Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi Poisson adalah distribusi probabilitas diskrit yang menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu apabila rata-rata kejadian tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir (dikutip dari: alvinburhani.wordpress.com). Sesuai dengan namanya, distribusi peluang ini ditemukan oleh Simeon Denis Poisson.
Distribusi Poisson sebenarnya diperoleh dari distribusi binomial, apabila dalam distribusi binomial berlaku syarat berikut.
a) Banyak pengulangan eksperimennya sangat besar ()
b) Peluang terjadinya peristiwa yang ditinjau mendekati nol (
c) Perkalian , sehingga haruslah
.
Berikut ini akan diberikan penurunan fungsi peluang distribusi Poisson berdasarkan fungsi peluang distribusi binomial menggunakan persyaratan di atas.
Limitkan kedua ruas sebagai berikut.
Hitung limitnya satu per satu.
Limit berikut merupakan limit barisan Euler.
Selanjutnya,
Jadi, akan diperoleh
Dengan demikian, distribusi pendekatannya adalah
Definisi Distribusi Poisson
Peubah acak dikatakan berdistribusi Poisson jika dan hanya jika fungsi peluangnya berbentuk
untuk bilangan cacah. Selain dari itu, nilai
.
Dalam hal ini, menyatakan rata-rata keberhasilan percobaan.
Dalam praktiknya, distribusi Poisson akan menjadi distribusi pendekatan yang baik dari distribusi binomial, jika dalam distribusi binomial berlaku:
dan
atau dan
di mana menyatakan banyaknya percobaan dan
menyatakan peluang terjadinya sukses dalam percobaan itu.
Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi Poisson adalah
atau
artinya peubah acak
berdistribusi Poisson dengan parameter
.
Teorema: Rataan Variabel Acak Berdistribusi Poisson
Rataan dari peubah acak yang berdistribusi Poisson adalah
Berdasarkan definisi rataan diskrit, maka
Misalnya
Batas-batas:
Untuk , maka
Untuk bernilai tak hingga, maka
juga demikian.
Jadi, diperoleh
Terbukti bahwa rataan Poisson setara dengan .
Catatan:
Banyak orang yang bertanya mengapa batas bawah sumasi dapat berubah dari 0 menjadi 1. Ini dikarenakan ketika kita mensubstitusikan
pada bentuk sebelumnya, hasilnya adalah 0, sehingga dapat diabaikan. Ingat pula bahwa
untuk
didefinisikan sama dengan 0.
Ingat bahwa
di mana
merupakan fungsi kepadatan peluang suatu distribusi.
Teorema: Varians Peubah Acak Berdistribusi Poisson
Varians Berdasarkan definisi varians, maka dari peubah acak yang berdistribusi Poisson adalah
Berdasarkan nilai ekspektasi diskrit, maka
Misalnya:
Batas-batasnya:
Untuk , maka
Untuk , maka
Dengan demikian, diperoleh
(Terbukti)
Teorema: Fungsi Pembangkit Momen Peubah Acak Berdistribusi Poisson
Fungsi pembangkit momen dari peubah acak Berdasarkan definisi fungsi pembangkit momen diskrit, maka yang berdistribusi Poisson adalah
(Terbukti)
Catatan:
Gunakan sifat ekspansi dari deret Maclaurin berikut.
Berikut ini adalah beberapa contoh soal mengenai penggunaan distribusi Poisson beserta pembahasannya.
Catatan: Gunakan kalkulator saintifik bila diperlukan
Soal Nomor 1
Apakah artinya ? Tuliskan bentuk fungsi peluangnya.
artinya peubah acak
yang berdistribusi Poisson dengan parameter
. Fungsi peluang dari
berbentuk:
Soal Nomor 2
Misalkan adalah peubah acak berdistribusi Poisson dengan parameter
. Jika
, maka nilai dari
adalah
Fungsi peluang dari distribusi Poisson adalah
Langkah pertama adalah menentukan nilai sebagai berikut.
Jadi, diperoleh
Selanjutnya, akan dicari nilai dari sebagai berikut.
Soal Nomor 3
Pada tahun 2018 dilakukan penelitian di pedalaman desa . Diperoleh data bahwa rata-rata terdapat 2,5 orang albino dari 175 orang, di mana 525 orang diambil sebagai sampel percobaan. Dengan menggunakan pendekatan Poisson, tentukan peluang diperolehnya orang yang bukan albino.
Diketahui rata-rata hitung orang albino per
populasi. Jumlah sampel yang diambil sebanyak
, yaitu 3 kali lebih banyak dari populasi pada tahun 2018, sehingga rata-rata hitung
sekarang pada populasi
orang adalah
.
Peluang dari sampel tersebut tidak diperoleh orang albino adalah
Soal Nomor 4
Diketahui suatu perusahaan biasanya mendapatkan 360 e-mail setiap 6 jam kerja. Tentukan peluang bahwa dalam waktu 6 menit, perusahaan itu mendapatkan setidaknya 2 e-mail.
Peluang setidaknya 2 e-mail didapat sama dengan jumlah dari peluang mendapatkan e-mail, dinotasikan
Manfaatkan bentuk komplemen peluang untuk menghitung peluang yang dimaksud, yaitu
Dalam kasus ini, , yaitu rata-rata dari banyaknya e-mail yang diterima perusahaan dalam waktu 10 menit (6 jam = 360 menit, berarti dapat diasumsikan setiap 10 menit, terdapat 10 e-mail yang masuk). Jadi,
Dengan demikian,
Jadi, peluang setidaknya 2 e-mail didapat perusahaan dalam waktu 10 menit adalah 0,9995.
Soal Nomor 5
Seorang pegawai asuransi jiwa menawarkan rata-rata 3 kebijakan asuransi setiap minggunya. Dengan menggunakan Hukum Poisson, tentukan peluang kejadian pegawai itu menawarkan setidaknya 1 kebijakan asuransi dalam rentang waktu seminggu.
Diketahui , sehingga dengan definisi fungsi peluang Poisson, diperoleh
Jadi, peluang yang dimaksud sebesar .
Soal Nomor 6
Kendaraan melewati suatu pertigaan jalan dengan rata-rata 300 kendaraan setiap jamnya. Tentukan peluang kejadian tidak ada kendaraan yang melewati pertigaan itu dalam rentang waktu satu menit.
Rata-rata kendaraan melewati pertigaan jalan itu per menitnya adalah
Catatan: 1 jam = 60 menit.
Dengan menggunakan Hukum Poisson, didapat
Jadi, peluang kejadian tidak ada kendaraan yang melewati pertigaan jalan itu dalam satu menit adalah .
Soal Nomor 7
Ruang gawat darurat sebuah rumah sakit akan memiliki tingkat kedatangan rata-rata pasien sebanyak 4 orang per hari. Kedatangan pasien mengikuti proses Poisson. Berapa probabilitas kedatangan 2 pasien per hari?
Diketahui , di mana
menyatakan tingkat kedatangan rata-rata pasien per harinya. Karena kedatangan pasien mengikuti proses Poisson, maka berlaku
Jadi, probabilitas kedatangan 2 pasien per hari adalah .
Soal Nomor 8
Misalkan banyaknya sambungan telepon ke nomor antara pukul
sampai pukul
selama 1 bulan berdistribusi Poisson dengan rata-rata 5 sambungan per hari. Berdasarkan informasi tersebut, tentukan peluang bahwa terdapat 10 sambung pada hari tertentu saat rentang waktu tersebut.
Kasus ini tergolong kasus Distribusi Poisson dengan , sehingga berlaku
Jadi, peluang bahwa terdapat 10 sambungan pada hari tertentu saat rentang waktu tersebut adalah .
Soal Nomor 9
Dua ratus penumpang telah memesan tiket untuk sebuah penerbangan luar negeri. Jika peluang penumpang yang telah mempunyai tiket tidak datang sebesar 0,007, maka berapakah peluang ada 2 penumpang yang tidak datang?
Dengan menggunakan Pendekatan Poisson, diketahui bahwa
dan
.
Dengan demikian,
Jadi, peluang terdapat 2 penumpang yang tidak datang sebesar 0,2417.
Soal Nomor 10
Jika rata-rata kedatangan kapal di suatu pelabuhan sebesar 22 unit kapal setiap jam, berapakah peluang kedatangan 4 kapal dalam waktu 3 menit? Gunakan proses Poisson.
Perhatikanlah bahwa 3 menit setara dengan 1/20 jam.
Diketahui:
dan
Dengan demikian,
Jadi, peluang kedatangan 4 kapal dalam waktu 3 menit sebesar 0,0203.
Soal Nomor 11
Rata-rata banyaknya permintaan sambungan telepon per menit di suatu sentral telepon adalah 10 sambungan. Kapasitas sentral tersebut hanya mampu melayani 15 permintaan tiap menitnya. Berapa peluang dalam 1 menit tertentu ada permintaan yang tak dilayani?
Misalkan menyatakan banyaknya permintaan sambungan telepon tiap menitnya dan
menyatakan rata-rat permintaan sambungan telepon per menit. Berarti,
dan
. Jika dalam 1 menit tertentu terdapat permintaan yang tidak dilayani, maka banyaknya sambungan permintaan pada tiap menitnya melebihi 15. Jadi, peluangnya adalah
Jadi, peluang dalam 1 menit tertentu ada permintaan yang tak terlayani sebesar 0,0487.
Soal Nomor 12
Peluang seseorang akan mendapat reaksi buruk setelah disuntik besarnya 0,0005. Dari 4000 orang yang disuntik, tentukan peluang yang mendapat reaksi buruk:
a) tidak ada
b) ada 2 orang, dan
c) lebih dari 2 orang.
Tentukan juga ada berapa orang yang diharapkan akan mendapat reaksi buruk.
Jawaban a)
Dengan menggunakan pendekatan distribusi Poisson kepada distribusi binom, maka
Jika menyatakan banyak orang yang mendapat reaksi buruk akibat suntikan itu, maka
Jadi, peluang tidak ada yang mendapat reaksi buruk dari suntikan itu sebesar 0,1353.
Jawaban b)
Dalam hal ini , sehingga
Jadi, peluang ada 2 orang yang mendapat reaksi buruk dari suntikan itu sebesar 0,2706.
Jawaban c)
Orang yang menderita reaksi buruk lebih dari 2 orang, berarti . Karena
maka
Nilai dari dan
sudah dihitung sebelumnya, sehingga berikutnya hanya akan dihitung nilai dari
sebagai berikut.
Jadi, peluang yang dicari adalah
Jawaban d)
Jumlah orang yang diharapkan mendapat reaksi buruk sama artinya dengan rata-rata yang sebelumnya telah ditentukan, yaitu
(Sumber: Sudjana, 2005. Metoda Statistika. Bandung: Tarsito. Dengan sedikit modifikasi)
Soal Nomor 13
Diketahui rata-rata kuliah yang batal pada suatu universitas tertentu adalah 4 kali per bulan. Berapakah peluang bahwa bulan depan kuliah akan batal sebanyak 6 kali?
Dengan menggunakan pendekatan Poisson, diketahui dan
, sehingga
Jadi, peluang bulan depan kuliah akan batal sebanyak 6 kali sebesar 0,1014.
Soal Nomor 14
Jika peubah acak berdistribusi Poisson dengan parameter
, buktikan bahwa
Berdasarkan definisi rataan diskrit, diperoleh
Misalkan , didapat
(Terbukti)
Soal Nomor 15
Jika peubah acak berdistribusi Poisson dengan parameter
dan
, maka hitunglah
.
Diketahui bahwa jika , maka rataannya adalah
sedangkan variansnya adalah
.
Substitusikan dan
pada persamaan kedua, sehingga diperoleh
. Diperoleh
atau
.
Karena tidak mungkin negatif, maka diambil
. Ini artinya, nilai dari
adalah
.
Soal Nomor 16
Misalnya peubah acak berdistribusi Poisson dengan parameter
. Jika
, hitunglah
dan
.
Diketahui fungsi kepadatan peluang dari distribusi Poisson adalah
Karena , maka berarti
Jadi, diperoleh , sehingga
dan
Soal Nomor 17
Misalnya peubah acak berdistribusi Poisson dengan parameter
. Jika
, hitunglah
a) dan
b) rataannya
c) variansnya
Jawaban a)
Diketahui fungsi kepadatan peluang dari distribusi Poisson adalah
Karena , maka berarti
Jadi, diperoleh , sehingga
dan
Jawaban b)
Berdasarkan dalil rataan distribusi Poisson,
Jadi, rataannya adalah 1.
Jawaban c)
Berdasarkan dalil varians distribusi Poisson,
Jadi, variansnya juga bernilai 1.
Soal Nomor 18
Misalnya peubah acak berdistribusi Poisson dengan parameter
. Jika
, maka:
a) tentukan fungsi pembangkit momen dari
b) hitung berdasarkan hasil jawaban a
Jawaban a)
Akan ditunjukkan bahwa fungsi pembangkit momen dari adalah
sebagai berikut.
(Terbukti)
Jawaban b)
Ingat hubungan fungsi pembangkit momen dan varians sebagai berikut.
Berikutnya, akan dicari turunan pertama dan turunan kedua dari .
Turunan pertamanya adalah
sehingga
Sedangkan turunan keduanya adalah
sehingga
Jadi, haruslah
Dapat disimpulkan bahwa variansnya adalah .
Soal Nomor 19
Jika peubah acak berdistribusi Poisson dengan parameter
, maka hitung
.
Karena , maka
Sederhanakan bentuk di atas sehingga nantinya diperoleh
Jadi, diambil .
Dengan demikian,
Soal Nomor 20
Jika peubah acak berdistribusi Poisson dengan parameter
, maka buktikan bahwa
Soal Nomor 21
Jika peubah acak berdistribusi Poisson dengan parameter
sehingga
, hitunglah
.
Karena , maka
Sederhanakan bentuk di atas sehingga nantinya diperoleh
Jadi, diambil .
Dengan demikian,
Soal Nomor 22
Misal peubah acak berdistribusi Poisson. Jika fungsi pembangkit momen dari
adalah
, hitung
.
Soal Nomor 23
Jika peubah acak berdistribusi Poisson dengan parameter
dan
, maka hitunglah
Diketahui . Karena
berdistribusi Poisson, maka
Berdasarkan dalil ekspektasi/rataan diskrit Poisson, didapat
Soal Nomor 24
Jika peubah acak berdistribusi Poisson dengan variansnya
, maka hitunglah
.
Karena berdistribusi Poisson dan berdasarkan dalil varians Poisson, maka
, sehingga
Soal Nomor 25
Misalkan peubah acak berdistribusi Poisson. Jika
, maka hitunglah
.
Karena berdistribusi Poisson dan berdasarkan dalil fungsi pembangkit momen Poisson, yaitu
, maka dengan membandingkannya pada bentuk
, diperoleh
. Dengan demikian,
Catatan: Pembulatan jawaban (aproksimasi) ke .
Soal Nomor 26
Jika peubah acak berdistribusi Poisson dengan parameter
dan
, maka hitunglah
.
Karena berdistribusi Poisson, maka
Dengan demikian,
Soal Nomor 27
Jika peubah acak berdistribusi Poisson dengan rataan
,maka hitung batas bawah dari
.
lengkap banget. keren gan
Terima kasih atas kunjungannya
Good job…
Ka bisa minta tolong penyelesaian buat soal ini?
Seorang pemilik kebun mangga memetik 18 buah mangga dan diantara 18 buah
mangga tersebut terdapat 5 buah mangga yang busuk namun pemilik tersebut
tetap akan menjualnya kepada pembeli. Bila pembeli akan membeli 4 buah
mangga secara acak, berapakah probabilitas bahwa pembeli tersebut tidak akan
memilih mangga yang busuk tadi?
Makasih ilmunya
lengkap dan rapi,. makasih ilmunya
Makasih gan. Soalny banyakin bro
Gan, request soal yg terkait dgn rataan,varians,sama fungsi pembngkit momen poisson donk (bukan soal aplikasi). Yg banyak y gan supaya bisa belajar, kalau bs dizertakan pmbhsannya
Laksanakan,Pak