\begin{aligned} \vec{AB} & = B-A = (3,3,1)-(1,2,3) \\ & =(2,1,-2) \\ \vec{BC} & = C-B = (7,5,-3)-(3,3,1) \\ & = (4,2,-4) \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \dfrac{\vec {AB}}{\vec {BC}} & = \dfrac{(2,1,-2)}{(4,2,-4)} \\ & = \dfrac{\cancel{(2,1,-2)}}{2\cancel{(2,1,-2)}} = \dfrac12 \end{aligned}$
Jadi, $\boxed{\vec{AB} : \vec{BC} = 1 : 2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui bahwa $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-3 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ m \end{pmatrix}$, dan $\vec{c}= \begin{pmatrix} 3 \\-4 \\ 5 \end{pmatrix}$. Jika $\vec{a} \perp \vec{b}$, maka hasil dari $\vec a + 2 \vec b-\vec c = \cdots \cdot$
A. $\begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 0 \end{pmatrix}$                  D. $\begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 12 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 6 \end{pmatrix}$                  E. $\begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 14 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 10 \end{pmatrix}$

Pembahasan

Karena $\vec a \perp \vec b$ (saling tegak lurus), maka $\vec a \bullet \vec b = 0$, sehingga ditulis 
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-3 \end{pmatrix} \bullet \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ m \end{pmatrix} & = 0 \\ (1)(4) + (2)(4) + (-3)(m) & = 0 \\ 4+8-3m&=0 \\-3m&=-12 \\ m &=4 \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$$\begin{aligned} \vec a + 2 \vec b- \vec c & = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-3 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ m \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 3 \\-4 \\ 5 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1+8-3 \\ 2+8-(-4) \\-3+8-5 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{\vec a + 2 \vec b-\vec c = \begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 0 \end{pmatrix}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui vektor $\vec a= \widehat{i}+2\widehat{j}-x\widehat{k}$, $\vec b = 3\widehat{i}-2\widehat{j}+\widehat{k}$, dan $\vec c= 2\widehat{i}+\widehat{j}+2\widehat{k}$. Jika $\vec a \perp \vec c$, maka nilai dari $(\vec a + \vec b) \bullet (\vec a-\vec c)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-4$                    C. $0$                        E. $4$
B. $-2$                    D. $2$           

Pembahasan

Diketahui: 
$\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-x \end{pmatrix}~~~~\vec b = \begin{pmatrix} 3 \\-2 \\ 1 \end{pmatrix}~~~~\vec c = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
Karena $\vec a \perp \vec c$ (saling tegak lurus), maka $\vec a \bullet \vec c = 0$, sehingga ditulis 
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-x \end{pmatrix} \bullet \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} & = 0 \\ (1)(2) + (2)(1) + (-x)(2) & = 0 \\ 2+2-2x&=0 \\-2x&=-4 \\ x &=2 \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$$\begin{aligned} & (\vec a + \vec b) \bullet (\vec a- \vec c) \\ & = \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-x \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\-2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] \bullet \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-x \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right] \\ & = \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\-2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] \bullet \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-2 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right] \\ & =\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\-1 \end{pmatrix} \bullet \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\-4 \end{pmatrix} \\ & = (4)(-1)+(0)(1)+(-1)(-4) = 0 \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{(\vec a + \vec b) \bullet (\vec a-\vec c) = 0}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui vektor $\vec u = 3\widehat{i}+2\widehat{j}-\widehat{k}$ dan $\vec v = 3\widehat{i}+9\widehat{j}-12\widehat{k}$. Jika vektor $2 \vec u-a \vec v$ tegak lurus terhadap $\vec v$, maka nilai $a = \cdots \cdot$
A. $-1$                    C. $1$                        E. $3$
B. $-\dfrac13$                  D. $\dfrac13$           

Pembahasan

Diketahui: $\vec u = (3,2,-1)$ dan $\vec v = (3,9,-12)$
Misalkan $\vec x = 2 \vec u- a \vec v$, sehingga
$\begin{aligned} \vec x & = 2(3,2,-1)-a(3,9,-12) \\ & = (6,4,-2)-(3a, 9a,-12a) \\ & = (6-3a, 4-9a,-2+12a) \end{aligned}$
Karena vektor $\vec x = 2 \vec u-a \vec v$ tegak lurus terhadap $\vec v$, maka haruslah memenuhi $\vec x \bullet \vec v = 0$, sehingga ditulis
$$\begin{aligned} (6-3a, 4-9a,-2+12a) \bullet (3,9,-12) & = 0 \\ 3(6-3a) + 9(4-9a) + (-12)(-2+12a) & =0 \\ 18-9a + 36-81a + 24- 144a & = 0 \\ 78- 234a & = 0 \\-234a & =-78 \\ a & = \dfrac13 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{a = \dfrac13}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui vektor $\vec u = (2,-1,3)$ dan $\vec v =(-3,2,6)$. Panjang proyeksi vektor skalar $3 \vec u + 2 \vec v$ pada vektor $\vec v$ adalah $\cdots \cdot$ 
A. $13\dfrac34$                    D. $21\dfrac57$
B. $15\dfrac57$                    E. $22\dfrac34$
C. $18\dfrac27$

Pembahasan

Misalkan $\vec x = 3 \vec u + 2 \vec v$, sehingga
$\begin{aligned} \vec x & = 3(2,-1,3) + 2(-3,2,6) \\ & = (6,-3,9)+(-6,4,12) \\ & = (6+(-6),-3+4, 9+12) \\ & = (0, 1, 21) \end{aligned}$
Panjang proyeksi vektor skalar $\vec x = 3 \vec u + 2 \vec v$ pada vektor $\vec v$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} |\vec x_{\vec v}| & = \dfrac{\vec x \bullet \vec v} {|\vec v|} \\ & = \dfrac{(0,1,21) \bullet (-3,2,6)} {\sqrt{(-3)^2+(2)^2+(6)^2}} \\ & = \dfrac{(0)(-3)+(1)(2)+(21)(6)} {\sqrt{9+4+36}} \\ & = \dfrac{0+2+126}{\sqrt{49}} \\ & = \dfrac{128}{7} = 18\dfrac27 \end{aligned}$
Jadi, panjang proyeksi vektor skalar dari kedua vektor tersebut adalah $\boxed{18\dfrac27}$ 
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui vektor $\vec u = \widehat{i}+2\widehat{j}-\widehat{k}$ dan $\vec v = \widehat{i}+\widehat{j}+m\widehat{k}$. Panjang proyeksi $\vec u$ pada $\vec v$ adalah $\dfrac23\sqrt3$. Bila $m>0$, maka nilai $m+2=\cdots \cdot$
A. $2$                     C. $5$                     E. $15$
B. $3$                     D. $9$         

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} \vec u & = (1, 2,-1) \\ \vec v & = (1, 1, m) \\ |\vec u _{\vec v}| & = \dfrac23\sqrt3 \end{aligned}$
Dengan menggunakan rumus panjang proyeksi vektor, diperoleh
$$\begin{aligned} |\vec u _{\vec v}| & = \dfrac{\vec u \bullet \vec v}{|\vec v|} \\ \dfrac23\sqrt3 & = \dfrac{(1,2,-1) \bullet (1,1,m)}{\sqrt{(1)^2+(1)^2+m^2}} \\ \dfrac23\sqrt3 & = \dfrac{1(1) + 2(1) + (-1)(m)}{\sqrt{2+m^2}} \\ \dfrac23\sqrt3 & = \dfrac{3-m}{\sqrt{2+m^2}} \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ \left(\dfrac23\sqrt3\right)^2 & = \left(\dfrac{3-m}{\sqrt{2+m^2}}\right)^2 \\ \dfrac{4}{\cancelto{3}{9}} \cdot \cancel{3} & = \dfrac{9-6m+m^2}{2+m^2} \\ \dfrac43(2+m^2) & = 9-6m+m^2 \\ 8+4m^2 & = 27-18m+3m^2 \\ m^2 + 18m- 19 & = 0 \\ (m+19)(m-1) & = 0 \end{aligned}$$Dari sini, diperoleh $m =-19$ atau $m=1$. Karena $m>0$, maka dipilih $m=1$, sehingga nilai $\boxed{m+2=1+2=3}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10
Misalkan $A(t^2+1,t)$ dan $B(1,2)$ sehingga panjang vektor proyeksi $\vec{OA}$ terhadap $\vec{OB}$ lebih dari $\dfrac{4}{\sqrt5}$. Nilai $t$ yang mungkin adalah $\cdots \cdot$
A. $-3<t<1$
B. $t<-1$ atau $t>3$
C. $t<-3$ atau $t>1$
D. $-1<t<3$
E. $1<t<3$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} \text{Koordinat}~A & = (t^2+1, t) \\ \text{Koordinat}~B & = (1,2) \\ \text{Koordinat}~O & = (0,0) \\ |\vec{OA}_{\vec {OB}}| > \dfrac{4}{\sqrt5} \end{aligned}$
Karena panjang proyeksi vektornya lebih dari $\dfrac{4}{\sqrt5}$, maka kita tuliskan
$\begin{aligned} |\vec{OA}_{\vec {OB}}|& > \dfrac{4}{\sqrt5} \\ \dfrac{\vec{OA} \bullet \vec{OB}}{|\vec{OB}|} & > \dfrac{4}{\sqrt{5}} \\ \dfrac{(t^2+1, t) \bullet (1, 2)}{\sqrt{(1)^2+(2)^2}} & > \dfrac{4}{\sqrt{5}} \\ \dfrac{(t^2+1)(1) + t(2)}{\cancel{\sqrt5}} & > \dfrac{4}{\cancel{\sqrt5}} \\ t^2+1+2t & > 4 \\ t^2+2t-3 & > 0 \\ (t+3)(t-1) & > 0 \end{aligned}$
Pembuat nol: $t =-3$ atau $t = 1$.
Dengan menggunakan bantuan garis bilangan, uji salah satu nilai $t$ untuk menentukan tanda positif-negatif. Nilai $t$ yang mungkin adalah $\boxed{t<-3~\text{atau}~t>1}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11
Vektor $\vec z$ adalah proyeksi vektor $\vec x =(-\sqrt3,3,1)$ pada vektor $\vec y =(\sqrt{3},2,3)$. Panjang vektor $\vec z$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac12$      B. $1$        C. $\dfrac32$        D. $2$         E. $\dfrac52$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} \vec x & = (-\sqrt3,3,1) \\ \vec y & = (\sqrt3, 2, 3) \end{aligned}$
Panjang proyeksi vektor $\vec x$ pada $\vec y$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} |\vec z| = |\vec x_{\vec y}| & = \dfrac{\vec x \bullet \vec y} {|\vec y|^2} \\ & = \dfrac{(-\sqrt3, 3, 1) \bullet (\sqrt3, 2, 3)} {\sqrt{(\sqrt3)^2+(2)^2+(3)^2}} \\ & = \dfrac{(-\sqrt3)(\sqrt3)+(3)(2)+(1)(3)} {\sqrt{3+4+9}} \\ & = \dfrac{-3 + 6 + 3}{\sqrt{16}} \\ & = \dfrac{6}{4} = \dfrac32 \end{aligned}$$Jadi, panjang vektor $\vec z$ adalah $\boxed{\dfrac32}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui $\vec p= \widehat{i}-\widehat{j}+2\widehat{k}$ dan $\vec q= 2\widehat{i}-2\widehat{j}+n\widehat{k}$. Jika panjang proyeksi vektor $\vec p$ pada $\vec q$ adalah $2$, maka $n=\cdots \cdot$
A. $1$        B. $3$         C. $4$          D. $6$         E. $8$

Pembahasan

Panjang proyeksi vektor $\vec p$ pada $\vec q$ dinyatakan oleh
$|\vec p_{\vec q}| = \dfrac{\vec p \bullet \vec q} {|\vec q|}$
Diketahui:
$\begin{aligned} \vec p & = (1,-1,2) \\ \vec q & = (2,-2,n) \\ |\vec p_{\vec q}| & = 2 \end{aligned}$
Untuk itu, kita peroleh
$$\begin{aligned} 2 & = \dfrac{(1,-1,2) \bullet (2,-2,n)}{\sqrt{(2)^2+(-2)^2+(n)^2}} \\ 2 & = \dfrac{(1)(2) + (-2)(-1) + (2)(n)} {\sqrt{4+4+n^2}} \\ 2 & = \dfrac {4+2n} {\sqrt{8+n^2}} \\ 2\sqrt{8+n^2} & = 4+2n \\ \sqrt{8+n^2} & = 2+n \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ 8+n^2 & = (2+n)^2 \\ 8+\cancel{n^2} & = 4+4n+\cancel{n^2} \\ 8&=4+4n \\ n & = \dfrac{8-4}{4} = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{n = 1}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 13
Diketahui titik $A(1,0,-2),B(2,1,-1)$, dan $C(2,0,-3)$. Sudut antara vektor $\vec{AB}$ dengan $\vec{AC}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $30^{\circ}$                       D. $90^{\circ}$
B. $45^{\circ}$                       E. $120^{\circ}$
C. $60^{\circ}$

Pembahasan

Untuk $A(1,0,-2),B(2,1,-1)$, dan $C(2,0,-3)$, diperoleh
$\begin{aligned} \vec{AB} & = B- A = (2,1,-1)-(1,0,-2) \\ & = (1,1,1) \\ \vec{AC} & = C- A = (2,0,-3)-(1,0,-2) \\ & = (1, 0,-1) \end{aligned}$
Misalkan sudut yang terbentuk oleh kedua vektor adalah $\theta$. 
Cosinus sudut kedua vektor itu dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec{AB} \bullet \vec{AC}} {|\vec {AB}| \cdot |\vec {AC}|} \\ & = \dfrac{(1,1,1) \bullet (1,0,-1)} {\sqrt{(1)^2+(1)^2+(1)^2} \cdot \sqrt{(1)^2+(0)^2+(-1)^2}} \\ & = \dfrac{1+0+(-1)}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} \\ & = \dfrac{0}{\sqrt6} = 0 \end{aligned}$$Dari $\cos \theta = 0$, diperoleh $\boxed{\theta = 90^{\circ}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14
Diketahui vektor $\vec a = (2,-3, 1)$ dan $\vec b = (1,-2,3)$. Nilai sinus sudut antar vektor $\vec a$ dan $\vec b$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac57$                       D. $\dfrac{5}{11}\sqrt3$ 
B. $\dfrac{11}{14}$                     E. $\dfrac{2}{7}\sqrt6$
C. $\dfrac{5}{14}\sqrt3$ 

Pembahasan

Misalkan $\theta$ merupakan besar sudut yang terbentuk oleh kedua vektor tersebut. Cosinus sudut kedua vektor itu dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} & \cos \theta = \dfrac{\vec a \bullet \vec b} {|\vec a| \cdot |\vec b|} \\ & = \dfrac{(2,-3,1) \bullet (1,-2,3)} {\sqrt{(2)^2+(-3)^2+(1)^2} \cdot \sqrt{(1)^2+(-2)^2+(3)^2}} \\ & = \dfrac{2+6+3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} \\ & = \dfrac{11}{14} \end{aligned}$$Dengan menggunakan Identitas Pythagoras dalam trigonometri:
$\boxed{\sin \theta = \sqrt{1-\cos^2 \theta}}$
diperoleh
$\begin{aligned} \sin \theta & = \sqrt{1- \left(\dfrac{11}{14}\right)^2} \\ & = \sqrt{1-\dfrac{121}{196}} = \sqrt{\dfrac{75}{196}} = \dfrac{5\sqrt3}{14} \end{aligned}$
Jadi, nilai sinus sudut antar vektor $\vec a$ dan $\vec b$ adalah $\boxed{\dfrac{5\sqrt3}{14}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15
Diketahui vektor $\vec a =\widehat{i}+\widehat{j}$ dan $\vec b =-\widehat{i}+\widehat{k}$. Nilai sinus sudut antara kedua vektor tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac12$               D. $\dfrac12\sqrt2$
B. 0                    E. $\dfrac12\sqrt3$
C. $\dfrac12$

Pembahasan

Bila vektor dinyatakan dalam bentuk koordinat, maka $\vec a = (1, 1, 0)$ dan $\vec b = (-1, 0, 1)$. 
Misalkan sudut yang terbentuk oleh kedua vektor adalah $\theta$. 
Cosinus sudut kedua vektor itu dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} & \cos \theta = \dfrac{\vec a \bullet \vec b} {|\vec a| \cdot |\vec b|} \\ & = \dfrac{(1,1,0) \bullet (-1,0,1)} {\sqrt{(1)^2+(1)^2+(0)^2} \cdot \sqrt{(-1)^2+(0)^2+(1)^2}} \\ & = \dfrac{-1+0+0}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} =-\dfrac{1}{2} \end{aligned}$$Dengan menggunakan Identitas Pythagoras dalam trigonometri:
$\boxed{\sin \theta = \sqrt{1-\cos^2 \theta}}$
diperoleh
$\begin{aligned} \sin \theta & = \sqrt{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2} \\ & = \sqrt{1-\dfrac14} = \sqrt{\dfrac34} = \dfrac12\sqrt3 \end{aligned}$
Jadi, nilai sinus sudut antar vektor $\vec a$ dan $\vec b$ adalah $\boxed{\dfrac12\sqrt3}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 16
Panjang vektor $\vec a, \vec b$, dan $(\vec a-\vec b)$ berturut-turut adalah $3, 4$, dan $\sqrt{37}$. Besar sudut antara vektor $\vec a$ dan vektor $\vec b$ adalah $\cdots \cdot$
A. $30^{\circ}$                          D. $120^{\circ}$
B. $45^{\circ}$                          E. $150^{\circ}$
C. $60^{\circ}$

Pembahasan

Diketahui: 
$\begin{aligned} |\vec a| & = 3 \\ |\vec b| &= 4 \\ |\vec a-\vec b| & = \sqrt{37} \end{aligned}$
Dengan menggunakan Aturan Cosinus Vektor, diperoleh
$\begin{aligned} |\vec a-\vec b| & = \sqrt{|\vec a|^2 + |\vec b|^2- 2|\vec a||\vec b| \cos \theta} \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ (\sqrt{37})^2 & = (3)^2 + (4)^2-2(3)(4) \cos \theta \\ 37 & = 9+16-24\cos \theta \\-24 \cos \theta & = 12 \\ \cos \theta & =-\dfrac{12}{24} =-\dfrac12 \end{aligned}$
Untuk $\cos \theta =-\dfrac12$, diperoleh $\theta = 120^{\circ}$
Jadi, besar sudut antara vektor $\vec a$ dan vektor $\vec b$ adalah $\boxed{120^{\circ}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 17
Diketahui titik $A(5, 1, 3), B(2,-1,-1)$, dan $C(4, 2,-4)$. Besar sudut $ABC = \cdots \cdot$
A. $\pi$       B. $\dfrac{\pi}{2}$       C. $\dfrac{\pi}{3}$        D. $\dfrac{\pi}{6}$       E. $0$

Pembahasan

Besar sudut $ABC$ dapat ditentukan dengan menerapkan rumus:
$\boxed{\cos \theta = \dfrac{\vec {AB} \bullet \vec{BC}}{|\vec {AB}| \cdot |\vec {BC}|}$
Perhatikan bahwa, 
$\begin{aligned}\vec AB & = B- A \\ & = (2,-1,-1)-(5, 1, 3) \\ & = (-3,-2,-4) \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned}\vec BC & = C- B \\ & = (4, 2,-4)-(2,-1,-1) \\ & = (2, 3,-3) \end{aligned}$
Panjang vektor $\vec{AB}$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} |\vec{AB}| & = \sqrt{(-3)^2+(-2)^2+(-4)^2} \\ & = \sqrt{9+4+16} \\ & = \sqrt{29} \end{aligned}$
Panjang vektor $\vec{BC}$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned}|BC| & = \sqrt{(2)^2+(3)^2+(-3)^2} \\ & = \sqrt{4+9+9} \\ &= \sqrt{22} \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec {AB} \bullet \vec{BC}}{|\vec {AB}|\cdot |\vec {BC}|} \\ & = \dfrac{(-3,-2,-4) \bullet (2, 3,-3)}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{22}} \\ & = \dfrac{-6-6+12}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{22}} \\ & = 0 \end{aligned}$
Karena $\cos \theta = 0$, maka $\boxed{\theta = 90^{\circ}=\dfrac{\pi}{2}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 18
Diketahui $|\vec a|=2\sqrt3$ dan $|\vec b|=4$. Jika vektor $\vec a$ tegak lurus dengan $(\vec a +\vec b)$, maka sudut antara vektor $\vec a$ dengan vektor $\vec b$ adalah $\cdots \cdot$       
A. $150^{\circ}$                     D. $60^{\circ}$
B. $120^{\circ}$                     E. $30^{\circ}$
C. $90^{\circ}$

Pembahasan

Diketahui: $|\vec a| = 2\sqrt3; |\vec b| = 4$
Karena vektor $\vec a$ tegak lurus dengan $(\vec a +\vec b)$, maka $\vec a \bullet (\vec a + \vec b) = 0$.
Dari sini, kita peroleh
$$\begin{aligned} \vec a \bullet \vec a + \vec a \bullet \vec b & = 0 \\ |\vec a| |\vec a| \cos 0^{\circ} + |\vec a||\vec b| \cos \theta & = 0 \\ 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt3 \cdot 1 + 2\sqrt3 \cdot 4 \cdot \cos \theta & = 0 \\ 12+8\sqrt3 \cos \theta & = 0 \\ \cos \theta & =-\dfrac{12}{8\sqrt{3}} \\ & =-\dfrac{3}{2\sqrt3} \times \dfrac{\sqrt3}{\sqrt3} \\ & =-\dfrac{\cancel{3}\sqrt3}{2(\cancel{3})} \\ & =-\dfrac12\sqrt3 \end{aligned}$$Karena $\cos \theta =-\dfrac12\sqrt3$, maka nilai $\boxed{\theta = 150^{\circ}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 19
Diketahui limas $T.ABC$ mempunyai koordinat $T(1, 0, 3), A(0, 0, 0), B(5, 0, 0)$, dan $C(1, 4, 0)$. Jika $\theta$ merupakan sudut antara $\vec{TB}$ dan $\vec{TC}$, maka nilai $\cos \theta$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac{9}{25}$                       D. $\dfrac{3}{5}$
B. $-\dfrac{3}{5}$                         E. $\dfrac{9}{25}$
C. $\dfrac{3}{25}$

Pembahasan

Dari koordinat titik yang diberikan, diketahui
$\begin{aligned} \vec{TB} & = B- T = (5, 0, 0)- (1, 0, 3) \\ & = (4,0,-3) \\ \vec{TC} & = C- T = (1,4,0)-(1,0,3) \\ & =(0,4,-3) \end{aligned}$
Panjang kedua vektor tersebut dinyatakan oleh
$\begin{aligned} |\vec{TB}| & = \sqrt{(4)^2+(0)^2+(-3)^2} = 5 \\|\vec{TC}| & = \sqrt{(0)^2+(4)^2+(-3)^2} = 5 \end{aligned}$
Cosinus dari sudut antara $\vec{TB}$ dan $\vec{TC}$ dapat ditentukan dengan menggunakan rumus cosinus vektor.
$\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec {TB} \bullet \vec{TC}}{|\vec {TB}| \cdot |\vec {TC}|} \\ & = \dfrac{(4,0,-3) \bullet (0, 4,-3)}{5 \cdot 5} \\ & = \dfrac{4(0) + 0(4) + (-3)(-3)}{25} = \dfrac{9}{25} \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{\cos \theta = \dfrac{9}{25}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 20
Jika sudut antara vektor $\vec a = \widehat{i}+\widehat{j}-r\widehat{k}$ dan $\vec b = r\widehat{i}-r\widehat{j}-2\widehat{k}$ adalah $60^{\circ}$. Nilai $r$ positif yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $\sqrt2$               C. $0$                  E. $-\sqrt2$
B. $1$                  D. $-1$       

Pembahasan

Diketahui $\vec a = (1, 1,-r), \vec b = (r,-r,-2)$ dan $\angle(\vec a, \vec b) = \theta = 60^{\circ}$
Dengan menggunakan Rumus Cosinus Vektor, diperoleh
$$\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec a \bullet \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|} \\ & = \dfrac{(1,1,-r) \bullet (r,-r,-2)}{\sqrt{(1)^2+(1)^2+(-r)^2} \cdot \sqrt{(r)^2+(-r)^2+(-2)^2}} \\ \cos 60^{\circ} & = \dfrac{1(r) + 1(-r) + (-r)(-2)}{\sqrt{2+r^2} \cdot \sqrt{2r^2+4}} \\ \dfrac12 & = \dfrac{2r}{\sqrt{2r^4+8r^2+8}} \\ 4r & = \sqrt{2r^4+8r^2+8} \\ & \text{Kuadratkan}~\text{kedua ruas} \\ 16r^2 & = 2r^4+8r^2+8 \\ 0 & = 2r^4-8r^2+8 \\ 0 & = r^4-4r^2+4 \\ 0 & = (r^2-2)(r^2-2) \end{aligned}$$Didapat $r^2 = 2 \Leftrightarrow r = \pm \sqrt2$
Karena $r$ dikatakan bernilai positif, maka $\boxed{r = \sqrt2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 21
Diketahui vektor $\vec u =(0,2,2)$ dan $\vec v =(-2,0,2)$. Proyeksi vektor ortogonal $\vec u$ pada $\vec v$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\widehat i+\widehat k$
B. $-\widehat i+ \dfrac12 \widehat k$
C. $-\widehat i- \widehat k$
D. $-2i+ \widehat k$
E. $2\widehat i- \widehat k$

Pembahasan

Proyeksi ortogonal vektor$\vec u$ pada $\vec v$ dinyatakan oleh
$\boxed{\vec u_{\vec v} = \dfrac{\vec u \bullet \vec v} {|\vec v|^2} \cdot \vec v}$
Untuk $\vec u = (0,2,2)$ dan $\vec v =(-2,0,2)$, diperoleh
$$\begin{aligned} \vec u_{\vec v} & = \dfrac{(0,2,2) \bullet (-2,0,2)} {(\sqrt{(-2)^2+(0)^2+(2)^2})^2} \cdot (-2,0,2) \\ & = \dfrac{(0)(-2)+(2)(0)+(2)(2)} {4+4} \cdot (-2,0,2) \\ & = \dfrac{4}{8} \cdot (-2,0,2) \\ & = (-1,0,1) \end{aligned}$$Jadi, proyeksi ortogonal vektor $\vec u = (0,2,2)$ pada $\vec v=(-2,0,2)$ adalah $(-1,0,1)$ atau bila dinyatakan dalam vektor komponen menjadi $\boxed{-\widehat i + \widehat k}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 22
Proyeksi ortogonal vektor $\vec a = 4\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k}$ pada $\vec b = 2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{13}{14}(2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k})$
B. $\dfrac{15}{14}(2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k})$
C. $\dfrac87(2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k})$
D. $\dfrac97(2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k})$
E. $4\widehat{i}+2\widehat{j}+6\widehat{k}$

Pembahasan

Proyeksi ortogonal vektor $\vec a$ pada $\vec b$ dinyatakan oleh
$\boxed{\vec a_{\vec b} = \dfrac{\vec a \bullet \vec b} {|\vec b|^2} \cdot \vec b}$
Untuk $\vec a = (4,1,3)$ dan $\vec b =(2,1,3)$, diperoleh
$\begin{aligned} \vec a_{\vec b} & = \dfrac{(4,1,3) \bullet (2,1,3)} {(\sqrt{(2)^2+(1)^2+(3)^2})^2} \cdot (2,1,3) \\ & = \dfrac{(4)(2)+(1)(1)+(3)(3)} {4+1+9} \cdot (2,1,3) \\ & = \dfrac{18}{14} \cdot (2,1,3) \\ & = \dfrac97(2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k}) \end{aligned}$
Jadi, proyeksi ortogonal vektor $\vec a = (4,1,3)$ pada $\vec b=(2,1,3)$ adalah $\boxed{\dfrac97(2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k})}$ 
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 23
Diketahui vektor $\vec a = \widehat{i}-5\widehat{j}+2\widehat{k}$ dan $\vec b = 8\widehat{i}+m\widehat{k}$. Panjang proyeksi vektor $\vec b$ pada $\vec a$ adalah $\dfrac{1}{5}|\vec a|$. Vektor proyeksi ortogonal $\vec b$ pada $\vec a$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac85 \widehat i-5\widehat j+\dfrac65 \widehat k$
B. $\widehat i+2 \widehat j+5 \widehat k$
C. $\widehat i+5\widehat j+2\widehat k$
D. $\dfrac15 \widehat i- \widehat j+\dfrac25 \widehat k$
E. $\dfrac15 \widehat i+\widehat j+2\widehat k$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} \vec a & = (1,-5, 2) \\ \vec b & = (8,0,m) \\ |\vec b_{\vec a}| & = \dfrac15|\vec a| \end{aligned}$
Akan dicari nilai $m$ dengan menggunakan rumus panjang proyeksi vektor.
$$\begin{aligned} |\vec b_{\vec a}| & = \dfrac{\vec b \bullet \vec a}{|\vec a|} \\ \dfrac15|\vec a| & = \dfrac{(8,0,m) \bullet (1,-5,2)}{|\vec a|} \\ \dfrac15\sqrt{(1)^2+(-5)^2+(2)^2} & = \dfrac{8(1)+0(-5)+m(2)}{\sqrt{(1)^2+(-5)^2+(2)^2}} \\ \dfrac15\sqrt{30} & = \dfrac{8+2m}{\sqrt{30}} \\ 40+10m & = 30 \\ 10m & =-10 \\ m & =-1 \end{aligned}$$Dengan demikian, vektor proyeksi $\vec b$ pada $\vec a$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \vec b_{\vec a} & = \dfrac{\vec b \bullet \vec a}{|\vec a|^2} \cdot \vec a \\ & = \dfrac{8+2m}{(\sqrt{30})^2} \cdot (\widehat{i}-5\widehat{j}+2\widehat{k}) \\ & = \dfrac{8+2(-1)}{30} \cdot (\widehat{i}-5\widehat{j}+2\widehat{k}) \\ & = \dfrac15(\widehat{i}-5\widehat{j}+2\widehat{k}) \\ & = \;\boxed{\dfrac15\widehat{i}-\widehat{j}+\dfrac25\widehat{k}}\end{aligned}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 24
Diketahui bahwa $|\vec a|=\sqrt{3},|\vec b|=1$, dan $|\vec a-\vec b|=1$. Panjang vektor $(\vec a + \vec b)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\sqrt3$                        D. $2\sqrt2$
B. $\sqrt5$                        E. $3$
C. $\sqrt7$

Pembahasan

Dengan menerapkan Rumus Cosinus Vektor, diperoleh
$\begin{aligned} |\vec a-\vec b| & = 1 \\ \sqrt{|\vec a|^2 + |\vec b|^2- 2|\vec a||\vec b| \cos \theta} & = 1 \\ \text{Kuadratkan kedua ruas} & \\ |\vec a|^2 + |\vec b|^2-2|\vec a||\vec b| \cos \theta & = 1 \\ (\sqrt3)^2 + (1)^2-2(\sqrt3)(1) \cos \theta & = 1 \\ 4-2\sqrt3 \cos \theta & = 1 \\ \cos \theta & = \dfrac{-3}{-2\sqrt3} \\ \cos \theta & = \dfrac{3}{2\sqrt3} \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$$\begin{aligned} |\vec a + \vec b| & = \sqrt{|\vec a|^2 + |\vec b|^2 + 2|\vec a||\vec b| \cos \theta} \\ & = \sqrt{(\sqrt3)^2 + (1)^2 + \cancel{2(\sqrt3)}(1) \times \dfrac{3}{\cancel{2\sqrt3}}} \\ & = \sqrt{3+1+3} =\sqrt7 \end{aligned}$$Jadi, panjang vektor $(\vec a + \vec b)$ adalah $\boxed{\sqrt7}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 25
Misalkan panjang vektor $\vec a$ adalah $1$ dan panjang vektor $\vec b$ adalah 4 serta $\vec a \bullet \vec b =3$. Panjang vektor $2 \vec a- \vec b$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\sqrt2$                         D. $\sqrt3$
B. $2\sqrt2$                       E. $2\sqrt3$
C. $3$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} |\vec a| & = 1 \\ |\vec b| & = 4 \\ \vec a \bullet \vec b & = 3 \end{aligned}$
Cosinus sudut antara $\vec a$ dan $\vec b$ dinyatakan oleh
$\cos \theta = \dfrac{\vec a \bullet \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|} = \dfrac{3}{1 \cdot 4}= \dfrac34$
Karena $\vec {2a}$ merupakan perpanjangan dari $\vec a$, maka sudut yang terbentuk oleh $\vec {2a}$ dan $\vec b$ sama dengan sudut yang terbentuk oleh $\vec a$ dan $\vec b$, yaitu $\theta$, sehingga dengan menggunakan Aturan Cosinus Vektor, diperoleh
$\begin{aligned} |2\vec a-\vec b| & = \sqrt{|2a|^2+|b|^2-2|2a||b| \cos \theta} \\ & = \sqrt{(2(1))^2 + (4)^2-2(2)(\cancel{4}) \dfrac{3}{\cancel{4}}} \\ & = \sqrt{4+16-12} = \sqrt8 = 2\sqrt2 \end{aligned}$
Jadi, panjang vektor $2 \vec a- \vec b$ adalah $\boxed{2\sqrt2}$ 
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 26
Diketahui vektor $\vec a =(2,-2\sqrt2,4), \vec b = (-1,p,q)$, dan $\vec c=(3,\sqrt2,-1)$. Jika vektor $\vec a$ berlawanan arah dengan vektor $\vec b$, nilai $(\vec a- \vec b) \bullet (\vec b- \vec c) = \cdots \cdot$
A. $-18$                         D. $6$
B. $-12$                         E. $18$
C. $-6$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} \vec a & = (2,-2\sqrt2,4) \\ \vec b & = (-1, p, q) \\ \vec c & = (3,\sqrt2,-1) \end{aligned}$
Karena $\vec a$ berlawanan arah dengan $\vec b$, maka haruslah ada skalar $k < 0$, sehingga memenuhi
$\vec a = k\vec b \Rightarrow (2,-2\sqrt2, 4) = k(-1,p,q)$
Dari absis, kita peroleh $2 =-k \Leftrightarrow k =-2$
Dengan demikian,
$-2\sqrt2 =-2p \Leftrightarrow p = \sqrt2$
dan
$4 =-2q \Leftrightarrow q =-2$
sehingga $\vec b = (-1, \sqrt2,-2)$
Untuk itu,
$\begin{aligned} & (\vec a- \vec b) \bullet (\vec b- \vec c) \\ & = [(2,-2\sqrt2, 4)- (-1, \sqrt2,-2)] \\ & \bullet [(-1, \sqrt2,-2)- (3, \sqrt2,-1)] \\ & = (3,-3\sqrt2, 6) \bullet (-4, 0,-1) \\ & = 3(-4) + (-3\sqrt2)(0) + 6(-1) \\ & =-12 + 0- 6 =-18 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{(\vec a- \vec b) \bullet (\vec b- \vec c)=-18}$
Catatan: Skalar yang dimaksud di sini adalah bilangan real.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 27
Jika $\vec a + \vec b= \widehat{i}-\widehat{j}+4\widehat{k}$ dan $|\vec a-\vec b| = \sqrt{14}$, maka $\vec a \bullet \vec b = \cdots \cdot$
A. $0$        B. $\dfrac14$          C. $\dfrac12$         D. $1$         E. $2$

Pembahasan

Karena $\vec a + \vec b= \widehat{i}-\widehat{j}+4\widehat{k}$, maka panjangnya adalah
$|\vec a + \vec b| = \sqrt{(1)^2+(-1)^2+(4)^2} = \sqrt{18}$
Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} |\vec a- \vec b|^2 & = |\vec a|^2 + |\vec b|^2- 2|\vec a||\vec b| \cos \theta = 14 \\ |\vec a + \vec b|^2 & = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 + 2|\vec a||\vec b| \cos \theta = 18 \end{aligned}$
Kurangi kedua persamaan di atas, sehingga diperoleh
$\begin{aligned}-4|\vec a||\vec b| \cos \theta & =-4 \\ |\vec a||\vec b| \cos \theta & = 1 \\ \vec a \bullet \vec b & = 1 \end{aligned}$
Jadi, perkalian titik dari vektor $\vec a$ dan $\vec b$ adalah $\boxed{\vec a \bullet \vec b = 1}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 28
Diketahui vektor $\vec k=(9,0,-6), \vec l=(2,4,-1)$, $\vec m =(2,1,2)$, dan $\vec n=(1,-3,-2)$. Jika $\vec k = a \vec l + b \vec m + c \vec n$, maka $2a+5b-7c=\cdots \cdot$
A. $-12$                  C. $0$                  E. $12$
B. $-5$                    D. $1$         

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} \vec k & = (9,0,-6) \\ \vec l & =(2,4,-1) \\ \vec m & =(2,1,2) \\ \vec n & =(1,-3,-2) \end{aligned}$
Dengan menggunakan operasi penjumlahan pada vektor, diperoleh
$$\begin{aligned} \vec k & = a \vec l + b \vec m + c \vec n \\ (9, 0,-6) & = a(2,4,-1)+b(2,1,2)+c(1,-3,-2) \\ (9, 0,-6) & = (2a+2b+c, 4a+b-3c,-a+2b-2c) \end{aligned}$$Dari sini, diperoleh SPLTV:
$\begin{cases} 2a+2b+c = 9 \\ 4a+b-3c = 0 \\-a+2b-2c=-6 \end{cases}$
SPLTV di atas dapat diselesaikan dengan banyak cara seperti Metode Substitusi/Eliminasi, Aturan Cramer, Aturan Invers, Eliminasi Gauss/Jordan, dan sebagainya.
Penyelesaian SPLTV di atas adalah $a=2, b=1,c=3$.
Untuk itu,
$\begin{aligned} 2a+5b-7c & =2(2)+5(1)-7(3)\\ & =4+5-21=-12 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{2a+5b-7c=-12}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- SPLTV

Soal Nomor 29
Jika $(\vec u + \vec v)$ tegak lurus dengan $(\vec u-\vec v)$, maka pernyataan berikut ini yang paling tepat adalah $\cdots \cdot$
A. $|\vec u + \vec v|=|\vec u-\vec v|$ 
B. $|\vec u|=|\vec v|$
C. $\vec u = \vec v$
D. arah $\vec u$ = arah $\vec v$
E. $\vec u$ tegak lurus dengan $\vec v$

Pembahasan

Karena $(\vec u + \vec v)$ tegak lurus dengan $(\vec u-\vec v)$, maka berlaku
$\begin{aligned} (\vec u + \vec v) \bullet (\vec u + \vec v) & = 0 \\ (\vec u \bullet \vec u)-(\vec v \bullet \vec v) & = 0 \\ (|\vec u|^2 \cos 0^{\circ})-(|\vec v|^2 \cos 0^{\circ}) & = 0 \\ |\vec u|^2 & = |\vec v|^2 \end{aligned}$
Karena masing-masing $|\vec u|$ dan $|\vec v|$ menyatakan panjang vektor, maka nilainya tak mungkin negatif, sehingga didapat $|\vec a| = |\vec b|$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 30
Diketahui titik $A(2,1,-4),B(2,-4,6)$, dan $C(-2,5,4)$. Titik $P$ membagi $AB$ sehingga $AP:PB=3:2$. Vektor yang diawali oleh $\vec{PC}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(-4,3,-6)$              D. $(4,-7,-2)$
B. $(-4,-7,2)$              E. $(-4,7,2)$
C. $(-4,3,6)$

Pembahasan

Titik $P$ berada pada $AB$ dengan $AP : PB = 3 : 2$, sehingga koordinat titik $P$ dapat ditentukan sebagai berikut.
1) Absis
$\begin{aligned} x_P & = \dfrac{1}{3+2}(2x_A + 3x_B) \\ & = \dfrac15(2(2)+3(2)) = 2 \end{aligned}$
2) Ordinat
$\begin{aligned} y_P & = \dfrac{1}{3+2}(2y_A + 3y_B) \\ & = \dfrac15(2(1)+3(-4)) =-2 \end{aligned}$
3) Aplikat
$\begin{aligned} z_P & = \dfrac{1}{3+2}(2z_A + 3z_B) \\ & = \dfrac15(2(-4)+3(6)) = 2 \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik $P$ adalah $(2,-2, 2)$.
Dengan demikian,
$\boxed{\begin{aligned} \vec PC & = C- P = (-2, 5, 4)-(2,-2, 2) \\ & = (-4, 7, 2) \end{aligned}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 31
$ABCD$ adalah segiempat sembarang. Titik $S$ dan $T$ masing-masing titik tengah $AC$ dan $BD$. Jika $\vec{ST} = u$, maka $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} +\vec{CD} = \cdots \cdot$

A $\vec u$                   D. $4 \vec u$
B. $2 \vec u$                E. $8 \vec u$
C. $3 \vec u$

Pembahasan

Cara 1:
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \vec{AB} & = \vec {AS} + \vec {ST} + \vec {TB} \\ \vec{AD} & = \vec {AS} + \vec {ST} + \vec {TD} \\ \vec{CB} & = \vec {CS} + \vec {ST} + \vec {TB} \\ \vec{CD} & = \vec {CS} + \vec {ST} + \vec {TD} \end{aligned}$
Karena $T$ titik tengah $BD$, maka $\vec {TB}$ dan $\vec{TD}$ memiliki panjang yang sama dan arahnya berlawanan, sehingga $\vec{TB} =-\vec{TD}$. 
Karena $S$ titik tengah $AC$, maka $\vec {AS}$ dan $\vec{CS}$ juga memiliki panjang yang sama dan arahnya berlawanan, sehingga $\vec{AS} =-\vec{CS}$. 
Dengan demikian, apabila keempat persamaan di atas dijumlah, diperoleh
$\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} +\vec {CD} = 4\vec{ST} = 4\vec u$
Cara 2:
Misal vektor posisi titik $A,B,C,D$ berturut-turut adalah $\vec a, \vec b, \vec c, \vec d$.
Karena $S$ di tengah $AC$, maka vektor posisi $S$ adalah $\vec s = \dfrac{\vec a + \vec c}{2}$, dan juga karena $T$ di tengah $BD$, maka vektor posisi $T$ adalah $\vec t = \dfrac{\vec b + \vec d}{2}$.
Dengan demikian,
$\vec{ST} = \vec u = \vec t-\vec s = \dfrac{\vec b+\vec d}{2}-\dfrac{\vec a+ \vec c}{2}$
Ini berarti,
$\begin{aligned} & \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} +\vec {CD} \\ & = (\vec b- \vec a) + (\vec d-\vec a) + (\vec b-\vec c) + (\vec d-\vec c) \\ & = 2(\vec b + \vec d)-2(\vec a + \vec c) \\ & = 4\left(\dfrac{\vec b+ \vec d}{2}-\dfrac{\vec a+ \vec c}{2}\right) = 4\vec u \end{aligned}$
Jadi, $\boxed{\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} +\vec {CD} =4 \vec u}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 32
Given vectors $\vec a = 2\widehat i-\widehat j + 2 \widehat k$ and $\vec b = 4\widehat i-x \widehat j-8 \widehat k$. If vectors $(\vec a + \vec b)$ is perpendicular to $\vec a$, find the unit vector which has the same direction as $\vec b$.
Diberikan vektor $\vec a = 2\widehat i-\widehat j + 2 \widehat k$ and $\vec b = 4\widehat i-x \widehat j-8 \widehat k$. Jika vektor $(\vec a + \vec b)$ tegak lurus dengan $\vec a$, tentukan vektor satuan yang memiliki arah yang sama dengan $\vec b$.

Pembahasan

Diketahui: 
$\begin{aligned} \vec a & = (2,-1, 2) \\ \vec b & = (4,-x,-8) \end{aligned}$
Karena vektor $(\vec a + \vec b)$ tegak lurus dengan $\vec a$, maka
$\begin{aligned} (\vec a + \vec b) \bullet \vec a & = 0 \\ [(2,-1, 2) + (4,-x,-8) \bullet (2,-1, 2) & = 0 \\ (6,-1-x,-6) \bullet (2,-1, 2) & = 0 \\ 6(2) + (-1-x)(-1) + (-6)(2) & = 0 \\ \cancel{12} + 1 + x-\cancel{12} & = 0 \\ 1+x & = 0 \\ x & =-1 \end{aligned}$
Dengan demikian, vektor $b$ dinyatakan oleh 
$\vec b = (4,-(-1),-8) = (4, 1,-8)$
Untuk mencari vektor satuan yang searah dengan vektor $\vec b$, kita hanya perlu membagi tiap komponen vektor $\vec b$ dengan panjangnya.
Diketahui panjang (magnitude) $\vec b$ adalah
$\begin{aligned} |\vec b| & = \sqrt{(4)^2+(1)^2+(-8)^2} \\ & = \sqrt{16+1+64} = \sqrt{81} = 9 \end{aligned}$
Vektor satuan yang dimaksud adalah 
$\begin{aligned} \vec b_i & = \dfrac{\vec b}{|\vec b|} \\ & = \dfrac{1}{9}(4, 1,-8) \\ & = \left(\dfrac49, \dfrac19,-\dfrac89\right) \end{aligned}$
Catatan: Untuk mengecek apakah jawaban ini benar, kita hanya perlu mencari panjang vektor $\vec b_i$. Karena vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1, maka haruslah $|\vec b_i| = 1$.

[collapse]

Soal Nomor 33
Diketahui tiga buah vektor, yakni $\vec u = 3\widehat i-\widehat j+2 \widehat k, \vec v = \widehat i + n \widehat j-2\widehat k$, dan $\vec w = \widehat i + m\widehat j-p \widehat k$ saling tegak lurus. Nilai $m+n+p=\cdots \cdot$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} \vec u & = (3,-1, 2) \\ \vec v & = (1, n,-2) \\ \vec w & = (1, m,-p) \end{aligned}$
Karena $\vec u$ dan $\vec v$ saling tegak lurus, maka
$\begin{aligned} \vec u \bullet \vec v & = 0 \\ (3,-1,2) \bullet (1,n,-2) & = 0 \\ 3(1) + (-1)(n)+2(-2) & = 0 \\ 3-n-4 & = 0 \\ n & =-1 \end{aligned}$
Ini berarti, $\vec v = (1,-1,-2)$.
Karena $\vec u$ dan $\vec w$ saling tegak lurus, maka
$\begin{aligned} \vec u \bullet \vec w & = 0 \\ (3,-1,2) \bullet (1,m,-p) & = 0 \\ 3(1) + (-1)(m)+2(-p) & = 0 \\ 3-m-2p & = 0 \\ m+2p = 3 \end{aligned}$
Karena $\vec u$ dan $\vec w$ saling tegak lurus, maka
$\begin{aligned} \vec v \bullet \vec w & = 0 \\ (1,-1,-2) \bullet (1,m,-p) & = 0 \\ 1(1) + (-1)(m)+(-2)(-p) & = 0 \\ 1-m+2p & = 0 \\-m+2p =-1 \end{aligned}$
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} m+2p = 3 \\-m+2p=-1 \end{cases}$ yang memiliki penyelesaian $m = 2$ dan $p = \dfrac12$.
Jadi, nilai $\boxed{m+n+p=2+(-1)+\dfrac12 = 1\dfrac12}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 34
Jika $|\vec a| = 10, |\vec b| = 6$, dan $\angle(\vec a, \vec b) = 60^{\circ}$, maka tentukan:
a. $|\vec a + \vec b|$
b. $|\vec a-\vec b|$
c. $|2\vec a-\vec b|$

Pembahasan

Jawaban a)
Dengan menggunakan Aturan Cosinus Vektor, didapat
$\begin{aligned} |\vec a + \vec b| & = \sqrt{|\vec a|^2+|\vec b|^2+2|\vec a||\vec b| \cos \angle(\vec a, \vec b)} \\ & = \sqrt{10^2+6^2+2(10)(6) \cos 60^{\circ}} \\ & = \sqrt{100+36+\cancel{2}(60) \dfrac{1}{\cancel{2}}} \\ & = \sqrt{196} = 14 \end{aligned}$
Jadi, panjang vektor $(\vec a + \vec b)$ adalah $\boxed{14}$
Jawaban b)
Karena $\angle(\vec a, \vec b) = 60^{\circ}$, maka $\angle(\vec a,-\vec b) = 180^{\circ}-60^{\circ} = 120^{\circ}$, sehingga dengan menggunakan Aturan Cosinus Vektor, diperoleh
$$\begin{aligned} |\vec a-\vec b| & = \sqrt{|\vec a|^2+|-\vec b|^2+2|\vec a||-\vec b| \cos \angle(\vec a,-\vec b)} \\ & = \sqrt{10^2+(-6)^2+2(10)(-6) \cos 120^{\circ}} \\ & = \sqrt{100+36-\cancel{2}(60) \left(-\dfrac{1}{\cancel{2}}\right)} \\ & = \sqrt{196} = 14 \end{aligned}$$Jadi, panjang vektor $(\vec a-\vec b)$ adalah $\boxed{14}$
Jawaban c)
Karena $\angle(\vec a, \vec b) = 60^{\circ}$, maka $\angle(2\vec a,-\vec b) = 180^{\circ}-60^{\circ} = 120^{\circ}$.
(Kelipatan skalar vektor tidak mengubah arahnya)
Dengan menggunakan Aturan Cosinus Vektor, diperoleh
$$\begin{aligned} |2\vec a-\vec b| & = \sqrt{|2 \vec a|^2+|-\vec b|^2+2|2 \vec a||-\vec b| \cos \angle(2 \vec a,-\vec b)} \\ & = \sqrt{4(10)^2+(-6)^2+2(2)(10)(-6) \cos 120^{\circ}} \\ & = \sqrt{400+36-\cancel{2}(120) \left(-\dfrac{1}{\cancel{2}}\right)} \\ & = \sqrt{556} = 2\sqrt{139} \end{aligned}$$Jadi, panjang vektor $(2\vec a,-\vec b)$ adalah $\boxed{2\sqrt{139}}$

[collapse]

Soal Nomor 35 (Soal Utul UGM 2018)
Diberikan vektor $\vec{u} = (a,b,c)$ dan $\vec{v} = (b, a, 3)$. Jika $\vec {u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}||^2$ dan $||\vec{u}-\vec{v}||^2 = 5$, maka nilai $c^3+2c+2$ yang mungkin adalah $\cdots \cdot$
A. $-2$                    C. $2$                      E. $14$
B. $-1$                    D. $5$

Pembahasan

Diketahui
$\vec{u} = (a,b,c)~~~~\vec{v} = (b, a, 3)$.
Karena $\vec {u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}||^2$, maka berdasarkan definisi perkalian skalar vektor dan panjang vektor, diperoleh persamaan
$\begin{aligned} ab + ab + 3c & = a^2+b^2+c^2 \\ \color{blue}{a^2+b^2+c^2-2ab-3c} & = 0 \end{aligned}$
Karena $||\vec{u}-\vec{v}||^2 = 5$, maka kita peroleh
$\begin{aligned} (a-b)^2+(b-a)^2+(c-3)^2 & = 5 \\ 2(a-b)^2 + (c-3)^2 & = 5 \\ (2a^2-4ab+2b^2)+(c^2-6c+9) & = 5 \\ 2a^2+2b^2+c^2-4ab-6c & =-4 \\ 2(\color{blue}{a^2+b^2+c^2-2ab-3c})-c^2 & =-4 \\ 2(0)-c^2 & =-4 \\ c & = \pm 2 \end{aligned}$
Untuk $c = 2$, diperoleh
$c^3+2c+2 = (2)^3+2(2)+2 = 14$
Untuk $c=-2$, diperoleh
$c^3+2c+2 = (-2)^3+2(-2)+2 =-10$
Jadi, nilai $c$ yang mungkin adalah $\boxed{14~\text{atau}~-10}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 36
Jika $\vec u$ dan $\vec v$ adalah dua vektor satuan yang membentuk sudut $45^{\circ}$, maka $(\vec u + \vec v) \bullet \vec v = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{2 + \sqrt{2}}{2}$                     D. $\sqrt2$
B. $\dfrac{2- \sqrt{2}}{2}$                    E. $2\sqrt2$
C. $\dfrac12\sqrt2$

Pembahasan

Karena $\vec u$ dan $\vec v$ vektor satuan, maka $|\vec u| = |\vec v| =1$ dan juga diketahui $\angle(\vec u, \vec v) = 45^{\circ}$.
Untuk itu,
$$\begin{aligned} (\vec u + \vec v) \bullet \vec v & = \vec u \bullet \vec v + \vec v \bullet \vec v \\ & = |\vec u| \cdot |\vec v| \cos 45^{\circ} + |\vec v| \cdot |\vec v| \cos 0^{\circ} \\ & = (1)(1)\left(\dfrac12\sqrt2\right) + (1)(1)(1) \\ & = 1 + \dfrac12\sqrt2 = \dfrac{2+\sqrt2}{2} \end{aligned}$$Catatan: Besar sudut antara dua vektor yang sama adalah $0^{\circ}$.
Jadi, $\boxed{(\vec u + \vec v) \bullet \vec v = \dfrac{2+\sqrt2}{2}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 37
Diketahui $\vec a, \vec b$, dan $\vec c$ adalah vektor satuan yang membentuk sudut $60^{\circ}$ satu sama lain. Nilai $(\vec a + \vec b) \bullet (\vec b-\vec c) = \cdots \cdot$
A. $\dfrac18$                   C. $\dfrac12$                E. $2$
B. $\dfrac14$                   D. $1$

Pembahasan

Karena $\vec a, \vec b$, dan $\vec c$ vektor satuan, maka $|\vec a| = |\vec b| = |\vec c| = 1$ dan juga diketahui $\angle(\vec a, \vec b) = \angle(\vec a, \vec c) = \angle(\vec b, \vec c ) = 60^{\circ}$.
Untuk itu,
$$\begin{aligned} & (\vec a + \vec b) \bullet (\vec b-\vec c) \\ & = \vec a \bullet \vec b-\vec a \bullet \vec c + \vec b \bullet \vec b-\vec b \bullet \vec c \\ & = |\vec a| \cdot |\vec b| \cos 60^{\circ}-|\vec a| \cdot |\vec c| \cos 60^{\circ} + \vec b| \cdot |\vec b| \cos 0 ^{\circ}-|\vec b| \cdot |\vec c| \cos 60^{\circ} \\ & = (1)(1)\left(\dfrac12\right)-(1)(1)\left(\dfrac12\right) + \\ & (1)(1)(1)-(1)(1)\left(\dfrac12\right) \\ & = \dfrac12-\dfrac12 + 1-\dfrac12 = \dfrac12 \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{(\vec a + \vec b) \bullet (\vec b-\vec c) = \dfrac12}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 38
Given coordinates of $A(0,4,6),B(-2,0,4)$ and $C(2,2,2)$. Point $P$ on $AB$ such that $AP : PB=1 : 3$. Find:
a. The coordinate of $P$;
b. The vector projection of $\vec{AP}$ on $\vec{AC}$;
c. Scalar projection of $\vec{AP}$ on $\vec{AC}$.
Diketahui koordinat $A(0,4,6),B(-2,0,4)$, dan $C(2,2,2)$. Titik $P$ terletak pada $AB$ sedemikian sehingga $AP : PB = 1:3$. Tentukan:
a. Koordinat $P$
b. Proyeksi vektor $\vec{AP}$ pada $\vec{AC}$
c. Proyeksi skalar $\vec{AP}$ pada $\vec{AC}$

Pembahasan

Jawaban a)
Titik $P$ terletak pada $AB$ sedemikian sehingga $AP : PB = 1:3$.
Untuk itu, koordinat $P$ dapat ditentukan sebagai berikut.
Absis
$\begin{aligned} x_P & = \dfrac{1}{1+3}(1x_B + 3x_A) \\ & = \dfrac14(1(-2)+3(0)) =-\dfrac12 \end{aligned}$
Ordinat:
$\begin{aligned} y_P \\ & = \dfrac{1}{1+3}(1y_B + 3y_A) \\ & = \dfrac14(1(0)+3(4)) = 3 \end{aligned}$
Aplikat:
$\begin{aligned} z_P & = \dfrac{1}{1+3}(1z_B + 3z_A) \\ & = \dfrac14(1(4)+3(6)) = \dfrac{11}{2} \end{aligned}$
Jadi, koordinat $P$ adalah $\boxed{\left(-\dfrac12, 3, \dfrac{11}{2}\right)}$
Jawaban b)
Diketahui bahwa
$\begin{aligned} \vec{AP} & = P- A \\ & = \left(-\dfrac12, 3, \dfrac{11}{2}\right)- (0, 4, 6) \\ & = \left(-\dfrac12,-1,-\dfrac12\right) \\ \vec{AC} & = C- A \\ &  = (2,2,2)-(0,4,6) \\ & =(2,-2,-4) \\ |\vec{AC}|^2 & = (2)^2+(-2)^2+(4)^2 = 24 \end{aligned}$
Dengan menggunakan rumus proyeksi vektor, didapat
$$\begin{aligned} \vec{AP}_{\vec{AC}} & = \dfrac{\vec{AP} \bullet \vec{AC}}{|\vec{AC}|^2} \cdot \vec{AC} \\ & = \dfrac{\left(-\dfrac12,-1,-\dfrac12\right) \bullet (2,-2,-4)}{24} \cdot (2,-2, 4) \\ & = \dfrac{-1 + 2 + 2}{24} \cdot (2,-2, 4) \\ & = \left(\dfrac14,-\dfrac14, \dfrac12\right) \end{aligned}$$Jadi, proyeksi vektor $\vec{AP}$ pada $\vec{AC}$ adalah $\boxed{\dfrac14 \widehat i- \dfrac14 \widehat j + \dfrac12 \widehat k}$
Jawaban c)
Diketahui bahwa
$$\begin{aligned} \vec{AP} & = P- A = \left(-\dfrac12, 3, \dfrac{11}{2}\right)- (0, 4, 6) = \left(-\dfrac12,-1,-\dfrac12\right) \\ \vec{AC} & = C- A = (2,2,2)-(0,4,6)=(2,-2,-4) \\ |\vec{AC}| & = \sqrt{(2)^2+(-2)^2+(4)^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt6 \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus proyeksi skalar, didapat
$\begin{aligned} |\vec{AP}_{\vec{AC}}| & = \dfrac{\vec{AP} \bullet \vec{AC}}{|\vec{AC}|} \\ & = \dfrac{\left(-\dfrac12,-1,-\dfrac12\right) \bullet (2,-2,-4)}{2\sqrt6} \\ & = \dfrac{-1 + 2 + 2}{2\sqrt6} \\ & = \dfrac{3}{2\sqrt6} \color{red}{\times \dfrac{\sqrt6}{\sqrt6}} \\ & = \dfrac{\cancel{3}\sqrt6}{2(\cancelto{2}{6})} = \dfrac{1}{4}\sqrt6 \end{aligned}$
Jadi, proyeksi skalar $\vec{AP}$ pada $\vec{AC}$ adalah $\boxed{\dfrac14\sqrt{6}}$

[collapse]

Soal Nomor 39
Diketahui vektor-vektor $\vec u = b\widehat{i}+a\widehat{j}+9\widehat{k}$ dan $\vec v = a\widehat{i}-b\widehat{j}+a\widehat{k}$. Sudut antara vektor $\vec u$ dan $\vec v$ adalah $\theta$ dengan $\cos \theta = \dfrac{6}{11}$. Proyeksi ortogonal $\vec u$ pada $\vec v$ adalah $\vec p = 4\widehat{i}-2\widehat{j}+4\widehat{k}$. Nilai dari $b=\cdots \cdot$
A. $\sqrt2$                      D. $4$
B. $2$                          E. $4\sqrt2$
C. $2\sqrt2$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} \vec u & = (b, a, 9) \\ \vec b & = (a,-b, a) \\ \angle(\vec u, \vec v) & = \theta \\ \cos \theta & = \dfrac{6}{11} \\ \vec u_{\vec v} & = \vec p = (4,-2, 4) \end{aligned}$
Misalkan $n = \dfrac{\vec u \bullet \vec v} {|\vec v|^2}$.
Dengan menggunakan rumus proyeksi ortogonal vektor, didapat
$\begin{aligned} \vec u _{\vec v} & = n \cdot \vec v \\ (4,-2,4) & = n(a,-b, a) \\ (4,-2,4) & = (na,-nb, an) \end{aligned}$
Dari sini, diperoleh $4=na$ dan $-2=-nb$.
Kedua persamaan di atas dapat ditulis menjadi
$n = \dfrac{a}{4}$ dan $n = \dfrac{2}{b}$
Untuk itu, 
$\dfrac{a}{4} = \dfrac{2}{b} \Leftrightarrow a = 2b$
Selanjutnya, dengan menggunakan rumus cosinus vektor, didapat
$$\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec u \bullet \vec v}{|\vec u| \cdot |\vec v|} \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{(b, a, 9) \bullet (a,-b, a)}{\sqrt{b^2+a^2+(9)^2} \cdot \sqrt{a^2 + (-b)^2 + a^2}} \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{ab- ab + 9a}{\sqrt{a^2+b^2+81} \cdot \sqrt{2a^2 + b^2}} \\ & \text{Substitusikan}~a = 2b \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{9(2b)}{\sqrt{(2b)^2+b^2+81} \cdot \sqrt{2(2b)^2 +b^2}} \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{18b}{\sqrt{5b^2+81} \cdot \sqrt{9b^2}} \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{\cancelto{6}{18b}}{\sqrt{5b^2+81} \cdot \cancel{3b}} \\ 11 & = \sqrt{5b^2+81} \\ 121 & = 5b^2+81 \\ b^2 & = \dfrac{121-81}{5} = 8 \\ b & = 2\sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, nilai $b$ adalah $\boxed{2\sqrt{2}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 40
Given a cuboid $OABC.DEFG$, with $|\vec{OA}| = 4, |\vec{OC}| = 3$, and $|\vec{OD}| = 6$. Find the scalar projection of $\vec{OF}$ on $\vec{OB}$
Diketahui balok $OABC.DEFG$ dengan $|\vec{OA}| = 4, |\vec{OC}| = 3$, dan $|\vec{OD}| = 6$. Tentukan proyeksi skalar $\vec{OF}$ pada $\vec{OB}$.

Pembahasan

Perhatikan sketsa balok $OABC.DEFG$ berikut.

Karena $|\vec{OA}| = 4$ dan $|\vec{OC}| = |\vec{AB}| = 3$, maka dengan rumus Pythagoras, diperoleh
$|\vec{OB} = \sqrt{|\vec{OA}|^2 + |\vec{AB}|^2} = \sqrt{4^2+3^2} = 5$
Misalkan $|\vec{c}|$ adalah proyeksi skalar $\vec{OF}$ pada $\vec{OB}$, sehingga
$|\vec{c}| = \dfrac{\vec{OF} \bullet \vec{OB}}{|\vec{OB}|}$
Misalkan juga sudut antara $\vec{OB}$ dan $\vec{OF}$ adalah $\theta$, sehingga dengan Rumus Cosinus Vektor, diperoleh
$\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec{OF} \bullet \vec{OB}}{|\vec{OF}| \cdot |\vec{OB}|} \\ \dfrac{|\vec{OB}|}{\cancel{|\vec{OF}|}} & = \dfrac{\vec{OF} \bullet \vec{OB}}{\cancel{|\vec{OF}|} \cdot |\vec{OB}|} \\ |\vec{OB}|^2 & = \vec{OF} \bullet \vec{OB} \end{aligned}$
Kembali pada rumus proyeksi skalar, diperoleh
$\begin{aligned} |\vec{c}| & = \dfrac{\vec{OF} \bullet \vec{OB}}{|\vec{OB}|} \\ & = \dfrac{|\vec{OB}|^2}{|\vec{OB}|} \\ & = |\vec{OB}| = 5 \end{aligned}$
Jadi, proyeksi skalar $\vec{OF}$ pada $\vec{OB}$ adalah $\boxed{5}$

[collapse]

Today Quote

Ketika yang lain bisa berlari, janganlah iri karena dirimu hanya bisa berjalan. Bersyukurlah sebab ada yang hanya bisa merangkak demi sampai ke garis finish.