Permainan kartu remi, atau sering juga disebut sebagai permainan kartu bridge, merupakan salah satu permainan dengan menggunakan alat berupa kartu yang secara standar terdiri atas $52$ dalam satu dek. Permainan kartu remi begitu populer, dimainkan oleh siapa pun, dari orang dewasa maupun anak kecil. Kartu remi terdiri atas $4$ suit (wajik, hati, sekop, dan keriting) dan $13$ jenis (kind) kartu (as, $2, 3, \cdots, 10,$ jack, queen, dan king).
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Peluang (Tingkat SMP/Sederajat)
Dalam matematika, terutama teori peluang, banyak soal yang dapat dikembangkan dari permainan kartu remi. Dalam hal ini, kita tidak membahas mengenai aturan dalam permainan kartu remi. Berikut ini telah disediakan sejumlah soal dan pembahasan terkait peluang pada permainan kartu remi. Sebagian soal memerlukan pengetahuan tingkat tinggi terkait peluang sehingga lebih cocok untuk dipelajari oleh siswa tingkat SMA/sederajat (atau di atasnya) atau siswa SMP yang mengikuti pengayaan.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Peluang dan Kombinatorika (Tingkat SMA)
Artikel ini ditulis berdasarkan beberapa sumber. Untuk sumber berbahasa Inggris, salah satu yang digunakan adalah buku “Discrete Mathematics and Its Applications” yang ditulis oleh Kenneth H. Rosen. Oleh karena itu, untuk meminimalisasi kesalahan penafsiran, padanan untuk beberapa kata/istilah diberikan dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{No.} & \text{Bahasa Indonesia} & \text{Bahasa Inggris} \\ \hline 1. & \text{Kartu Remi} & \text{Bridge Card} \\ 2. & \text{As} & \text{Ace} \\ 3. & \text{Suit} & \text{Suit} \\ 4. & \text{Jenis} & \text{Kind} \\ 5. & \text{Sekop} & \text{Spade} \\ 6. & \text{Keriting} & \text{Clover} \\ 7. & \text{Wajik} & \text{Diamond} \\ 8. & \text{Hati} & \text{Heart} \\ 9. & \text{Peluang} & \text{Probability} \\ 10. & \text{Aturan Perkalian} & \text{Product Rule} \\ 11. & \text{Permutasi} & \text{Permutation} \\ 12. & \text{Kombinasi} & \text{Combination} \\ 13. & \text{Prinsip Inklusi-Eksklusi} & \text{Inclusion-Exclusion Principle} \\ \hline \end{array}$$
Today Quote
Soal Nomor 1
Berapa peluang kejadian terambilnya selembar kartu as yang dipilih secara acak dari dek standar dengan $52$ kartu?
Dek standar memuat $4$ kartu as. Karena banyak kartu seluruhnya ada $52,$ peluang kejadian terambilnya selembar kartu as yang dipilih secara acak dari dek standar adalah $\boxed{\dfrac{4}{52}}.$
Soal Nomor 2
Berapa peluang kejadian terambilnya selembar kartu as atau kartu wajik yang dipilih secara acak dari dek standar dengan $52$ kartu?
Dek standar memuat $4$ kartu as dan $13$ kartu wajik, tetapi ada satu kartu as dengan suit wajik sehingga pencacahan ganda terjadi. Dengan menggunakan prinsip inklusi-eksklusi, banyak kartu yang dimaksud ada $4 + 13-1 = 16.$ Karena banyak kartu seluruhnya ada $52,$ peluang kejadian terambilnya selembar kartu as yang dipilih secara acak dari dek standar adalah $\boxed{\dfrac{16}{52} = \dfrac{4}{13}}.$
Soal Nomor 3
Berapa peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu memuat kartu as hati?
Dengan menggunakan prinsip komplemen, kita akan mencari peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu tidak memuat kartu as hati. Kita ‘buang’ satu kartu as hati yang ada di dek. Selanjutnya, kita pilih $5$ dari $51$ kartu tersisa. Dengan menggunakan aturan kombinasi, diperoleh banyak cara melakukannya adalah $C(51, 5).$
Dengan demikian, peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu tidak memuat kartu as hati adalah $\dfrac{C(51, 5)}{C(52, 5)}.$ Kebalikannya, peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu memuat kartu as hati adalah $\boxed{1-\dfrac{C(51,5)}{C(52,5)}}.$
Soal Nomor 4
Berapa peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu tidak memuat kartu queen hati?
Kita ‘buang’ satu kartu queen hati yang ada di dek. Selanjutnya, kita pilih $5$ dari $51$ kartu tersisa. Dengan menggunakan aturan kombinasi, diperoleh banyak cara melakukannya adalah $C(51, 5).$
Dengan demikian, peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu tidak memuat kartu queen hati adalah $\boxed{\dfrac{C(51, 5)}{C(52, 5)}}.$
Soal Nomor 5
Berapa peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu memuat kartu bernomor $2$ wajik dan kartu bernomor $3$ sekop?
Kita ‘ambil’ satu kartu bernomor $2$ wajik dan satu kartu bernomor $3$ sekop. Ini berarti kita hanya perlu memilih $3$ dari $50$ kartu tersisa. Dengan menggunakan aturan kombinasi, diperoleh banyak cara melakukannya adalah $C(50, 3).$
Dengan demikian, peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu memuat kartu bernomor $2$ wajik dan kartu bernomor $3$ sekop adalah $\boxed{\dfrac{C(50, 3)}{C(52, 5)}}.$
Soal Nomor 6
Berapa peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu memuat kartu bernomor $2$ wajik, kartu bernomor $3$ sekop, kartu bernomor $6$ hati, kartu bernomor $10$ keriting, dan kartu king hati?
Kita ‘ambil’ satu kartu bernomor $2$ wajik, satu kartu bernomor $3$ sekop, satu kartu bernomor $6$ hati, satu kartu bernomor $10$ keriting, dan satu kartu king hati. Ini berarti kita sudah memegang $5$ kartu sehingga tidak perlu memilih kartu yang lain. Jadi, ada hanya $1$ cara mendapatkan lima kartu yang diinginkan tersebut.
Dengan demikian, peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu memuat kartu bernomor $2$ wajik, kartu bernomor $3$ sekop, kartu bernomor $6$ hati, kartu bernomor $10$ keriting, dan kartu king hati adalah $\boxed{\dfrac{1}{C(52, 5)}}.$
Soal Nomor 7
Berapa peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu memuat tepat satu kartu as?
Dari $4$ kartu as yang ada di dek standar, pilih satu. Ini berarti ada $C(4, 1)$ cara melakukannya. Sekarang kita sudah memegang tepat satu kartu as. Selanjutnya, tiga kartu as ‘dibuang’ dari dek standar. Kemudian, kita hanya perlu memilih $4$ dari $48$ kartu tersisa. Dengan menggunakan aturan kombinasi, diperoleh banyak cara melakukannya adalah $C(48, 4).$ Selanjutnya, dengan menggunakan aturan perkalian, banyak kemungkinannya adalah $C(4,1) \cdot C(48, 4).$
Dengan demikian, peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu memuat tepat satu kartu as adalah $\boxed{\dfrac{C(4, 1) \cdot C(48, 4)}{C(52, 5)}}.$
Soal Nomor 8
Berapa peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu memuat paling sedikit satu kartu as?
Dengan menggunakan prinsip komplemen, kita akan mencari peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu tidak memuat kartu as. Kita ‘buang’ empat kartu as hati yang ada di dek. Selanjutnya, kita pilih $5$ dari $48$ kartu tersisa. Dengan menggunakan aturan kombinasi, diperoleh banyak cara melakukannya adalah $C(48, 5).$
Jadi, peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu tidak memuat kartu as adalah $\dfrac{C(48, 5)}{C(52, 5)}.$ Kebalikannya, peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu memuat paling sedikit satu kartu as adalah $\boxed{1-\dfrac{C(48,5)}{C(52,5)}}.$
Soal Nomor 9
Berapa peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu memuat kartu yang jenisnya berbeda-beda?
Dari $13$ jenis kartu yang ada, pilih $5$ jenis kartu. Dengan menggunakan aturan kombinasi, ada $C(13, 5)$ cara melakukannya. Selanjutnya, masing-masing dari $5$ jenis kartu yang dipilih dapat diubah suitnya sebanyak $4$ cara. Oleh karena itu, dengan menggunakan aturan perkalian, banyak kemungkinan yang dapat terjadi adalah $C(13, 5) \cdot 4^5.$
Dengan demikian, peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu memuat kartu yang jenisnya berbeda-beda adalah $\boxed{\dfrac{C(13,5) \cdot 4^5}{C(52,5)}}.$
Soal Nomor 10
Berapa peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu memuat two pairs, yaitu masing-masing dua kartu untuk dua jenis kartu berbeda dan kartu kelima berbeda jenis?
Dari $13$ jenis kartu yang ada, pilih $2$ jenis kartu. Dengan menggunakan aturan kombinasi, ada $C(13,2)$ cara melakukannya. Kita punya $2$ jenis kartu dengan masing-masing $4$ suit sehingga ada $8$ kartu secara keseluruhan. Pilih $2$ kartu dari jenis pertama (ada $C(4, 2)$ cara) dan pilih $2$ kartu dari jenis kedua (ada $C(4, 2)$ cara). Kartu kelima diambil dari $44$ kartu sisanya (ada $C(44, 1)$ cara). Oleh karena itu, dengan menggunakan aturan perkalian, banyak kemungkinan yang dapat terjadi adalah $C(13, 2) \cdot C(4, 2) \cdot C(4, 2) \cdot C(44, 1).$
Dengan demikian, peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu memuat kartu memuat two pairs adalah $$\boxed{\dfrac{ C(13, 2) \cdot C(4, 2) \cdot C(4, 2) \cdot C(44, 1)}{C(52,5)}}$$
Soal Nomor 11
Berapa peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu memuat flush, yaitu lima kartu dengan suit yang sama?
Dari $4$ suit yang ada, pilih $1$ suit. Dengan menggunakan aturan kombinasi, ada $C(4, 1)$ cara melakukannya. Karena $1$ suit memuat $13$ jenis kartu, kita perlu memilih $5$ dari $13$ jenis kartu tersebut. Dengan menggunakan aturan kombinasi, ada $C(13, 5)$ cara melakukannya. Selanjutnya, dengan menggunakan aturan perkalian, banyak kemungkinan yang dapat terjadi adalah $C(4, 1) \cdot C(13, 5).$
Dengan demikian, peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu memuat kartu memuat flush adalah $$\boxed{\dfrac{C(4, 1) \cdot C(13, 5)}{C(52,5)}}.$$
Soal Nomor 12
Berapa peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu memuat straight, yaitu lima kartu berurutan dengan suit yang berbeda?
Catatan: Kartu as dapat dipandang sebagai kartu dengan pangkat terendah, seperti $\text{As}-2-3-4-5$ atau kartu dengan pangkat tertinggi, seperti $10-\text{J}-\text{Q}-\text{K}-\text{As}.$
Ada $10$ susunan lima kartu berurutan (dengan mengabaikan suit), yaitu
- $\text{As}-2-3-4-5$
- $2-3-4-5-6$
- $3-4-5-6-7$
- $\cdots \cdots$
- $10-\text{J}-\text{Q}-\text{K}-\text{As}.$
Masing-masing dari lima kartu tersebut dapat berbeda-beda tergantung suitnya. Karena ada 4 suit, terdapat $4^5$ kemungkinan. Jadi, dengan menggunakan aturan perkalian, terdapat $10 \cdot 4^5$ kemungkinan yang dapat terjadi secara keseluruhan.
Dengan demikian, peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu memuat kartu memuat straight adalah $$\boxed{\dfrac{10 \cdot 4^5}{C(52,5)}}.$$
Soal Nomor 13
Berapa peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu memuat straight flush, yaitu lima kartu berurutan dengan suit yang sama?
Dari $4$ suit yang ada, pilih $1$ suit. Dengan menggunakan aturan kombinasi, ada $C(4, 1)$ cara melakukannya. Ada $10$ susunan lima kartu berurutan (dengan mengabaikan suit), yaitu
- $\text{As}-2-3-4-5$
- $2-3-4-5-6$
- $3-4-5-6-7$
- $\cdots \cdots$
- $10-\text{J}-\text{Q}-\text{K}-\text{As}.$
Karena suitnya harus sama, hanya ada $C(4, 1) \cdot 10$ kemungkinan yang dapat terjadi secara keseluruhan.
Dengan demikian, peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu memuat kartu memuat straight flush adalah $$\boxed{\dfrac{C(4, 1) \cdot 10 }{C(52,5)}}.$$
Soal Nomor 14
Berapa peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu memuat kartu yang semua jenisnya berbeda-beda dan juga tidak memuat flush atau straight?
Ada $C(13, 5) \cdot 4^5$ cara untuk mendapatkan lima kartu yang semua jenisnya berbeda-beda. Untuk mendapatkan flush, ada $C(4, 1) \cdot C(13, 5)$ cara, sedangkan untuk mendapatkan straight, ada $10 \cdot 4^5$ cara. Namun, pencacahan ganda terjadi untuk kasus flush sekaligus straight, yaitu sebanyak $10$ cara. Dengan menggunakan prinsip inklusi-eksklusi, banyak cara pengambilan lima kartu sehingga memuat flush atau straight adalah $C(4, 1) \cdot C(13, 5) + 10 \cdot 4^5-40.$ Jadi, banyak cara pengambilan lima kartu sehingga lima kartu tersebut semuanya berbeda jenis dan tidak memuat flush atau straight adalah $C(13, 5) \cdot 4^5-(C(4, 1) \cdot C(13, 5) + 10 \cdot 4^5-40).$
Dengan demikian, peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu memuat kartu yang semua jenisnya berbeda-beda dan juga tidak memuat flush atau straight adalah $$\boxed{\dfrac{C(13, 5) \cdot 4^5-(C(4, 1) \cdot C(13, 5) + 10 \cdot 4^5-40)}{C(52,5)}}.$$
Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Prinsip Inklusi-Eksklusi
Soal Nomor 15
Berapa peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu memuat royal flush, yaitu kartu bernomor $10,$ jack, queen, king, dan as dengan suit yang sama?
Ambil kartu bernomor 10, jack, queen, king, dan as dengan suit yang sama. Karena ada $4$ suit, berarti ada $C(4,1)$ cara memilih $5$ kartu dengan jenis tersebut.
Dengan demikian, peluang kejadian tangan poker dengan lima kartu memuat royal flush adalah $$\boxed{\dfrac{C(4,1)}{C(52,5)}}.$$