Soal Babak Final Mathematics Competition (MC) LIMAS KE-6 Tingkat SMA Beserta Pembahasannya

Berikut ini adalah 15 soal (beserta pembahasan) yang diujikan saat babak final Mathematics Competition (MC) tingkat SMA/Sederajat pada agenda Lomba Intelegensi Matematika Antar Siswa (LIMAS) Ke-6 yang diselenggarakan oleh Himmat FKIP Untan pada tanggal 17 Desember 2017.

Soal Nomor 1
Suatu bilangan $x$ terdiri dari dua angka. Jika bilangan itu ditambah dengan 45, maka didapat bilangan yang terdiri dari dua angka itu juga tetapi dalam urutan terbalik. Jika di antara digit puluhan dan satuannya disisipkan angka 0, maka diperoleh bilangan yang nilainya $7\dfrac{2}{3}$ dari $x$. Tentukan bilangan $x$ tersebut.

Penyelesaian

Misalkan $x = \overline{ab} = 10a + b$
$\begin{aligned} \overline{ab} + 45 & =  \overline{ba} \\ 10a + b + 45 & = 10b + a \\ 9a – 9b & = -45 \\ a &=b- 5 && (\cdots 1) \end{aligned}$
Selanjutnya,
$\begin{aligned} \overline{a0b} & = 7\dfrac{2}{3} \times \overline{ab} \\ 100a + b & = \dfrac{23}{3} \times (10a + b) \\ 300a + 3b & = 230a + 23b \\ 7a & = 2b \end{aligned}$
Substitusikan persamaan 1, diperoleh
$7(b-5) = 2b \Leftrightarrow b = 7$
Akibatnya, nilai $a = 7 – 5 = 2$
Jadi, bilangan $x$ adalah 27.

[collapse]

Soal Nomor 2
Besar suku ke-$n$ dari suatu deret geometri adalah $2n$, sedangkan suku ke-$2n$ adalah $n$. Tentukan jumlah $n$ suku pertama dari deret tersebut.

Penyelesaian

$u_n = 2n \Rightarrow ar^{n-1} = 2n (\cdots 1)$
$u_{2n} = n \Rightarrow ar^{2n-1} = n (\cdots 2)$
Tuliskan kedua persamaan ini dalam bentuk perbandingan sebagai berikut.
$\dfrac{ar^{2n-1}}{a^{n-1}} = \dfrac{n}{2n}$
$r^n = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow r = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{1}{n}}$
Ubah bentuk persamaan berikut.
$ar^{n-1} = 2n$
$a = \dfrac{2n}{r^{n-1}}$
Substitusikan nilai $r$ yang telah didapat tadi.
$a = \dfrac{2n}{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{n-1}{n}}}$
Selanjutnya, gunakan formula deret geometri.
$S_n = a \times \dfrac{1 – r^n}{1 – r}$
$S_n = \dfrac{2n}{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{n-1}{n}}} \times \dfrac{1 – \dfrac{1}{2}}{1 -\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{1}{n}} }$
$S_n = \dfrac{n}{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1 – \frac{1}{n}} – \dfrac{1}{2}}$
$\boxed{S_n = \dfrac{n}{\dfrac{1}{2} \times 2^{\frac{1}{n} – \frac{1}{2}}}= \dfrac{2n}{\sqrt[n]{2} – 1}}$
Jadi, jumlah $n$ suku pertama dari deret tersebut adalah $\dfrac{2n}{\sqrt[n]{2} – 1}}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Tiga lingkaran dengan pusat $P, Q$, dan $R$ berturut-turut dengan jari-jari $4$ cm, $1$ cm, dan $k$ cm. Ketiga lingkaran bersinggungan seperti gambar.

Tentukan nilai dari $k$.

Penyelesaian

Gunakan rumus garis singgung persekutuan luar berikut.
$\boxed{l = \sqrt{p^2 – (R – r)^2}}$
Misalkan $p, q, r$ berturut-turut merupakan titik singgung persekutuan luar lingkaran. Misalkan juga $pq, qr, pr$ masing-masing merepresentasikan panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran terkait. Perlu diperhatikan juga bahwa jarak antarpusat lingkaran $p$ sama dengan jumlah jari-jarinya karena bersinggungan.




Tinjau lingkaran $P$ dan $Q$.
$pq = \sqrt{(4+k)^2 – (4 – k)^2}$
$pq = 4\sqrt{k}$
Tinjau lingkaran $Q$ dan $R$.
$qr = \sqrt{(k + 1)^2 – (k – 1)^2}$
$qr = 2\sqrt{k}$
Tinjau lingkaran $P$ dan $R$.
$pr = pq + qr = \sqrt{(4+1)^2 – (4-1)^2}$
$4\sqrt{k} + 2\sqrt{k} = 4$
$\sqrt{k} = \dfrac{2}{3}$
$k = \dfrac{4}{9}}$
Jadi, nilai dari $k$ adalah $\boxed{\dfrac{4}{9}}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Seekor semut hendak melangkah ke makanan yang berada sejauh 10 langkah di depannya. Semut tersebut sedang mendapatkan hukuman. Ia hanya boleh melangkah ke depan sebanyak kelipatan 3 langkah dan selebihnya harus melangkah ke belakang. Tentukan banyaknya cara melangkah agar bisa mencapai makanan jika ia harus melangkah tidak lebih dari 20 langkah. (Catatan: jika semut melangkah dua kali di mana masing-masing melangkah sekali ke belakang, maka dianggap sama saja dengan 2 langkah ke belakang)

Penyelesaian

Jelas bahwa semut itu harus melangkah ke depan lebih dari 3 kali untuk mencapai makanan. Jika semut melangkah ke depan lebih dari 5 kali, maka semut tersebut harus mundur paling sedikit 8 langkah untuk mencapai makanan (total langkahnya 23). Jadi, hanya ada 2 kasus yang mungkin.
Kasus I: Semut tersebut maju $3 \times 4$ langkah ke depan, lalu mundur 2 langkah ke belakang (total langkahnya 14). Banyak cara sama saja dengan menyusun angka 3333111, yaitu
$\dfrac{6!}{4!2!} = 15$ cara.
Kasus II: Semut tersebut maju $3 \times 5$ langkah ke depan, lalu mundur 5 langkah ke belakang (total langkahnya 20). Banyak cara sama saja dengan menyusun angka 3333311111, yaitu
$\dfrac{10!}{5!5!} = 252$ cara.
Dari kedua kasus itu, dapat disimpulkan bahwa banyak cara semut tersebut melangkah untuk mendapatkan makanan adalah $\boxed{15 + 252 = 267~\text{cara}}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui himpunan $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ dengan operasi $*$ didefinisikan pada tabel berikut.

Jika $x^2 = x * x$ dan $x^n = x^{n – 1} * x$ untuk $x \in A$, tentukan nilai dari $3^{123456789}$

Penyelesaian

Dari tabel, kita peroleh
$3^2 = 3 * 3 = 4$
$3^3 = 3^2 * 3 = 4 * 3 = 2$
$3^4 = 3^3 * 3 = 2 * 3 = 1$
$3^5 = 3^4 * 3 = 1 * 3 = 3$
$3^6 = 3^5 * 3 = 3 * 3 = 4$
Perhatikan bahwa hasil perpangkatannya kembali seperti semula (periodik) setiap 4 angka, yaitu $3^6 = 3^2, 3^7 = 3^3$, dan seterusnya.
Karena $\dfrac{123456789}{4} = 30864197$ dengan sisa 1, maka
$\boxed{3^{123456789} = 3^5 = 3}$
Jadi, nilai dari $3^{123456789}$ adalah 3.

[collapse]

Soal Nomor 6
Pada segitiga siku-siku $xyz$, diketahui $\sin x = \dfrac{1}{5}\sqrt{5}$ dan $\sin z  = \dfrac{1}{10}\sqrt{10}$. Tentukan nilai dari $\tan \dfrac{y}{2}$

Penyelesaian

Soal di atas tidak valid. Akan ditunjukkan bahwa $\sin (x + z) = \sin~90^{\circ} = 1$ jika $\sin x = \dfrac{1}{5}\sqrt{5}$, $\cos x = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$, $\sin z = \dfrac{1}{10}\sqrt{10}$, $\cos z= \dfrac{3}{10}\sqrt{10}$
$\sin (x + z) = \sin x \cos z + \sin z \cos x$
$ = \dfrac{1}{5}\sqrt{5} \times \dfrac{3}{10}\sqrt{10} + \dfrac{1}{10}\sqrt{10} \times \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
$ = \dfrac{1}{2}\sqrt{2}$
Jadi, tidak terbukti bahwa $\sin (x + z) = 1$. Dengan kata lain, segitiga $xyz$ bukan segitiga siku-siku.

[collapse]

Soal Nomor 6 (Revisi)
Pada segitiga $xyz$, diketahui $\sin x = \dfrac{1}{5}\sqrt{5}$ dan $\sin z  = \dfrac{1}{10}\sqrt{10}$. Tentukan nilai dari $\tan \dfrac{y}{2}$

Penyelesaian


Tinjau sudut $x$
$\sin x = \dfrac{1}{5}\sqrt{5}$
$\tan x = \dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \dfrac{1}{2}$
Tinjau sudut $z$
$\sin z = \dfrac{1}{10}\sqrt{10}$
$\tan z = \dfrac{\sqrt{10}}{3\sqrt{10}} = \dfrac{1}{3}$
Selanjutnya,
$\tan y = \tan (180^{\circ} – (x + z))$
$\dfrac{2 \tan \dfrac{1}{2}y}{1-\tan^2 \dfrac{1}{2}y} = -tan (x + z) = -\dfrac{\tan x + \tan z}{1 – \tan x \tan z}$
Substitusikan nilai yang telah didapat sebelumnya.
$ \dfrac{2 \tan \dfrac{1}{2}y}{1-\tan^2 \dfrac{1}{2}y} = -\dfrac{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}}{1 – \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3}} = -1$
$\tan^2 \dfrac{1}{2}y – 2 \tan \dfrac{1}{2}y = 1$
$\left(\tan^2 \dfrac{1}{2}y – 1\right)^2 – 1 = 1$
$\tan \dfrac{1}{2}y = \sqrt{2} + 1$
Jadi, nilai dari $\boxed{\tan \dfrac{1}{2}y = \sqrt{2} + 1}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Di dalam persegi ABCD terletak titik E sedemikian sehingga $\angle{EBC} = \angle{ECB} = 15^{\circ}$. Buktikan bahwa segitiga AED adalah segitiga sama sisi.

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan nilai dari
$\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1+2} + \dfrac{1}{1 + 2 + 3} + \cdots + \dfrac{1}{1 + 2 + 3 + \cdots + n}$ dalam $n$ dengan $n$ bilangan asli.

Penyelesaian

$\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1+2} + \dfrac{1}{1+2+3} + \cdots + \dfrac{1}{1+2+3+\cdots+n}$
$ = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} +\cdots + \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}n(n+1)}$
$ = 2\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} +\cdots + \dfrac{1}{n(n+1)}\right)$
$ = 2\left(\dfrac{1}{1\times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 4} +\cdots + \dfrac{1}{n(n+1)}\right)$
Terapkan konsep deret teleskopik (collapsing series),
$2\left(\left(\dfrac{1}{1} – \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{3}\right) \left(\dfrac{1}{3} – \dfrac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{n} – \dfrac{1}{n+1}\right)\right)$
$ = 2 \left(1 – \dfrac{1}{n+1}\right) = \dfrac{2n}{n+1}$
Jadi, nilai dari $\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1+2} + \dfrac{1}{1+2+3} + \cdots + \dfrac{1}{1+2+3+\cdots+n}$ adalah $\dfrac{2n}{n+1}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Buktikan bahwa untuk $a > b > 0$, jika $x = \dfrac{1 + a + a^2 + \cdots + a^{n-2} + a^{n-1}}{1 + a + a^2 + \cdots + a^{n-2} + a^{n-1} + a^n}$ dan $y = \dfrac{1 + b + b^2 + \cdots + b^{n-2} + b^{n-1}}{1 + b + b^2 + \cdots + b^{n-2} + b^{n-1} + b^n}$, maka $x < y$

Penyelesaian

Jika $a > b > 0$, maka
$\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$
$\dfrac{1}{a^2} < \dfrac{1}{b^2}$
$\vdots$
$\dfrac{1}{a^n} < \dfrac{1}{b^n}$
——————— +
$\dfrac{1}{a^n} + \dfrac{1}{a^{n-1}} + \cdots \dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b^n} + \dfrac{1}{b^{n-1}} + \cdots \dfrac{1}{b}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1 + a + \cdots + a^{n-1}}{a^n} < \dfrac{1 + b + \cdots + b^{n-1}}{b^n}$
$\Leftrightarrow \dfrac{a^n}{1 + a + \cdots + a^{n-1}} > \dfrac{b^n}{1 + b + \cdots + b^{n-1}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{a^n}{1 + a + \cdots + a^{n-1}} + 1 > \dfrac{b^n}{1 + b + \cdots + b^{n-1}} + 1$
$\Leftrightarrow \dfrac{a^n + 1 + a + \cdots + a^{n-1}}{1 + a + \cdots + a^{n-1}} > \dfrac{b^n + 1 + b + \cdots + b^{n-1}}{1 + b + \cdots + b^{n-1}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1 + a + \cdots + a^{n-1}}{a^n + 1 + a + \cdots + a^{n-1}} < \dfrac{1 + b + \cdots + b^{n-1}}{b^n + 1 + b + \cdots + b^{n-1}}$
$\Leftrightarrow x < y$ (terbukti)

[collapse]

Soal Nomor 10
Fungsi untuk $x$ bilangan real dirumuskan oleh

$f(x) = \dfrac{2}{2+4^x}$
Hitunglah nilai dari
$f\left(\dfrac{1}{2018}\right) + f\left(\dfrac{2}{2018}\right) + f\left(\dfrac{3}{2018}\right) + \cdots + f\left(\dfrac{2017}{2018}\right)$

Penyelesaian

Diketahui
$f(x) = \dfrac{2}{2+4^x}$
$\begin{aligned} f(1-x) = \dfrac{2}{2+4^{1-x}} \\ & = \dfrac{2}{2 + \dfrac{4}{4^x}} = \dfrac{4^x}{4^x + 2} \end{aligned}$
sehingga
$f(x) + f(1 – x) = \dfrac{2}{2+4^x} + \dfrac{4^x}{4^x + 2} = 1$
Selanjutnya,
$f\left(\dfrac{1}{2018}\right) + f\left(\dfrac{2}{2018}\right) + f\left(\dfrac{3}{2018}\right) + \cdots + f\left(\dfrac{2017}{2018}\right)$
$\begin{aligned} & = \left[f\left(\dfrac{1}{2018}\right) + f\left(\dfrac{2017}{2018}\right)\right] + \left[f\left(\dfrac{2}{2018}\right) + f\left(\dfrac{2016}{2018}\right)\right] \\ & + \cdots+ \left[f\left(\dfrac{1008}{2018}\right) + f\left(\dfrac{1010}{2018}\right)\right] + f\left(\dfrac{1009}{2018}\right) \end{aligned}$
$= \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{1008} + f\left(\dfrac{1}{2}\right)$
$=1008 + \dfrac{2}{2+4^{\frac{1}{2}}}$
$= \boxed{1008\dfrac{1}{2}}$
Jadi, nilai dari
$f\left(\dfrac{1}{2018}\right) + f\left(\dfrac{2}{2018}\right) + f\left(\dfrac{3}{2018}\right) + \cdots + f\left(\dfrac{2017}{2018}\right)$
adalah $1008\dfrac{1}{2}$

[collapse]

Soal Nomor 11
Hitunglah $\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{81 + 56 \sqrt{2}}}} – \sqrt{2 – \sqrt{2 + \sqrt{81 – 56 \sqrt{2}}}}$

Penyelesaian

Ingatlah formula berikut.
$\boxed{\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{a \times b}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}}$
Tinjau bentuk $\sqrt{81 + 56 \sqrt{2}}$
$\sqrt{81 + 56 \sqrt{2}} = \sqrt{81 + 2\sqrt{28 \times 28 \times 2}}$
$ = \sqrt{81 + 2\sqrt{4 \times 7 \times 4 \times 7 \times 2}}$
$= \sqrt{(49 + 32) + 2\sqrt{49 \times 32}}$
$= \sqrt{49} + \sqrt{32} = 7 + 2\sqrt{8}$
Dengan prinsip yang sama, dapat diperoleh
$\sqrt{81 + 56 \sqrt{2}} = 7 – 2\sqrt{8}$
Sekarang, bentuk akar pada soal dapat ditulis sebagai berikut.
$\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{81 + 56 \sqrt{2}}}} – \sqrt{2 – \sqrt{2 + \sqrt{81 – 56 \sqrt{2}}}}$
$ = \sqrt{2 + \sqrt{2 + (7 + 2\sqrt{8})}} – \sqrt{2 – \sqrt{2 + (7 – 2\sqrt{8})}}$
$ = \sqrt{2 + \sqrt{9 + 2\sqrt{8})}} – \sqrt{2 – \sqrt{9 – 2\sqrt{8})}}$
Selanjutnya, tinjau bentuk $\sqrt{2 + \sqrt{9 + 2\sqrt{8})}}$
$\sqrt{2 + \sqrt{9 + 2\sqrt{8})}} = \sqrt{2 + \sqrt{(8+1) + 2\sqrt{8 \times 1})}}$
$= \sqrt{ 2 + (\sqrt{8} + \sqrt{1})}$
$= \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(2+1) + 2 \sqrt{2 \times 1}}$
$= \sqrt{2} + \sqrt{1} = \sqrt{2} + 1$
Dengan prinsip yang sama, dapat diperoleh
$\sqrt{2 – \sqrt{9 – 2\sqrt{8})}} = \sqrt{2} – 1$
Dengan demikian,
$ \sqrt{2 + \sqrt{9 + 2\sqrt{8})}} – \sqrt{2 – \sqrt{9 – 2\sqrt{8})}}$
$ = (\sqrt{2} + 1) – ( \sqrt{2} – 1)$
$ = 1 + 1 = 2$
Jadi, $\boxed{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{81 + 56 \sqrt{2}}}} – \sqrt{2 – \sqrt{2 + \sqrt{81 – 56 \sqrt{2}}}} = 2}$

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui $2^x = 3^y = 6^{-z}$. Tunjukkan bahwa $\left(\dfrac{2017}{x} + \dfrac{2017}{y} + \dfrac{2017}{z} \right)^{2017} = 0$.

Penyelesaian

Misalkan $2^x = 3^y = 6^{-z} = a$, sehingga
$2^x = a \Leftrightarrow ^2 \log a = x$
$3^y = a \Leftrightarrow ^3 \log a = y$
$6^{-z} = a \Leftrightarrow -^6 \log a = z$
Akan ditunjukkan bahwa $\left(\dfrac{2017}{x} + \dfrac{2017}{y} + \dfrac{2017}{z} \right)^{2017} = 0$ dengan mensubstitusikan nilai $x, y, z$ ke dalam persamaan tersebut.
$\left(\dfrac{2017}{x} + \dfrac{2017}{y} + \dfrac{2017}{z} \right)^{2017}$
$= \left(\dfrac{^2 \log 2^{2017}}{^2 \log a} + \dfrac{^3 \log 3^{ll2017}}{^3 \log a} + \dfrac{^6 \log 6^{2017}}{-^6 \log a} \right)^{2017}$

$= (^a \log 2^{2017} + ^a \log 3^{2017} – ^a \log 6^{2017})^{2017}$
$=\left(^a \log \left(\dfrac{2^{2017} \times 3^{2017}}{6^{2017}}\right) \right)^{2017}$
$= (^a \log 1)^{2017} = 0^{2017} = 0$ (Terbukti)

[collapse]

Soal Nomor 13
Jika $\left(1 – \tan^2 \dfrac{x}{2^{2017}} \right)\left(1 – \tan^2 \dfrac{x}{2^{2016}} \right)\cdots\left(1 – \tan^2 \dfrac{x}{2} \right) = 2^{2017}\sqrt{2}\tan \dfrac{x}{2017}$, tentukan nilai dari $\sin x \times \cos x$

Penyelesaian

Gunakan identitas $\tan 2x = \dfrac{2 \tan x}{1 – \tan^2 x}$, sehingga persamaan trigonometri pada soal dapat ditulis sebagai
$\left(\dfrac{2 \tan \left(\dfrac{x}{2^{2017}}\right)}{\tan \left(\dfrac{x}{2^{2016}}\right)}\right)\left(\dfrac{2 \tan \left(\dfrac{x}{2^{2016}}\right)}{\tan \left(\dfrac{x}{2^{2015}}\right)}\right)\cdots \left(\dfrac{2 \tan \left(\dfrac{x}{2}\right)}{\tan x}}\right) = 2^{2017}\sqrt{2} \tan \dfrac{x}{2^{2017}}$
$2^{2017}\left(\dfrac{\tan \left(\dfrac{x}{2^{2017}}\right)}{\tan \left(\dfrac{x}{2^{2016}}\right)}\right)\left(\dfrac{\tan \left(\dfrac{x}{2^{2016}}\right)}{\tan \left(\dfrac{x}{2^{2015}}\right)}\right)\cdots \left(\dfrac{\tan \left(\dfrac{x}{2}\right)}{\tan x}}\right) = 2^{2017}\sqrt{2} \tan \dfrac{x}{2^{2017}}$
$\dfrac{2^{2017} \tan \dfrac{x}{2^{2017}}}{\tan x} = 2^{2017} \sqrt{2} \tan \dfrac{x}{2^{2017}}$
$\tan x = \dfrac{2^{2017} \tan \dfrac{x}{2^{2017}}}{2^{2017} \sqrt{2} \tan \dfrac{x}{2^{2017}}}$
$\tan x = \dfrac{1}{2}\sqrt{2}$
Dengan menggunakan konsep trigonometri pada segitiga siku-siku, diperoleh $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$ dan $\cos x = \dfrac{2}{\sqrt{6}}$. Berarti,
$\boxed{\sin x \times \cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} \times \dfrac{2}{\sqrt{6}} = \dfrac{1}{3}\sqrt{2}}$

[collapse]

Soal Nomor 14
Tentukan nilai dari $a^2 + b^2 + c^2 + d^2$ jika
$\dfrac{a^2}{2^2 – 1^2} +\dfrac{b^2}{2^2 – 3^2} + \dfrac{c^2}{2^2 – 5^2} + \dfrac{d^2}{2^2 – 7^2} = 1$
$\dfrac{a^2}{4^2 – 1^2} +\dfrac{b^2}{4^2 – 3^2} + \dfrac{c^2}{4^2 – 5^2} + \dfrac{d^2}{4^2 – 7^2} = 1$
$\dfrac{a^2}{6^2 – 1^2} +\dfrac{b^2}{6^2 – 3^2} + \dfrac{c^2}{6^2 – 5^2} + \dfrac{d^2}{6^2 – 7^2} = 1$
$\dfrac{a^2}{8^2 – 1^2} +\dfrac{b^2}{8^2 – 3^2} + \dfrac{c^2}{8^2 – 5^2} + \dfrac{d^2}{8^2 – 7^2} = 1$

Penyelesaian

[collapse]

Soal Nomor 15 (Revisi)
Tentukan nilai dari
$\sqrt{1 + \dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}} + \sqrt{1 + \dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}} + \sqrt{1+ \dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}} + \cdots + \sqrt{1 + \dfrac{1}{2017^2}+\dfrac{1}{2018^2}}$

Penyelesaian

$\sqrt{1 + \dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}} = \sqrt{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{3}{2} = 1 + \dfrac{1}{1 \times 2}$
$\sqrt{1 + \dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}} = \sqrt{\dfrac{49}{36}} = \dfrac{7}{6} = 1 + \dfrac{1}{2 \times 3}$
$\sqrt{1 + \dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}} = \sqrt{\dfrac{169}{144}} = \dfrac{13}{12} = 1 + \dfrac{1}{3 \times 4}$
$\vdots$
$\sqrt{1 + \dfrac{1}{2017^2}+\dfrac{1}{2018^2}} = 1 + \dfrac{1}{2017 \times 2018}$
Dengan demikian, bentuk akar pada soal dapat ditulis menjadi
$1 + \dfrac{1}{1 \times 2} + 1 + \dfrac{1}{2 \times 3} + 1 + \dfrac{1}{3 \times 4} + \cdots + 1 + \dfrac{1}{2017 \times 2018}$
$ = (1 + 1 + \cdots + 1) + \left(\dfrac{1}{1} – \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{3} + \cdots – \dfrac{1}{2018}\right)$
($\text{Angka 1-nya sebanyak 2017}$)
$ = 2017 + \left(1 – \dfrac{1}{2018}\right)$
$= \boxed{2017\dfrac{2017}{2018}}$
Jadi, nilai dari bentuk akar itu adalah $2017\dfrac{2017}{2018}$

[collapse]

CategoriesLIMASTags, , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *