Soal dan Pembahasan – Analisis Kompleks Tingkat Dasar Bagian I

 

    Berikut ini adalah beberapa soal beserta pembahasan mengenai sistem bilangan kompleks, operasi dasar, aturan aljabar, grafik bilangan kompleks, dan nilai mutlak (modulus). 

Soal Nomor 1
Selesaikan atau sederhanakan bentuk berikut.
a) (3 + 4i) + (3i - 2)
b) (3 + 2i)(3i - 2)
c) \dfrac{2 - 3i}{4 - i}
d) i^{123} - 4i^9 - 4i
e) \dfrac{i^4 + i^9 + i^{16}}{2 - i^5 + i^{10} - i^{15}}

Penyelesaian

Ingat bahwa
\boxed{\begin{aligned} & i = \sqrt{-1} \\ &  i^2 = -1 \\ & i^3 = -\sqrt{-1} = -i \\ & i^4 = 1\end{aligned}}
(Jawaban a)
\begin{aligned} (3 + 4i)+(3i-2) & = (4i + 3i)+(3-2) \\ & = \boxed{7i + 1} \end{aligned}
(Jawaban b)
\begin{aligned}(3+2i)(3i-2) & = (9i - 6)+(6i^2 - 4i) \\ & = 9i - 4i - 6 - 6 \\ & = \boxed{5i -12} \end{aligned}
(Jawaban c)
\begin{aligned} \dfrac{2-3i}{4-i}& = \dfrac{2-3i} {4-i} \times \dfrac{4+i}{4+i} \\ & = \dfrac{8 + 2i - 12i - 3i^2}{16 - i^2} \\ & = \boxed{ \dfrac{11 - 10i}{17}} \end{aligned}
(Jawaban d)
\begin{aligned} i^{123} - 4i^9 - 4i & = (i^{120})(i^3)-4(i^8)(i) - 4i \\ & = -i - 4i - 4i = \boxed{-9i} \end{aligned}
(Jawaban e)
\begin{aligned}\dfrac{i^4 + i^9 + i^{16}} {2-i^5+i^{10}-i^{15}} & = \dfrac{i^4 + (i^8)(i) + i^{16}}{2 - (i^4)(i) + (i^8)(i^2) - (i^{12}) (i^3)} \\ & = \dfrac{1 + i + 1}{2 - i + (-1) + i} \\ & = \dfrac{2 + i}{1} \\ & = 2 + i \end{aligned} 

[collapse]

Soal Nomor 2
Tunjukkan bahwa jika z = -1 - i, maka z^2 + 2z + 2 = 0

Penyelesaian

Diberikan z = -1 - i, sehingga
\begin{aligned} z^2 + 2z + 2 & = (-1 - i)^2 + 2(-1-i) +2 \\ & = 1 + 2i - 1 - 2 - 2i + 2 \\ & = 0 \end{aligned} (Terbukti)

[collapse]

Soal Nomor 3
Buktikan bahwa \overline{z_1z_2} = \overline{z_1}~\overline{z_2}

Penyelesaian

Misalkan z_1 = a + bi dan z_2 = c + di, sehingga konjugatnya adalah \overline{z_1} = a - bi dan \overline{z_2} = c - di
\begin{aligned} \overline{z_1z_2} & = \overline{(a+bi)(c+di)} \\ & = \overline{(ac - bd) + (ad + bc)i} \\ & = (ac - bd) - (ad + bc)i \\ & = (a - bi)(c - di) \\ & = \overline{z_1}~\overline{z_2} \end{aligned} (Terbukti) 

[collapse]

Soal Nomor 4
Tentukan bilangan real x dan y sedemikian sehingga
\begin{aligned} 2x - 3iy + 4ix - & 2y - 5 - 10i \\ & = (x + y - 2) - (y - x + 3)i \end{aligned}

Penyelesaian

Kelompokkan/faktorkan persamaan tersebut sebagai berikut berdasarkan bagian real dan imajinernya.
\begin{aligned}(2x - 2y - 5) & + (-3y + 4x - 10)i \\ & = (x + y - 2) + (x - y - 3)i \end{aligned}
Dengan menyamakan posisi real dan imajinernya, diperoleh
\begin{cases} 2x - 2y - 5 = x + y - 2 \\ -3y + 4x - 10 = x - y - 3 \end{cases}
Sederhanakan kembali.
\begin{cases} x - 3y = 3 \\ 3x - 2y = 7 \end{cases}
Selesaikan SPLDV ini sehingga diperoleh x =\dfrac{15}{7} dan y = -\dfrac{2}{7} 

[collapse]

Soal Nomor 5
Buktikan bahwa untuk setiap z berlaku
\text{Re}(z) = \dfrac{1}{2}(z + \overline{z})
dan
\text{Im}(z) = \dfrac{1}{2i}(z - \overline{z})

Penyelesaian

Perlu diperhatikan bahwa Re(z) dan Im(z) memiliki arti bagian real dan bagian imajiner dalam z (z adalah bilangan kompleks)
Misalkan z = a + bi sehingga \overline{z} = a - bi
Akan ditunjukkan bahwa \text{Re}(z) = a dan \text{Im}(z) = b, yaitu
\text{Re}(z) = \dfrac{1}{2}(z + \overline{z}) = \dfrac{1}{2}(a + bi + a - bi) = a
dan
\text{Im}(z) = \dfrac{1}{2i}(z - \overline{z}) = \dfrac{1}{2i}(a + bi - a + bi) = b (Terbukti) \blacksquare 

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan modulus dari bilangan kompleks berikut.
a) z = -1 - i
b) z = \dfrac{2 + 3i}{1 - i}

Penyelesaian

Definisi modulus: Jika z = a + bi, maka modulus atau nilai mutlak dari z adalah z = \sqrt{a^2 + b^2}
(Jawaban a) Diberikan z = -1 - i, berarti |z| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}
(Jawaban b) Ubah bentuk z yang diberikan sebagai berikut.
\begin{aligned} z & = \dfrac{2+3i}{1-i} \times \dfrac{1+i}{1+i} \\ & = \dfrac{2 + 2i + 3i + 3i^2}{1 - i^2} \\ & = \dfrac{-1 + 5i}{2} \end{aligned}
Jadi,
|z| = \sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{5}{2}\right)^2}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{26}

[collapse]

Soal Nomor 7
Tentukan \left|\dfrac{\overline{z}}{z}\right|

Penyelesaian

Misalkan z = a + bi, berarti \overline{z} = a - bi. Perhatikan bahwa,
|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + (-b)^2} = |\overline{z}|
Jadi, diperoleh |z| = |\overline{z}|, sehingga
\left|\dfrac{\overline{z}}{z}\right| = 1

[collapse]

Soal Nomor 8
Hitunglah setiap bentuk berikut jika z_1 = 1 - i, z_2 = -2 + 4i
a) |2z_2 - 3z_1|^2
b) |z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1}|

Penyelesaian

(Jawaban a)
\begin{aligned} |2z_2 - 3z_1|^2 & = |2(-2 + 4i) - 3(1 - i)|^2 \\ & = |-7 + 9i|^2 \\ & = (-7)^2 + 9^2 = 130 \end{aligned}
(Jawaban b)
\begin{aligned} |z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1}| & = |(1 - i)(-2 - 4i) + (-2 + 4i)(1 + i) \\ & = |-2 - 4i + 2i + 4 - 2 - 2i + 4i - 4| \\ & = |-4| = 4 \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 9
Gambarkan grafik dari bilangan kompleks berikut.
a) z = 3 + 2i
b) z = -2 - i

Penyelesaian

(Jawaban a) Diketahui \text{Re}(z) = 3 dan \text{Im}(z) = 2, sehingga titik koordinatnya adalah (3, 2)
(Jawaban b) Diketahui \text{Re}(z) = -2 dan \text{Im}(z) = -1, sehingga titik koordinatnya adalah (-2, -1)
Gambar grafiknya (berupa titik koordinat) sebagai berikut. Perhatikan bahwa sumbu X dan sumbu Y diganti menjadi sumbu real dan sumbu imajiner dalam sistem bilangan kompleks

[collapse]

Soal Nomor 10 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Jika z = \dfrac{4 + 3i}{2 - 2i}, maka nilai dari \text{Re}(z), \text{Im}(z), dan |z| berturut-turut adalah \cdots
A. \frac{1}{4}, \frac{7}{4}, \frac{5}{4}\sqrt{2}
B. -\frac{1}{4}, \frac{7}{4}, \frac{5}{4}\sqrt{2}
C. -\frac{1}{4}, -\frac{7}{4}, \frac{5}{4}\sqrt{2}
D. \frac{1}{4}, \frac{7}{4}, -\frac{5}{4}\sqrt{2}
E. -\frac{1}{4}, \frac{7}{4}, -\frac{5}{4}\sqrt{2}

Penyelesaian

\begin{aligned}z & = \dfrac{4 + 3i}{2 - 2i} \\ & = \dfrac{4 + 3i}{2 - 2i} \times \dfrac{2 + 2i}{2 + 2i} \\ & = \dfrac{8 + 8i + 6i - 6}{4 + 4} \\ & = \dfrac{7i + 1}{4} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{7}{4}i \end{aligned}
Diperoleh \text{Re}(z) = \dfrac{1}{4} dan \text{Im}(z) = \dfrac{7}{4}
|z| = \sqrt{\left(\dfrac{7}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{4}\right)^2} = \dfrac{5}{4}\sqrt{2} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 11
Tunjukkan bahwa jika z = \cos \alpha + i~\sin \alpha, 0 < \alpha < 2\pi, maka berlaku
\dfrac{1 + z}{1 -z} = i~\cot \dfrac{\alpha}{2}

Penyelesaian

Substitusikan
\cot \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha}
ke persamaan yang diberikan beserta z = \cos \alpha + i~\sin \alpha, sehingga ditulis
\dfrac{1 + \cos \alpha + i~\sin \alpha}{1 - \cos \alpha - i~\sin \alpha} = \dfrac{i(1 + \cos \alpha)}{\sin \alpha}
Persamaan di atas diubah menjadi
\begin{aligned}\sin \alpha + \sin \alpha & \cos \alpha + i~\sin^2 \alpha \\ & = (i + i~\cos \alpha)(1 - \cos \alpha - i~\sin \alpha) \end{aligned}
Sederhanakan sehingga diperoleh
i~\sin^2 \alpha = i - i~\cos^2 \alpha \Rightarrow i(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = i
Persamaan itu jelas benar karena berdasarkan identitas trigonometri, \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1, berarti pernyataan di atas telah terbukti.

[collapse]