Materi, Soal, dan Pembahasan – Pertumbuhan dan Peluruhan

Pertumbuhan dan peluruhan merupakan salah satu penerapan fungsi eksponen dalam dunia nyata. Pertumbuhan yang dimaksud di sini adalah penambahan jumlah/kandungan objek tertentu yang teratur setiap periodenya dengan mengikuti barisan geometri, sedangkan peluruhan adalah lawannya, yaitu jumlah/kandungan objek tersebut berkurang. Objek yang dimaksud di sini biasanya berupa: penduduk, luas tanah, harga barang, mikroorganisme, zat kimia, dan lain sebagainya.

Pertumbuhan dan peluruhan masing-masing memiliki 2 jenis, yaitu linear dan eksponensial. Pertumbuhan dan peluruhan dikatakan linear jika setiap periodenya menghasilkan selisih nilai yang konstan dan dimodelkan sebagai suatu garis lurus, sedangkan dikatakan eksponensial jika setiap periodenya menghasilkan selisih nilai yang memenuhi grafik fungsi eksponen. Di sesi ini, kita mengutamakan pertumbuhan dan peluruhan eksponensial.

Baca: Soal dan Pembahasan – Fungsi Eksponen (Pangkat) 

Pertumbuhan dan Peluruhan

Pertumbuhan secara eksponensial dinyatakan sebagai berikut.
$$\boxed{P_n = P_0(1+i)^n}$$dengan 
$$\begin{aligned} P_n & = \text{Jumlah/kandungan objek pada saat periode ke-}~n \\ P_0 & = \text{Jumlah/kandungan objek mula-mula} \\ i & = \text{Persentase pertumbuhan} \\ n & = \text{Periode} \end{aligned}$$Peluruhan secara eksponensial dinyatakan dengan rumus yang hampir sama, tetapi operasinya pengurangan, bukan penjumlahan.
$$\boxed{P_n = P_0(1-i)^n}$$

Peluruhan Zat Radioaktif

Salah satu contoh fungsi peluruhan atau fungsi pertumbuhan negatif yang cukup dikenal dalam dunia sains adalah peluruhan zat radioaktif. Zat radioaktif adalah zat yang akan meluruh menjadi zat lain sambil memancarkan sinar radioaktif (sinar alfa, sinar beta, dan sinar gamma), contohnya uranium (U), plutonium (Pu), thorium (Th), curium (Cu), radon (Rn), dan lain-lain. Sinar radioaktif, terutama sinar gamma ($\gamma$), dimanfaatkan dalam bidang kedokteran untuk mendiagnosis sel kanker, sekaligus berpotensi menghancurkan sel kanker tersebut.

Karena zat radioaktif meluruh menjadi zat lain, jumlah zat akan berkurang seiring dengan berjalannya waktu. Jumlah zat radioaktif sebanding dengan aktivitas radiasi (besaran yang diukur) sehingga dengan berlalunya waktu, aktivitas radiasi juga akan berkurang. Misalkan pada saat awal $(t = 0),$ suatu zat radioaktif memiliki massa $N_0,$ maka massa ini akan berkurang mengikuti fungsi eksponensial terhadap waktu.

Peluruhan zat radioaktif (radioactive decay mode) umumnya menggunakan waktu paruh, yaitu waktu yang diperlukan oleh suatu zat radioaktif untuk meluruh sehingga massanya menjadi setengah (separuh) kali massa mula-mula. Hubungan massa mula-mula, sisa massa setelah peluruhan, dan waktu paruh dinyatakan oleh rumus barisan geometri dengan suku pertama $a = N_0$ dan rasio $r = \dfrac12,$ yaitu
$$N = N_0\left(\dfrac12\right)^n$$dengan $n = \dfrac{t}{T^{1/2}}.$
Keterangan:

$N$ = banyaknya zat radioaktif yang tersisa
$N_0$ = banyaknya zat radioaktif mula-mula
$t$ = lamanya peluruhan
$T^{1/2}$ = waktu paruh

Berikut ini telah disediakan beberapa soal dan pembahasan terkait pertumbuhan dan peluruhan. Soal-soal ini dikumpulkan dari berbagai referensi. Kebanyakan soal pada submateri fungsi eksponen ini memerlukan bantuan kalkulator dalam proses perhitungan jawabannya.

Quote by Thomas Edison

Kelemahan terbesar kita terletak pada “menyerah”. Cara paling pasti untuk sukses adalah selalu mencoba sekali lagi.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Penduduk di suatu kota $X$ mencapai $2$ juta jiwa pada tahun $2020.$ Bila jumlah penduduk meningkat dengan laju $2\%$ per tahun, maka penduduk di kota tersebut pada tahun $2025$ diperkirakan sebanyak $\cdots \cdot$
A. $2.102.020$ jiwa
B. $2.164.864$ jiwa
C. $2.200.000$ jiwa
D. $2.208.162$ jiwa
E. $2.252.324$ jiwa

Pembahasan

Diketahui:
$$\begin{aligned} P_0 & = 2.000.000 \\ i & = 2\% = 0,02 \\ n & = 2025-2020 = 5 \end{aligned}$$Jumlah penduduk pada tahun $2025$ yang dinotasikan $P_5$ dapat dicari dengan cara berikut.
$$\begin{aligned} P_n & = P_0(1+i)^n \\ P_5 & = 2.000.000(1+0,02)^5 \\ & = 2.000.000(1,02)^5 \\ & \approx 2.208.162 \end{aligned}$$Jadi, penduduk di kota $X$ pada tahun $2025$ diperkirakan sebanyak $\boxed{2.208.162~\text{jiwa}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2
Ketika sedang memeriksa seorang bayi yang menderita infeksi telinga, dokter spesialis THT (Telinga, Hidung, dan Tenggorokan) mendiagnosis bahwa mungkin terdapat $1.000.000$ unit bakteri yang menginfeksi. Pemberian penisilin yang diresepkan dokter diperkirakan dapat membunuh $5\%$ dari jumlah bakteri yang ada setiap $4$ jam. Jumlah bakteri setelah $12$ jam akan tersisa $\cdots \cdot$
A. $1.157.625$ unit
B. $902.500$ unit
C. $857.375$ unit
D. $814.506$ unit
E. $800.000$ unit

Pembahasan

Diketahui:
$$\begin{aligned} P_0 & = 1.000.000 \\ i & = 5\% = 0,05 \\ n & = 12 \div 4 = 3 \end{aligned}$$Jumlah bakteri setelah $12$ jam yang dinotasikan $P_3$ dapat dicari dengan cara berikut.
$$\begin{aligned} P_n & = P_0(1-i)^n \\ P_3 & = 1.000.000(1-0,05)^3 \\ & = 1.000.000(0,95)^3 \\ & = 857.375 \end{aligned}$$Jadi, jumlah bakteri setelah $12$ jam akan tersisa $\boxed{857.375~\text{unit}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Eksponen 

Soal Nomor 3
Seorang ilmuwan memiliki bahan radioaktif $X$ dengan massa $200$ gram. Jika bahan $X$ menyusut sebesar $10\%$ tiap $10$ hari, maka massa bahan $X$ setelah $100$ hari sekitar $\cdots \cdot$
A. $518,75$ gram
B. $180,88$ gram
C. $77,48$ gram
D. $69,74$ gram
E. $62,76$ gram

Pembahasan

Diketahui:
$$\begin{aligned} P_0 & = 200 \\ i & = 10\% = 0,1 \\ n & = 100 \div 10 = 10 \end{aligned}$$Massa bahan $X$ setelah $100$ hari dinotasikan $P_{10}.$
$$\begin{aligned} P_n & = P_0(1-i)^n \\ P_{10} & = 200(1-0,1)^{10} \\ & = 200(0,9)^{10} \\ & \approx 69,74 \end{aligned}$$Jadi, massa bahan $X$ setelah $100$ hari sekitar $\boxed{69,74~\text{gram}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Suatu bahan radioaktif yang bermassa $125$ gram mengalami reaksi kimia sehingga menyusut $12\%$ dari massa sebelumnya setiap $12$ jam secara eksponensial. Massa bahan radioaktif tersebut setelah $3$ hari sekitar $\cdots \cdot$
A. $85,18$ gram
B. $74,96$ gram
C. $58,05$ gram
D. $44,95$ gram
E. $26,96$ gram

Pembahasan

Diketahui:
$$\begin{aligned} P_0 & = 125 \\ i & = 12\% = 0,12 \\ n & = 3~\text{hari} \div 12~\text{jam} = 6 \end{aligned}$$Massa bahan radioaktif tersebut setelah $3$ hari dinotasikan $P_{6}.$
$$\begin{aligned} P_n & = P_0(1-i)^n \\ P_{6} & = 125(1-0,12)^{6} \\ & = 125(0,88)^{6} \\ & \approx 58,05 \end{aligned}$$Jadi, massa bahan radioaktif tersebut setelah $3$ hari sekitar $\boxed{58,05~\text{gram}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5
Suatu radioaktif mineral meluruh secara eksponensial dengan laju peluruhan $8\%$ setiap jam. Persentase kadar radioaktif mineral tersebut setelah $3$ jam adalah $\cdots \cdot$
A $125,97\%$                       D. $71,64\%$
B. $84,64\%$                       E. $22,13\%$
C. $77,87\%$

Pembahasan

Diketahui:
$$\begin{aligned} i & = 8\% = 0,08 \\ n & = 3 \end{aligned}$$Misalkan kadar radioaktif mineral tersebut mula-mula adalah $P_0,$ sedangkan kadar setelah peluruhan selama $3$ jam adalah $P_3.$ Kita peroleh
$$\begin{aligned} P_n & = P_0(1-i)^n \\ P_{3} & = P_0(1-0,08)^{3} \\ & \approx P_0(0,7787) \end{aligned}$$Jadi, persentase kadar bahan radioaktif tersebut setelah $3$ jam sekitar $\boxed{0,7787 \cdot 100\% = 77,87\%}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Pangkat (Eksponen) Sederhana 

Soal Nomor 6
Pesatnya pembangunan pemukiman mengakibatkan daerah pesawahan semakin lama semakin sempit. Menurut data statistik, pada tahun 2019, total areal sawah di suatu daerah adalah sekitar $400$ ha dan setiap tahunnya berkurang $5\%$ dari tahun sebelumnya. Perkiraan areal sawah pada tahun 2031 di daerah tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $208$ ha                     D. $220$ ha
B. $212$ ha                      E. $228$ ha
C. $216$ ha

Pembahasan

Diketahui:
$$\begin{aligned} P_0 & = 400~\text{ha} \\ i & = 5\% = 0,05 \\ n & = 2031-2019 = 12 \end{aligned}$$Perkiraan areal sawah pada tahun 2031 yang dinotasikan $P_{12}$ dapat dicari dengan cara berikut.
$$\begin{aligned} P_n & = P_0(1-i)^n \\ P_{12} & = 400(1-0,05)^{12} \\ & = 400(0,95)^{12} \\ & \approx 216 \end{aligned}$$Jadi, perkiraan areal sawah pada tahun 2031 di daerah tersebut adalah $\boxed{216~\text{ha}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui tingkat pertumbuhan penduduk di suatu daerah adalah $10\%$ per tahun. Kenaikan jumlah penduduk dalam kurun waktu $4$ tahun adalah $\cdots \cdot$
A. $40\%$                         D. $46,4\%$
B. $42\%$                         E. $61,1\%$
C. $43,8\%$

Pembahasan

Diketahui:
$$\begin{aligned} i & = 10\% = 0,1 \\ n & = 4 \end{aligned}$$Akan dicari persentase nilai $P_4$ terhadap $P_0.$
$$\begin{aligned} P_n & = P_0(1+i)^n \\ P_4 & = P_0(1+0,1)^4 \\ P_4 & = P_0(1,4641) \\ & = P_0(1 + 0,4641) \\ & = P_0 + \color{red}{46,41\%}P_0 \end{aligned}$$Jadi, kenaikan jumlah penduduk dalam kurun waktu $4$ tahun adalah $46,41\%$ atau dibulatkan menjadi $\boxed{46,4\%}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Pada pukul $05.00$ pagi, massa suatu zat radioaktif adalah $0,5$ kg. Apabila diketahui laju peluruhan zat radioaktif tersebut sebesar $2\%$ setiap jam, maka sisa zat radioaktif itu pada pukul $09.00$ pagi adalah $\cdots \cdot$
A. $451,96~\text{g}$
B. $460,00~\text{g}$
C. $461,18~\text{g}$
D. $470,60~\text{g}$
E. $552,04~\text{g}$

Pembahasan

Diketahui:
$$\begin{aligned} P_0 & = 0,5~\text{kg} = 500~\text{g} \\ i & = 2\% = 0,02 \\ n & = \left[09.00-05.00\right] = 4 \end{aligned}$$Sisa zat radioaktif pada pukul $09.00$ pagi yang dinotasikan $P_4$ dapat dicari dengan cara berikut.
$$\begin{aligned} P_n & = P_0(1-i)^n \\ P_4 & = 500(1-0,02)^4 \\ & = 500(0,98)^4 \\ & \approx 461,18 \end{aligned}$$Jadi, sisa zat radioaktif itu pada pukul $09.00$ pagi adalah $\boxed{461,18~\text{g}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9
Suatu zat radioaktif dengan massa $200$ gram memiliki waktu paruh $5$ tahun. Berapa tahun waktu yang diperlukan zat radioaktif tersebut sehingga massanya menjadi $3,125$ gram?
A. $15$ tahun                       D. $30$ tahun
B. $20$ tahun                     E. $35$ tahun
C. $25$ tahun

Pembahasan

Diketahui:
$$\begin{aligned} N_0 & = 200~\text{gram} \\ N & = 3,125~\text{gram} \\ T^{1/2} & = 5~\text{tahun} \end{aligned}$$Kita akan mencari nilai $t.$
$$\begin{aligned} N & = N_0\left(\dfrac12\right)^{n} \\ 3,125 & = 200\left(\dfrac12\right)^{n} \\ \dfrac{3,125}{200} & = \left(\dfrac12\right)^n \\ \dfrac{1}{64} & = \left(\dfrac12\right)^n \end{aligned}$$Bentuk terakhir menunjukkan bahwa nilai $n = 6.$ Karena $n = \dfrac{t}{T^{1/2}},$ maka kita peroleh
$$\begin{aligned} t & = N \cdot T^{1/2} \\ & = 6 \cdot 5~\text{tahun} \\ & = 30~\text{tahun} \end{aligned}$$Jadi, waktu yang diperlukan oleh zat radioaktif tersebut adalah $\boxed{30~\text{tahun}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 10
Seorang dokter menemukan suatu jenis bakteri baru. Ketika ditemukan, bakteri tersebut berjumlah $100.000$ unit, sedangkan jumlahnya sekarang telah menjadi $249.000$ unit. Jika diketahui laju pertumbuhan bakteri itu sebesar $20\%$ setiap harinya, maka sudah berapa hari bakteri itu ditemukan oleh dokter tersebut?
A. $2$ hari
B. $3$ hari
C. $5$ hari
D. $6$ hari
E. $8$ hari

Pembahasan

Diketahui:
$$\begin{aligned} P_0 & = 100.000 \\ P_n & = 249.000 \\ i & = 20\% = 0,2 \end{aligned}$$Akan dicari lamanya hari sejak bakteri telah ditemukan oleh dokter itu, dinotasikan oleh $n.$
$$\begin{aligned} P_n & = P_0(1+i)^n \\ 249.000 & = 100.000(1+0,2)^n \\ \dfrac{249.000}{100.000} & = (1,2)^n \\ n & = ^{1,2} \log \dfrac{249.000}{100.000} \\ n & \approx 5 \end{aligned}$$Jadi, sudah sekitar $\boxed{5}$ hari bakteri itu ditemukan oleh dokter tersebut.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11
Unsur radioisotop digunakan untuk teknologi pembasmi hama. Unsur ini memiliki waktu paruh 3 jam. Jika mula-mula zat tersimpan sebanyak 5 gram, maka massa zat yang tersisa setelah meluruh selama satu hari adalah $\cdots$ gram.
A. $0,0190$                      D. $0,195$
B. $0,0193$                      E. $0,320$
C. $0,0195$

Pembahasan

Diketahui:
$$\begin{aligned} N_0 & = 5~\text{g} \\ t & = 1~\text{hari} = 24~\text{jam} \\ T^{1/2} & = 3~\text{jam} \end{aligned}$$Ditanya: $N_t = \cdots \cdot$
Dengan menggunakan persamaan peluruhan zat radioaktif, yaitu $N_t = N_0\left(\dfrac12\right)^{\dfrac{t}{T^{1/2}}}$, kita peroleh
$$\begin{aligned} N_t & = 5\left(\dfrac12\right)^{\dfrac{24}{3}} \\ & = 5\left(\dfrac12\right)^8 \\ & = 5 \cdot \dfrac{1}{256} \approx 0,0195 \end{aligned}$$Jadi, massa zat yang tersisa setelah meluruh selama satu hari adalah $\boxed{0,0195~\text{gram}}$ 
(Jawaban C)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma (Versi HOTS dan Olimpiade 

Soal Nomor 12
Suku Bajo merupakan suku nomaden yang hidup di atas laut sehingga disebut gipsi laut. Saat ini mereka tersebar di Filipina, Malaysia, dan Indonesia. Populasi penduduk suku Bajo meningkat secara eksponensial berdasarkan rumus $$P_t = P_02^{rt},$$ dengan $P_t$ adalah jumlah penduduk pada tahun ke-$t$, $P_0$ adalah jumlah penduduk mula-mula, $t$ adalah jangka waktu dalam satuan tahun, dan $r$ adalah laju pertumbuhan penduduk. Jumlah penduduk suku Bajo pada suatu wilayah tercatat sebanyak 2.500 jiwa pada tahun 2018 dan diperkirakan menjadi 3.000 jiwa pada tahun 2022. Persentase pertumbuhan penduduk suku Bajo tersebut adalah $\cdots\%.$
A. $0,00658$                      D. $6,58$
B. $0,0658$                        E. $65,8$
C. $0,658$

Pembahasan

Diketahui:
$$\begin{aligned} P_t & = 3.000 \\ P_0 & = 2.500 \\ t & = 2022-2018 = 4 \end{aligned}$$Dalam kasus ini, kita akan mencari nilai $r$, yaitu laju pertumbuhan penduduk berdasarkan rumus $P_t = P_02^{rt}$.
Substitusi data yang diketahui dan kita peroleh
$$\begin{aligned} 3.000 & = 2.500(2)^{4r} \\ \dfrac{3.000}{2.500} & = (2^4)^r \\ \dfrac65 & = 16^r \\ r & = \! ^{16} \log \dfrac65 \\ & \approx 0,0658 = 6,58\% \end{aligned}$$Catatan: Anda perlu menggunakan kalkulator atau program komputasi untuk menghitung nilai dari bentuk logaritma di atas.
Jadi, persentase pertumbuhan penduduk suku Bajo tersebut adalah $\boxed{6,58\%}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 13
Para ilmuwan meneliti suatu virus jenis baru di dalam laboratorium. Mereka menemukan bahwa banyaknya virus tersebut mengikuti fungsi eksponen $f(x) = 500 + 2^x$, dengan $x$ menunjukkan lamanya observasi (dalam satuan jam). Populasi virus dicatat setiap jam selama beberapa hari. Manakah yang tidak menunjukkan populasi virus yang tercatat setelah diobservasi selama jam tertentu?
A. $504$                       D. $756$
B. $524$                       E. $1.012$
C. $628$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = 500 + 2^x$.
Perhatikan bahwa $x$ harus berupa bilangan bulat positif karena dicatat setiap jam.
Tabel berikut menunjukkan populasi virus saat beberapa jam pertama.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Nilai}~x & \text{Nilai}~f(x) \\ \hline 1 & 500+2 = 502 \\ 2 & 500 + 4 = 504 \\ 3 & 500 + 8 = 508 \\ 4 & 500 + 16 = 516 \\ 5 & 500 + 32 = 532 \\ 6 & 500 + 64 = 564 \\ 7 & 500 + 128 = 628 \\ 8 & 500 + 256 = 756 \\ 9 & 500 + 512 = 1.012 \\ \hline \end{array}$
Berdasarkan nilai $f(x)$ di atas, yang tidak menunjukkan populasi virus adalah $\boxed{524}$
(Jawaban B)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Untuk menyembuhkan beberapa bentuk kanker, para dokter menggunakan iodium radioaktif I-131. Diketahui waktu paruh I-131 adalah 8 hari. Seorang pasien menerima pengobatan $16$ mCi (milicurie, disingkat mCi, adalah satuan untuk mengukur aktivitas radiasi, setara dengan 1/1000 curie). Berapa banyak (I-131) yang tertinggal dalam tubuh pasien setelah 32 hari?

Pembahasan

Peluruhan radioaktif bisa dimodelkan sebagai fungsi eksponen.
Aktivitas radiasi dinyatakan oleh$N = N_0\left(\dfrac12\right)^n$ dengan $n = \dfrac{t}{T^{1/2}}.$ Diketahui:
$$\begin{aligned} N_0 & = 16~\text{mCi} \\ T^{1/2} & = 8~\text{hari} \\ t & = 32~\text{hari} \end{aligned}$$Diperoleh rasio $n = \dfrac{32}{8} = 4.$
Kita dapatkan
$$A = 16\left(\dfrac12\right)^4 = 16\left(\dfrac{1}{16}\right) = 1.$$Jadi, banyak (I-131) yang tertinggal dalam tubuh pasien setelah 32 hari adalah $\boxed{1~\text{mCi}}$

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Fungsi Logaritma 

Soal Nomor 2
Pestisida DDT (Dikloro-Difenil-Trikloroetana) secara luas digunakan sampai dilarang di Amerika pada tahun 1972. DDT adalah racun bagi binatang dan kehidupan laut, dan dicurigai sebagai penyebab kanker pada manusia. Waktu paruh DDT bisa mencapai 15 tahun atau lebih. Para ilmuwan dan pakar lingkungan khawatir karena DDT terus menimbulkan bahaya selama beberapa tahun digunakan.

Asumsikan waktu paruh DDT 15 tahun dan awali pengamatan dengan $100$ gram DDT. Berapa banyak DDT yang masih tertinggal setelah 15 tahun, 30 tahun, 45 tahun, 60 tahun, dan 75 tahun?

Pembahasan

Diketahui:
$$\begin{aligned} T^{1/2} & = 15~\text{tahun} \\ N_0 & = 100~\text{gram} \end{aligned}$$Untuk $t = 15~\text{tahun},$ diperoleh $n = \dfrac{t}{T^{1/2}} = \dfrac{15}{15} = 1$ sehingga
$$\begin{aligned} N & = N_0\left(\dfrac12\right)^n \\ & = 100\left(\dfrac12\right)^1 \\ & = 50~\text{gram} \end{aligned}$$Jadi, banyak DDT yang masih tertinggal setelah 15 tahun adalah $\boxed{50~\text{gram}}$
Untuk $t = 30~\text{tahun},$ diperoleh $n = \dfrac{t}{T^{1/2}} = \dfrac{30}{15} = 2$ sehingga
$$\begin{aligned} N & = N_0\left(\dfrac12\right)^n \\ & = 100\left(\dfrac12\right)^2 \\ & = 25~\text{gram} \end{aligned}$$Jadi, banyak DDT yang masih tertinggal setelah 30 tahun adalah $\boxed{25~\text{gram}}$
Untuk $t = 45~\text{tahun},$ diperoleh $n = \dfrac{t}{T^{1/2}} = \dfrac{45}{15} = 3$ sehingga
$$\begin{aligned} N & = N_0\left(\dfrac12\right)^n \\ & = 100\left(\dfrac12\right)^3 \\ & = 12,5~\text{gram} \end{aligned}$$Jadi, banyak DDT yang masih tertinggal setelah 45 tahun adalah $\boxed{12,5~\text{gram}}$
Untuk $t = 60~\text{tahun},$ diperoleh $n = \dfrac{t}{T^{1/2}} = \dfrac{60}{15} = 4$ sehingga
$$\begin{aligned} N & = N_0\left(\dfrac12\right)^n \\ & = 100\left(\dfrac12\right)^4 \\ & = 6,25~\text{gram} \end{aligned}$$Jadi, banyak DDT yang masih tertinggal setelah 60 tahun adalah $\boxed{6,25~\text{gram}}$
Untuk $t = 75~\text{tahun},$ diperoleh $n = \dfrac{t}{T^{1/2}} = \dfrac{75}{15} = 5$ sehingga
$$\begin{aligned} N & = N_0\left(\dfrac12\right)^n \\ & = 100\left(\dfrac12\right)^5 \\ & = 3,125~\text{gram} \end{aligned}$$Jadi, banyak DDT yang masih tertinggal setelah 75 tahun adalah $\boxed{3,125~\text{gram}}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Pada tahun 2021, hanya ada $100$ pelanggan telepon genggam (handphone) di suatu kota kecil. Jumlah pelanggan meningkat $80\%$ per tahun setelah tahun $2021.$

  1. Tuliskan model untuk menentukan jumlah pelanggan telepon genggam di kota kecil tersebut setelah $x$ tahun.
  2. Lukislah model tersebut pada kertas grafik.

Pembahasan

Jawaban a)
Kenaikan jumlah pelanggan pada kasus ini memenuhi fungsi eksponen $P(n) = P_0(1+i)^n.$
Diketahui:
$$\begin{aligned} P_0 & = 100 \\ i & = 80\% = 0,8 \\ n & = x \end{aligned}$$Substitusi dan kita peroleh
$$\begin{aligned} P(x) & = 100(1+0,8)^x \\ & = 100(1,8)^x \end{aligned}$$Jadi, model yang dapat digunakan untuk menentukan jumlah pelanggan telepon genggam di kota kecil tersebut setelah $x$ tahun adalah fungsi eksponen $P(x) = 100(1,8)^x.$
Jawaban b)
Untuk membuat sketsa grafik fungsi eksponen tersebut, kita dapat meletakkan sejumlah titik pada sistem koordinat, lalu menghubungkannya.
$$\begin{array}{cc} \hline x & P(x) \\ \hline 0 & 100(1,8)^0 = 100 \\ 1 & 100(1,8)^1 = 180 \\ 2 & 100(1,8)^2 = 324 \\ 3 & 100(1,8)^3 = 583,2 \\ \hline \end{array}$$Posisikan empat koordinat titik yang kita dapat pada kertas grafik, lalu hubungkan sehingga akan tampak seperti gambar di bawah.
Catatan: Gambar diambil dari hasil ekspor penggunaan aplikasi GeoGebra.

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika suatu sel kanker disuntikkan ke dalam tubuh seekor tikus, maka sel tersebut akan terbelah dua dalam waktu $\dfrac12$ hari. Sel tersebut akan terus membelah sampai berjumlah satu juta unit sebelum tikus tersebut akhirnya mati. Tentukan lama hidup tikus tersebut sejak sel kanker disuntikkan.

Pembahasan

Diketahui:
$$\begin{aligned} P_0 & = 1 \\ P_n & = 1.000.000 \\ r & = 2 \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus barisan geometri, kita peroleh
$$\begin{aligned} P_n & = P_0(r)^n \\ 1.000.000 & = 1(2)^n \\ n & = \! ^2 \log 1.000.000 \approx 19,\cdots \end{aligned}$$Bentuk terakhir menunjukkan bahwa sel kanker melakukan sebanyak $\lceil 19,\cdots \rceil = 20$ kali sehingga lama hidup tikus itu adalah $\dfrac12 \cdot 20 = 10~\text{hari}$

[collapse]

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *