Logika Matematika: Ingkaran, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi

       Sebelumnya, kita sudah mempelajari mengenai kalimat terbuka dan kalimat tertutup (pernyataan), serta nilai kebenaran. Dalam logika matematika, ada notasi yang dipakai untuk menegasikan kebenaran suatu pernyataan. Ketika pernyataan tunggal dihubungkan dengan pernyataan tunggal lainnya dengan menggunakan kata hubung tertentu, maka akan terbentuk pernyataan majemuk. Pernyataan majemuk tersebut memiliki nilai kebenaran yang bergantung pada pernyataan tunggal pembentuknya. Berikut akan dibahas secara lebih rinci tentang istilah-istilah dalam logika matematika tersebut. 

Today Quote

Tabel Kebenaran

      Tabel kebenaran (truth table) adalah tabel yang digunakan untuk menunjukkan nilai kebenaran dari suatu pernyataan tunggal maupun majemuk. Baris pertama (paling atas) pada tabel berisi nama/simbol pernyataan, kemudian baris di bawahnya menunjukkan nilai kebenaran. Nilai kebenaran ada dua, yaitu B (Benar) atau S (Salah), sedangkan dalam bahasa Inggris (internasional), ditulis T (True) atau F (False). Lain halnya dengan logika komputer yang menyatakannya dalam bilangan biner, yaitu 1 (Benar) atau 0 (Salah). Di sini, kita akan menggunakan notasi B dan S.

     Pada tabel kebenaran, disepakati bahwa penulisan nilai kebenaran mengutamakan BENAR pada pernyataan pertama terlebih dahulu, kemudian baru diikuti pernyataan berikutnya. Setelah itu, barulah pernyataan pertama dianggap SALAH. Sebagai contoh, disajikan tabel kebenaran dengan pernyataan $p$ dan $q$ berikut.
Untuk tabel kebenaran yang melibatkan tiga pernyataan, misalnya $p$, $q$, dan $r$ dapat dilihat di bawah.

     Apabila kita mencari nilai kebenaran dari pernyataan majemuk, maka dalam tabel kebenaran harus disajikan nilai kebenaran dari pernyataan tunggal pembentuknya terlebih dahulu. Kolom terakhir (paling kanan) pada tabel kebenaran adalah nilai kebenaran dari pernyataan majemuk yang dicari.

Ingkaran (Negasi)

Definisi: Ingkaran (Negasi)

    Ingkaran atau negasi digunakan untuk menyangkal suatu pernyataan. Ingkaran atau negasi $p$ dinyatakan oleh $\neg p$ atau beberapa literatur menuliskan $\sim \! p$. Agar konsisten, di sini akan dipakai notasi $\neg p$. Jika $p$ adalah pernyataan yang bernilai benar, maka $\neg p$ adalah pernyataan yang bernilai salah, begitu juga sebaliknya. Cara sederhana yang bisa dilakukan untuk mendapatkan ingkaran dari suatu pernyataan adalah dengan menyisipkan kata “bukan”, “tidak”, atau “tidak benar” pada pernyataan tersebut, seperti yang tampak pada contoh-contoh berikut.
$$\begin{aligned} p : &~\text{Canberra adalah ibu kota Australia (B)} \\ \neg p : &~\text{Canberra bukan ibu kota Australia (S)} \\ \\ q : &~\text{Kita ada kegiatan pada hari Senin} \\ \neg q : &~\text{Kita tidak ada kegiatan pada hari Senin} \\ \\ r : &~\text{Andi bukan seorang pengacara} \\ \neg r : &~\text{Andi adalah seorang pengacara} \\ \\ s : &~10-3 < 5~(\text{S}) \\ \neg s : &~\text{Tidak benar bahwa}~10-3 < 5~(\text{B}) \\ \neg s : &~10-3 \ge 5~(\text{B}) \end{aligned}$$Tabel kebenaran untuk ingkaran (negasi) adalah sebagai berikut.
Tabel berikut menunjukkan bentuk pernyataan beserta negasi/ingkaran yang sesuai dengannya.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Pernyataan} & \text{Negasi/Ingkaran} \\ \hline \text{Semua}~\cdots \cdot & \text{Ada/beberapa}~\cdots~\text{tidak}~\cdots \cdot \\ \text{Sama dengan}~(=) & \text{Tidak sama dengan}~(\neq) \\ \text{Lebih dari}~(>) & \text{Kurang dari atau sama dengan}~(\leq) \\ \text{Lebih dari atau sama dengan}~(\geq) & \text{Kurang dari}~(<) \\ \hline \end{array}$$

Konjungsi

Definisi: Konjungsi

     Ketika konjungsi digunakan, maka dua pernyataan akan menjadi satu pernyataan, disebut sebagai pernyataan majemuk. Kata “dan” dalam matematika selanjutnya disimbolkan dengan notasi $\land.$ Berikut ini beberapa contoh pernyataan majemuk yang memuat konjungsi.
$$\begin{aligned} p : &~\text{Andi adalah anak yang rajin} \\ q : &~\text{Andi adalah anak yang pandai} \\ p~\land q :&~\text{Andi adalah anak yang rajin dan pandai} \\ \\ p : &~\text{16 adalah bilangan kuadrat (B)} \\ q : &~\text{16 adalah bilangan ganjil (S)} \\ p \, \land q :&~\text{16 adalah bilangan kuadrat dan bilangan ganjil (S)} \\ \end{aligned}$$Kata hubung “dan” dalam konjungsi dapat diganti dengan kata tetapi, sehingga, walaupun, meskipun, maupun, dan kemudian selama artinya tetap sama.

      Nilai kebenaran pernyataan majemuk yang dihubungkan oleh konjungsi bergantung pada nilai kebenaran masing-masing pernyataan tunggal pembentuknya, yaitu mengikuti ketentuan: $\color{blue}{p \, \land q}$ akan bernilai benar jika kedua pernyataan $\color{blue}{p}$ dan $\color{blue}{q}$ bernilai benar. Tabel kebenaran untuk konjungsi adalah sebagai berikut.

Negasi dari Pernyataan Konjungsi

Negasi dari pernyataan konjungsi $p \, \land q$, ditulis $\neg(p \, \land q)$, ekuivalen dengan $\neg p \lor \neg q.$ Ekuivalensi ini dapat dibuktikan dengan menggunakan tabel kebenaran berikut.

Disjungsi

Definisi: Disjungsi

       Ketika disjungsi digunakan, maka dua pernyataan akan menjadi satu pernyataan, disebut sebagai pernyataan majemuk. Kata “atau” dalam matematika selanjutnya disimbolkan dengan notasi $\lor.$

    Disjungsi dalam keseharian memiliki arti ganda, yaitu disjungsi eksklusif dan inklusif. Misalkan ada kalimat “Setelah lulus SMP, Toni akan melanjutkan pendidikannya ke SMA atau SMK.” Kalimat ini ditafsirkan bahwa Toni akan melanjutkan ke salah satu dari dua pilihan sekolah yang diberikan, tidak mungkin keduanya sekaligus. Kata penghubung “atau” di sini disebut sebagai disjungsi eksklusif. Beda halnya dengan disjungsi inklusif, yang kata “atau”-nya memperbolehkan kita untuk memilih dua-duanya sekaligus, seperti pada kalimat “Dua bilangan yang habis dibagi 2 atau habis dibagi 5.” Ketika muncul istilah “disjungsi”, telah disepakati bahwa yang dimaksud adalah disjungsi inklusif.
Perhatikan contoh-contoh pernyataan majemuk yang dihubungkan menggunakan disjungsi berikut.
$$\begin{aligned} p : &~\text{Kucing adalah hewan karnivora (B)} \\ q : &~\text{Kucing adalah hewan berdarah panas (B)} \\ p \lor q : &~\text{Kucing adalah hewan karnivora atau hewan berdarah panas (B)} \\ \\ r : &~\text{Step gemar makan sayur} \\ s : &~\text{Suli tidak gemar makan daging} \\ r \lor s :&~\text{Step gemar makan sayur atau Suli tidak gemar makan daging} \end{aligned}$$    Nilai kebenaran pernyataan majemuk yang dihubungkan oleh disjungsi bergantung pada nilai kebenaran masing-masing pernyataan tunggal pembentuknya, yaitu mengikuti ketentuan: “$p~\lor q$ akan bernilai benar jika setidaknya salah satu pernyataan bernilai benar”. Tabel kebenaran untuk disjungsi adalah sebagai berikut.

Negasi dari Pernyataan Disjungsi

Negasi dari pernyataan disjungsi $p \lor q$, ditulis $\neg(p \lor q)$, ekuivalen dengan $\neg p \, \land \neg q.$ Ekuivalensi ini dapat dibuktikan dengan menggunakan tabel kebenaran berikut.

Implikasi

Definisi: Implikasi

      Banyak pernyataan dalam komunikasi sehari-hari, tak terkecuali dalam matematika, yang merupakan pernyataan bersyarat (conditional statement). Ciri utamanya adalah berbentuk “Jika …, maka …”. Sebagai contoh,
$$\begin{aligned} p : &~\text{Jika kamu belajar dengan giat, maka kamu akan lulus} \\ q : &~\text{Jika}~x~\text{bilangan kelipatan 4, maka}~x~\text{adalah bilangan genap} \end{aligned}$$Pernyataan majemuk “Jika $p$, maka $q$” yang dihubungkan oleh implikasi dinotasikan dengan tanda panah dengan arah ke kanan, yaitu $p \Rightarrow q.$

Pernyataan $p \Rightarrow q$ dapat dibaca:

1. Jika $p$, maka $q$.
2. $p$ mengimplikasikan $q$.
3. $q$ hanya jika $p$.
4. $q$ jika $p$.
5. $q$ asal saja $p$.

       Pada bentuk $p \Rightarrow q$, $p$ disebut anteseden (hipotesis) atau syarat cukup bagi $q$, sedangkan $q$ disebut konsekuen (kesimpulan/konklusi) atau syarat perlu bagi $p$. Seperti halnya konjungsi dan disjungsi, implikasi juga tidak mengharuskan kedua pernyataan memiliki hubungan tertentu. Perhatikan contoh berikut untuk lebih jelasnya.
$$\begin{aligned} p : &~2^4 = 16~~(\text{B}) \\ q : &~\text{11 adalah bilangan prima}~~(\text{B}) \\ p \Rightarrow q : &~\text{Jika}~2^4=16,~\text{maka 11 adalah bilangan prima} \\ \\ r : &~\text{Sukardi menjalankan sidang skripsi} \\ s : &~\text{Sukardi memiliki IPK > 3} \\ r \Rightarrow s : &~\text{Jika Sukardi menjalankan sidang skripsi, maka ia memiliki IPK > 3} \end{aligned}$$    Pernyataan majemuk yang dihubungkan oleh implikasi dapat bernilai benar dan salah. Nilai kebenaran $p \Rightarrow q$ akan salah hanya saat $p$ benar dan $q$ salah, seperti yang dinyatakan dalam tabel kebenaran implikasi di bawah ini.

Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Dari suatu implikasi, misalnya $p \Rightarrow q$, dapat diperoleh implikasi lain sebagai berikut.

1. Menukar anteseden dengan konsekuen, atau sebaliknya sehingga diperoleh pernyataan baru yang disebut konvers dari implikasi itu.
   $$\boxed{\text{Konvers dari}~p \Rightarrow q~\text{adalah}~q \Rightarrow p}$$
2. Menegasikan anteseden dan konsekuen sehingga diperoleh pernyataan baru yang disebut invers dari implikasi itu.
   $$\boxed{\text{Invers dari}~p \Rightarrow q~\text{adalah}~\neg p \Rightarrow \neg q}$$
3. Menegasikan anteseden dan konsekuen, kemudian menukar letaknya sehingga diperoleh pernyataan baru yang disebut kontraposisi dari implikasi itu.
   $$\boxed{\text{Kontraposisi dari}~p \Rightarrow q~\text{adalah}~\neg q \Rightarrow \neg p}$$

Kebenaran hubungan antara pernyataan implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi dari bentuk $p \Rightarrow q$ dinyatakan dalam tabel berikut.

Jika kita memperhatikan tabel di atas, ada beberapa poin penting yang dapat kita ambil.

1. Nilai kebenaran pada pernyataan implikasi ekuivalen dengan nilai kebenaran pada kontraposisinya sehingga $p \Rightarrow q \equiv \neg q \Rightarrow \neg p.$
2. Nilai kebenaran pada pernyataan konvers ekuivalen dengan nilai kebenaran pada pernyataan invers sehingga $q \Rightarrow p \equiv \neg p \Rightarrow \neg q.$

Baca Juga: Syarat Cukup dan Syarat Perlu dalam Matematika

Negasi dari Pernyataan Implikasi

Negasi dari pernyataan implikasi $p \Rightarrow q$, ditulis $\neg(p \Rightarrow q)$, ekuivalen dengan $p \, \land \neg q.$ Ekuivalensi ini dapat dibuktikan dengan menggunakan tabel kebenaran berikut.

Perhatikan bahwa kolom yang diraster kuning memiliki urutan nilai kebenaran yang sama. Jadi, terbukti bahwa $\boxed{\neg(p \Rightarrow q) \equiv p \, \land \neg q}$

Biimplikasi

Definisi: Biimplikasi

  Selain pernyataan kondisional (implikasi), ada juga pernyataan majemuk yang menunjukkan dua peristiwa/kondisi yang terjadi secara serentak. Ciri utamanya adalah berbentuk memuat frasa jika dan hanya jika. Pernyataan seperti itu disebut sebagai biimplikasi (atau implikasi dua arah). Biimplikasi yang dibentuk dari pernyataan $p$ dan $q$ ditulis $p \Leftrightarrow q$.  Pernyataan $p \Leftrightarrow q$ dapat dibaca:

1. $p$ jika dan hanya jika $q.$
2. Jika $p$, maka $q$ dan jika $q$, maka $p.$

       Pada bentuk $p \Leftrightarrow q$, $p$ disebut syarat cukup dan perlu bagi $q$, begitu juga sebaliknya, $q$ disebut syarat cukup dan perlu bagi $p$. Pernyataan majemuk biimplikasi bernilai benar ketika dua pernyataan tunggal pembentuknya memiliki nilai kebenaran yang sama, artinya sama-sama benar atau sama-sama salah, seperti yang ditunjukkan pada tabel kebenaran berikut.
Pernyataan $p \Leftrightarrow q$ secara logika ekuivalen dengan $(p \Rightarrow q) \, \land (q \Rightarrow p)$ dengan nilai kebenaran BSSB.  Ini dapat dibuktikan menggunakan tabel kebenaran di bawah.

Negasi dari Pernyataan Biimplikasi

Negasi dari pernyataan biimplikasi $p \Leftrightarrow q$, ditulis $\neg(p \Leftrightarrow q)$, ekuivalen dengan $\neg p \Leftrightarrow q$ atau $p \Leftrightarrow \neg q.$ Ekuivalensi ini dapat dibuktikan dengan menggunakan tabel kebenaran berikut.

Perhatikan bahwa kolom yang diraster kuning memiliki urutan nilai kebenaran yang sama. Jadi, terbukti bahwa $\boxed{\neg(p \Leftrightarrow q) \equiv \neg p \Leftrightarrow q \equiv p \Leftrightarrow \neg q}$

Nah, sebagai bentuk menguji pemahaman atas materi yang telah diterima di atas, silakan pelajari soal logika matematika yang tersedia pada tautan berikut. Setiap soal telah disertai dengan pembahasannya.