Soal dan Pembahasan – Persamaan Diferensial (Tingkat Dasar)

Jawaban a)
Persamaan diferensial orde dua (dari ekspresi $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$) dan termasuk persamaan linear.
Jawaban b)
Persamaan diferensial orde dua (dari ekspresi $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$), tetapi bukan termasuk persamaan linear karena suku keduanya, yaitu $-x\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^2$ mengandung turunan $y$ berpangkat $2$.
Jawaban c)
Persamaan diferensial orde dua (dari ekspresi $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}t^2}$), tetapi bukan termasuk persamaan linear karena suku pertamanya, yaitu $(1+y^2)\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}t^2}$ mengandung perkalian variabel terikat $y$ dengan turunannya.
Jawaban d)
Persamaan diferensial orde empat (dari ekspresi $\dfrac{\text{d}^4y}{\text{d}t^4}$) dan termasuk persamaan linear.

Ingat bahwa
$\boxed{\begin{aligned}&\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\sin x = \cos x \\ & \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\cos x = -\sin x. \end{aligned}}$
Dari bentuk $y = A \sin x + B \cos x,$ turunkan kedua ruas terhadap $x$, diperoleh $ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = A \cos x -B \sin x.$
Turunkan sekali lagi terhadap $x$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} & = -A \sin x -B \cos x \\ &  = -(A \sin x + B \cos x) = -y. \end{aligned}$
Dengan demikian, kita dapatkan $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + y = 0.$
Jadi, bentuk persamaan diferensial dari persamaan $y = A \sin x + B \cos x$ adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + y = 0}.$

Diberikan $y = x + \dfrac{A}{x}.$
Turunkan kedua ruas terhadap $x$, diperoleh
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 1 -\dfrac{A}{x^2}$ $\bigstar$
Karena $y = x + \dfrac{A}{x}$, dengan menempatkan $A$ pada satu ruas, diperoleh $A = x(y -x).$
Substitusikan $A$ ini ke $\bigstar$, didapat
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 1 -\dfrac{x(y-x)}{x^2} \\ & = 1 -\dfrac{y-x}{x} \\ & =\dfrac{2x-y}{x}. \end{aligned}$
Jadi, persamaan diferensialnya adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \dfrac{2x-y}{x}}$ atau $\boxed{x \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 2x -y}.$

Ingatlah rumus turunan fungsi transenden berikut, dengan $u$ menyatakan fungsi dalam variabel bebas $x$.
$$\boxed{\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}e^u = u’e^u}$$Karena ada satu konstanta sembarang, dibutuhkan $2$ persamaan untuk mengeliminasinya dan orde tertinggi dari turunannya adalah $1$.
Persamaan $1$: $y = Ce^{-4x}. \tag{1}$
Turunkan terhadap $x$, diperoleh
Persamaan $2$: $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = -4Ce^{-4x}. \tag{2}$
Dari Persamaan $1$: $C = \dfrac{y}{e^{-4x}}$, substitusikan $C$ ke Persamaan $2$ untuk mendapatkan
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = -4 \cdot \dfrac{y}{\cancel{e^{-4x}}} \cdot \cancel{e^{-4x}} \\   \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = -4y \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 4y & = 0 \end{aligned}$$Jadi, persamaan diferensial yang dimaksud adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 4y = 0}.$

Persamaan 1: $y = x^3 + Ax^2 + Bx + C.$
Turunkan terhadap $x$, diperoleh
Persamaan 2: $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 3x^2 + 2Ax + B.$
Turunkan terhadap $x$, diperoleh
Persamaan 3: $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} = 6x + 2A.$
Turunkan terhadap $x$, diperoleh
Persamaan 4: $\dfrac{\text{d}^3y}{\text{d}x^3} = 6.$
Jadi, persamaan diferensial yang dimaksud adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}^3y}{\text{d}x^3} -6 = 0}.$

Karena ada satu konstanta sembarang, dibutuhkan $2$ persamaan untuk mengeliminasinya dan orde tertinggi dari turunannya adalah $1$.
Persamaan $1$:
$r = a(1 -\cos \theta). \tag{1}$
Turunkan $r$ terhadap $\theta$, diperoleh
Persamaan 2:
$\dfrac{\text{d}r}{\text{d}\theta} = a \sin \theta. \tag{2}$
Substitusikan $a = \dfrac{r}{1 -\cos \theta}$ dari Persamaan $1$ ke Persamaan $2.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}r}{\text{d}\theta} & = \dfrac{r}{1 -\cos \theta}\times \sin \theta \\ (1 -\cos \theta)\dfrac{dr}{d\theta} & = r \sin \theta. \end{aligned}$$Jadi, persamaan diferensialnya adalah $\boxed{(1 -\cos \theta)\dfrac{\text{d}r}{\text{d}\theta} = r \sin \theta}.$

Karena ada $1$ konstanta sembarang, diperlukan dua persamaan untuk mengeliminasinya dan orde tertinggi dari turunannya adalah $1$.
Persamaan $1$:
$(x-c)^2 + y^2 = r^2.  \tag{1}$
Turunkan terhadap $x$, diperoleh
Persamaan $2$:
$2(x-c) + 2y\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 0. \tag{2}$
Dari Persamaan $2$, diperoleh $x -c = -y\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}.$
Substitusikan ke Persamaan $1$ sehingga diperoleh
$\left(-y\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^2 + y^2 = r^2$
$y^2\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^2 + y^2 = r^2.$
Jadi, persamaan diferensial yang dimaksud adalah $\boxed{y^2\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^2 + y^2 = r^2}.$

Diberikan persamaan $x = y -(y^2 + 1).$
Turunkan terhadap $y$ sehingga diperoleh $\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y} = 1 -2y.$
Jadi, persamaan diferensialnya $\boxed{\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y} = 1 -2y}.$

Jawaban a)
Misalkan
$y = Ae^x + B. \tag{1}$
Turunkan $y$ terhadap $x$, diperoleh
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = Ae^x. \tag{2}$
Turunkan sekali lagi,
$\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} = Ae^x. \tag{3}$
Dari Persamaan $2$ dan $3$, kita peroleh
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} \Leftrightarrow \dfrac{d^2y}{dx^2} -\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 0.$
Jadi, persamaan diferensialnya adalah
$\boxed{\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} -\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 0}.$
Jawaban b)
Misalkan
$x = A \sin (y + B). \tag{1}$
Turunkan $x$ terhadap $y$, diperoleh
$\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y} = A \cos (y + B). \tag{2}$
Turunkan sekali lagi,
$\dfrac{\text{d}^2x}{\text{d}y^2} = -A \sin (y + B). \tag{3}$
Dari Persamaan $1$ dan Persamaan $3$, kita dapatkan
$x = -\dfrac{\text{d}^2x}{\text{d}y^2} \Leftrightarrow \dfrac{\text{d}^2x}{\text{d}y^2} + x = 0.$
Jadi, persamaan diferensialnya adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}^2x}{\text{d}y^2} + x = 0}.$

Misalkan turunan pertama $f_1$ dan  $f_2$ berturut-turut adalah  $f_1’$ dan $f_2’$.
Dari hipotesis, kita peroleh dua persamaan berikut:
$\begin{cases} f_1′ + P(x)f_1 = Q_1(x) \\ f_2′ + P(x)f_2 = Q_2(x)\end{cases}$ ($\bigstar$)
Untuk membuktikan bahwa  $f_1 + f_2$ merupakan solusi dari persamaan  $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + P(x)y = Q_1(x) + Q_2(x)$, substitusikan $y = f_1 + f_2$, dengan $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = f_1′ + f_2’$ ke ruas kirinya sehingga diperoleh
$f_1′ + f_2′ + P(x)(f_1 + f_2)$
$= (f_1′ + P(x)f_1) + (f_2′ + P(x)f_2).$
Dengan menggunakan ($\bigstar$), diperoleh
$= Q_1(x) + Q_2(x).$
(Terbukti) $\blacksquare$

Misalkan $y$ adalah fungsi dari $x$ sehingga
$\begin{aligned} 2y^{\prime \prime} -8 & = 0 \\ y^{\prime \prime} & = 4 \\ \int y^{\prime \prime}~\text{d}y &  = \int~4~\text{d}x \\ y’ & = 4x + C \\ \int y’~\text{d}y & = \int (4x + C)~\text{d}x \\ y & = 2x^2 + Cx + D. \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian umum dari persamaan diferensial di atas adalah $\boxed{y = 2x^2 + Cx + D}$ dengan $C$ dan $D$ merupakan konstanta sembarang.