Soal dan Pembahasan – Kalkulus Fungsi Vektor

Berikut ini merupakan soal & pembahasan mengenai kalkulus fungsi vektor yang dipelajari saat perkuliahan kalkulus lanjut.

Soal Nomor 1
Gambarlah grafik dari fungsi vektor
$F(t) = (4 \sin t)i + (4 \cos t)j, t \in \mathbb{R}$

Penyelesaian

Misalkan $x = 4 \sin t$ dan $y = 4 \cos t$. Jika masing-masing persamaan ini dikuadratkan, lalu dijumlahkan, diperoleh
$x^2 + y^2 = 16 \sin^2 t + 16 \cos^2 t$
$x^2 + y^2 = 16$
Persamaan ini merupakan persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 4. Gambar grafiknya adalah sebagai berikut.

[collapse]

Soal Nomor 2
Gambarlah grafik dari fungsi vektor
$F(t) = (t+2)i + (t^2 – 2t)j, t \in \mathbb{R}$

Penyelesaian

Misalkan $x = t + 2$ dan $y = t^2 – 2t$.
Persamaan $x = t + 2$ ekuivalen dengan $t = x – 2$. Substitusikan nilai $t$ ini ke persamaan $y = t^2 – 2t$, diperoleh
$y = (x – 2)^2 – 2(x-2)$
$y = x^2 – 6x + 8$
Persamaan ini merupakan persamaan kuadrat. Grafiknya sebagai berikut.

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui persamaan parameter suatu fungsi vektor $x =6t + 2$ dan $y = 2t$, $-\infty < t < \infty$. Nyatakanlah fungsi tersebut dalam persamaan Kartesius dan gambarkan kurvanya.

Penyelesaian

Diketahui $y = 2t$, yang ekuivalen dengan $3y + 2 = 6t + 2$. Karena $x = 6t + 2$, maka diperoleh $3y + 2 = x$. Ini merupakan persamaan garis lurus yang gambar grafiknya sebagai berikut.

Perhatikan bahwa batas $-\infty < t < \infty$ memiliki makna yang sama dengan $t \in \mathbb{R}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui persamaan parameter suatu fungsi vektor $x =4t^2$ dan $y = 4t$, $-1 \leq t \leq 2$. Nyatakanlah fungsi tersebut dalam persamaan kartesius dan gambarkan kurvanya.

Penyelesaian

Dari persamaan $y = 4t$, diperoleh $t = \dfrac{y}{4}$. Substitusikan $t$ ini ke persamaan $x = 4t^2$, diperoleh
$x = 4\left(\dfrac{y}{4}\right)^2$
$x = \dfrac{y^2}{4}$
$4x = y^2$
Persamaan ini merupakan persamaan parabola dengan grafik sebagai berikut.

Batas koordinat sesuai interval yang diberikan adalah saat $t = -1$ sampai $t = 2$. Saat $t = -1$, diperoleh $(4, -1)$ dan saat $t = 2$, diperoleh $(16, 8)$.

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui persamaan parameter suatu fungsi vektor $x =4 \sin t – 2$ dan $y = 3 \cos t + 1$, $0 \leq t \leq 2\pi$. Nyatakanlah fungsi tersebut dalam persamaan Kartesius dan gambarkan kurvanya.

Penyelesaian

Ubah persamaan parameter yang diberikan menjadi
$x + 2 = 4 \sin t~~~~~(\cdots 1)$
$y – 1 = 3 \cos t~~~~~(\cdots 2)$
Ubahlah persamaan $(1)$ menjadi $\dfrac{3}{4}(x + 2) = 3 \sin t~~(\cdots 3)$. Jika kita menguadratkan lalu menjumlahkan persamaan $(2)$ dan $(3)$, diperoleh
$(y-1)^2 + \dfrac{9}{16}(x+2)^2 = 9(\sin^2 t + \cos^2 t)$
$16y^2 – 32y + 16 + 9x^2 + 36x + 36 = 144$
$9x^2 + 16y^2 + 36x – 32y – 92 = 0$
Persamaan terakhir ini merupakan persamaan elips dengan grafik sebagai berikut.

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui persamaan parameter suatu fungsi vektor $x =t^2$ dan $y = t^3$, $-1 \leq t \leq 2$. Nyatakanlah fungsi tersebut dalam persamaan Kartesius dan gambarkan kurvanya.

Penyelesaian

Ubahlah persamaan parameter tersebut menjadi
$x^3 = t^6$ dan $y^2 = t^6$
Dari kedua persamaan ini, diperoleh
$x^3 = y^2$
Gambar dari grafik persamaan ini adalah sebagai berikut.
Batas yang diberikan adalah di $t = -1$ dan $t = 2$, dengan koordinat $(1, -1)$ dan $(4,8)$

[collapse]

Soal Nomor 7
Tunjukkan bahwa fungsi vektor $f$, dengan rumus:
$f(t) = \left(t, \dfrac{t^2-1}{t-1}\right)$ mempunyai limit di $(1, 2)$ untuk $t$ mendekati $1$.

Penyelesaian

Pada fungsi tersebut, $f$ terdefinisi di sembarang $t \in \mathbb{R}$ kecuali di titik 1, sehingga $D_f = \mathbb{R} – \{1\}$. Akan ditunjukkan bahwa $\displaystyle \lim_{t \to 1} f(t) = (1,2)$, di mana $f(t) = \left(t, \dfrac{t^2-1}{t-1}\right)$. Untuk itu:
Ambil sembarang $\varepsilon > 0$. Berdasarkan definisi limit, harus ditemukan bilangan $\delta > 0$ sehingga untuk $t \in D_f, t \neq 1, |t – 1| < \delta$, berakibat $||f(t) – (1, 2)|| < \varepsilon$
Analisis:
$||f(t) – (1, 2)|| < \varepsilon$
$ = \left|\left|\left(t, \dfrac{t^2-1}{t-1}\right) – (1, 2)\right|\right|$
$ = (t – 1)^2 + (t + 1 – 2)^2||$
$ = (t – 1)^2 + (t – 1)^2 = 2(t – 1)^2 < \varepsilon^2$
$ (t – 1)^2 < \dfrac{1}{2} \varepsilon^2$
$ |t – 1| < \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \varepsilon$
Jadi, ambil $\delta = \dfrac{1}{2} \sqrt{2} \varepsilon$. Dengan demikian, diperoleh jika $t \neq 1, |t – 1| < \delta$ berakibat $||f(t) – (1,2)|| < \varepsilon$
Terbukti bahwa $\displaystyle \lim_{t \to 1} f(t) = (1,2)$, di mana $f(t) = \left(t, \dfrac{t^2-1}{t-1}\right)$
Catatan: $\dfrac{t^2-1}{t-1} = \dfrac{\cancel{(t-1)}(t+1)}{\cancel{t-1}} = t + 1, t \neq 1$

[collapse]

Soal Nomor 8
Buktikan bahwa 
$\displaystyle \lim_{t \to 2} ((t – 2)^2i + 4tj) = (0, 8)$

Penyelesaian

Akan ditunjukkan bahwa $\displaystyle \lim_{t \to 2} f(t) = (0,8)$ di mana $f(t) = ((t – 2)^2, 4t)$.
Ambil sembarang $\varepsilon > 0$. Berdasarkan definisi limit, maka harus ditemukan bilangan $\delta > 0$ sehingga untuk $t \in D_f = \mathbb{R}, t \neq 2$, dan $|t – 2| < \delta$, berakibat $||f(t) – (0, 8)|| < \varepsilon$
Analisis:
$||f(t) – (0, 8)|| = ||((t – 2)^2, 4t) – (0, 8)||$
$ = \sqrt{(t – 2)^4 + (4t – 8)^2}$
$ = \sqrt{(t-2)^2(t-2)^2 + 16(t-2)^2}$
Untuk ini, harus dibatasi $|t – 2|^2$ dalam suatu konstanta real.
Misal $0 < |t – 2| < \delta \leq 1$, akibatnya $|t – 2|^2 \leq 1$, sehingga dapat ditulis
$ \sqrt{(t-2)^2(t-2)^2 + 16(t-2)^2} \leq (t-2)^2 + 16(t-2)^2$
$ = 17(t – 2)^2 < \varepsilon^2$
$ (t – 2)^2 < \dfrac{1}{17}\varepsilon^2$
$ |t – 2| < \dfrac{1}{17}\sqrt{17}\varepsilon$
Jadi, ambil $\delta = \min\left\{1, \dfrac{1}{17}\sqrt{17}\varepsilon\right\}$. Limit terbukti.

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika diketahui fungsi vektor hibrid/parsial:
$f(t) = \begin{cases} \dfrac{\ln(1+t^2)}{t}i + \dfrac{e^{2t} – 1}{t}j, & t \neq 0 \\ 2j, & t = 0 \end{cases}$

Tentukan semua nilai $t$ sehingga fungsi $f$ kontinu.

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 10
Hitung limit fungsi vektor:
$\displaystyle \lim_{t \to 2} (8ti – t^2j + k)$

Penyelesaian

Dengan metode yang sama seperti limit fungsi pada umumnya, kita langsung mensubstitusikan $t = 2$ ke fungsi vektornya. Jadi,
$\displaystyle \lim_{t \to 2} (8ti – t^2j + k) = (8.2i – (2)^2j + k)$
$ = 16i – 4j + k = (16, -4, 1)$
Jadi, fungsi vektor tersebut akan mendekati $(16, -4, 1)$ saat $t$ mendekati $2$.

[collapse]