Materi, Soal, dan Pembahasan – Teorema Ceva

      Segitiga merupakan bangun datar dasar pembentuk poligon yang sisinya lebih banyak. Setiap poligon yang sisinya lebih dari tiga pada dasarnya dapat dipartisi (dipotong) sehingga terbentuk segitiga-segitiga. Inilah yang menjadi alasan utama banyak sekali teorema yang berhubungan dengan segitiga. Salah satu teorema tersebut adalah Teorema Ceva.

        Dalam geometri, Teorema Ceva (Ceva’s Theorem), atau kadang disebut sebagai Dalil Ceva, adalah teorema yang menjelaskan keterkaitan panjang sisi segitiga yang dipotong oleh segmen garis yang konkuren pada satu titik dengan menggunakan konsep perbandingan. Teorema ini dicetuskan oleh matematikawan Italia bernama Giovanni Ceva, pada tahun 1678, tetapi sebenarnya dibuktikan pertama kali oleh Yusuf Al-Mu’taman ibn Hud, raja abad ke-11 di Zaragoza.

         Sebelum itu, ada istilah penting yang perlu diketahui bersama sebelum mempelajari Teorema Ceva, yaitu cevian dan konkuren.

  1. Cevian adalah segmen garis pada segitiga dengan salah satu titik ujung pada titik sudut segitiga dan titik ujung lainnya pada sisi segitiga di hadapannya.
  2. Konkuren artinya kondisi ketika dua atau lebih garis berpotongan di satu titik.
Segmen Garis AD, BE, dan CF merupakan cevian pada segitiga ABC
Segmen garis AD, BE, dan CF merupakan cevian pada segitiga ABC

        Perlu juga ditekankan bahwa pada segmen garis, notasi $AB$ sama dengan $BA$ karena garis tidak memperhatikan arah (beda halnya jika kita membahas vektor).

Teorema Ceva

Diberikan segitiga sembarang $ABC$ dengan titik $D, E,$ dan $F$ masing-masing terletak pada garis $BC, CA,$ dan $AB$ seperti yang tampak pada gambar berikut.

Teorema Ceva menyatakan bahwa:
Garis $AD, BE,$ dan $CF$ berpotongan di satu titik (konkuren) jika dan hanya jika $$\dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} = 1.$$Berdasarkan Aturan Sinus (trigonometri), persamaan berikut juga turut berlaku.
$$\dfrac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD} \cdot \dfrac{\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF} \cdot \dfrac{\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE} = 1.$$

Sebelum membuktikan Teorema Ceva, lema berikut perlu dibuktikan terlebih dahulu.

Lema: Selisih Perbandingan

Jika $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k,$ maka $\dfrac{a-c}{b-d} = k$ untuk suatu bilangan real $k$ dan $b \neq d.$

Bukti

Asumsikan $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k.$ Akan dibuktikan bahwa $\dfrac{a-c}{b-d} = k.$
Karena $\dfrac{a}{b} = k,$ maka $a = bk.$ Begitu juga karena $\dfrac{c}{d} = k,$ maka $c = dk.$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{a-c}{b-d} & = \dfrac{bk-dk}{b-d} \\ & = \dfrac{k\cancel{(b-d)}}{\cancel{b-d}} \\ & = k \end{aligned}$$Syarat $b \neq d$ muncul agar penyebut tidak bernilai nol. Jadi, lema tersebut terbukti benar.

[collapse]

Pembuktian Teorema Ceva

Perhatikan bahwa pada redaksi Teorema Ceva di atas, kata “jika dan hanya jika” menunjukkan bahwa kita harus membuktikan teorema tersebut dari dua arah (dua kondisi), yaitu sebagai berikut.

  1. Jika garis $AD, DE,$ dan $CF$ berpotongan di satu titik, maka $\dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} = 1.$
  2. Jika $\dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} = 1,$ maka garis $AD, BE,$ dan $CF$ berpotongan di satu titik.

Bukti (⇒)

Akan dibuktikan bahwa kebenaran pernyataan pertama.
Perhatikan gambar segitiga sembarang $ABC$ berikut.
Asumsikan ketiga cevian tersebut berpotongan di satu titik (konkuren), yaitu di titik $O.$ Akan dibuktikan bahwa $\dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} = 1.$
Perhatikan bahwa $AF$ dan $FB$ masing-masing merupakan alas dari $\triangle ACF$ dan $\triangle BCF.$ Kedua segitiga tersebut memiliki tinggi yang sama sehingga luasnya sebanding dengan panjang alas.
Di sisi lain, $AF$ dan $FB$ masing-masing juga merupakan alas dari $\triangle AOF$ dan $\triangle BOF.$ Kedua segitiga tersebut juga memiliki tinggi yang sama sehingga luasnya sebanding dengan panjang alas. Misalkan notasi $\left[XYZ\right]$ menyatakan luas segitiga $XYZ.$
Dengan demikian, kita tuliskan
$$\dfrac{AF}{FB} = \dfrac{\left[ACF\right]}{\left[BCF\right]} = \dfrac{\left[AOF\right]}{\left[BOF\right]}$$Menurut Lema: Selisih Perbandingan, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{AF}{FB} & = \dfrac{\left[ACF\right]-\left[AOF\right]}{\left[BCF\right]-\left[BOF\right]} \\ & = \dfrac{\left[AOC\right]}{\left[BOC\right]} && (\cdots 1) \end{aligned}$$Dengan prinsip yang sama, kita peroleh juga bahwa
$$\begin{aligned} \dfrac{BD}{DC} & = \dfrac{\left[AOB\right]}{\left[AOC\right]} && (\cdots 2) \\ \dfrac{CE}{EA} & = \dfrac{\left[BOC\right]}{\left[AOB\right]} && (\cdots 3) \end{aligned}$$Kalikan ketiga persamaan yang didapat sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} & = \dfrac{\color{red}{\left[AOC\right]}}{\color{blue}{\left[BOC\right]}} \cdot \dfrac{\color{green}{\left[AOB\right]}}{\color{red}{\left[AOC\right]}} \cdot \dfrac{\color{blue}{\left[BOC\right]}}{\color{green}{\left[AOB\right]}} \\ & = 1 \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa pernyataan pertama bernilai benar.

[collapse]

Bukti (⇐)

Akan dibuktikan bahwa kebenaran pernyataan kedua.
Perhatikan gambar segitiga sembarang $ABC$ berikut.
Asumsikan bahwa pada segitiga tersebut berlaku $\dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} = 1.$
Misalkan cevian $AD$ dan $BE$ berpotongan di sembarang titik $O.$ Posisikan titik $F’$ pada $AB$ sehingga terbentuk cevian ketiga, yaitu $CF’$, sehingga berlaku $\dfrac{AF’}{F’B} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} = 1.$
Di lain sisi, kita telah asumsikan bahwa $\dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} = 1.$
Dengan membandingkan kedua persamaan tersebut, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{AF’}{F’B} & = \dfrac{AF}{FB} \\ \text{Tambahkan}~&1~\text{pada kedua ruas} \\ \dfrac{AF’}{F’B} + 1 & = \dfrac{AF}{FB} + 1 \\ \dfrac{AF’ + F’B}{F’B} & = \dfrac{AF + FB}{FB} \\ \dfrac{AB}{F’B} & = \dfrac{AB}{FB} \\ F’B & = FB \end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa titik $F’$ yang kita posisikan pertama kali merupakan titik $F$. Karena titik $F$ merupakan titik potong ketiga cevian (konkuren), maka pernyataan kedua telah terbukti benar.

[collapse]

      Sebagai latihan, berikut ini telah disediakan sejumlah soal dan pembahasan terkait Teorema Ceva yang dikumpulkan dari berbagai referensi. Setelah mempelajari Teorema Ceva, silakan lanjutkan dengan mempelajari Teorema Menelaus yang tautannya ada di bawah ini.

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Teorema Menelaus

Quote by Albert Einstein

Orang-orang yang tidak pernah melakukan kesalahan adalah mereka yang tidak pernah mencoba hal yang baru.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Perhatikan gambar segitiga sembarang $ABC$ berikut.
Titik $D, E,$ dan $F$ berturut-turut terletak pada sisi $BC, AC,$ dan $AB$ sehingga ketiga garis $AD, BE,$ dan $CF$ berpotongan di satu titik. Nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac12$                     C. $\dfrac23$                   E. $\dfrac43$
B. $\dfrac13$                    D. $\dfrac32$

Pembahasan

Karena ketiga garis yang ditarik dari titik sudut segitiga menuju titik pada sisi di seberangnya konkuren (berpotongan di satu titik), maka berlaku Teorema Ceva.
$$\begin{aligned} \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} \cdot \dfrac{AF}{FB} & = 1 \\ \dfrac24 \cdot \dfrac{x}{1} \cdot \dfrac32 & = 1 \\ \dfrac34 \cdot x & = 1 \\ x & = \dfrac43 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang mewakili panjang sisi $CE$ adalah $\boxed{\dfrac43}$
(Jawaban E)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Perbandingan dan Skala 

Soal Nomor 2
Segitiga sembarang berikut memiliki tiga cevian yang konkuren.
Nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{62}{17}$                          D. $\dfrac{56}{15}$
B. $\dfrac{28}{9}$                          E. $\dfrac{52}{15}$
C. $\dfrac{64}{17}$

Pembahasan

Beri nama titik pada segitiga tersebut seperti berikut.
Titik $O$ merupakan titik potong ketiga cevian.
Menurut Teorema Ceva, berlaku
$$\begin{aligned} \dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} & = 1 \\ \dfrac37 \cdot \dfrac54 \cdot \dfrac{x}{2} & = 1 \\ \dfrac{15}{56}x & = 1 \\ x & = \dfrac{56}{15} \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ adalah $\boxed{\dfrac{56}{15}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui segitiga $ABC$ dengan sudut siku-siku di $A.$ Cevian $AD, BE,$ dan $CF$ berpotongan di titik $O$ seperti tampak pada gambar.
Nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{14}{15}$                      D. $\dfrac{182}{29}$
B. $\dfrac{15}{14}$                      E. $\dfrac{200}{29}$
C. $\dfrac{145}{29}$

Pembahasan

Karena $\triangle ABC$ merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku Teorema Pythagoras untuk mencari panjang sisi miring $BC.$
$$\begin{aligned} BC & = \sqrt{AB^2 + AC^2} \\ & = \sqrt{5^2 + 12^2} \\ & = \sqrt{169} = 13 \end{aligned}$$Karena $DC = x,$ maka $BD = 13-x.$
Dengan menggunakan Teorema Ceva, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} \cdot \dfrac{AF}{FB} & = 1 \\ \dfrac{13-x}{x} \cdot \dfrac75 \cdot \dfrac23 & = 1 \\ \dfrac{13-x}{x} \cdot \dfrac{14}{15} & = 1 \\ \dfrac{13-x}{x} & = \dfrac{15}{14} \\ 14(13-x) & = 15x \\ 182-14x & = 15x \\ 182 & = 29x \\ \dfrac{182}{29} & = x \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $\boxed{\dfrac{182}{29}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Teorema Pythagoras

Soal Nomor 4
Diketahui titik $D, E,$ dan $F$ masing-masing terletak pada sisi $AB,$ sisi $BC,$ dan sisi $AC$ dengan perbandingan $BE : EC = 2 : 3$ dan $AF : FC = 8 : 9.$
Jika panjang sisi $AB = 28$ cm dan garis $AE, BF,$ dan $CD$ berpotongan di satu titik, maka panjang $AD = \cdots$ cm.

A. $12$                       C. $16$                      E. $20$
B. $14$                      D. $18$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Misalkan ketiga garis $AE, BF,$ dan $CD$ berpotongan di titik $O.$ Menurut Teorema Ceva, berlaku
$$\begin{aligned} \dfrac{AD}{DB} \cdot \dfrac{BE}{EC} \cdot \dfrac{CF}{FA} & = 1 \\ \dfrac{AD}{DB} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{9}{8} & = 1 \\ \dfrac{AD}{DB} \cdot \dfrac34 & = 1 \\ \dfrac{AD}{DB} & = \dfrac43 \end{aligned}$$Kita peroleh perbandingan $AD : DB = 4 : 3.$ Dari gambar di atas, kita peroleh $AD : AB = 4 : 7.$
Diketahui panjang $AB = 28$ cm sehingga
$$\begin{aligned} AD & = \dfrac47 \cdot AB \\ & = \dfrac{4}{\cancel{7}} \cdot \cancelto{4}{28} = 16 \end{aligned}$$Jadi, panjang $\boxed{AD = 16~\text{cm}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5
Pada segitiga $ABC,$ garis tinggi $AD,$ garis bagi $BE,$ dan garis berat $CF$ berpotongan di satu titik. Jika panjang $AB = 4, BC = 3,$ dan $CD = \dfrac{m}{n}$ dengan $m, n$ relatif prima, maka nilai $m-n$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$                        C. $5$                     E. $8$
B. $3$                       D. $6$

Pembahasan

Istilah berikut perlu diketahui terlebih dahulu.

  1. Garis tinggi, yaitu garis yang ditarik dari satu titik sudut segitiga sehingga tegak lurus dengan sisi di hadapannya.
  2. Garis bagi, yaitu garis yang ditarik dari satu titik sudut segitiga menuju sisi di hadapannya sehingga membagi sudutnya sama besar.
  3. Garis berat, yaitu garis yang ditarik dari satu titik sudut segitiga sehingga membagi dua sama panjang sisi di hadapannya.

Sekarang, gambarkan sketsa segitiga $ABC$ seperti berikut.
Misalkan garis bagi $BE$ membagi $\angle ABC$ menjadi dua sama besar, yaitu $\angle ABE = \angle CBE = \theta.$
Sementara itu, $CF$ mengakibatkan sisi $AB$ terbagi menjadi dua bagian dengan panjang yang sama, yaitu $AF = FB = 2.$
Dengan menggunakan Aturan Luas Segitiga menurut Sinus, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{\left[ABE\right]}{\left[BCE\right]} & = \dfrac{\frac12 \cdot AB \cdot \bcancel{BE} \cdot \cancel{\sin \theta}}{\frac12 \cdot BC \cdot \bcancel{BE} \cdot \cancel{\sin \theta}} \\ & = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac43 && (\cdots 1)  \end{aligned}$$Di lain pihak, $\triangle ABE$ dan $\triangle BCE$ keduanya memiliki tinggi yang sama, misalkan $t.$ Dengan menggunakan rumus luas segitiga dasar, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{\left[ABE\right]}{\left[BCE\right]} & = \dfrac{\frac12 \cdot AE \cdot t}{\frac12 \cdot EC \cdot t} \\ & = \dfrac{AE}{EC} && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dari persamaan $(1)$ dan $(2),$ diperoleh $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac43.$
Selanjutnya, menurut Teorema Ceva berlaku
$$\begin{aligned} \dfrac{AE}{EC} \cdot \dfrac{CD}{DB} \cdot \dfrac{BF}{FA} & = 1 \\ \dfrac43 \cdot \dfrac{CD}{DB} \cdot \dfrac22 & = 1 \\ \dfrac{CD}{DB} & = \dfrac34 \end{aligned}$$Misalkan $CD = 3x$ dan $DB = 4x,$ sedangkan diketahui bahwa $CB = 3.$ Oleh karena itu, diperoleh
$$\begin{aligned} CD + DB & = CB \\ 3x + 4x & = 3 \\ 7x & = 3 \\ x & = \dfrac37 \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $CD = 3x = 3 \cdot \dfrac37 = \dfrac{9}{7}.$
Diketahui bentuk $CD = \dfrac{m}{n},$ artinya $m = 9$ dan $n = 7$ (keduanya relatif prima karena $\text{FPB}(9, 7) = 1$) sehingga $\boxed{m-n=9-7=2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan Cosinus, dan Luas Segitiga dalam Trigonometri 

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Buktikan bahwa jika $X, Y,$ dan $Z$ merupakan titik-titik tengah sisi segitiga, maka ketiga cevian yang melalui ketiga titik tersebut konkuren.

Pembahasan

Misalkan terdapat $\triangle ABC$ dengan $X, Y, Z$ berturut-turut terletak tepat di tengah sisi $AB, BC,$ dan $AC$ seperti yang tampak pada gambar berikut.
Karena terletak di tengah, maka haruslah $AX = XB,$ $BY = YC,$ dan $CZ = ZA$ sehingga berakibat
$$\dfrac{AX}{XB} \cdot \dfrac{BY}{YC} \cdot \dfrac{CZ}{ZA} = 1$$Menurut Teorema Ceva, apabila persamaan tersebut terpenuhi, maka ketiga cevian $AY, BZ,$ dan $CX$ berpotongan di satu titik (konkuren). Jadi, pernyataan telah terbukti.
Catatan: Titik perpotongan ketiga cevian dengan kondisi tersebut dikenal sebagai sentroid (centroid)

[collapse]

Soal Nomor 2
Buktikan bahwa ketiga garis tinggi pada suatu segitiga sembarang pasti konkuren.

Pembahasan

Misalkan terdapat $\triangle ABC$ dengan $F, D, E$ berturut-turut terletak di sisi $AB, BC,$ dan $AC$ sehingga $AD \perp BC,$ $BE \perp AC,$ dan $CF \perp AB$ seperti yang tampak pada gambar berikut.

  1. Pertama, perhatikan bahwa $\triangle BFC \sim \triangle BDA$ (kedua segitiga itu sebangun karena memiliki dua sudut yang sama besar) sehingga berlaku $\dfrac{BF}{BD} = \dfrac{BC}{AB}.$
  2. Kedua, perhatikan bahwa $\triangle AEB \sim \triangle AFC$ sehingga berlaku $\dfrac{AE}{AF} = \dfrac{AB}{AC}.$
  3. Terakhir, perhatikan bahwa $\triangle CDA \sim \triangle CEB$ sehingga berlaku $\dfrac{CD}{CE} = \dfrac{AC}{BC}.$



Kalikan ketiga persamaan tersebut sesuai ruasnya sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{BF}{BD} \cdot \dfrac{AE}{AF} \cdot \dfrac{CD}{CE} & = \dfrac{\color{red}{BC}}{\color{blue}{AB}} \cdot \dfrac{\color{blue}{AB}}{\color{green}{AC}} \cdot \dfrac{\color{green}{AC}}{\color{red}{BC}} \\ \dfrac{BF}{AF} \cdot \dfrac{CD}{BD} \cdot \dfrac{AE}{CE} & = 1 \\ \dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} & = 1 \end{aligned}$$Menurut Teorema Ceva, apabila persamaan tersebut terpenuhi, maka ketiga cevian $AD, BE,$ dan $CF$ (garis tinggi segitiga) berpotongan di satu titik (konkuren). Jadi, pernyataan telah terbukti.
Catatan: Titik perpotongan ketiga cevian dengan kondisi tersebut dikenal sebagai ortosenter (orthocenter). 

[collapse]

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *