Soal dan Pembahasan – Penggunaan Sifat Aljabar (Lanjutan)

Perhatikan bahwa kedua persamaan di atas dapat kita tulis dan sederhanakan menjadi seperti berikut.
$$\begin{cases} x^2 & = 5x + y && (\cdots 1) \\ y^2 & = x + 5y && (\cdots 2) \end{cases}$$Kurangkan kedua persamaan di atas sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} x^2-y^2 & = (5x-x)+(y-5y) \\ (x+y)(x-y) & = 4(x-y) \\ (x-y)(x+y-4) & = 0 \end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa $x-y = 0$ atau $x+y=4.$
Jika kedua persamaan sebelumnya dijumlahkan, kita peroleh
$$\begin{aligned} x^2+y^2 & = 6x + 6y \\ & = 6(x+y) \\ & = 6(4) = 24. \end{aligned}$$Jadi, didapat bahwa nilai dari $$\boxed{\sqrt{x^2+y^2+12} = \sqrt{24+12} = 6}.$$(Jawaban C)

Diketahui $x(x-3) = -1.$ Ide pertama yang dapat dieksekusi pertama kali adalah mengubikkan kedua ruas dari persamaan yang diketahui tersebut.
$$\begin{aligned} x^3(x-3)^3 & = (-1)^3 \\ x^3(x^3-9x^2+27x-27) & = -1 \\ x^3(x^3-18-(9\color{red}{x(x-3)} + 9) & = -1 \\ x^3(x^3-18-(9\color{red}{(-1)} + 9)) & = -1 \\ x^3(x^3-18) & = -1. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $x^3(x^3-18) = -1.$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa $xy = \dfrac{x}{y}.$ Dari sini, kita peroleh
$$\begin{aligned} xy \cdot y & = \dfrac{x}{\cancel{y}} \cdot \cancel{y} \\ xy^2 & = x \\ y^2 & = 1 && (\text{Bagi kedua ruas dengan}~x) \\ y & = \pm 1. \end{aligned}$$Kemungkinan 1: $y = 1$
Substitusi pada persamaan $xy = x-y$ mengakibatkan diperolehnya
$$\begin{aligned} x(1) & = x-1 \\ x & = x-1 \\ 0 & = -1. \end{aligned}$$Kita peroleh pernyataan yang bernilai salah (seharusnya $0 \neq -1$) sehingga tidak ada nilai $x$ yang memenuhi jika dipilih $y = 1.$
Kemungkinan 2: $y = -1$
Substitusi pada persamaan $xy = x-y$ mengakibatkan diperolehnya
$$\begin{aligned} x(-1) & = x-(-1) \\ -x & = x+1 \\ 2x & = -1 \\ x & = -\dfrac12. \end{aligned}$$Jadi, untuk $y = -1,$ diperoleh $x = -\dfrac12.$ Dengan demikian, nilai $\boxed{x + y = -\dfrac12 + (-1) = -\dfrac32}.$ 
(Jawaban A)

Tinjau persamaan $y + \dfrac{1}{z} = 1.$ Kalikan kedua ruas dengan $xz$ sehingga didapat
$$\begin{aligned} xz\left(y + \dfrac{1}{z}\right) & = xz(1) \\ xyz + x & = xz \\ xyz & = xz-x && (\cdots 1) \end{aligned}$$Tinjau persamaan $z + \dfrac{1}{x} = 1.$ Kalikan kedua ruas dengan $x$ sehingga didapat
$$\begin{aligned} x\left(z + \dfrac{1}{x}\right) & = x(1) \\ xz + 1 & = x \\ xz-x & = -1 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Substitusi persamaan $(2)$ pada persamaan $(1)$ sehingga diperoleh $$\boxed{xyz = xz-x = -1}.$$(Jawaban B)

Diketahui bahwa $\dfrac{y}{x-z} = \dfrac{x}{y}.$ Kali silang sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} y(y) & = x(x-z) \\ y^2 & = \color{red}{x^2-xz}. \end{aligned}$$Diketahui juga bahwa $\dfrac{y}{x-z} = \dfrac{x+y}{z}.$ Kali silang lagi sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} yz & = (x-z)(x+y) \\ yz & = x^2+xy-xz-yz \\ 2yz & = \color{red}{(x^2-xz)} + xy \\ 2yz & = y^2+xy \\ 2z & = \color{blue}{y + x} && (\text{Bagi kedua ruas dengan}~y) \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat
$$\begin{aligned} \dfrac{x}{y} & = \dfrac{\color{blue}{x+y}}{z} \\ & = \dfrac{2z}{z} = 2. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\dfrac{x}{y}$ sama dengan $\boxed{2}.$
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa kita dapat menuliskan persamaan di atas menjadi $4$ persamaan berbeda.
$$\begin{cases} \dfrac{a+b+c}{d} & = r && (\cdots 1) \\ \dfrac{a+b+d}{c} & = r && (\cdots 2) \\ \dfrac{a+c+d}{b} & = r && (\cdots 3) \\ \dfrac{b+c+d}{a} & = r && (\cdots 4) \end{cases}$$Selanjutnya, kalikan kedua ruas dengan $d, c, b, a$ berturut-turut pada Persamaan $1, 2, 3, 4$ sehingga kita peroleh persamaan lain yang ekuivalen.
$$\begin{cases} a + b + c & = dr \\ a + b + d & = cr \\ a+c+d & = br \\ b+c+d & = ar \end{cases}$$Jumlahkan keempat persamaan ini sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} 3a+3b+3c+3d & = ar+br+cr+dr \\ 3\cancel{(a+b+c+d)} & = r\cancel{(a+b+c+d)} \\ r & = 3. \end{aligned}$$Jadi, nilai $r$ yang memenuhi adalah $\boxed{3}.$
(Jawaban E)

Dari persamaan $a+b+c=2$ dan $c \leq 2$ (memperbolehkan menguadratkan kedua ruas karena bentuk $(c-2)$ tidak bernilai negatif), kita peroleh
$$\begin{aligned} a+b & = 2-c \\ (a+b)^2 & = (2-c)^2 && (\text{Kuadratkan kedua ruas}) \\ a^2+2ab+b^2 & = 4-4c+c^2 \\ a^2+b^2 & = 4-4c-2ab+c^2 \\ a^2+b^2\color{red}{-2c^2} & = 4-4c-2ab+c^2\color{red}{-2c^2} \\ a^2+b^2-2c^2 & = 4-4c-2ab-c^2 \\ a^2+b^2-2c^2 & = 4-2\underbrace{\left(ab + 2c + \dfrac{c^2}{2}\right)}_{\text{sama dengan}~1} \\ a^2+b^2-2c^2 & = 4-2(1) = 2. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{a^2+b^2-2c^2 = 2}.$
(Jawaban E)

Untuk menjawab soal di atas, kita tidak perlu mencari nilai $x$ dan $y$, tetapi cukup mencari keterhubungan antara yang ditanya dengan yang diketahui melalui operasi aljabar pada bentuk pangkat.
Diketahui $x+y=3$ dan $xy = 3.$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} (x+y)^3 & = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 \\ (x+y)^3 & = (x^3+y^3)+3xy(x+y) \\ 3^3 & = (x^3+y^3)+3(3)(3) \\ 27 & = (x^3+y^3)+27 \\ 0 & = x^3+y^3. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{x^3+y^3 = 0}.$
(Jawaban B)

Dari persamaan $x = \dfrac{\sqrt{111}-1}{2}$, diperoleh
$$\begin{aligned} 2x & = \sqrt{111}-1 \\ 2x+1 & = \sqrt{111} \\ (2x+1)^2 & = (\sqrt{111})^2 \\ 4x^2+4x+1 & = 111 \\ 4x^2+4x & =110 \\ \color{red}{2x^2+2x} & \color{red}{= 55}. \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} & 2x^5+2x^4-53x^3-57x+54 \\ & = x^3(\color{red}{2x^2+2x})-53x^3-57x+54 \\ & = 55x^3-53x^3-57x+54 \\ & = 2x^3-57x+54 \\ & = 2x^3+(2x^2-2x^2)-57x+54 \\ & = x(\color{red}{2x^2+2x})-2x^2-57x+54 \\ & = 55x-2x^2-57x+54 \\ & = -2x^2-2x+54 \\ & = -(\color{red}{2x^2+2x})+54 \\ & = -55 + 54 = -1.\end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{(2x^5+2x^4-53x^3-57x+54)^{2020} = (-1)^{2020} = 1}.$$(Jawaban D)

Diketahui $x^3+x^2+x-1=0.$
Persamaan tersebut ekuivalen dengan
$$\begin{aligned} x^3-1 & = \color{red}{-x^2-x} \\ x-1 & = \color{blue}{-x^3-x^2}. \end{aligned}$$Kita akan peroleh
$$\begin{aligned} x^{2023}-2x^{2020}+x^{2019}+1& = x^{2023}- x^{2020}-x^{2020}+x^{2019} +1 \\ & = x^{2020} (x^3-1)-x^{2019}(x-1)+1 \\ & = x^{2020} \color{red}{(-x^2-x)}-x^{2019}\color{blue}{(-x^3-x^2)}+1 \\ & =\cancel{-x^{2022}}-\bcancel{x^{2021}}+\cancel{x^{2022}}+\bcancel{x^{2021}}+1=1. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari
$$\boxed{x^{2023}-2x^{2020}+x^{2019}+1=1}.$$(Jawaban C)

Diketahui $n = \sqrt{\dfrac{2.000^4 + 21^4 + 2.021^4}{2}}.$
Misalkan $a = 2.000$ dan $b = 21$ sehingga $a + b = 2.021.$
Sekarang, perhatikan bahwa kita dapat menyatakan $n$ sebagai berikut.
$$\begin{aligned} n & = \sqrt{\dfrac{a^4 + b^4 + (a+b)^4}{2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{a^4 + b^4 + (a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4)}{2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{2a^4 + 2b^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3}{2}} \\ & = \sqrt{a^4 + b^4 + 2a^3b + 3a^2b^2 + 2ab^3} \\ & = \sqrt{(a^4 + b^4 + 2a^2b^2) + a^2b^2 + 2ab(a^2 + b^2)} \\ & = \sqrt{(a^2 + b^2)^2 + a^2b^2 + 2ab(a^2 + b^2)} \end{aligned}$$Ingat bahwa bentuk $(\color{blue}{x} + \color{red}{y})^2 = \color{blue}{x}^2 + \color{red}{y}^2 + 2\color{blue}{x}\color{red}{y}.$ Anggap $\color{blue}{x = a^2 + b^2}$ dan $\color{red}{y = ab}$ sehingga kita dapat kembali menyederhanakan bentuk terakhir.
$$\begin{aligned} \sqrt{\color{blue}{(a^2 + b^2)^2} + \color{red}{a^2b^2} + 2\color{red}{ab}\color{blue}{(a^2 + b^2)}} & = \sqrt{(\color{blue}{a^2 + b^2} + \color{red}{ab})^2} \\ & = a^2 + b^2 + ab \end{aligned}$$Jadi, $n = 2.000^2 + 21^2 + 2.000 \cdot 21 \cdot 21$ sehingga nilai dari $n-(2.000^2 + 21^2)$ dapat kita hitung sebagai berikut.
$$\begin{aligned} n-(2.000^2 + 21^2) & = (\cancel{2.000^2} + \bcancel{21^2} + 2.000 \cdot 21)-(\cancel{2.000^2} + \bcancel{21^2}) \\ & = 2.000 \cdot 21 \\ & = 42.000 \end{aligned}$$(Jawaban C)

Ide utamanya adalah dengan menggunakan kasus lain untuk bilangan yang lebih kecil, kemudian dianalisis polanya.
$$\begin{aligned} \sqrt{11-2} & = \sqrt{9} = 3 \\ \sqrt{1.111-22} & = \sqrt{11(101)-11(2)} = \sqrt{11(99)} = \sqrt{9(11)^2} = 3(11) = 33 \\ \sqrt{111.111-222} & = \sqrt{111(1001)-111(2)} = \sqrt{111(999)} = \sqrt{9(111)^2} = 3(111) = 333 \end{aligned}$$Dengan mengikuti langkah tersebut, kita dapat menyelesaikan kasus yang ditanya.
$$\begin{aligned} \sqrt{\underbrace{111\cdots111}_{\text{ada}~2.022}-\underbrace{222\cdots222}_{\text{ada}~1.011}} & = \sqrt{\underbrace{111\cdots111}_{\text{ada}~1.011}(1\underbrace{00\cdots00}_{\text{ada}~1.010}1)-(\underbrace{111\cdots111}_{\text{ada}~1.011})(2)} \\ & = \sqrt{(\underbrace{999\cdots999}_{\text{ada}~1.011})(\underbrace{111\cdots111}_{\text{ada}~1.011})} \\ & = \sqrt{9(\underbrace{111\cdots111}_{\text{ada}~1.011})^2} \\ & = 3(\underbrace{111\cdots111}_{\text{ada}~1.011}) \\ & = \underbrace{333\cdots333}_{\text{ada}~1.011} \end{aligned}$$Jadi, hasilnya adalah $\boxed{\underbrace{333\cdots333}_{\text{ada}~1.011}}.$
(Jawaban D)

Jumlahkan kedua persamaan dari sistem tersebut sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} (ac + bd) + (ad+bc) & = 34+43 \\ a(c + d) + b(c + d) & = 77 \\ (a+b)(c+d) & = 77. \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $77$ dapat ditulis sebagai perkalian dua bilangan bulat positif, yaitu $1 \times 77$ atau $7 \times 11$ (dan kebalikannya). Karena $a, b, c, d$ adalah bilangan bulat positif dan $a+b<c+d,$ maka satu-satunya kasus yang mungkin adalah dengan mengambil $a + b = 7$ dan $c + d = 11.$ Dengan demikian,
$$\begin{aligned} c+d-a-b & = (c+d)-(a+b) \\ & = 11-7 \\ & = 4. \end{aligned}$$(Jawaban E)

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \dfrac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(d-a)} & = \dfrac{2.021}{2.022} \\ \dfrac{(b-c)(d-a)}{(a-b)(c-d)} & = \dfrac{2.022}{2.021} \\ \dfrac{bd-ab-cd+ac}{ac-ad-bc+bd} & = \underbrace{\dfrac{ac-ad-bc+bd}{ac-ad-bc+bd}}_{=1} + \dfrac{1}{2.021} \\ \dfrac{ad-ab-cd+bc}{ac-ad-bc+bd} & = \dfrac{1}{2.021} \\ \dfrac{(a-c)(d-b)}{(a-b)(c-d)} & = \dfrac{1}{2.021} \\ \dfrac{(a-c)(b-d)}{(a-b)(c-d)} & = \dfrac{-1}{2.021}. \end{aligned}$$Jadi nilai $a = -1$ dan $b = 2.021$ sehingga $\boxed{a+b=2.020}.$
(Jawaban B)

Misalkan:
$$\begin{aligned} x & = \text{jumlah peserta laki-laki tahun lalu} \\ y & = \text{jumlah peserta perempuan tahun lalu} \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} & \text{Jumlah peserta tahun ini adalah}~1,1(x+y) \\ & \text{Jumlah peserta laki-laki tahun ini adalah}~1,05x \\ & \text{Jumlah peserta perempuan tahun ini adalah}~1,2y \end{aligned}$$Diperoleh persamaan berikut.
$$\begin{aligned} 1,1(x+y) & = 1,05x + 1,2y \\ 1,1x+1,1y & = 1,05x + 1,2y \\ 0,05x & = 0,1y \\ x & = 2y \end{aligned}$$Persentase jumlah peserta perempuan tahun ini adalah
$$\begin{aligned} \dfrac{1,2y}{1,1(x+y)} \times 100\% & = \dfrac{1,2y}{1,1(2y+y)} \times 100\% \\ & = \dfrac{1,2}{3,3} \times 100\% \\ & = \dfrac{4}{11} \times 100\% \\ & \approx 36,36\%. \end{aligned}$$

Diketahui $a + b + c = 0$ sehingga
$\begin{cases} a + b & =-c \\ b+c & = -a \\ a+c & = -b \end{cases}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{(a + b)^3 + (b+c)^3 + (a+c)^3}{abc} & = \dfrac{(-c)^3 + (-a)^3 + (-b)^3}{abc} \\ & = \dfrac{-a^3-b^3-c^3}{abc} \\ & = -\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc} \end{aligned}$$Selanjutnya, perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} a + b & = -c \\ (a+b)^3 & = (-c)^3 && (\text{Kedua ruas dipangkatkan 3}) \\ a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 & = -c^3 \\ a^3+b^3+3ab(a+b) & = -c^3 \\ a^3+b^3+c^3 & = -3ab(a+b) \\ a^3+b^3+c^3 & = -3ab(-c) && (\text{Ingat}~a+b=-c) \\ a^3+b^3+c^3 & = 3abc \end{aligned}$$Oleh karena itu,
$$-\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc} = -\dfrac{3\cancel{abc}}{\cancel{abc}} = -3$$Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{(a + b)^3 + (b+c)^3 + (a+c)^3}{abc} = -3.$

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} x^3-x+1 & = 0 \\ \Rightarrow x^3 & = x-1 \\ \Rightarrow x^4 & = x^2-x \end{aligned}$
sehingga
$$\begin{aligned} x^8 & = (x^4)^2 \\ & = (x^2-x)^2 \\ & = x^4-2x^3+x^2 \\ & = (x^2-x)-2(x-1)+x^2 \\ & = 2x^2-3x+2 \\ x^{16} & = (2x^2-3x+2)^2 \\ & = 4x^4-6x^3+4x^2-6x^3+9x^2-6x+4x^2-6x+4 \\ & = 4x^4-12x^3+17x^2-12x+4 \\ & = 4(x^2-x)-12(x-1)+17x^2-12x+4 \\ x^{16} & = 21x^2-28x+16 \end{aligned}$$Karena $a, b, c$ akar persamaan, maka diperoleh
$\begin{cases} a^{16} & = 21a^2-28a+16 \\  b^{16} & = 21b^2-28b+16 \\ c^{16} & = 21c^2-28c+16 \end{cases}$
Perhatikan juga bahwa dari $x^3-x+1 = 0$, maka dengan menggunakan Teorema Vieta, diperoleh
$\begin{cases} a+b+c & = -\dfrac{\text{Koefisien}~x^2}{\text{Koefisien}~x^3} = -\dfrac{0}{1} = 0 \\ ab+ac+bc & = \dfrac{\text{Koefisien}~x}{\text{Koefisien}~x^3} = \dfrac{-1}{1} = -1 \\ abc & = -\dfrac{\text{Konstanta}}{\text{Koefisien}~x^3} = -\dfrac{1}{1} = -1 \end{cases}$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} a^{16}+b^{16}+c^{16} & = (21a^2-28a+16)+(21b^2-28b+16)+(21c^2-28c+16) \\ & = 21(a^2+b^2+c^2)-28(a+b+c)+48 \\ & = 21\left[(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)\right]-28(a+b+c)+48 \\ & = 21\left[0^2-2(-1)\right]-28(0)+48 \\ & = 21(2)+48 = 90 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{a^{16}+b^{16}+c^{16} = 90}.$

Misalkan $N_l$ dan $N_p$ berturut-turut menyatakan banyak siswa laki-laki dan siswa perempuan di kelas tersebut sehingga $N_l + N_p = 100,$ ekuivalen dengan $N_p = 100-N_l.$
Diketahui rata-rata nilai $100$ siswa adalah $79.$ Jumlah nilai siswa perempuan adalah $75N_p,$ sedangkan jumlah nilai siswa laki-laki adalah $N_l \cdot N_l = N_l^2.$ Dari sini, dapat kita tuliskan
$$\begin{aligned} \overline{x} & = \dfrac{\Sigma F}{N_{\text{total}}} \\ 79 & = \dfrac{75N_p + N_l^2}{N_l + N_p} \\ 79N_l + 79N_p & = 75N_p + N_l^2 \\ N_l^2-4N_p-79N_l & = 0 \\ N_l^2-4(100-N_l)-79N_l & = 0 \\ N_l^2-75N_l-400 & = 0 \\ (N_l-80)(N_l+5) & = 0 \\ N_l = 80~ \text{atau}~N_l & = -5 \end{aligned}$$Karena $N_l$ menyatakan banyak orang, nilainya tidak mungkin negatif. Jadi, ambil $N_l = 80$ sehingga berakibat $N_p = 100-80 = 20.$
Jadi, banyak siswa perempuan di kelas tersebut adalah $\boxed{20~\text{orang}}.$

Perhatikan bahwa $x + y + z = 2.022.$ Selanjutnya,
$$\begin{aligned} \dfrac{z}{x+y} + \dfrac{y}{x + z} + \dfrac{x}{y + z} & = 34 \\ \left(1 + \dfrac{z}{x+y}\right) + \left(1 + \dfrac{y}{x + z}\right) + \left(1 + \dfrac{x}{y + z}\right) & = 37 \\ \left(\dfrac{x+y}{x+y} + \dfrac{z}{x+y}\right) + \left(\dfrac{x+z}{x+z} + \dfrac{y}{x + z}\right) + \left(\dfrac{y+z}{y+z} + \dfrac{x}{y + z}\right) & = 37 \\ \dfrac{x+y+z}{x+y} + \dfrac{x+y+z}{x+z} + \dfrac{x+y+z}{y+z} & = 37 \\ (x + y + z) \cdot \left(\dfrac{1}{x + y} + \dfrac{1}{x + z} + \dfrac{1}{y + z}\right) & = 37 \\ 2.022 \cdot \left(\dfrac{1}{x + y} + \dfrac{1}{x + z} + \dfrac{1}{y + z}\right) & = 37 \\ \dfrac{1}{x + y} + \dfrac{1}{x + z} + \dfrac{1}{y + z} & = \dfrac{37}{2.022}. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\dfrac{1}{x + y} + \dfrac{1}{x + z} + \dfrac{1}{y + z} = \dfrac{37}{2.022}}.$$