Soal dan Pembahasan – Penggunaan Sifat Aljabar (Lanjutan)

Aljabar merupakan salah satu cabang matematika yang paling luas dipakai untuk menyelesaikan berbagai masalah. Hampir semua cabang matematika lain melibatkan aljabar, bahkan menjadikan aljabar sebagai bagian dasar yang harus dipahami lebih dulu. Pada soal-soal tingkat lanjut (olimpiade), penggunaan aljabar semakin intensif dengan diwarnai oleh berbagai manipulasi bentuk yang menaati aturan perhitungan operasi aljabar. Berikut ini telah disertakan formula pemfaktoran dalam aljabar dan di bawahnya terdapat beberapa soal terkait penyelesaian masalah yang melibatkan penggunaan aljabar yang intensif. 

Formula Pemfaktoran

Berikut ini diberikan beberapa formula pemfaktoran yang sering dipakai sebagai strategi penyelesaian soal terkait bentuk aljabar.

  1. $(x+y)^2 = (x^2+y^2)+2xy$
  2. $(x-y)^2 = (x^2+y^2)-2xy$
  3. $x^2-y^2 = (x+y)(x-y)$
  4. $(x+y)^3 = (x^3+y^3)+3xy(x+y)$
  5. $(x-y)^3 = (x^3-y^3)-3xy(x-y)$
  6. Untuk semua bilangan bulat positif $n$ berlaku
    $$x^n-y^n = (x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\cdots+y^{n-1}).$$
  7. Untuk semua nilai $n$ ganjil berlaku
    $$x^n+y^n = (x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^2-\cdots+y^{n-1}),$$Perhatikan bahwa tanda ruas kanan selalu bergantian, dimulai dari positif $(+)$.

Today Quote

Hari-hari yang baik memberi kebahagiaan, sedangkan hari-hari yang buruk memberi pengalaman. Kedua-duanya sama-sama memberikan arti bagi kehidupan ini.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1 (OSK 2003)
Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan real tak nol yang memenuhi $xy = \dfrac{x}{y}=x-y.$ Berapakah nilai dari $x + y$?
A. $-\dfrac32$                      D. $\dfrac12$
B. $-\dfrac12$                      E. $\dfrac32$
C. $0$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $xy = \dfrac{x}{y}.$ Dari sini, kita peroleh
$$\begin{aligned} xy \cdot y & = \dfrac{x}{\cancel{y}} \cdot \cancel{y} \\ xy^2 & = x \\ y^2 & = 1 && (\text{Bagi kedua ruas dengan}~x) \\ y & = \pm 1. \end{aligned}$$Kemungkinan 1: $y = 1$
Substitusi pada persamaan $xy = x-y$ mengakibatkan diperolehnya
$$\begin{aligned} x(1) & = x-1 \\ x & = x-1 \\ 0 & = -1. \end{aligned}$$Kita peroleh pernyataan yang bernilai salah (seharusnya $0 \neq -1$) sehingga tidak ada nilai $x$ yang memenuhi jika dipilih $y = 1.$
Kemungkinan 2: $y = -1$
Substitusi pada persamaan $xy = x-y$ mengakibatkan diperolehnya
$$\begin{aligned} x(-1) & = x-(-1) \\ -x & = x+1 \\ 2x & = -1 \\ x & = -\dfrac12. \end{aligned}$$Jadi, untuk $y = -1,$ diperoleh $x = -\dfrac12.$ Dengan demikian, nilai $\boxed{x + y = -\dfrac12 + (-1) = -\dfrac32}$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 2
Nilai $xyz$ yang memenuhi persamaan $y + \dfrac{1}{z} = z + \dfrac{1}{x} = 1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-2$                        C. $0$                     E. $2$
B. $-1$                       D. $1$

Pembahasan

Tinjau persamaan $y + \dfrac{1}{z} = 1.$ Kalikan kedua ruas dengan $xz$ sehingga didapat
$$\begin{aligned} xz\left(y + \dfrac{1}{z}\right) & = xz(1) \\ xyz + x & = xz \\ xyz & = xz-x && (\cdots 1) \end{aligned}$$Tinjau persamaan $z + \dfrac{1}{x} = 1.$ Kalikan kedua ruas dengan $x$ sehingga didapat
$$\begin{aligned} x\left(z + \dfrac{1}{x}\right) & = x(1) \\ xz + 1 & = x \\ xz-x & = -1 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Substitusi persamaan $(2)$ pada persamaan $(1)$ sehingga diperoleh $$\boxed{xyz = xz-x = -1}$$(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3
Diberikan tiga bilangan positif $x, y,$ dan $z$ yang semuanya berbeda. Jika $\dfrac{y}{x-z} = \dfrac{x+y}{z} = \dfrac{x}{y},$ maka nilai $\dfrac{x}{y}$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $\dfrac12$                          D. $2$
B. $\dfrac35$                         E. $\dfrac{16}{3}$
C. $1$

Pembahasan

Diketahui bahwa $\dfrac{y}{x-z} = \dfrac{x}{y}.$ Kali silang sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} y(y) & = x(x-z) \\ y^2 & = \color{red}{x^2-xz}. \end{aligned}$$Diketahui juga bahwa $\dfrac{y}{x-z} = \dfrac{x+y}{z}.$ Kali silang lagi sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} yz & = (x-z)(x+y) \\ yz & = x^2+xy-xz-yz \\ 2yz & = \color{red}{(x^2-xz)} + xy \\ 2yz & = y^2+xy \\ 2z & = \color{blue}{y + x} && (\text{Bagi kedua ruas dengan}~y) \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat
$$\begin{aligned} \dfrac{x}{y} & = \dfrac{\color{blue}{x+y}}{z} \\ & = \dfrac{2z}{z} = \dfrac12. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\dfrac{x}{y}$ sama dengan $\boxed{\dfrac12}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui $a+b+c = 2$ dan $ab + 2c + \dfrac{c^2}{2} = 1$ dengan $c \leq 2$. Nilai dari $a^2+b^2-2c^2=\cdots \cdot$
A. $1$                        C. $3$                        E. $5$
B. $2$                       D. $4$

Pembahasan

Dari persamaan $a+b+c=2$ dan $c \leq 2$ (memperbolehkan menguadratkan kedua ruas karena bentuk $(c-2)$ tidak bernilai negatif), kita peroleh
$$\begin{aligned} a+b & = 2-c \\ (a+b)^2 & = (2-c)^2 && (\text{Kuadratkan kedua ruas}) \\ a^2+2ab+b^2 & = 4-4c+c^2 \\ a^2+b^2 & = 4-4c-2ab+c^2 \\ a^2+b^2\color{red}{-2c^2} & = 4-4c-2ab+c^2\color{red}{-2c^2} \\ a^2+b^2-2c^2 & = 4-4c-2ab-c^2 \\ a^2+b^2-2c^2 & = 4-2\underbrace{\left(ab + 2c + \dfrac{c^2}{2}\right)}_{\text{sama dengan}~1} \\ a^2+b^2-2c^2 & = 4-2(1) = 2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{a^2+b^2-2c^2 = 2}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui $x+y=xy=3$. Nilai $x^3+y^3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$                    C. $1$                          E. $9$
B. $0$                       D. $3$

Pembahasan

Untuk menjawab soal di atas, kita tidak perlu mencari nilai $x$ dan $y$, tetapi cukup mencari keterhubungan antara yang ditanya dengan yang diketahui melalui operasi aljabar pada bentuk pangkat.
Diketahui $x+y=3$ dan $xy = 3$.
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} (x+y)^3 & = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 \\ (x+y)^3 & = (x^3+y^3)+3xy(x+y) \\ 3^3 & = (x^3+y^3)+3(3)(3) \\ 27 & = (x^3+y^3)+27 \\ 0 & = x^3+y^3 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{x^3+y^3 = 0}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika $x = \dfrac{\sqrt{111}-1}{2}$, maka nilai dari $$(2x^5+2x^4-53x^3-57x+54)^{2020}$$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-10$                  C. $0$                    E. $10$
B. $-1$                    D. $1$

Pembahasan

Dari persamaan $x = \dfrac{\sqrt{111}-1}{2}$, diperoleh
$$\begin{aligned} 2x & = \sqrt{111}-1 \\ 2x+1 & = \sqrt{111} \\ (2x+1)^2 & = (\sqrt{111})^2 \\ 4x^2+4x+1 & = 111 \\ 4x^2+4x & =110 \\ \color{red}{2x^2+2x} & \color{red}{= 55} \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} & 2x^5+2x^4-53x^3-57x+54 \\ & = x^3(\color{red}{2x^2+2x})-53x^3-57x+54 \\ & = 55x^3-53x^3-57x+54 \\ & = 2x^3-57x+54 \\ & = 2x^3+(2x^2-2x^2)-57x+54 \\ & = x(\color{red}{2x^2+2x})-2x^2-57x+54 \\ & = 55x-2x^2-57x+54 \\ & = -2x^2-2x+54 \\ & = -(\color{red}{2x^2+2x})+54 \\ & = -55 + 54 = -1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{(2x^5+2x^4-53x^3-57x+54)^{2020} = (-1)^{2020} = 1}$$(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika $x^3+x^2+x-1=0$, maka $x^{2023}-2x^{2020} + x^{2019} + 1$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $-1$                        D. $2019$
B. $0$                           E. $2020$
C. $1$

Pembahasan

Diketahui $x^3+x^2+x-1=0.$
Persamaan tersebut ekuivalen dengan
$$\begin{aligned} x^3-1 & = \color{red}{-x^2-x} \\ x-1 & = \color{blue}{-x^3-x^2} \end{aligned}$$Kita akan peroleh
$$\begin{aligned} x^{2023}-2x^{2020}+x^{2019}+1& = x^{2023}- x^{2020}-x^{2020}+x^{2019} +1 \\ & = x^{2020} (x^3-1)-x^{2019}(x-1)+1 \\ & = x^{2020} \color{red}{(-x^2-x)}-x^{2019}\color{blue}{(-x^3-x^2)}+1 \\ & =\cancel{-x^{2022}}-\bcancel{x^{2021}}+\cancel{x^{2022}}+\bcancel{x^{2021}}+1=1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari
$$\boxed{x^{2023}-2x^{2020}+x^{2019}+1=1}$$(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui $n = \sqrt{\dfrac{2.000^4 + 21^4 + 2.021^4}{2}}$ merupakan bilangan bulat. Nilai dari $n-(2.000^2 + 21^2)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2.000$
B. $2.021$
C. $42.000$
D. $42.441$
E. $4.042.000

Pembahasan

Diketahui $n = \sqrt{\dfrac{2.000^4 + 21^4 + 2021^4}{2}}.$
Misalkan $a = 2.000$ dan $b = 21$ sehingga $a + b = 2021.$
Sekarang, perhatikan bahwa kita dapat menyatakan $n$ sebagai berikut.
$$\begin{aligned} n & = \sqrt{\dfrac{a^4 + b^4 + (a+b)^4}{2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{a^4 + b^4 + (a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4)}{2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{2a^4 + 2b^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3}{2}} \\ & = \sqrt{a^4 + b^4 + 2a^3b + 3a^2b^2 + 2ab^3} \\ & = \sqrt{(a^4 + b^4 + 2a^2b^2) + a^2b^2 + 2ab(a^2 + b^2)} \\ & = \sqrt{(a^2 + b^2)^2 + a^2b^2 + 2ab(a^2 + b^2)} \end{aligned}$$Ingat bahwa bentuk $(\color{blue}{x} + \color{red}{y})^2 = \color{blue}{x}^2 + \color{red}{y}^2 + 2\color{blue}{x}\color{red}{y}.$ Anggap $\color{blue}{x = a^2 + b^2}$ dan $\color{red}{y = ab}$ sehingga kita dapat kembali menyederhanakan bentuk terakhir.
$$\begin{aligned} \sqrt{\color{blue}{(a^2 + b^2)^2} + \color{red}{a^2b^2} + 2\color{red}{ab}\color{blue}{(a^2 + b^2)}} & = \sqrt{(\color{blue}{a^2 + b^2} + \color{red}{ab})^2} \\ & = a^2 + b^2 + ab \end{aligned}$$Jadi, $n = 2.000^2 + 21^2 + 2.000 \cdot 21 \cdot 21$ sehingga nilai dari $n-(2.000^2 + 21^2)$ dapat kita hitung sebagai berikut.
$$\begin{aligned} n-(2.000^2 + 21^2) & = (\cancel{2.000^2} + \bcancel{21^2} + 2.000 \cdot 21)-(\cancel{2.000^2} + \bcancel{21^2}) \\ & = 2.000 \cdot 21 \\ & = 42.000 \end{aligned}$$(Jawaban C)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Peserta kompetisi matematika di suatu kota pada tahun ini $10\%$ lebih banyak dibandingkan dengan tahun lalu. Jumlah peserta laki-laki naik $5\%$ dan jumlah peserta perempuan naik $20\%$. Berapa persentase jumlah peserta perempuan pada tahun ini?

Pembahasan

Misalkan:
$$\begin{aligned} x & = \text{jumlah peserta laki-laki tahun lalu} \\ y & = \text{jumlah peserta perempuan tahun lalu} \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} & \text{Jumlah peserta tahun ini adalah}~1,1(x+y) \\ & \text{Jumlah peserta laki-laki tahun ini adalah}~1,05x \\ & \text{Jumlah peserta perempuan tahun ini adalah}~1,2y \end{aligned}$$Diperoleh persamaan berikut.
$$\begin{aligned} 1,1(x+y) & = 1,05x + 1,2y \\ 1,1x+1,1y & = 1,05x + 1,2y \\ 0,05x & = 0,1y \\ x & = 2y \end{aligned}$$Persentase jumlah peserta perempuan tahun ini adalah
$$\begin{aligned} \dfrac{1,2y}{1,1(x+y)} \times 100\% & = \dfrac{1,2y}{1,1(2y+y)} \times 100\% \\ & = \dfrac{1,2}{3,3} \times 100\% \\ & = \dfrac{4}{11} \times 100\% \\ & \approx 36,36\% \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 2
Jika $a + b + c = 0$ dengan $a, b, c \neq 0$, tunjukkan bahwa $\dfrac{(a + b)^3 + (b+c)^3 + (a+c)^3}{abc} = -3$.

Pembahasan

Diketahui $a + b + c = 0$ sehingga
$\begin{cases} a + b & =-c \\ b+c & = -a \\ a+c & = -b \end{cases}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{(a + b)^3 + (b+c)^3 + (a+c)^3}{abc} & = \dfrac{(-c)^3 + (-a)^3 + (-b)^3}{abc} \\ & = \dfrac{-a^3-b^3-c^3}{abc} \\ & = -\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc} \end{aligned}$$Selanjutnya, perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} a + b & = -c \\ (a+b)^3 & = (-c)^3 && (\text{Kedua ruas dipangkatkan 3}) \\ a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 & = -c^3 \\ a^3+b^3+3ab(a+b) & = -c^3 \\ a^3+b^3+c^3 & = -3ab(a+b) \\ a^3+b^3+c^3 & = -3ab(-c) && (\text{Ingat}~a+b=-c) \\ a^3+b^3+c^3 & = 3abc \end{aligned}$$Oleh karena itu,
$$-\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc} = -\dfrac{3\cancel{abc}}{\cancel{abc}} = -3$$Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{(a + b)^3 + (b+c)^3 + (a+c)^3}{abc} = -3$.

[collapse]

Soal Nomor 3
Akar-akar persamaan $x^3-x+1=0$ adalah $a, b$, dan $c$. Tentukan nilai dari $a^{16}+b^{16}+c^{16}$.

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} x^3-x+1 & = 0 \\ \Rightarrow x^3 & = x-1 \\ \Rightarrow x^4 & = x^2-x \end{aligned}$
sehingga
$$\begin{aligned} x^8 & = (x^4)^2 \\ & = (x^2-x)^2 \\ & = x^4-2x^3+x^2 \\ & = (x^2-x)-2(x-1)+x^2 \\ & = 2x^2-3x+2 \\ x^{16} & = (2x^2-3x+2)^2 \\ & = 4x^4-6x^3+4x^2-6x^3+9x^2-6x+4x^2-6x+4 \\ & = 4x^4-12x^3+17x^2-12x+4 \\ & = 4(x^2-x)-12(x-1)+17x^2-12x+4 \\ x^{16} & = 21x^2-28x+16 \end{aligned}$$Karena $a, b, c$ akar persamaan, maka diperoleh
$\begin{cases} a^{16} & = 21a^2-28a+16 \\ a^{16} & = 21b^2-28b+16 \\ c^{16} & = 21c^2-28c+16 \end{cases}$
Perhatikan juga bahwa dari $x^3-x+1 = 0$, maka dengan menggunakan Teorema Vieta, diperoleh
$\begin{cases} a+b+c & = -\dfrac{\text{Koefisien}~x^2}{\text{Koefisien}~x^3} = -\dfrac{0}{1} = 0 \\ ab+ac+bc & = \dfrac{\text{Koefisien}~x}{\text{Koefisien}~x^3} = \dfrac{-1}{1} = -1 \\ abc & = -\dfrac{\text{Konstanta}}{\text{Koefisien}~x^3} = -\dfrac{1}{1} = -1 \end{cases}$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} a^{16}+b^{16}+c^{16} & = (21a^2-28a+16)+(21b^2-28b+16)+(21c^2-28c+16) \\ & = 21(a^2+b^2+c^2)-28(a+b+c)+48 \\ & = 21\left[(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)\right]-28(a+b+c)+48 \\ & = 21\left[0^2-2(-1)\right]-28(0)+48 \\ & = 21(2)+48 = 90 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{a^{16}+b^{16}+c^{16} = 90}$

[collapse]

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *