Soal dan Pembahasan – Deret Geometri Takhingga

Deret geometri takhingga tersebut memiliki suku pertama $a = 4$ dan rasio $r = \dfrac12.$
Jumlah takhingganya dinyatakan oleh
$\text{S}_{\infty} = \dfrac{a}{1-r} = \dfrac{4}{1-\frac12} = \dfrac{4}{\frac12} = 8.$
(Jawaban C)

Deret geometri takhingga tersebut memiliki suku pertama $a = 18$ dan rasio $r = \dfrac{12}{18} = \dfrac23.$
Jumlah takhingganya dinyatakan oleh
$\text{S}_{\infty} = \dfrac{a}{1-r}= \dfrac{18}{1-\frac23} = \dfrac{18}{\frac13} = 54.$
(Jawaban C)

Deret geometri takhingga tersebut memiliki suku pertama $a = 27$ dan rasio $r = \dfrac{-9}{27} = -\dfrac13.$
Jumlah takhingganya dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = \dfrac{a}{1-r} = \dfrac{27}{1-\left(-\frac13\right)} \\ & = \dfrac{27}{\frac43} = 27 \cdot \dfrac34 = \dfrac{81}{4} \end{aligned}$
(Jawaban D)

Deret geometri takhingga tersebut memiliki suku pertama $a = 1$ dan rasio $r = -\dfrac34$.
Jumlah takhingganya dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = \dfrac{a}{1-r} \\ & = \dfrac{1}{1-\left(-\frac34\right)} \\ & = \dfrac{1}{\frac74} = \dfrac47 \end{aligned}$
(Jawaban B)

Diketahui: $\text{U}_2 = 1$ dan $\text{U}_4 = \dfrac19.$
Rasio deret ini dapat dihitung dengan melakukan perbandingan seperti berikut. 
$\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_4}{\text{U}_2} & = \dfrac{\frac19}{1} \\ \dfrac{ar^3}{ar} & = \dfrac{1}{9} \\ r^2 & = \dfrac19 \Leftrightarrow r = \pm \dfrac13 \end{aligned}$
Karena rasionya diketahui positif, diambil $r = \dfrac13.$
Dengan demikian, suku pertamanya dapat ditentukan sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \text{U}_2 & = ar \\ 1 & = a\left(\dfrac13\right) \\ a & = 3 \end{aligned}$
Selanjutnya, jumlah deret tersebut adalah
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = \dfrac{a} {1-r} = \dfrac{3}{1 -\frac13} = \dfrac{3}{\frac23} \\ & = 3 \times \dfrac32 = \dfrac92 = 4\dfrac12. \end{aligned}$
Jadi, jumlah semua suku dari deret geometri itu adalah $\boxed{4\dfrac12}.$
(Jawaban E)

Diketahui: $a = 27$ dan $\text{S}_{\infty} = 81.$
Akan ditentukan rasio deret tersebut sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = \dfrac{a} {1-r} \\ 81 & = \dfrac{27}{1-r} \\ 1 -r & = \dfrac{27}{81} = \dfrac13 \\ r & = 1 -\dfrac13 = \dfrac23 \end{aligned}$
Jumlah semua suku bernomor genap dinyatakan oleh
$\begin{aligned} & \text{U}_2 + \text{U}_4 + \text{U}_6 + \cdots \\ & = ar + ar^3 + ar^5 + \cdots \\ & = \dfrac{ar} {1 -r^2} \\ & = \dfrac{27 \cdot \frac23}{1 -\left(\frac23\right)^2} \\ & = \dfrac{18}{\frac59} = 18 \cdot \dfrac95 \\ & = \dfrac{162}{5} = 32\dfrac25. \end{aligned}$
Jadi, jumlah semua suku bernomor genap deret geometri takhingga tersebut adalah $\boxed{32\dfrac25}.$
(Jawaban A)

Deret geometri tersebut memiliki suku pertama $a = \dfrac{1}{s}$ dan rasio $r = \dfrac{1}{t}.$
Karena $\dfrac{1}{s} + \dfrac{1}{t} = 1,$ haruslah
$\begin{aligned} \dfrac{s + t}{st} & = 1 \\ \color{blue}{s+t} & \color{blue}{= st}. \end{aligned}$
Dengan demikian, jumlah deret geometri takhingga itu adalah
$\begin{aligned} S_{\infty} & = \dfrac{a}{1-r} \\ & = \dfrac{\frac{1}{s}}{1-\frac{1}{t}} \color{red}{\times \dfrac{st}{st}} \\ & = \dfrac{t}{\color{blue}{st}-s} \\ & = \dfrac{t}{\color{blue}{(s+t)}-s} \\ & = \dfrac{t}{t} = 1. \end{aligned}$
Jadi, jumlah deret geometri takhingga tersebut adalah $\boxed{1}.$
(Jawaban C)

Kasus ini merupakan kasus deret geometri takhingga. 
Alternatif I:
(Untuk lintasan bola ke bawah) 
Diketahui $a = 8$ dan $r = \dfrac35.$
Panjang lintasan bola ke arah bawah dapat ditentukan sebagai berikut.
$\begin{aligned} \text{S}_{1} & = \dfrac{a} {1-r} = \dfrac{8}{1 -\frac35} \\ & = \dfrac{8}{\frac25} = 8 \times \dfrac52 = 20 \end{aligned}$
(Untuk lintasan bola ke atas) 
$a = 8 \times \dfrac35 = \dfrac{24}{5}$ dan $r = \dfrac35.$ 
Panjang lintasan bola ke arah atas dapat ditentukan sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \text{S}_{2} & = \dfrac{a} {1-r} = \dfrac{\frac{24}{5}}{1- \frac35} \\ & = \dfrac{\frac{24}{5}}{\frac25} = \dfrac{24}{5} \times \dfrac52 = 12 \end{aligned}$
Jadi, panjang lintasan bola itu sampai berhenti adalah $\boxed{20 + 12 = 32~\text{m}}.$
Alternatif II:
Untuk kasus jatuhnya bola seperti soal ini, terdapat rumus khususnya, yaitu 
$\boxed{\text{S}_{\infty} = h + 2\left(\dfrac{a} {1-r}\right)}$
dengan $h$ adalah ketinggian dijatuhkannya bola, $a$ ketinggian bola setelah pemantulan pertama, dan $r$ rasionya. 
Diketahui: $h = 8, a = 8 \cdot \dfrac35 = \dfrac{24}{5}$, dan $r = \dfrac35.$ 
Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = h + 2\left(\dfrac{a} {1-r}\right) \\ & = 8 + 2\left(\dfrac{\frac{24}{5}} {1 -\frac35}\right) \\ & = 8 + 2\left(\dfrac{\cancelto{12}{24}}{\bcancel{5}} \times \dfrac{\bcancel{5}}{\cancel{2}}\right) \\ & = 8 + 2(12) = 32 \end{aligned}$
Jadi, panjang lintasan bola itu sampai berhenti adalah $\boxed{20 + 12 = 32~\text{m}}.$ 
(Jawaban D)

Untuk kasus dijatuhkannya bola, kita mempunyai rumus khusus mencari panjang lintasan keseluruhan yang ditempuh bola, yakni $\text{S}_\infty = h + 2\left(\dfrac{a}{1-r}\right)$
dengan $h$ adalah ketinggian dijatuhkannya bola, $a$ adalah ketinggian bola setelah pantulan pertama, dan $r$ rasio.
Dari kasus ini, diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = a^2 + 2\left(\dfrac{a^2 \cdot \frac{1}{a}}{1-\frac{1}{a}}\right) \\ 6a & = a^2 + 2\left(\dfrac{a}{1-\frac{1}{a}}\right) \\ 6a & = a^2+\dfrac{2a^2}{a-1} \\ \text{Kedua ruas}~&\text{dibagi}~a \\ 6 & = a + \dfrac{2a}{a-1} \\ 6(a-1) & = a(a-1) + 2a \\ 6a-6 & = a^2-a+2a \\ a^2-5a+6 & = 0 \\ (a-2)(a-3) & = 0. \end{aligned}$
Jadi, $a = 2$ atau $a = 3.$
(Jawaban D)

Ubah semua basis menjadi $2$ seperti berikut.
$\begin{aligned} & 2^{1/4} \cdot 4^{1/16} \cdot 8^{1/48} \cdots \\ & = 2^{1/4} \cdot (2^2)^{1/16} \cdot (2^3)^{1/48} \cdots \\ & = 2^{1/4} \cdot 2^{1/8} \cdot 2^{1/16} \cdots \\ & = 2^{\color{red}{1/4 + 1/8 + 1/16 + \cdots}} \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $1/4+1/8+1/16+\cdots$ merupakan deret geometri takhingga dengan suku pertama $a = 1/4$ dan rasio $r = 1/2.$
Hasil dari deret geometri takhingga ini adalah
$\begin{aligned} S_{\infty} & = \dfrac{a}{1-r} \\ & = \dfrac{1/4}{1-1/2} \\ & = \dfrac{1/4}{1/2} = 1/2 \end{aligned}$
Dengan demikian, hasil dari $\boxed{2^{1/4} \cdot 4^{1/16} \cdot 8^{1/48} \cdots = 2^{1/2} = \sqrt2}.$
(Jawaban A)

Diketahui $\dfrac{1}{^{10} \log a} + \dfrac{1}{^{\sqrt{10}} \log a} + \dfrac{1}{^{\sqrt{\sqrt{10}}} \log a} +$ $\cdots = 200$.
Kita akan menggunakan sifat logaritma berikut.
$\boxed{\begin{aligned} \dfrac{1}{^a \log b} & = ^b \log a \\ ^a \log b + ^a \log c & = ^a \log bc \end{aligned}}$
Dari sini, didapat
$$\begin{aligned} ^a \log 10 + ^a \log \sqrt{10} + ^a \log \sqrt{\sqrt{10}} + \cdots & = 200 \\ ^a \log (10 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{\sqrt{10}} + \cdots) & = 200 \\ ^a \log (10^{\color{red}{1 + \frac12 + \frac14}}) & = 200. \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $\color{red}{1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots}$ merupakan deret geometri dengan takhingga dengan $a = 1$ dan rasio $r = \dfrac12$ sehingga
$\text{S}_{\infty} = \dfrac{a}{1-r} = \dfrac{1}{1-\frac12} = 2.$
Jadi, kita peroleh
$\begin{aligned} ^a \log (10^{\color{red}{1 + \frac12 + \frac14}}) & = 200 \\ \Rightarrow ^a \log 10^2 & = 200 \\ a^{200} & = 10^2 \\ a & = (10^2)^{\frac{1}{200}} = 10^{\frac{1}{100}} \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{10^{\frac{1}{100}}}.$
(Jawaban D)

Diketahui: $\text{S} = \dfrac{a} {1 -r}.$
Persamaan di atas ekuivalen dengan $\color{blue} {a = \text{S}(1-r)}$. 
Misalkan deret geometri yang baru memiliki jumlah $\text{S}_{\text{baru}}$, suku pertama $a$, dan rasionya adalah $1 -r$. Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_{\text{baru}} & = \dfrac{a} {1 -(1 -r)} \\ & = \dfrac{\color{blue} {\text{S}(1 -r)}} {r} \\ & = \text{S}\left(\dfrac{1}{r}- \dfrac{r} {r} \right) \\ & = \text{S}\left(\frac{1}{r} -1\right). \end{aligned}$
Jadi, jumlah deret geometri yang baru itu adalah $\boxed{\text{S}\left(\frac{1}{r}- 1\right)}.$ 
(Jawaban E)

Posisi pergerakan sefalopoda terhadap sumbu-$X$ dinyatakan oleh
$4 + (-1) + \dfrac14 + \left(-\dfrac{1}{16}\right) + \cdots$
(tanda negatif diberlakukan ketika bergerak ke sumbu-$X$ negatif)
Deret di atas merupakan deret geometri takhingga dengan $a = 4$ dan $r = – \dfrac14$. Jumlah takhingga deret tersebut adalah
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = \dfrac{a}{1-r} \\ & = \dfrac{4}{1 -\left(-\frac14\right)} \\ & = \dfrac{4}{\frac54} = \dfrac{16}{5} \end{aligned}$
Ini berarti, sefalopoda tersebut berhenti pada absis $x = \dfrac{16}{5}.$
Posisi pergerakan sefalopoda terhadap sumbu-$Y$ dinyatakan oleh
$8 + (-2) + \dfrac12 + \left(-\dfrac{1}{8}\right) + \cdots$
(tanda negatif diberlakukan ketika bergerak ke sumbu-$Y$ negatif)
Deret di atas merupakan deret geometri takhingga dengan $a = 8$ dan $r = – \dfrac14$. Jumlah takhingga deret tersebut adalah
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = \dfrac{a}{1-r} \\ & = \dfrac{8}{1 -\left(-\frac14\right)} \\ & = \dfrac{8}{\frac54} = \dfrac{32}{5} \end{aligned}$
Ini berarti, sefalopoda tersebut berhenti pada ordinat $y = \dfrac{32}{5}$. 
Jadi, sefalopoda itu akan berhenti pada koordinat $\boxed{\left(\dfrac{16}{5}, \dfrac{32}{5}\right)}.$
(Jawaban A)

Deret di atas terdiri dari penjumlahan dua deret geometri takhingga, yaitu
$\underbrace{(1 + p^2 + p^4 + \cdots)}_{\text{S}_1} + \underbrace{(2p + 2p^3 + \cdots)}_{\text{S}_2}$
Pada deret yang pertama, diketahui $a = 1$ dan $r = p^2$ sehingga
$\text{S}_1 = \dfrac{a} {1-r} = \dfrac{1}{1 -p^2}.$
Pada deret yang kedua, diketahui $a = 2p$ dan $r = p^2$ sehingga
$\text{S}_2 = \dfrac{a} {1-r} = \dfrac{2p}{1 -p^2}.$ 
Dengan demikian, jumlah deret takhingga di atas adalah
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = \text{S}_1 + \text{S}_2 \\ & = \dfrac{1}{1-p^2} + \dfrac{2p} {1-p^2} \\ & = \dfrac{1 + 2p} {1-p^2} \end{aligned}$
Syarat rasionya adalah $|r| < 1$, yaitu $|p^2| < 1$ atau ekuivalen dengan $|p| < 1.$ 
Jadi, jumlah deret tersebut adalah $\boxed{\frac{1+2p} {1-p^2}}$ untuk $|p|<1.$
(Jawaban D)

Deret di atas merupakan deret geometri takhingga dengan rasio $r = \dfrac{x-1}{x+1}.$ Agar deret tersebut konvergen (memiliki jumlah), syaratnya adalah $|r| < 1$. 
Untuk itu, kita tuliskan
$\begin{aligned} \left|\dfrac{x-1}{x+1}\right| & < 1 \\ \dfrac{(x-1)^2}{(x+1)^2} & < 1 \\ \dfrac{(x-1)^2}{(x+1)^2} – \dfrac{(x+1)^2}{(x+1)^2} & < 0 \\ \dfrac{(x^2-2x+1)-(x^2+2x+1)} {(x+1)^2} & < 0 \\ \dfrac{-4x} {(x+1)^2} & < 0 \end{aligned}$
Pada penyebut, bentuk $(x+1)^2$ tidak mungkin bernilai negatif, sehingga agar $\dfrac{-4x} {(x+1)^2}$ dapat bernilai negatif, haruslah $-4x < 0$, yang berarti $x > 0.$
Jadi, agar deret tersebut konvergen, nilai $x$ haruslah lebih dari $0$ (positif).
(Jawaban A)

Perhatikan bahwa 
$$(x-1)+(x-1)^3+(x-1)^5+\cdots$$merupakan deret geometri takhingga dengan $a = x -1$ dan $r = (x -1)^2.$
Jumlah dari deret ini adalah
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = \dfrac{a}{1-r} \\ 1 & = \dfrac{x -1}{1 -(x – 1)^2} \\ 1 & = \dfrac{x-1}{-x^2 + 2x} \\ -x^2 + 2x & = x -1 \\ x^2 -x -1 & = 0 \end{aligned}$
Dengan menggunakan rumus kuadrat, diperoleh
$\begin{aligned} x_{1,2} & = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\ & = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 -4(1)(-1)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}. \end{aligned}$
Syarat deret geometri takhingga memiliki nilai (konvergen) adalah nilai mutlak rasionya harus kurang dari 1, sehingga kita tulis
$\begin{aligned} |(x-1)^2| & < 1 \\ |x-1| & < 1 \\ -1 & < x – 1 < 1 \\ 0 & < x < 2 \end{aligned}$
Dengan demikian, nilai $x$ yang memenuhi interval di atas adalah $x = \boxed{\dfrac{1 + \sqrt5}{2}}.$
(Jawaban B)

Deret geometri itu memiliki suku pertama $|A|$ dan rasionya juga $|A|$ dengan $|A| = \dfrac{1}{2}x-\dfrac14.$
Agar konvergen, nilai mutlak rasio deret itu harus bernilai kurang dari 1. Untuk membedakan notasi nilai mutlak dan determinan, selanjutnya digunakan $\det(A)$ yang menyatakan determinan $A$.
Dengan demikian, syarat konvergen deret itu diberikan oleh
$\begin{aligned} & r = |\det(A)| < 1 \\ & \left|\dfrac{1}{2}x – \dfrac14\right| < 1 \\ & -1 < \dfrac{1}{2}x -\dfrac14 < 1 \\ & -1 + \dfrac14 < \dfrac{1}{2}x < 1 + \dfrac14 \\ & -\dfrac34 < \dfrac{1}{2}x < \dfrac54 \\ & -\dfrac32 < x < \dfrac52. \end{aligned}$
Jumlah deret takhingga tersebut adalah
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = \dfrac{a}{1-r} \\ & = \dfrac{\det(A)}{1- \det(A)} \\ & = \dfrac{\frac{1}{2}x -\frac14}{1 -\left(\frac{1}{2}x- \frac14\right)} \\ & = \dfrac{\frac{1}{2}x -\frac14}{\frac54 -\frac{1}{2}x} \\ & = \dfrac{2x -1}{5- 2x} \\ & = -\dfrac{2x-1}{2x-5}. \end{aligned}$
Jadi, deret geometri $|A| + |A|^2 + |A|^3 + \cdots$ akan konvergen ke $\boxed{-\dfrac{2x-1}{2x-5}}$ dengan $-\dfrac32 < x < \dfrac52.$
(Jawaban B)

Keliling persegi $ABCD$ adalah $4 \times 4 = 16$ cm. 
Panjang sisi persegi $A’B’C’D’$ dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras, yaitu
$A’B’ = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$ cm. 
Dengan demikian, keliling persegi $A’B’C’D’$ adalah $4 \times 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ cm. 
Panjang sisi persegi $A^{\prime \prime}B^{\prime \prime}C^{\prime \prime}D^{\prime \prime}$ dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras kembali, yaitu
$A^{\prime \prime}B^{\prime \prime} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = 2$ cm. 
Dengan demikian, keliling persegi $A’B’C’D’$ adalah $4 \times 2 = 8$ cm. 
Ternyata, jumlah nilai keliling persegi tersebut membentuk deret geometri takhingga, yaitu $16, 8\sqrt{2}, 8, \cdots$ dengan $a = 16$ dan $r = \dfrac{8\sqrt{2}} {16} = \dfrac{1}{2}\sqrt{2}.$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = \dfrac{a} {1-r} \\ & = \dfrac{16}{1- \frac{1}{2}\sqrt{2}} \\  & = \dfrac{32}{2 -\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{32}{2 -\sqrt{2}} \times \dfrac{2+\sqrt{2}} {2+\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{32(2+\sqrt{2})} {4 -2} \\ & = 32 + 16\sqrt{2}. \end{aligned}$
Jadi, jumlah keliling persegi yang terbentuk adalah $\boxed{(32 + 16\sqrt{2})~\text{cm}}.$
(Jawaban D)

Perhatikan gambar.
Luas daerah I adalah setengah dari luas persegi berukuran $18 \times 18$, yaitu
$L_I = \dfrac12(18 \times 18) = 162~\text{cm}^2.$
Luas daerah II adalah setengah dari luas persegi berukuran $9 \times 9$, yaitu
$L_{II} = \dfrac12(9 \times 9) = \dfrac{81}{2}~\text{cm}^2.$
Luas daerah III adalah setengah dari luas persegi yang berukuran $\dfrac92 \times \dfrac92$, yaitu
$L_{II} = \dfrac12(\dfrac92 \times \dfrac92) = \dfrac{81}{8}~\text{cm}^2.$
Dari sini, luas daerah arsir membentuk deret geometri takhingga:
$162 + \dfrac{81}{2} + \dfrac{81}{8} + \cdots$
Deret tersebut memiliki suku awal $a = 162$ dan rasio $r = \dfrac14.$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = \dfrac{a}{1-r} \\ & = \dfrac{162}{1-\dfrac14} \\ & = \cancelto{54}{162} \times \dfrac{4}{\cancel{3}} \\ & = 54 \times 4 = 216~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $\boxed{216~\text{cm}^2}.$
(Jawaban A)

Perhatikan gambar di bawah.
Pertama, kita hitung dulu luas lingkaran terbesar di tengah-tengah segitiga $ABC$. Jari-jari lingkaran dalam segitiga sama-sisi ditentukan oleh $r = \dfrac{L_{\triangle  ABC}}{\frac12K}$, dengan $K$ sebagai keliling segitiga.
Diketahui panjang sisi segitiga = $2\sqrt3$, artinya $K = 6\sqrt3.$
Tinggi segitiga itu dapat dicari dengan rumus Pythagoras (belah segitiga sama sisi itu menjadi dua).
$\begin{aligned} CQ = t & = \sqrt{(2\sqrt3)^2-(\sqrt3)^2} \\ & = \sqrt{12-3} = 3 \end{aligned}$
Luas segitiga sama sisi $ABC$ adalah
$L_{\triangle ABC} = \dfrac{2\sqrt3 \times 3}{2} = 3\sqrt3.$
Dengan demikian, jari-jari lingkaran terbesar dalamnya adalah $r = \dfrac{3\sqrt3}{\frac12(6\sqrt3)} = 1.$
Luas lingkaran tersebut menjadi $L = \pi r^2 = \pi (1)^2 = \pi$.
Kedua, kita hitung lingkaran kedua di dalam segitiga sama sisi $ADE$.
Perhatikan bahwa jari-jari lingkaran kedua ini sama dengan $\dfrac13$ panjangnya dari $OQ$. Selain itu, berdasarkan teorema garis berat, $CO : OQ = 2 : 1$ dan karena $CQ = t = 3$, haruslah $OQ = 1.$ Artinya, $r = \dfrac13$ dan luas lingkaran kedua ini sama dengan $L = \pi \left(\dfrac13\right)^2 = \dfrac19\pi.$
Jika prinsip ini dilanjutkan terus menerus, kita akan memperoleh fakta bahwa jumlah luas lingkaran ternyata membentuk deret geometri takhingga.
Tanpa memperhitungkan lingkaran terbesar, jumlah luas lingkaran yang lebih kecilnya darinya adalah
$\dfrac19\pi + \dfrac{1}{81}\pi + \cdots$
yang merupakan deret geometri takhingga dengan $a = \dfrac19\pi$ dan $r = \dfrac19$ sehingga
$$\text{S}_\infty = \dfrac{a}{1-r} = \dfrac{\dfrac19\pi}{1-\dfrac19} = \dfrac{\dfrac19\pi}{\dfrac89} = \dfrac18\pi.$$Luas keseluruhan lingkaran-lingkaran itu adalah jumlah dari luas lingkaran terbesar ditambah tiga kali nilai $\text{S}_\infty$ tadi. Jadi,
$\boxed{L_{\text{total}} = \pi + 3 \cdot \dfrac18\pi = 1\dfrac38\pi}.$
(Jawaban C)

Nilai minimum fungsi $f(x) = -x^3+3x+2c$ dapat ditentukan saat turunan pertamanya bernilai 0, yaitu
$\begin{aligned} f'(x) & = -3x^2 + 3 \\ 0 & = -3x^2 + 3 \\ x^2 & = 1 \\ x & = \pm 1 \end{aligned}$
Untuk menguji titik maksimum/minimumnya, gunakan turunan kedua. 
$f^{\prime \prime}(x) = -6x$
Substitusi $x = 1$, diperoleh $f^{\prime \prime}(1) = -6(1) = -6$ (minimum).
Substitusi $x = -1$, diperoleh $f^{\prime \prime}(-1) = -6(-1) = 6$ (maksimum). 
Sekarang, substitusi $x = 1$ pada $f(x)$, diperoleh
$f(1) = -(1)^3 + 3(1) + 2c = 2 + 2c$
yang berarti $\text{S}_{\infty} = 2+2c.$
Diketahui bahwa selisih suku kedua dan suku pertama deret geometri tersebut adalah $f'(0)$ dan $r =1-\sqrt{3},$ ditulis
$\begin{aligned} \text{U}_2 -\text{U}_1 & = f'(0) \\ ar -a & = -3(0)^2 + 3 \\ a(r- 1) & = 3 \\ a (1 -\sqrt{3} -1) & = 3 \\ a & = \dfrac{3}{-\sqrt{3}} = -\sqrt{3}. \end{aligned}$
Dengan menggunakan jumlah deret geometri takhingga, didapat
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = \dfrac{a} {1-r} \\ 2+2c & = \dfrac{-\sqrt{3}} {1 -(1 -\sqrt{3})} \\ 2+2c & = -1 \\ 2c & = -3 \\ c & = -\dfrac32. \end{aligned}$
Jadi, nilai $c$ adalah $\boxed{-\dfrac32}.$ 
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{2^k + 3^k}{6^k} = \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{2^k}{6^k} + \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{3^k}{6^k} \\ & = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^k + \sum_{k=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^k \end{aligned}$
Masing-masing bentuk sumasi di atas sebenarnya merupakan deret geometri takhingga. Penjabarannya sebagai berikut.
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^k = \dfrac13 + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{3^3} + \cdots$
Deret geometri takhingga ini memiliki suku pertama dan rasio yang sama, yaitu $a = r = \dfrac13$.
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^k = \dfrac12 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} + \cdots$
Deret geometri takhingga ini memiliki suku pertama dan rasio yang sama, yaitu $a = r = \dfrac12.$
Dengan menggunakan formula jumlah untuk deret geometri, yaitu $\text{S} = \dfrac{a}{1-r}$, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^k + \sum_{k=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^k & = \dfrac{\dfrac13}{1-\dfrac13} + \dfrac{\dfrac12}{1-\dfrac12} \\ & = \dfrac{\dfrac13}{\dfrac23} + \dfrac{\dfrac12}{\dfrac12} \\ & = \dfrac12+1 = \dfrac32. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{2^k + 3^k}{6^k} = \dfrac32}.$
(Jawaban D)

Misalkan
$S = 1+4x+7x^2+10x^3+\cdots$
Jika kita kalikan kedua ruas dengan $x$, diperoleh
$Sx = x + 4x^2 + 7x^3 + 10x^4 + \cdots.$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} S-Sx & = 1+\underbrace{3x+3x^2+3x^3 + \cdots}_{\text{Dere}\text{t Geome}\text{tri Tak H}\text{ingga}} \\ S(1-x) & = 1+\dfrac{3x}{1-x} \\ \text{Kalikan}~&\text{kedua ruas dengan}~(1-x) \\ S(1-x)^2 & = (1-x) + 3x \\ S(1-x)^2 & = 2x+1. \end{aligned}$$Catatan:
Rumus jumlah deret geometri takhingga diberikan oleh $S_{\infty} = \dfrac{a}{1-r}$ dengan $a$ sebagai suku pertama dan $r$ rasio.
Karena $S$ bernilai $\dfrac{35}{16}$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{35}{16}(1-x)^2 & = 2x+1 \\ 35(1-x)^2 & = 32x+16 \\ 35(1-2x+x^2) & = 32x+16 \\ 35-70x+35x^2 & = 32x+16 \\ 35x^2-102x+19 & = 0 \\ (7x-19)(5x-1) & = 0. \end{aligned}$
Jadi, $7x-19 = 0$ atau $5x-1=0.$ Ini artinya, nilai $x = \dfrac{19}{7}$ (tidak memenuhi karena syaratnya $|x| < 1$) atau $x = \dfrac15$ (memenuhi).
Jadi, nilai $x$ yang dimaksud adalah $\boxed{\dfrac15}.$
(Jawaban D)

Menurut definisi $S_n$ tersebut, diperoleh bentuk deret geometri takhingga seperti yang ditunjukkan pada langkah berikut.
$$\begin{aligned} S_2+S_3+S_4+\cdots & = \left(\dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{4^2} + \cdots\right) + \left(\dfrac{1}{2^3} + \dfrac{1}{3^3} + \dfrac{1}{4^3} + \cdots\right) + \left(\dfrac{1}{2^4} + \dfrac{1}{3^4} + \dfrac{1}{4^4} + \cdots\right) + \cdots \\ & = \left(\dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} + \dfrac{1}{2^4} + \cdots\right) + \left(\dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{3^3} + \dfrac{1}{3^4} + \cdots\right) + \left(\dfrac{1}{4^2} + \dfrac{1}{4^3} + \dfrac{1}{4^4} + \cdots\right) + \cdots \\ & = \dfrac{\frac{1}{2^2}}{1-\frac12} + \dfrac{\frac{1}{3^2}}{1-\frac13} + \dfrac{\frac{1}{4^2}}{1-\frac14} + \cdots \\ & = \dfrac12 + \dfrac16 + \dfrac{1}{12} + \cdots \\ & = \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} + \cdots \\ & = 1-\dfrac12+\dfrac12-\dfrac13+\dfrac13-\dfrac14+\cdots \\ & = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{S_2 + S_3 + S_4 + S_5+\cdots = 1}.$$(Jawaban A)

Karena $\alpha$ bernilai $45^\circ,$ maka segitiga tersebut (yang paling besar) merupakan segitiga sama kaki. $\triangle T_1T_2T_3$ juga segitiga sama kaki sehingga $T_1T_3 = T_2T_3 = x.$ Dengan menggunakan rumus Pythagoras, diperoleh
$$\begin{aligned} T_1T_2^2 & = T_1T_3^2 + T_2T_3^2 \\ a^2 & = x^2 + x^2 \\ a^2 & = 2x^2 \\ x & = \dfrac{a}{\sqrt2}. \end{aligned}$$Selanjutnya, $\triangle T_2T_3T_4$ merupakan segitiga sama kaki dengan $T_2T_3 = \dfrac{a}{\sqrt2}$ dan $T_2T_4 = T_3T_4.$ Dengan cara yang sama, didapat $T_3T_4 = \dfrac{a}{2}.$ Pola sudah terlihat, yaitu membentuk barisan geometri dengan suku pertama $a$ dan rasio $r = \dfrac{1}{\sqrt2}.$
Jadi, $T_1T_2 + T_2T_3 +T_3T_4+T_4T_5+\cdots$ membentuk deret geometri takhingga sehingga kita tulis
$$\begin{aligned} & T_1T_2 + T_2T_3 +T_3T_4+T_4T_5+\cdots \\ & = a + \dfrac{a}{\sqrt2} + \dfrac{a}{2} + \dfrac{a}{2\sqrt2} + \cdots \\ & = \dfrac{a}{1-\dfrac{1}{\sqrt2}} \\ & = \dfrac{a}{1-\dfrac12\sqrt2} \\ & = \dfrac{2a}{2-\sqrt2}.\end{aligned}$$Jadi, jumlah panjang garis tersebut adalah $\boxed{\dfrac{2a}{2-\sqrt2}}.$
(Jawaban C)

Deret geometri takhingga dikatakan memiliki jumlah tertentu (konvergen) jika rasionya di antara $-1$ dan $1,$ atau secara matematis ditulis $-1 < r < 1,$ ekuivalen dengan $|r| < 1.$
Jawaban a)
Deret $1 + 2 + 4 + 8 + \cdots$ memiliki rasio $r = 2.$ Karena rasionya tidak memenuhi $-1 < r < 1,$ deret geometri takhingga tersebut tidak memiliki jumlah tertentu.
Jawaban b)
Deret $1 + 3 + 9 + 27 + \cdots$ memiliki rasio $r = 3.$ Karena rasionya tidak memenuhi $-1 < r < 1,$ deret geometri takhingga tersebut tidak memiliki jumlah tertentu.
Jawaban c)
Deret $4 + 1 + \dfrac14 + \dfrac{1}{16} + \cdots$ memiliki rasio $r = \dfrac14$. Karena rasionya memenuhi $-1 < r < 1$, deret geometri takhingga tersebut memiliki jumlah tertentu.
Jawaban d)
Deret $1 + \dfrac13 + \dfrac19 + \dfrac{1}{27} + \cdots$ memiliki rasio $r = \dfrac13$. Karena rasionya memenuhi $-1 < r < 1,$ deret geometri takhingga tersebut memiliki jumlah tertentu.
Jawaban e)
Deret $1 -\dfrac12 + \dfrac14-\dfrac18+\cdots$ memiliki rasio $r = -\dfrac12$. Karena rasionya memenuhi $-1 < r < 1,$ deret geometri takhingga tersebut memiliki jumlah tertentu.

Jumlahan deret geometri takhingga yang memiliki suku pertama $a$ dan rasio $r$ dinyatakan oleh $\boxed{\text{S}_{\infty} = \dfrac{a}{1-r}}.$
Jawaban a)
Diketahui deret geometri takhingga $$2 + 1 + \dfrac12 + \dfrac14 + \cdots$$Deret geometri takhingga tersebut memiliki suku pertama $a = 2$ dan rasio $r = \dfrac12$.
Jumlah takhingganya dinyatakan oleh
$$\text{S}_{\infty} = \dfrac{a}{1-r} = \dfrac{2}{1-\frac12} = \dfrac{2}{\frac12} = 4.$$Jawaban b)
Diketahui deret geometri takhingga $$3 + \dfrac32 + \dfrac34 + \dfrac38 + \cdots$$Deret geometri takhingga tersebut memiliki suku pertama $a = 3$ dan rasio $r = \dfrac12$.
Jumlah takhingganya dinyatakan oleh
$$\text{S}_{\infty} = \dfrac{a}{1-r} = \dfrac{3}{1-\frac12} = \dfrac{3}{\frac12} = 6.$$Jawaban c)
Diketahui deret geometri takhingga $$\dfrac53 + \dfrac59 + \dfrac{5}{27} + \dfrac{5}{81} + \cdots$$Deret geometri takhingga tersebut memiliki suku pertama $a = \dfrac53$ dan rasio $r = \dfrac13.$
Jumlah takhingganya dinyatakan oleh
$$\text{S}_{\infty} = \dfrac{a}{1-r} = \dfrac{\frac53}{1-\frac13} = \dfrac{\frac53}{\frac23} = \dfrac52.$$Jawaban d)
Diketahui deret geometri takhingga $$-\dfrac23 + \dfrac49-\dfrac{8}{27} + \dfrac{16}{81}-\cdots$$Deret geometri takhingga tersebut memiliki suku pertama $a = -\dfrac23$ dan rasio $r = -\dfrac23.$
Jumlah takhingganya dinyatakan oleh
$$\text{S}_{\infty} = \dfrac{a}{1-r} = \dfrac{\frac23}{1-\left(-\frac23\right)} = \dfrac{\frac23}{\frac53} = \dfrac25.$$

Menghitung jumlah jarak yang dilalui oleh bola yang memantul sama artinya dengan menghitung jumlahan dari deret geometri takhingga.
Alternatif I:
(Untuk lintasan bola ke bawah) 
Diketahui $a = 200$ dan $r = \dfrac45$.
Panjang lintasan bola ke arah bawah dapat ditentukan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \text{S}_{1} & = \dfrac{a} {1-r} = \dfrac{200}{1 -\frac45} \\ & = \dfrac{200}{\frac15} = 1.000 \end{aligned}$$(Untuk lintasan bola ke atas) 
Diketahui $a = 200 \times \dfrac45 = 160$ dan $r = \dfrac45.$ 
Panjang lintasan bola ke arah atas dapat ditentukan sebagai berikut. 
$$\begin{aligned} \text{S}_{2} & = \dfrac{a} {1-r} = \dfrac{160}{1- \frac45} \\ & = \dfrac{160}{\frac15} = 800 \end{aligned}$$Jadi, jumlah jarak yang dilalui oleh bola itu sebelum berhenti adalah $\boxed{1.000 + 800 = 1.800~\text{cm}}.$
Alternatif II:
Untuk kasus jatuhnya bola seperti soal ini, terdapat rumus khususnya, yaitu 
$\boxed{\text{S}_{\infty} = h + 2\left(\dfrac{a} {1-r}\right)}$
dengan $h$ adalah ketinggian dijatuhkannya bola, $a$ ketinggian bola setelah pemantulan pertama, dan $r$ rasionya. 
Diketahui: $h = 200, a = 200 \cdot \dfrac45 = 160$, dan $r = \dfrac45.$ 
Untuk itu, didapat
$$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = h + 2\left(\dfrac{a} {1-r}\right) \\ & = 200 + 2\left(\dfrac{160} {1 -\frac45}\right) \\ & = 200 + 2\left(\dfrac{160}{\frac15}\right) \\ & = 200 + 2(800) = 1.800. \end{aligned}$$Jadi, jumlah jarak yang dilalui oleh bola itu sebelum berhentii adalah $\boxed{1.800~\text{cm}}.$

Misalkan deret geometri takhingga kita tulis sebagai
$\text{S} = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots$
sehingga $\color{blue}{\text{S} = \dfrac{a}{1-r}}.$
Deret geometri takhingga untuk suku genapnya adalah
$\text{S}_{\text{genap}} = ar + ar^3 + ar^5 + \cdots$
yang memiliki suku pertama $ar$ dan rasio $r^2$ sehingga dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri takhingga, diperoleh $\text{S}_{\text{genap}} = \dfrac{ar}{1-r^2}.$
Deret geometri takhingga untuk suku ganjilnya adalah
$\text{S}_{\text{ganjil}} = a + ar^2 + ar^4 + \cdots$
yang memiliki suku pertama $a$ dan rasio $r^2$ sehingga dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri takhingga, diperoleh $\text{S}_{\text{ganjil}} = \dfrac{a}{1-r^2}.$
(Terbukti)

Barisan geometri takhingga mula-mula memiliki suku pertama $a = 1$ dan rasio $r = \dfrac12.$
Sekarang misalkan barisan geometri takhingga yang baru memiliki suku pertama $a = \left(\dfrac12\right)^m$ dan rasio $r = \left(\dfrac12\right)^n.$
Karena jumlah takhingganya $\dfrac17$, diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = \dfrac{a}{1-r} = \dfrac17 \\ \dfrac{\left(\dfrac12\right)^m}{1-\left(\dfrac12\right)^n} & = \dfrac17. \end{aligned}$
Untuk memunculkan penyebut $7$, nilai $n$ yang diambil haruslah $n = 3$ mengingat bahwa $1-\left(\dfrac12\right)^3 = \dfrac{\color{blue}{7}}{8}$ sehingga
$$\begin{aligned} \dfrac{\left(\dfrac12\right)^m}{1-\left(\dfrac12\right)^3} & = \dfrac17 \\ \dfrac{\left(\dfrac12\right)^m}{\dfrac78} & = \dfrac17 \\ \dfrac{8 \cdot \left(\dfrac12\right)^m}{\cancel{7}} & = \dfrac{1}{\cancel{7}} \\ 8 \cdot \left(\dfrac12\right)^m & = 1 \\ m & = 3. \end{aligned}$$Dengan demikian, tiga suku pertama dari barisan geometri takhingga dengan suku pertama $a = \dfrac18$ dan rasio $r = \dfrac18$ adalah $\boxed{\dfrac18, \dfrac{1}{64}, \dfrac{1}{512}}.$