Soal dan Pembahasan – Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear Orde Satu

      Suatu persamaan diferensial yang mempunyai bentuk $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = f(t,y)}$ disebut persamaan diferensial orde satu. Apabila fungsi $f$ bergantung linear pada variabel bebas $y$, maka persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}t} + p(t)y = g(t)$
Persamaan diferensial dalam bentuk seperti ini disebut persamaan diferensial linear orde satu, dengan syarat $p$ dan $g$ masing-masing kontinu pada suatu interval $\alpha < t < \beta$. Contohnya adalah
$\dfrac{\text{d}y}{dt} + \dfrac{1}{2}y = \dfrac{5}{2}t$
dengan $p(t) = \dfrac{1}{2}$ dan $g(t) = \dfrac{5}{2}t$, di mana $p$ adalah fungsi konstan dan $g$ adalah fungsi linear.
Berikut ini disajikan beberapa soal terkait penyelesaian PD linear orde satu. SEMOGA BERMANFAAT! Jangan lupa klik link berikut untuk materi PD lainnya.
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Dasar
Soal Latihan dan Penyelesaian PD dengan Variabel Terpisah
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Homogen
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Eksak

Soal Nomor 1 
Selesaikan persamaan diferensial berikut.
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + \left(\dfrac{2x+1}{x}\right)y = e^{-2x}$

Pembahasan

Persamaan diferensial di atas merupakan persamaan diferensial linear orde satu.
Diketahui
$\displaystyle \int p(x)~\text{d}x= \int \left(\dfrac{2x+1}{x}\right)~\text{d}x = 2x + \ln x$

Dengan demikian, faktor integrasinya adalah
$e^{\int p(x)~\text{d}x}= e^{2x + \ln x} = e^{2x} . e^{\ln x} = xe^{2x}$
Kalikan faktor integrasi ini ke persamaan awal yaitu $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + \left(\dfrac{2x+1}{x}\right)y = e^{-2x}$, sehingga diperoleh:
$(xe^{2x})\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + (\cancel{x}e^{2x})\left(\dfrac{2x+1}{\cancel{x}}\right)y$ $= (xe^{2x}) e^{-2x}$
dan dapat ditulis menjadi
$\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(xe^{2x}y) = x$

Integrasikan kedua ruas terhadap $x$, sehingga diperoleh
$ xe^{2x}y = \int x~\text{d}x$
$ xe^{2x}y = \dfrac{1}{2}x^2 + C$
$ \boxed{y = \dfrac{x}{2e^{2x}} + C}$
Persamaan terakhir ini merupakan penyelesaian/solusi umum dari PD tersebut.

[collapse]

Soal Nomor 2 
Selesaikan persamaan diferensial berikut.
$(x^2+1)\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 4xy = x$

Pembahasan

Persamaan diferensial di atas merupakan persamaan diferensial linear orde satu. Bagi kedua ruas dengan $x^2+1$ untuk mendapatkan $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + \left(\dfrac{4x}{x^2+1}\right)y = \dfrac{x}{x^2+1}$
Diketahui
$\begin{aligned} \displaystyle \int p(x)~\text{d}x & = \int \left(\dfrac{4x}{x^2+1}\right)~\text{d}x \\ & = 2 \ln (x^2+1) \\ & = \ln (x^2+1)^2 \end{aligned}$

Dengan demikian, faktor integrasinya adalah
$e^{\int p(x)~\text{d}x}= e^{\ln (x^2+1)^2} = (x^2+1)^2$
Kalikan faktor integrasi ini ke persamaan awal yaitu  $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + \left(\dfrac{4x}{x^2+1}\right)y = \dfrac{x}{x^2+1}$, sehingga diperoleh: $(x^2+1)^2\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + (x^2+1)(4x)y = x(x^2+1)$
$\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}((x+1)^2y)=x^3 + x$
Integrasikan kedua ruas terhadap $x$, sehingga diperoleh
$ (x+1)^2y = \int (x^3+x)~\text{d}x$
$ \boxed{(x+1)^2y = \dfrac{1}{4}x^4 + \dfrac{1}{2}x^2 + C}$
Persamaan terakhir merupakan solusi/penyelesaian umum implisit dari PD tersebut.

[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan penyelesaian PD $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} -2y = 2x^3$

Pembahasan

Persamaan diferensial yang diberikan itu berbentuk PD linear orde satu, yang dapat ditulis:
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + (-2)y = 2x^3$
Diketahui $\displaystyle \int p(x)~\text{d}x = \int (-2)~\text{d}x = -2x$
Dengan demikian, faktor integrasinya adalah
$\displaystyle e^{\int p(x)~\text{d}x} = e^{-2x}$
Kalikan faktor integrasi ini ke persamaan awal, sehingga didapat
$\begin{aligned} \displaystyle e^{-2x}~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} – 2ye^{-2x} & = 2x^3e^{-2x} \\ \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(e^{-2x}y) & = 2x^3e^{-2x} \\ e^{-2x}y & = \displaystyle \int 2x^3e^{-2x}~\text{d}x \end{aligned}$
Integral tersebut dapat diselesaikan dengan integral parsial (langkah pengerjaannya memang cukup panjang). Setelah mengintegralkan bentuk itu, diperoleh penyelesaian PD tersebut, yakni
$\boxed{\displaystyle e^{-2x}y = -\dfrac{(4x^3 + 6x^2 + 6x + 3)e^{-2x}}{4} + C}$

[collapse]

Soal Nomor 4 
Tentukan solusi dari PD $y^2~\text{d}x + (3xy-1)~\text{d}y = 0$.

Pembahasan

Diketahui $y^2~\text{d}x + (3xy-1)~\text{d}y = 0$
Bagi kedua ruas dengan $y^2~\text{d}y$, untuk mendapatkan
$\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y} + \dfrac{3xy-1}{y^2} = 0$
$\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y} + \dfrac{3x}{y} = \dfrac{1}{y^2}$ $\bigstar$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa ini merupakan PD linear orde satu. Sekarang, misalkan $P(y) = \dfrac{3}{y}$. Faktor integrasi PD di atas adalah
$e^{\int P(y)~\text{d}y} = e^{\int \frac{3}{y}~\text{d}y} = e^{\ln y^3} = y^3$
Kalikan faktor integrasi $y^3$ ke $\bigstar$, diperoleh
$y^3\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y} + 3xy^2 = y$
Ekspresi pada ruas kiri ternyata adalah turunan dari $y^3x$ terhadap $x$, ditulis
$\dfrac{d}{\text{d}y}(y^3x) = y$
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian,
$y^3x = \int y~\text{d}y$
$y^3x = \dfrac{1}{2}y^2 + C$
Jadi, penyelesaian umum dari PD tersebut adalah $\boxed{y^3x = \dfrac{1}{2}y^2 + C}$

[collapse]

Soal Nomor 5 
Selesaikan untuk $y(0) = 2$ dari PD
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + \dfrac{y}{2x} = \dfrac{x}{y^3}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa bentuk ini dapat diubah menjadi PD linear orde satu, tetapi ekspresi $y^3$ di ruas kanan harus “disingkirkan” terlebih dahulu.
Kalikan kedua ruas dengan $y^3$, diperoleh
$y^3 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + \dfrac{y^4}{2x} = x$
Sekarang, misalkan $v = y^4$
Turunkan kedua ruas terhadap $x$ (bukan terhadap $y$),
$\dfrac{\text{d}v}{\text{d}x} = 4y^3~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$
Substitusikan ini ke persamaan semula, diperoleh
$\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{\text{d}v}{\text{d}x} = + \dfrac{v}{2x} = x$
Kalikan $4$ di kedua ruas,
$\dfrac{\text{d}v}{\text{d}x} + \dfrac{2}{x}v = 4x$ $ \bigstar$
Bentuk di atas sudah baku menjadi PD linear orde satu.
Sekarang, kita akan mencari faktor integrasi PD tersebut. misalkan $P(x) = \dfrac{2}{x}$. Faktor integrasinya adalah
$e^{\int P(x)~\text{d}x} = e^{\int \frac{2}{x}~\text{d}x} = e^{2 \ln x} = x^2$
Kalikan $x^2$ di kedua ruas pada $\bigstar$, didapat
$x^2 \dfrac{\text{d}v}{\text{d}x} + 2xv = 4x^3$
Manipulasi ekspresi ruas kiri sebagai turunan dari $x^2v$ terhadap $x$, ditulis
$\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(x^2v) = 4x^3$
Integrasikan kedua ruas terhadap $x$,
$ x^2v = x^4 + C$
Substitusikan kembali $v = y^4$,
$x^2y^4 = x^4 + C$
Untuk $x = 0$ dan $y=2$, diperoleh
$0(16) = 0 + C \Leftrightarrow C = 0$
Berarti diperoleh
$x^2y^4 = x^4 \Leftrightarrow y^4 = x^2$
Jadi, solusi khusus PD tersebut adalah $\boxed{y^4 = x^2}$

[collapse]

Soal Nomor 6 
Tentukan solusi dari PD $x\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + y = x^3$.

Pembahasan

$x\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + y = x^3 \Leftrightarrow \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + \dfrac{y}{x} = x^2$ $\bigstar$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa PD ini merupakan PD linear orde satu. Kita akan menentukan faktor integrasi dari PD tersebut. Diketahui bahwa $\displaystyle P(x) = \dfrac{1}{x}$. Dalam hal ini, $P(x)$ adalah koefisien $y$ pada suku kedua di ruas kiri.
Ini berarti, faktor integrasinya adalah
$e^{\int P(x)~\text{d}x} = e^{\int \frac{1}{x}~\text{d}x} = e^{\ln x} = x$
Kalikan faktor integrasi $x$ pada $\bigstar$, sehingga diperoleh
$x \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + y = x^3$
Jika diperhatikan, ternyata ekspresi pada ruas kiri merupakan turunan dari $xy$ terhadap $x$, sehingga ditulis
$\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(xy) = x^3$
Tahap terakhir, integrasikan kedua ruas terhadap $x$, diperoleh
$xy = \dfrac{1}{4}x^4 + C$
Jadi, penyelesaian dari PD $x\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + y = x^3$ adalah $\boxed{xy = \dfrac{1}{4}x^4 + C}$.

[collapse]
 

Soal Nomor 7
Carilah solusi umum dari persamaan $y~\text{d}x + (xy^2 + x -y)~\text{d}y = 0$.

Pembahasan

Dari persamaan yang diberikan, bagi kedua ruasnya dengan $y~\text{d}y$ sehingga didapat
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}x} {\text{d}y} + \dfrac{xy^2 + x -y} {y} & = 0 \\ \dfrac{\text{d}x} {\text{d}y} + xy + \dfrac{x} {y} -1 & = 0 \\ \dfrac{\text{d}x} {\text{d}y} + \left(y + \dfrac{1}{y} \right)x & = 1 \end{aligned}$
Bentuk terakhir merupakan persamaan diferensial linear orde satu.
Diketahui $p(y) = y + \dfrac{1}{y}$, berarti
$\begin{aligned} \displaystyle \int p(y)~\text{d}y & = \int \left(y + \dfrac{1}{y} \right)~\text{d}y \\ & = \dfrac{1}{2}y^2 + \ln (y) \end{aligned}$
Dengan demikian, faktor integrasinya adalah
$\begin{aligned} e^{\int p(x)~\text{d}x} & = e^{\frac{1}{2}y^2 + \ln (y)} \\ & = ye^{\frac{1}{2}y^2} \end{aligned}$
Kalikan faktor integrasi ini ke persamaan $\dfrac{\text{d}x} {\text{d}y} + \left(y + \dfrac{1}{y} \right)x = 1$ sehingga ditulis
$$\begin{aligned} \left(ye^{\frac{1}{2}y^2}\right)\dfrac{\text{d}x} {\text{d}y} + \left(ye^{\frac{1}{2}y^2}\right)\left(y + \dfrac{1}{y} \right)x & = ye^{\frac{1}{2}y^2} \\ \dfrac{\text{d}} {\text{d}y}\left(xye^{\frac{1}{2}y^2}\right) & = ye^{\frac{1}{2}y^2} \\ \text{Integralkan kedua}&~\text{ruas} \\ \displaystyle \int \dfrac{\text{d}} {\text{d}y}\left(xye^{\frac{1}{2}y^2}\right)~\text{d} y & = \int ye^{\frac{1}{2}y^2}~\text{d}y \\ xye^{\frac{1}{2}y^2} & = e^{\frac{1}{2}y^2} + C \end{aligned}$$Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial tersebut adalah $\boxed{xye^{\frac{1}{2}y^2} = e^{\frac{1}{2}y^2} + C}$

[collapse]

Soal Nomor 8
Carilah solusi umum dari $\cos \theta~\text{d}r + (r \sin \theta – \cos^4 \theta)~\text{d}\theta = 0$

Pembahasan

Perhatikan bahwa persamaan diferensial di atas dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} \cos \theta~\text{d}r + (r \sin \theta – \cos^4 \theta)~\text{d}\theta & = 0 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan}~(\cos \theta)~\text{d}\theta & \\ \dfrac{\text{d}r}{\text{d}\theta} + \dfrac{r \sin \theta – \cos^4 \theta}{\cos \theta} & = 0 \\ \dfrac{\text{d}r}{\text{d}\theta} + r \cdot\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} – \cos^3 \theta & = 0 \\ \dfrac{\text{d}r}{\text{d}\theta} + (\tan \theta)r & = \cos^3 \theta \end{aligned}$$Bentuk terakhir merupakan persamaan diferensial linear orde satu.
Diketahui $p(\theta) = \tan \theta$, sehingga
$\int p(\theta)~\text{d}\theta = \int \tan \theta~\text{d}\theta = \ln (\sec \theta)$
Diperoleh faktor integrasinya, yakni $v(\theta) = \ln (\sec \theta)$.
Dengan demikian, persamaan diferensial $\dfrac{\text{d}r}{\text{d}\theta} + (\tan \theta)r = \cos^3 \theta$ dapat langsung kita tuliskan sebagai berikut.
$\begin{aligned} \displaystyle r &= e^{-v(\theta)} \cdot \int e^{v(\theta)} \cdot \cos^3 \theta~\text{d}\theta \\ & = e^{- \ln (sec \theta)} \cdot \int e^{\ln (sec \theta)} \cdot \cos^3 \theta~\text{d}\theta \\ & = (\sec \theta)^{-1} \int \sec \theta \cdot \cos^3 \theta~\text{d}\theta \\ & = \cos \theta \int \cos^2 \theta~\text{d}\theta \\ & = \cos \theta\left(\dfrac{1}{2}\theta -\dfrac{1}{4} \sin 2\theta + C\right) \end{aligned}$
Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial tersebut adalah $\boxed{r = \cos \theta\left(\dfrac{1}{2}\theta -\dfrac{1}{4} \sin 2\theta + C\right)}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Carilah solusi umum dari $(y \sin 2x -\cos x)~\text{d}x + (1 + \sin^2 x)~\text{d}y = 0$.

Pembahasan

Perhatikan bahwa persamaan diferensial di atas dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} (y \sin 2x -\cos x)~\text{d}x + (1 + \sin^2 x)~\text{d}y & = 0 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan}~(1 + \sin^2 x)~\text{d}x & \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + \dfrac{y \sin 2x -\cos x}{1 + \sin^2 x} & = 0 \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + \left(\dfrac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x}\right)y & = \dfrac{\cos x}{1 + \sin^2 x} \end{aligned}$$Bentuk terakhir merupakan persamaan diferensial linear orde satu.
Diketahui $p(x) = \dfrac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x}$, sehingga
$\begin{aligned} \displaystyle \int p(x)~\text{d}x & = \int \dfrac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x}~\text{d}x \\ & = \ln (1 + \sin^2 x) \end{aligned}$
Catatan: Integral di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan metode substitusi, di mana $u = 1 + \sin^2 x$.
Diperoleh faktor integrasinya, yakni $v(x) = \ln (1 + \sin^2 x)$.
Dengan demikian, persamaan diferensial $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + \left(\dfrac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x}\right)y = \dfrac{\cos x}{1 + \sin^2 x}$ dapat langsung kita tuliskan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \displaystyle y &= e^{-v(x)} \cdot \int e^{v(x)} \cdot \dfrac{\cos x}{1 + \sin^2 x}~\text{d}x \\ & = e^{-\ln (1 + \sin^2 x)} \cdot \int e^{\ln (1 + \sin^2 x)} \cdot \dfrac{\cos x}{1 + \sin^2 x}~\text{d}x \\ & = (1 + \sin^2 x)^{-1} \int \cancel{(1 + \sin^2 x)}\left(\dfrac{\cos x}{\cancel{1 + \sin^2 x}}\right)~\text{d}x \\ & = (1 + \sin^2 x)^{-1} \int \cos x~\text{d}x \\ & = \dfrac{\sin x + C}{1 + \sin^2 x} \end{aligned}$$Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial tersebut adalah $\boxed{y = \dfrac{\sin x + C}{1 + \sin^2 x}}$

[collapse]

Soal Nomor 10
Carilah solusi umum dari persamaan diferensial $x \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + y = -2x^6y^4$.

Pembahasan

Dari persamaan diferensial yang diberikan, dapat kita tuliskan
$\begin{aligned} x \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + y & = -2x^6y^4 \\ \text{Bagi kedua ruas}~&\text{dengan}~x \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + \dfrac{y}{x} & = -2x^5y^4 \\ \text{Bagi kedua ruas}~&\text{dengan}~y^{-4} \\ y^{-4} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + \dfrac{1}{xy^3} & = -2x^5 \end{aligned}$
Misalkan $v = y^{-3}$ sehingga $\dfrac{\text{d}v}{\text{d}x} = -3y^{-4} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$, yang juga ekuivalen dengan $-\dfrac{1}{3} \dfrac{\text{d}v}{\text{d}x} = y^{-4} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$
Dengan demikian, persamaan $y^{-4} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + \dfrac{1}{xy^3} = -2x^5$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} -\dfrac{1}{3}~\dfrac{\text{d}v}{\text{d}x} + \dfrac{v}{x} & = -2x^5 \\ \text{Kalikan -3}~& \text{pada kedua ruas} \\ \dfrac{\text{d}v}{\text{d}x} -\dfrac{3v}{x} & = 6x^5 \end{aligned}$
Persamaan terakhir sudah berbentuk PD linear orde satu.
Diketahui $p(x) = -\dfrac{3}{x}$, sehingga
$\displaystyle \int p(x)~\text{d}x = -3 \int \dfrac{1}{x}~\text{d}x = -3 \ln x$
Untuk itu, faktor integrasinya adalah
$e^{\int p(x)~\text{d}x} = e^{-3 \ln x} = x^{-3}$
Kalikan faktor integrasi $x^{-3}$ ke persamaan $\dfrac{\text{d}v}{\text{d}x} – \dfrac{3v}{x} = 6x^5$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} x^{-3} \dfrac{\text{d}v}{\text{d}x} -\dfrac{3v}{x^4} & = 6x^2 \\ \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} \left(\dfrac{1}{x^3}v\right) & = 6x^2 \\ \text{Integralkan kedua}~& \text{ruas} \\ \int \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} \left(\dfrac{1}{x^3}v\right)~\text{d}x & = \int 6x^2~\text{d}x \\ \dfrac{1}{x^3}v & = 2x^3 + C \\ v & = 2x^6 + Cx^3 \\ \text{Substitusi kembali}~& v = y^{-3} \\ y^{-3} & = 2x^6 + Cx^3 \end{aligned}$
Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial itu adalah $\boxed{y^{-3}= 2x^6 + Cx^3}$

[collapse]

Soal Nomor 11
Carilah solusi umum dari $\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t} + \dfrac{t+1}{2t}x = \dfrac{t+1}{xt}$.

Pembahasan

Perhatikan bahwa persamaan diferensial di atas dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}x}{\text{d}t} + \dfrac{t+1}{2t}x & = \dfrac{t+1}{xt} \\ \text{Kalikan kedua ruas}&~\text{dengan}~x \\ x~\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t} + \dfrac{t+1}{2t}x^2 & = \dfrac{t+1}{t} \end{aligned}$
Bentuk di atas tidak akan bisa diubah menjadi persamaan diferensial linear orde satu apabila tidak menggunakan pemisalan.
Misalkan $v = x^2$, sehingga $\dfrac{\text{d}v}{\text{d}t} = 2x~\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t}$ yang ekuivalen dengan $x~\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t} = \dfrac{1}{2}~\dfrac{\text{d}v}{\text{d}t}$.
Dengan demikian, bentuk terakhir tadi dapat ditulis
$\begin{aligned} \dfrac{1}{2}~\dfrac{\text{d}v}{\text{d}t} + \dfrac{t+1}{2t}v & = \dfrac{t+1}{t} \\ \text{Kalikan kedua ruas}&~\text{dengan}~2& \\ \dfrac{\text{d}v}{\text{d}t} + \dfrac{t+1}{t}v & = \dfrac{2(t+1)}{t} \end{aligned}$
Bentuk terakhir merupakan persamaan diferensial linear orde satu.
Diketahui $p(t) = \dfrac{t+1}{t}$, sehingga
$\displaystyle \int p(t)~\text{d}t = \int \dfrac{t+1}{t}~\text{d}t = t + \ln t$
Diperoleh faktor integrasinya, yakni $v(t) = t + \ln t$.
Dengan demikian, persamaan diferensial $\dfrac{\text{d}v}{\text{d}t} + \dfrac{t+1}{t}v = \dfrac{2(t+1)}{t}$ dapat langsung kita tuliskan sebagai berikut.
$\begin{aligned} \displaystyle v &= e^{-v(t)} \cdot \int e^{v(t)} \cdot \dfrac{2(t+1)}{t}~\text{d}t \\ & = e^{-t -\ln t} \int e^{t + \ln t} \cdot \dfrac{2(t+1)}{t}~\text{d}t \\ & = e^{-t} \cdot t^{-1} \int e^t \cdot \cancel{t} \cdot \dfrac{2(t+1)}{\cancel{t}}~\text{d}t \\ & = 2e^{-t} \cdot t^{-1} \int (te^t + e^t)~\text{d}t \\ & = 2e^{-t} \cdot t^{-1} (te^t -\cancel{e^t} + \cancel{e^t} + C) \\ & = 2e^{-t}t^{-1}(te^t + C) \\ y^2 & =2e^{-t}t^{-1}(te^t + C)\end{aligned}$
Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial tersebut adalah $\boxed{y^2 = 2e^{-t}t^{-1}(te^t + C)}$

[collapse]

Soal Nomor 12
Consider the equation $a\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right) + by = ke^{-\lambda x}$, where $a, b, k$ are positive constants and $\lambda$ is a nonnegative constant. Solve this equation.
Diberikan persamaan $a\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right) + by = ke^{-\lambda x}$, dengan $a, b, k$ adalah konstanta positif dan $\lambda$ adalah konstanta nonnegatif. Selesaikan persamaan tersebut.

Pembahasan

Apabila persamaan itu dibagi $a$ pada kedua ruasnya, diperoleh
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + \dfrac{b}{a}y = \dfrac{ke^{-\lambda x}}{a}$
Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial linear orde satu.
Diketahui $p(x) = \dfrac{b}{a}$, sehingga
$\displaystyle \int p(x)~\text{d}x = \int \dfrac{b}{a}~\text{d}x = \dfrac{b}{a}x$
Jadi, faktor integrasinya adalah $e^{\int p(x)~\text{d}x} = e^{\frac{b}{a}x}$
Dengan demikian, dapat langsung kita tuliskan
$\begin{aligned} \displaystyle y & = e^{-\frac{b}{a}x} \int e^{\frac{b}{a}x} \cdot \dfrac{ke^{-\lambda x}}{a}~\text{d}x \\ & = \dfrac{k}{a}e^{-\frac{b}{a}x} \int e^{\left(-\frac{b}{a} -\lambda\right)x}~\text{d}x \\ & = \dfrac{k}{a}e^{-\frac{b}{a}x} \left(\left(\dfrac{b}{a} -\lambda\right)e^{\left(-\frac{b}{a} – \lambda\right)x} + C\right) \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian dari persamaan tersebut adalah
$\boxed{\dfrac{k}{a}e^{-\frac{b}{a}x} \left(\left(\dfrac{b}{a}- \lambda\right)e^{\left(-\frac{b}{a} -\lambda\right)x} + C\right)}$
Catatan: Notasi $\lambda$ dibaca: lambda.

[collapse]

Soal Nomor 13
Temukan solusi masalah nilai awal $y’ -\dfrac{y}{2} = \exp(-t)$, dengan $y(0) = -1$.

Pembahasan

Jelas bahwa persamaan diferensial di atas merupakan PD linear orde satu. Faktor integrasinya adalah
$\mu(t) = \displaystyle \exp \int \left(-\dfrac{dt}{2}\right) = \exp \left(-\dfrac{t}{2}\right)$
Kalikan faktor integrasi ini ke persamaan mula-mula, sehingga diperoleh
$\exp \left(-\dfrac{t}{2}\right)y’ – \exp \left(-\dfrac{t}{2}\right)\dfrac{y}{2} = \exp(-\dfrac{3t}{2})$
Ruas kiri pada persamaan di atas merupakan turunan pertama dari $\exp \left(-\dfrac{t}{2}\right)y$ terhadap $x$, sehingga dapat ditulis menjadi
$\displaystyle \left(\exp \left(-\dfrac{t}{2}\right)y\right)’ = \exp \left(-\dfrac{3t}{2}\right)$
Integrasikan kedua ruas terhadap $t$, sehingga didapat
$\displaystyle \exp \left(-\dfrac{t}{2}\right)y = -\dfrac{2}{3}\exp \left(-\dfrac{3t}{2}\right) + C$
Oleh karena itu, didapat
$y = -\dfrac{2}{3}\exp(-t) + C \exp \left(\dfrac{t}{2}\right)$
Untuk menemukan kondisi awal, substitusikan $t = 0$ dan $y = -1$
$\begin{aligned} -1 & = -\dfrac{2}{3}\exp(0) + C \exp \left(\dfrac{0}{2}\right) \\ & \Leftrightarrow C = -1 + \dfrac{2}{3} = -\dfrac{1}{3} \end{aligned}$
Jadi, solusi dari masalah nilai awal yang diberikan adalah
$\boxed{y = -\dfrac{2}{3}\exp(-t) -\dfrac{1}{3} \exp \left(\dfrac{t}{2}\right)}$
Catatan: Diberikan kesepakatan penulisan bahwa $\boxed{e^x = \exp(x)}$.

[collapse]

Soal Nomor 14
Buktikan teorema berikut!
Jika $f$ dan $g$ adalah solusi dari $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + p(x)y = 0$, maka $c_1f + c_2g$ juga merupakan solusi dari persamaan diferensial tersebut dengan $c_1, c_2$ sebagai konstanta sembarang.

Pembahasan

Karena $f$ dan $g$ merupakan solusi dari persamaan diferensial $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + p(x)y = 0$, maka berlaku
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}f}{\text{d}x} + p(x)f & = 0 && (\cdots 1) \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + p(x)y & = 0 && (\cdots 2) \end{aligned}$
Dengan menggunakan kedua persamaan di atas, akan dibuktikan bahwa $c_1f + c_2g$ juga merupakan solusi dari persamaan diferensial tersebut. Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} & \dfrac{\text{d}(c_1f + c_2g)}{\text{d}x} + p(x)(c_1f+c_2g) \\ & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (c_1f) + \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (c_2g) + p(x)c_1f + p(x)c_2g \\ & = c_1\left(\dfrac{\text{d}f}{\text{d}x} + p(x)f\right) + c_2\left(\dfrac{\text{d}g}{\text{d}x} + p(x)g\right) \\ & = c_1(0) + c_2(0) = 0 \end{aligned}$$Jadi, pernyataan tersebut terbukti benar. $\blacksquare$

[collapse]