Soal dan Pembahasan – Fungsi Kompleks, Limit, dan Turunannya

 

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai fungsi kompleks (dasar) serta limit dan turunan fungsi kompleks. 

Soal Nomor 1
Tentukan nilai fungsi f(z) jika z = 1 + i
a. f(z) = \dfrac{1}{z}
b. f(z) = iz
c, f(z) = z^2 + 1

Penyelesaian

(Jawaban a)
f(z) = \dfrac{1}{z} \Rightarrow f(1 + i) = \dfrac{1}{1 + i} = \boxed{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i}
(Jawaban b)
f(z) = iz \Rightarrow f(1 + i) = i(1 + i) = \boxed{-1 + i}
(Jawaban c)
f(z) = z^2 + 1 \Rightarrow f(1 + i) = (1 + i)^2 + 1 = \boxed{1 + 2i}

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan fungsi kompleks f(z) = 2x^2 + iy dalam bentuk z

Penyelesaian

Misalkan z = x + iy dan \overline{z} = x - iy, berarti
x = \dfrac{z + \overline{z}} {2}
y = \dfrac{z - \overline{z}} {2i}
Jadi,
\begin{aligned} f(z) & = 2x^2 + iy \\ & = 2\left( \dfrac{z + \overline{z}} {2}\right) ^2 + i\left(\dfrac{z - \overline{z}}{2i} \right) \\ & = \boxed{\dfrac{1}{2}(z^2+ \overline{z}^2 + z - \overline{z}) + z\overline{z}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui f(z) = x + iy + \dfrac{x - iy} {x^2+y^2}
a) Tentukan f(z) dalam z
b) Tentukan bagian real dan imajiner dalam f(z)
c) Tentukan f(1 +2i)

Penyelesaian

(Jawaban a)
Ingat!!
\boxed{\begin{aligned} & x = \dfrac{z + \overline{z}} {2} \\ & y = \dfrac{z - \overline{z}} {2i} \end{aligned}}
Berarti,
\begin{aligned} f(z) & = x + iy + \dfrac{x - iy} {x^2+y^2} \\& = \dfrac{z + \overline{z}} {2} + i\left(\dfrac{z - \overline{z}} {2i}\right) + \dfrac{\dfrac{z + \overline{z}}{2} + \dfrac{z - \overline{z}}{2i}}{z\overline{z}} \\ & = z + \dfrac{1}{z} \end{aligned}
(Jawaban b)
Dalam hal ini, u dan v masing-masing mewakili bagian real dan bagian imajiner dalam fungsi f.
\begin{aligned} f(z) & = x + iy + \dfrac{x - iy} {x^2+y^2} \\ & = \left(x + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\right) + \left(y - \dfrac{y}{x^2 + y^2}\right)i \end{aligned}
Jadi, diperoleh u = \dfrac{x}{x^2 + y^2} dan v = y - \dfrac{y}{x^2 + y^2}
(Jawaban c)
Diketahui bahwa
f(z) = z + \dfrac{1}{z}
sehingga
f(1 + 2i) = (1 + 2i) + \dfrac{1}{1 + 2i} = \dfrac{6}{5} + \dfrac{8}{5}i

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika z = 1 + 2i, tentukan
a) f(z) = \dfrac{x - iy} {1 + z}
b) f(z) = \dfrac{1}{|z|}

Penyelesaian

(Jawaban a)
\begin{aligned} f(1 + 2i) & = \dfrac{x - iy}{2 + 2i} \times \dfrac{2-2i} {2-2i} \\ & = \dfrac{2x - 2ix - 2iy + 2i^2y} {8} \\ & = \boxed{\dfrac{(x - y) +(-x-y) i} {4}} \end{aligned}
(Jawaban b)
f(1+2i) = \dfrac{1}{|1+2i|} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \boxed{\dfrac{1}{5}\sqrt{5}}

[collapse]

Soal Nomor 5
Misalkan w = f(z) = z(2-z). Tentukan nilai w yang dinyatakan oleh
a) z = 1 + i
b) z = 2 - 2i

Penyelesaian

(Jawaban a)
Diketahui f(z) = z(2-z) berarti
f(1+i) = (1+i)(1-i) = 2
(Jawaban b)
Dengan prinsip yang sama,
f(2-2i) = (2-2i)(2i) = 4 + 4i

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika w = f(z) = \dfrac{1+z} {1-z}, tentukan
a) f(i)
b) f(1-i)

Penyelesaian

(Jawaban a)
f(i) = \dfrac{1+i} {1-i} \times \dfrac{1+i} {1+i} = i
(Jawaban b)
f(1-i) = \dfrac{2-i} {i} = \dfrac{2i +1}{-1} =-1-2i

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika f(z)=\dfrac{2z+1}{3z-2}, z \neq \dfrac{2}{3}, tentukanlah f(f(z))

Penyelesaian

\begin{aligned} f(f(z)) & = f\left(\dfrac{2z+1}{3z-2}\right) \\ & = \dfrac{2\left(\dfrac{2z+1}{3z-2}\right) +1} {3\left(\dfrac{2z+1}{3z-2}\right - 2} \\ & = \dfrac{4z + 2 + 3z -2}{6z + 3 - 6z + 4} \\ & = z \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan nilai z sehingga f(z) = \dfrac{z+2}{2z-1}=i

Penyelesaian

Gunakan metode yang sudah kita ketahui sebelumnya, yaitu dengan mengelompokkan variabel z
\begin{aligned} \dfrac{z+2}{2z-1} & =i \\ z + 2 & = 2iz - i \\ z(1-2i) & = -i-2 \\  z & = \dfrac{-i-2}{1-2i} = -i \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 9
Pisahkan setiap fungsi kompleks berikut dalam bagian real dan khayalnya.
a) f(z) = 2z^2 - 3iz
b) f(z) = \dfrac{z+1}{2}

Penyelesaian

Ingat bahwa:
\boxed{z = x + iy}
(Jawaban a)
\begin{aligned} f(z) & = 2z^2 - 3iz \\ & = 2(x + iy)^2 -3i(x + iy) \\ & = 2x^2 + 4ixy - 2y^2 - 3ix + 3y \\ & = (2x^2 - 2y^2 + 3y) +(4xy - 3x)i \end{aligned}
Diperoleh bagian real (nyata) dalam f(z) adalah 2x^2 - 2y^2 + 3y, sedangkan bagian khayal (imajiner) dalam f(z) adalah 4xy -3x
(Jawaban b)
\begin{aligned} f(z) & = \dfrac{z+1}{2} \\ & = \dfrac{x + iy + 1}{2} \\ & = \dfrac{x +1}{2} + \dfrac{y} {2}i \end{aligned}
Diperoleh bagian real (nyata) dalam f(z) adalah \dfrac{x+1}{2}, sedangkan bagian khayal (imajiner) dalam f(z) adalah \dfrac{y}{2}

[collapse]

Soal Nomor 10
Diketahui f: \mathbb{D} \mapsto \mathbb{C} dengan aturan f(z) =\dfrac{1}{z}. Tentukan range dari himpunan A = \{z : |z| \leq 4\}

Penyelesaian

Fungsi tersebut dapat ditulis menjadi
\begin{aligned} f(z) &= \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{x + iy} \\ & = \dfrac{x} {x^2+y^2}-\dfrac{y} {x^2+y^2}i \end{aligned}
Jika fungsinya diubah dalam koordinat polar, dengan
\begin{aligned} & r^2 = x^2 + y^2 \\ & x = r \cos \theta \\ & y = r \sin \theta \end{aligned}
diperoleh
f(z) = \dfrac{1}{r}\left(\cos \theta -i~sin \theta\right) 
Jika kita ubah dalam transformasi \mathbb{R}^2 ke \mathbb{R}^2, maka
f(r, \theta) = \left(\dfrac{1}{r} \cos \theta, -\dfrac{1}{r} \sin \theta\right)
Batas daerah A merupakan lingkaran dengan jari-jari 4, jadi ditulis

f(4, \theta) = \left(\dfrac{1}{4} \cos \theta, -\dfrac{1}{4} \sin \theta\right) 
Kita peroleh bahwa range A adalah lingkaran dengan jari-jari \dfrac{1}{4}. Semakin kecil jari-jari lingkaran pada domain, semakin besar jari-jari lingkaran pada rangenya (berbanding terbalik).

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui u(x, y) = x^2 - y^2 + x dan v(x, y) = 2xy - y serta w = u(x, y) + iv(x, y). Bentuk fungsi w dalam variabel kompleks z adalah….

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
\boxed{\begin{aligned} & z = x + iy \\ & \overline{z} = x - iy \\ & z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy \end{aligned}}
Berarti,
\begin{aligned} w & = u(x, y) + iv(x, y) \\ & = (x^2 - y^2 + x) + i(2xy - y) \\ & = (x^2 - y^2 + 2ixy) + (x - iy) \\ & = \boxed{z^2 + \overline{z}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 12
Limit dari fungsi kompleks (untuk z menuju i):
f(z) = \dfrac{z(z^2 + (2 - i)z - 2i)} {z - i}, & z \neq i adalah…

Penyelesaian

Substitusikan z = i sehingga bentuk limit f(z) menjadi \dfrac{0}{0}, berarti berlaku Dalil L’Hospital (turunan).
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{z \to i} f(z) & = \lim_{z \to i} f'(z) \\ & = \lim_{z \to i} \dfrac{3z^2 + 2(2-i)z - 2i}{1} \\ & = 3(i)^2 + 2(2-i) i - 2i \\ & = -1 + 2i \end{aligned}
Jadi, limit dari fungsi tersebut (untuk z mendekati i) adalah \boxed{-1 + 2i}

[collapse]

Soal Nomor 13
Jika z = x + iy, maka hasil dari
\displaystyle \lim_{x \to 3 - 4i} \dfrac{i \text{Re}(z)^2}{|z|} adalah…

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 14 (Soal ON-MIPA PT Seleksi Wilayah Tahun 2014)
Diketahui polinomial p(z) dan q(z) sehingga berlaku
p(z) \cos^2 z + q(z) \sin^2 z = 2
untuk setiap z \in \mathbb{C}.
Hitunglah p(1) + q(1)

Penyelesaian

Diketahui p(z) \cos^2 z + q(z) \sin^2 z = 2
Misalkan z = n\pi, n \in \mathbb{Z}, berarti diperoleh
p(n\pi) \cos^2 (n\pi) + q(n \pi) \sin^2 (n \pi) = 2
Perhatikan bahwa \cos^2 (n\pi) = 1 dan \sin^2 (n \pi) = 0, maka selanjutnya didapat
\begin{aligned} p(n\pi) (1) + q(n \pi) (0) & = 2 \\ p(n \pi) & = 2 \end{aligned}
Karena ada tak hingga banyaknya n yang memenuhi persamaan di atas, maka dengan kata lain ada tak hingga z yang memenuhi p(z) = 2.
Setiap polinomial tak konstan f(z) memenuhi
\displaystyle \lim_{z \to \infty} f(z) = \pm \infty
sehingga z haruslah berhingga
banyaknya dan ini berarti p(z) pasti konstan. Jadi, didapat p(1) = 2.
Dengan prinsip yang sama, misalkan z = \dfrac{\pi}{2} + n\pi, n \in \mathbb{Z}, jika disubstitusikan ke persamaan awal, maka didapat
q\left(\dfrac{\pi} {2} + n\pi) = 2
Karena q(z) konstan, maka haruslah
q(1) = 2
Jadi, \boxed{p(1) + q(1) = 2 + 2 = 4}.

[collapse]