Soal dan Pembahasan – Penyelesaian Persamaan Diferensial dengan Variabel Terpisah

        Setelah mempelajari Soal Latihan – Persamaan Diferensial (Dasar), sekarang saatnya kita mempelajari metode untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial (yang selanjutnya disingkat sebagai PD). Metode yang dimaksud adalah metode penyelesaian dengan variabel terpisah. Adapun soal dan pembahasan untuk teknik menyelesaikan PD yang lain ada pada pranala berikut ini.
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Dasar
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Linear Orde Satu
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Homogen
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Eksak

Soal Nomor 1
Tentukan solusi PD $xy’ + y = 3$

Penyelesaian

Diketahui persamaan $xy’ + y = 3$
Ubah bentuk penulisan derivatif dan kurangi kedua ruas dengan $y$, diperoleh
$x\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 3 – y$
Kalikan kedua ruas dengan $\dfrac{\text{d}x}{x(3-y)}$.
$\dfrac{1}{3-y}~\text{d}y = \dfrac{1}{x}~\text{d}x$
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian,
$ \begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{1}{3-y}~\text{d}y & = \int \dfrac{1}{x}~\text{d}x \\ -\ln (3 – y) & = \ln x + \ln C = \ln Cx \\ \ln (3-y)^{-1} & = \ln Cx \\ (3 – y)^{-1} & = Cx \end{aligned}$
Jadi, solusi PD tersebut adalah $\boxed{ (3 – y)^{-1} = Cx}$

[collapse]

Soal Nomor 2 
Solusi umum persamaan diferensial untuk $y’ + (y-1)\cos x = 0$ adalah ….

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} y’ + (y-1)\cos x & = 0 \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}&  = -(y-1)\cos x \end{aligned}$

Kalikan kedua ruas dengan $\dfrac{\text{d}x}{y-1}$, sehingga diperoleh
$\dfrac{1}{y-1}~\text{d}y = -\cos x~\text{d}x$
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian,
$\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{1}{y-1}~\text{d}y & = – \int \cos x~\text{d}x \\ \ln(y-1) & = -\sin x + C \\ \ln (y-1) & = \ln e^{C – \sin x} \\ y – 1 & = e^{C – \sin x} \\ y & = e^{C – \sin x} + 1 \end{aligned}$
Jadi, solusi umum dari PD tersebut adalah $\boxed{y = e^{C – \sin x} + 1}$

[collapse]

Soal Nomor 3 
Selesaikan PD $x(y^2 – 1)~\text{d}x – y(x^2 – 1)~\text{d}y = 0$.

Penyelesaian

Diketahui $x(y^2 – 1)~\text{d}x – y(x^2 – 1)~\text{d}y = 0$
Bagi kedua ruas dengan $(y^2-1)(x^2-1)$, sehingga dengan memanfaatkan aljabar, diperoleh
$\dfrac{x}{x^2-1}~\text{d}x – \dfrac{y}{y^2-1}~\text{d}y = 0$
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian,
$\displaystyle \int \dfrac{x}{x^2-1}~\text{d}x – \int \dfrac{y}{y^2-1}~\text{d}y = \ln C$
Selesaikan bentuk integral dengan metode substitusi, sehingga didapat
$2 \ln (x^2 – 1) – 2 \ln (y^2 – 1) = \ln C_1 \bigstar$
Bagi kedua ruas dengan $2$, kemudian gunakan sifat logaritma:
$\boxed{\log a – \log b = \log \dfrac{a}{b}}$
sehingga diperoleh
$\ln \left(\dfrac{x^2-1}{y^2-1}\right) = \ln C_2 \bigstar\bigstar$
$\dfrac{x^2-1}{y^2-1} = C_2$
$x^2 – 1 = C_2(y^2 – 1)$
Jadi, penyelesaiannya adalah $\boxed{x^2 – 1 = C(y^2 – 1)}$
Catatan:
$\bigstar$ mengapa hasil integralnya menjadi $\ln C$, bukankah seharusnya $C$? Ini adalah pertanyaan yang sering ditanyakan. Teknik seperti ini disebut manipulasi konstanta, karena $C$ merupakan bilangan real (bebas), jadi berapapun yang kita ambil sebagai bentuk $C$, hasilnya masih umum. Untuk mempermudah perhitungan/penyederhanaan hasil, kita jadikan saja menjadi $\ln C$.
$\bigstar\bigstar$ Konstanta di sini tidak benar-benar diperhatikan (bahkan bisa dimanipulasi sesuka hati). Karena dibagi $2$, maka bentuk konstantanya berubah, tapi kita hanya perlu mengubah indeksnya saja tanpa membentuk konstanta dengan aturan aritmetik maupun aljabar.

[collapse]

Soal Nomor 4
Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial berikut.
$y^2(y+1)~\text{d}x + y^2(y-1)~\text{d}y = 0$

Penyelesaian

Dari persamaan $y^2(y+1)~\text{d}x + y^2(x-1)~\text{d}y = 0$, bagi kedua ruasnya dengan $y^2(y+1)(x-1)$, sehingga diperoleh persamaan baru yang ekuivalen dengannya, yaitu
$\begin{aligned} \dfrac{1}{x-1}~\text{d}x + \dfrac{1}{y+1}~\text{d}y & = 0 \\ \text{Integralkan kedua ruas}~& \\ \int \dfrac{1}{x-1}~\text{d}x + \int \dfrac{1}{y+1}~\text{d}y & = \ln |C| \\ \ln |x – 1| + \ln |y + 1| & = \ln |C| \\ \ln |(x-1)(y+1)| & = \ln |C| \\ (x-1)(y+1) & = C \end{aligned}$
Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial tersebut adalah $\boxed{(x-1)(y+1) = C}$

[collapse]

Soal Nomor 5 
Selesaikan PD $\sqrt{1 – y^2}~\text{d}x + \sqrt{1 – x^2}~\text{d}y = 0$

Penyelesaian

Diketahui $\sqrt{1 – y^2}~\text{d}x + \sqrt{1 – x^2}~\text{d}y = 0$
Kalikan kedua ruas dengan $\dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}.\sqrt{1-x^2}}$, diperoleh
$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}~\text{d}x + \dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}}~\text{d}y = 0$
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang berpadanan,
$\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}~\text{d}x + \int \dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}}~\text{d}y = C$
$\arcsin x + \arcsin y = C$
Jadi, penyelesaiannya adalah $\boxed{\arcsin x + \arcsin y = C}$

[collapse]

Soal Nomor 6 
Selesaikanlah PD $x\sqrt{y^2-1}~\text{d}x + y\sqrt{x^2 – 1}~\text{d}y = 0$

Penyelesaian

Diketahui $x\sqrt{y^2-1}~\text{d}x + y\sqrt{x^2 – 1}~\text{d}y = 0$
Bagi kedua ruas dengan $\sqrt{y^2-1} \times \sqrt{x^2 – 1}$, diperoleh
$\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}~\text{d}x + \dfrac{y}{\sqrt{y^2-1}}~\text{d}y = 0$
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang berpadanan,
$ \displaystyle \int \dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}~\text{d}x + \int \dfrac{y}{\sqrt{y^2-1}}~\text{d}y = C$ $\bigstar$
Dengan mengintegralkan bentuk di atas, kita memperoleh penyelesaian akhir, yaitu $\boxed{ \sqrt{x^2-1} + \sqrt{y^2-1} = C}$
Catatan: $\bigstar$ Integral ini dapat ditentukan hasilnya dengan menggunakan metode substitusi tak linear. Baca: Integrasi (Pengintegralan) dengan Metode Substitusi

[collapse]

Soal Nomor 7
Selesaikan PD $x \sin y~\text{d}x + (x^2 + 1)~ \cos y~\text{d}y = 0$

Penyelesaian

Diketahui $x \sin y~\text{d}x + (x^2 + 1)~ \cos y~\text{d}y = 0$
Kalikan kedua ruas dengan $\dfrac{1}{(x^2+1)\sin y}$, diperoleh
$ \dfrac{x}{x^2+1}~\text{d}x + \dfrac{\cos y}{\sin y}~\text{d}y= 0$
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian,
$ \displaystyle \int \dfrac{x}{x^2+1}~\text{d}x + \dfrac{\cos y}{\sin y}~\text{d}y= 0~~~~\bigstar$
$ \dfrac{1}{2} \ln (x^2 + 1) + \ln (\sin y) = C$
Jadi, solusi umum dari PD $x \sin y~\text{d}x + (x^2 + 1)~ \cos y~\text{d}y = 0$ adalah $\boxed{\dfrac{1}{2} \ln (x^2 + 1) + \ln (\sin y) = C}$
(Catatan: $\bigstar$ Anda dianjurkan untuk menguasai teknik-teknik pengintegralan dasar dan fungsi transenden)

[collapse]

Soal Nomor 8 
Selesaikan PD $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \dfrac{x + 3x^2}{y^2}$ untuk $y = 6$ ketika $x = 0$.

Penyelesaian

Persamaan di atas dapat diubah menjadi
$y^2~\text{d}y = (x+3x^2)~\text{d}x$
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian,
$y^2~\text{d}y = (x+3x^2)~\text{d}x$
$\dfrac{1}{3}y^3 = \dfrac{1}{2}x^2 + x^3 + C_0$
Kalikan 3 di kedua ruas:
$ y^3 = \dfrac{3}{2}x^2 + 3x^3 + C$
$ y = \sqrt[3]{ \dfrac{3}{2}x^2 + 3x^3 + C}$
Untuk menentukan nilai $C$, substitusikan $y = 6$ dan $x = 0$, sehingga diperoleh
$6 = \sqrt[3]{0 + 0 + C} \iff C = 6^3 = 216$
Jadi, penyelesaiannya adalah
$y = \sqrt[3]{ \dfrac{3}{2}x^2 + 3x^3 + 216}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Selesaikan PD $x\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = y^2 + 1$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} x\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = y^2 + 1 \\ x~dy – (y^2 + 1)\text{d}x & = 0 \\ \dfrac{\text{d}y}{y^2 + 1}- \dfrac{\text{d}x}{x} & = 0 \end{aligned}$

Integrasikan kedua ruas,
$\displaystyle \int \dfrac{\text{d}y}{y^2 + 1} – \int \dfrac{\text{d}x}{x} = C$
Selanjutnya, mungkin Anda bertanya bagaimana cara mengintegralkan $\dfrac{dy}{y^2 + 1}$. Ingat kembali kalkulus integral mengenai substitusi trigonometri. Proses integrasinya disajikan di bawah ini.
Misalkan $y = \tan \alpha$, berarti $\text{d}y = \sec^2 \alpha~d\alpha$ dan $\alpha = \arctan y$
$y^2 + 1 = \tan^2 \alpha + 1 = \sec^2 \alpha$, maka
$\displaystyle \int \dfrac{\text{d}y}{y^2 + 1} = \int \dfrac{\sec^2 \alpha \text{d}\alpha}{\sec^2 \alpha} = \int ~\text{d}\alpha = \alpha = \arctan y$
Berarti,
$\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{\text{d}y}{y^2 + 1} – \int \dfrac{\text{d}x}{x} & = C \\ \arctan y – \ln |x| & = C \\ \ln e^{\arctan y} – \ln x & = \ln e^C \\ \dfrac{e^{\arctan y}}{x} & = e^C \end{aligned}$
Jadi, solusi umumnya adalah $\boxed{\dfrac{e^{\arctan y}}{x} = e^C}$

[collapse]

Soal Nomor 10
Carilah solusi dari PD $xy\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \dfrac{x+1}{y+1}$.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa PD di atas dapat ditulis kembali menjadi
$\begin{aligned} y(y+1)~\text{d}y & = \dfrac{x+1}{x}~\text{d}x \\ (y^2+y)~\text{d}y & = \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)~\text{d}x \end{aligned}$
Integrasikan kedua ruas berdasarkan variabel yang bersesuaian,
$\begin{aligned} \displaystyle \int (y^2+y)~\text{d}y & = \int \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)~\text{d}x \\ \dfrac{1}{3}y^3 + \dfrac{1}{2}y^2 + C_1 & = x + \ln |x| + C_2 \\ \dfrac{1}{3}y^3 + \dfrac{1}{2}y^2 – x – \ln |x| & = C \end{aligned}$
Jadi, solusi dari PD tersebut adalah $\boxed{\dfrac{1}{3}y^3 + \dfrac{1}{2}y^2 – x – \ln |x| = C }$

[collapse]

Soal Nomor 11
Secangkir kopi dengan panas $80^{\circ} \text{C}$ ditempatkan di ruangan yang bersuhu $50^{\circ} \text{C}$. Proses pendinginan kopi dalam waktu $t$ menit ditunjukkan dengan $\dfrac{\text{d}x} {\text{d}t} = k(x-50)$. Jika panas kopi selama $5$ menit berubah menjadi $70^{\circ} \text{C}$, maka berapa lama waktu yang dibutuhkan agar suhu kopi menjadi $60^{\circ} \text{C}$? 
A. $6~^{\frac{2}{3}} \log \dfrac{1}{3}$ menit
B. $5~^{\frac{1}{3}} \log 3$ menit 
C. $5~^{\frac{2}{3}} \log \dfrac{1}{3}$ menit
D. $5~^{\frac{1}{3}} \log \dfrac{2}{3}$ menit
E. $6~^{\frac{1}{3}} \log \dfrac{2}{3}$ menit

Penyelesaian

Diketahui $\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t} = k(x – 50)$, maka dapat ditulis
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}x}{x – 50} & = k~\text{d}t \\ \text{Integralkan}~&\text{kedua ruas} \\  \displaystyle \int \dfrac{\text{d}x}{x – 50} & = \int k~\text{d}t \\ \ln |x – 50| & = kt + C \\ x – 50 & = e^{kt + C} \\ x – 50 & = e^{kt} \times C’ \\ x & = 50 + C’e^{kt} \end{aligned}$
Diketahui $t = 0$ dan $x = 80$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} x & = 50 + C’e^{kt} \\ 80 & = 50 + C’e^{0} \\ 80 & = 50 + C’ \\ C’ & = 30 \end{aligned}$
Diketahui $t = 5$ dan $x = 70$, serta $C’ = 30$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} x & = 50 + C’e^{kt} \\ 70 & = 50 + 30e^{5k} \\ 20 & = 30^{5k} \\ \dfrac{2}{3} & = e^{5k} \\ e^k & = \left(\dfrac23\right)^{\frac15} \end{aligned}$
Jadi, kita peroleh $x = 50 + 30\left(\dfrac23\right)^{\frac{1}{5}t}$
Jika $x = 60$, diperoleh
$\begin{aligned} x & = 50 + 30\left(\dfrac23\right)^{\frac{1}{5}t} \\ 60 & = 50 + 30\left(\dfrac23\right)^{\frac{1}{5}t} \\ 10 & = 30\left(\dfrac23\right)^{\frac{1}{5}t} \\ \dfrac{1}{3} & = \left(\dfrac23\right)^{\frac{1}{5}t} \\ \left(\dfrac{1}{3}\right)^5 & = \left(\dfrac23\right)^{t} \\ t & = ^{\frac{2}{3}} \log \left(\dfrac13\right)^5 \\ t & = 5 \cdot ^{\frac{2}{3}} \log \left(\dfrac13\right) \end{aligned}$
Jadi, waktu yang dibutuhkan agar suhu kopi menjadi $60^{\circ} \text{C}$ adalah $\boxed{5 \cdot ^{\frac{2}{3}} \log \left(\dfrac13\right)~\text{menit}}$
(Jawaban C)

[collapse]