Soal dan Pembahasan – Deret Geometri Tak Hingga

Berikut ini penulis sajikan soal-soal beserta pembahasannya tentang deret geometri tak hingga. Soal-soal ini dikumpulkan dari berbagai sumber termasuk soal UN maupun SBMPTN. Semoga bermanfaat.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Aritmetika

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Geometri

Quote by Stefan Banach

Mathematics is the most beautiful and most powerful creation of the human spirit.

Soal Nomor 1
Suku kedua dan suku keempat suatu deret geometri tak hingga berturut-turut adalah 1 dan $\dfrac19$. Jika rasionya positif, maka jumlah semua suku dari deret geometri itu adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac13$        B. $2$        C. $3$         D. $4$        E. $4\dfrac12$

Penyelesaian

Diketahui: $\text{U}_2 = 1$ dan $\text{U}_4 = \dfrac19$
Rasio deret ini dapat dihitung dengan melakukan perbandingan seperti berikut. 
$\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_4}{\text{U}_2} & = \dfrac{\frac19}{1} \\ \dfrac{ar^3}{ar} & = \dfrac{1}{9} \\ r^2 & = \dfrac19 \Leftrightarrow r & = \pm \dfrac13 \end{aligned}$
Karena rasionya diketahui positif, maka diambil $r = \dfrac13$
Dengan demikian, suku pertamanya dapat ditentukan sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \text{U}_2 & = ar \\ 1 & = a\left(\dfrac13\right) \\ a & = 3 \end{aligned}$
Selanjutnya, jumlah deret tersebut adalah
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = \dfrac{a} {1-r} = \dfrac{3}{1 -\frac13} = \dfrac{3}{\frac23} \\ & = 3 \times \dfrac32 = \dfrac92 = 4\dfrac12 \end{aligned}$
Jadi, jumlah semua suku dari deret geometri itu adalah $\boxed{4\dfrac12}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui suatu deret geometri mempunyai suku pertama $27$. Jumlah tak hingga deret tersebut adalah $81$. Jumlah semua suku bernomor genap dari deret itu adalah $\cdots \cdot$
A. $32\dfrac25$                      D. $46\dfrac35$
B. $34\dfrac25$                      E. $48\dfrac35$
C. $36\dfrac35$ 

Penyelesaian

Diketahui: $a = 27$ dan $\text{S}_{\infty} = 81$
Akan ditentukan rasio deret tersebut sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = \dfrac{a} {1-r} \\ 81 & = \dfrac{27}{1-r} \\ 1 -r & = \dfrac{27}{81} = \dfrac13 \\ r & = 1 -\dfrac13 = \dfrac23 \end{aligned}$
Jumlah semua suku bernomor genap dinyatakan oleh
$\begin{aligned} & \text{U}_2 + \text{U}_4 + \text{U}_6 + \cdots \\ & = ar + ar^3 + ar^5 + \cdots \\ & = \dfrac{ar} {1 -r^2} \\ & = \dfrac{27 \cdot \frac23}{1 -\left(\frac23\right)^2} \\ & = \dfrac{18}{\frac59} = 18 \cdot \dfrac95 = \dfrac{162}{5} = 32\dfrac25 \end{aligned}$
Jadi, jumlah semua suku bernomor genap deret geometri tak hingga tersebut adalah $\boxed{32\dfrac25}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3
Jumlah suatu deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$ dengan $0<r<1$ adalah $\text{S}$. Jika suku pertama tetap dan rasio berubah menjadi $1-r$, maka jumlahnya menjadi $\cdots \cdot$
A. $\text{S}\left(1-\dfrac{1}{r} \right)$
B. $\dfrac{\text{S}} {r}$
C. $\text{S}\left(\dfrac{1}{r} -r\right)$
D. $\dfrac{\text{S}} {1-r}$
E. $\text{S}\left(\dfrac{1}{r} -1\right)$

Penyelesaian

Diketahui: $\text{S} = \dfrac{a} {1 -r}$
Persamaan di atas ekuivalen dengan $\color{blue} {a = \text{S}(1-r)}$. 
Misalkan deret geometri yang baru memiliki jumlah $\text{S}_{\text{baru}}$, suku pertama $a$, dan rasionya adalah $1 -r$. Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_{\text{baru}} & = \dfrac{a} {1 -(1 -r)} \\ & = \dfrac{\color{blue} {\text{S}(1 -r)}} {r} \\ & = \text{S}\left(\dfrac{1}{r}- \dfrac{r} {r} \right) \\ & = \text{S}\left(\frac{1}{r} -1\right) \end{aligned}$
Jadi, jumlah deret geometri yang baru itu adalah $\boxed{\text{S}\left(\frac{1}{r}- 1\right)}$ 
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 4 (Soal SBMPTN Saintek Bidang Matematika) 
Seekor cephalopoda bergerak pada koordinat Kartesius dimulai dari titik $(0,0)$. Cephalopoda itu bergerak ke sumbu $Y$ positif sejauh $8$ unit, lalu bergerak ke sumbu-$X$ positif sejauh $4$ unit, kemudian ke sumbu-$Y$ negatif sejauh $2$ unit, $1$ unit ke sumbu-$X$ negatif, $\dfrac12$ unit ke sumbu-$Y$ positif, $\dfrac14$ unit ke sumbu-$X$ positif, $\dfrac18$ unit ke sumbu-$Y$ negatif, dan seterusnya sampai berhenti pada koordinat tertentu. Koordinat itu adalah $\cdots \cdot$
A. $\left(\dfrac{16}{5}, \dfrac{32}{5}\right)$
B. $\left(\dfrac{32}{5}, \dfrac{16}{5}\right)$ 
C. $(32,16)$
D. $(16,32)$
E. $\text{tidak terdefinisi}$

Penyelesaian

Posisi pergerakan cephalopoda terhadap sumbu-$X$ dinyatakan oleh
$4 + (-1) + \dfrac14 + \left(-\dfrac{1}{16}\right) + \cdots$
(tanda negatif diberlakukan ketika bergerak ke sumbu-$X$ negatif)
Deret di atas merupakan deret geometri tak hingga dengan $a = 4$ dan $r = – \dfrac14$. Jumlah tak hingga deret tersebut adalah
$\text{S}_{\infty} = \dfrac{a}{1-r} = \dfrac{4}{1 -\left(-\frac14\right)} = \dfrac{4}{\frac54} = \dfrac{16}{5}$
Ini berarti, cephalopoda tersebut berhenti pada absis $x = \dfrac{16}{5}$. 
Posisi pergerakan cephalopoda terhadap sumbu-$Y$ dinyatakan oleh
$8 + (-2) + \dfrac12 + \left(-\dfrac{1}{8}\right) + \cdots$
(tanda negatif diberlakukan ketika bergerak ke sumbu-$Y$ negatif)
Deret di atas merupakan deret geometri tak hingga dengan $a = 8$ dan $r = – \dfrac14$. Jumlah tak hingga deret tersebut adalah
$\text{S}_{\infty} = \dfrac{a}{1-r} = \dfrac{8}{1 -\left(-\frac14\right)} = \dfrac{8}{\frac54} = \dfrac{32}{5}$
Ini berarti, cephalopoda tersebut berhenti pada ordinat $y = \dfrac{32}{5}$. 
Jadi, cephalopoda itu akan berhenti pada koordinat $\boxed{\left(\dfrac{16}{5}, \dfrac{32}{5}\right)}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5
Jika diberikan sebuah deret tak hingga $1+2p+p^2+2p^3+p^4+\cdots$, maka jumlah deret tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1-p} {1+p}$, untuk $|p|<1$
B. $\dfrac{1+p} {1-p}$, untuk $|p|<1$ 
C. $\dfrac{1+2p} {1-p}$, untuk $|p|<1$
D. $\dfrac{1+2p} {1-p^2}$, untuk $|p|<1$
E. $\dfrac{1+p} {1-p^2}$, untuk $|p|<1$

Penyelesaian

Deret di atas terdiri dari penjumlahan dua deret geometri tak hingga, yaitu
$\underbrace{(1 + p^2 + p^4 + \cdots)}_{\text{S}_1} + \underbrace{(2p + 2p^3 + \cdots)}_{\text{S}_2}$
Pada deret yang pertama, diketahui $a = 1$ dan $r = p^2$, sehingga
$\text{S}_1 = \dfrac{a} {1-r} = \dfrac{1}{1 -p^2}$
Pada deret yang kedua, diketahui $a = 2p$ dan $r = p^2$, sehingga
$\text{S}_2 = \dfrac{a} {1-r} = \dfrac{2p}{1 -p^2}$ 
Dengan demikian, jumlah deret tak hingga di atas adalah
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = \text{S}_1 + \text{S}_2 \\ & = \dfrac{1}{1-p^2} + \dfrac{2p} {1-p^2} \\ & = \dfrac{1 + 2p} {1-p^2} \end{aligned}$
Syarat rasionya adalah $|r| < 1$, yaitu $|p^2| < 1$ atau ekuivalen dengan $|p| < 1$. 
Jadi, jumlah deret tersebut adalah $\boxed{\frac{1+2p} {1-p^2}}$, untuk $|p|<1$.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Agar deret 
$\dfrac{x-1}{x+1} + \left(\dfrac{x-1}{x+1} \right)^2 + \left(\dfrac{x-1}{x+1} \right)^3 + \cdots$
konvergen, maka $x$ haruslah bernilai $\cdots \cdot$
A. lebih dari $0$
B. sama dengan $0$
C. kurang dari $0$
D. lebih dari $1$
E. kurang dari $1$

Penyelesaian

Deret di atas merupakan deret geometri tak hingga dengan rasio $r = \dfrac{x-1}{x+1}$. Agar deret tersebut konvergen (memiliki jumlah), syaratnya adalah $|r| < 1$. 
Untuk itu, kita tuliskan
$\begin{aligned} \left|\dfrac{x-1}{x+1}\right| & < 1 \\ \dfrac{(x-1)^2}{(x+1)^2} & < 1 \\ \dfrac{(x-1)^2}{(x+1)^2} – \dfrac{(x+1)^2}{(x+1)^2} & < 0 \\ \dfrac{(x^2-2x+1)-(x^2+2x+1)} {(x+1)^2} & < 0 \\ \dfrac{-4x} {(x+1)^2} & < 0 \end{aligned}$
Pada penyebut, bentuk $(x+1)^2$ tidak mungkin bernilai negatif, sehingga agar $\dfrac{-4x} {(x+1)^2}$ dapat bernilai negatif, haruslah $-4x < 0$, yang berarti $x > 0$. 
Jadi, agar deret tersebut konvergen, nilai $x$ haruslah lebih dari $0$ (positif).
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 7
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $(x-1)+(x-1)^3+(x-1)^5+\cdots=1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1+5\sqrt3}{2}$                D. $\dfrac{1-3\sqrt5}{2}$
B. $\dfrac{1+\sqrt5}{2}$                  E. $\dfrac{1-\sqrt5}{2}$
C. $\dfrac{1-5\sqrt3}{2}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa 
$(x-1)+(x-1)^3+(x-1)^5+\cdots$
merupakan deret geometri tak hingga dengan $a = x – 1$ dan $r = (x -1)^2$.
Jumlah dari deret ini adalah
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = \dfrac{a}{1-r} \\ 1 & = \dfrac{x -1}{1 -(x – 1)^2} \\ 1 & = \dfrac{x-1}{-x^2 + 2x} \\ -x^2 + 2x & = x -1 \\ x^2 -x -1 & = 0 \end{aligned}$
Dengan menggunakan rumus kuadrat, diperoleh
$\begin{aligned} x_{1,2} & = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\ & = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 -4(1)(-1)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \end{aligned}$
Syarat deret geometri tak hingga memiliki nilai (konvergen) adalah nilai mutlak rasionya harus kurang dari 1, sehingga kita tulis
$\begin{aligned} |(x-1)^2| & < 1 \\ |x-1| & < 1 \\ -1 & < x – 1 < 1 \\ 0 & < x < 2 \end{aligned}$
Dengan demikian, nilai $x$ yang memenuhi interval di atas adalah $x = \boxed{\dfrac{1 + \sqrt5}{2}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Soal Cerita (Aplikasi) Barisan dan Deret Geometri

Soal Nomor 8
Diberikan matriks orde dua yang disimbolkan dengan $A = \begin{pmatrix} \dfrac12 & -\dfrac12 \\ -\dfrac12 & x \end{pmatrix}$. Jika $|A|$ menyatakan determinan matriks $A$, maka deret geometri $|A| + |A|^2 + |A|^3 + \cdots$ akan konvergen ke-$\cdots \cdot$
A. $\dfrac{2x-1}{2x-5}$ dengan $-\dfrac32 < x < \dfrac52$
B. $-\dfrac{2x-1}{2x-5}$ dengan $-\dfrac32 < x < \dfrac52$
C. $\dfrac{2x-1}{2x-5}$ dengan $-\dfrac32 < x < \dfrac32$
D. $-\dfrac{2x-1}{2x-5}$ dengan $-\dfrac52 < x < \dfrac52$
E. $\dfrac{2x-1}{2x-5}$ dengan $\dfrac32 < x < \dfrac52$

Penyelesaian

Deret geometri itu memiliki suku pertama $|A|$ dan rasionya juga $|A|$, di mana $|A| = \dfrac{1}{2}x -\dfrac14$
Agar konvergen, nilai mutlak rasio deret itu harus bernilai kurang dari 1. Untuk membedakan notasi nilai mutlak dan determinan, selanjutnya digunakan $\det(A)$ yang menyatakan determinan $A$.
Dengan demikian, syarat konvergen deret itu diberikan oleh
$\begin{aligned} & r = |\det(A)| < 1 \\ & \left|\dfrac{1}{2}x – \dfrac14\right| < 1 \\ & -1 < \dfrac{1}{2}x – \dfrac14 < 1 \\ & -1 + \dfrac14 < \dfrac{1}{2}x < 1 + \dfrac14 \\ & -\dfrac34 < \dfrac{1}{2}x < \dfrac54 \\ & -\dfrac32 < x < \dfrac52 \end{aligned}$
Jumlah deret tak hingga tersebut adalah
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = \dfrac{a}{1-r} \\ & = \dfrac{\det(A)}{1- \det(A)} \\ & = \dfrac{\frac{1}{2}x -\frac14}{1 -\left(\frac{1}{2}x- \frac14\right)} \\ & = \dfrac{\frac{1}{2}x -\frac14}{\frac54 -\frac{1}{2}x} \\ \text{Kalikan}&~4~\text{pada_pembilang dan_penyebut} \\ & = \dfrac{2x -1}{5- 2x} \\ & = -\dfrac{2x-1}{2x-5} \end{aligned}$
Jadi, deret geometri $|A| + |A|^2 + |A|^3 + \cdots$ akan konvergen ke $\boxed{-\dfrac{2x-1}{2x-5}}$ dengan $-\dfrac32 < x < \dfrac52$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian $8$ meter. Bola memantul ke atas setelah mengenai lantai dengan ketinggian $\dfrac35$ dari ketinggian semula, begitu seterusnya. Panjang lintasan bola tersebut sampai berhenti adalah $\cdots$ m. 
A. $18$                    C. $26$                    E. $36$
B. $22$                    D. $32$      

Penyelesaian

Kasus ini merupakan kasus deret geometri tak hingga
Alternatif I:
Diketahui: 
(Untuk lintasan bola ke bawah) 
$a = 8$ dan $r = \dfrac35$
(Untuk lintasan bola ke atas) 
$a = 8 \times \dfrac35 = \dfrac{24}{5}$ dan $r = \dfrac35$ 
Panjang lintasan bola ke arah bawah dapat ditentukan sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \text{S}_{1} & = \dfrac{a} {1-r} = \dfrac{8}{1 -\frac35} \\ & = \dfrac{8}{\frac25} = 8 \times \dfrac52 = 20 \end{aligned}$
Panjang lintasan bola ke arah atas dapat ditentukan sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \text{S}_{2} & = \dfrac{a} {1-r} = \dfrac{\frac{24}{5}}{1- \frac35} \\ & = \dfrac{\frac{24}{5}}{\frac25} = \dfrac{24}{5} \times \dfrac52 = 12 \end{aligned}$
Jadi, panjang lintasan bola itu sampai berhenti adalah $\boxed{20 + 12 = 32~\text{m}}$
Alternatif II:
Untuk kasus jatuhnya bola seperti soal ini, terdapat rumus khususnya, yaitu 
$\boxed{\text{S}_{\infty} = h + 2\left(\dfrac{a} {1-r}\right)}$
di mana $h$ adalah ketinggian dijatuhkannya bola, $a$ ketinggian bola setelah pemantulan pertama, dan $r$ rasionya. 
Diketahui: $h = 8, a = 8 \cdot \dfrac35 = \dfrac{24}{5}$, dan $r = \dfrac35$. 
Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = h + 2\left(\dfrac{a} {1-r}\right) \\ & = 8 + 2\left(\dfrac{\frac{24}{5}} {1 -\frac35}\right) \\ & = 8 + 2\left(\dfrac{\cancelto{12}{24}}{\bcancel{5}} \times \dfrac{\bcancel{5}}{\cancel{2}}\right) \\ & = 8 + 2(12) = 32 \end{aligned}$
Jadi, panjang lintasan bola itu sampai berhenti adalah $\boxed{20 + 12 = 32~\text{m}}$ 
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 10
$ABCD$ adalah sebuah persegi dengan panjang sisi 4 cm. Di dalam persegi $ABCD$ dibuat lagi persegi $A’B’C’D’$, kemudian di dalamnya lagi dibuat persegi lain, yaitu persegi $A”B”C”D”$, demikian hingga seterusnya sampai terdapat tak hingga banyaknya persegi seperti ilustrasi gambar di bawah. Jumlah keliling persegi yang terbentuk adalah $\cdots$ cm.

A. $(64 + 32\sqrt{2})$
B. $(32 + 32\sqrt{2})$
C. $(36+16\sqrt{2})$
D. $(32+16\sqrt{2})$
E. $(32 + 12\sqrt{2})$

Penyelesaian

Keliling persegi $ABCD$ adalah $4 \times 4 = 16$ cm. 
Panjang sisi persegi $A’B’C’D’$ dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras, yaitu
$A’B’ = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$ cm. 
Dengan demikian, keliling persegi $A’B’C’D’$ adalah $4 \times 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ cm. 
Panjang sisi persegi $A”B”C”D”$ dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras kembali, yaitu
$A”B” = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = 2$ cm. 
Dengan demikian, keliling persegi $A’B’C’D’$ adalah $4 \times 2 = 8$ cm. 
Ternyata, jumlah nilai keliling persegi tersebut membentuk deret geometri tak hingga, yaitu
$16, 8\sqrt{2}, 8, \cdots$
dengan $a = 16$ dan $r = \dfrac{8\sqrt{2}} {16} = \dfrac{1}{2}\sqrt{2}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = \dfrac{a} {1-r} \\ & = \dfrac{16}{1- \frac{1}{2}\sqrt{2}} \\ \text{Kalikan}~&2~\text{pada_pembilang dan_penyebut} \\ & = \dfrac{32}{2 -\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{32}{2 -\sqrt{2}} \times \dfrac{2+\sqrt{2}} {2+\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{32(2+\sqrt{2})} {4 -2} \\ & = 32 + 16\sqrt{2} \end{aligned}$
Jadi, jumlah keliling persegi yang terbentuk adalah $\boxed{32 + 16\sqrt{2}~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11 (Soal SBMPTN Saintek Bidang Matematika) 
Diketahui deret geometri tak hingga mempunyai jumlah sama dengan nilai minimum fungsi $f(x) = -x^3 + 3x + 2c$ untuk $-1 \leq x \leq 2$. Selisih suku kedua dan suku pertama deret geometri tersebut adalah $f'(0)$. Jika rasio deret geometri tersebut adalah $1-\sqrt{3}$, maka nilai $c$ adalah $\cdots \cdot$
A. -1       B. $-\dfrac32$       C. $-\dfrac12$        D. $\dfrac12$        E. $\dfrac32$

Penyelesaian

Nilai minimum fungsi $f(x) = -x^3+3x+2c$ dapat ditentukan saat turunan pertamanya bernilai 0, yaitu
$\begin{aligned} f'(x) & = -3x^2 + 3 \\ 0 & = -3x^2 + 3 \\ x^2 & = 1 \\ x & = \pm 1 \end{aligned}$
Untuk menguji titik maksimum/minimumnya, gunakan turunan kedua. 
$f”(x) = -6x$
Substitusi $x = 1$, diperoleh $f”(1) = -6(1) = -6$ (minimum) 
Substitusi $x = -1$, diperoleh $f”(-1) = -6(-1) = 6$ (maksimum) 
Sekarang, substitusi $x = 1$ pada $f(x)$, diperoleh
$f(1) = -(1)^3 + 3(1) + 2c = 2 + 2c$
yang berarti, $\text{S}_{\infty} = 2+2c$
Diketahui bahwa selisih suku kedua dan suku pertama deret geometri tersebut adalah $f'(0)$ dan $r =1-\sqrt{3}$, ditulis
$\begin{aligned} \text{U}_2 -\text{U}_1 & = f'(0) \\ ar -a & = -3(0)^2 + 3 \\ a(r- 1) & = 3 \\ a (1 -\sqrt{3} -1) & = 3 \\ a & = \dfrac{3}{-\sqrt{3}} = -\sqrt{3} \end{aligned}$
Dengan menggunakan jumlah deret geometri tak hingga, didapat
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = \dfrac{a} {1-r} \\ 2+2c & = \dfrac{-\sqrt{3}} {1 -(1 -\sqrt{3})} \\ 2+2c & = -1 \\ 2c & = -3 \\ c & = -\dfrac32 \end{aligned}$
Jadi, nilai $c$ adalah $\boxed{-\dfrac32}$ 
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aplikasi (Soal Cerita) Barisan dan Deret Aritmetika

CategoriesBarisan dan DeretTags, , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *