Soal dan Pembahasan – Asimtot Fungsi Aljabar

Asimtot secara umum adalah sebuah garis (lurus atau lengkung) yang mendekati kurva pada ujung-ujung intervalnya. Asimtot tidak diartikan sebagai garis yang tidak pernah dipotong oleh kurva karena ada kasus ketika kurva juga memotong asimtotnya. Asimtot juga tidak selalu berupa garis lurus, melainkan juga bisa berupa garis lengkung. Penekanan definisi asimtot bukanlah pada memotong atau tidak memotong kurva, melainkan pada mendekati kurva. Pada pembahasan mengenai asimtot fungsi aljabar, akan ditemukan 3 jenis asimtot, yaitu asimtot horizontal (datar), asimtot vertikal (tegak), dan asimtot miring.

Beberapa definisi berikut diharapkan dapat memberikan kita satu pemahaman mengenai soal yang nanti akan dibahas.

Definisi: Fungsi Aljabar

Fungsi aljabar adalah fungsi $f(x)$ yang memenuhi $P(x, f(x)) = 0$ dengan $P(x, y)$ sebagai polinomial bervariabel $x$ dan $y.$ Contohnya: $f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 4}}{x^2-2}.$ Fungsi yang tidak termasuk fungsi aljabar disebut fungsi transendental, misalnya $g(x) = \ln x.$

Definisi: Fungsi Rasional

Fungsi rasional adalah rasio (perbandingan) dari dua fungsi polinomial dengan bentuk umum $R(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}$ di mana $q(x) \neq 0.$

Asimtot Horizontal

Untuk setiap konstanta (tetapan) $k$, garis $y = k$ adalah asimtot horizontal dari fungsi $f$ jika untuk $x$ mengecil/membesar tanpa batas, nilai fungsi semakin mendekati $k.$ Secara matematis, ditulis $x \to -\infty, f(x) \to k$ atau $x \to \infty, f(x) \to k.$

Asimtot Vertikal

Untuk setiap konstanta (tetapan) $h$, garis $x = h$ adalah asimtot vertikal dari fungsi $f$ jika untuk $x$ mendekati $h$, nilai fungsi membesar/mengecil tanpa batas. Secara matematis, ditulis $x \to h^+, f(x) \to \pm \infty$ atau $x \to h^-, f(x) \to \pm \infty.$ Notasi $h^+$ artinya mendekati $h$ dari arah kanan, sedangkan $h^-$ artinya mendekati $h$ dari arah kiri.

Asimtot Miring

Asimtot miring adalah garis miring dengan persamaan umum $y = mx + n$ yang tidak pernah dipotong oleh kurva, melainkan hanya didekati pada ujung-ujung interval fungsi.

Berikut ini merupakan sejumlah soal dan pembahasan terkait asimtot fungsi aljabar yang dikumpulkan dari berbagai referensi. Semoga dapat bermanfaat untuk menambah pemahaman mengenai materi tersebut.

Quote by Richard Branson

Do not be embarrassed by your failures. Learn from them and start again.

Bagian Pilihan Ganda 

Soal Nomor 1
Kurva $f(x) = \dfrac{x^2-7x+10}{x^2-4x+3}$ mempunyai $\cdots \cdot$

  1. satu asimtot vertikal dan satu asimtot horizontal
  2. satu asimtot vertikal dan dua asimtot horizontal
  3. dua asimtot vertikal dan satu asimtot horizontal
  4. dua asimtot vertikal dan dua asimtot horizontal
  5. tidak mempunyai asimtot vertikal, tetapi mempunyai satu asimtot horizontal

Pembahasan

Diketahui $f(x) = \dfrac{x^2-7x+10}{x^2-4x+3}.$ Akan diperiksa asimtot vertikal dan asimtot horizontal dari fungsi rasional tersebut.
Asimtot Vertikal:
Asimtot vertikal ditemukan ketika penyebut fungsi rasional tersebut sama dengan nol.
$$\begin{aligned} x^2-4x+3 & = 0 \\ (x-1)(x-3) & = 0 \\ x = 1~\text{atau}~x & = 3 \end{aligned}$$Jadi, fungsi $f(x)$ memiliki dua asimtot vertikal, yakni $x = 1$ dan $x = 3.$
Asimtot Horizontal:
Diketahui $f(x) = \dfrac{\color{blue}{1x^2}-7x+10}{\color{red}{1x^2}-4x+3}.$
Tampak bahwa pembilang dan penyebut pada fungsi $f$ sama-sama berderajat dua. Bagi koefisien variabel berpangkat tertinggi pada pembilang dan penyebut, ditulis $y = \dfrac{1}{1} = 1.$ Jadi, fungsi hanya memiliki satu asimtot horizontal, yakni $y = 1.$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 2
Kurva lengkung $y = \dfrac{x^2}{x^2+1}$ mempunyai $\cdots \cdot$
A. satu asimtot
B. dua asimtot
C. tiga asimtot
D. empat asimtot
E. lima asimtot

Pembahasan

Diketahui $y = \dfrac{x^2}{x^2 + 1}.$ Akan diperiksa asimtot yang dimiliki oleh fungsi rasional tersebut.
Asimtot Vertikal:
Asimtot vertikal ditemukan ketika penyebut fungsi rasional tersebut sama dengan nol. Dengan kata lain, kita mencari penyelesaian dari persamaan $x^2 + 1 = 0,$ padahal persamaan ini tidak memiliki penyelesaian real (tidak ada nilai $x$ yang memenuhi). Jadi, fungsi rasional tersebut tidak memiliki asimtot vertikal.
Asimtot Horizontal:
Diketahui $y = \dfrac{\color{blue}{1x^2}}{\color{red}{1x^2}+1}.$
Tampak bahwa pembilang dan penyebut pada fungsi $f$ sama-sama berderajat dua. Bagi koefisien variabel berpangkat tertinggi pada pembilang dan penyebut, ditulis $y = \dfrac{1}{1} = 1.$ Jadi, fungsi hanya memiliki satu asimtot horizontal, yakni $y = 1.$
Asimtot Miring:
Suatu fungsi rasional memiliki asimtot miring jika derajat pembilangnya satu lebih tinggi dari derajat penyebutnya. Karena kondisi ini tidak terpenuhi untuk fungsi rasional $y = \dfrac{x^2}{x^2+1},$ maka disimpulkan bahwa fungsi tersebut tidak memiliki asimtot miring.
Jadi, fungsi $y = \dfrac{x^2}{x^2 + 1}$ hanya memiliki satu asimtot.
(Jawaban A)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Limit Fungsi Aljabar 

Soal Nomor 3
Asimtot vertikal dari fungsi $f(x) = \dfrac{2x-8}{x^2-7x+12}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x=3$ dan $x=4$
B. $x=2$ saja
C. $x=3$ saja
D. $x=4$ saja
E. tidak ada

Pembahasan

Asimtot vertikal ditemukan ketika penyebut fungsi rasional tersebut sama dengan nol.
$$\begin{aligned} x^2-7x+12 & = 0 \\ (x-3)(x-4) & = 0 \\ x = 3~\text{atau}~x & = 4 \end{aligned}$$Jadi, fungsi $f(x)$ memiliki dua asimtot vertikal, yakni $x = 3$ dan $x = 4.$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4
Asimtot miring fungsi $f(x) = \dfrac{x^2+3x+3}{x+1}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $y = x$                             D. $y = x-1$
B. $y = x-2$                     E. $y=x+2$
C. $y = x+1$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = \dfrac{x^2+3x+3}{x+1}.$ Tampak bahwa derajat pembilang satu lebihnya dari derajat penyebut (pembilang: 2 dan penyebut: 1) sehingga fungsi tersebut memiliki asimtot miring. Asimtot miringnya diwakili oleh hasil bagi ketika kita membagi $x^2 + 3x + 3$ dengan $x + 1$ (bisa menggunakan skema pembagian bersusun, metode Horner, atau yang lainnya). Berikut ini kita gunakan skema pembagian bersusun.
Diperoleh hasil baginya adalah $x + 2.$ Jadi, dapat disimpulkan bahwa asimtot miringnya adalah $\boxed{y = x + 2}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 5
Asimtot miring dari grafik $g(x) = \dfrac{3x^5+x^4+2x^2+1}{x^4+3}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $y = 2x +1$                     D. $y = 3x-1$
B. $y = 2x-3$                      E. tidak ada
C. $y = 3x+1$

Pembahasan

Diketahui $g(x) = \dfrac{3x^5+x^4+2x^2+1}{x^4+3}.$ Tampak bahwa derajat pembilang satu lebihnya dari derajat penyebut (pembilang: 5 dan penyebut: 4) sehingga fungsi tersebut memiliki asimtot miring. Asimtot miringnya diwakili oleh hasil bagi ketika kita membagi $3x^5+x^4+2x^2+1$ dengan $x^4 + 3$ (bisa menggunakan skema pembagian bersusun atau yang lainnya). Berikut ini kita gunakan skema pembagian bersusun.



Diperoleh hasil baginya adalah $3x + 1.$ Jadi, dapat disimpulkan bahwa asimtot miringnya adalah $\boxed{y = 3x + 1}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 6
Asimtot vertikal dan horizontal fungsi $f(x) = \dfrac{x^3+2x+1}{x^3-x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x = 0$ dan $x = 1$
B. $x = 0$, $x = 1$, dan $y = 1$
C. $x = 1$ dan $y = 1$
D. $x = -1$, $x = 0$, $x = 1$, dan $y = 1$
E. $x = -1$, $x = 0$, $x = 1$, dan $y = 0$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = \dfrac{x^3+2x+1}{x^3-x}.$ Akan diperiksa asimtot vertikal dan horizontal yang dimiliki oleh fungsi rasional tersebut.
Asimtot Vertikal:
Asimtot vertikal ditemukan ketika penyebut fungsi rasional tersebut sama dengan nol. $$\begin{aligned} x^3-x & = 0 \\ x(x^2-1) & = 0 \\ x(x+1)(x-1) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh penyelesaiannya adalah $x = -1, 0, 1.$ Jadi, fungsi tersebut memiliki tiga asimtot vertikal, yakni $x = -1$, $x = 0$, dan $x = 1.$
Asimtot Horizontal:
Diketahui $f(x) = \dfrac{\color{blue}{x^3}+2x+1}{\color{blue}{x^3}-x}.$
Tampak bahwa pembilang dan penyebut pada fungsi itu sama-sama berderajat tiga. Bagi koefisien variabel berpangkat tertinggi pada pembilang dan penyebut, ditulis $y = \dfrac{1}{1} = 1.$ Jadi, fungsi hanya memiliki satu asimtot horizontal, yakni $y = 1.$
Jadi, fungsi tersebut memiliki asimtot vertikal $x = -1$, $x = 0$, dan $x = 1$, sedangkan asimtot horizontalnya adalah $y = 1.$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 7
Grafik $f(x) = \dfrac{6}{x^2-4}$ memiliki $\cdots \cdot$

  1. satu asimtot vertikal, yaitu $x = 2$
  2. sumbu-$Y$ sebagai asimtot vertikal
  3. sumbu-$X$ sebagai asimtot horizontal dan $x = \pm 2$ sebagai asimtot vertikal
  4. dua asimtot vertikal, yaitu $x = \pm 2$, tetapi tidak memiliki asimtot horizontal
  5. dua asimtot horizontal, yaitu $y = \pm 2$, tetapi tidak memiliki asimtot vertikal

Pembahasan

Diketahui $f(x) = \dfrac{6}{x^2-4}.$ Akan diperiksa asimtot yang dimiliki oleh fungsi rasional tersebut.
Asimtot Vertikal:
Asimtot vertikal ditemukan ketika penyebut fungsi rasional tersebut sama dengan nol. $$\begin{aligned} x^2-4 & = 0 \\ (x-2)(x+2) & = 0 \\ x = 2~\text{dan}~x & = -2 \end{aligned}$$Jadi, fungsi $f(x)$ memiliki dua asimtot vertikal, yakni $x = \pm 2.$
Asimtot Horizontal:
Tampak bahwa derajat pembilang lebih rendah dibandingkan derajat penyebut (pembilang: 0 dan penyebut: 2) sehingga dapat langsung disimpulkan bahwa asimtot horizontal fungsi rasional tersebut adalah sumbu-$X$ atau persamaan $y = 0.$
Asimtot Miring:
Suatu fungsi rasional memiliki asimtot miring jika derajat pembilangnya satu lebih tinggi dari derajat penyebutnya. Karena kondisi ini tidak terpenuhi untuk fungsi rasional $f(x) = \dfrac{6}{x^2-4},$ maka disimpulkan bahwa fungsi tersebut tidak memiliki asimtot miring.
Jadi, grafik $f(x) = \dfrac{6}{x^2-4}$ memiliki sumbu-$X$ sebagai asimtot horizontal dan $x = \pm 2$ sebagai asimtot vertikal.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Garis $y = 5$ adalah asimtot horizontal dari fungsi $\cdots \cdot$
A. $y = \dfrac{x-5}{x+5}$
B. $y = 5x$
C. $y = \dfrac{1}{x-5}$
D. $y = \dfrac{5x}{1-x}$
E. $y = \dfrac{20x^2-x}{1+4x^2}$

Pembahasan

Hanya fungsi rasional (fungsi pecahan) yang memiliki asimtot horizontal. Syaratnya adalah derajat pembilang lebih rendah atau sama dengan derajat penyebutnya.
Cek Opsi A:
Diketahui $y = \dfrac{\color{blue}{x}-5}{\color{blue}{x}+5}.$ Tampak bahwa pembilang dan penyebut pada fungsi $f$ sama-sama berderajat satu. Bagi koefisien variabel berpangkat tertinggi pada pembilang dan penyebut, ditulis $y = \dfrac{1}{1} = 1.$ Jadi, fungsi itu memiliki asimtot horizontal $y = 1.$
Cek Opsi B:
Diketahui $y = 5x.$ Fungsi ini bukan fungsi rasional (melainkan fungsi linear) sehingga tidak memiliki asimtot.
Cek Opsi C:
Diketahui $y = \dfrac{1}{x-5}.$ Tampak bahwa derajat pembilang lebih rendah dibandingkan derajat penyebut (pembilang: 0 dan penyebut: 1) sehingga dapat langsung disimpulkan bahwa asimtot horizontal fungsi rasional tersebut adalah sumbu-$X$ atau persamaan $y = 0.$
Cek Opsi D:
Diketahui $y = \dfrac{\color{blue}{5x}}{1\color{blue}{-x}}.$ Tampak bahwa pembilang dan penyebut pada fungsi $f$ sama-sama berderajat satu. Bagi koefisien variabel berpangkat tertinggi pada pembilang dan penyebut, ditulis $y = \dfrac{5}{-1} = -5.$ Jadi, fungsi itu memiliki asimtot horizontal $y = -5.$
Cek Opsi E:
Diketahui $y = \dfrac{\color{blue}{20x^2}-x}{1+\color{blue}{4x^2}}.$ Tampak bahwa pembilang dan penyebut pada fungsi $f$ sama-sama berderajat dua. Bagi koefisien variabel berpangkat tertinggi pada pembilang dan penyebut, ditulis $y = \dfrac{20}{4} = 5.$ Jadi, fungsi itu memiliki asimtot horizontal $y = 5.$
Jadi, $y = 5$ adalah asimtot horizontal dari fungsi $\boxed{y = \dfrac{20x^2-x}{1+4x^2}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 9
Fungsi berikut yang tidak memiliki asimtot vertikal adalah $\cdots \cdot$
A. $y = \dfrac{x+2}{x^2-3}$                 
B. $y = \dfrac{x}{(x-2)^2}$                    
C. $y = \dfrac{x^2-9}{x+3}$
D. $y = -\dfrac{3}{x}$
E. $y = \dfrac{x-3}{x^2-4}$

Pembahasan

Hanya fungsi rasional yang memiliki asimtot vertikal. Asimtot vertikal ditemukan ketika kita membuat penyebut sama dengan nol.
Cek Opsi A:
Diketahui $y = \dfrac{x+2}{x^2-3} = \dfrac{x+2}{(x+\sqrt3)(x-\sqrt3)}.$ Bentuk terakhir sudah paling sederhana karena tidak memiliki faktor bersama pada pembilang dan penyebutnya. Diperoleh asimtot vertikalnya adalah $x = -\sqrt3$ dan $x = \sqrt3.$
Cek Opsi B:
Diketahui $y = \dfrac{x}{(x-2)^2}.$ Bentuk ini sudah paling sederhana karena tidak memiliki faktor bersama pada pembilang dan penyebutnya. Diperoleh asimtot vertikalnya adalah $x = 2.$
Cek Opsi C:
Diketahui
$$\begin{aligned} y & = \dfrac{x^2-9}{x+3} \\ y & = \dfrac{\cancel{(x + 3)}(x-3)}{\cancel{x+3}} \\ y & = x-3 && x \neq -3 \end{aligned}$$Jadi, fungsi ini bukanlah fungsi rasional, melainkan fungsi linear yang tidak terdefinisi di $x = -3.$ Ini artinya, fungsi ini tidak memiliki asimtot vertikal.
Cek Opsi D:
Diketahui $y = -\dfrac{3}{x}.$ Bentuk ini sudah paling sederhana karena tidak memiliki faktor bersama pada pembilang dan penyebutnya. Diperoleh asimtot vertikalnya adalah $x = 0.$
Cek Opsi E:
Diketahui $y = \dfrac{x-3}{x^2-4} = \dfrac{x-3}{(x+2)(x-2}.$ Bentuk terakhir sudah paling sederhana karena tidak memiliki faktor bersama pada pembilang dan penyebutnya. Diperoleh asimtot vertikalnya adalah $x = -2$ dan $x = 2.$
Jadi, fungsi yang tidak memiliki asimtot vertikal adalah $\boxed{y = \dfrac{x^2-9}{x+3}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Limit Tak Hingga 

Soal Nomor 10
Pernyataan yang benar tentang kurva $y = \dfrac{2x^2+4}{2+7x-4x^2}$ adalah $\cdots \cdot$

  1. garis $x = -\dfrac14$ sebagai asimtot vertikal
  2. garis $x = 1$ sebagai asimtot vertikal
  3. garis $y = -\dfrac14$ sebagai asimtot horizontal
  4. grafik tidak memiliki asimtot horizontal dan vertikal
  5. garis $y = 2$ sebagai asimtot horizontal

Pembahasan

Diketahui $y = \dfrac{2x^2+4}{2+7x-4x^2}.$ Akan diperiksa asimtot yang dimiliki oleh fungsi rasional tersebut.
Asimtot Vertikal:
Asimtot vertikal ditemukan ketika penyebut fungsi rasional tersebut sama dengan nol. $$\begin{aligned} 2 + 7x-4x^2 & = 0 \\ 4x^2-7x-2 & = 0 \\ (4x+1)(x-2) & = 0 \\ x = -\dfrac14~\text{atau}~x & = 2 \end{aligned}$$Jadi, fungsi tersebut memiliki dua asimtot vertikal, yakni $x = -\dfrac14$ dan $x = 2.$
Asimtot Horizontal:
Diketahui $y = \dfrac{\color{blue}{2x^2}+4}{2+7x\color{blue}{-4x^2}}.$
Tampak bahwa pembilang dan penyebut pada fungsi itu sama-sama berderajat dua. Bagi koefisien variabel berpangkat tertinggi pada pembilang dan penyebut, ditulis $y = \dfrac{2}{-4} = -\dfrac12.$ Jadi, fungsi hanya memiliki satu asimtot horizontal, yakni $y = -\dfrac12.$
Asimtot Miring:
Suatu fungsi rasional memiliki asimtot miring jika derajat pembilangnya satu lebih tinggi dari derajat penyebutnya. Karena kondisi ini tidak terpenuhi untuk fungsi rasional itu, maka disimpulkan bahwa fungsi tersebut tidak memiliki asimtot miring.
Berdasarkan opsi yang ada, pernyataan yang benar adalah garis $x = -\dfrac14$ sebagai asimtot vertikal.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 11
Berikut ini adalah ciri dari suatu fungsi rasional.

  1. Asimtot vertikalnya adalah $x=2.$
  2. Asimtot horizontalnya adalah $y=8.$
  3. Kurva tidak kontinu pada titik $(3, 9).$

Fungsi rasional berikut yang memenuhi ciri di atas adalah $\cdots \cdot$
A. $f(x) = \dfrac{x-3}{(x+3)(x-2)}-8$
B. $f(x) = \dfrac{x-3}{(x-3)(x+2)}-8$
C. $f(x) = \dfrac{x-3}{(x-3)(x-2)}+8$
D. $f(x) = \dfrac{x+3}{(x+2)(x+3)}+8$
E. $f(x) = \dfrac{x-2}{(x-3)(x+2)}+8$

Pembahasan

Diketahui bahwa fungsi $f(x)$ yang akan dibuat adalah fungsi rasional.
Persamaan asimtot vertikal adalah $x = 2$, artinya ada faktor $(x-2)$ pada penyebut. Untuk sementara, kita tuliskan
$$f(x) = \dfrac{1}{x-2}$$Persamaan asimtot horizontal adalah $y = 8.$ Dengan menyamakan derajat pembilang dan penyebut, kita dapat tuliskan
$$f(x) = \dfrac{8x}{x-2}$$atau bisa juga berbentuk
$$f(x) = \dfrac{x}{x-2} + 8$$Kurva tidak kontinu pada titik $(3, 9)$, artinya pembilang dan penyebut sama-sama memiliki faktor $(x-3).$ Dengan menyesuaikan opsi pilihan ganda yang diberikan, kita peroleh bahwa fungsi
$$f(x) = \dfrac{x-3}{(x-3)(x-2)} + 8$$memenuhi ketiga kriteria tersebut.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 12
Fungsi berikut yang memiliki asimtot vertikal pada $x=2$ dan asimtot horizontal pada $y=1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $y = \dfrac{3x^2-6x+9}{x^2+3x+2}$
B. $y = \dfrac{3}{x-2}$
C. $y = \dfrac{x+3}{x^2-4}$
D. $y = \dfrac{x^2-9}{x^2-4x+4}$
E. $y = \dfrac{x^2-4}{x^2-3x+2}$

Pembahasan

Cek Opsi A:
Diberikan $y = \dfrac{3x^2-6x+9}{x^2+3x+2}.$
Dapat kita faktorkan menjadi
$$ y = \dfrac{3(x^2-2x+3)}{(x+2)(x+1)}$$Dari penyebut, kita ketahui bahwa asimtot vertikalnya ada dua, yaitu $x = -2$ dan $x = -1.$ Karena pembilang dan penyebut berderajat sama, maka asimtot horizontalnya merupakan hasil bagi koefisien derajat tertinggi pembilang dan penyebut, yaitu $y = \dfrac31 = 3.$
Jadi, kriteria tidak terpenuhi.
Cek Opsi B:
Diberikan $y = \dfrac{3}{x-2}.$
Jelas dari penyebut, asimtot vertikalnya adalah $x = 2.$ Karena derajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebut, maka asimtot horizontalnya adalah $y = 0.$
Jadi, kriteria tidak terpenuhi.
Cek Opsi C:
Diberikan $y = \dfrac{x+3}{x^2-4}.$
Dapat kita faktorkan menjadi
$$y = \dfrac{x+3}{(x+2)(x-2)}$$Dari penyebut, kita ketahui bahwa asimtot vertikalnya ada dua, yaitu $x = -2$ dan $x = 2.$ Karena derajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebut, maka asimtot horizontalnya adalah $y = 0.$
Jadi, kriteria tidak terpenuhi.
Cek Opsi D:
Diberikan $y = \dfrac{x^2-9}{x^2-4x+4}.$
Dapat kita faktorkan menjadi
$$y = \dfrac{(x+3)(x-3)}{(x-2)(x-2)}$$Dari penyebut, kita ketahui bahwa asimtot vertikalnya hanya ada satu, yaitu $x = 2.$ Karena pembilang dan penyebut berderajat sama, maka asimtot horizontalnya merupakan hasil bagi koefisien derajat tertinggi pembilang dan penyebut, yaitu $y = \dfrac11 = 1.$
Jadi, kriteria tidak terpenuhi.
Cek Opsi E:
Diberikan $y = \dfrac{x^2-4}{x^2-3x+2}.$
Dapat kita faktorkan menjadi
$$\begin{aligned} y &= \dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-2)(x-1)} \\ & = \dfrac{x+2}{x-1} \end{aligned}$$Dari penyebut, kita ketahui bahwa asimtot vertikalnya hanya ada satu, yaitu $x = 1.$ Karena pembilang dan penyebut berderajat sama, maka asimtot horizontalnya merupakan hasil bagi koefisien derajat tertinggi pembilang dan penyebut, yaitu $y = \dfrac11 = 1.$
Jadi, kriteria tidak terpenuhi.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 13
Kurva $y = \dfrac{x^3+x^2+1}{x^3+10}$ memotong asimtot datarnya di koordinat $\cdots \cdot$
A. $(1, -3)$ dan $(1, 3)$
B. $(3, 1)$ dan $(-3, 1)$
C. $(-1, 3)$ dan $(-1, -3)$
D. $(-1, -3)$ dan $(1, 3)$
E. $(3, -1)$ dan $(3, -1)$

Pembahasan

Diketahui $y = \dfrac{x^3+x^2+1}{x^3+10}.$
Tampak bahwa $y$ adalah fungsi rasional dengan pembilang dan penyebut merupakan polinomial berderajat tiga. Karena derajatnya sama, maka asimtot datarnya merupakan hasil bagi koefisien pangkat tertinggi pembilang dan penyebut, yaitu
$$y = \dfrac11 = 1$$Sekarang, substitusikan $y = 1.$
$$\begin{aligned} y & = \dfrac{x^3+x^2+1}{x^3+10} \\ \Rightarrow 1 & = \dfrac{x^3+x^2+1}{x^3+10} \\ x^3+10 & = x^3+x^2+1 \\ x^2-9 & = 0 \\ (x+3)(x-3) & = 0 \\ x = -3~\text{atau}~x & = 3 \end{aligned}$$Jadi, asimtot datar dipotong oleh kurva pada dua titik, yaitu di koordinat $(1, -3)$ dan $(1, 3).$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 14
Fungsi $f$ yang grafiknya diberikan pada gambar di bawah ini adalah $\cdots \cdot$
A. $f(x)=\dfrac{(x-1)(x-3)}{x-2}$
B. $f(x)=\dfrac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}$
C. $f(x)=\dfrac{2(x-1)(x-3)}{x-2}$
D. $f(x)=\dfrac{2(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}$
E. $f(x)=\dfrac{2(x-1)(x-3)}{(x-2)^3}$

Pembahasan

Dari grafik tersebut, tampak bahwa kurva memiliki satu asimtot vertikal dengan persamaan $x = 2$ sehingga penyebut fungsi memiliki faktor $(x-2).$
Kurva juga terlihat memiliki satu asimtot horizontal dengan persamaan $y = 2$. Ini menunjukkan bahwa derajat pembilang dan penyebut fungsi sama dengan perbandingan koefisien $2 : 1.$
Kurva memotong sumbu-$X$ di $(1, 0)$ dan $(3, 0).$ Artinya ada bentuk $(x-1)$ dan $(x-3)$ pada pembilang fungsi.
Agar memiliki derajat yang sama dengan pembilang, maka $(x-2)$ pada penyebut harus dipangkatkan dua.
Fungsi yang sesuai dengan kriteria tersebut adalah $f(x)=\dfrac{2(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 15
Fungsi berikut ini yang memiliki asimtot miring adalah $\cdots \cdot$
A. $f(x)=\dfrac{x^5+2}{x^4-4x^2+4}$
B. $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^3+x^2+1}$
C. $f(x)=\dfrac{4x^2+x+2}{x^2}$
D. $f(x)=\dfrac{x^5}{x^2-1}$
E. $f(x)=\dfrac{4x^2-1}{x^4-1}$

Pembahasan

Suatu fungsi rasional memiliki asimtot miring jika derajat pembilangnya satu lebih tinggi dari derajat penyebutnya.
Cek Opsi A:
Diketahui $f(x)=\dfrac{x^5+2}{x^4-4x^2+4}.$ Derajat pembilang = 5 dan derajat penyebut = 4. Kondisi terpenuhi sehingga fungsi ini memiliki asimtot miring.
Cek Opsi B:
Diketahui $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^3+x^2+1}.$ Derajat pembilang = 2 dan derajat penyebut = 3. Kondisi tidak terpenuhi sehingga fungsi ini  tidak memiliki asimtot miring.
Cek Opsi C:
Diketahui $f(x)=\dfrac{4x^2+x+2}{x^2}.$ Derajat pembilang = 2 dan derajat penyebut = 2. Kondisi tidak terpenuhi sehingga fungsi ini tidak memiliki asimtot miring.
Cek Opsi D:
Diketahui $f(x)=\dfrac{x^5}{x^2-1}.$ Derajat pembilang = 5 dan derajat penyebut = 2. Kondisi tidak terpenuhi sehingga fungsi ini tidak memiliki asimtot miring.
Cek Opsi E:
Diketahui $f(x)=\dfrac{4x^2-1}{x^4-1}.$ Derajat pembilang = 2 dan derajat penyebut = 4. Kondisi tidak terpenuhi sehingga fungsi ini tidak memiliki asimtot miring.
Jadi, fungsi berikut ini yang memiliki asimtot miring adalah $\boxed{f(x)=\dfrac{x^5+2}{x^4-4x^2+4}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 16
Fungsi-fungsi berikut ini yang memiliki sebuah lubang, sebuah titik potong dengan sumbu-$X$, sebuah asimtot miring, dan tidak memiliki asimtot vertikal adalah $\cdots \cdot$
A. $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^3+x^2+1}$
B. $f(x)=\dfrac{(x-7)(x^2-1)}{(x-7)(x-2)}$
C. $f(x)=\dfrac{(x-7)(x^3-4)}{(x-7)(x+5)}$
D. $f(x)=\dfrac{(x-7)(x^2-2)}{(x-7)(x-2)}$
E. $f(x)=\dfrac{x-7}{(x-7)(x-2)}$

Pembahasan

Kriteria 1:
Memiliki sebuah lubang memiliki arti bahwa ada satu faktor yang sama pada pembilang dan penyebut fungsi.
Opsi A tidak memenuhi karena $x^2-1 = (x+1)(x-1),$ sedangkan $(x+1)$ maupun $(x-1)$ bukanlah faktor dari $x^3+x^2+1.$
Kriteria 2:
Memiliki titik potong terhadap sumbu-$X$, artinya pembilang memiliki satu faktor lain yang tidak dimiliki oleh penyebut.
Opsi B tidak memenuhi karena pembilangnya memiliki dua faktor lain, yaitu $(x^2-1) = (x+1)(x-1).$
Opsi C masih memenuhi karena $x^3-4$ jelas memiliki satu penyelesaian real, yakni $x = \sqrt[4]{3}.$
Opsi D tidak memenuhi karena pembilangnya memiliki dua faktor lain, yaitu $(x^2-2) = (x+\sqrt2)(x-\sqrt2).$
Opsi E tidak memenuhi karena tidak memiliki faktor lain selain faktor bersama.
Kriteria 3:
Opsi C memenuhi karena setelah dijabarkan, derajat pembilang satu lebih tinggi dari derajat penyebut.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 17
Supaya grafik $y = \dfrac{2x+a}{3x+b}$ tidak memiliki asimtot vertikal, nilai $b$ seharusnya sama dengan $\cdots \cdot$
A. $\dfrac13a$                           D. $a$
B. $\dfrac12a$                           E. $\dfrac32a$
C. $\dfrac34a$

Pembahasan

Agar tidak memiliki asimtot vertikal, pembilang dan penyebut fungsi tersebut harus saling berkelipatan (memiliki faktor persekutuan). Karena berderajat sama, maka akan ada $k \neq 0$ sehingga berlaku $k(2x + a)  = 3x + b.$
Perhatikan bahwa persamaan tersebut dapat ditulis menjadi
$$\dfrac23k\left(3x + \dfrac32a\right) = 3x + b$$Dengan mengabaikan konstanta pembanding $\dfrac23k$, kita peroleh bahwa $\boxed{b = \dfrac32a}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 18
Asimtot horizontal dari grafik $y = \dfrac{5+2^x}{1-2^x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $y = -1$ saja
B. $y = 0$ saja
C. $y = 5$ saja
D. $y = -1$ dan $y = 0$
E. $y = -1$ dan $y = 5$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $y = \dfrac{5+2^x}{1-2^x}$ bukan merupakan fungsi rasional karena pembilang/penyebut bukan polinomial. Untuk menentukan asimtot horizontalnya, kita dapat mencari nilai limit fungsi ketika $x$ mendekati tak hingga dan $x$ mendekati negatif tak hingga. Kita tuliskan
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{5+2^x}{1-2^x} & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{5}{2^x}+1}{\dfrac{1}{2^x}-1} \\ & = \dfrac{0 + 1}{0-1} \\ & = \dfrac{1}{-1} = -1 \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{5+2^x}{1-2^x} & = \dfrac{5 + 0}{1-0} \\ & = 5 \end{aligned}$$Jadi, asimtot horizontal fungsi aljabar tersebut adalah $y = -1$ dan $y = 5.$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 19
Grafik fungsi $f(x) = \dfrac{(x+2)^k(x^2-1)}{(x^2+x-2)(x^2+3x+2)}$ untuk bilangan asli $k$ akan mempunyai satu asimtot tegak jika $k = \cdots \cdot$
A. $0$                           C. $2$                          E. $4$
B. $1$                           D. $3$

Pembahasan

Pertama, faktorkan pembilang dan penyebut fungsi rasional tersebut terlebih dahulu.
$$\begin{aligned} f(x) & = \dfrac{(x+2)^k(x^2-1)}{(x^2+x-2)(x^2+3x+2)} \\ & = \dfrac{(x+2)^k\cancel{(x+1)}\bcancel{(x-1)}}{(x+2)\bcancel{(x-1)}(x+2)\cancel{(x+1)}} \\ & = \dfrac{(x+2)^k}{(x+2)(x+2)} \end{aligned}$$Perhatikan bahwa pembilang dan penyebut akan memiliki faktor yang sama untuk $k \geq 1.$ Agar memiliki satu asimtot tegak, maka penyebut harus memiliki satu faktor setelah disederhanakan. Ini menunjukkan bahwa $k = 1$ akan membuat $f(x) = \dfrac{(x+2)^1}{(x+2)(x+2)} = \dfrac{1}{x+2}.$
Nilai $k$ yang lain akan membuat fungsi tidak memiliki asimtot tegak.
Catatan: Perhatikan bahwa $k$ adalah bilangan asli sehingga $k = 0$ tidak memenuhi meskipun membuat fungsi juga memiliki satu asimtot tegak.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Diketahui fungsi $f(x) = \dfrac{ax + 5}{\sqrt{x^2+bx+1}}$ dengan $a>0$ dan $b<0.$ Jika grafik fungsi $f$ mempunyai satu asimtot tegak dan salah satu asimtot datarnya adalah $y=-3,$ maka nilai $a+2b=\cdots \cdot$
A. $-2$                          C. $0$                         E. $2$
B. $-1$                          D. $1$

Pembahasan

Tampak bahwa $f(x)$ adalah fungsi rasional. Karena hanya memiliki satu asimtot tegak, maka hanya ada satu nilai $x$ yang membuat penyebutnya bernilai $0$, atau ditulis
$$\begin{aligned} \sqrt{x^2 + bx + 1} &= 0 \\ x^2+bx+1 & = 0 \end{aligned}$$Dengan kata lain, persamaan kuadrat tersebut hanya memiliki satu akar sehingga diskriminannya bernilai $0.$
$$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ b^2-4(1)(1) & = 0 \\ b^2 & = 4 \\ b & = \pm 2 \end{aligned}$$Karena diketahui $b < 0,$ maka nilai $b$ yang memenuhi adalah $b = -2.$
Jadi, sekarang kita tuliskan
$$f(x)= \dfrac{ax + 5}{\sqrt{x^2-2x+1}}$$Selanjutnya, asimtot datarnya dapat dicari dengan menggunakan konsep limit tak hingga. Diketahui bahwa asimtot datarnya adalah $y = -3,$ artinya nilai limit tak hingganya adalah $-3.$
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) & = -3 \\ \lim_{x \to \infty} \dfrac{ax + 5}{\sqrt{x^2-2x+1}} & = -3 \\ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{ax}{x} + \dfrac{5}{x}}{\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2}-\dfrac{2x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}}} & = -3 \\ \dfrac{a + 0}{\sqrt{1-0+0}} & = -3 \\ \dfrac{a}{1} & = -3 \\ a & = -3 \end{aligned}$$atau
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) & = -3 \\ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{ax + 5}{\sqrt{x^2-2x+1}} & = -3 \\ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{\dfrac{ax}{x} + \dfrac{5}{x}}{\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2}-\dfrac{2x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}}} & = -3 \\ \dfrac{-a + 0}{\sqrt{1-0+0}} & = -3 \\ \dfrac{-a}{1} & = -3 \\ a & = 3 \end{aligned}$$Karena diketahui $a > 0,$ maka nilai $a$ yang dipilih adalah $a = 3.$
Jadi, dapat disimpulkan bahwa nilai dari $\boxed{a+2b=3+2(-2)=-1}$
(Jawaban B)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot datar dari fungsi $f(x) = \dfrac{x-5}{\sqrt{x^2-3x+2}}.$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = \dfrac{x-5}{\sqrt{x^2-3x+2}}.$
Asimtot Tegak (Vertikal):
Asimtot tegak ditemukan ketika penyebut fungsi sama dengan nol.
$$\begin{aligned} \sqrt{x^2-3x+2} & = 0 \\ x^2-3x+2 & = 0 \\ (x-1)(x-2) & = 0 \\ x = 1~\text{atau}~x & = 2 \end{aligned}$$Jadi, asimtot tegak fungsi tersebut adalah $x = 1$ dan $x = 2.$
Asimtot Datar (Horizontal):
Kita gunakan konsep limit tak hingga sesuai dengan definisi asimtot horizontal.
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x-5}{\sqrt{x^2-3x+2}} & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{x}{x}-\dfrac{5}{x}}{\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2}-\dfrac{3x}{x^2}+\dfrac{2}{x^2}}} \\ & = \dfrac{1-0}{\sqrt{1-0+0}} \\ & = \dfrac{1}{1} = 1 \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x-5}{\sqrt{x^2-3x+2}} & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{x}{x}-\dfrac{5}{x}}{\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2}-\dfrac{3x}{x^2}+\dfrac{2}{x^2}}} \\ & = \dfrac{-1-0}{\sqrt{1-0+0}} \\ & = \dfrac{-1}{1} = -1 \end{aligned}$$Jadi, asimtot datar fungsi tersebut adalah $y = 1$ dan $y = -1.$

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot datar dari fungsi $$f(x) = \sqrt{4x^2-2x+1}-\sqrt{4x^2+2x-5}.$$

Pembahasan

Asimtot Tegak (Vertikal):
Fungsi tersebut tidak memiliki asimtot tegak karena berdasarkan definisinya, tidak ada bilangan $a$ yang memenuhi
$$\displaystyle \lim_{x \to a} \sqrt{4x^2-2x+1}-\sqrt{4x^2+2x-5} = \infty$$Asimtot Datar (Horizontal):
Fungsi dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan dengan cara merasionalkan seperti berikut.
$$\begin{aligned} f(x) & = \sqrt{4x^2-2x+1}-\sqrt{4x^2+2x-5} \times \dfrac{\sqrt{4x^2-2x+1}+\sqrt{4x^2+2x-5}}{\sqrt{4x^2-2x+1}+\sqrt{4x^2+2x-5}} \\ & = \dfrac{(4x^2-2x+1)-(4x^2+2x-5)}{\sqrt{4x^2-2x+1}+\sqrt{4x^2+2x-5}} \\ & = \dfrac{-4x + 6}{\sqrt{4x^2-2x+1}+\sqrt{4x^2+2x-5}} \end{aligned}$$Kita gunakan konsep limit tak hingga sesuai dengan definisi asimtot horizontal.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{-4x + 6}{\sqrt{4x^2-2x+1}+\sqrt{4x^2+2x-5}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{-4x}{x}+\dfrac{6}{x}}{\sqrt{\dfrac{4x^2}{x^2}-\dfrac{2x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}} + \sqrt{\dfrac{4x^2}{x^2}+\dfrac{2x}{x^2}-\dfrac{5}{x^2}}} \\ & = \dfrac{-4 + 0}{\sqrt{4-0+0} + \sqrt{4+0-0}} \\ & = \dfrac{-4}{4} = -1 \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{-4x + 6}{\sqrt{4x^2-2x+1}+\sqrt{4x^2+2x-5}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{-4x}{x}+\dfrac{6}{x}}{\sqrt{\dfrac{4x^2}{x^2}-\dfrac{2x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}} + \sqrt{\dfrac{4x^2}{x^2}+\dfrac{2x}{x^2}-\dfrac{5}{x^2}}} \\ & = \dfrac{4 + 0}{\sqrt{4-0+0} + \sqrt{4+0-0}} \\ & = \dfrac{4}{4} = 1 \end{aligned}$$Jadi, asimtot datar fungsi tersebut adalah $y = -1$ dan $y = 1.$

[collapse]

Soal Nomor 3 (HOTS Level PC4)
Jika kurva $y = \dfrac{x^3-3x+2}{\frac{1}{a}x(x^2-ax-6)}$ mempunyai dua asimtot tegak, analisislah semua kemungkinan nilai $a$ yang memenuhi beserta asimtot datar kurva tersebut.

Pembahasan

Perhatikan bahwa persamaan kurva $y$ dapat kita tuliskan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} y & = \dfrac{x^3-3x+2}{\frac{1}{a}x(x^2-ax-6)} \\ & = \dfrac{x^3-3x+2}{\frac{1}{a}x^3-x^2-\frac{6x}{a}} \end{aligned}$$Karena pembilang dan penyebut merupakan polinomial berderajat tiga, maka asimtot datarnya merupakan hasil bagi koefisien pangkat tertinggi, yaitu $y = \dfrac{1}{\frac{1}{a}} = a.$
Kita harus mencari nilai $a$ untuk menentukan asimtot datar kurva tersebut.
Dikatakan bahwa kurva memiliki dua asimtot tegak padahal penyebutnya berderajat tiga sehingga ada satu faktor yang sama antara pembilang dan penyebut.
Perhatikan bentuk pembilang.
$$\begin{aligned} x^3-3x+2 & = (x^3-x^2)+(x^2-3x+2) \\ & = x^2(x-1)+(x-1)(x-2) \\ & = (x-1)(x^2+x-2) \\ & = (x-1)(x-1)(x+2) \end{aligned}$$Kita tuliskan
$$y = \dfrac{(x-1)(x-1)(x+2)}{\frac{1}{a}x(x^2-ax-6)}$$Kemungkinan Pertama:
Misalkan faktor yang sama adalah $(x-1).$ Artinya $x = 1$ merupakan penyelesaian dari penyebutnya.
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{a}x(x^2-ax-6) & = 0 \\ \Rightarrow \dfrac{1}{a}(1)((1)^2-a(1)-6) & = 0 \\ -a-5 & = 0 \\ a & = -5 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a = -5$ dan asimtot datarnya adalah $y = -5$ seperti yang tampak pada sketsa grafik berikut untuk kurva $y = \dfrac{x^3-3x+2}{-\frac15x(x^2+5x-6)}.$

Kemungkinan Kedua:
Misalkan faktor yang sama adalah $(x+2).$ Artinya $x = -2$ merupakan penyelesaian dari penyebutnya.
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{a}x(x^2-ax-6) & = 0 \\ \Rightarrow \dfrac{1}{a}(-2)((-2)^2-a(-2)-6) & = 0 \\ -2+2a & = 0 \\ a & = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a = 1$ dan asimtot datarnya adalah $y = 1$ seperti yang tampak pada sketsa grafik berikut untuk kurva $y = \dfrac{x^3-3x+2}{x(x^2-x-6)}.$



[collapse]

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *