Materi, Soal, dan Pembahasan – Jumlahan Newton

      Dalam matematika, Jumlahan Newton atau terkadang juga disebut sebagai Identitas Newton atau Rumus Girard-Newton adalah salah satu teorema yang menjadi fondasi dalam aljabar terutama pada materi tentang polinomial. Teorema ini ditemukan oleh Isaac Newton pada tahun 1666, tetapi sebelumnya telah dikembangkan oleh Albert Girard, salah satu matematikawan Prancis pada abad itu.

Isaac Newton (Kiri) dan Albert Girard (Kanan)
Isaac Newton (1643 – 1727) dan Albert Girard (1595 – 1632)

      Jumlahan Newton (Newton’s Sums) adalah teknik yang digunakan untuk mencari jumlahan akar-akar berpangkat dari suatu polinomial (suku banyak). Selain itu, teknik ini juga dipakai untuk mendapatkan sejumlah identitas pemfaktoran yang sangat penting dalam bidang aljabar.

Diberikan polinomial $P(x)$ berderajat $n$, yaitu
$$P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$$Misalkan $P(x) = 0$ memiliki akar-akar $x_1, x_2, \cdots, x_n$. Definisikan penjumlahan berikut.
$$\begin{cases} P_1 & = x_1+x_2+\cdots+x_n \\ P_2 & = x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2 \\ \vdots & \\ P_k & = x_1^k+x_2^k+\cdots+x_n^k \\ \vdots & \end{cases}$$Menurut Jumlahan Newton, berlaku
$$\begin{aligned} a_nP_1 + a_{n-1} & = 0 \\ a_nP_2 + a_{n-1}P_1 + 2a_{n-2} & = 0 \\ a_nP_3 + a_{n-1}P_2 + a_{n-2}P_1 + 3a_{n-3} & = 0 \\ \vdots & \end{aligned}$$(Definisikan $a_j = 0$ untuk $j < 0$)

BUKTI

Misalkan $\alpha, \beta, \gamma, \cdots, \omega$ adalah akar-akar dari polinomial
$$P(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$sehingga haruslah
$$P(\alpha)=P(\beta)=P(\gamma) = \cdots = P(\omega) = 0$$Oleh karena itu,
$$\begin{cases} a_n\alpha^n + a_{n-1} \alpha^{n-1} + \cdots + a_0 & = 0 \\ a_n\beta^n + a_{n-1} \beta^{n-1} + \cdots + a_0 & = 0 \\ \hspace{4cm} \vdots \\ a_n\omega^n + a_{n-1} \omega^{n-1} + \cdots + a_0 & = 0 \end{cases}$$Kalikan setiap persamaan di atas dengan $\alpha^{k-n}$, $\beta^{k-n}$, $\cdots$, $\omega^{k-n}$ berturut-turut, sehingga didapat
$$\begin{cases} a_n\alpha^{n+k-n} + a_{n-1} \alpha^{n-1+k-n} + \cdots + a_0\alpha^{k-n} & = 0 \\ a_n\beta^{n+k-n} + a_{n-1} \beta^{n-1+k-n} + \cdots + a_0\beta^{k-n} & = 0 \\ \hspace{4cm} \vdots \\ a_n\omega^{n+k-n}+ a_{n-1} \omega^{n-1+k-n} + \cdots + a_0\omega^{k-n} & = 0 \end{cases}$$atau disederhanakan menjadi
$$\begin{cases} a_n\alpha^{k} + a_{n-1} \alpha^{k-1} + \cdots + a_0\alpha^{k-n} & = 0 \\ a_n\beta^{k} + a_{n-1} \beta^{k-1} + \cdots + a_0\beta^{k-n} & = 0 \\ \hspace{4cm} \vdots \\ a_n\omega^{k}+ a_{n-1} \omega^{k-1} + \cdots + a_0\omega^{k-n} & = 0 \end{cases}$$Jumlahkan semua persamaan di atas.
$$\begin{aligned} & a_n\underbrace{(\alpha^k + \beta^k + \cdots + \omega^k)}_{P_k} + a_{n-1}\underbrace{(\alpha^{k-1} + \beta^{k-1} + \cdots + \omega^{k-1})}_{P_{k-1}} + \\ & a_{n-2}\underbrace{(\alpha^{k-2} + \beta^{k-2} + \cdots + \omega^{k-2})}_{P_{k-2}} + \cdots + \\ & a_{0}\underbrace{(\alpha^{k-n} + \beta^{k-n} + \cdots + \omega^{k-n})}_{P_{k-n}} = 0 \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$a_nP_k + a_{n-1}P_{k-1}+a_{n-2}P_{k-2}+\cdots+a_0P_{k-n} = 0$$Contoh:
Diberikan suatu polinomial $P(x) = x^3+3x^2+4x-8$. Misalkan akar-akarnya adalah $r, s$, dan $t$. Carilah nilai dari $r^2+s^2+t^2$ dan $r^4+s^4+t^4$.
Berdasarkan Jumlahan Newton, kita ketahui bahwa
$$\begin{aligned} P_1 + 3 & = 0 \\ P_2 + 3P_1 + 2(4) & = 0 \\ P_3 + 3P_2 + 4P_1+3(-8) & = 0 \\ P_4 + 3P_3 + 4P_2-8P_1 & = 0 \end{aligned}$$Selesaikan $P_1, P_2, P_3$, kemudian $P_4$ secara berturut-turut dengan menggunakan persamaan pertama, kedua, ketiga, dan keempat, sehingga akan diperoleh
$$\begin{aligned} P_1 &= r + s + t = -3 \\ P_2 & = r^2+s^2+t^2 = 1 \\ P_3 & = r^3+s^3+t^3 = 33 \\ P_4 & = r^4+s^4+t^4 = -127 \end{aligned}$$Jadi, diperoleh nilai $\boxed{r^2+s^2+t^2 = 1}$ dan $\boxed{r^4+s^4+t^4 = -127}$

Berikut ini disajikan sejumlah soal dan pembahasan mengenai penyelesaian permasalahan yang melibatkan Jumlahan Newton. Semoga dapat dipahami.

Quote by Confucius

The man who asks a question is a fool for a minute. The man who does not ask is a fool for a life.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Jika persamaan $x^2-5x+6=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$, maka nilai dari $x_1^4 + x_2^4$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5$                       C. $35$                   E. $97$
B. $13$                     D. $64$

Pembahasan

Alternatif 1: Pemfaktoran
Persamaan kuadrat $x^2-5x+6=0$ dapat ditulis menjadi $(x-2)(x-3) = 0$ setelah bentuk di ruas kirinya difaktorkan, sehingga diperoleh $x_1 = 2$ dan $x_2 = 3$ (terbalik tidak menjadi masalah), sehingga nilai dari $x_1^4+x_2^4 = 2^4 + 3^4 = 97$.
Alternatif 2: Jumlahan Newton
Diketahui $x^2-5x+6=0$, dengan koefisien & konstanta $(1, -5, 6)$. Misalkan
$$\begin{cases} S_1 & = x_1+x_2 \\ S_2 & = x_1^2+x_2^2 \\ S_3 & = x_1^3+x_2^3 \\ S_4 & = x_1^4+x_2^4 \end{cases}$$Dalam soal ini, akan dicari nilai $S_4$.
Menurut Jumlahan Newton,
$$\begin{aligned} \Rightarrow 1S_1-5(1) & = 0 \\ S_1 & = 5 \\ \Rightarrow 1S_2-5S_1+2(6) & = 0 \\ S_2-5(5)+12 & = 0 \\ S_2 & = 13 \\ \Rightarrow 1S_3-5S_2+6S_1 & = 0 \\ S_3-5(13)+6(5) & = 0 \\ S_3 & = 35 \\ \Rightarrow S_4-5S_3+6S_2 & = 0 \\ S_4-5(35)+6(13) & = 0 \\ S_4 & = 97 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{x_1^4+x_2^4=97}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 2
Jika $a$ dan $b$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^2-x-1=0$, maka $a^5+b^5$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3$                      C. $6$                    E. $13$
B. $5$                      D. $11$

Pembahasan

Diketahui $x^2-x-1=0$, dengan akar-akarnya $a$ dan $b$.
Misalkan $$\begin{cases} S_1 & = a+b \\ S_2 & = a^2+b^2 \\ S_3 & = a^3+b^3 \\ S_4 & = a^4+b^4 \\ S_5 & = a^5+b^5 \end{cases}$$Dengan menggunakan Jumlahan Newton diperoleh
$$\begin{aligned} S_1-1 & = 0 \Leftrightarrow S_1 = 1 \\ S_2-S_1-2 & = 0 \Leftrightarrow S_2 = 3 \\ S_3-S_2-S_1 & = 0 \Leftrightarrow S_3 = 4 \\ S_4-S_3-S_2 & = 0 \Leftrightarrow S_1 = 7 \\ S_5-S_4-S_3 & = 0 \Leftrightarrow S_5 = 11 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{a^5+b^5=11}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui $x^3-6x^2+11x-6=0$ mempunyai akar-akar $p, q$, dan $r$. Nilai dari $p^3+q^3+r^3 = \cdots \cdot$
A. $12$                      C. $24$                   E. $48$
B. $18$                      D. $36$

Pembahasan

Diketahui $x^3-6x^2+11x-6=0$.
Kita bisa saja mencari akar-akar persamaan tersebut, kemudian substitusikan masing-masing nilai ketiga akar untuk mendapatkan nilai $p^3+q^3+r^3$, tetapi mencari akar persamaan kubik dan berderajat lebih tinggi lainnya tidak selalu mudah.
Alternatif lain yang dapat dipakai adalah dengan menggunakan Jumlahan Newton.
Misalkan
$$\begin{cases} S_1 & = p + q + r \\ S_2 & = p^2+q^2+r^2 \\ S_3 & = p^3+q^3+r^3 \end{cases}$$Dalam soal ini, akan dicari nilai $S_3$.
Menurut Jumlahan Newton, berlaku
$$\begin{aligned} S_1 + 1(-6) & = 0 \Leftrightarrow S_1 = 6 \\ S_2-6S_1+2(11) & = 0 \Leftrightarrow S_2 = 14 \\ S_3-6S_2+11S_1+3(-6) & = 0 \\ S_3-6(14)+11(6)-18 & = 0 \\ S_3-84+66-18 & = 0 \Leftrightarrow S_3 = 36 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{p^3+q^3+r^3=36}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui $a, b, c$ adalah bilangan real yang memenuhi sistem persamaan
$$\begin{cases} a+b+c & = 3 \\ a^2+b^2+c^2 & = 9 \\ a^3+b^3+c^3 & = 24 \end{cases}$$Nilai $a^4+b^4+c^4 = \cdots \cdot$
A. $32$                      C. $51$                       E. $81$
B. $48$                      D. $69$

Pembahasan

Alternatif 1: Menganggap Polinomialnya Umum
Misalkan $$\begin{cases} S_1 & = a+b+c = 3 \\ S_2 & = a^2+b^2+c^2 = 9 \\ S_3 & = a^3+b^3+c^3 = 24 \end{cases}$$dan akan dicari nilai dari $S_4 = a^4+b^4+c^4$.

Anggap terdapat suatu polinomial berderajat $3$, yaitu $px^3+qx^2+rx + t = 0$, dengan tiga akar $a, b, c$ dan $p \neq 0$.
Menurut Jumlahan Newton, berlaku
$$\begin{aligned} pS_1 + q & = 0 \\ 3p + q & = 0 && (\cdots 1) \\ q & = -3p && (\cdots 2) \end{aligned}$$Berikutnya,
$$\begin{aligned} pS_2 + qS_1 + 2r & = 0 \\ 9p + 3q + 2r & = 0 \\ 3(3p + q) + 2r & = 0 \\ 3(0) + 2r & = 0 \\ r & = 0 \end{aligned}$$Selanjutnya,
$$\begin{aligned} pS_3 + qS_2 + rS_1 + 3t & = 0 \\ 24p + 9q + 3r + 3t & = 0 \\ 24p + 9q + 3(0) + 3t & = 0 \\ 8p + 3q + t & = 0 && (\text{dibagi}~3) \\ 8p + 3(-3p) + t & = 0 \\ -p + t & = 0 \\ t & = p \end{aligned}$$Terakhir,
$$\begin{aligned} pS_4 + qS_3 + rS_2 + tS_1 & = 0 \\ pS_4 + 24q + 0(9) + 3t & = 0 \\ pS_4 + 24(-3p) + 3p & = 0 \\ S_4-72+3 & = 0 && (\text{dibagi}~p) \\ S_4 & = 69 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{a^4+b^4+c^4 = 69}$
Alternatif 2: Menganggap Polinomialnya Monik
Anggap polinomialnya monik (koefisien variabel pangkat tertingginya adalah $1$), yaitu $x^3 + qx^2 + rx + t = 0$ dengan $3$ akar, yaitu $a, b$, dan $c$.
Menurut Jumlahan Newton, berlaku
$$\begin{aligned} 1S_1 + q & = 0 \\ 1(3) + q & = 0 \\ q & = -3 \end{aligned}$$Berikutnya,
$$\begin{aligned} 1S_2 + qS_1 + 2r & = 0 \\ 1(9) + (-3)(3) + 2r & = 0 \\ 9+(-9)+2r & = 0 \\ r & = 0 \end{aligned}$$Selanjutnya,
$$\begin{aligned} 1S_3+qS_2+rS_1+3t & = 0 \\ 1(24) + (-3)(9) + 0(3) + 3t & = 0 \\ 24-27+0+3t & = 0 \\ t & = 1 \end{aligned}$$Terakhir,
$$\begin{aligned} 1S_4+qS_3+rS_2+tS_1 & = 0 \\ S_4+(-3)(24) + 0(9) + 1(3) & = 0 \\ S_4-72+0+3 & = 0 \\ S_4 & = 69 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{a^4+b^4+c^4=69}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui polinomial monik $x^3 + px^2 + qx + r$ memiliki akar-akar $a, b$, dan $c$ yang memenuhi sistem persamaan $$\begin{cases} a+b+c = 1 \\ a^2+b^2+c^2 = 4 \\ a^3+b^3+c^3 = 9 \end{cases}$$Jika nilai $p + q + r = -\dfrac{m}{n}$, dengan $\text{FPB}(m, n) = 1$, maka nilai $m + n = \cdots \cdot$
A. $3$                      C. $11$                    E. $14$
B. $7$                      D. $12$

Pembahasan

Misalkan $$\begin{cases} S_1 & = a+b+c = 1 \\ S_2 & = a^2+b^2+c^2 = 4 \\ S_3 & = a^3+b^3+c^3 = 9 \end{cases}$$Menurut Jumlahan Newton, berlaku persamaan berikut.
$$\begin{aligned} 1S_1 + p & = 0 \\ 1(1) + p & = 0 \\ p & = -1 \end{aligned}$$Langkah kedua:
$$\begin{aligned} 1S_2+pS_1+2q & = 0 \\ 1(4)+(-1)(1)+2q & = 0 \\ 3+2q & = 0 \\ q & = -\dfrac32 \end{aligned}$$Langkah ketiga:
$$\begin{aligned} 1S_3+pS_2+qS_1+3r & = 0 \\ 1(9) + (-1)(4) + \left(-\dfrac32\right)(1) + 3r & = 0 \\ \dfrac72 + 3r & = 0 \\ r & = -\dfrac76 \end{aligned}$$Diperoleh nilai
$$p+q+r = -1-\dfrac32-\dfrac76 = -\dfrac{11}{3}$$sehingga $m = 11$ dan $n = 3$, berarti $\boxed{m+n=14}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui $p(x) = x^3 + 3x^2 + 4x-8$ memiliki akar-akar $a, b$, dan $c$. Nilai $$a^2(1+a^2) + b^2(1+b^2) + c^2(1+c^2)$$adalah $\cdots \cdot$
A. $127$                          D. $-126$
B. $126$                          E. $-127$
C. $0$

Pembahasan

Diketahui $p(x) = x^3 + \underbrace{3}_{p}x^2 + \underbrace{4}_{q}x\underbrace{-8}_{r}$. Perhatikan bahwa bentuk yang ditanyakan sama dengan
$$(a^2+b^2+c^2)+(a^4+b^4+c^4)$$Misalkan $$\begin{cases} S_1 & = a+b+c \\ S_2 & = a^2+b^2+c^2 \\ S_3 & = a^3+b^3+c^3 \\ S_4 & = a^4+b^4+c^4 \end{cases}$$Menurut Jumlahan Newton, berlaku persamaan berikut.
$$\begin{aligned} 1S_1 + p & = 0 \\ S_1 + 3 & = 0 \\ S_1 & = -3 \end{aligned}$$Langkah kedua:
$$\begin{aligned} 1S_2 + pS_1 + 2q & = 0 \\ S_2 + 3(-3) + 2(4) & = 0 \\ S_2-9+8 & = 0 \\ S_2 & = 1 \end{aligned}$$Langkah ketiga:
$$\begin{aligned} 1S_3+pS_2+ qS_1+3r & = 0 \\ S_3 + 3(1) + 4(-3) + 3(-8) & = 0 \\ S_3 + 3-12-24 & = 0 \\ S_3 & = 33 \end{aligned}$$Langkah keempat:
$$\begin{aligned} 1S_4+pS_3+qS_2+rS_1 & = 0 \\ S_4 + 3(33) + 4(1) + (-8)(-3) & = 0 \\ S_4 + 99 + 4 + 24 & = 0 \\ S_4 & = -127 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\begin{aligned} & a^2(1+a^2) + b^2(1+b^2) + c^2(1+c^2) \\ & = (a^2+b^2+c^2)+(a^4+b^4+c^4) \\ & = 1+(-127) = -126 \end{aligned}}$$(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui $$\begin{cases} x+y+z & = 1 \\ x^2+y^2+z^2 & = e \\ x^3+y^3+z^3 & = e^2 \end{cases}$$Jika $xyz = \dfrac{ae^2+be+c}{6}$, maka nilai $a+b+c = \cdots \cdot$
A. $0$                      C. $4$                     E. $6$
B. $2$                      D. $5$

Pembahasan

Misalkan terdapat polinomial monik $x^3+px^2+qx+r = 0$ dengan tiga akar, yaitu $x, y$, dan $z$. Menurut Teorema Vieta, perkalian ketiga akar $xyz$ sama dengan $-\dfrac{r}{1} = -r$, sehingga akan dicari nilai $r$ dengan menggunakan Jumlahan Newton.
Misalkan $$\begin{cases} S_1 & = x+y+z = 1 \\ S_2 & = x^2+y^2+z^2 = e \\ S_3 & = x^3+y^3+z^3 = e^2 \end{cases}$$Menurut Jumlahan Newton, berlaku persamaan berikut.
$$\begin{aligned} 1S_1 + p & = 0 \\ S_1 + 1 & = 0 \\ S_1 & = -1 \end{aligned}$$Langkah kedua:
$$\begin{aligned} 1S_2 + pS_1 + 2q & = 0 \\ e + 1(-1) + 2q & = 0 \\ 2q & = 1-e \\ q & = \dfrac{1-e}{2} \end{aligned}$$Langkah ketiga:
$$\begin{aligned} 1S_3+pS_2+ qS_1+3r & = 0 \\ e^2 + 1(e) + \dfrac{1-e}{2} \cdot 1 + 3r & = 0 \\ 2e^2 + 2e + (1-e) + 6r & = 0 \\ 6r & = -2e^2-e-1 \\ r & = \dfrac{-2e^2-e-1}{6} \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$xyz = -r = \dfrac{2e^2+e+1}{16}$$Dari bentuk ini, diperoleh $a = 2$, $b = 1$, dan $c = 1$, sehingga $\boxed{a + b + c = 2+1+1=4}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Diberikan sistem persamaan
$$\begin{cases} x+y+z & = 3 \\ x^3+y^3+z^3 & = 15 \\ x^4+y^4+z^4 & = 35 \end{cases}$$mempunyai solusi real $x, y$, dan $z$ dengan $x^2+y^2+z^2 < 10$. Hasil dari $x^5+y^5+z^5$ adalah $\cdots \cdot$
A. $69$                      C. $81$                      E. $91$
B. $71$                      D. $83$

Pembahasan

Misalkan $$\begin{cases} S_1 & = x+y+z = 3 \\ S_2 & = x^2+y^2+z^2 \\ S_3 & = x^3+y^3+z^3 = 15 \\ S_4 & = x^4+y^4+z^4 = 35 \end{cases}$$dan akan dicari nilai dari $S_5 = x^5+y^5+z^5$.
Anggap terdapat suatu polinomial monik berderajat $3$ bervariabel $x$, yaitu $x^3+qx^2+rx+t = 0$ dengan tiga akar $x, y$, dan $z$.
Menurut Jumlahan Newton, berlaku persamaan berikut.
$$\begin{aligned} 1S_1 + q & = 0 \\ 1(3) + q & = 0 \\ q & = -3 \end{aligned}$$Langkah kedua:
$$\begin{aligned} 1S_2+qS_1+2r & = 0 \\ S_2+3(-3)+2r & = 0 \\ S_2 & = 9-2r && (\cdots 1) \end{aligned}$$Langkah ketiga:
$$\begin{aligned} 1S_3+qS_2+rS_1+3t & = 0 \\ 1(15) + (-3)(9-2r) + r(3) + 3t & = 0 \\ 15-27+6r+3r+3t & = 0 \\ -12+9r+3t & = 0 \\ 3t & = 12-9r \\ t & = 4-3r && (\cdots 2) \end{aligned}$$Langkah keempat:
$$\begin{aligned} 1S_4+qS_3+rS_2+tS_1 & = 0 \\ 35+(-3)(15) + r(9-2r) + (4-3r)(3) & = 0 \\ 35-45+9r-2r^2+12-9r & = 0 \\ 2-2r^2 & = 0 \\ r^2 & = 1 \\ r & = \pm 1 \end{aligned}$$Kita peroleh dua kemungkinan nilai $r$.
Kemungkinan pertama:
Jika $r = 1$, maka $S_2 = 9-2(1) = 7 < 10.$

Kemungkinan kedua:
Jika $r = -1$, maka $S_2 = 9-2(-1)$ $= 11 > 10.$ (Tidak memenuhi syarat)

Jadi, nilai $r = 1$, sehingga $t = 1$.
Menurut Jumlahan Newton,
$$\begin{aligned} 1S_5 + qS_4+rS_3+tS_2 & = 0 \\ S_5+(-3)(35) + 1(15) + 1(7) & = 0 \\ S_5-105+15+7 & = 0 \\ S_5 & = 83 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{x^5+y^5+z^5 = 83}$
(Jawaban D)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Diketahui polinomial berderajat tiga $$P(x) = x^3+33x^2+327x+935$$dengan $a, b, c$ sebagai akar-akar dari $P(x)$. Carilah nilai $a^2+b^2+c^2$ tanpa menyelesaikan $P(x) = 0$.

Pembahasan

Diketahui $$P(x) = x^3+33x^2+327x+935.$$Misalkan $S_1 = a+b+c$ dan $S_2 = a^2+b^2+c^2$.
Menurut Jumlahan Newton, berlaku
$$\begin{aligned} 1S_1 + 33 & = 0 \\ S_1 & = -33 \end{aligned}$$Berikutnya,
$$\begin{aligned} 1S_2 + 33S_1 + 2(327) & = 0 \\ S_2 + 33(-33) + 654 & = 0 \\ S_2-1089+654 & = 0 \\ S_2 & = 435 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{a^2+b^2+c^2=435}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui $x, y$, dan $z$ memenuhi sistem persamaan berikut.
$$\begin{cases} x+y+z & = 1 \\ x^2+y^2+z^2 & = 3 \\ x^3+y^3+z^3 & = 7 \end{cases}$$Tentukan nilai $x^5+y^5+z^5$.

Pembahasan

Misalkan $$\begin{cases} S_1 & = x+y+z = 1 \\ S_2 & = x^2+y^2+z^2 = 3 \\ S_3 & = x^3+y^3+z^3 = 7 \end{cases}$$dan akan dicari nilai dari $S_5 = x^5+y^5+z^5$.
Anggap terdapat suatu polinomial monik berderajat $3$ bervariabel $x$, yaitu $x^3+qx^2+rx+t = 0$ dengan tiga akar $x, y$, dan $z$.
Menurut Jumlahan Newton, berlaku persamaan berikut.
$$\begin{aligned} 1S_1 + q & = 0 \\ 1(1) + q & = 0 \\ q & = -1 \end{aligned}$$Langkah kedua:
$$\begin{aligned} 1S_2+qS_1+2r & = 0 \\ 1(3)+(-1)(1)+2r & = 0 \\ 3-1+2r & = 0 \\ r & = -1 \end{aligned}$$Langkah ketiga:
$$\begin{aligned} 1S_3+qS_2+rS_1+3t & = 0 \\ 1(7) + (-1)(3) + (-1)(1) + 3t & = 0 \\ 7+(-3)+(-1) + 3t & = 0 \\ 3 + 3t & = 0 \\ t & = -1 \end{aligned}$$Langkah keempat:
$$\begin{aligned} 1S_4+qS_3+rS_2+tS_1 & = 0 \\ S_4 + (-1)(7) + (-1)(3) + (-1)(1) & = 0 \\ S_4-7-3-1 & = 0 \\ S_4 & = 11 \end{aligned}$$Langkah terakhir:
$$\begin{aligned} 1S_5 + qS_4+rS_3+tS_2 & = 0 \\ S_5 + (-1)(11) + (-1)(7) + (-1)(3) & = 0 \\ S5-11-7-3 & = 0 \\ S_5 & = 21 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{x^5+y^5+z^5 = 21}$

[collapse]

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *