Soal dan Pembahasan – Penggunaan Sifat Aljabar (Lanjutan)

Aljabar merupakan salah satu cabang matematika yang paling luas dipakai untuk menyelesaikan berbagai masalah. Hampir semua cabang matematika lain melibatkan aljabar, bahkan menjadikan aljabar sebagai bagian dasar yang harus dipahami lebih dulu. Pada soal-soal tingkat lanjut (olimpiade), penggunaan aljabar semakin intensif dengan diwarnai oleh berbagai manipulasi bentuk yang menaati aturan perhitungan operasi aljabar. Berikut ini telah disertakan formula pemfaktoran dalam aljabar dan di bawahnya terdapat beberapa soal terkait penyelesaian masalah yang melibatkan penggunaan aljabar yang intensif. 

Formula Pemfaktoran

Berikut ini diberikan beberapa formula pemfaktoran yang sering dipakai sebagai strategi penyelesaian soal terkait bentuk aljabar.

  1. $(x+y)^2 = (x^2+y^2)+2xy$
  2. $(x-y)^2 = (x^2+y^2)-2xy$
  3. $x^2-y^2 = (x+y)(x-y)$
  4. $(x+y)^3 = (x^3+y^3)+3xy(x+y)$
  5. $(x-y)^3 = (x^3-y^3)-3xy(x-y)$
  6. Untuk semua bilangan bulat positif $n$ berlaku
    $$x^n-y^n = (x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\cdots+y^{n-1}).$$
  7. Untuk semua nilai $n$ ganjil berlaku
    $$x^n+y^n = (x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^2-\cdots+y^{n-1}),$$Perhatikan bahwa tanda ruas kanan selalu bergantian, dimulai dari positif $(+)$.

Today Quote

Hari-hari yang baik memberi kebahagiaan, sedangkan hari-hari yang buruk memberi pengalaman. Kedua-duanya sama-sama memberikan arti bagi kehidupan ini.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Jika $3x^2 = 15x + 3y$ dan $2y^2 = 2x + 10y,$ maka nilai dari $\sqrt{x^2+y^2+12} = \cdots \cdot$
A. $2$                       C. $6$                     E. $10$
B. $4$                      D. $8$

Pembahasan

Perhatikan bahwa kedua persamaan di atas dapat kita tulis dan sederhanakan menjadi seperti berikut.
$$\begin{cases} x^2 & = 5x + y && (\cdots 1) \\ y^2 & = x + 5y && (\cdots 2) \end{cases}$$Kurangkan kedua persamaan di atas sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} x^2-y^2 & = (5x-x)+(y-5y) \\ (x+y)(x-y) & = 4(x-y) \\ (x-y)(x+y-4) & = 0 \end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa $x-y = 0$ atau $x+y=4.$
Jika kedua persamaan sebelumnya dijumlahkan, kita peroleh
$$\begin{aligned} x^2+y^2 & = 6x + 6y \\ & = 6(x+y) \\ & = 6(4) = 24. \end{aligned}$$Jadi, didapat bahwa nilai dari $$\boxed{\sqrt{x^2+y^2+12} = \sqrt{24+12} = 6}$$(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 2

Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan real tak nol yang memenuhi $xy = \dfrac{x}{y}=x-y.$ Berapakah nilai dari $x + y$?
A. $-\dfrac32$                      D. $\dfrac12$
B. $-\dfrac12$                      E. $\dfrac32$
C. $0$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $xy = \dfrac{x}{y}.$ Dari sini, kita peroleh
$$\begin{aligned} xy \cdot y & = \dfrac{x}{\cancel{y}} \cdot \cancel{y} \\ xy^2 & = x \\ y^2 & = 1 && (\text{Bagi kedua ruas dengan}~x) \\ y & = \pm 1. \end{aligned}$$Kemungkinan 1: $y = 1$
Substitusi pada persamaan $xy = x-y$ mengakibatkan diperolehnya
$$\begin{aligned} x(1) & = x-1 \\ x & = x-1 \\ 0 & = -1. \end{aligned}$$Kita peroleh pernyataan yang bernilai salah (seharusnya $0 \neq -1$) sehingga tidak ada nilai $x$ yang memenuhi jika dipilih $y = 1.$
Kemungkinan 2: $y = -1$
Substitusi pada persamaan $xy = x-y$ mengakibatkan diperolehnya
$$\begin{aligned} x(-1) & = x-(-1) \\ -x & = x+1 \\ 2x & = -1 \\ x & = -\dfrac12. \end{aligned}$$Jadi, untuk $y = -1,$ diperoleh $x = -\dfrac12.$ Dengan demikian, nilai $\boxed{x + y = -\dfrac12 + (-1) = -\dfrac32}$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3

Nilai $xyz$ yang memenuhi persamaan $y + \dfrac{1}{z} = z + \dfrac{1}{x} = 1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-2$                        C. $0$                     E. $2$
B. $-1$                       D. $1$

Pembahasan

Tinjau persamaan $y + \dfrac{1}{z} = 1.$ Kalikan kedua ruas dengan $xz$ sehingga didapat
$$\begin{aligned} xz\left(y + \dfrac{1}{z}\right) & = xz(1) \\ xyz + x & = xz \\ xyz & = xz-x && (\cdots 1) \end{aligned}$$Tinjau persamaan $z + \dfrac{1}{x} = 1.$ Kalikan kedua ruas dengan $x$ sehingga didapat
$$\begin{aligned} x\left(z + \dfrac{1}{x}\right) & = x(1) \\ xz + 1 & = x \\ xz-x & = -1 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Substitusi persamaan $(2)$ pada persamaan $(1)$ sehingga diperoleh $$\boxed{xyz = xz-x = -1}$$(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4

Diberikan tiga bilangan positif $x, y,$ dan $z$ yang semuanya berbeda. Jika $\dfrac{y}{x-z} = \dfrac{x+y}{z} = \dfrac{x}{y},$ maka nilai $\dfrac{x}{y}$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $\dfrac12$                          D. $2$
B. $\dfrac35$                         E. $\dfrac{16}{3}$
C. $1$

Pembahasan

Diketahui bahwa $\dfrac{y}{x-z} = \dfrac{x}{y}.$ Kali silang sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} y(y) & = x(x-z) \\ y^2 & = \color{red}{x^2-xz}. \end{aligned}$$Diketahui juga bahwa $\dfrac{y}{x-z} = \dfrac{x+y}{z}.$ Kali silang lagi sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} yz & = (x-z)(x+y) \\ yz & = x^2+xy-xz-yz \\ 2yz & = \color{red}{(x^2-xz)} + xy \\ 2yz & = y^2+xy \\ 2z & = \color{blue}{y + x} && (\text{Bagi kedua ruas dengan}~y) \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat
$$\begin{aligned} \dfrac{x}{y} & = \dfrac{\color{blue}{x+y}}{z} \\ & = \dfrac{2z}{z} = \dfrac12. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\dfrac{x}{y}$ sama dengan $\boxed{\dfrac12}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5

Diketahui bahwa $$\dfrac{a+b+c}{d} = \dfrac{a+b+d}{c} = \dfrac{a+c+d}{b} = \dfrac{b+c+d}{a} = r$$untuk $a, b, c, d \neq 0$ dan $a+b+c+d \neq 0.$ Nilai $r$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $-3$                    C. $0$                   E. $3$
B. $-1$                    D. $1$

Pembahasan

Perhatikan bahwa kita dapat menuliskan persamaan di atas menjadi $4$ persamaan berbeda.
$$\begin{cases} \dfrac{a+b+c}{d} & = r && (\cdots 1) \\ \dfrac{a+b+d}{c} & = r && (\cdots 2) \\ \dfrac{a+c+d}{b} & = r && (\cdots 3) \\ \dfrac{b+c+d}{a} & = r && (\cdots 4) \end{cases}$$Selanjutnya, kalikan kedua ruas dengan $d, c, b, a$ berturut-turut pada persamaan $1, 2, 3, 4$ sehingga kita peroleh persamaan lain yang ekuivalen.
$$\begin{cases} a + b + c & = dr \\ a + b + d & = cr \\ a+c+d & = br \\ b+c+d & = ar \end{cases}$$Jumlahkan keempat persamaan ini sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} 3a+3b+3c+3d & = ar+br+cr+dr \\ 3\cancel{(a+b+c+d)} & = r\cancel{(a+b+c+d)} \\ r & = 3. \end{aligned}$$Jadi, nilai $r$ yang memenuhi adalah $\boxed{3}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 6

Diketahui $a+b+c = 2$ dan $ab + 2c + \dfrac{c^2}{2} = 1$ dengan $c \leq 2$. Nilai dari $a^2+b^2-2c^2=\cdots \cdot$
A. $1$                        C. $3$                        E. $5$
B. $2$                       D. $4$

Pembahasan

Dari persamaan $a+b+c=2$ dan $c \leq 2$ (memperbolehkan menguadratkan kedua ruas karena bentuk $(c-2)$ tidak bernilai negatif), kita peroleh
$$\begin{aligned} a+b & = 2-c \\ (a+b)^2 & = (2-c)^2 && (\text{Kuadratkan kedua ruas}) \\ a^2+2ab+b^2 & = 4-4c+c^2 \\ a^2+b^2 & = 4-4c-2ab+c^2 \\ a^2+b^2\color{red}{-2c^2} & = 4-4c-2ab+c^2\color{red}{-2c^2} \\ a^2+b^2-2c^2 & = 4-4c-2ab-c^2 \\ a^2+b^2-2c^2 & = 4-2\underbrace{\left(ab + 2c + \dfrac{c^2}{2}\right)}_{\text{sama dengan}~1} \\ a^2+b^2-2c^2 & = 4-2(1) = 2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{a^2+b^2-2c^2 = 2}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 7

Diketahui $x+y=xy=3$. Nilai $x^3+y^3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$                    C. $1$                          E. $9$
B. $0$                       D. $3$

Pembahasan

Untuk menjawab soal di atas, kita tidak perlu mencari nilai $x$ dan $y$, tetapi cukup mencari keterhubungan antara yang ditanya dengan yang diketahui melalui operasi aljabar pada bentuk pangkat.
Diketahui $x+y=3$ dan $xy = 3$.
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} (x+y)^3 & = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 \\ (x+y)^3 & = (x^3+y^3)+3xy(x+y) \\ 3^3 & = (x^3+y^3)+3(3)(3) \\ 27 & = (x^3+y^3)+27 \\ 0 & = x^3+y^3 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{x^3+y^3 = 0}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 8

Jika $x = \dfrac{\sqrt{111}-1}{2}$, maka nilai dari $$(2x^5+2x^4-53x^3-57x+54)^{2020}$$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-10$                  C. $0$                    E. $10$
B. $-1$                    D. $1$

Pembahasan

Dari persamaan $x = \dfrac{\sqrt{111}-1}{2}$, diperoleh
$$\begin{aligned} 2x & = \sqrt{111}-1 \\ 2x+1 & = \sqrt{111} \\ (2x+1)^2 & = (\sqrt{111})^2 \\ 4x^2+4x+1 & = 111 \\ 4x^2+4x & =110 \\ \color{red}{2x^2+2x} & \color{red}{= 55} \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} & 2x^5+2x^4-53x^3-57x+54 \\ & = x^3(\color{red}{2x^2+2x})-53x^3-57x+54 \\ & = 55x^3-53x^3-57x+54 \\ & = 2x^3-57x+54 \\ & = 2x^3+(2x^2-2x^2)-57x+54 \\ & = x(\color{red}{2x^2+2x})-2x^2-57x+54 \\ & = 55x-2x^2-57x+54 \\ & = -2x^2-2x+54 \\ & = -(\color{red}{2x^2+2x})+54 \\ & = -55 + 54 = -1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{(2x^5+2x^4-53x^3-57x+54)^{2020} = (-1)^{2020} = 1}$$(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 9

Jika $x^3+x^2+x-1=0$, maka $x^{2023}-2x^{2020} + x^{2019} + 1$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $-1$                        D. $2019$
B. $0$                            E. $2020$
C. $1$

Pembahasan

Diketahui $x^3+x^2+x-1=0.$
Persamaan tersebut ekuivalen dengan
$$\begin{aligned} x^3-1 & = \color{red}{-x^2-x} \\ x-1 & = \color{blue}{-x^3-x^2} \end{aligned}$$Kita akan peroleh
$$\begin{aligned} x^{2023}-2x^{2020}+x^{2019}+1& = x^{2023}- x^{2020}-x^{2020}+x^{2019} +1 \\ & = x^{2020} (x^3-1)-x^{2019}(x-1)+1 \\ & = x^{2020} \color{red}{(-x^2-x)}-x^{2019}\color{blue}{(-x^3-x^2)}+1 \\ & =\cancel{-x^{2022}}-\bcancel{x^{2021}}+\cancel{x^{2022}}+\bcancel{x^{2021}}+1=1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari
$$\boxed{x^{2023}-2x^{2020}+x^{2019}+1=1}$$(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10

Diketahui $n = \sqrt{\dfrac{2.000^4 + 21^4 + 2.021^4}{2}}$ merupakan bilangan bulat. Nilai dari $n-(2.000^2 + 21^2)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2.000$
B. $2.021$
C. $42.000$
D. $42.441$
E. $4.042.000$

Pembahasan

Diketahui $n = \sqrt{\dfrac{2.000^4 + 21^4 + 2.021^4}{2}}.$
Misalkan $a = 2.000$ dan $b = 21$ sehingga $a + b = 2.021.$
Sekarang, perhatikan bahwa kita dapat menyatakan $n$ sebagai berikut.
$$\begin{aligned} n & = \sqrt{\dfrac{a^4 + b^4 + (a+b)^4}{2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{a^4 + b^4 + (a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4)}{2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{2a^4 + 2b^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3}{2}} \\ & = \sqrt{a^4 + b^4 + 2a^3b + 3a^2b^2 + 2ab^3} \\ & = \sqrt{(a^4 + b^4 + 2a^2b^2) + a^2b^2 + 2ab(a^2 + b^2)} \\ & = \sqrt{(a^2 + b^2)^2 + a^2b^2 + 2ab(a^2 + b^2)} \end{aligned}$$Ingat bahwa bentuk $(\color{blue}{x} + \color{red}{y})^2 = \color{blue}{x}^2 + \color{red}{y}^2 + 2\color{blue}{x}\color{red}{y}.$ Anggap $\color{blue}{x = a^2 + b^2}$ dan $\color{red}{y = ab}$ sehingga kita dapat kembali menyederhanakan bentuk terakhir.
$$\begin{aligned} \sqrt{\color{blue}{(a^2 + b^2)^2} + \color{red}{a^2b^2} + 2\color{red}{ab}\color{blue}{(a^2 + b^2)}} & = \sqrt{(\color{blue}{a^2 + b^2} + \color{red}{ab})^2} \\ & = a^2 + b^2 + ab \end{aligned}$$Jadi, $n = 2.000^2 + 21^2 + 2.000 \cdot 21 \cdot 21$ sehingga nilai dari $n-(2.000^2 + 21^2)$ dapat kita hitung sebagai berikut.
$$\begin{aligned} n-(2.000^2 + 21^2) & = (\cancel{2.000^2} + \bcancel{21^2} + 2.000 \cdot 21)-(\cancel{2.000^2} + \bcancel{21^2}) \\ & = 2.000 \cdot 21 \\ & = 42.000 \end{aligned}$$(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11

Bilangan asli yang merupakan hasil dari $$\sqrt{\underbrace{111\cdots111}_{\text{ada}~2.022}-\underbrace{222\cdots222}_{\text{ada}~1.011}}$$adalah $\cdots \cdot$
A. $\underbrace{111\cdots111}_{\text{ada}~2.021}$
B. $\underbrace{222\cdots222}_{\text{ada}~1.011}$
C. $\underbrace{222\cdots222}_{\text{ada}~1.010}$
D. $\underbrace{333\cdots333}_{\text{ada}~1.011}$
E. $\underbrace{333\cdots333}_{\text{ada}~1.010}$

Pembahasan

Ide utamanya adalah dengan menggunakan kasus lain untuk bilangan yang lebih kecil, kemudian dianalisis polanya.
$$\begin{aligned} \sqrt{11-2} & = \sqrt{9} = 3 \\ \sqrt{1.111-22} & = \sqrt{11(101)-11(2)} = \sqrt{11(99)} = \sqrt{9(11)^2} = 3(11) = 33 \\ \sqrt{111.111-222} & = \sqrt{111(1001)-111(2)} = \sqrt{111(999)} = \sqrt{9(111)^2} = 3(111) = 333 \end{aligned}$$Dengan mengikuti langkah tersebut, kita dapat menyelesaikan kasus yang ditanya.
$$\begin{aligned} \sqrt{\underbrace{111\cdots111}_{\text{ada}~2.022}-\underbrace{222\cdots222}_{\text{ada}~1.011}} & = \sqrt{\underbrace{111\cdots111}_{\text{ada}~1.011}(1\underbrace{00\cdots00}_{\text{ada}~1.010}1)-(\underbrace{111\cdots111}_{\text{ada}~1.011})(2)} \\ & = \sqrt{(\underbrace{999\cdots999}_{\text{ada}~1.011})(\underbrace{111\cdots111}_{\text{ada}~1.011})} \\ & = \sqrt{9(\underbrace{111\cdots111}_{\text{ada}~1.011})^2} \\ & = 3(\underbrace{111\cdots111}_{\text{ada}~1.011}) \\ & = \underbrace{333\cdots333}_{\text{ada}~1.011} \end{aligned}$$Jadi, hasilnya adalah $\boxed{\underbrace{333\cdots333}_{\text{ada}~1.011}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 12

Jika $a, b, c, d$ adalah bilangan bulat positif dengan $a + b < c + d$ yang memenuhi sistem $\begin{cases} ac + bd & = 34 \\ ad + bc & = 43 \end{cases}$, maka nilai dari $c+d-a-b=\cdots \cdot$
A. $76$                      C. $12$                 E. $4$
B. $38$                     D. $6$

Pembahasan

Jumlahkan kedua persamaan dari sistem tersebut sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} (ac + bd) + (ad+bc) & = 34+43 \\ a(c + d) + b(c + d) & = 77 \\ (a+b)(c+d) & = 77. \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $77$ dapat ditulis sebagai perkalian dua bilangan bulat positif, yaitu $1 \times 77$ atau $7 \times 11$ (dan kebalikannya). Karena $a, b, c, d$ adalah bilangan bulat positif dan $a+b<c+d,$ maka satu-satunya kasus yang mungkin adalah dengan mengambil $a + b = 7$ dan $c + d = 11.$ Dengan demikian,
$$\begin{aligned} c+d-a-b & = (c+d)-(a+b) \\ & = 11-7 \\ & = 4. \end{aligned}$$(Jawaban E)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Peserta kompetisi matematika di suatu kota pada tahun ini $10\%$ lebih banyak dibandingkan dengan tahun lalu. Jumlah peserta laki-laki naik $5\%$ dan jumlah peserta perempuan naik $20\%$. Berapa persentase jumlah peserta perempuan pada tahun ini?

Pembahasan

Misalkan:
$$\begin{aligned} x & = \text{jumlah peserta laki-laki tahun lalu} \\ y & = \text{jumlah peserta perempuan tahun lalu} \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} & \text{Jumlah peserta tahun ini adalah}~1,1(x+y) \\ & \text{Jumlah peserta laki-laki tahun ini adalah}~1,05x \\ & \text{Jumlah peserta perempuan tahun ini adalah}~1,2y \end{aligned}$$Diperoleh persamaan berikut.
$$\begin{aligned} 1,1(x+y) & = 1,05x + 1,2y \\ 1,1x+1,1y & = 1,05x + 1,2y \\ 0,05x & = 0,1y \\ x & = 2y \end{aligned}$$Persentase jumlah peserta perempuan tahun ini adalah
$$\begin{aligned} \dfrac{1,2y}{1,1(x+y)} \times 100\% & = \dfrac{1,2y}{1,1(2y+y)} \times 100\% \\ & = \dfrac{1,2}{3,3} \times 100\% \\ & = \dfrac{4}{11} \times 100\% \\ & \approx 36,36\%. \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 2

Jika $a + b + c = 0$ dengan $a, b, c \neq 0$, tunjukkan bahwa $$\dfrac{(a + b)^3 + (b+c)^3 + (a+c)^3}{abc} = -3.$$

Pembahasan

Diketahui $a + b + c = 0$ sehingga
$\begin{cases} a + b & =-c \\ b+c & = -a \\ a+c & = -b \end{cases}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{(a + b)^3 + (b+c)^3 + (a+c)^3}{abc} & = \dfrac{(-c)^3 + (-a)^3 + (-b)^3}{abc} \\ & = \dfrac{-a^3-b^3-c^3}{abc} \\ & = -\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc} \end{aligned}$$Selanjutnya, perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} a + b & = -c \\ (a+b)^3 & = (-c)^3 && (\text{Kedua ruas dipangkatkan 3}) \\ a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 & = -c^3 \\ a^3+b^3+3ab(a+b) & = -c^3 \\ a^3+b^3+c^3 & = -3ab(a+b) \\ a^3+b^3+c^3 & = -3ab(-c) && (\text{Ingat}~a+b=-c) \\ a^3+b^3+c^3 & = 3abc \end{aligned}$$Oleh karena itu,
$$-\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc} = -\dfrac{3\cancel{abc}}{\cancel{abc}} = -3$$Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{(a + b)^3 + (b+c)^3 + (a+c)^3}{abc} = -3.$

[collapse]

Soal Nomor 3

Akar-akar persamaan $x^3-x+1=0$ adalah $a, b$, dan $c$. Tentukan nilai dari $a^{16}+b^{16}+c^{16}.$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} x^3-x+1 & = 0 \\ \Rightarrow x^3 & = x-1 \\ \Rightarrow x^4 & = x^2-x \end{aligned}$
sehingga
$$\begin{aligned} x^8 & = (x^4)^2 \\ & = (x^2-x)^2 \\ & = x^4-2x^3+x^2 \\ & = (x^2-x)-2(x-1)+x^2 \\ & = 2x^2-3x+2 \\ x^{16} & = (2x^2-3x+2)^2 \\ & = 4x^4-6x^3+4x^2-6x^3+9x^2-6x+4x^2-6x+4 \\ & = 4x^4-12x^3+17x^2-12x+4 \\ & = 4(x^2-x)-12(x-1)+17x^2-12x+4 \\ x^{16} & = 21x^2-28x+16 \end{aligned}$$Karena $a, b, c$ akar persamaan, maka diperoleh
$\begin{cases} a^{16} & = 21a^2-28a+16 \\  b^{16} & = 21b^2-28b+16 \\ c^{16} & = 21c^2-28c+16 \end{cases}$
Perhatikan juga bahwa dari $x^3-x+1 = 0$, maka dengan menggunakan Teorema Vieta, diperoleh
$\begin{cases} a+b+c & = -\dfrac{\text{Koefisien}~x^2}{\text{Koefisien}~x^3} = -\dfrac{0}{1} = 0 \\ ab+ac+bc & = \dfrac{\text{Koefisien}~x}{\text{Koefisien}~x^3} = \dfrac{-1}{1} = -1 \\ abc & = -\dfrac{\text{Konstanta}}{\text{Koefisien}~x^3} = -\dfrac{1}{1} = -1 \end{cases}$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} a^{16}+b^{16}+c^{16} & = (21a^2-28a+16)+(21b^2-28b+16)+(21c^2-28c+16) \\ & = 21(a^2+b^2+c^2)-28(a+b+c)+48 \\ & = 21\left[(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)\right]-28(a+b+c)+48 \\ & = 21\left[0^2-2(-1)\right]-28(0)+48 \\ & = 21(2)+48 = 90 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{a^{16}+b^{16}+c^{16} = 90}$

[collapse]

Soal Nomor 4

Rata-rata nilai yang diperoleh dari $100$ siswa dalam suatu kelas adalah $79.$ Jika nilai rata-rata yang didapat oleh semua siswa perempuan adalah $75,$ sedangkan nilai rata-rata yang didapat oleh semua siswa laki-laki sama dengan banyak siswa laki-laki di kelas tersebut, maka berapakah banyak siswa perempuan di kelas tersebut?

Pembahasan

Misalkan $N_l$ dan $N_p$ berturut-turut menyatakan banyak siswa laki-laki dan siswa perempuan di kelas tersebut sehingga $N_l + N_p = 100,$ ekuivalen dengan $N_p = 100-N_l.$
Diketahui rata-rata nilai $100$ siswa adalah $79.$ Jumlah nilai siswa perempuan adalah $75N_p,$ sedangkan jumlah nilai siswa laki-laki adalah $N_l \cdot N_l = N_l^2.$ Dari sini, dapat kita tuliskan
$$\begin{aligned} \overline{x} & = \dfrac{\Sigma F}{N_{\text{total}}} \\ 79 & = \dfrac{75N_p + N_l^2}{N_l + N_p} \\ 79N_l + 79N_p & = 75N_p + N_l^2 \\ N_l^2-4N_p-79N_l & = 0 \\ N_l^2-4(100-N_l)-79N_l & = 0 \\ N_l^2-75N_l-400 & = 0 \\ (N_l-80)(N_l+5) & = 0 \\ N_l = 80~ \text{atau}~N_l & = -5 \end{aligned}$$Karena $N_l$ menyatakan banyak orang, nilainya tidak mungkin negatif. Jadi, ambil $N_l = 80$ sehingga berakibat $N_p = 100-80 = 20.$
Jadi, banyak siswa perempuan di kelas tersebut adalah $\boxed{20~\text{orang}}$.

[collapse]

Soal Nomor 5

Diketahui terdapat bilangan real $x, y, z$ sedemikian sehingga $x + y + z = 2.022$ dan $\dfrac{z}{x+y} + \dfrac{y}{x + z} + \dfrac{x}{y + z} = 34.$ Tentukan nilai dari $\dfrac{1}{x + y} + \dfrac{1}{x + z} + \dfrac{1}{y + z}.$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $x + y + z = 2.022.$ Selanjutnya,
$$\begin{aligned} \dfrac{z}{x+y} + \dfrac{y}{x + z} + \dfrac{x}{y + z} & = 34 \\ \left(1 + \dfrac{z}{x+y}\right) + \left(1 + \dfrac{y}{x + z}\right) + \left(1 + \dfrac{x}{y + z}\right) & = 37 \\ \left(\dfrac{x+y}{x+y} + \dfrac{z}{x+y}\right) + \left(\dfrac{x+z}{x+z} + \dfrac{y}{x + z}\right) + \left(\dfrac{y+z}{y+z} + \dfrac{x}{y + z}\right) & = 37 \\ \dfrac{x+y+z}{x+y} + \dfrac{x+y+z}{x+z} + \dfrac{x+y+z}{y+z} & = 37 \\ (x + y + z) \cdot \left(\dfrac{1}{x + y} + \dfrac{1}{x + z} + \dfrac{1}{y + z}\right) & = 37 \\ 2.022 \cdot \left(\dfrac{1}{x + y} + \dfrac{1}{x + z} + \dfrac{1}{y + z}\right) & = 37 \\ \dfrac{1}{x + y} + \dfrac{1}{x + z} + \dfrac{1}{y + z} & = \dfrac{37}{2.022}. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\dfrac{1}{x + y} + \dfrac{1}{x + z} + \dfrac{1}{y + z} = \dfrac{37}{2.022}}$$

[collapse]

5 1 vote
Article Rating

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini jika ada kesalahan pengetikan sekecil apa pun, seperti kesalahan pengetikan, kode LaTeX yang tidak berjalan, atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Subscribe
Notify of
guest

0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x