Materi, Soal, dan Pembahasan – Determinan Matriks

      Matriks merupakan susunan bilangan pada baris dan kolom yang diapit oleh kurung biasa atau kurung siku. Ada cukup banyak jenis matriks, di antaranya adalah matriks persegi, matriks persegi panjang, matriks kolom, matriks baris, matriks nol, matriks diagonal, matriks identitas, dan lain-lain.

      Khusus pada matriks persegi, terdapat istilah khusus yang disebut sebagai determinan. Determinan (determinant) adalah nilai karakteristik berupa bilangan real yang khusus dimiliki oleh matriks persegi. Misalkan $A$ adalah matriks persegi, maka determinan dari matriks $A$ ditulis $\det(A)$ atau menggunakan notasi garis tegak $|A|.$ Notasi determinan juga bisa dituliskan seperti bentuk matriks, tetapi bukan menggunakan kurung biasa ( ) maupun kurung siku [ ], melainkan garis tegak | |, seperti contoh berikut.
$$\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \\ \det(A) & = |A| = \begin{vmatrix} 3 & 7 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \end{aligned}$$

Determinan Matriks 2 × 2

     Nilai determinan matriks berordo $2 \times 2$ ditentukan dengan mengurangkan hasil kali entri di diagonal utama dengan hasil kali entri di diagonal samping. Misalkan ada matriks $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$. Determinannya dinyatakan oleh
$$\boxed{\large \det (A) = a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}$$Sebagai contoh:
Jika $A = \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$, maka determinannya adalah
$$\begin{aligned} \det (A) & = (-3)(-2) -(1)(4) \\ & = 6 -4= 2 \end{aligned}$$Jika $B = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & -5 \end{pmatrix}$, maka determinannya adalah $$\begin{aligned} \det (B) &= (0)(-5) -(2)(3)\\ &  = 0-6 = -6 \end{aligned}$$

Determinan Matriks 3 × 3

     Berbeda dengan cara menentukan determinan pada matriks berordo $2 \times 2$, pada matriks berordo $3 \times 3$ determinannya tidak serta merta selisih hasil kali entri di diagonal seperti sebelumnya. Determinan matriks berordo $3 \times 3$ dapat ditentukan dengan beberapa cara, antara lain sebagai berikut.
Aturan/Metode Sarrus (Rule of Sarrus): Jika ada matriks $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},$ maka nilai determinannya menurut Aturan Sarrus ditentukan dengan skema “kali hujan” seperti berikut.
     Pertama, tuliskan notasi matriksnya dengan garis tegak sebagai pengapitnya. Tuliskan entri kolom pertama dan kedua di sebelah kanan luar garis. Kalikan setiap entri secara diagonal (panah merah) dengan tanda nilai +, lalu kalikan setiap entri secara diagonal (panah biru) dengan tanda nilai -. Determinan $A$ dinyatakan oleh
$$\boxed{\large \det(A) = a_{11} a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{32}a_{23}a_{11}-a_{33}a_{21}a_{12}}$$    Aturan Sarrus dapat dimodifikasi dengan mengganti dua kolom yang ditambah di sebelah kanan luar garis tadi menjadi yang lain, misalnya menggunakan kolom kedua dan ketiga untuk ditambah di sebelah kiri luar garis. Modifikasi seperti ini disebut sebagai aturan Sarrus-Kino. Untuk lebih jelasnya, perhatikan soal dan pembahasan nomor 5 di bawah.
Metode ekspansi kofaktor (cofactor expansion): Sebelumnya, ada dua istilah yang perlu diketahui ketika menggunakan metode ini, yaitu minor dan kofaktor.
     Minor suatu entri matriks (($M_{ij}$)) adalah determinan yang dihasilkan setelah terjadi penghapusan baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$ sesuai dengan letak entri tersebut. Contoh: Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}.$

Minor dari $a_{22}$ atau ditulis dengan $M_{22}$ dinyatakan oleh


$$\begin{aligned} M_{22}  & = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} \\ & = a_{11} \cdot a_{33}-a_{31} \cdot a_{13} \end{aligned}$$Kofaktor dari suatu entri ($K_{ij})$ adalah minor entri itu beserta tanda + atau – secara selang-seling tergantung dari letaknya mengikuti aturan $K_{ij} = (-1)^{i + j} \cdot M_{ij}$ atau seperti yang tampak pada gambar di bawah (untuk matriks ukuran $3 \times 3$).
     Determinan matriks $A$ yang berukuran $n \times n$ dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil perkalian yang dihasilkan, yakni untuk setiap $1 \leq i \leq n$ dan $1 \leq j \leq n$, maka determinan matriks $A$ menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-$j$ dinyatakan oleh
$$\det (A) = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + \cdots + a_{nj}C_{nj}$$dan determinan matriks $A$ menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-$i$ dinyatakan oleh
$$\det (A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \cdots + a_{in}C_{in}$$    Ekspansi kofaktor sepanjang baris dan kolom apapun pada suatu matriks menghasilkan nilai determinan matriks tersebut. Dengan kata lain, kita bisa memilih baris atau kolom yang diinginkan. Biasanya kita memilih baris atau kolom yang entri $0$-nya lebih banyak karena akan lebih mudah dihitung. Sebagai contoh:
Diketahui $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 4 \\ 3 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}.$
Kita akan mencari nilai determinan $A$ dengan menggunakan metode ekspansi kofaktor.
Ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama:
$$\begin{aligned} \require{color} \begin{vmatrix} \colorbox{lightgray}{3} & \colorbox{lightgray}{-2} & \colorbox{lightgray}{4} \\ 3 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} & = 3 \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -3 \end{vmatrix}-(-2) \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} + 4 \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \\ & = 3(3-0)+2(-9-0)+4(3+2) \\ & = 9-18+20 = 11 \end{aligned}$$Ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua:
$$\begin{aligned} \require{color} \begin{vmatrix} 3 & -2 & 4 \\ \colorbox{lightgray}{3} & \colorbox{lightgray}{-1} & \colorbox{lightgray}{0} \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix}  & = -3 \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 1 & -3 \end{vmatrix}+(-1) \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & -3 \end{vmatrix}-0 \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \\ & = -3(6-4)-1(-9-8)-0 \\ & = -6+17 = 11 \end{aligned}$$Ekspansi kofaktor sepanjang baris ketiga:
$$\begin{aligned} \require{color} \begin{vmatrix} 3 & -2 & 4 \\ 3 & -1 & 0 \\ \colorbox{lightgray}{2} & \colorbox{lightgray}{1} & \colorbox{lightgray}{-3} \end{vmatrix} & = 2 \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -1 & 0 \end{vmatrix}-1 \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}+(-3) \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} \\ & = 2(0+4)-1(0-12)-3(-3+6) \\ & = 8+12-9 = 11 \end{aligned}$$Ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama:
$$\begin{aligned} \require{color} \begin{vmatrix} \colorbox{lightgray}{3} & -2 & 4 \\ \colorbox{lightgray}{3} & -1 & 0 \\ \colorbox{lightgray}{2} & 1 & -3 \end{vmatrix} & = 3 \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -3 \end{vmatrix}-3 \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 1 & -3 \end{vmatrix}+2 \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \\ & = 3(3-0)-3(6-4)+2(0+4) \\ & = 9-6+8 = 11 \end{aligned}$$Ekspansi kofaktor sepanjang kolom kedua:
$$\begin{aligned} \require{color} \begin{vmatrix} 3 & \colorbox{lightgray}{-2} & 4 \\ 3 & \colorbox{lightgray}{-1} & 0 \\ 2 & \colorbox{lightgray}{1} & -3 \end{vmatrix} & = -(-2) \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -3 \end{vmatrix}-1 \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & -3 \end{vmatrix}-1 \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} \\ & = 2(-9-0)-1(-9-8)-1(0-12) \\ & = -18+17+12 = 11 \end{aligned}$$Ekspansi kofaktor sepanjang kolom ketiga:
$$\begin{aligned} \require{color} \begin{vmatrix} 3 & -2 & \colorbox{lightgray}{4} \\ 3 & -1 & \colorbox{lightgray}{0} \\ 2 & 1 & \colorbox{lightgray}{-3} \end{vmatrix} & = 4 \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}-0 \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}+(-3) \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} \\ & = 4(3+2)-0-3(-3+6) \\ & = 20-9 = 11 \end{aligned}$$Berikut ini merupakan soal dan pembahasan terkait determinan matriks. Soal didominasi dari buku paket Matematika Wajib Kurikulum 2013 Kelas XI Semester 1 karya Sukino. Untuk soal matriks secara umum, bisa dilihat pada tautan berikut.

Baca: Soal dan Pembahasan – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks

Today Quote

Jika kamu ingin terbang tinggi, lepaskan semua hal yang selama ini membebani. Maafkan semua orang, maafkan masa lalumu, kamu berhak bahagia hari ini. Terbanglah dengan tinggi.

Soal Nomor 1
Hitunglah masing-masing determinan berikut.
a. $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}$
b. $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}$
c. $\begin{vmatrix} -8 & -3 \\ 4 & -5 \end{vmatrix}$
d. $\begin{vmatrix} -3 & -8 \\ -5 & 4 \end{vmatrix}$
e. $\begin{vmatrix} 2 & -17 \\ 1 & 6 \end{vmatrix}$
f. $\begin{vmatrix} 1 & 6 \\ -2 & 17 \end{vmatrix}$

Pembahasan

Determinan matriks ukuran $2 \times 2$ dihitung dengan cara mengurangkan hasil kali entri di diagonal utama dengan diagonal sampingnya.
Jawaban a)
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} & = 1(1)-0(0) \\ & = 1-0 = 1 \end{aligned}$$Jawaban b)
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} & = 0(1)-0(1) \\ & = 0-0 = 0 \end{aligned}$$Jawaban c)
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} -8 & -3 \\ 4 & -5 \end{vmatrix} & = (-8)(-5)-(4)(-3) \\ & = 40-(-12) = 52 \end{aligned}$$Jawahan d)
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} -3 & -8 \\ -5 & 4 \end{vmatrix} & = (-3)(4)-(-5)(-8) \\ & = -12-40 = -52 \end{aligned}$$Jawaban e)
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & -17 \\ 1 & 6 \end{vmatrix} & = 2(6)-(1)(17) \\ & = 12+17 = 29 \end{aligned}$$Jawaban f)
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 6 \\ -2 & 17 \end{vmatrix} & = 1(17)-(-2)(6) \\ & = 17+12 = 29 \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan nilai determinan dari masing-masing matriks di bawah ini.
a. $A = \begin{pmatrix} \sqrt2-1 & \sqrt2 \\ \sqrt2 & \sqrt2+1 \end{pmatrix}$
b. $B = \begin{pmatrix} \sqrt3+\sqrt2 & 1+\sqrt5 \\ 1-\sqrt5 & \sqrt3-\sqrt2 \end{pmatrix}$

Pembahasan

Jawaban a)
$$\begin{aligned} |A| & = (\sqrt2-1)(\sqrt2+1)-(\sqrt2)(\sqrt2) \\ & = (2-1)-2 = -1 \end{aligned}$$Jadi, nilai determinan $A$ adalah $\boxed{-1}$
Jawaban b)
$$\begin{aligned} |B| & = (\sqrt3+\sqrt2)(\sqrt3-\sqrt2)-(1-\sqrt5)(1+\sqrt5) \\ & = (3-2)-(1-5) \\ & = 1-(-4) = 5 \end{aligned}$$Jadi, nilai determinan $B$ adalah $\boxed{5}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Carilah determinan di bawah ini menggunakan aturan Sarrus.
a. $\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 4 & 0 & 2 \end{vmatrix}$
b. $\begin{vmatrix} 5 & 10 & 15 \\ 1 & 2 & 3 \\ -9 & 11 & 7 \end{vmatrix}$

Pembahasan

Jawaban a)
Perhatikan skema aturan Sarrus untuk menghitung nilai determinan matriks berikut.
Dengan menggunakan Aturan Sarrus, diperoleh

$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 4 & 0 & 2 \end{vmatrix} & = 1(-1)(2)+(2)(1)(4)+(-1)(2)(0)-(4)(-1)(-1)-(0)(1)(1)-(2)(2)(2) \\ & = -2 + 8+0-4-0-8 = -6 \end{aligned}$$Jadi, nilai determinan matriks tersebut adalah $\boxed{-6}$

Jawaban b)
Perhatikan skema aturan Sarrus untuk menghitung nilai determinan matriks berikut.
Dengan menggunakan aturan Sarrus, diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 5 & 10 & 15 \\ 1 & 2 & 3 \\ -9 & 11 & 7 \end{vmatrix} & = (5)(2)(7)+(10)(3)(-9)+(15)(1)(11)-(-9)(2)(15)-(11)(3)(5)-(7)(1)(10) \\ & = 70-270+165+270-165-70 = 0 \end{aligned}$$Jadi, nilai determinan matriks tersebut adalah $\boxed{0}$

[collapse]

Bagi yang sedang mencari soal-soal latihan matriks yang lebih menantang,
silakan kunjungi tautan berikut.

Baca: Soal dan Pembahasan – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks Versi HOTS dan Olimpiade 

Soal Nomor 4
Diberikan matriks $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}.$ Cari nilai determinan $A$ dengan ekspansi kofaktor sepanjang:
a. baris kedua;
b. baris ketiga;
c. kolom pertama; dan
d. kolom ketiga.

Pembahasan

Diketahui $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}.$
Jawaban a)
Nilai determinan menggunakan ekspansi kofaktor $A$ sepanjang baris kedua dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \require{color}\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \colorbox{lightgray}{4} & \colorbox{lightgray}{5} & \colorbox{lightgray}{6} \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} & = -4 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{vmatrix}+5 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}-6 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} \\ & = -4(18-24)+5(9-21)-6(8-14) \\ & = 24-60+36 = 0 \end{aligned}$$Jawaban b)
Nilai determinan menggunakan ekspansi kofaktor $A$ sepanjang baris ketiga dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \require{color}\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \colorbox{lightgray}{7} & \colorbox{lightgray}{8} & \colorbox{lightgray}{9} \end{vmatrix} & = 7 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{vmatrix}-8\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix}+9 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} \\ & = 7(12-15)-8(6-12)+9(5-8) \\ & = -21+48-27 = 0 \end{aligned}$$Jawaban c)
Nilai determinan menggunakan ekspansi kofaktor $A$ sepanjang kolom pertama dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \require{color}\begin{vmatrix} \colorbox{lightgray}{1} & 2 & 3 \\ \colorbox{lightgray}{4} & 5 & 6 \\ \colorbox{lightgray}{7} & 8 & 9 \end{vmatrix} & = 1 \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix}-4 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{vmatrix}+7 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} \\ & = 1(45-48)-4(18-24)+7(12-15) \\ & = -3+24-21 = 0 \end{aligned}$$Jawaban d)
Nilai determinan menggunakan ekspansi kofaktor $A$ sepanjang kolom ketiga dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \require{color}\begin{vmatrix} 1 & 2 & \colorbox{lightgray}{3} \\ 4 & 5 & \colorbox{lightgray}{6} \\ 7 & 8 & \colorbox{lightgray}{9} \end{vmatrix} & = 3 \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}-6\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}+9 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} \\ & = 3(32-35)-6(8-14)+9(5-8) \\ & = -9 + 36-27 = 0 \end{aligned}$$Jadi, dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris dan kolom tersebut, nilai determinan matriks tersebut adalah $\boxed{0}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan nilai determinan di bawah menggunakan aturan Sarrus-Kino.
a. Sarrus Kino: pindahkan kolom pertama ke sebelah kanan dan kolom ketiga ke sebelah kiri sesuai arah panah.
b. Sarrus Kino: pindahkan baris pertama ke sebelah bawah dan baris ketiga ke sebelah atas sesuai arah panah.

c. Sarrus Kino: pindahkan baris pertama ke baris keempat dan baris kedua ke baris kelima sesuai arah panah.

Pembahasan

Jawaban a)
Berdasarkan aturan Sarrus-Kino yang dimaksud, kita dapat membuat sketsa penulisannya sebagai berikut.

Misalkan matriks yang nilai determinannya akan dicari di atas adalah $A$. Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \det (A) & = (1)(1)(-2) + (3)(0)(3) + (2)(1)(-2)-(3)(1)(2)-(-2)(0)(1)-(-2)(1)(3) \\ & = -2 + 0- 4-6+0+6 = -6 \end{aligned}$$Jadi, nilai determinannya adalah $\boxed{-6}$
Jawaban b)
Berdasarkan aturan Sarrus-Kino yang dimaksud, kita dapat membuat sketsa penulisannya sebagai berikut.
Misalkan matriks yang nilai determinannya akan dicari di atas adalah $B$. Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \det (B) & = (0)(2)(-9) + (1)(5)(1) + (4)(0)(-3)-(4)(2)(1)-(0)(5)(-3)-(1)(0)(-9) \\ & = 0+5+0-8+0+0 = -3 \end{aligned}$$Jadi, nilai determinannya adalah $\boxed{-3}$
Jawaban c)
Berdasarkan aturan Sarrus-Kino yang dimaksud, kita dapat membuat sketsa penulisannya sebagai berikut.
Misalkan matriks yang nilai determinannya akan dicari di atas adalah $C$. Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \det (C) & = (1)(5)(1) + (4)(0)(-3) + (0)(2)(-9)-(0)(5)(-3)-(1)(0)(-9)-(4)(2)(1) \\ & = 5+0+0+0+0-8 = -3 \end{aligned}$$Jadi, nilai determinannya adalah $\boxed{-3}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} -6 & 3 & 8 \\ 5 & -4 & 1 \\ 10 & 9 & -10 \end{pmatrix}.$ Tentukan:
a. minor dari $a_{12}$;
b. minor dari $a_{33}$;
c. kofaktor dari $a_{12}$; dan
d. kofaktor dari $a_{33}$.

Pembahasan

Diketahui $A = \begin{pmatrix} -6 & 3 & 8 \\ 5 & -4 & 1 \\ 10 & 9 & -10 \end{pmatrix}.$
Jawaban a)
$a_{12}$ merupakan entri matriks $A$ pada baris pertama kolom kedua sehingga minornya merupakan determinan setelah baris pertama dan kolom kedua dihapus.
$$\require{color} \begin{vmatrix} \colorbox{lightgray}{-6} & \colorbox{lightgray}{3} & \colorbox{lightgray}{8}  \\ 5 & \colorbox{lightgray}{-4} & 1 \\ 10 & \colorbox{lightgray}{9} & -10 \end{vmatrix}$$Kita peroleh

$$\begin{aligned} M_{12} & = \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 10 & -10 \end{vmatrix} \\ & = (5)(-10)-(10)(1) \\ & = -50-10 = -60 \end{aligned}$$Jadi, minor dari $a_{12}$ adalah $\boxed{-60}$
Jawaban b)
$a_{33}$ merupakan entri matriks $A$ pada baris ketiga kolom ketiga sehingga minornya merupakan determinan setelah baris ketiga dan kolom ketiga dihapus.
$$\require{color} \begin{vmatrix} -6 & 3 & \colorbox{lightgray}{8}  \\ 5 & -4 & \colorbox{lightgray}{1} \\ \colorbox{lightgray}{10} & \colorbox{lightgray}{9} & \colorbox{lightgray}{-10} \end{vmatrix}$$Kita peroleh

$$\begin{aligned} M_{33} & = \begin{vmatrix}-6 & 3 \\ 5 & -4 \end{vmatrix} \\ & = (-6)(-4)-(5)(3) \\ & = 24-15 = 9 \end{aligned}$$Jadi, minor dari $a_{33}$ adalah $\boxed{9}$
Jawaban c)
$a_{12}$ merupakan entri matriks $A$ pada baris pertama kolom kedua. Kofaktor dari suatu entri matriks adalah minor entri itu berikut tanda $\pm$ di depan mengikuti rumus $K_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}.$
$$\begin{aligned} K_{12} & = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 10 & -10 \end{vmatrix} \\ & = -((5)(-10)-(10)(1)) \\ & = -(-50-10) = 60 \end{aligned}$$Jadi, kofaktor dari $a_{12}$ adalah $\boxed{60}$
Jawaban d)
$a_{33}$ merupakan entri matriks $A$ pada baris ketiga kolom ketiga. Kofaktor dari suatu entri matriks adalah minor entri itu berikut tanda $\pm$ di depan mengikuti rumus $K_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}.$
$$\begin{aligned} K_{33} & = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix}-6 & 3 \\ 5 & -4 \end{vmatrix} \\ & = 1((-6)(-4)-(5)(3)) \\ & = 1(24-15) = 9 \end{aligned}$$Jadi, kofaktor dari $a_{33}$ adalah $\boxed{9}$

[collapse]

Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Aturan Cramer 

Soal Nomor 7
Cari nilai determinan dari masing-masing matriks berikut.
a. $A = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$
b. $B = \begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix}$
c. $C = \begin{pmatrix} t & 0 \\ 0 & t^{-1} \end{pmatrix}$, $(t \neq 0)$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $A = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}.$Determinan $A$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} |A| & =(\cos \theta)(\cos \theta)-(\sin \theta)(-\sin \theta) \\ & = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \\ & = 1 && (\text{Identitas Pythagoras}) \end{aligned}$$Jadi, nilai determinan matriks tersebut adalah $\boxed{1}$
Jawaban b)
Diketahui $B = \begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix}.$
Determinan $B$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} |B| & =(\cos 2\theta)(-\cos 2\theta)-(\sin 2\theta)(\sin 2\theta) \\ & = -\cos^2 2\theta-\sin^2 \theta \\ & = -(\cos^2 2\theta + \sin^2 2\theta) \\ & = -1 && (\text{Identitas Pythagoras}) \end{aligned}$$Jadi, nilai determinan matriks tersebut adalah $\boxed{-1}$
Jawaban c)
Diketahui $C = \begin{pmatrix} t & 0 \\ 0 & t^{-1} \end{pmatrix}$, $(t \neq 0).$
Determinan $C$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} |C| & = (t)(t^{-1})-(0)(0) \\ & = 1-0 = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai determinan matriks tersebut adalah $\boxed{1}$

[collapse]

Soal Nomor 8
Carilah nilai $x$ dari masing-masing persamaan di bawah ini.
a. $\begin{vmatrix} x & 10 \\ 2 & x-1 \end{vmatrix} = 0$
b. $\begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 6 & x & 10 \\ 0 & 2 & x-1 \end{vmatrix} = 12$

Pembahasan

Jawaban a)
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} x & 10 \\ 2 & x-1 \end{vmatrix} & = 0 \\ (x)(x-1)-(2)(10) & = 0 \\ x^2-x-20 & = 0 \\ (x-5)(x+4) & = 0 \\ x = 5~\text{atau}~x & = -4 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan itu adalah $\boxed{x = 5~\text{atau}~x = -4}$
Jawaban b)
Determinan pada ruas kiri akan dicari dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama.
$$\begin{aligned} \require{color} \begin{vmatrix} \colorbox{lightgray}{3} & \colorbox{lightgray}{0} & \colorbox{lightgray}{1} \\ 6 & x & 10 \\ 0 & 2 & x-1 \end{vmatrix} & = 12 \\ 3 \begin{vmatrix} x & 10 \\ 2 & x-1 \end{vmatrix}-0+1 \begin{vmatrix} 6 & x \\ 0 & 2 \end{vmatrix} & = 12 \\ 3((x)(x-1)-20)+1((6)(2)-(0)(x)) & = 12 \\ 3(x^2-x-20) + 12 & = 12 \\ 3(x^2-x-20) & = 0 \\ x^2-x-20 & = 0 \\ (x-5)(x+4) & = 0 \\ x = 5~\text{atau}~x & = -4 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan itu adalah $\boxed{x = 5~\text{atau}~x = -4}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Carilah semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan berikut.
a. $\begin{vmatrix} x-4 & 0 & 0 \\ 0 & x+4 & 0 \\ 0 & 0 & x+1 \end{vmatrix} = 0$
b. $\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 5 & 0 \end{vmatrix} = 0$

Pembahasan

Jawaban a)
Bentuk matriks pada ruas kiri persamaan merupakan matriks diagonal sehingga determinannya merupakan hasil kali setiap entri pada diagonal utama.
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} x-4 & 0 & 0 \\ 0 & x+4 & 0 \\ 0 & 0 & x+1 \end{vmatrix} & = 0 \\ (x-4)(x+4)(x+1) & = 0 \\ x = 4~\text{atau}~x & = -4~\text{atau}~x = -1 \end{aligned}$$Jadi, semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x = -4, -1, 4}$
Jawaban b)
Determinan matriks pada ruas kiri persamaan akan dicari dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris ketiga.
$$\begin{aligned} \require{color} \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & 1 & 1 \\ \colorbox{lightgray}{4} & \colorbox{lightgray}{5} & \colorbox{lightgray}{0} \end{vmatrix} & = 0 \\ 4 \begin{vmatrix} x & x^2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}-5\begin{vmatrix} 1 & x^2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}+0 & = 0 \\ 4(x-x^2)-5(1-x^2) & = 0 \\ 4x-4x^2-5+5x^2 & = 0 \\ x^2+4x-5 & = 0 \\ (x+5)(x-1) & = 0 \\ x = -5~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$$Jadi, semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x = -5, 1}$

[collapse]

Soal Nomor 10
Tunjukkanlah:
a. $$\begin{vmatrix} a_1 + A_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 + A_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 + A_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} A_1 & b_1 & c_1 \\ A_2 & b_2 & c_2 \\ A_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$$
b. $$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1+kb_1 & b_1 & c_1 \\ a_2+kb_2 & b_2 & c_2 \\ a_3+kb_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$$

Pembahasan

Jawaban a)
Akan dibuktikan bahwa $$\begin{vmatrix} a_1 + A_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 + A_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 + A_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} A_1 & b_1 & c_1 \\ A_2 & b_2 & c_2 \\ A_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$$Pembuktian dimulai dari ruas kiri.
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} a_1 + A_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 + A_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 + A_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} & = (a_1+A_1) \begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix}-(a_2+A_2) \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix} + (a_3+A_3) \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix} \\ & = \left[a_1 \begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix}- a_2\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix}+a_3\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}\right]+\left[A_1 \begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix}- A_2\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix}+A_3\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}\right] \\ & = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} A_1 & b_1 & c_1 \\ A_2 & b_2 & c_2 \\ A_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$\boxed{\begin{vmatrix} a_1 + A_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 + A_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 + A_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} A_1 & b_1 & c_1 \\ A_2 & b_2 & c_2 \\ A_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}}$$Jawaban b)
Akan dibuktikan bahwa $$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1+kb_1 & b_1 & c_1 \\ a_2+kb_2 & b_2 & c_2 \\ a_3+kb_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$$Pembuktian dari ruas kanan.
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} a_1+kb_1 & b_1 & c_1 \\ a_2+kb_2 & b_2 & c_2 \\ a_3+kb_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} & = (a_1+kb_1) \begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix}-(a_2+kb_2) \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix}+(a_3+kb_3) \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix} \\ & = \left[a_1 \begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix}-a_2 \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix}+a_3 \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}\right] \\ & ~~~~~~ +k\left[b_1 \begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix}-b_2 \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix}+b_3 \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}\right] \\ & = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} + k(\color{red}{b_1b_2c_3}\color{blue}{-b_1b_3c_2}\color{red}{-b_1b_2c_3}\color{green}{+b_2b_3c_1}\color{blue}{+b_1b_3c_2}\color{green}{-b_2b_3c_1}) \\ & = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} + k(0) \\ & = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$\boxed{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1+kb_1 & b_1 & c_1 \\ a_2+kb_2 & b_2 & c_2 \\ a_3+kb_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}}$$

[collapse]

Soal Nomor 11
Nyatakan nilai $x$ dalam $a$, $b$, dan $c$.
$$\begin{vmatrix} a & a & x \\ c & c & c \\ b & x & b \end{vmatrix} = 0, (a > b, c \neq 0)$$

Pembahasan

Determinan pada ruas kiri akan dicari menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama.
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} a & a & x \\ c & c & c \\ b & x & b \end{vmatrix} & = 0 \\ a \begin{vmatrix} c & c \\ x & b \end{vmatrix}-a \begin{vmatrix} c & c \\ b & b \end{vmatrix} + x \begin{vmatrix} c & c \\ b & x \end{vmatrix} & = 0 \\ a(bc-cx)-a(\cancel{bc-bc})+x(cx-bc) & = 0 \\ abc-acx+cx^2-bcx & = 0 \\ cx^2-(ac+bc)x + abc & = 0 \end{aligned}$$Persamaan terakhir merupakan persamaan kuadrat sehingga nilai $x$ dapat dicari dengan menggunakan rumus ABC.
$$\begin{aligned} x & = \dfrac{-\bf{b} \pm \sqrt{\bf{b}^2-4\bf{ac}}}{2\bf{a}} \\ & = \dfrac{(ac + bc) \pm \sqrt{(-(ac + bc))^2-4(c)(abc)}}{2c} \\ & = \dfrac{c(a + b) \pm \sqrt{a^2c^2 + 2abc^2+b^2c^2-4abc^2}}{2c} \\ & = \dfrac{\cancel{c}(a + b) \pm \cancel{c}\sqrt{a^2 -2ab+b^2}}{2\cancel{c}} \\ & = \dfrac{a + b \pm \sqrt{a^2 -2ab+b^2}}{2} \\ & = \dfrac{a + b \pm \sqrt{(a-b)^2}}{2} \\ & = \dfrac{a + b \pm (a-b)}{2} && (\text{Ingat}~a > b) \\ x_1 & = \dfrac{a + b + (a-b)}{2} = a \\ x_2 & = \dfrac{a+b-(a-b)}{2} = b \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ bila dinyatakan dalam $a$, $b$, dan $c$ adalah $\boxed{x = a~\text{atau}~x = b}$

[collapse]

Soal Nomor 12
Tunjukkan bahwa persamaan $$\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ 1 & m & 0 \end{vmatrix} = 0$$merepresentasikan persamaan garis yang bergradien $m$ dan melalui titik $(x_1, y_1)$.

Pembahasan

Akan dibuktikan bahwa $$\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ 1 & m & 0 \end{vmatrix} = 0$$ekuivalen dengan rumus persamaan garis bergradien $m$ dan melalui titik $(x_1, y_1)$, yakni
$$y = m(x-x_1)+y_1.$$Dengan menggunakan aturan Sarrus, kita peroleh
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ 1 & m & 0 \end{vmatrix} & = 0 \\ x(y_1) \cdot 0 + y \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot x_1 \cdot m & -1 \cdot y_1 \cdot 1-m \cdot 1 \cdot x-0 \cdot x_1 \cdot y = 0 \\ y + x_1m -y_1-mx & = 0 \\ y & = mx-x_1m+y_1 \\ y & = m(x-x_1)+y_1 \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa persamaan determinan tersebut merepresentasikan persamaan garis yang bergradien $m$ dan melalui titik $(x_1, y_1)$.

[collapse]

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *