Soal dan Penyelesaian – UTS Kalkulus Integral

 

      Berikut ini adalah 8 soal ujian tengah semester Kalkulus Integral (TA 2017/2018) yang diujikan oleh Drs. Dian Ahmad B.S, M.Si kepada mahasiswa semester 3 program studi pendidikan matematika FKIP Untan.

Soal Nomor 1
Hitung \displaystyle \int \dfrac{(3x^2 + 2)^2\sqrt{x}}{5\sqrt[3]{x^2}}~\text{d}x

Penyelesaian

\begin{aligned} & \displaystyle \int \dfrac{(3x^2 + 2)^2\sqrt{x}}{5\sqrt[3]{x^2}}~\text{d}x \\ & = \displaystyle \int \dfrac{9x^4 + 12x^2 + 4}{5x^{\frac{1}{6}}}~\text{d}x \\ & = \dfrac{9}{5}\int x^{\frac{23}{6}}~dx + \dfrac{12}{5}\int x^{\frac{11}{6}}~dx + \dfrac{4}{5}\int x^{-\frac{1}{6}}~\text{d}x \\ & = \dfrac{9}{5} \times \dfrac{6}{29} x^{\frac{29}{6}} + \dfrac{12}{5} \times \dfrac{6}{17} x^{\frac{17}{6}} + \dfrac{4}{5} \times \dfrac{6}{5} x^{\frac{5}{6}} \\ & = \boxed{\dfrac{54}{145}x^4\sqrt[6]{x^5} + \dfrac{72}{85}x^2\sqrt[6]{x^5} + \dfrac{24}{25}\sqrt[6]{x^5}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 2
Hitunglah \displaystyle \int \dfrac{2}{3} \cos^4 x~\text{d}x

Penyelesaian

\displaystyle \int \dfrac{2}{3} \cos^4 x~\text{d}x = \dfrac{2}{3} \int \cos^4 x~\text{d}x
Gunakan rumus reduksi berikut.
\int \cos^n x~\text{d}x = \dfrac{n-1}{n} \displaystyle \int \cos^{n-2} x~\text{d}x + \dfrac{\cos^{n-1} x \sin x}{n}
Untuk n = 4, diperoleh
\dfrac{2}{3} \left(\dfrac{3}{4} \displaystyle \int \cos^2 x~\text{d}x + \dfrac{\cos^3 x \sin x}{4}\right)
= \dfrac{\cos x \sin x}{4} + \dfrac{x}{4}  + \dfrac{\cos^3 x \sin x}{6}
=\boxed{\dfrac{\sin 4x + 8 \sin 2x + 12x}{48} + C}

[collapse]

Soal Nomor 3
Hitunglah \displaystyle \int \dfrac{5(y^2 + y+1)}{\sqrt{2y^3 + 3y^2 + 6y}}~\text{d}y

Penyelesaian

Misal u = 2y^3 + 3y^2 + 6y sehingga \text{d}u = 6(y^2 + y + 1)~\text{d}y. Perhatikan bahwa integral di atas dapat ditulis juga menjadi
\dfrac{5}{6}\displaystyle \int \dfrac{6(y^2 + y+1)}{\sqrt{2y^3 + 3y^2 + 6y}}~\text{d}y
Substitusikan u dan \text{d}u,
\dfrac{5}{6} \displaystyle \int \dfrac{du}{u^{\frac{1}{2}}}
=\dfrac{5}{6} \times 2 \times \sqrt{u} + C
= \boxed{\dfrac{5}{3}\sqrt{2y^3 + 3y^2 + 6y} + C}

[collapse]

Soal Nomor 4
Hitunglah \displaystyle \int \dfrac{4y^2 - 4}{(y^3 - 3y)^2}~\text{d}y

Penyelesaian

Misal u = y^3 - 3y sehingga du = 3y^2 - 3 = 3(y^2 - 1)~\text{d}y. Perhatikan bahwa integral di atas dapat ditulis juga menjadi
\dfrac{4}{3} \displaystyle \int \dfrac{3(y^2 - 1)}{(y^3 - 3y)^2}~\text{d}y
Substitusikan u dan \text{d}u,
\dfrac{4}{3} \displaystyle \int \dfrac{du}{u^2}
= \dfrac{4}{3} \times (-1) \times \dfrac{1}{u} + C
= \boxed{-\dfrac{4}{3(y^3 - 3y)} + C}

[collapse]

Soal Nomor 5
Hitunglah \displaystyle\int_{-2}^{6} (3x^2 + 5x)~\text{d}x

Penyelesaian

\displaystyle\int_{-2}^{6} (3x^2 + 5x)~\text{d}x
=\left[x^3 + \dfrac{5}{2}x^2\right]_{-2}^{6}
= \left(6^3 + \dfrac{5}{2}(6)^2\right) - \left((-2)^3 + \dfrac{5}{2}(-2)^2\right)
= 216 + 90 + 8 - 10 = \boxed{304}

[collapse]

Soal Nomor 6
Hitunglah \displaystyle\int_{1}^{8} \dfrac{(\sqrt[3]{x^2} - 5)^4}{\sqrt[3]{x}}~\text{d}x

Penyelesaian

Misal u = \sqrt[3]{x^2} - 5 sehingga \text{d}u = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}~\text{d}x
Bentuk integral di atas dapat ditulis menjadi bentuk
\dfrac{3}{2} \displaystyle\int_{1}^{8} \dfrac{2(\sqrt[3]{x^2} - 5)^4}{3\sqrt[3]{x}}~\text{d}x
Substitusi u dan \text{d}u,
\dfrac{3}{2}\displaystyle\int_{-4}^{-1} u^4~\text{d}u = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{1}{5} \left[u^5\right]_{-4}^{-1}
= \dfrac{3}{10} \times ((-4)^5 - (-1)^5) = \dfrac{3}{10} \times 1025
= \boxed{\dfrac{615}{2}}

[collapse]

Soal Nomor 7
Hitunglah \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^5 \theta \cos \theta~\text{d}\theta

Penyelesaian

Misalkan u = \sin \theta sehingga \text{d}u = \cos \theta~\text{d}\theta. Dengan demikian, integral di atas dapat ditulis menjadi
\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}\sqrt{3}} u^5~\text{d}u
= \left[\dfrac{1}{6}u^6\right]_{0}^{\frac{1}{2}\sqrt{3}} = \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{2}\sqrt{3}\right)^6 - 0
= \dfrac{27}{384} = \dfrac{9}{128}
Jadi, nilai dari \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^5 \theta \cos \theta~d\theta adalah \boxed{\dfrac{9}{128}}.

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan nilai dari \displaystyle \int \dfrac{5x}{(x - 5)^4}~\text{d}x

Penyelesaian

Misalkan u = x - 5 sehingga \text{d}u = \text{d}x. Di lain sisi, pemisalan itu ekuivalen dengan x = u + 5, sehingga
\displaystyle \int \dfrac{5x}{(x - 5)^4}~\text{d}x
=\displaystyle \int \dfrac{5(u+5)}{u^4}~\text{d}u
=\displaystyle \int \dfrac{5u + 25}{u^4}~\text{d}u
= \displaystyle \int \dfrac{5}{u^3}~du + \int \dfrac{25}{u^4}~\text{d}u
= -\dfrac{5}{2u^2} -\dfrac{25}{3u^3}
= -\dfrac{5}{2(x-5)^2} -\dfrac{25}{3(x-5)^3}
(samakan penyebutnya)
= \dfrac{-15(x-5) - 50}{6(x-5)^3} = \boxed{\dfrac{-15x + 25}{6(x-5)^3}}

[collapse]

–SELESAI–
Jika ada pertanyaan atau proses pengerjaan soal yang kurang tepat, silakan konfirmasikan di kolom komentar ya! Kritik dan saran juga sangat diharapkan