Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Dimensi Tiga (Konsep Jarak: Titik, Garis, dan Bidang)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Pertama, perhatikan segitiga $ABD$ (siku-siku di $A$). Panjang $BD$ dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} BD & = \sqrt{AB^2 + AD^2} \\ & = \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2} \\ & = \sqrt{8a^2} = 2a\sqrt{2}~\text{cm} \end{aligned}$
Sekarang, perhatikan segitiga $BDH$ (siku-siku di $D$). Panjang $HB$ juga dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} HB & = \sqrt{BD^2 + DH^2} \\ & = \sqrt{(2a\sqrt{2})^2 + (2a)^2} \\ & = \sqrt{8a^2 + 4a^2} \\ & = \sqrt{12a^2} = 2a\sqrt{3}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang ruas garis $HB$ adalah $\boxed{2a\sqrt{3}~\text{cm}}$
(Jawaban E)

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Jarak titik $B$ ke $HC$ sama dengan jarak titik $B$ ke $C$. Perhatikan bahwa $BC$ merupakan rusuk kubus sehingga panjang $BC = 8~\text{cm}$. 
Jadi, jarak titik $B$ ke garis $HC$ adalah $\boxed{8~\text{cm}}$
(Jawaban D)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Pada segitiga $BEG$, diketahui $BE, EG$, dan $BG$ semuanya merupakan diagonal bidang kubus sehingga segitiga $BEG$ merupakan segitiga sama sisi dengan panjang $BE = EG = BG = 6\sqrt{2}~\text{cm}$. Untuk itu, jarak $B$ ke $EG$ adalah jarak $B$ ke $O$ di mana $O$ titik tengah $EG$. 
Sekarang tinjau segitiga siku-siku $BOG$. Diketahui: $OG = \dfrac12 EG = \dfrac12(6\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}~\text{cm}$ dan $BG = 6\sqrt{2}~\text{cm}$.
Panjang $BO$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras. 
$\begin{aligned} BO & = \sqrt{BG^2 -OG^2} \\ & = \sqrt{(6\sqrt{2})^2- (3\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{72-18} \\ & = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak $B$ ke $EG$ adalah $\boxed{3\sqrt{6}~\text{cm}}$
(Jawaban A)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Misalkan titik $O$ merupakan proyeksi titik $M$ pada garis $AG$. Titik $O$ tepat di tengah $AG$ karena panjang $MA$ dan $MG$ sama.
Pertama, perhatikan segitiga siku-siku $MHG$.
Diketahui $HG = 8~\text{cm}$ dan $MH = 4~\text{cm}$ (setengah dari panjang rusuk kubus). Dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} MG & = \sqrt{HG^2+MH^2} \\ & = \sqrt{8^2+4^2} \\ & = \sqrt{64+16} = \sqrt{80} = 4\sqrt5~\text{cm} \end{aligned}$
Sekarang, tinjau segitiga siku-siku $MOG$. Diketahui $OG = 4\sqrt3~\text{cm}$ (setengah dari panjang diagonal ruang kubus) dan $MG = 4\sqrt5~\text{cm}$. Dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} MO & = \sqrt{MG^2-OG^2} \\ & = \sqrt{(4\sqrt5)^2-(4\sqrt3)^2} \\ & = \sqrt{80-48} = \sqrt{32} = 4\sqrt2~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $M$ ke garis $AG$ sama dengan $\boxed{4\sqrt2~\text{cm}}$
(Jawaban D)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Misalkan $O$ merupakan proyeksi titik $P$ ke garis $HB$. Titik $O$ berada di tengah garis $HB$ karena $PB = PH$.
Pertama-tama, perhatikan dulu segitiga siku-siku $BCP$.
Diketahui bahwa $BC = 12~\text{cm}$ dan $CP = 6~\text{cm}$ sehingga dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} BP & = \sqrt{BC^2+CP^2} \\ & = \sqrt{12^2+6^2} \\ & = \sqrt{144+36} = \sqrt{180} = 6\sqrt5~\text{cm}\end{aligned}$
$HB$ merupakan diagonal ruang kubus, dan karena panjang rusuknya $s = 12~\text{cm}$, maka $HB = s\sqrt3 = 12\sqrt{3}~\text{cm}$. Ini berarti $PH= \dfrac12(12\sqrt3) = 6\sqrt3 = \sqrt{108}~\text{cm}$.
Selanjutnya, perhatikan segitiga siku-siku $BOP$.
Panjang $OP$ merupakan jarak titik $P$ ke garis $HB$. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras kembali, diperoleh
$\begin{aligned} OP & = \sqrt{BP^2-OB^2} \\ & = \sqrt{180-108} \\ & = \sqrt{72} = 6\sqrt2~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $P$ dengan garis $HB$ adalah $\boxed{6\sqrt2~\text{cm}}$
(Jawaban D)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Jarak titik $Q$ ke $BD$ sama dengan jarak $Q$ ke $O$ pada $BD$ sedemikian sehingga $QO \perp BD$.
Panjang $QB$ dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $BFQ$.
$\begin{aligned} BQ & = \sqrt{BF^2 + FQ^2} \\ & = \sqrt{4^2+2^2} \\ & = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt5~\text{cm} \end{aligned}$
Sekarang, misalkan $R$ titik tengah $BC,$ sedemikian dapat dibuat segitiga siku-siku $DRQ$. Diketahui bahwa $DR = BQ = 2\sqrt5~\text{cm}$ dan $RQ = 4~\text{cm}$ sehingga
$\begin{aligned} DQ & = \sqrt{DR^2 + RQ^2} \\ & = \sqrt{(2\sqrt5)^2+4^2} \\ & = \sqrt{20+16} = \sqrt{36} = 6~\text{cm} \end{aligned}$
Selanjutnya, perhatikan segitiga $BDQ$ berikut.
Karena $BD = 4\sqrt2~\text{cm}$ (diagonal bidang), maka dapat dimisalkan $DO = (4\sqrt{2} – x)~\text{cm}$ dan $OB = x~\text{cm}$, serta $QO = y~\text{cm}$.
Pada segitiga $DOQ$, berlaku
$\begin{aligned} DQ^2 & = DO^2 + QO^2 \\ 6^2 & = (4\sqrt2-x)^2 + y^2 \\ 36 & = 32 – 8\sqrt2 x + x^2+y^2 \\ 4 & = – 8\sqrt2 x + x^2+y^2~~~(\cdots \cdot 1) \end{aligned}$
Pada segitiga $BOQ$, berlaku
$\begin{aligned} BQ^2 & = BO^2 + QO^2 \\ (2\sqrt5)^2 & = x^2 + y^2 \\ 20 & = x^2+y^2~~~(\cdots \cdot 2) \end{aligned}$
Substitusikan persamaan 2 ke persamaan 1.
$\begin{aligned} 4 & = -8\sqrt2 x + 20 \\ -16 & = -8\sqrt2 x \\ x & = \dfrac{16}{8\sqrt2} = \dfrac{2}{\sqrt2} = \sqrt2 \end{aligned}$
Untuk itu, kita dapatkan
$\begin{aligned} y & = \sqrt{(2\sqrt5)^2 -(\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{20-2} = \sqrt{18} = 3\sqrt2 \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $Q$ ke garis $BD$ adalah $\boxed{3\sqrt2~\text{cm}}$
(Jawaban C)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Jarak titik $E$ ke bidang diagonal $BDHF$ sama dengan jarak titik $E$ ke titik tengah diagonal $HF$. Misalkan $O$ titik tengah diagonal $HF$. $EG$ merupakan diagonal bidang dengan panjang $a\sqrt{2}~\text{cm}$.
Perhatikan bahwa panjang $EO$ merupakan setengah dari panjang diagonal $EG$ sehingga $EO = \dfrac12(a\sqrt{2}) = \dfrac12 a\sqrt{2}~\text{cm}.$ 
Jadi, jarak titik $E$ ke bidang diagonal $BDHF$ adalah $\boxed{\dfrac12 a\sqrt{2}~\text{cm}}$
(Jawaban B)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Misalkan proyeksi titik $E$ pada bidang $BDG$ adalah titik $K$, sedangkan titik $J$ dan $L$ berturut-turut merupakan titik tengah bidang alas dan bidang atas kubus.
Pertama, perhatikan terlebih dahulu segitiga siku-siku $JCG$. Diketahui $CG = 8~\text{cm}$ dan $JC = 4\sqrt2~\text{cm}$ karena merupakan setengah dari panjang diagonal bidang.
Dengan Teorema Pythagoras, panjang $JG$ dapat ditentukan sebagai berikut.
$\begin{aligned} JG & = \sqrt{JC^2+CG^2} \\ & = \sqrt{(4\sqrt2)^2+8^2} \\ & = \sqrt{32+64} = \sqrt{96} = 4\sqrt6~\text{cm} \end{aligned}$
Selanjutnya, tarik garis $EG, EJ$, dan $JG$ sehingga diperoleh segitiga yang dapat digambarkan sebagai berikut.
Diketahui panjang $EG = 8\sqrt2~\text{cm}$ dan $LJ = 8~\text{cm}$, serta $JG = 4\sqrt6~\text{cm}$.
Akan dicari panjang $EK$ dengan menggunakan prinsip kesamaan luas segitiga.
$\begin{aligned} L_1 & = L_2 \\ \cancel{\dfrac12} \times LJ \times EG & = \cancel{\dfrac12} \times EK \times JG \\ 8 \times 8\sqrt2 & = EK \times 4\sqrt6 \\ EK & = \dfrac{\cancelto{2}{8} \times 8~\cancel{\sqrt2}}{\cancel{4}~\cancelto{\sqrt3}{\sqrt6}} \\ & = \dfrac{16}{\sqrt3} = \dfrac{16}{3}\sqrt3 \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $E$ ke bidang $BGD$ adalah $\boxed{\dfrac{16}{3}\sqrt3}$
Tips & Trick: Untuk soal setipe ini, jarak yang dimaksud dapat dicari secara langsung dengan rumus $\boxed{\dfrac{2}{3}s\sqrt{3}}$
dengan $s$ panjang rusuk kubus.
(Jawaban E)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Jarak $HD$ ke $EG$ sama dengan jarak $H$ ke titik tengah $EG$. Misalkan $O$ titik tengah $EG$ sehingga kita peroleh sebuah segitiga siku-siku $HEO$ (siku-siku di $O$). 
Diketahui panjang $EH = 12~\text{cm}$. Panjang diagonal bidang $EG = s\sqrt{2} = 12\sqrt{2}~\text{cm}$ sehingga $EO = \dfrac12EG = \dfrac12(12\sqrt{2}) = 6\sqrt{2}~\text{cm}.$
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, didapat
$\begin{aligned} HO & = \sqrt{EH^2 -EO^2} \\ & = \sqrt{12^2-(6\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{144-72} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak ruas garis $HD$ dan $EG$ adalah $\boxed{6\sqrt{2}~\text{cm}}$
(Jawaban B)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Jarak titik $C$ ke bidang $DPQH$ sama dengan jarak titik $C$ ke titik $R$ pada $PD$ sehingga $RC$ tegak lurus $PD$.
Posisikan titik $S$ di tengah $CD$ sehingga $PS$ tegak lurus $CD$.
Panjang $PD$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $ADP$ dengan $AP = 5~\text{cm}$ dan $AD = 10~\text{cm}$ sehingga
$$\begin{aligned} PD & = \sqrt{AP^2 + AD^2} \\ & = \sqrt{10^2 + 5^2} \\ & = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt5~\text{cm} \end{aligned}$$Dengan menggunakan prinsip kesamaan luas segitiga pada $\triangle CDP$ (lihat gambar kanan), diperoleh
$$\begin{aligned} \cancel{\dfrac12} \times CD \times PS & = \cancel{\dfrac12} \times PD \times CR \\ 10 \times 10 & = 5\sqrt5 \times CR \\ CR & = \dfrac{100}{5\sqrt5} = \dfrac{20}{\sqrt5} = 4\sqrt5~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, jarak titik $C$ ke bidang $DPQH$ adalah $\boxed{4\sqrt5~\text{cm}}$
(Jawaban B)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Proyeksi $DE$ pada $BDHF$ adalah $OD$, di mana $O$ titik tengah $HF$.
Pada segitiga $HOD$ (siku-siku di $H$), diketahui panjang $DH = 8~\text{cm}$. Karena panjang $HF$ (diagonal bidang) $8\sqrt{2}~\text{cm}$, maka $HO = \dfrac12(HF) =$ $\dfrac12(8\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}~\text{cm}.$ Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} OD & = \sqrt{DH^2 + HO^2} \\ & = \sqrt{8^2 + (4\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{64 + 32} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, panjang proyeksinya adalah panjang $OD$, yaitu $\boxed{4\sqrt{6}~\text{cm}}$
(Jawaban D)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Bidang $PUW$ dan $QVS$ keduanya sejajar sehingga jarak kedua bidang tersebut sama dengan seperbagian jaraknya dari diagonal ruang kubus. Misalkan $A$ adalah titik tengah $UW$ dan $B$ titik pada ruas garis $AP$, sedemikian sehingga $TB \perp PA.$ Perhatikan segitiga siku-siku $PTA$.
Diketahui panjang $TA$ setengah dari panjang diagonal bidang kubus sehingga $TA = \dfrac12 \times 6\sqrt2 = 3\sqrt2~\text{cm}$ dan $PT = 6~\text{cm}$. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} PA & = \sqrt{PT^2 + TA^2} \\ & = \sqrt{6^2 + (3\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{36 + 18} = \sqrt{54} = 3\sqrt6~\text{cm} \end {aligned}$
Karena $TB$ adalah garis tinggi segitiga yang ditarik dari titik $T$, maka dengan menggunakan rumus kesebangunan, diperoleh
$\begin{aligned} TB & = \dfrac{PT \times TA}{PA} \\ & = \dfrac{6 \times \cancel{3}\sqrt2}{\cancel{3}\sqrt6} \\ & = \dfrac{6\sqrt2}{\sqrt6} \times \color{red}{\dfrac{\sqrt6}{\sqrt6}} = 2\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$
Jarak titik $R$ ke bidang $QVS$ juga sama, yaitu $2\sqrt{3}~\text{cm}$, sedangkan panjang diagonal ruang $TR = 6\sqrt3~\text{cm}$. Dengan demikian, jarak bidang $PUW$ dan $QVS$ adalah
$$\boxed{|PUW.QVS| = (6-2-2)\sqrt3 = 2\sqrt3~\text{cm}}$$(Jawaban D)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Misalkan proyeksi titik $T$ ke bidang alas $ABCD$ adalah titik $O$ yang terletak di tengah-tengah bidang itu. Sekarang, perhatikan segitiga $AOT$ (siku-siku di $O$). Karena $AC$ merupakan diagonal bidang alas (persegi), maka $AC = 6\sqrt{2}~\text{cm}$ sehingga $AO = \dfrac{1}{2}(AC) =$ $\dfrac12(6\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}~\text{cm}.$
$AT$ merupakan rusuk tegak limas sehingga $AT = 5~\text{cm}$. Dalam bentuk ini, $OT$ merupakan tinggi limas yang akan dicari panjangnya dengan menggunakan Teorema Pythagoras. 
$\begin{aligned} OT & = \sqrt{AT^2 -AO^2} \\ & = \sqrt{5^2 -(3\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{25-18} = \sqrt{7}~\text{cm}\end{aligned}$
Jadi, tinggi limas tersebut adalah $\boxed{\sqrt{7}~\text{cm}}$
(Jawaban A)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Jarak titik $P$ ke bidang $TAD$ sama dengan jarak titik $P$ ke titik $R$ pada $QT$ sehingga garis $PR$ dan $QT$ saling tegak lurus.
Misalkan $O$ titik tengah bidang alas $ABCD$ dan $Q$ titik tengah rusuk $AD$.
Tinjau $\triangle TPB$ (siku-siku di $P$).
Diketahui $BP = \dfrac{1}{2} \times 8 = 4~\text{cm}$ dan $TB = 6~\text{cm}$ sehingga dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} TP & = \sqrt{TB^2 -BP^2} \\ & = \sqrt{6^2 -4^2} \\ & = \sqrt{36-16} = \sqrt{20} = 2\sqrt5~\text{cm} \end{aligned}$.
Tinjau $\triangle TOP$ (siku-siku di $O$).
Diketahui $OP = \dfrac{1}{2} \times 8 = 4~\text{cm}$ dan $TP = 2\sqrt5~\text{cm}$ sehingga dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} TO & = \sqrt{TP^2 -OP^2} \\ & = \sqrt{(2\sqrt5)^2 -4^2} \\ & = \sqrt{20-16} = \sqrt{4} = 2~\text{cm} \end{aligned}$
Sekarang, perhatikan $\triangle TQP$ yang diilustrasikan seperti pada gambar kanan di atas.
Dalam segitiga tersebut, $TQ = TP = 2\sqrt{5}~\text{cm}$.
Dengan menggunakan kesamaan luas segitiga, diperoleh
$\begin{aligned} \cancel{\dfrac12} \times QP \times TO & = \cancel{\dfrac12} \times TQ \times PR \\ 8 \times 2 & = 2\sqrt5 \times PR \\ PR & = \dfrac{8 \times \cancel{2}}{\cancel{2}\sqrt5}\\ PR & = \dfrac{8}{\sqrt5} = \dfrac85\sqrt5~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $P$ ke bidang $TAD$ adalah $\boxed{\dfrac85\sqrt5~\text{cm}}$
(Jawaban B)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Diketahui bahwa $TE = EC = 3\sqrt2$ karena $E$ terletak tepat di tengah rusuk $TC$. Perhatikan juga bahwa $AE = BE$. Posisikan titik $D$ di pertengahan rusuk $AB$ dan titik $O$ di pertengahan rusuk $BC$. Misalkan titik $I$ terletak pada $BE$ sedemikian sehingga $AI \perp BE$, yang berarti jarak titik $A$ ke $BE$ dapat diwakili oleh jarak titik $A$ ke titik $I$.
Tinjau $\triangle BCT$.
Misalkan panjang $BE = x$.
Dengan menggunakan aturan kosinus pada $\triangle BCT$ dan $\triangle BCE$, diperoleh
$$\begin{aligned} \cos \theta = \dfrac{(12)^2 + \cancel{(6\sqrt2)^2}- \cancel{(6\sqrt2)^2}}{\bcancel{2 \cdot 12} \cdot \cancelto{2}{6\sqrt2}} &= \dfrac{(12)^2 + (3\sqrt2)^2 -(x)^2}{\bcancel{2 \cdot 12} \cdot \cancel{3\sqrt2}} \\ \dfrac{144}{2} & = 144 + 18 -x^2 \\ 72 & = 162-x^2 \\ x^2 & = 90 \\ x & = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \end{aligned}$$Diperoleh panjang $AE = BE =$ $ 3\sqrt{10}~\text{cm}.$
Selanjutnya, tinjau $\triangle ABE$.
Panjang $DE$ dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $DBE$.
$\begin{aligned} DE & = \sqrt{BE^2 -BD^2} \\ & = \sqrt{(3\sqrt{10})^2 -(6)^2} \\ & = \sqrt{90 – 36} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \end{aligned}$
Misalkan besar $\angle ABE = \alpha$ sehingga dengan menggunakan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku $DBE$ dan $ABI$, diperoleh
$\begin{aligned} \sin \alpha & = \dfrac{DE}{BE} \\ & = \dfrac{3\sqrt{6}}{3\sqrt{10}} = \sqrt{3} {5} = \dfrac15\sqrt{15}. \end{aligned}$
Pada segitiga siku-siku $ABI$, diperoleh
$\begin{aligned} AI & = AB \cdot \sin \alpha \\ & = 12 \cdot \dfrac15\sqrt{15} \\ & = \dfrac{12}{5}\sqrt{15}~\text{cm}. \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $A$ ke $BE$ adalah $\boxed{\dfrac{12}{5}\sqrt5~\text{cm}}$
(Jawaban C)

Perhatikan sketsa gambar balok yang merepresentasikan bentuk ruang belajar Ahmad berikut.
Lampu diposisikan tepat di tengah bidang $EFGH$. Agar jarak lampu terhadap sakelar minimum, maka sakelar harus dipasang pada bagian dinding depan atau  belakang, bukan di dinding kiri maupun kanan (karena panjang ruangan lebih besar dari lebar ruangannya). Misalnya, sakelar dipasang tepat di tengah bidang $ABFE$, beri nama titik $L$. Dengan demikian, dapat dibentuk sebuah segitiga siku-siku untuk menentukan jarak keduanya.
Berdasarkan rumus Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} JL & = \sqrt{KL^2 + KJ^2} \\ & = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt2~\text{m} \end{aligned}$
Jadi, jarak minimum lampu terhadap sakelar adalah $2\sqrt2~\text{meter}$.
(Jawaban C)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Jarak titik $A$ ke bidang $TBC$ sama dengan jarak titik $A$ ke titik berat segitiga $TBC$, yaitu titik $P$ sedemikian sehingga $AP$ dan $TO$ saling tegak lurus dengan $O$ titik tengah $BC$.
Perhatikan $\triangle TAB$ (siku-siku di $A$) dengan $AT = AB = 6~\text{cm}$. Dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} BT & = \sqrt{AT^2 + AB^2} \\ & = \sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt2~\text{cm} \end{aligned}$
Perhatikan $\triangle ABC$ (siku-siku di $A$) dengan $AB = AC = 6~\text{cm}$. Dengan Teorema Pythagoras, juga diperoleh $BC = 6\sqrt2~\text{cm}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} OB & = \dfrac12 \times BC \\ & = \dfrac12 \times 6\sqrt2 = 3\sqrt2~\text{cm} \end{aligned}$
Selanjutnya, tinjau $\triangle AOB$ (siku-siku di $O$) dengan $AB = 6~\text{cm}$ dan $OB = 3\sqrt2~\text{cm}$. Dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} AO & = \sqrt{AB^2 -OB^2} \\ & = \sqrt{6^2 -(3\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{36 -18} = 3\sqrt2~\text{cm} \end{aligned}$
Berikutnya, tinjau $\triangle TAO$ (siku-siku di $A$) dengan $AT = 6~\text{cm}$ dan $AO = 3\sqrt2~\text{cm}$. Dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} OT & = \sqrt{AT^2 + AO^2} \\ & = \sqrt{6^2 + (3\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{36 + 18} = \sqrt{54} = 3\sqrt6~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan menggunakan kesamaan luas segitiga pada $\triangle TAO$, diperoleh
$$\begin{aligned} \cancel{\dfrac12} \times AT \times AO & = \cancel{\dfrac12} \times AP \times OT \\ 6 \times 3\sqrt2 & = AP \times 3\sqrt6 \\ AP & = \dfrac{18\sqrt2}{3\sqrt6} = \dfrac{6}{\sqrt3} = 2\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, jarak titik $A$ ke bidang $TBC$ adalah $\boxed{2\sqrt3~\text{cm}}$
(Jawaban B)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Perhatikan segitiga sama sisi $ABC.$
Tarik garis tinggi dari $A$ ke $BC$ sehingga proyeksi titiknya pada $H$ yang tepat terletak di tengah $BC.$
Tinjau segitiga siku-siku $AHB$ dengan $AB = s$ dan $HB = \dfrac12 s$. Dengan Teorema Pythagoras, didapat
$\begin{aligned} AH^2 & = AB^2-HB^2 \\ & = s^2-\left(\dfrac12 s\right)^2\\ & = s^2 -\dfrac14 s^2  = \dfrac34 s^2 \end{aligned}$
Selanjutnya, buatlah segitiga siku-siku $AHG$ seperti gambar.
Diketahui $AH = \dfrac34 s^2$ dan $HG = t$ sehingga dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} AG^2 & = AH^2 + HG^2 \\ AG^2 & = \dfrac34 s^2 + t^2 \\ AG & = \sqrt{\dfrac34 s^2 + t^2} \\ & = \sqrt{t^2 + \dfrac34 s^2} \end{aligned}$
Jadi, panjang $AG$ adalah $\boxed{\sqrt{t^2 + \dfrac34 s^2}}$
(Jawaban B)

Posisikan titik $P, Q, R$ pada kubus $ABCD.EFGH$, lalu buatlah bidang yang menembus (membelah) kubus serta melalui ketiga titik tersebut seperti tampak pada gambar di bawah.
Perhatikan bahwa setiap sisi yang membentuk bangun memiliki panjang yang sama dengan jarak titik tengah rusuk yang satu ke titik tengah rusuk yang lain pada satu bidang sehingga jaraknya pasti sama. Untuk itu, bidang yang terbentuk berupa segi enam beraturan (memiliki $6$ sisi dan semua sisinya sama panjang).
(Jawaban E)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
$EMCN$ bukanlah persegi panjang, melainkan jajar genjang (sudut antara garis $EM$ dan $MC$ tidak siku-siku).
Jarak $EM$ dan $CN$ diwakili oleh jarak titik $O$ (pada $EM$) ke titik $N$ atau jarak titik $P$ (pada $CN$) ke titik $M.$
Sekarang, tinjau $\triangle EMN.$
Segitiga $EMN$ siku-siku di $N.$
Panjang $EN$ merupakan setengah dari panjang diagonal bidang $EG$ sehingga $EN = \dfrac12 \cdot s\sqrt2$ $= \dfrac72\sqrt2~\text{cm}.$
$NM$ merupakan tinggi kubus, yakni $7~\text{cm}.$
Untuk mencari panjang $EM$, gunakan rumus Pythagoras.
$\begin{aligned} EM & = \sqrt{EN^2+NM^2} \\ & = \sqrt{\left(\dfrac72\sqrt2\right)^2 + (7)^2} \\ & = \sqrt{\dfrac{49}{2} + 49} \\ & = \sqrt{\dfrac{49 + 49 \cdot 2}{2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{49 \cdot 3}{2}} \\ & = \dfrac72\sqrt6~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan menggunakan prinsip kesamaan luas segitiga pada $\triangle EMN$, diperoleh
$\begin{aligned} \cancel{\dfrac12} \cdot EN \cdot NM & = \cancel{\dfrac12} \cdot EM \cdot ON \\ \cancel{\dfrac72}\sqrt2 \cdot 7 & = \cancel{\dfrac72}\sqrt6 \cdot ON \\ ON & = \dfrac{7\sqrt2}{\sqrt6} = \dfrac73\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak garis $EM$ dan $CN$ adalah $\boxed{\dfrac73\sqrt3~\text{cm}}$
(Jawaban E)

Perhatikan sketsa gambar berikut.Proyeksi $BR$ pada bidang $ABCD$ adalah $BS$ (garis warna hijau) seperti tampak pada gambar di atas.
Dalam hal ini, kita akan mencari panjang $BS$.
Perhatikan bahwa $\triangle BTS$ merupakan segitiga siku-siku di $T$.
Panjang $BT$ sama dengan $\dfrac34$ dari panjang $BC$ (rusuk kubus) sehingga $BT = \dfrac34(2) = \dfrac32~\text{cm}$.
Panjang $ST$ sama dengan $\dfrac14$ dari panjang $AB$ (rusuk kubus) sehingga $ST = \dfrac14(2) = \dfrac12~\text{cm}$.
Dengan menggunakan rumus Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} BS & = \sqrt{BT^2+ST^2} \\ & = \sqrt{\left(\dfrac32\right)^2+\left(\dfrac12\right)^2} \\ & = \sqrt{\dfrac94 + \dfrac14} \\ & = \sqrt{\dfrac{10}{4}} = \dfrac12\sqrt{10}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $BS$ adalah $\boxed{\dfrac12\sqrt{10}~\text{cm}}$
(Jawaban C)

Gambarkan kubus tersebut beserta titik $M$ dan bidang $BDG.$ Posisikan titik $P$ di tengah diagonal $EG,$ titik $Q$ di tengah diagonal $AC,$ dan titik $O$ yang merupakan perpotongan ruas garis $EG$ dan $AP,$ seperti yang tampak pada gambar berikut.
Diketahui $AM = 1.$
Perhatikan bahwa $QG = AP$ sehingga sudut siku-siku terbentuk di titik $O,$ sama halnya dengan di titik $M.$ Ruas garis $EM$ akan terbelah dua sama panjang oleh $O$ sehingga $EO = OM.$ Akibatnya, $\triangle AEM$ merupakan segitiga sama kaki sehingga dapat disimpulkan bahwa $AE = AM = 1~\text{cm}.$ 
(Jawaban A)

Gambarkan baloknya terlebih dahulu.
Tinjau $\triangle CFD.$
Kita akan mencari panjang setiap sisi segitiga tersebut. Diketahui dari soal bahwa panjang $CD = 3.$ Panjang $CF$ dapat dicari dengan rumus Pythagoras dengan menggunakan segitiga siku-siku $CBF.$
$$\begin{aligned} CF & = \sqrt{BC^2 + FB^2} \\ & = \sqrt{4^2 + (\sqrt{11})^2} \\ & = \sqrt{16+11} \\ & = 3\sqrt3 \end{aligned}$$Panjang $FD$ dapat dicari dengan menggunakan rumus Pythagoras pada segitiga siku-siku $BDF.$ Panjang $BD$ sendiri harus dicari terlebih dahulu dengan menggunakan rumus Pythagoras pada segitiga siku-siku $ABD.$
$$\begin{aligned} BD & = \sqrt{AB^2 + AD^2} \\ & = \sqrt{3^2 + 4^2} \\ & = \sqrt{25} \\ & = 5 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} FD & = \sqrt{BD^2 + FB^2} \\ & =\sqrt{5^2 + (\sqrt{11})^2} \\ & = \sqrt{36} \\ & = 6 \end{aligned}$$Sekarang kita dapat menggambarkan $\triangle CFD$ beserta dengan panjang sisinya dan titik $T$ yang dimaksud oleh soal.
Dengan menggunakan aturan kosinus pada $\triangle CFD$ dengan mengacu pada sudut $D,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} \cos D & = \dfrac{FD^2 + CD^2-CF^2}{2 \cdot CF \cdot CD} \\ & = \dfrac{6^2 + 3^2-(3\sqrt3)^2}{2 \cdot 6 \cdot 3} \\ & = \dfrac{36+9-27}{36} \\ & = \dfrac12 \end{aligned}$$Diperoleh $\angle D = 60^\circ.$
Perhatikan bahwa $TC = CD = 3$ sehingga segitiga $DCT$ merupakan segitiga sama kaki dan akibatnya $\angle DTC = \angle D = 60^\circ.$ Lebih lanjut, hal ini akan mengakibatkan $\angle DCT = 60^\circ$ sehingga kita dapat simpulkan bahwa segitiga $DCT$ sama sisi dan ini berarti $TD = TC = CD = 3.$
Jadi, jarak $T$ ke $D$ adalah $\boxed{3}$
(Jawaban E)