Materi, Soal, dan Pembahasan – Teorema Menelaus

Sebelumnya, kita telah mempelajari Teorema Ceva, salah satu teorema pada segitiga yang menghubungkan panjang sisi segitiga dengan melibatkan cevian dan konsep perbandingan. Ada teorema lain yang sangat mirip dengan Teorema Ceva. Teorema tersebut dikenal sebagai Teorema Menelaus.

Dalam geometri, Teorema Menelaus (Menelaus’s Theorem), atau kadang disebut sebagai Dalil Menelaus, adalah teorema yang menjelaskan keterkaitan panjang sisi segitiga yang dipotong oleh segmen garis dan tiga titik yang segaris (kolinear) dengan menggunakan konsep perbandingan. Tidak diketahui secara pasti siapa yang menemukan teorema ini pertama kali, tetapi catatan sejarah menunjukkan bahwa teorema ini dipakai sebagai lema pada buku karya Menelaus dari Alexandria (hidup pada abad pertama Setelah Masehi) berjudul Spherics. Oleh karena itu, sampai sekarang kita berasumsi bahwa teorema ini ditemukan oleh Menelaus dari Alexandria.

Sebelum itu, ada istilah penting yang perlu diketahui bersama sebelum mempelajari Teorema Menelaus, yaitu cevian, kolinear, dan transversal.

  1. Cevian adalah segmen garis pada segitiga dengan salah satu titik ujung pada titik sudut segitiga dan titik ujung lainnya pada sisi segitiga di hadapannya.
  2. Kolinear artinya kondisi ketika tiga atau lebih titik berada pada satu garis lurus. Kolinear memiliki kesamaan makna dengan segaris.
  3. Transversal adalah garis lurus yang memotong paling sedikit dua garis lurus lainnya.

Segmen Garis AD, BE, dan CF merupakan cevian pada segitiga ABC

Berdasarkan gambar $\triangle ABC$ di atas, segmen garis AD, BE, dan CF merupakan cevian pada segitiga ABC. Titik C, D, dan B kolinear, begitu juga dengan titik C, E, dan A. $CF$ merupakan contoh transversal karena memotong lebih dari satu garis, yaitu $AD, BE,$ dan $AB.$        

Perlu juga ditekankan bahwa pada segmen garis, notasi $AB$ sama dengan $BA$ karena garis tidak memperhatikan arah (beda halnya jika kita membahas vektor).

Teorema Menelaus

Diberikan segitiga sembarang $ABC.$ Titik $D$ terletak pada sisi $AC,$ sedangkan titik $E$ terletak pada sisi $BC.$ Titik $D$ dan $E$ dihubungkan dengan menggunakan garis lurus. $DE$ dan $AB$ diperpanjang sehingga berpotongan di titik $F$. Garis $DEF$ disebut transversal karena memotong dua garis, seperti yang tampak pada gambar berikut.

Teorema Menelaus menyatakan bahwa:
Titik $D, E,$ dan $F$ kolinear (segaris) jika dan hanya jika $$\dfrac{BE}{EC} \cdot \dfrac{CD}{DA} \cdot \dfrac{AF}{FB} = 1.$$

Untuk memudahkan dalam mengingat, alur panah seperti berikut kadang dapat menjadi solusi.

 

Pembuktian Teorema Menelaus

Perhatikan bahwa pada redaksi Teorema Menelaus di atas, kata “jika dan hanya jika” menunjukkan bahwa kita harus membuktikan teorema tersebut dari dua arah (dua kondisi), yaitu sebagai berikut.

  1. Jika titik $D, E,$ dan $F$ kolinear (segaris), maka $\dfrac{BE}{EC} \cdot \dfrac{CD}{DA} \cdot \dfrac{AF}{FB} = 1.$
  2. Jika $\dfrac{BE}{EC} \cdot \dfrac{CD}{DA} \cdot \dfrac{AF}{FB} = 1,$ maka titik $D, E,$ dan $F$ kolinear (segaris).

Bukti (⇒)

Akan dibuktikan bahwa kebenaran pernyataan pertama.
Perhatikan gambar berikut.
Titik $D, E,$ dan $F$ diketahui kolinear (segaris). Proyeksikan titik $A, C,$ dan $B$ pada perpanjangan garis $DEF$ (warna merah) sehingga diperoleh tiga garis yang tegak lurus (warna biru) seperti yang tampak pada gambar. Titik $P, Q,$ dan $R$ berturut-turut merupakan proyeksi titik $A, C,$ dan $B$ pada $DEF.$
Dengan menggunakan konsep kesebangunan, kita dapatkan beberapa informasi berikut.

  1. $\triangle BRE$ sebangun dengan $\triangle CQE$ karena ketiga sudutnya sama besar sehingga berlaku perbandingan $\dfrac{BE}{EC} = \dfrac{BR}{QC}.$
  2. $\triangle CQD$ sebangun dengan $\triangle APD$ karena ketiga sudutnya sama besar sehingga berlaku perbandingan $\dfrac{CD}{DA} = \dfrac{QC}{PA}.$
  3. $\triangle BRF$ sebangun dengan $\triangle APF$ karena ketiga sudutnya sama besar sehingga berlaku perbandingan $\dfrac{AF}{FB} = \dfrac{PA}{BR}.$

Kalikan ketiga perbandingan tersebut sesuai ruasnya dan didapat
$$\begin{aligned} \dfrac{BE}{EC} \cdot \dfrac{CD}{DA} \cdot \dfrac{AF}{FB} & = \dfrac{\color{green}{BR}}{\color{blue}{QC}} \cdot \dfrac{\color{blue}{QC}}{\color{red}{PA}} \cdot \dfrac{\color{red}{PA}}{\color{green}{BR}} \\ & = 1 \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa jika titik $D, E,$ dan $F$ segaris (kolinear), maka berlaku $\dfrac{BE}{EC} \cdot \dfrac{CD}{DA} \cdot \dfrac{AF}{FB} = 1.$ 

[collapse]

Bukti (⇐)

Akan dibuktikan bahwa kebenaran pernyataan kedua.
Diketahui $\dfrac{BE}{EC} \cdot \dfrac{CD}{DA} \cdot \dfrac{AF}{FB} = 1.$
Misalkan perpanjangan garis $DE$ dan perpanjangan sisi $AB$ berpotongan di titik $F’$ sehingga cukup ditunjukkan bahwa $F = F’.$
Karena $DEF’$ kolinear, maka menurut pembuktian Teorema Menelaus dari arah kiri ke kanan, berlaku persamaan
$$\dfrac{BE}{EC} \cdot \dfrac{CD}{DA} \cdot \dfrac{AF’}{F’B} = 1$$Padahal, kita ketahui bahwa persamaan berikut juga berlaku (dari asumsi awal).
$$\dfrac{BE}{EC} \cdot \dfrac{CD}{DA} \cdot \dfrac{AF}{FB} = 1$$Dengan demikian, kita akan peroleh persamaan
$$\dfrac{AF’}{F’B} = \dfrac{AF}{FB}$$yang berarti $F’ = F.$
Jadi, $F’$ berimpit dengan $F$ sehingga $DEF$ juga pasti kolinear. Pernyataan kedua terbukti benar.

[collapse]

Sebagai latihan, berikut ini telah disediakan sejumlah soal dan pembahasan terkait Teorema Menelaus yang dikumpulkan dari berbagai referensi. Disarankan Anda terlebih dahulu mempelajari Teorema Ceva karena beberapa soal juga diselesaikan dengan menggunakan teorema tersebut.

Today Quote

Dunia ini penuh dengan orang-orang baik. Jika kamu tidak dapat menemukannya, jadilah salah satunya.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Diberikan segitiga $KLM$ dan $N, O, P$ terletak pada satu garis lurus, memotong sisi $LM$ dan $KM.$
Nilai $x$ yang memenuhi sebagai panjang sisi $KL$ pada gambar adalah $\cdots \cdot$
A. $2$                          C. $4$                      E. $8$
B. $3$                         D. $6$

Pembahasan

Dari gambar tersebut, diketahui $\dfrac{KN}{NM} = \dfrac32$ dan $\dfrac{MO}{OL} = \dfrac11$ (sama panjang). Dengan menggunakan Teorema Menelaus, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{KN}{NM} \cdot \dfrac{MO}{OL} \cdot \dfrac{LP}{PK} & = 1 \\ \dfrac32 \cdot \dfrac11 \cdot \dfrac{8}{8+x} & = 1 \\ \dfrac{8}{8+x} & = \dfrac23 \\ 3(8) & = 2(8+x) \\ 12 & = 8+x \\ x & = 4 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi sebagai panjang $KL$ adalah $\boxed{4}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 2
Perhatikan gambar berikut.
Segitiga $PQR$ dan $TQU$ merupakan segitiga siku-siku di $Q.$ Nilai $y$ yang sesuai untuk mewakili panjang $TU$ adalah $\cdots \cdot$
A. $8$                        C. $14$                    E. $20$
B. $12$                      D. $16$

Pembahasan

Dari gambar tersebut, diketahui $\dfrac{PQ}{QU} = \dfrac{x}{4x} = \dfrac14,$ $\dfrac{UT}{TS} = \dfrac{y}{2}$ (sama panjang), serta $\dfrac{SR}{RP} = \dfrac{1}{2}.$ Dengan menggunakan Teorema Menelaus, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{PQ}{QU} \cdot \dfrac{UT}{TS} \cdot \dfrac{SR}{RP} & = 1 \\ \dfrac{x}{4x} \cdot \dfrac{y}{2} \cdot \dfrac12 & = 1 \\ \dfrac18 \cdot \dfrac{y}{2} & = 1 \\ y & = 16 \end{aligned}$$Jadi, nilai $y$ yang memenuhi sebagai panjang $TU$ adalah $\boxed{16}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui gambar segitiga $ABC$ dan $BEF$ berikut.
Titik $D, E,$ dan $F$ kolinear. Jika perbandingan panjang $BE : EC = 2 : 3$ dan $AB : FB = 5 : 3,$ maka $AD : AC = \cdots \cdot$
A. $4 : 5$                            D. $16 : 9$
B. $16 : 25$                       E. $9 : 16$
C. $25 : 16$

Pembahasan

Diketahui $BE : EC = 2 : 3.$
Dari gambar, karena $AB : FB = 5 : 3,$ maka $AF : FB = 8 : 3.$
Dengan menggunakan Teorema Menelaus, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{BE}{EC} \cdot \dfrac{CD}{DA} \cdot \dfrac{AF}{FB} & = 1 \\ \dfrac23 \cdot \dfrac{CD}{DA} \cdot \dfrac83 & = 1 \\ \dfrac{16}{9} \cdot \dfrac{CD}{DA} & = 1 \\ \dfrac{CD}{DA} & = \dfrac{9}{16} \end{aligned}$$Karena $CD : DA = 9 : 16,$ maka $AD : AC = 16 : 25$ (Bilangan $25$ didapat dari $9 + 16$).
Jadi, $\boxed{AD : AC = 16 : 25}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui segitiga $OAB$ berikut.
Titik $C$ pada garis $AB$ dan titik $D$ pada garis $OB.$ Titik $T$ pada perpotongan garis $OC$ dan $AD$ sedemikian sehingga $AC : CB = 2 : 1$ dan $OD : DB = 1 : 3.$ Perbandingan $OT : TC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1 : 1$                         D. $2 : 3$
B. $2 : 1$                        E. $3 : 2$
C. $1 : 2$

Pembahasan

Karena $BC = y$ dan $CA = 2y,$ maka $AC=BC+CA=3y.$
Gunakan Teorema Menelaus dengan skema panah seperti berikut.
$$\begin{aligned} \dfrac{OD}{DB} \cdot \dfrac{BA}{AC} \cdot \dfrac{CT}{TO} & = 1 \\ \dfrac13 \cdot \dfrac32 \cdot \dfrac{CT}{TO} & = 1 \\ \dfrac12 \cdot \dfrac{CT}{TO} & = \dfrac21 \\ \dfrac{OT}{TC} & = \dfrac12 \end{aligned}$$Jadi, perbandingan $\boxed{OT : TC = 1 : 2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5
Perhatikan gambar segitiga $ABC$ berikut.
Jika panjang $CD = 14$ cm, $BE : EC = 1 : 1,$ dan $CF : FA = 3 : 2,$ maka panjang $CO = \cdots$ cm.
A. $7$                      C. $9$                  E. $12$
B. $8$                     D. $10$

Pembahasan

Pertama, gunakan Teorema Ceva pada $\triangle ABC$ untuk menentukan perbandingan panjang $AD$ dan $DB.$
$$\begin{aligned} \dfrac{AD}{DB} \cdot \dfrac{BE}{EC} \cdot \dfrac{CF}{FA} & = 1 \\ \dfrac{AD}{DB} \cdot \dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{3}{2} & = 1 \\ \dfrac{AD}{DB} & = \dfrac23 \end{aligned}$$Langkah selanjutnya adalah menggunakan Teorema Menelaus pada $\triangle ACD$ dengan memandang $B$ sebagai titik pada perpanjangan $AD.$
$$\begin{aligned} \dfrac{CF}{FA} \cdot \dfrac{AB}{BD} \cdot \dfrac{DO}{OC} & = 1 \\ \dfrac32 \cdot \dfrac{2+3}{3} \cdot \dfrac{DO}{OC} & = 1 \\ \dfrac52 \cdot \dfrac{DO}{OC} & = 1 \\ \dfrac{DO}{OC} & = \dfrac25 \end{aligned}$$Karena $CD = DO + OC = 14$ cm, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} CO & = \dfrac{5}{5+2} \times CD \\ & = \dfrac{5}{\cancel{7}} \times \cancelto{2}{14} \\ & = 10 \end{aligned}$$Jadi, panjang $\boxed{CO = 10~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Pada suatu segitiga $ABC,$ titik $E$ terletak pada $AC$ dan titik $F$ terletak pada $AB$ sedemikian sehingga $FE \parallel BC.$ Titik $P$ merupakan titik potong $BE$ dan $CF,$ dan perpanjangan $AP$ dan $BC$ berpotongan di titik $D.$ Jika $AE = 2,$ $CE = 3,$ dan $AD = 7,$ maka panjang $AP = \cdots \cdot$
A. $2,0$                         D. $4,0$
B. $2,5$                         E. $5,0$
C. $3,0$

Pembahasan

Karena $FE$ sejajar dengan $BC,$ maka ketiga sudut yang bersesuaian pada $\triangle AFE$ dan $\triangle ABC$ sama besar. Dengan kata lain, $\triangle AFE \sim \triangle ABC$ (sebangun) sehingga berlaku perbandingan
$$\dfrac{AF}{FB} = \dfrac{EA}{EC}.$$Dengan menggunakan Teorema Ceva pada $\triangle ABC$ dengan $P$ sebagai titik potong ketiga cevian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \cancel{\dfrac{AF}{FB}} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \cancel{\dfrac{CE}{EA}} & = 1 \\ \dfrac{BD}{DC} & = 1 \\ BD & = BC \end{aligned}$$Selanjutnya, gunakan Teorema Menelaus pada $\triangle ACD$ dengan transversal $BPE.$
$$\begin{aligned} \dfrac{AE}{EC} \cdot \dfrac{CD + DB}{BD} \cdot \dfrac{DP}{PA} & = 1 \\ \dfrac23 \cdot \dfrac21 \cdot \dfrac{DP}{PA} & = 1 \\ \dfrac{DP}{PA} & = \dfrac34 \\ 4DP & = 3PA \end{aligned}$$Dari gambar, kita peroleh
$$\begin{aligned} AD & = AP + PD \\ 4AD & = 4AP + 4PD \\ 4(7) & = 4AP + 3AP \\ 28 & = 7AP \\ 4 & = AP \end{aligned}$$Jadi, panjang $\boxed{AP=4,0}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 7
Perhatikan gambar berikut.
Jika $\dfrac{CE}{EA} = \dfrac23$ dan $\dfrac{AF}{FB} = \dfrac34,$ maka perbandingan luas $\triangle BFO$ dan $\triangle BCO$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2 : 3$                         D. $7 : 6$
B. $3 : 2$                         E. $8 : 9$
C. $6 : 7$

Pembahasan

Ingat bahwa $L_{\triangle} = \dfrac12 \cdot \text{alas} \cdot \text{tinggi}.$
Perhatikan $\triangle BFO$ dan $\triangle BCO.$ Misalkan tingginya ditarik dari titik sudut $B$ sehingga garis tingginya memotong $FC$ di $P,$ seperti yang tampak pada gambar di bawah.
Dengan demikian, berlaku
$$\begin{aligned} \dfrac{L_{\triangle BFO}}{L_{\triangle BCO}} & = \dfrac{\cancel{\dfrac12} \cdot FO \cdot \bcancel{BP}}{\cancel{\dfrac12} \cdot CO \cdot \bcancel{BP}} \\ & = \dfrac{FO}{CO} \end{aligned}$$Selanjutnya, gunakan Teorema Menelaus pada $\triangle AFC$ dengan menganggap $B$ terletak pada perpanjangan sisi $AF.$
$$\begin{aligned} \dfrac{AB}{BF} \cdot \dfrac{FO}{OC} \cdot \dfrac{CE}{EA} & = 1 \\ \dfrac{3+4}{4} \cdot \dfrac{FO}{OC} \cdot \dfrac23 & = 1 \\ \dfrac74 \cdot \dfrac{FO}{OC} \cdot \dfrac23 & = 1 \\ \dfrac76 \cdot \dfrac{FO}{OC} & = 1 \\ \dfrac{FO}{OC} & = \dfrac67 \end{aligned}$$Jadi, perbandingan luas $\triangle BFO$ dan $\triangle BCO$ sebanding dengan $FO : OC,$ yaitu $\boxed{6 : 7}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Diberikan segitiga $ABC$ dengan $D$ di pertengahan $AC,$ $E$ di pertengahan $BD,$ dan $H$ merupakan bayangan dari pencerminan titik $A$ terhadap $E.$ Jika $F$ merupakan perpotongan $AH$ dan $BC,$ maka nilai $\dfrac{AF}{FH} = \cdots \cdot$
A. $1/2$                           D. $3/2$
B. $2/1$                           E. $3/1$
C. $2/3$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Misalkan $P$ terletak pada $AB$ dengan perbandingan tertentu. Pandang $\triangle ABD$ dengan $C$ sebagai titik pada perpanjangan $AD.$ Dengan menggunakan Teorema Menelaus, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{AP}{PB} \cdot \dfrac{BE}{ED} \cdot \dfrac{DC}{CA} & = 1 \\ \dfrac{AP}{PB} \cdot \dfrac11 \cdot \dfrac12 & = 1 \\ \dfrac{AP}{PB} & = \dfrac21 \end{aligned}$$Diperoleh perbandingan $AP : PB = 2 : 1.$
Selanjutnya, pandang $\triangle ABC.$ Akan dicari perbandingan panjang $BF$ dan $FC$ dengan menggunakan Teorema Ceva.
$$\begin{aligned} \dfrac{AP}{PB} \cdot \dfrac{BF}{FC} \cdot \dfrac{CD}{DA} & = 1 \\ \dfrac21 \cdot \dfrac{BF}{FC} \cdot \dfrac11 & = 1 \\ \dfrac{BF}{FC} & = \dfrac12 \end{aligned}$$Diperoleh perbandingan $BF : FC = 1 : 2.$
Terakhir, pandang $\triangle ABF$ dengan $C$ sebagai titik pada perpanjangan $BF.$ Dengan menggunakan Teorema Menelaus lagi, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{BP}{PA} \cdot \dfrac{AE}{EF} \cdot \dfrac{FC}{CB} & = 1 \\ \dfrac12 \cdot \dfrac{AE}{EF} \cdot \dfrac{2}{2+1} & = 1 \\ \dfrac{AE}{EF} \cdot \dfrac13 & = 1 \\ \dfrac{AE}{EF} & = \dfrac31 \end{aligned}$$Karena $AE : EF = 3 : 1$ dan $AE = EH$ (karena pencerminan), maka kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{AF}{FH} & = \dfrac{AE + EF}{EH-EF} \\ & = \dfrac{3+1}{3-1} \\ & = \dfrac42 = \dfrac21 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{\dfrac{AF}{FH} = \dfrac21}$
(Jawaban B) 

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Misalkan $M$ adalah titik tengah dari sisi $AB$ pada suatu segitiga $ABC.$ Titik $D$ dan $E$ berturut-turut terletak pada sisi $BC$ dan $CA$ sedemikian sehingga $DE$ dan $AB$ sejajar. Titik $P$ terletak di segmen garis $AM.$ Garis $EM$ dan $CP$ berpotongan di $X,$ sedangkan $DP$ dan $CM$ berpotongan di $Y.$ Buktikan bahwa $X, Y,$ dan $B$ kolinear.

Pembahasan

Pertama, sketsakan gambar segitiga $ABC$ beserta setiap komponen yang diberikan.
Adapun informasi yang bisa kita dapatkan dari keterangan dan gambar di atas adalah sebagai berikut.

  1. $\color{red}{AM = BM}$ karena $M$ terletak tepat di tengah $AB.$
  2. $\triangle CED$ sebangun dengan $\triangle CAB$ karena ketiga sudutnya sama besar sehingga berlaku perbandingan $\color{blue}{\dfrac{CE}{EA} = \dfrac{CD}{DB}}.$



Sekarang, gunakan Teorema Menelaus pada $\triangle APC$ dengan menggunakan transversal $EXM.$
$$\begin{aligned} \dfrac{CE}{EA} \cdot \dfrac{AM}{MP} \cdot \dfrac{PX}{XC} & = 1 \\ \color{blue}{\dfrac{CD}{DB}} \cdot \dfrac{\color{red}{BM}}{MP} \cdot \dfrac{PX}{XC} & = 1 \\ \dfrac{BM}{MP} \cdot \dfrac{PX}{XC} \cdot \dfrac{CD}{DB} & = 1 \end{aligned}$$Bentuk terakhir merupakan persamaan yang berlaku menurut Teorema Ceva pada $\triangle BCP$ dengan $Y$ sebagai titik potong tiga ceviannya. Karena persamaan tersebut berlaku, maka Teorema Ceva menjamin bahwa $B, X$, dan $Y$ pasti kolinear (terbukti).

[collapse]

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *