Kesesatan Matematis (Mathematical Fallacy) – Penjelasan dan Contohnya

      Kesesatan Matematis (Mathematical Fallacy) merupakan ketidaksahihan konklusi (kesimpulan) yang diturunkan atau didapat seseorang karena kesalahan pola penalaran. Fallacy sendiri berasal dari bahasa Yunani dan Latin, yang berarti sesat berpikir. Dalam hal ini, fallacy merupakan elemen yang membuat pola pikir logika seseorang menjadi salah/sesat. Selain dalam dunia matematika, fallacy juga sering terjadi pada bidang lain, misalnya dalam bidang kajian linguistik (bahasa) terjadi kesalahan penafsiran kata yang dapat menimbulkan perbedaan pandangan. 

        Banyak kajian yang mendefinisikan arti dari mathematical fallacy dengan melihat dari berbagai sisi. Mathematical fallacy didefinisikan sebagai suatu kesalahan dalam mengilustrasikan konsep matematika berupa pembuktian yang kurang tepat (Wikipedia). Dalam buku “Mathematical Fallacies and Paradoxes” (Bunch, 1982: 1) dikemukakan: “An incorrect result coupled with an apparently logical explanation of why the result is correct is a fallacy,” yang bila diterjemahkan secara bebas: “Jawaban salah yang didapat dari penjelasan logis bahwa jawaban itu dapat dikatakan benar dinamakan fallacy.”

          Di sisi lain, mathematical fallacy dapat didefinisikan secara sederhana. Jika seluruh penalaran matematis bersifat formal dan deduktif, maka dapat dikatakan bahwa mathematical fallacy hanyalah sekadar argumen yang tak sahih. Definisi ini ternyata memiliki banyak kelemahan. Pertama, banyak sekali argumen yang tak sahih tetapi tidak tergolong mathematical fallacy. Kedua, banyak bentuk penalaran dalam matematika yang dilakukan secara informal. Jadi, definisi mathematical fallacy setidaknya harus dapat membedakan antara formal fallacy dan informal fallacy serta ketidaksahihannya (Aberdein, 2010: 3).

            Lebih lanjut, miskonsepsi dan fallacy memiliki arti yang berbeda tetapi ada keterkaitan. Miskonsepsi secara singkat diartikan sebagai keyakinan yang salah (mistaken beliefs), sedangkan fallacy adalah kesalahan pola penalaran (mistaken patterns of reasoning). Sebagai contoh, misalkan seseorang berpikir bahwa $\pi$ adalah bilangan rasional, maka ini berarti terjadi miskonsepsi pada orang tersebut. Apabila orang itu dapat membuktikan bahwa $\pi$ adalah bilangan rasional, maka ia melakukan fallacy.

           Terkadang kesalahan dalam memberi pembuktian terjadi karena adanya pengalaman terhadap situasi tertentu yang menyebabkan argumen yang sama dapat diberlakukan pada permasalahan yang berbeda. Kesalahan sejenis ini bisa terjadi pada tingkat yang sangat sederhana sampai tingkat yang lebih kompleks. Pada tingkat yang sederhana, peserta didik tahu bahwa ia harus menolak pembuktian yang tidak cacat itu, tetapi ia tidak tahu alasan mengapa ia harus menolaknya, sedangkan pada tingkat yang lebih kompleks, peserta didik mungkin menerima pembuktian yang cacat itu meskipun hasilnya kontradiksi dengan apa yang seharusnya benar.

Quote by Sukardi

Ramanujan mungkin tersesat dalam jenggala ketakterhinggaan.

          Melalui pengalaman yang sangat beragam, matematikawan telah mempelajari berbagai macam pernyataan matematika, termasuk hanya sekadar intuisi dan pembuktian yang cacat, sehingga dapat membawa mereka pada suatu kesesatan. Kesalahan seperti ini sulit dideteksi, tetapi bila berhasil ditemukan dapat mengajarkan konsep yang cukup banyak kepada kita untuk dikaji. Bagi guru matematika, kesalahan seperti itu adalah hasil pengerjaan dari siswanya. Saat siswa bertanggung jawab atas beragam argumen yang tidak masuk akal, beberapa di antaranya membuat pemikiran yang dapat dikatakan sebagai good mistakes, artinya mereka membuat kesalahan, tetapi bersifat samar dan sulit dideteksi di mana letak kesalahannya (Barbeau, 1999: 3).

           Hal ini dipertegas oleh Ormrod (2009: 327) yang mengatakan bahwa seiring tumbuh dan berkembangnya, siswa telah menerima potongan-potongan informasi yang berdiri sendiri, namun ketika mereka tumbuh dewasa, basis pengetahuan mereka semakin terorganisasi dan terintegrasi. Hal yang patut diperhatikan dalam pernyataan tersebut adalah ketika siswa mencoba mengonstruksikan pemahamannya secara mandiri, tidak ada jaminan bahwa konstruksi pemahamannya tersebut berlandaskan kaidah dan logika matematika.

        Lebih lanjut, apa yang disebut sebagai mathematical errors dijabarkan dalam banyak bentuk. Maxwell (1959) membedakannya dalam 3 jenis, yaitu
1) Mistake, yang terjadi karena penyimpangan konsep yang sifatnya sementara (temporer), salah tulis, atau salah membaca (memahami) soal.
2) Howler, yaitu bentuk kesalahan argumentasi tetapi menghasilkan jawaban yang benar.
3) Fallacy, yaitu bentuk kesalahan argumentasi yang mengarah pada jawaban yang tidak tepat, tetapi proses argumentasinya masuk akal.

Howler

Meskipun howler dan fallacy dibedakan oleh beberapa pakar matematika, tetapi pada hakikatnya, dua istilah ini sangat berkaitan. Howler dalam bahasa Indonesia diartikan sebagai “kesalahan besar” dan sering kali dijadikan topik diskusi dalam forum khusus matematika. Contoh howler yang sering terjadi adalah dalam hal penyederhanaan bentuk pecahan dan pengakaran bilangan seperti berikut.
$\begin{aligned} \dfrac{16}{64} & = \dfrac{1\cancel{6}} {\cancel{6}4} = \dfrac{1}{4} \\ \dfrac{19}{95} & = \dfrac{1\cancel{9}} {\cancel{9}5} = \dfrac{1}{5} \\ \dfrac{163}{326} & = \dfrac{1\cancel{6}\cancel{3}} {\cancel{3}2\cancel{6}} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Misal diambil contoh $\dfrac{16}{64} = \dfrac{1\cancel{6}} {\cancel{6}4} = \dfrac{1}{4}$. Meskipun jawabannya benar, namun proses pengerjaannya salah. Kita tahu bahwa angka 6 tidak boleh dicoret/dikanselasi karena angka itu tidak berdiri sendiri. Segala pembuktian ataupun perhitungan yang salah tetapi menghasilkan jawaban yang benar seperti contoh di atas disebut howler, yang dicetuskan oleh Maxwell.
Catatan: Istilah howler tidak hanya dipakai dalam dunia matematika. Kata “howler” juga digunakan dalam kehidupan sehari-hari dan kerap disinonimkan dengan “big mistake”. Sebagai contoh dalam dunia sepak bola, pemain yang melakukan gol bunuh diri berarti melakukan howler (kesalahan besar).

       Berikut ini adalah contoh-contoh mathematical fallacy yang terjadi pada berbagai terobosan konsep matematika. 

1. Pembagian oleh Nol

Pembagian oleh nol (dalam notasi angka maupun variabel) sering kali membuat terjadinya fallacy. Alhasil, jawaban yang diperoleh pun absurd dan menentang konsep matematika yang telah ada, meskipun pada proses pengerjaan kelihatannya sudah sesuai dengan aturan matematika. 
Sebagai contoh:
Akan dibuktikan bahwa $1 + 1 = 1$ dengan menggunakan konsep aljabar
Misalkan $x = 1$ dan $y = 1$, sehingga dapat ditulis $x = y$. 
$$\begin{aligned} x & = y \\ x^2 & = xy && (\text{Kedua ruas dikalikan}~x) \\ x^2 – y^2 & = xy -y^2 && (\text{Kedua ruas dikurangi}~y^2) \\ (x+y) \cancel{(x-y)} & = y\cancel{(x-y)} && (\text{Faktorkan}) \\ x + y & = y && (\text{Kedua ruas dibagi}~x-y) \\ 1 + 1& = 1 && (\text{Substitusi kembali}) \end{aligned}$ $ $\blacksquare$

Analisis Kesalahan

Jelas pembuktian di atas absurd karena tidak mungkin $1 + 1 = 1$ (harusnya $1+1 = 2$). 
Kekeliruan terjadi pada bagian yang melibatkan pembagian kedua ruas dengan $x-y$, padahal $x -y = 0$.

[collapse]

2. Prinsip Nilai Mutlak yang Salah

Kekeliruan jenis ini terjadi karena ketidaktelitian dalam menggunakan prinsip nilai mutlak. 
Perhatikan contoh berikut. 
Akan dibuktikan bahwa $2+2=5$
$$\begin{aligned} 2+2 & = 4-\dfrac{9}{2} + \dfrac{9}{2} && (1) \\ & = \sqrt{\left(4-\dfrac{9}{2}\right)^2} + \dfrac{9}{2} && (2) \\ & = \sqrt{16 – 36 + \left(\dfrac{9}{2}\right)^2} + \dfrac{9}{2} && (3) \\ & = \sqrt{-20 + \left(\dfrac{9}{2}\right)^2} + \dfrac{9}{2} && (4) \\ & = \sqrt{25-45+\left(\dfrac{9}{2}\right)^2} + \dfrac{9}{2} && (5) \\ & = \sqrt{5^2 – 2.5.\dfrac{9}{2} + \left(\dfrac{9}{2}\right)^2} + \dfrac{9}{2} &&(6) \\ & = \sqrt{\left(5-\dfrac{9}{2}\right)^2} + \dfrac{9}{2} &&(7) \\ & = 5-\dfrac{9}{2} + \dfrac{9}{2} && (8) \\ & = 5 \end{aligned}$$ $\blacksquare$

Analisis Kesalahan

Konsep dasar nilai mutlak (yang terkait dengan akar kuadrat dari suatu bilangan kuadrat) adalah
$\sqrt{x^2} = |x| = \begin{cases} x, &~\text{jika}~x \geq 0 \\ -x, &~\text{jika}~x < 0 \end{cases}$
Letak kesalahan proses pembuktian di atas ada pada langkah ke-2. Ini dikarenakan 
$4 – \dfrac{9}{2} = -\dfrac{1}{2}$ (bernilai negatif). Seharusnya, 
$\color{red}{\sqrt{\left(4-\dfrac{9}{2}\right)^2} = -\left(4-\dfrac{9}{2}\right)}$

[collapse]

3. Dilema Plus Minus

Banyak orang melakukan kekeliruan dalam hal menarik akar kuadrat dari bentuk $x^2 = a^2$ menjadi $x = a$, padahal seharusnya $x = \pm a$ (baca: plus minus $a$). Menyepelekan kesalahan seperti ini ternyata dapat mengakibatkan jawaban yang salah/kurang lengkap, bahkan bisa berefek fatal seperti pada contoh berikut. 
Akan dibuktikan $-1 = 1$ dengan menggunakan konsep trigonometri.
Diketahui identitas Pythagoras pada trigonometri
$\boxed{\sin^2 x + \cos^2 x = 1}$ 
Persamaan di atas dapat dimanipulasi sedemikian sehingga diperoleh
$\begin{aligned} \cos^2 x & = 1- \sin^2 x && (1) \\ \sqrt{\cos^2 x} & = \sqrt{1-\sin^2 x} && (2) \\ \cos x & = (1-\sin^2 x)^{\frac{1}{2}} && (3) \end{aligned}$
Misalkan $x = \pi$, diperoleh
$\begin{aligned} \cos \pi & = (1-\sin^2 \pi)^{\frac{1}{2}} && (4) \\ -1 & = (1-0)^{\frac{1}{2}} && (5) \\ -1 &= 1 && (6) \end{aligned}$ $\blacksquare$

Analisis Kesalahan

Kesalahan terjadi pada langkah ke-$2$ karena mengakarkuadratkan kedua ruas harus diberi syarat bahwa kedua ruasnya tidak bernilai negatif. Sedangkan saat kita mensubstitusikan $x = \pi$, didapat ruas kiri: $\cos \pi = -1$ (bernilai negatif). Langkah ke-$2$ bisa saja benar asalkan nilai $x$ yang diambil mengakibatkan kedua ruas persamaan tersebut tidak bernilai negatif, misalnya $x = \dfrac{\pi} {4}$.

[collapse]

4. Masalah Deret Divergen

Kekeliruan jenis ini terjadi karena kesalahan penggunaan konsep deret tak hingga yang divergen. Sebagai informasi, suatu deret dikatakan divergen jika limit dari jumlah tiap sukunya tidak menuju bilangan apapun, dan bahkan sampai tak hingga atau negatif tak hingga, sedangkan jika deret itu menuju suatu bilangan tertentu, maka deret itu dikatakan sebagai deret yang konvergen
Misalkan diberikan deret tak hingga yang divergen sebagai berikut. 
$S = 1+2+4+8+16+\cdots~~~~~(1)$
$S$ ini divergen karena tampak hasil penjumlahan tiap suku-sukunya akan terus membesar menuju tak hingga
Jika kita mengurangi kedua ruasnya dengan $1$, diperoleh
$S – 1 = 2 + 4 + 8 + 16 + \cdots~~~~~~(2)$
Sekarang, kalikan kedua ruas dengan $2$ pada persamaan $(1)$:
$2S = 2 + 4 + 8 + 16 + \cdots~~~~~(3)$
Bandingkan persamaan $(2)$ dan $(3)$, untuk memperoleh
$S -1 = 2S$
dan akhirnya didapat $S = -1$. Artinya, $1+2+4+8+16+\cdots = -1$. 
Jelaslah jawaban ini absurd dan tidak masuk akal karena tidak ada tanda-tanda yang membuat penjumlahan deret itu menjadi bernilai negatif.

Analisis Kesalahan

Deret di atas termasuk deret divergen karena penjumlahan suku-sukunya menuju tak hingga. Konsep $\infty$ (baca: tak hingga/infinit) sebenarnya cukup abstrak untuk dipelajari, karena $\infty$ bukanlah suatu bilangan dan akibatnya tidak bisa dimanipulasi layaknya suatu variabel dalam aljabar. Salah satu sifat yang melibatkan $\infty$, yaitu $\infty – a$ untuk $a \in \mathbb{R}$ (tidak memandang seberapa besar nilai $a$) yang hasil operasinya tetaplah $\infty$. Sifat ini dipakai pada pembuktian di atas dan berimbas pada jawaban yang absurd karena $\infty$ diperlakukan layaknya suatu bilangan/variabel.

[collapse]

5. Integral yang Lolos Fondasi

Akan dibuktikan bahwa $0 = -1$ dengan menggunakan konsep integral trigonometri sebagai berikut. Diketahui:
$\int \tan x~\text{d}x = \int \sin x \sec x~\text{d}x$
(Ini dikarenakan $\tan x = \sin x \sec x$) 
Misalkan $u = \sec x$ dan $\text{d}v = \sin x~\text{d}x$. Dengan rumus integral parsial, diperoleh
$$\displaystyle \int \tan x~\text{d}x = -\sec x \cos x – \int (-\cos x) \sec x \tan x~\text{d}x$$
Karena $\sec x \cos x = 1$, maka
$\cancel{\int \tan x~\text{d}x} = -1 + \cancel{\int \tan x~\text{d}x} $ 
Akhirnya, diperoleh $0 = -1$. $\blacksquare$

Analisis Kesalahan

Kita tahu bahwa integral dari suatu fungsi tidaklah tunggal, melainkan menghasilkan suatu keluarga fungsi. Misalkan
$\displaystyle \int \tan x~\text{d}x = F(x) + C$ dengan $C$ suatu konstanta sembarang, maka 
$\begin{aligned} \displaystyle \int \tan x~\text{d}x & = -1 + \int \tan x~\text{d}x \\ \cancel{ F(x)} + C_1 & = -1 + \cancel{F(x)} + C_2 \\ C_1 -C_2 & = -1 \end{aligned}$
Ekspresi terakhir menunjukkan bahwa dua konstanta itu mengikuti suatu persamaan. Mengabaikan kedua konstanta ini justru mengakibatkan penarikan kesimpulan yang salah seperti halnya contoh di atas.

[collapse]

6. Sedikit Gesekan dalam Turunan

Akan dibuktikan bahwa $2 = 1$ dengan menggunakan prinsip turunan. 
Untuk sembarang bilangan positif $x$, bisa ditulis sebagai
$x = \underbrace{1+1+1+\cdots+1}_{\text{sebanyak}~x}$
Kalikan kedua ruas dengan $x$, sehingga diperoleh
$x^2 = \underbrace{x + x + x + \cdots + x} _{\text{sebanyak}~x}$
Diferensialkan kedua ruas terhadap $x$:
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}} {\text{d}x}(x^2) & = \dfrac{\text{d}} {\text{d}x}(x+x+x+\cdots+x) \\ 2x & = \underbrace{1+1+\cdots+1}_{\text{sebanyak}~x} \\ 2x & = x \end{aligned}$
Karena $x$ tak nol, maka kedua ruas pada persamaan terakhir di atas dapat dibagi $x$, sehingga diperoleh $2 = 1$. $\blacksquare$

Analisis Kesalahan

Perhatikan bagian:
$x^2 = \underbrace{x + x + \cdots + x} _{\text{sebanyak}~x} $
Terlihat kita mencoba merepresentasikan $x^2$ sebagai penjumlahan $x$ sebanyak $x$ buah. Jika diamati lebih jauh, bentuk penjumlahan ini bisa ditulis sebagai $ax$ untuk $a = x$. Pada pembuktian di atas, proses pendiferensialan $ax$ dilakukan dengan menganggap $a$ sebagai suatu konstanta, padahal $a$ dalam kasus ini berperan sebagai variabel, sehingga diferensiasinya seharusnya menggunakan aturan hasil kali dalam turunan sebagai berikut. 
$\begin{aligned} x^2 & = ax \\ \dfrac{\text{d}} {\text{d}x}(x^2) & = \dfrac{\text{d}} {\text{d}x}(ax) \\ 2x & = \left(\dfrac{\text{d}} {\text{d}a}. \dfrac{\text{d}a}{\text{d}x}. (ax)\right) + a \\ 2x & = x + a = x + x \end{aligned}$
Catatan: $\dfrac{\text{d}a} {\text{d} x} = 1$ (ingat bahwa $a = x$). Persamaan di atas terpenuhi, sehingga tidak mengalami fallacy seperti contoh di atas.

[collapse]

7. Permainan Aljabar yang Berbahaya

Akan dibuktikan bahwa $3 = 0$ dengan menggunakan konsep persamaan dan manipulasi aljabar. Diberikan suatu persamaan kuadrat $x^2+x+1 = 0$. Kalikan kedua ruas dengan $x$ untuk mendapatkan
$\begin{aligned} x^3+x^2+x & = 0 \\ x^3+x^2+x & = 1-1 \\ x^3+x^2+x+1 & = 1 \end{aligned}$
Substitusikan persamaan $x^2+x+1=0$ ke dalam persamaan ini, sehingga didapat
$\begin{aligned} x^3 + 0 & = 1 \\ x^3 & = 1 \\ x &= \sqrt[3]{1} = 1 \end{aligned} $
Sekarang, substitusikan $x = 1$ pada persamaan awal, diperoleh
$1^2 + 1 + 1 = 0$ yang berarti $3 = 0$. $\blacksquare$

Analisis Kesalahan

Kesalahan terjadi ketika proses pembuktian di atas menyimpulkan bahwa $x^3 = 1$ memiliki hanya satu solusi, yaitu $x = 1$, yang seharusnya dapat difaktorkan seperti berikut
$x^3-1 = 0 \implies (x-1)(x^2+x+1)=0$
Jelas terlihat bahwa solusinya ada dua, yaitu $x = 1$ atau $x^2+x+1=0$ (hubungan disjungsi) . Namun pada pembuktian di atas, yang terjadi adalah menganggap hubungan kedua solusi ini sebagai suatu konjungsi, yaitu $x = 1$ dan $x^2+x+1=0$. Secara implisit, ini terlihat ketika mensubstitusikan $x = 1$ pada persamaan $x^2+x+1=0$

[collapse]

8. Pelanggaran Aturan Pangkat

Akan dibuktikan bahwa $1 = -1$ dengan menggunakan konsep pangkat.
Diketahui $(-1)^3 = -1$.
Perhatikan bahwa ekspresi pada ruas kirinya dapat ditulis menjadi
$\boxed{\begin{aligned} & ((-1)^6)^{\frac{1}{2}} && (\text{Aturan pangkat}) \\ & = 1^{\frac{1}{2}} && ((-1)^6 = 1) \\ & = 1 \end{aligned}}$.
Jadi, diperoleh $1 = -1$. $\blacksquare$

Analisis Kesalahan

Langkah mengubah ekspresi $(-1)^3$ menjadi $((-1)^6)^{\frac{1}{2}}$  memunculkan terjadinya fallacy. Ini dikarenakan dalam Aturan Pangkat yang digunakan, yaitu $a^b = (a^c)^d$ dengan $b = cd$ berlaku dengan catatan bila dikomutatifkan (ditukar) posisi $c$ dan $d$, tidak menimbulkan kecacatan argumen. Dalam hal ini,
$((-1)^6)^{\frac{1}{2}} \neq ((-1)^{\frac{1}{2}})^6$
karena $(-1)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-1} = i$ merupakan bilangan imajiner (khayal).

[collapse]

9. Berat Gajah Sama Dengan Berat Semut

Akan dibuktikan bahwa berat gajah sama dengan berat semut.
Misalkan $g =$ berat gajah dan $s =$ berat semut. Dalam hal ini, akan ditunjukkan $g = s$.
Jika $a =$ berat gabungan keduanya, maka dapat ditulis
$a = g + s \iff g = a -s \iff g -a = -s$
Kalikan persamaan $g -a = -s$ dengan $g$ untuk memperoleh
$g^2-ag = -sg$
Karena $g = a – s$, maka persamaan di atas dapat ditulis kembali menjadi
$\begin{aligned} g^2-ag & = -s(a-s) \\ g^2-ag & = s^2-as \end{aligned}$
Tambahkan kedua ruasnya dengan $\left(\dfrac{a}{2}\right)^2$, sehingga dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} g^2-ag+\left(\dfrac{a} {2}\right)^2 & = s^2-as + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \\ \left(g – \dfrac{a} {2}\right)^{\cancel{2}} & = \left(s – \dfrac{a} {2}\right)^{\cancel{2}} && (\text{Difaktorkan}) \\ g – \cancel{\dfrac{a} {2}} & = s – \cancel{\dfrac{a} {2}}  && (\text{Tarik akar kuadrat}) \\ g & = s \end{aligned}$$
Terbukti bahwa berat gajah sama dengan berat semut. $\blacksquare$

Analisis Kesalahan

Pembuktian tersebut jelaslah absurd karena gajah seharusnya memiliki berat yang jauh lebih besar dibandingkan semut. Letak kesalahan ada pada langkah ke-2 baris terakhir, yaitu proses menarik akar kuadrat pada kedua ruas,
$\begin{aligned} \left(g -\dfrac{a} {2}\right) ^2 & = \left(s -\dfrac{a}{2}\right)^2 \\ g -\dfrac{a} {2} & = s -\dfrac{a} {2}\end{aligned}$
yang seharusnya,
$\begin{aligned} \left(g – \dfrac{a} {2}\right) ^2 & = \left(s -\dfrac{a}{2}\right)^2 \\ g -\dfrac{a} {2} & = \pm\left(s -\dfrac{a} {2}\right) \end{aligned}$
Pilih tanda negatif untuk memperoleh
$g -\dfrac{a} {2} = \dfrac{a} {2} -s \iff a = s + g$
Persamaan ini sesuai dengan redaksi awal yang mengatakan bahwa berat semut ditambah berat gajah berarti berat gabungan keduanya. Dengan kata lain, proses ini tidak lagi menimbulkan fallacy.

[collapse]

10. Induksi yang Invalid

Kekeliruan ini terjadi karena ketidaktelitian dalam menggunakan prinsip induksi matematika pada masalah kontekstual.
Akan dibuktikan bahwa semua orang Indonesia memiliki umur yang sama (jelas ini tidaklah benar).
Misalkan $S_n:$ Pada setiap grup yang beranggotakan $n$ orang, semuanya memiliki umur yang sama.
Dengan memisalkan $n$ adalah jumlah penduduk Indonesia saat ini, akan dibuktikan bahwa $n$ penduduk Indonesia memiliki umur yang sama.
Langkah pembuktian:
(L1) Pada setiap kelompok yang hanya beranggotakan 1 orang, jelas semua anggotanya memiliki umur yang sama (karena hanya terdiri dari 1 orang). Berdasarkan fakta ini, $S(1)$ bernilai benar.
(L2) Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa jika diasumsikan $S(n)$ untuk $n = k$ benar, maka $S(n)$ untuk $n = k +1$ juga benar.
(L3) Untuk membuktikannya, dapat diasumsikan bahwa setiap kelompok yang beranggotakan $k$ orang, semuanya memiliki umur yang sama, sehingga akan dibuktikan bahwa semua kelompok yang beranggotakan $k+1$ orang, semuanya juga memiliki umur yang sama.
(L4) Misalkan bahwa $G$ adalah kelompok yang terdiri dari $k+1$ orang secara acak. Ini berarti yang perlu dibuktikan adalah semua anggota $G$ memiliki umur yang sama. Untuk membuktikannya, kita hanya perlu menunjukkan bahwa untuk setiap 2 orang yang dipilih secara acak (misal $P$ dan $Q$) selalu memiliki umur yang sama.
(L5) Jika $P$ yang merupakan anggota kelompok $G$ diabaikan, maka $G$ beranggotakan $k$ orang, yang berarti semua orang yang ada di dalamnya memiliki umur yang sama (berdasarkan asumsi induksi). Jika giliran $Q$ yang diabaikan, maka terbentuk juga kelompok yang beranggotakan $k$ orang yang semuanya memiliki umur yang sama.
(L6) Misalkan $R$ adalah anggota kelompok $G$ yang lain, selain $P$ dan $Q$.
(L7) Karena $Q$ dan $R$ berada dalam satu kelompok yang sama, maka berdasarkan langkah 5, mereka berdua memiliki umur yang sama.
(L8) Karena $P$ dan $R$ berada dalam satu kelompok yang sama, maka berdasarkan langkah 5, mereka berdua memiliki umur yang sama.
(L9) Karena $Q$ dan $R$ memiliki umur yang sama, begitu juga $P$ dan $R$, maka ini berarti $P$ dan $Q$ memiliki umur yang sama.
(L10) Karena kita telah menunjukkan bahwa setiap dua orang yang dipilih secara acak ($P$ dan $Q$) memiliki umur yang sama, maka ini berarti semua orang yang berada dalam kelompok $G$ memiliki umur yang sama.
Langkah induksi telah selesai. Kita telah menunjukkan bahwa untuk $n = 1$, $S(n)$ bernilai benar dan untuk setiap $n = k$ benar, maka $n = k+1$ juga benar. Berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan bernilai benar untuk setiap $n$ bilangan asli.

Analisis Kesalahan

Jika langkah-langkahnya ditinjau kembali, terlihat pembuktian dilakukan dengan menunjukkan bahwa setiap pasangan dalam kelompok memiliki umur yang sama, sehingga kelompok yang beranggotakan 3, 4, 5 orang, dan seterusnya memiliki umur yang sama. Namun yang menjadi permasalahan adalah tidak benar jika setiap pasangan memiliki umur yang sama. Ini hanya benar bila setiap kelompok hanya terdiri dari satu orang (trivial). Bagaimanapun, pembuktian ini tidak valid ketika mencoba membuktikan bahwa setiap 2 orang (sepasang) memiliki umur yang sama. Jika $P$ dan $Q$ adalah pasangan, maka harusnya tidak ada orang ketiga $R$ dalam pasangan tersebut untuk membuat argumen itu bekerja. Dengan demikian, tidak dapat disimpulkan bahwa $P$ dan $Q$ memiliki umur yang sama dengan membandingkannya dengan $R$. Dengan kata lain, pembuktian ini tidak sah karena sebenarnya $S(1)$ tidak mengimplikasikan $S(2)$.

[collapse]

11. Terlena oleh Jumlah Kuadrat

Jika $a,b \in \mathbb{R}$ dengan $a+b=3$ dan $ab=5$, tentukan nilai dari $a^2+b^2$.
Penyelesaian:
Diketahui $a + b = 3$ dan $ab = 5$. Dengan demikian,
$\begin{aligned} a^2 + b^2 & = a^2 + b^2 + 2ab – 2ab \\ = & (a + b)^2 -2ab \\ = & 3^2 -2(5) = -1 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $a^2 + b^2 = -1$
Temukan kekeliruan prosedur/argumen pada penyelesaian soal di
atas.

Analisis Kesalahan

Hasil akhir menunjukkan bahwa $a^2 + b^2 = -1$. Persamaan tersebut tidak mungkin terjadi karena kuadrat bilangan real tidak akan menghasilkan bilangan negatif.
Dengan mensubstitusikan $a + b = 3$ yang ekuivalen dengan $b = a -3$ ke persamaan $ab = 5$, diperoleh
$\begin{aligned} a(a -3) & = 5 \\ a^2 -3a -5 & = 0 \end{aligned}$
Dengan menggunakan rumus kuadrat (ABC), diperoleh akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat tersebut, yakni
$a = \dfrac{3 \pm i\sqrt{11}}{2}$
Jadi, $a$ dan $b$ bukanlah bilangan real. Untuk itu, nilai $a^2 + b^2$ tidak dapat ditentukan.

[collapse]

Daftar Pustaka
[1]Aberdein, Andrew. 2007. Fallacies in Mathematics. Florida: Florida Institute of Technology.
[2]Bunch, Bryan. 1982. Mathematical Fallacies and Paradoxes. Toronto: General      Publishing Company Ltd.
[3]Edward, J. Barbeau. 1999. Mathematical Fallacies, Flaws and Flimflam. Washington D.C: The Mathematical Association of America.
[4]Maxwell, E. A. 1959. Fallacies in Mathematics. London: Cambridge University Press.
[5]Ormrod, J. E. 2009. Educational Psychology Developing Learners. Ohio: Merril Prentice Hall.

CategoriesMathematical FallacyTags, , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *