Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Dimensi Tiga (Konsep Jarak: Titik, Garis, dan Bidang)

      Dimensi tiga merupakan salah satu judul bab matematika tingkat SMA/Sederajat. Dimensi tiga yang dipelajari mencakup tentang konsep titik, garis, dan bidang pada bangun ruang termasuk mengenai jarak dan sudut. Postingan ini khusus membahas sejumlah soal terkait konsep jarak titik, garis, dan bidang pada bangun ruang. Setiap soal telah disertai pembahasannya yang super lengkap. Penyajian rumus/simbol matematikanya menggunakan LaTeX sehingga lebih smooth dari segi tampilan. Semoga bermanfaat.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Dimensi Tiga (Konsep Sudut)

Soal Nomor 1
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $2a$ cm. Panjang ruas garis $HB$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(2a\sqrt{3} – a\sqrt{2})~\text{cm}$       D. $2a\sqrt{2}~\text{cm}$
B. $a\sqrt{2}~\text{cm}$                         E. $2a\sqrt{3}~\text{cm}$
C. $a\sqrt{3}~\text{cm}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.



Pertama, perhatikan segitiga $ABD$ (siku-siku di $A$). Panjang $BD$ dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} BD & = \sqrt{AB^2 + AD^2} \\ & = \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2} \\ & = \sqrt{8a^2} = 2a\sqrt{2}~\text{cm} \end{aligned}$
Sekarang, perhatikan segitiga $BDH$ (siku-siku di $D$). Panjang $HB$ juga dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} HB & = \sqrt{BD^2 + DH^2} \\ & = \sqrt{(2a\sqrt{2})^2 + (2a)^2} \\ & = \sqrt{8a^2 + 4a^2} \\ & = \sqrt{12a^2} = 2a\sqrt{3}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang ruas garis $HB$ adalah $\boxed{2a\sqrt{3}~\text{cm}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Teorema Pythagoras

Soal Nomor 2
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $8$ cm. Jarak titik $B$ ke garis $HC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $12\sqrt{2}~\text{cm}$         D. $8~\text{cm}$
B. $8\sqrt{5}~\text{cm}$           E. $4\sqrt{6}~\text{cm}$
C. $8\sqrt{3}~\text{cm}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Jarak titik $B$ ke $HC$ sama dengan jarak titik $B$ ke $C$. Perhatikan bahwa $BC$ merupakan rusuk kubus, sehingga panjang $BC = 8~\text{cm}$. 
Jadi, jarak titik $B$ ke garis $HC$ adalah $\boxed{8~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $6$ cm. Jarak antara titik $B$ dan $EG$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3\sqrt{6}~\text{cm}$            D. $6\sqrt{6}~\text{cm}$
B. $4\sqrt{6}~\text{cm}$            E. $7\sqrt{6}~\text{cm}$
C. $5\sqrt{6}~\text{cm}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Pada segitiga $BEG$, diketahui $BE, EG$, dan $BG$ semuanya merupakan diagonal bidang kubus, sehingga segitiga $BEG$ merupakan segitiga sama sisi dengan panjang $BE = EG = BG = 6\sqrt{2}~\text{cm}$. Untuk itu, jarak $B$ ke $EG$ adalah jarak $B$ ke $O$ di mana $O$ titik tengah $EG$. 
Sekarang tinjau segitiga siku-siku $BOG$. Diketahui: $OG = \dfrac12 EG = \dfrac12(6\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}~\text{cm}$ dan $BG = 6\sqrt{2}~\text{cm}$
Panjang $BO$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras
$\begin{aligned} BO & = \sqrt{BG^2 -OG^2} \\ & = \sqrt{(6\sqrt{2})^2- (3\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{72-18} \\ & = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak $B$ ke $EG$ adalah $\boxed{3\sqrt{6}~\text{cm}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $8~\text{cm}$. $M$ adalah titik tengah $EH$. Jarak titik $M$ ke garis $AG$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $4\sqrt6~\text{cm}$               D. $4\sqrt2~\text{cm}$ 
B. $4\sqrt5~\text{cm}$               E. $4~\text{cm}$
C. $4\sqrt3~\text{cm}$ 

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Misalkan titik $O$ merupakan proyeksi titik $M$ pada garis $AG$. Titik $O$ tepat di tengah $AG$ karena panjang $MA$ dan $MG$ sama.
Pertama, perhatikan segitiga siku-siku $MHG$.
Diketahui $HG = 8~\text{cm}$ dan $MH = 4~\text{cm}$ (setengah dari panjang rusuk kubus). Dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} MG & = \sqrt{HG^2+MH^2} \\ & = \sqrt{8^2+4^2} \\ & = \sqrt{64+16} = \sqrt{80} = 4\sqrt5~\text{cm} \end{aligned}$
Sekarang, tinjau segitiga siku-siku $MOG$. Diketahui $OG = 4\sqrt3~\text{cm}$ (setengah dari panjang diagonal ruang kubus) dan $MG = 4\sqrt5~\text{cm}$. Dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} MO & = \sqrt{MG^2-OG^2} \\ & = \sqrt{(4\sqrt5)^2-(4\sqrt3)^2} \\ & = \sqrt{80-48} = \sqrt{32} = 4\sqrt2~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $M$ ke garis $AG$ sama dengan $\boxed{4\sqrt2~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Panjang rusuk kubus $ABCD.EFGH$ adalah $12~\text{cm}$. Jika $P$ titik tengah $CG$, maka jarak titik $P$ ke garis $HB$ adalah $\cdots \cdot$
A. $8\sqrt5~\text{cm}$              D. $6\sqrt2~\text{cm}$ 
B. $6\sqrt5~\text{cm}$              E. $6~\text{cm}$
C. $6\sqrt3~\text{cm}$ 

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Misalkan $O$ merupakan proyeksi titik $P$ ke garis $HB$. Titik $O$ berada di tengah garis $HB$ karena $PB = PH$.
Pertama-tama, perhatikan dulu segitiga siku-siku $BCP$.
Diketahui bahwa $BC = 12~\text{cm}$ dan $CP = 6~\text{cm}$, sehingga dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} BP & = \sqrt{BC^2+CP^2} \\ & = \sqrt{12^2+6^2} \\ & = \sqrt{144+36} = \sqrt{180} = 6\sqrt5~\text{cm}\end{aligned}$
$HB$ merupakan diagonal ruang kubus, dan karena panjang rusuknya $s = 12~\text{cm}$, maka $HB = s\sqrt3 = 12\sqrt{3}~\text{cm}$. Ini berarti $PH= \dfrac12(12\sqrt3) = 6\sqrt3 = \sqrt{108}~\text{cm}$
Selanjutnya, perhatikan segitiga siku-siku $BOP$.
Panjang $OP$ merupakan jarak titik $P$ ke garis $HB$. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras kembali, diperoleh
$\begin{aligned} OP & = \sqrt{BP^2-OB^2} \\ & = \sqrt{180-108} \\ & = \sqrt{72} = 6\sqrt2~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $P$ dengan garis $HB$ adalah $\boxed{6\sqrt2~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ memiliki panjang rusuk $4~\text{cm}$. Jika $Q$ adalah titik tengah rusuk $FG$, maka jarak titik $Q$ ke garis $BD$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2\sqrt6~\text{cm}$                 D. $\sqrt{14}~\text{cm}$ 
B. $2\sqrt5~\text{cm}$                 E. $2\sqrt2~\text{cm}$
C. $3\sqrt2~\text{cm}$ 

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Jarak titik $Q$ ke $BD$ sama dengan jarak $Q$ ke $O$ pada $BD$ sedemikian sehingga $QO \perp BD$.
Panjang $QB$ dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $BFQ$.
$\begin{aligned} BQ & = \sqrt{BF^2 + FQ^2} \\ & = \sqrt{4^2+2^2} \\ & = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt5~\text{cm} \end{aligned}$
Sekarang, misalkan $O$ titik tengah $BC$, sedemikian dapat dibuat segitiga siku-siku $DOQ$. Diketahui bahwa $DO = BQ = 2\sqrt5~\text{cm}$ dan $OQ = 4~\text{cm}$, sehingga
$\begin{aligned} DQ & = \sqrt{DO^2 + OQ^2} \\ & = \sqrt{(2\sqrt5)^2+4^2} \\ & = \sqrt{20+16} = \sqrt{36} = 6~\text{cm} \end{aligned}$
Selanjutnya, perhatikan segitiga $BDQ$ berikut.

Karena $BD = 4\sqrt2~\text{cm}$ (diagonal bidang), maka dapat dimisalkan $DO = (4\sqrt{2} – x)~\text{cm}$ dan $OB = x~\text{cm}$, serta $QO = y~\text{cm}$.
Pada segitiga $DOQ$, berlaku
$\begin{aligned} DQ^2 & = DO^2 + QO^2 \\ 6^2 & = (4\sqrt2-x)^2 + y^2 \\ 36 & = 32 – 8\sqrt2 x + x^2+y^2 \\ 4 & = – 8\sqrt2 x + x^2+y^2~~~(\cdots \cdot 1) \end{aligned}$
Pada segitiga $BOQ$, berlaku
$\begin{aligned} BQ^2 & = BO^2 + QO^2 \\ (2\sqrt5)^2 & = x^2 + y^2 \\ 20 & = x^2+y^2~~~(\cdots \cdot 2) \end{aligned}$
Substitusikan persamaan 2 ke persamaan 1, 
$\begin{aligned} 4 & = -8\sqrt2 x + 20 \\ -16 & = -8\sqrt2 x \\ x & = \dfrac{16}{8\sqrt2} = \dfrac{2}{\sqrt2} = \sqrt2 \end{aligned}$
Untuk itu, kita dapatkan
$\begin{aligned} y & = \sqrt{(2\sqrt5)^2 -(\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{20-2} = \sqrt{18} = 3\sqrt2 \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $Q$ ke garis $BD$ adalah $\boxed{3\sqrt2~\text{cm}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $a$ cm. Jarak titik $E$ ke bidang diagonal $BDHF$ adalah $\cdots \cdot$ 
A. $\frac12 a\sqrt{3}~\text{cm}$           D. $\frac12a~\text{cm}$
B. $\frac12 a\sqrt{2}~\text{cm}$           E. $\frac14a~\text{cm}$
C. $\frac14 a\sqrt{2}~\text{cm}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Jarak titik $E$ ke bidang diagonal $BDHF$ sama dengan jarak titik $E$ ke titik tengah diagonal $HF$. 
Misalkan $O$ titik tengah diagonal $HF$. $EG$ merupakan diagonal bidang dengan panjang $a\sqrt{2}~\text{cm}$.
Perhatikan bahwa panjang $EO$ merupakan setengah dari panjang diagonal $EG$, sehingga
$EO = \dfrac12(a\sqrt{2}) = \dfrac12 a\sqrt{2}~\text{cm}$ 
Jadi, jarak titik $E$ ke bidang diagonal $BDHF$ adalah $\boxed{\dfrac12 a\sqrt{2}~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 8
Pada kubus $ABCD.EFGH$ yang panjang rusuknya $8~\text{cm}$, jarak titik $E$ ke bidang $BGD$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\frac13\sqrt3~\text{cm}$              D. $\frac83\sqrt3~\text{cm}$ 
B. $\frac23\sqrt3~\text{cm}$              E. $\frac{16}{3}\sqrt3~\text{cm}$
C. $\frac43\sqrt3~\text{cm}$ 

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Misalkan proyeksi titik $E$ pada bidang $BDG$ adalah titik $K$, sedangkan titik $J$ dan $L$ berturut-turut merupakan titik tengah bidang alas dan bidang atas kubus.
Pertama, perhatikan terlebih dahulu segitiga siku-siku $JCG$. Diketahui $CG = 8~\text{cm}$ dan $JC = 4\sqrt2~\text{cm}$ karena merupakan setengah dari panjang diagonal bidang.
Dengan Teorema Pythagoras, panjang $JG$ dapat ditentukan sebagai berikut.
$\begin{aligned} JG & = \sqrt{JC^2+CG^2} \\ & = \sqrt{(4\sqrt2)^2+8^2} \\ & = \sqrt{32+64} = \sqrt{96} = 4\sqrt6~\text{cm} \end{aligned}$
Selanjutnya, tarik garis $EG, EJ$, dan $JG$ sehingga diperoleh segitiga yang dapat digambarkan sebagai berikut.

Diketahui panjang $EG = 8\sqrt2~\text{cm}$ dan $LJ = 8~\text{cm}$, serta $JG = 4\sqrt6~\text{cm}$.
Akan dicari panjang $EK$ dengan menggunakan prinsip kesamaan luas segitiga.
$\begin{aligned} L_1 & = L_2 \\ \cancel{\dfrac12} \times LJ \times EG & = \cancel{\dfrac12} \times EK \times JG \\ 8 \times 8\sqrt2 & = EK \times 4\sqrt6 \\ EK & = \dfrac{\cancelto{2}{8} \times 8~\cancel{\sqrt2}}{\cancel{4}~\cancelto{\sqrt3}{\sqrt6}} \\ & = \dfrac{16}{\sqrt3} = \dfrac{16}{3}\sqrt3 \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $E$ ke bidang $BGD$ adalah $\boxed{\dfrac{16}{3}\sqrt3}$
Tips & Trick: Untuk soal setipe ini, jarak yang dimaksud dapat dicari secara langsung dengan rumus $\boxed{\dfrac{2}{3}s\sqrt{3}}$
dengan $s$ panjang rusuk kubus.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $12$ cm. Jarak ruas garis $HD$ dan $EG$ adalah $\cdots \cdot$
A. $6~\text{cm}$                    D. $8~\text{cm}$
B. $6\sqrt{2}~\text{cm}$               E. $8\sqrt{2}~\text{cm}$
C. $6\sqrt{3}~\text{cm}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Jarak $HD$ ke $EG$ sama dengan jarak $H$ ke titik tengah $EG$. Misalkan $O$ titik tengah $EG$, sehingga kita peroleh sebuah segitiga siku-siku $HEO$ (siku-siku di $O$). 
Diketahui panjang $EH = 12~\text{cm}$. Panjang diagonal bidang $EG = s\sqrt{2} = 12\sqrt{2}~\text{cm}$, sehingga $EO = \dfrac12EG = \dfrac12(12\sqrt{2}) = 6\sqrt{2}~\text{cm}$
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, didapat
$\begin{aligned} HO & = \sqrt{EH^2 – \EO^2} \\ & = \sqrt{12^2-(6\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{144-72} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak ruas garis $HD$ dan $EG$ adalah $\boxed{6\sqrt{2}~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ memiliki panjang rusuk $10~\text{cm}$. Titik $P$ dan $Q$ masing-masing terletak di tengah-tengah rusuk $AB$ dan $AF$. Jarak titik $C$ ke bidang $DPQH$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3\sqrt5~\text{cm}$                 D. $6\sqrt3~\text{cm}$ 
B. $4\sqrt5~\text{cm}$                 E. $7\sqrt2~\text{cm}$
C. $5\sqrt3~\text{cm}$ 

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Jarak titik $C$ ke bidang $DPQH$ sama dengan jarak titik $C$ ke titik $R$ pada $PD$ sehingga $RC$ tegak lurus $PD$.
Posisikan titik $S$ di tengah $CD$, sehingga $PS$ tegak lurus $CD$.
Panjang $PD$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $ADP$ dengan $AP = 5~\text{cm}$ dan $AD = 10~\text{cm}$, sehingga
$\begin{aligned} PD & = \sqrt{AP^2 + AD^2} \\ & = \sqrt{10^2 + 5^2} \\ & = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt5~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan menggunakan prinsip kesamaan luas segitiga pada $\triangle CDP$ (lihat gambar kanan), diperoleh
$\begin{aligned} \cancel{\dfrac12} \times CD \times PS & = \cancel{\dfrac12} \times PD \times CR \\ 10 \times 10 & = 5\sqrt5 \times CR \\ CR & = \dfrac{100}{5\sqrt5} = \dfrac{20}{\sqrt5} = 4\sqrt5~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $C$ ke bidang $DPQH$ adalah $\boxed{4\sqrt5~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $8$ cm. Panjang proyeksi $DE$ pada $BDHF$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2\sqrt{2}~\text{cm}$             D. $4\sqrt{6}~\text{cm}$
B. $2\sqrt{6}~\text{cm}$             E. $8\sqrt{2}~\text{cm}$
C. $4\sqrt{2}~\text{cm}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
 

Proyeksi $DE$ pada $BDHF$ adalah $OD$, di mana $O$ titik tengah $HF$.
Pada segitiga $HOD$ (siku-siku di $H$), diketahui panjang $DH = 8~\text{cm}$. Karena panjang $HF$ (diagonal bidang) $8\sqrt{2}~\text{cm}$, maka $HO = \dfrac12(HF) = \dfrac12(8\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}~\text{cm}$. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} OD & = \sqrt{DH^2 + HO^2} \\ & = \sqrt{8^2 + (4\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{64 + 32} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, panjang proyeksinya adalah panjang $OD$, yaitu $\boxed{4\sqrt{6}~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 12
Kubus $PQRS.TUVW$ mempunyai panjang rusuk $6$ cm. Jarak antara bidang $PUW$ dan bidang $QVS$ adalah $\cdots \cdot$
A. $6\sqrt3~\text{cm}$             D. $2\sqrt3~\text{cm}$
B. $6\sqrt2~\text{cm}$             E. $2\sqrt2~\text{cm}$
C. $3\sqrt3~\text{cm}$ 

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Bidang $PUW$ dan $QVS$ keduanya sejajar, sehingga jarak kedua bidang tersebut sama dengan seperbagian jaraknya dari diagonal ruang kubus. Misalkan $A$ adalah titik tengah $UW$ dan $B$ titik pada ruas garis $AP$, sedemikian sehingga $TB \perp PA$. Perhatikan segitiga siku-siku $PTA$.
Diketahui panjang $TA$ setengah dari panjang diagonal bidang kubus, sehingga $TA = \dfrac12 \times 6\sqrt2 = 3\sqrt2~\text{cm}$, dan $PT = 6~\text{cm}$. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} PA & = \sqrt{PT^2 + TA^2} \\ & = \sqrt{6^2 + (3\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{36 + 18} = \sqrt{54} = 3\sqrt6~\text{cm} \end {aligned}$
Karena $TB$ adalah garis tinggi segitiga yang ditarik dari titik $T$, maka dengan menggunakan rumus kesebangunan, diperoleh
$\begin{aligned} TB & = \dfrac{PT \times TA}{PA} \\ & = \dfrac{6 \times \cancel{3}\sqrt2}{\cancel{3}\sqrt6} \\ & = \dfrac{6\sqrt2}{\sqrt6} \times \color{red}{\dfrac{\sqrt6}{\sqrt6}} = 2\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$
Jarak titik $R$ ke bidang $QVS$ juga sama, yaitu $2\sqrt{3}~\text{cm}$, sedangkan panjang diagonal ruang $TR = 6\sqrt3~\text{cm}$. Dengan demikian, jarak bidang $PUW$ dan $QVS$ adalah
$|PUW.QVS| = (6-2-2)\sqrt3 = 2\sqrt3~\text{cm}$
Jadi, jarak titik $PUW$ dan $QVS$ adalah $\boxed{2\sqrt3~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 13
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $12~\text{cm}$. Titik $P$ terletak pada perpanjangan rusuk $DC$ sehingga $DC : CP = 3 : 1$. Jarak titik $P$ terhadap garis $AH$ adalah $\cdots \cdot$
A. $8\sqrt{28}~\text{cm}$              D. $2\sqrt{82}~\text{cm}$ 
B. $4\sqrt{82}~\text{cm}$              E. $2\sqrt{28}~\text{cm}$
C. $4\sqrt{28}~\text{cm}$ 

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Diketahui bahwa $DC = 12~\text{cm}$. Karena $DC : CP = 3 : 1$, maka $CP = \dfrac13 \times 12 = 4~\text{cm}$.
Pada segitiga siku-siku $DHP$, diketahui $DH = 12~\text{cm}$ dan $DP = 12 + 4 = 16~\text{cm}$, sehingga dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} HP & = \sqrt{DH^2+DP^2} \\ & = \sqrt{12^2+16^2} \\ & = \sqrt{144+256} \\ & = \sqrt{400} = 20~\text{cm} \end{aligned}$
Misalkan proyeksi titik $P$ ke garis $AH$ adalah titik $O$, yang terletak di tengah $AH$ karena $HP = AP$.
Sekarang, tinjau segitiga siku-siku $HOP$. Diketahui $OH = 6\sqrt2~\text{cm}$ dan $HP = 20~\text{cm}$, sehingga dengan menggunakan Teorema Pythagoras lagi, diperoleh
$\begin{aligned} OP & = \sqrt{HP^2-OH^2} \\ & = \sqrt{20^2-(6\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{400-72} \\ & = \sqrt{328} = 2\sqrt{82}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $P$ terhadap garis $AH$ adalah $\boxed{2\sqrt{82}~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14
Kubus $ABCD.EFGH$ mempunyai panjang rusuk $12~\text{cm}$. Titik $P$ terletak pada rusuk $EF$ dengan perbandingan $EP : PF = 1 : 3$. Jarak titik $B$ ke ruas garis $PG$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\frac{12\sqrt{17}}{5}~\text{cm}$          D. $\frac{6\sqrt{17}}{5}~\text{cm}$ 
B. $\frac{12\sqrt{34}}{5}~\text{cm}$           E. $\frac{6\sqrt{34}}{5}~\text{cm}$
C. $\frac{12\sqrt{51}}{5}~\text{cm}$ 

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Jarak titik $B$ ke $PG$ sama dengan jarak titik $B$ ke $F$ sedemikian rupa sehingga $BF \perp PG$. Dengan demikian, kita akan menentukan panjang $BF$
Karena panjang rusuk kubus $12~\text{cm}$ dan $EP : PF = 1 : 3$, maka $EP = \dfrac14 \times 12 = 3~\text{cm}$ dan $PF = 9~\text{cm}$.
Perhatikan segitiga siku-siku $PFG$. Panjang $PG$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} PG & = \sqrt{PF^2 + FG^2} \\ & = \sqrt{9^2 + 12^2} \\ & = \sqrt{81+144} = \sqrt{225} = 15~\text{cm} \end{aligned}$
Pada segitiga $PBQ$, proyeksi titik $P$ ke $BG$ adalah titik $Q$ yang tepat berada di tengah $BG$, sehingga $PG = PB$.
Selanjutnya, perhatikan segitiga siku-siku $PQG$. Karena $BG$ diagonal bidang kubus dengan $BG = 12\sqrt{2}~\text{cm}$, maka $QG = 6\sqrt{2}~\text{cm}$, sehingga dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} PQ & = \sqrt{PG^2 -QG^2} \\ & = \sqrt{15^2 -(6\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{225-72} = \sqrt{153} = 3\sqrt{17} \end{aligned}$
Perhatikan gambar berikut untuk lebih jelasnya.

Dengan menggunakan prinsip kesamaan luas segitiga pada $\triangle PBG$, diperoleh
$\begin{aligned} \cancel{\dfrac12} \times PG \times BO & = \cancel{\dfrac12} \times BG \times PQ \\ 15 \times BO & = 12\sqrt{2} \times 3\sqrt{17} \\ BO & = \dfrac{36\sqrt{34}}{15} = \dfrac{12\sqrt{34}}{5}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $B$ ke $PG$ adalah $\boxed{\dfrac{12\sqrt{34}}{5}~\text{cm}}$
(Jawaban B) 
 

[collapse]

Soal Nomor 15
Diketahui $S$ adalah titik yang terletak di perpanjangan $HD$ pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan $DS : HD = 1 : 2$. Jika panjang rusuk kubus adalah $6~\text{cm}$, jarak titik $F$ ke titik $S$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5\sqrt{17}~\text{cm}$             D. $2\sqrt{17}~\text{cm}$
B. $4\sqrt{17}~\text{cm}$             E. $\sqrt{17}~\text{cm}$
C. $3\sqrt{17}~\text{cm}$ 

Pembahasan

Metode Penyelesaian 1: Konsep Segitiga
Berdasarkan perbandingan yang diberikan, titik $S$ dipastikan berada dibawah kubus (di bawah garis $HD$). Perhatikan sketsa gambar berikut.

Karena $HD : DS = 2 : 1$ dan $HD = 6~\text{cm}$, maka $DS = \dfrac{1}{2} \times 6 = 3~\text{cm}$, sehingga $HS = 9~\text{cm}$.
Buatlah segitiga siku-siku $SHF$ seperti gambar di atas.
Karena $HF$ diagonal bidang kubus, maka jelas $HF = 6\sqrt{2}~\text{cm}$.
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} SF & = \sqrt{HS^2+HF^2} \\ & = \sqrt{9^2 + (6\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{81+72} = \sqrt{153} = 3\sqrt{17}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $S$ ke $F$ adalah $\boxed{3\sqrt{17}~\text{cm}}$
Metode Penyelesaian 2: Konsep Vektor 3D
Catatan: Cara ini dapat digunakan bila materi vektor sudah dikuasai.
Posisikan kubus $ABCD.EFGH$ dalam koordinat Kartesius 3D seperti gambar berikut, di mana $D$ berada di titik asal.

Titik $S$ haruslah di bawah kubus berdasarkan perbandingan yang diberikan.
Karena $HD : DS = 2 : 1$ dan $HD = 6~\text{cm}$, maka
$DS = \dfrac{1}{2} \times 6 = 3~\text{cm}$
sehingga koordinat titik $S$ adalah $(0, 0, -3)$.
Selanjutnya, buat vektor $\vec{SF}$, dengan vektor posisinya diwakili oleh
$\vec{SF} = F -S = (6, 6, 6) -(0, 0, -3) = (6, 6, 9)$
Panjang $\vec{SF}$ adalah
$\begin{aligned} |\vec{SF}| & = \sqrt{6^2+6^2+9^2} \\ & = \sqrt{36+36+81} \\ & = \sqrt{153} = 3\sqrt{17} \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $S$ ke $F$ adalah $\boxed{3\sqrt{17}~\text{cm}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 16
Kubus $ABCD.EFGH$ mempunyai panjang rusuk $8~\text{cm}$. Titik $K$ terletak pada perpanjangan rusuk $DA$ dengan perbandingan $KA : KD = 1 : 3$. Jarak titik $K$ ke bidang $BDHF$ adalah $\cdots \cdot$
A. $6\sqrt2~\text{cm}$             D. $2\sqrt6~\text{cm}$
B. $4\sqrt3~\text{cm}$             E. $2\sqrt3~\text{cm}$
C. $4\sqrt2~\text{cm}$

Pembahasan

Diketahui bahwa $K$ merupakan titik pada perpanjangan $AD$ dan $KA : KD = 1 : 3$. Secara implisit, kita mengetahui bahwa $K$ harus berada di perpanjangan depan $AD$ berdasarkan perbandingan tersebut. Dengan kata lain, $K$ berada lebih dekat dengan $A$ seperti pada gambar berikut.

Jarak titik $K$ ke bidang $BDHF$ sama dengan jarak titik $K$ ke titik $O$ pada $BD$ sehingga $KO \perp BD$. Karena $KA : KD = 1 : 3$ mengimplikasikan $KA : AD = 1 : 2$ dan diketahui bahwa $AD = 8~\text{cm}$, maka haruslah $KA = \dfrac12 \times 8 = 4~\text{cm}$, sehingga $KD = 12~\text{cm}$.
Panjang $KB$ dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $KAB$, yakni
$\begin{aligned} KB & = \sqrt{KA^2 + AB^2} \\ & = \sqrt{4^2 + 8^2} \\ & = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt5~\text{cm} \end{aligned}$
Di lain itu, panjang $BD = 8\sqrt{2}~\text{cm}$ (diagonal bidang kubus).
Sekarang, dapat dibuat segitiga $KBD$ seperti gambar berikut (perhatikan bahwa $BA \perp KD$).

Dengan menggunakan prinsip kesamaan luas segitiga, diperoleh
$\begin{aligned} \cancel{\dfrac12} \times BD \times KO & = \cancel{\dfrac12} \times KD \times AB \\ 8\sqrt2 \times KO & = 12 \times 8 \\ K0 & = \dfrac{12 \times \cancel{8}}{\cancel{8}\sqrt2} = \dfrac{12}{\sqrt2} = 6\sqrt2~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $K$ ke bidang $BDHF$ adalah $\boxed{6\sqrt{2}~\text{cm}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 17
Kubus $ABCD.EFGH$ memiliki panjang rusuk $6~\text{cm}$. Titik $P, Q$, dan $R$ berturut-turut adalah titik tengah rusuk $EH, BF$, dan $CG$. Titik $S$ adalah titik potong garis $AC$ dan $BD$. Jarak titik $S$ ke bidang $PQR$ adalah$\cdots \cdot$
A. $\frac35\sqrt5~\text{cm}$            D. $\frac95\sqrt5~\text{cm}$
B. $\frac65\sqrt5~\text{cm}$            E. $\frac{12}{5}\sqrt5~\text{cm}$
C. $\frac75\sqrt5~\text{cm}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Kita misalkan titik $U$ di tengah $FG$, titik $W$ di tengah $BC$, titik $V$ di tengah $UW$, dan titik $T$ merupakan titik potong bidang $PQR$ dan garis $SU$. Dalam hal ini, panjang $ST$ merupakan jarak titik $S$ ke bidang $PQR$.
Perhatikan segitiga siku-siku $SWU$.
Diketahui bahwa $SW = 3~\text{cm}$ dan $WU = 6~\text{cm}$, sehingga dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} SU & = \sqrt{SW^2 + WU^2} \\ & = \sqrt{3^2 + 6^2} \\ & = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt5~\text{cm} \end{aligned}$
Segitiga $SWU$ sebangun dengan segitiga $TVU$ (sudut-sudut-sisi), sehingga dengan menggunakan konsep kesebangunan, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{SU}{VU} & = \dfrac{WU}{TU} \\ \dfrac{\cancel{3}\sqrt5}{\cancel{3}} & = \dfrac{6}{TU} \\ \sqrt{5} & = \dfrac{6}{TU} \\ TU & = \dfrac{6}{\sqrt5} = \dfrac65\sqrt5~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$ST = SU – TU = 3\sqrt5 – \dfrac65\sqrt5 = \dfrac95\sqrt5~\text{cm}$
Jadi, jarak titik $S$ ke bidang $PQR$ adalah $\boxed{\dfrac95\sqrt5~ \text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 18
Diketahui sebuah balok $PQRS.TUVW$ dengan panjang $15$ cm, lebar $7$ cm, dan tinggi $5$ cm. Jarak antara bidang alas $PQRS$ dan bidang atas $TUVW$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5~\text{cm}$                  D. $7~\text{cm}$
B. $5\sqrt{2}~\text{cm}$             E. $7\sqrt{2}~\text{cm}$
C. $5\sqrt{3}~\text{cm}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Jarak antara bidang alas $PQRS$ dan bidang atas $TUVW$ sama dengan tinggi balok tersebut. Dengan demikian, jarak kedua bidang itu adalah $\boxed{5~\text{cm}}$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 19
Balok $PQRS.TUVW$ mempunyai panjang rusuk $PQ = 8~\text{cm}$, $QR = 6~\text{cm}$, dan $RV = 5~\text{cm}$. Jarak titik $T$ ke titik $R$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5\sqrt5~\text{cm}$                  D. $3\sqrt5~\text{cm}$ 
B. $5\sqrt3~\text{cm}$                   E. $2\sqrt5~\text{cm}$
C. $5\sqrt2~\text{cm}$ 

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Pada segitiga siku-siku $PQR$ dengan $PQ = 8~\text{cm}$ dan $QR = 6~\text{cm}$, panjang $PR$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} PR & = \sqrt{PQ^2+QR^2} \\ & = \sqrt{8^2+6^2} \\ & = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10~\text{cm} \end{aligned}$
Selanjutnya, pada segitiga siku-siku $TPR$ dengan $TP = 5~\text{cm}$ dan $PR = 10~\text{cm}$, panjang $TR$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} TR & = \sqrt{TP^2+PR^2} \\ & = \sqrt{5^2+10^2} \\ & = \sqrt{25+100} = \sqrt{125} = 5\sqrt5~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $T$ ke titik $R$ adalah $\boxed{5\sqrt5~\text{cm}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 20
Balok $ABCD.EFGH$ mempunyai panjang rusuk $AB = 4~\text{cm}$, $BC = 2~\text{cm}$, dan $AE = 2~\text{cm}$. Titik $P$ terletak di tengah rusuk $CH$. Jarak titik $A$ ke titik $P$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\sqrt5~\text{cm}$                   D. $2\sqrt3~\text{cm}$ 
B. $3~\text{cm}$                      E. $2\sqrt6~\text{cm}$
C. $2\sqrt2~\text{cm}$ 

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Misalkan titik $O$ di tengah rusuk $CD$, sehingga dapat dibuat segitiga $AOP$ yang siku-siku di $O$.
Pada segitiga $ADO$, panjang $AO$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} AO & = \sqrt{AD^2+DO^2} \\ & = \sqrt{2^2+2^2} = 2\sqrt2~\text{cm} \end{aligned}$
Karena $P$ terletak di tengah rusuk $CH$, maka $OP = \dfrac12 \times t = 1~\text{cm}$.
Dengan demikian, panjang $AP$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras di segitiga $AOP$.
$\begin{aligned} AP & = \sqrt{AO^2+OP^2} \\ & = \sqrt{(2\sqrt2)^2+1^2} = \sqrt{8+1} = 3~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $A$ ke titik $P$ adalah $\boxed{3~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 21
Diketahui balok $KLMN.PQRS$ dengan $KL = 3~\text{cm}$, $LM = 4~\text{cm}$, dan $KP = 12~\text{cm}$. Jarak titik $R$ ke garis $PM$ adalah $\cdots \cdot$ 
A. $\frac{35}{13}~\text{cm}$         D. $\frac{50}{13}~\text{cm}$ 
B. $\frac{40}{13}~\text{cm}$         E. $\frac{60}{13}~\text{cm}$
C. $\frac{45}{13}~\text{cm}$ 

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Jarak titik $R$ ke garis $PM$ sama dengan jarak titik $R$ ke titik $O$ sedemikian sehingga $RO \perp PM$.
Oleh karena itu, buat segitiga $PRM$ yang siku-siku di $R$.
Panjang $PR$ dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada
segitiga siku-siku $PQR$, yakni
$\begin{aligned} PR & = \sqrt{PQ^2 + QR^2} \\ & = \sqrt{3^2+4^2} \\ & = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5~\text{cm} \end{aligned}$
Panjang $PM$ dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada
segitiga siku-siku $PRM$, yakni
$\begin{aligned} PM & = \sqrt{PR^2 + RM^2} \\ & = \sqrt{5^2+12^2} \\ & = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13~\text{cm} \end{aligned}$
Karena $RO$ merupakan garis tinggi segitiga $PRM$ dari titik $R$, maka panjangnya dapat dengan mudah ditentukan menggunakan rumus kesebangunan, yaitu
$RO = \dfrac{PR \times RM}{PM} = \dfrac{5 \times 12}{13} = \dfrac{60}{13}~\text{cm}$
Jadi, jarak titik $R$ ke garis $PM$ adalah $\boxed{\dfrac{60}{13}~\text{cm}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 22
Diketahui $T.ABCD$ limas segiempat beraturan yang memiliki panjang rusuk alas 12 cm dan panjang rusuk tegak $12\sqrt{2}~\text{cm}$. Jarak titik $A$ ke $TC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3\sqrt{6}~\text{cm}$             D. $6\sqrt{6}~\text{cm}$
B. $4\sqrt{6}~\text{cm}$             E. $7\sqrt{6}~\text{cm}$
C. $5\sqrt{6}~\text{cm}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Panjang diagonal alasnya adalah
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 12^2} = 12\sqrt{2}$
Segitiga $ATC$ merupakan segitiga sama sisi karena $AC = AT = TC = 12\sqrt{2}~\text{cm}$
Dengan demikian, jarak titik $A$ ke $TC$ adalah jarak titik $A$ ke titik $O$ di mana $O$ titik tengah $TC$ seperti gambar.
Perhatikan segitiga siku-siku $AOC$
Diketahui: $AC = 12\sqrt{2}~\text{cm}$ dan $OC = \dfrac12 TC = \dfrac12(12\sqrt{2}) = 6\sqrt{2}~\text{cm}$
Panjang $AO$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} AO & = \sqrt{AC^2-OC^2} \\ & = \sqrt{(12\sqrt{2})^2 – (6\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{288-72} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $A$ ke $TC$ adalah $\boxed{6\sqrt{6}~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 23

Diketahui limas segiempat beraturan $T.ABCD$ dengan $AB=BC=5\sqrt{2}$ cm dan $TA=13$ cm. Jarak titik $A$ ke garis $TC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $4\frac{8}{13}$ cm               D. 10 cm
B. $4\frac{12}{13}$ cm               E. 12 cm
C. $9\frac{3}{13}$ cm

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} AB & = BC = 5\sqrt{2}~\text{cm} \\ TA & = TC = 13~\text{cm} \end{aligned}$
Perhatikan sketsa gambar berikut.

Misalkan $O$ adalah titik tengah diagonal $AC$ dan $P$ adalah titik pada $TC$ sehingga $AP$ merupakan garis tinggi segitiga $ACT$. Dalam hal ini, $AP$ merupakan jarak $A$ ke $TC$. 
Tinjau segitiga $ABC$ (siku-siku di $B$). Panjang $AC$ dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras
$AC = \sqrt{(5\sqrt2)^2+(5\sqrt2)^2} = \sqrt{50+50} = 10~\text{cm}$
Dengan demikian, $AO = 5~\text{cm}$. 
Selanjutnya, tinjau segitiga $AOT$ (siku-siku di $O$). 
Panjang $OT$ juga dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras
$\begin{aligned} OT & = \sqrt{AT^2 -AO^2} = \sqrt{13^2-5^2} \\ & = \sqrt{144} = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Terakhir, perhatikan segitiga $ATC$. 
Dengan menggunakan kesamaan luas segitiga, diperoleh
$\begin{aligned} \cancel{\dfrac12} \cdot AC \cdot OT & = \cancel{\dfrac12} \cdot TC \cdot AP \\ 10 \cdot 12 & = 13 \cdot AP \\ AP & = \dfrac{120}{13} = 9 \dfrac{3}{13}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $A$ ke garis $TC$ adalah $\boxed{9 \dfrac{3}{13}~\text{cm}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 24
Diketahui sebuah limas $T.ABCD$ dengan sisi alas berbentuk persegi dan panjang rusuk alas $6$ cm serta panjang rusuk tegaknya $5$ cm. Tinggi limas tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $\sqrt{7}~\text{cm}$                     D. $4~\text{cm}$
B. $3~\text{cm}$                         E. $3\sqrt{2}~\text{cm}$
C. $\sqrt{13}~\text{cm}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Misalkan proyeksi titik $T$ ke bidang alas $ABCD$ adalah titik $O$ yang terletak di tengah-tengah bidang itu. Sekarang, perhatikan segitiga $AOT$ (siku-siku di $O$). Karena $AC$ merupakan diagonal bidang alas (persegi), maka $AC = 6\sqrt{2}~\text{cm}$, sehingga $AO = \dfrac{1}{2}(AC) = \dfrac12(6\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}~\text{cm}$
$AT$ merupakan rusuk tegak limas, sehingga $AT = 5~\text{cm}$. Dalam bentuk ini, $OT$ merupakan tinggi limas yang akan dicari panjangnya dengan menggunakan Teorema Pythagoras
$\begin{aligned} OT & = \sqrt{AT^2 -AO^2} \\ & = \sqrt{5^2 -(3\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{25-18} = \sqrt{7}~\text{cm}\end{aligned}$
Jadi, tinggi limas tersebut adalah $\boxed{\sqrt{7}~\text{cm}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 25
Diketahui limas segiempat $T.ABCD$ dengan panjang rusuk $AB = BC = 8~\text{cm}$ dan $TA = 6~\text{cm}$. Jika $P$ titik tengah $BC$, maka jarak titik $P$ ke bidang $TAD$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2\sqrt{6}~\text{cm}$                       D. $\dfrac83\sqrt3~\text{cm}$ 
B. $\dfrac85\sqrt{5}~\text{cm}$                       E. $\dfrac58\sqrt3~\text{cm}$
C. $\dfrac45\sqrt5~\text{cm}$ 

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Jarak titik $P$ ke bidang $TAD$ sama dengan jarak titik $P$ ke titik $R$ pada $QT$ sehingga garis $PR$ dan $QT$ saling tegak lurus.
Misalkan $O$ titik tengah bidang alas $ABCD$ dan $Q$ titik tengah rusuk $AD$.
Tinjau $\triangle TPB$ (siku-siku di $P$).
Diketahui $BP = \dfrac{1}{2} \times 8 = 4~\text{cm}$ dan $TB = 6~\text{cm}$, sehingga dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} TP & = \sqrt{TB^2 – BP^2} \\ & = \sqrt{6^2 – 4^2} \\ & = \sqrt{36-16} = \sqrt{20} = 2\sqrt5~\text{cm} \end{aligned}$.
Tinjau $\triangle TOP$ (siku-siku di $O$).
Diketahui $OP = \dfrac{1}{2} \times 8 = 4~\text{cm}$ dan $TP = 2\sqrt5~\text{cm}$, sehingga dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} TO & = \sqrt{TP^2 -OP^2} \\ & = \sqrt{(2\sqrt5)^2 -4^2} \\ & = \sqrt{20-16} = \sqrt{4} = 2~\text{cm} \end{aligned}$
Sekarang, perhatikan $\triangle TQP$ yang diilustrasikan seperti pada gambar kanan di atas.
Dalam segitiga tersebut, $TQ = TP = 2\sqrt{5}~\text{cm}$.
Dengan menggunakan kesamaan luas segitiga, diperoleh
$\begin{aligned} \cancel{\dfrac12} \times QP \times TO & = \cancel{\dfrac12} \times TQ \times PR \\ 8 \times 2 & = 2\sqrt5 \times PR \\ PR & = \dfrac{8 \times \cancel{2}}{\cancel{2}\sqrt5}\\ PR & = \dfrac{8}{\sqrt5} = \dfrac85\sqrt5~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $P$ ke bidang $TAD$ adalah $\boxed{\dfrac85\sqrt5~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 26
Diketahui $T.ABC$ adalah limas segitiga beraturan dengan panjang rusuk alas $12~\text{cm}$ dan panjang rusuk tegak $6\sqrt2~\text{cm}$ serta titik $E$ di tengah rusuk $TC$. Jarak titik $A$ ke $BE$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3\sqrt{10}~\text{cm}$                 D. $\dfrac65 \sqrt{15}~\text{cm}$ 
B. $\dfrac{18}{5} \sqrt{15}~\text{cm}$              E. $3\sqrt{15}~\text{cm}$
C. $\dfrac{12}{5} \sqrt{15}~\text{cm}$ 

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Diketahui bahwa $TE = EC = 3\sqrt2$ karena $E$ terletak tepat di tengah rusuk $TC$. Perhatikan juga bahwa $AE = BE$. Posisikan titik $D$ di pertengahan rusuk $AB$ dan titik $O$ di pertengahan rusuk $BC$. Misalkan titik $I$ terletak pada $BE$ sedemikian sehingga $AI \perp BE$, yang berarti jarak titik $A$ ke $BE$ dapat diwakili oleh jarak titik $A$ ke titik $I$.
Tinjau $\triangle BCT$.

Misalkan panjang $BE = x$.
Dengan menggunakan Aturan Cosinus pada $\triangle BCT$ dan $\triangle $BCE$, diperoleh
$$\begin{aligned} \cos \theta = \dfrac{(12)^2 + \cancel{(6\sqrt2)^2}- \cancel{(6\sqrt2)^2}}{\bcancel{2 \cdot 12} \cdot \cancelto{2}{6\sqrt2}} &= \dfrac{(12)^2 + (3\sqrt2)^2 -(x)^2}{\bcancel{2 \cdot 12} \cdot \cancel{3\sqrt2}} \\ \dfrac{144}{2} & = 144 + 18 – x^2 \\ x^2 & = 90 = 3\sqrt{10} \end{aligned}$$
Diperoleh panjang $AE = BE = 3\sqrt{10}~\text{cm}$
Selanjutnya, tinjau $\triangle ABE$.

Panjang $DE$ dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $DBE$.
$\begin{aligned} DE & = \sqrt{BE^2 -BD^2} \\ & = \sqrt{(3\sqrt{10})^2 -(6)^2} \\ & = \sqrt{90 – 36} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \end{aligned}$
Misalkan besar $\angle ABE = \alpha$, sehingga dengan menggunakan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku $DBE$ dan $ABI$, diperoleh
$\sin \alpha = \dfrac{DE}{BE} = \dfrac{3\sqrt{6}}{3\sqrt{10}} = \sqrt{3} {5} = \dfrac15\sqrt{15}$
Pada segitiga siku-siku $ABI$, diperoleh
$\begin{aligned} AI & = AB \cdot \sin \alpha \\ & = 12 \cdot \dfrac15\sqrt{15} \\ & = \dfrac{12}{5}\sqrt{15}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $A$ ke $BE$ adalah $\boxed{\dfrac{12}{5}\sqrt5~\text{cm}}$ (Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan Cosinus, dan Luas Segitiga dalam Trigonometri

Soal Nomor 27
Pada limas dengan alas $ABCD$, ketiga rusuk yang bertemu di $B$ saling tegak lurus. Diketahui panjang $AB = 9,6~\text{cm}$, $BC = 6~\text{cm}$, dan $BD = 8 ~\text{cm}$. Panjang garis tinggi dari $B$ pada sisi $CD$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 28
Perhatikan gambar di bawah!

Jika $AT, AB$, dan $AC$ adalah segmen yang saling tegak lurus di $A$ dengan panjang masing-masing $6~\text{cm}$, jarak titik $A$ ke bidang $TBC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\frac32\sqrt6~\text{cm}$                  D. $3\sqrt2~\text{cm}$ 
B. $2\sqrt3~\text{cm}$                  E. $6\sqrt2~\text{cm}$
C. $2\sqrt6~\text{cm}$ 

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Jarak titik $A$ ke bidang $TBC$ sama dengan jarak titik $A$ ke titik berat segitiga $TBC$, yaitu titik $P$ sedemikian sehingga $AP$ dan $TO$ saling tegak lurus dengan $O$ titik tengah $BC$.
Perhatikan $\triangle TAB$ (siku-siku di $A$) dengan $AT = AB = 6~\text{cm}$. Dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} BT & = \sqrt{AT^2 + AB^2} \\ & = \sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt2~\text{cm} \end{aligned}$
Perhatikan $\triangle ABC$ (siku-siku di $A$) dengan $AB = AC = 6~\text{cm}$. Dengan Teorema Pythagoras, juga diperoleh $BC = 6\sqrt2~\text{cm}$
Dengan demikian,
$OB = \dfrac12 \times BC = \dfrac12 \times 6\sqrt2 = 3\sqrt2~\text{cm}$
Selanjutnya, tinjau $\triangle AOB$ (siku-siku di $O$) dengan $AB = 6~\text{cm}$ dan $OB = 3\sqrt2~\text{cm}$. Dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} AO & = \sqrt{AB^2 -OB^2} \\ & = \sqrt{6^2 -(3\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{36 -18} = 3\sqrt2~\text{cm} \end{aligned}$
Berikutnya, tinjau $\triangle TAO$ (siku-siku di $A$) dengan $AT = 6~\text{cm}$ dan $AO = 3\sqrt2~\text{cm}$. Dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} OT & = \sqrt{AT^2 + AO^2} \\ & = \sqrt{6^2 + (3\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{36 + 18} = \sqrt{54} = 3\sqrt6~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan menggunakan kesamaan luas segitiga pada $\triangle TAO$, diperoleh
$\begin{aligned} \cancel{\dfrac12} \times AT \times AO & = \cancel{\dfrac12} \times AP \times OT \\ 6 \times 3\sqrt2 & = AP \times 3\sqrt6 \\ AP & = \dfrac{18\sqrt2}{3\sqrt6} = \dfrac{6}{\sqrt3} = 2\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $A$ ke bidang $TBC$ adalah $\boxed{2\sqrt3~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 29
Diketahui prisma tegak segitiga sama sisi $ABC.DEF$ dengan panjang $AB = s$ dan $AD = t$. Jika titik $G$ terletak di tengah rusuk $EF$, maka panjang $AG$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\sqrt{t^2-\frac34 s^2}$
B. $\sqrt{t^2+\frac34 s^2}$ 
C. $\sqrt{t^2+s^2}$
D. $\sqrt{t^2-s^2}$ 
E. $\sqrt{t^2+\frac14 s^2}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Perhatikan segitiga sama sisi $ABC$.
Tarik garis tinggi dari $A$ ke $BC$, sehingga proyeksi titiknya pada $H$ yang tepat terletak di tengah $BC$.
Tinjau segitiga siku-siku $AHB$ dengan $AB = s$ dan $HB = \dfrac12 s$. Dengan Teorema Pythagoras, didapat
$\begin{aligned} AH^2 & = AB^2-HB^2 \\ & = s^2-\left(\dfrac12 s\right)^2\\ & = s^2 -\dfrac14 s^2  = \dfrac34 s^2 \end{aligned}$
Selanjutnya, buatlah segitiga siku-siku $AHG$ seperti gambar.

Diketahui $AH = \dfrac34 s^2$ dan $HG = t$, sehingga dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} AG^2 & = AH^2 + HG^2 \\ AG^2 & = \dfrac34 s^2 + t^2 \\ AG & = \sqrt{\dfrac34 s^2 + t^2} \\ & = \sqrt{t^2 + \dfrac34 s^2} \end{aligned}$
Jadi, panjang $AG$ adalah $\boxed{\sqrt{t^2 + \dfrac34 s^2}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Tambahan

Soal Nomor 30
Pada kubus $ABCD.EFGH$, titik $P, Q$, dan $R$ adalah titik di pertengahan rusuk $AD, AB$, dan $BF$. Irisan bidang yang melalui $P, Q$, dan $R$ berbentuk $\cdots \cdot$
A. persegi
B. trapesium
C. segitiga sama sisi
D. segilima beraturan
E. segienam beraturan

Pembahasan

Posisikan titik $P, Q, R$ pada kubus $ABCD.EFGH$, lalu buatlah bidang yang menembus (membelah) kubus serta melalui ketiga titik tersebut seperti tampak pada gambar di bawah.

Perhatikan bahwa setiap sisi yang membentuk bangun memiliki panjang yang sama dengan jarak titik tengah rusuk yang satu ke titik tengah rusuk yang lain pada satu bidang sehingga jaraknya pasti sama. Untuk itu, bidang yang terbentuk berupa segienam beraturan (memiliki $6$ sisi dan semua sisinya sama panjang).
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 31
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $7$ cm. Titik $M$ adalah titik potong garis $AC$ dan $BD$, sedangkan titik $N$ adalah titik potong garis $EG$ dan $HF$.

Jarak garis $EM$ dan garis $CN$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac72$ cm                       D. $7\sqrt2$ cm
B. $7$ cm                       E. $\dfrac73\sqrt3$ cm
C. $\dfrac72\sqrt2$ cm

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

$EMCN$ bukanlah persegi panjang, melainkan jajar genjang (sudut antara garis $EM$ dan $MC$ tidak siku-siku).
Jarak $EM$ dan $CN$ diwakili oleh jarak titik $O$ (pada $EM$) ke titik $N$ atau jarak titik $P$ (pada $CN$) ke titik $M$.
Sekarang, tinjau $\triangle EMN$.
Segitiga $EMN$ siku-siku di $N$.
Panjang $EN$ merupakan setengah dari panjang diagonal bidang $EG$, sehingga
$EN = \dfrac12 \cdot s\sqrt2 = \dfrac72\sqrt2~\text{cm}$
$NM$ merupakan tinggi kubus, yakni $7~\text{cm}$.
Untuk mencari panjang $EM$, gunakan rumus Pythagoras.
$\begin{aligned} EM & = \sqrt{EN^2+NM^2} \\ & = \sqrt{\left(\dfrac72\sqrt2\right)^2 + (7)^2} \\ & = \sqrt{\dfrac{49}{2} + 49} \\ & = \sqrt{\dfrac{49 + 49 \cdot 2}{2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{49 \cdot 3}{2}} \\ & = \dfrac72\sqrt6~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan menggunakan prinsip kesamaan luas segitiga pada $\triangle EMN$, diperoleh
$\begin{aligned} \cancel{\dfrac12} \cdot EN \cdot NM & = \cancel{\dfrac12} \cdot EM \cdot ON \\ \cancel{\dfrac72}\sqrt2 \cdot 7 & = \cancel{\dfrac72}\sqrt6 \cdot ON \\ ON & = \dfrac{7\sqrt2}{\sqrt6} = \dfrac73\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak garis $EM$ dan $CN$ adalah $\boxed{\dfrac73\sqrt3~\text{cm}}$
(Jawaban E)

[collapse]

CategoriesDimensi Tiga, Geometri, Geometri Analitik Ruang, JarakTags, , , , , , , , , , ,

3 Replies to “Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Dimensi Tiga (Konsep Jarak: Titik, Garis, dan Bidang)”

  1. terimakasih ka, berkat ngerjain soal soal disini sambil liat pembahasannya aku jadi lebih paham nilai ulangan ku juga jadi 95 🙂

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *