Soal Babak Final Mathematics Competition (MC) LIMAS KE-6 Tingkat SMP Beserta Pembahasannya

 

    Berikut ini adalah 15 soal (beserta pembahasan) untuk tingkat SMP yang diujikan saat babak final Mathematics Competition (MC) pada agenda Lomba Intelegensi Matematika Antar Siswa (LIMAS) Ke-6 yang diselenggarakan oleh Himmat FKIP Untan pada tanggal 17 Desember 2017.

Soal Nomor 1
Jika a^2 = 7b + 51 dan b^2 = 7a + 51 dengan a dan b bilangan real berbeda, tentukan nilai ab

Penyelesaian

Diketahui
a^2 = 7b + 51 (\cdots 1)
b^2 = 7a + 51 (\cdots 2)
Kurangi persamaan 1 dan 2,
a^2 - b^2 = 7b - 7a
(a+b)(a-b) = -7(a - b)
a + b = -7
Jumlahkan persamaan 1 dan 2,
a^2 + b^2 = 7a + 7b + 51 + 51
(a + b)^2 - 2ab = 7(a+b) + 102
(-7)^2 - 2ab = 7(-7) + 102
49 - 2ab = 53
\boxed{ab = -2}
Jadi, hasil dari ab adalah -2.

[collapse]

Soal Nomor 2
Jika a^2 + b^2 = 6ab, tentukan nilai dari \dfrac{a+b}{a-b} untuk a \neq b, a >0, b>0

Penyelesaian

Faktorkan persamaan yang diberikan seperti berikut.
(a + b)^2 - 2ab = 6ab
(a+b)^2 = 8ab
a + b = \sqrt{8ab}
Di lain sisi, persamaan di atas juga dapat difaktorkan seperti berikut.
(a - b)^2 + 2ab = 6ab
(a-b)^2 = 4ab
a - b = \sqrt{4ab}
Dengan demikian,
\dfrac{a+b}{a-b} = \dfrac{\sqrt{8ab}}{\sqrt{4ab}}
\boxed{\dfrac{a+b}{a-b} = \sqrt{\dfrac{8ab}{4ab}} = \sqrt{2}}
Jadi, nilai dari \dfrac{a+b}{a-b} adalah \sqrt{2}

[collapse]

Soal Nomor 3
Berikut ini adalah gambar yang menunjukkan arah semut dan banyaknya semut ketika melewati jalan di antara meja makanan.

Berapakah nilai dari s_1?

Penyelesaian

Dengan memperhatikan jalur masuk dan keluar (yang pusatnya berada di daerah perempatan setiap celah), kita peroleh
s_8 + 34 = 50 + 40 \Leftrightarrow s_8 = 56
s_7 + s_8 = 24 + 56 \Leftrightarrow s_7 + 56 = 24 + 56 \Leftrightarrow s_7= 24
s_6 + s_7 = 15 + 16 \Leftrightarrow s_6 + 24 = 31 \Leftrightarrow s_6 = 7
s_5 + 19 = s_6 + 34 \Leftrightarrow s_5 + 19 = 7 + 34 \Leftrightarrow s_5 = 22
s_4 + 39 = 34 + s_5 \Leftrightarrow s_4 + 39 = 34 + 22 \Leftrightarrow s_4 = 17
s_3 + s_4 = 50 + 30 \Leftrightarrow s_3 + 17 = 80 \Leftrightarrow s_3 = 63
s_2 + s_3 = 36 + 41 \Leftrightarrow s_2 + 63 = 77 \Leftrightarrow s_2 = 14
\boxed{s_1 + 28 = 39 + s_2 \Leftrightarrow s_1 + 28 = 39 + 14 \Leftrightarrow s_1 = 25}
Jadi, nilai s_1 adalah 25.

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika diketahui rumus fungsi untuk x bilangan ganjil adalah f(2x) = 4f(x) - 1 dan rumus fungsi untuk x bilangan genap adalah f(x+1) = f(x) + 2x + 1 serta f(1) = 2, tentukan nilai dari f(31)

Penyelesaian

Dengan cara looking backward, alur pengerjaan dimulai dari bawah ke atas.
f(31) = f(30 + 1) = f(30) + 2 \times 30 + 1
Cari nilai f(30)
f(30) = f(2 \times 15) = 4f(15) - 1
Cari nilai f(15)
f(15) = f(14 + 1) = f(14) + 2 \times 14 + 1
Cari nilai f(14)
f(14) = f(2 \times 7) = 4f(7) - 1
Cari nilai f(7)
f(7) = f(6 + 1) = f(6) + 2 \times 6 + 1
Cari nilai f(6)
f(6) = f(2 \times 3) = 4f(3) - 1
Cari nilai f(3)
f(3) = f(2 + 1) = f(2) + 2 \times 2 + 1
Cari nilai f(2)
f(2) = f(2 \times 1) = 4f(1) - 1
Selanjutnya, mulai dengan mensubstitusikan f(1) = 2, kita peroleh secara berkelanjutan (dari bawah ke atas),
f(2) = 4(2) - 1 = 7
f(3) = 7 + 4 + 1 =12
f(6) = 4(12) - 1 = 47
f(7) = 47 + 12 + 1 = 60
f(14) = 4(60) - 1 = 239
f(15) = 239 + 28 + 1 = 268
f(30) = 4(268 - 1) = 1071
\boxed{f(31) = 1071 + 60 + 1 = 1132}
Jadi, nilai dari f(31) adalah 1132.

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan nilai dari \dfrac{1}{1 + 2018^{2017 - 6}} + \dfrac{1}{1 + 2018^{6 - 2017}}

Penyelesaian

Misalkan x = 2018^{2017 - 6}, berarti \dfrac{1}{x} = 2018^{6 - 2017}, sehingga
\dfrac{1}{1 + 2018^{2017 - 6}} + \dfrac{1}{1 + 2018^{6 - 2017}} = \dfrac{1}{1 + x} + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x}}
= \dfrac{1}{1+x} + \dfrac{x}{x+1}
= \boxed{ \dfrac{1+x}{1+x} = 1}
Jadi, nilai dari \dfrac{1}{1 + 2018^{2017 - 6}} + \dfrac{1}{1 + 2018^{6 - 2017}} adalah 1.

[collapse]

Soal Nomor 6
Perhatikan sistem persamaan linear empat variabel berikut.
\begin{cases} 3a + 4b + c + 4d = 17 \\ 7a + 3b + 3c + 3d = 9 \\ 5a + 2b + 2c + d = 20 \\ 4a + 4b + c + 5d = 15 \end{cases}
Tentukan nilai dari a + b+c+d

Penyelesaian

Jumlahkan persamaan 1 dan 2, diperoleh
10a + 7b + 4c + 7d = 26 (\cdots 5)
Kurangi persamaan 5 dengan 3, diperoleh
5a + 5b + 2c + 6d = 6 (\cdots 6)
Terakhir, kurangi persamaan 6 dengan 4, diperoleh
\boxed{a + b + c + d = -9}
Jadi, nilai dari a + b + c + d adalah -9.

[collapse]

Soal Nomor 7
Dalam segitiga ABC, diketahui titik A adalah titik perpotongan garis 2x + y - 6 = 0 dan garis 2x + 2y - 3 = 0. Sedangkan koordinat B dan C berturut-turut adalah (0, 1) dan (1, 2). Tentukan persamaan garis tinggi dari titik sudut A pada segitiga tersebut.

Penyelesaian

Selesaikan sistem persamaan
\begin{cases} 2x + y - 6 = 0 \\ 2x + 2y - 3 =  0 \end{cases} untuk mendapatkan titik potong kedua garisnya. Titik potong kedua garis itu adalah A\left(\dfrac{9}{2}, -3\right). Selanjutnya, perhatikan gambar berikut.

AD adalah garis tinggi segitiga dari titik sudut A (dalam hal ini, kita harus menentukan gradien garis yang melalui titik A dan D, lalu mencari persamaan garisnya). Misal garis yang melalui B dan C bergradien m_{BC}, sehingga m_{BC} = \dfrac{2 - 1}{1 - 0} = 1. Misalkan juga gradien garis yang melalui A dan D adalah m_{AD}, berarti m_{BC} \times m_{AD} = -1 (karena AD \perp BC), yang mengakibatkan m_{AD} = -1. Persaman garis yang melalui titik A\left(\dfrac{9}{2}, -3\right) dan bergradien  -1 adalah
y = m(x-x_1) + y_1
y = -1\left(x - \dfrac{9}{2}\right) - 3
\Leftrightarrow \boxed{2y + 2x - 3 = 0}
Jadi, persamaan garis tinggi dari titik sudut A pada segitiga ABC adalah \boxed{2y + 2x - 3 = 0}

[collapse]

Soal Nomor 8
Supri dan Sunarti menyelesaikan sebuah persamaan kuadrat. Dalam menyelesaikannya, Supri membuat kesalahan dalam menulis konstanta dan ia memperoleh akar-akarnya, yaitu 6 dan 2. Sedangkan Sunarti membuat kesalahan dalam menulis koefisien x dan memperoleh akar-akarnya, yaitu -7 dan -1. Tentukan persamaan kuadrat yang sebenarnya. 

Penyelesaian

(Poin penting!! x_1 dan x_2 adalah akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0)
Kasus Supri: Misalkan persamaan kuadrat yang ditulis Supri adalah ax^2 + bx + c = 0 dengan akar x_1 = 6 dan x_2 = 2. Dengan demikian,
x_1 + x_2 = 6 + 2 = 8
x_1 \times x_2 = 6 \times 2 = 12
Persamaan kuadratnya adalah x^2 - 8x + 12 = 0. Karena Supri hanya melakukan kesalahan penulisan pada konstanta, maka kita peroleh a = 1 dan b = -8. Ini berarti, persamaan kuadrat yang sebenarnya berbentuk x^2 - 8x + c = 0
Kasus Sunarti: Akar persamaan kuadrat yang didapat Sunarti adalah x_1 = -7 dan x_2 = -1. Berarti,
x_1 + x_2 = -7 + (-1) = -8
x_1 \times x_2 = -7 \times (-1) = 7
Dengan demikian, persamaan kuadrat yang didapat Sunarti adalah x^2 + 8x + 7 = 0. Karena Sunarti hanya melakukan kesalahan penulisan pada koefisien x, maka dari sini kita peroleh a = 1 dan c = 7. Jadi, persamaan kuadrat yang sebenarnya adalah \boxed{x^2 - 8x + 7 = 0}

[collapse]

Soal Nomor 9
Tentukan nilai dari
\dfrac{2018}{1 \times 2}+\dfrac{2018}{2 \times 3}+ \cdots + \dfrac{2018}{2017 \times 2018}

Penyelesaian

\dfrac{2018}{1 \times 2}+\dfrac{2018}{2 \times 3}+ \cdots + \dfrac{2018}{2017 \times 2018}
=\left(\dfrac{2018}{1} - \dfrac{2018}{2}\right) + \left(\dfrac{2018}{2} - \dfrac{2018}{3}\right) + \cdots + \left(\dfrac{2018}{2017} - \dfrac{2018}{2018}\right)
= 2018 - 1 = 2017
Jadi, nilai dari \dfrac{2018}{1 \times 2}+\dfrac{2018}{2 \times 3}+ \cdots + \dfrac{2018}{2017 \times 2018} adalah 2017.

[collapse]

Soal Nomor 10
Dian mempunyai minyak sebanyak 287~\text{m}^3 dan akan dibagikan ke toko A, B, dan C, dengan perbandingan 9 : 15 : 17. Berapa rupiah keuntungan yang didapat toko B jika dijual seharga 15.000 rupiah per liter dan persentase keuntungannya 25%?

Penyelesaian

Konversi satuan minyak dalam liter: 287~\text{m}^3 = 287.000~\text{liter}
Perbandingan banyak minyak untuk toko A : B : C = 9 : 15 : 17.
Banyak minyak yang didapat toko B adalah
\dfrac{15}{9+15+17} \times 287.000 = 105.000~\text{liter}
Harga jual minyak = 15.000 \times 105.000 = Rp.1.575.000.000
Gunakan konsep harga jual, untung, dan harga beli:
Harga jual = untung + harga beli
Harga jual = \dfrac{25}{100} \times harga beli + harga beli
Harga jual = \dfrac{5}{4} \times harga beli
Harga beli = \dfrac{4}{5} \times harga jual
= \dfrac{4}{5} \times 1.575.000.000 = 1.260.000.000
Untung = harga jual – harga beli = 1.575.000.000 - 1.260.000.000
Untung = 315.000.000
Jadi, keuntungan yang didapat toko B atas hasil penjualan minyak adalah Rp315.000.000,00.

[collapse]

Soal Nomor 11 
Ada beberapa burung dan sangkar. Jika ke dalam setiap sangkar dimasukkan 7 ekor burung, maka akan tertinggal 1 ekor burung di luar. Jika ke dalam setiap sangkar dimasukkan 9 ekor burung, maka terdapat 1 sangkar tak terisi (kosong). Tentukan banyaknya burung yang ada.

Penyelesaian

Misalkan x menyatakan banyak sangkar, sedangkan y menyatakan banyak burung.
Kasus I: Setiap sangkar dimasukkan 7 ekor burung.
Perhatikan bagan yang menyatakan hubungan banyak sangkar dan burung berikut.
\begin{array}{ccc} x & y \\ 1 & 7 + 1 = 8 \\ 2 & 14 + 1 = 15 \\ 3 & 21 + 1 = 22 \\ 4 & 28 + 1 = 29 \\ 5 & 35 + 1 = 36 \end{array}
Kasus II: Setiap sangkar dimasukkan 9 ekor burung.
Perhatikan bagan yang menyatakan hubungan banyak sangkar dan burung berikut.
\begin{array}{ccc} y & x \\ 9 & 1 + 1 = 2 \\ 18 & 2 + 1 = 3 \\ 27 & 3 + 1 = 4 \\ 36 & 4 + 1 = 5 \end{array}
Dari kedua bagan di atas, banyak burung dan banyak sangkar sama kedua kasus jika diambil x = 5 dan y = 36. Jadi, banyak burung yang ada adalah 36 ekor (dengan jumlah sangkar sebanyak 5).

[collapse]

Soal Nomor 12
Debora melemparkan n dadu. Ia menghitung peluang munculnya jumlah mata dadu sama dengan 6. Tentukan nilai n agar peluang munculnya jumlah mata dadu 6 paling besar.

Penyelesaian

Karena jumlah sisi dadu ada 6, maka nilai n yang mungkin agar diperoleh jumlah mata dadu 6 adalah n \leq 6.
Untuk n = 1, peluang munculnya jumlah mata dadu 6 jelas adalah \dfrac{1}{6}
Untuk n = 2, kejadian munculnya jumlah mata dadu 6 adalah A = \{(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)\}, berarti n(A) = 5. Dengan demikian, peluang munculnya A adalah \dfrac{5}{6^2}
Untuk n = 3, kejadian munculnya jumlah mata dadu 6 adalah A = {(1, 1, 4), (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 4, 1), (2, 1, 3), (2, 2, 2), (2, 1, 4), (3, 1, 2), (3, 2, 1), (4, 1, 1)}, berarti n(A) = 10. Dengan demikian, peluang munculnya A adalah \dfrac{10}{6^3}
Untuk n = 4, kejadian munculnya jumlah mata dadu 6 adalah A = {(1, 1, 1, 3), (1, 1, 2, 2 ), (1, 1, 3, 1), (1, 2, 1, 2), (1, 2, 2, 1), (1, 3, 1, 1), (2, 1, 1, 2), (2, 1, 2, 1), (2, 2, 1, 1), (3, 1, 1, 1)}, berarti n(A) = 10. Dengan demikian, peluang munculnya A adalah \dfrac{10}{6^4}
Untuk n = 5, kejadian munculnya jumlah mata dadu 6 adalah A = {(1, 1, 1, 1, 2), (1, 1, 1, 2, 1), (1, 1, 2, 1, 1), (1, 2, 1, 1, 1), (2, 1, 1, 1)}, berarti n(A) = 5. Dengan demikian, peluang munculnya A adalah \dfrac{5}{6^5}
Untuk n = 6, kejadian munculnya jumlah mata dadu 6 adalah A = \{(1, 1, 1, 1, 1, 1)\}, berarti n(A) = 1. Dengan demikian, peluang munculnya A adalah \dfrac{1}{6^6}
Kita peroleh pertidaksamaan
\boxed{\dfrac{1}{6^6} < \dfrac{5}{6^5} < \dfrac{10}{6^4} < \dfrac{10}{6^3} < \dfrac{5}{6^2} < \dfrac{1}{6}}
Jadi, nilai n agar peluang munculnya jumlah mata dadu 6 paling besar adalah 1.

[collapse]

Soal Nomor 13
Sukardi dilahirkan antara tahun 1930 dan tahun 2000. Jika tahun kelahirannya dibagi 6, 8, maupun 9 selalu bersisa 1, maka tentukanlah tahun kelahiran Sukardi.

Penyelesaian

Perlu diperhatikan!
Suatu bilangan habis dibagi 6 jika dan hanya jika bilangan itu genap dan jumlah digit-digitnya habis dibagi 3.
Suatu bilangan (empat digit atau lebih) habis dibagi 8 jika dan hanya jika tiga digit terakhirnya habis dibagi 8.
Suatu bilangan habis dibagi 9 jika dan hanya jika jumlah digit-digitnya habis dibagi 9.
Sekarang, beralih pada soal.
Diinformasikan pada soal bahwa Sukardi lahir antara tahun 1930 sampai 2000. Jelas 2000 bukan tahun kelahirannya karena 2000 habis dibagi 8. Jadi, tahun kelahiran Sukardi dapat ditulis dalam bentuk 19ab. Jika 19 dibagi 6 maupun 9, sisa hasil baginya 1, sehingga kita tinggal mencari nilai ab yang habis dibagi 6 dan 9.
19ab dibagi 6 dan bersisa 1 jika dan hanya jika ab habis dibagi 3 dan b harus bilangan ganjil.
19ab dibagi 9 dan bersisa 1 jika dan hanya jika ab habis dibagi 9.
Dari kedua kasus di atas, kita peroleh a + b = 9, sehingga kemungkinan nilai a dan b dapat ditulis (a, b) = (4, 5), (6, 3), (8, 1). (2, 7) tidak diambil karena dari soal diketahui bahwa ab paling kecil adalah 30.
Selanjutnya, agar 19ab dibagi 8 bersisa 1, kita tinggal memeriksa 3 nilai ab yang mungkin tadi satu per satu.
Misal ab = 45. Jika 1945 dibagi 8, maka sisanya 1 (sesuai).
Misal ab = 63. Jika 1963 dibagi 8, maka sisanya 3(tidak sesuai).
Misal ab = 81. Jika 1981 dibagi 8, maka sisanya 5 (tidak sesuai).
Jadi, tahun kelahiran Sukardi adalah \boxed{1945}

[collapse]

Soal Nomor 14
Saat ini, umur Agus dan umur Fauzan kurang dari 100 tahun. Jika umur Agus dan umur Fauzan ditulis secara berurutan, maka diperoleh bilangan 4 digit yang merupakan bilangan kuadrat. Dua puluh tiga tahun kemudian, jika umur mereka ditulis dengan cara yang sama, diperoleh bilangan 4 digit lain yang juga merupakan bilangan kuadrat. Tentukan umur mereka masing-masing.

Penyelesaian

Misal umur Agus 10a + b dan umur Fauzan 10c + d dengan 1 \leq a, c \leq 9~\text{dan}~0 \leq b, d \)leq 9 serta a, b, c, d bilangan bulat. Dari sini, diperoleh
1000a + 100b+ 10c + d = m^2 (\cdots 1)
untuk suatu bilangan positif m.
Setelah 23 tahun, umur Agus menjadi 10(a+2) + (b+3), sedangkan umur Fauzan menjadi 10(c+2) + (d+3) sehingga diperoleh persamaan
1000(a+2) + 100(b+3) + 10(c+2) 1 + (d+3) = n^2 (\cdots 2)
untuk suatu bilangan positif n.
Kurangkan persamaan 1 dengan 2, sehingga diperoleh
n^2 - m^2 = 2323
(n-m)(n+m) = 23 \times 101
Karena n - m < n + m, didapat n - m = 23 dan n + m = 101. Selesaikan SPLDV ini sehingga didapat m = 39, n = 62. Berarti, \boxed{m^2 = 1521}
Jadi, umur Agus dan umur Fauzan berturut-turut saat ini adalah 15 tahun dan 21 tahun.

[collapse]

Soal Nomor 15
Perhatikan persegi panjang ABCD berikut.

Jika diketahui EB = 7 cm dan BF : CF = 1 : 3, tentukan luas daerah yang diarsir.

Penyelesaian

Dari gambar, diperoleh EB = BF = 7~\text{cm}. Karena BF : CF = 1 : 3, kita peroleh CF = 3 \times BF = 3 \times 7 = 21~\text{cm}. Tampak juga dari gambar bahwa AD = BC = BF + CF = 7 × 21 = 28~\text{cm}. Selanjutnya, kita akan menghitung luassetiap bagian/daerah yang diarsir.
Pandang ADE sebagai suatu sektor lingkaran dengan jari-jari AD = AE = 28~\text{cm}. Luas yang diarsir pada sektor lingkaran itu adalah tembereng DE = x, yaitu luas 1/4 lingkaran dikurangi luas segitiga ADE. Dapat dituliskan sebagai berikut.
x = \dfrac{1}{4}\pi(AD)^2 - \dfrac{1}{2}(AD)^2
x = \dfrac{1}{4}\pi(28)^2 - \dfrac{1}{2}(28)^2
x = 224~\text{cm}^2
Dengan prinsip yang sama, luas tembereng EF = y adalah
y = \dfrac{1}{4}\pi(EB)^2 - \dfrac{1}{2}(EB)^2
y = \dfrac{1}{4}\pi(7)^2 - \dfrac{1}{2}(7)^2
y= 14~\text{cm}^2
Begitu juga dengan luas tembereng GF= z, yaitu
z = \dfrac{1}{4}\pi(CF)^2 - \dfrac{1}{2}(CF)^2
z = \dfrac{1}{4}\pi(21)^2 - \dfrac{1}{2}(21)^2
z = 126~\text{cm}^2
Luas daerah yang diarsir =x + y + z = 224 + 14 + 126 = 364~\text{cm}^2
Jadi, luas daerah yang diarsir pada gambar adalah \boxed{364~\text{cm}^2}

[collapse]

Jika ada pertanyaan atau kesalahan penulisan/jawaban, silakan tanyakan atau tanggapi di kolom komentar di bawah