Materi, Soal, dan Pembahasan – Distribusi Binomial

Distribusi binomial (binomial distribution) merupakan salah satu distribusi peluang dengan variabel acak diskret yang merupakan salah satu kajian dari statistika inferensial, yaitu cabang statistika yang berkenaan dengan metode analisis sampel untuk menarik kesimpulan tentang karakteristik populasi. Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menemukan kejadian yang kemungkinannya hanya ada dua seperti contoh-contoh berikut.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Peluang (Tingkat SMP/Sederajat)

Contoh 1

Pada pelemparan satu buah dadu, hanya ada 2 kemungkinan mata dadu yang muncul: genap atau ganjil.

Contoh 2

Pada pelemparan sekeping koin, hanya ada 2 kemungkinan yang muncul: angka atau gambar.

Contoh 3

Saat tendangan penalti pada pertandingan sepak bola, hanya ada 2 kemungkinan kejadian yang bakal terjadi: gol atau tidak gol.

Contoh 4

Saat pengumuman kelulusan siswa di kelas VI, IX, atau XII, hanya ada dua kemungkinan kejadian yang bakal terjadi: lulus atau tidak lulus.

Contoh 5

Bayi yang lahir dari rahim induknya hanya memiliki $2$ jenis kelamin: laki-laki (jantan) atau perempuan (betina).

Contoh 6

Pada polling Instagram, viewer hanya dapat memilih $2$ pilihan yang ditawarkan: Yes atau No.

Tinjau sebuah eksperimen (percobaan) yang hanya menghasilkan dua kejadian, katakanlah kejadian $A$ dan $\overline{A}$ dengan peluang kejadian $A$ sama dengan $p(A) = p.$ Jika nilai $p(A) = p$ selalu sama pada setiap percobaan, maka percobaan yang berulang-ulang dilakukan seperti itu disebut percobaan Bernoulli (Bernoulli trial), diambil dari nama matematikawan Swiss, Jacob Bernoulli (1655–1705). 

Misalkan percobaan dilakukan sebanyak $n$ kali dan saling bebas (mutually independent). Sebanyak $x$ kali muncul kejadian $A$ (sering kali disebut kejadian sukses) dan $n-x$ kali muncul kejadian $\overline{A}$ (sering kali disebut kejadian gagal) Jika $p(A) = \alpha$ untuk setiap percobaan sehingga $p(\overline{A}) = 1-\alpha,$ maka peluang terjadinya kejadian $A$ sebanyak $X = x$ kali dari total $n$ kali percobaan ditentukan oleh fungsi massa peluang berikut.
$$\boxed{f(x) = p(X = x) = \displaystyle \binom{n}{x} p^x(1-p)^{n-x}}$$dengan $x \in \{0,1,2,\cdots, n\}$ dan $0\le \alpha \le 1.$ Perhatikan bahwa koefisien binomial $\displaystyle \binom{n}{x}$ didefinisikan oleh
$$\displaystyle \binom{n}{x} = \dfrac{n!}{x!(n-x)!} = C(n,x)$$dengan $$n! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times (n-1) \times n$$ dan $0! = 1.$ Selanjutnya, distribusi yang berkenaan dengan percobaan tersebut dinamakan distribusi binomial.

Lebih lanjut, jika percobaan Bernoulli dilakukan sebanyak satu kali, maka distribusi yang berkenaan dengannya dinamakan distribusi Bernoulli (Bernoulli distribution). Namun, jika percobaan Bernoulli dilakukan sebanyak $n$ kali, maka distribusi yang berkenaan dengannya dinamakan distribusi binomial. Dari sini, dapat juga dikatakan bahwa distribusi Bernoulli adalah kasus khusus dari distribusi binomial dengan mengambil nilai $n = 1.$

Adapun syarat penggunaan distribusi binomial dapat dilihat pada kolom berikut.

Syarat Penggunaan Distribusi Binomial

Adapun syarat penggunaan distribusi binomial adalah sebagai berikut.

  1. Percobaan dilakukan sebanyak $n$ kali untuk suatu bilangan asli $n.$
  2. Hanya menghasilkan $2$ kemungkinan untuk setiap percobaan. Sebagai contoh, berhasil atau gagal.
  3. Setiap percobaan harus saling bebas (mutually independent), artinya kejadian pada percobaan yang satu tidak memengaruhi kejadian pada percobaan yang lain.
  4. Besarnya peluang untuk masing-masing kemungkinan pada setiap percobaan harus sama.

Pengambilan sampel dalam kasus distribusi binomial dilakukan dengan pengembalian. Misalnya, pada kasus kartu remi, setelah mengambil satu kartu tertentu, kartu tersebut dikembalikan dan dek dikocok ulang sebelum tarikan kartu berikutnya dilakukan. Jika pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian, kita akan berhadapan dengan distribusi peluang diskret lain yang disebut sebagai distribusi hipergeometrik.

Baca: Materi, Soal dan Pembahasan – Distribusi Hipergeometrik 

Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret. Notasi $X \sim b(n, p)$ menyatakan $X$ berdistribusi binomial dengan $n$ percobaan dan peluang kesuksesannya $p.$ Selanjutnya, rata-rata dan varians dari variabel acak diskret yang berdistribusi binomial diberikan dalam teorema berikut.

Teorema: Rata-Rata dan Varians dari Variabel Acak yang Berdistribusi Binomial

Misalkan $X \sim b(n, p).$ Rata-rata dan varians dari $X$ berturut-turut adalah $\mu = np$ dan $\sigma ^2 = np(1-p).$


Jika Anda ingin mencari soal latihan yang lebih banyak, Anda dapat mengakses ke folder soal mathcyber1997.com dengan mendaftar di Folder soal tersebut berisi soal UTBK-SNBT, soal persiapan CPNS-PPPK, soal psikotes, soal TPA, soal ujian masuk perguruan tinggi (termasuk STAN), soal kompetensi matematika (termasuk OSN dan ON MIPA), dan masih banyak lagi. 

Artikel ini ditulis berdasarkan beberapa sumber, termasuk sumber berbahasa Inggris. Salah satu sumber yang digunakan di antaranya adalah buku “Probability & Statistics for Engineers & Scientists” yang ditulis oleh Ronald E. Walpole dkk. Oleh karena itu, untuk meminimalisasi kesalahan penafsiran, padanan untuk beberapa kata/istilah diberikan dalam tabel berikut.

$$\begin{array}{ccc} \hline \text{No.} & \text{Bahasa Indonesia} & \text{Bahasa Inggris} \\ \hline 1. & \text{Percobaan Bernoulli} & \text{Bernoulli Trial} \\ 2. & \text{Distribusi Bernoulli} & \text{Bernoulli Distribution} \\ 3. & \text{Distribusi Binomial} & \text{Binomial Distribution} \\ 4. & \text{Kejadian} & \text{Event} \\ 5. & \text{Variabel Acak Diskret} & \text{Discrete Random Variable} \\ 6. & \text{Fungsi Peluang} & \text{Probability Function} \\ 7. & \text{Fungsi Massa Peluang} & \text{Probability Mass Function} \\ 8. & \text{Saling Bebas} & \text{Mutually Independent} \\ 9. & \text{Ruang Sampel} & \text{Sample Space} \\ 10. & \text{Dadu Setimbang} & \text{Balanced Dice} \\ 11. & \text{Rata-Rata} & \text{Mean} \\ 12. & \text{Varians} & \text{Variance} \\ 13. & \text{Statistika Inferensial} & \text{Inferential Statistics} \\ 14. & \text{Distribusi Hipergeometrik} & \text{Hypergeometric Distribution} \\ 15. & \text{Eksperimen Multinomial} & \text{Multinomial Experiment} \\ 16. & \text{Distribusi Multinomial} & \text{Multinomial Distribution} \\ \hline \end{array}$$


Nah, supaya lebih paham, berikut disajikan sejumlah soal dan pembahasan tentang distribusi binomial. Semoga bermanfaat.

Baca: Materi, Soal dan Pembahasan – Distribusi Poisson

Today Quote

Mari sama-sama belajar menghargai tanpa menghakimi, mengasihi tanpa mengasihani, menggenggam tanpa mencengkeram, dan menuntun tanpa menuntut.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret dengan fungsi peluang $p(X = x) = C(4, x) \cdot (0,6)^x \cdot (0,4)^{4-x}$ untuk $x = 0, 1, 2, 3, 4$ dan $P(X = x) = 0$ untuk $x$ lainnya. Nilai dari $p(2 \leq X \leq 4)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0,\!8208$                     D. $0,\!1792$
B. $0,\!6912$                     E. $0,\!1296$
C. $0,\!3456$

Pembahasan

Dengan menggunakan definisi fungsi peluang dari variabel acak diskret, diperoleh
$$\begin{aligned} p(2 \leq X \leq 4) & = p(X = 2) + p(X = 3) + p(X = 4) \\ & = C(4, 2) \cdot (0,6)^2 \cdot (0,4)^2 + C(4, 3) \cdot (0,6)^3 \cdot (0,4) + C(4, 4) \cdot (0,6)^4 \cdot (0,4)^0 \\ & = 0,\!3456 + 0,\!3456 + 0,\!1296 \\ & = 0,\!8208. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{p(2 \leq X \leq 4) = 0,\!8208}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 2

Sebuah dadu dilemparkan sebanyak $4$ kali. Peluang kejadian munculnya mata dadu berkelipatan $3$ sebanyak $2$ kali sekitar $\cdots \cdot$
A. $0,\!3951$                   D. $0,\!0988$
B. $0,\!2963$                   E. $0,\!0154$
C. $0,\!1157$

Pembahasan

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu (1) kejadian munculnya mata dadu berkelipatan $3$ dan (2) kejadian tidak munculnya mata dadu berkelipatan $3.$
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya kemunculan mata dadu berkelipatan $3$ dari pelemparan sebuah dadu. Diketahui $n = 4,$ $x = 2,$ dan peluang kejadian munculnya mata dadu berkelipatan $3$ adalah $p = \dfrac{|\{3, 6\}|}{6} = \dfrac26 = \dfrac13.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 2) & = b(2; 4, 1/3) \\ & = \displaystyle \binom{4}{2} \left(\dfrac13\right)^2 \left(\dfrac23\right)^{4-2} \\ & \approx 0,\!2963. \end{aligned}$$Jadi, peluang kejadian munculnya mata dadu berkelipatan $3$ sebanyak $2$ kali sekitar $\boxed{0,\!2963}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3

Vilsen mengerjakan $10$ soal benar-salah. Jika Vilsen menjawab secara sembarang, peluang Vilsen menjawab $6$ soal dengan tepat sekitar $\cdots \cdot$
A. $0,\!1816$                   D. $0,\!3145$
B. $0,\!2051$                   E. $0,\!3264$
C. $0,\!2672$

Pembahasan

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu (1) kejadian menjawab soal dengan tepat dan (2) kejadian menjawab soal dengan tidak tepat.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya soal yang dijawab dengan tepat. Diketahui $n = 10,$ $x = 6,$ dan peluang Vilsen menjawab suatu soal dengan tepat adalah $p = 1/2$ (karena hanya ada dua pilihan, yaitu benar atau salah). Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 6) & = b(6; 10, 1/2) \\ & = \displaystyle \binom{10}{6} \left(\dfrac12\right)^6 \left(\dfrac12\right)^{10-6} \\ & \approx 0,\!2051. \end{aligned}$$Jadi, peluang Vilsen menjawab $6$ soal dengan tepat sekitar $\boxed{0,\!2051}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4

Suatu kantong memuat $8$ kelereng dengan $3$ kelereng di antaranya berwarna biru. Satu kelereng diambil secara acak dari dalam kantong, lalu dikembalikan, dan proses pengambilan ini dilakukan sampai $5$ kali. Peluang kejadian memperoleh $3$ kali kelereng biru sekitar $\cdots \cdot$
A. $0,\!3418$                 D. $0,\!1984$
B. $0,\!3264$                 E. $0,\!1870$
C. $0,\!2060$

Pembahasan

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu (1) kejadian memperoleh kelereng biru dan (2) kejadian memperoleh kelereng bukan biru.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya perolehan kelereng biru dari kantong tersebut. Diketahui $n = 5,$ $x = 3,$ dan peluang kejadian memperoleh kelereng biru adalah $p = 3/8.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 3) & = b(3; 5, 3/8) \\ & = \displaystyle \binom{5}{3} \left(\dfrac38\right)^3 \left(\dfrac58\right)^{5-3} \\ & \approx 0,\!2060. \end{aligned}$$Jadi, peluang kejadian memperoleh $3$ kali kelereng biru sekitar$\boxed{0,\!2060}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5

Sebuah perusahaan melakukan tes seleksi karyawan baru. Dari seluruh peserta tes, hanya $40\%$ yang lolos. Sebanyak $20$ peserta tes dipilih secara acak. Peluang tepat $5$ dari $20$ peserta tes tersebut lolos seleksi sekitar $\cdots \cdot$
A. $0,0746$                     D. $0,1659$
B. $0,1244$                     E. $0,1797$
C. $0,1597$

Pembahasan

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu (1) kejadian seorang peserta tes lolos seleksi dan (2) kejadian seorang peserta tes tidak lolos seleksi.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya peserta tes yang lolos seleksi.
Diketahui $n = 20,$ $x = 5,$ dan peluang seorang karyawan lolos seleksi adalah $p = 40\% = 0,\!4.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 5) & = b(5; 20, 3/5) \\ & = \displaystyle \binom{20}{5} \left(0,\!4\right)^5 \left(0,\!6\right)^{20-5} \\ & \approx 0,\!0746 . \end{aligned}$$Jadi, peluang tepat $5$ dari $20$ peserta tes tersebut lolos seleksi sekitar $\boxed{0,\!0746}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Distribusi Peluang Diskret dan Kontinu

Soal Nomor 6

Seorang penjaga gawang profesional mampu menahan tendangan penalti dengan peluang $\dfrac35.$ Dalam sebuah kesempatan, dilakukan $5$ kali tendangan. Peluang penjaga gawang tersebut mampu menahan $3$ kali tendangan penalti adalah $\cdots$
A. $\dfrac{180}{625}$                    D. $\dfrac{230}{625}$             
B. $\dfrac{216}{625}$                     E. $\dfrac{612}{625}$
C. $\dfrac{228}{625}$

Pembahasan

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu (1) kejadian penjaga gawang tersebut mampu menahan tendangan penalti dan (2) kejadian penjaga gawang tersebut tidak mampu menahan tendangan penalti.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan frekuensi penjaga gawang tersebut mampu menahan tendangan penalti.
Diketahui $n = 5,$ $x = 3,$ dan peluang penjaga gawang tersebut mampu menahan tendangan penalti adalah $p = 3/5.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 3) & = b(3; 5, 3/5) \\ & = \displaystyle \binom{5}{3} \left(\dfrac35\right)^3 \left(\dfrac25\right)^{5-3} \\ & = \dfrac{216}{625}. \end{aligned}$$Jadi, peluang penjaga gawang tersebut mampu menahan $3$ kali tendangan penalti adalah $\boxed{\dfrac{216}{625}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Geometrik dan Binomial Negatif 

Soal Nomor 7

Peluang mendapatkan satu kali jumlah mata dadu $7$ dalam tiga kali pelemparan dua buah dadu adalah $\cdots$
A. $\dfrac{5}{246}$                      D. $\dfrac{25}{72}$
B. $\dfrac{5}{36}$                        E. $\dfrac{135}{432}$
C. $\dfrac{25}{46}$

Pembahasan

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu (1) kejadian mendapatkan jumlah mata dadu $7$ dan (2) kejadian tidak mendapatkan jumlah mata dadu $7.$
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan frekuensi kemunculan jumlah mata dadu $7$ dari pelemparan dua buah dadu tersebut. Diketahui $n = 3,$ $x = 1,$ dan peluang mendapatkan jumlah mata dadu $7$ adalah $$p = \dfrac{|\{(1, 6), (2, 5), \cdots, (6, 1)\}|}{6^2} = \dfrac{6}{36} = \dfrac16.$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 1) & = b(1; 3, 1/6) \\ & = \displaystyle \binom{3}{1} (1/6)^1 (5/6)^{3-1} \\ & = \dfrac{25}{72}. \end{aligned}$$Jadi, peluang mendapatkan satu kali jumlah mata dadu $7$ dalam tiga kali pelemparan dua buah dadu adalah $\boxed{\dfrac{25}{72}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Normal 

Soal Nomor 8

Peluang seorang bayi belum diimunisasi rubela adalah $0,\!2.$ Pada suatu hari, terdapat $4$ bayi di suatu puskesmas. Peluang terdapat $3$ bayi yang belum diimunisasi rubela dari $4$ bayi tersebut adalah $\cdots$
A. $0,\!0128$                   D. $0,\!1240$
B. $0,\!0256$                   E. $0,\!2480$
C. $0,\!0512$

Pembahasan

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu (1) kejadian bayi belum diimunisasi rubela dan (2) kejadian bayi sudah diimunisasi rubela.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya bayi yang belum diimunisasi rubela. Diketahui $n = 4,$ $x = 3,$ dan peluang seorang bayi belum diimunisasi rubela adalah $p = 0,\!2.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 3) & = b(3; 4, 0,\!2) \\ & = \displaystyle \binom{4}{3} (0,\!2)^3 (0,\!8)^{4-3} \\ & = 0,\!0256. \end{aligned}$$Jadi, peluang terdapat $3$ bayi yang belum diimunisasi rubela dari $4$ bayi tersebut adalah $\boxed{0,\!0256}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Eksponensial dan Gama 

Soal Nomor 9

Suatu survei menemukan bahwa $1$ dari $5$ orang berkata bahwa dia telah mengunjungi dokter dalam sembarang bulan yang ditanyakan. Jika $10$ orang dipilih secara acak, maka peluang $3$ orang di antaranya sudah mengunjungi dokter saat bulan lalu sekitar $\cdots$
A. $0,\!0008$                 D. $0,\!2890$
B. $0,\!2013$                  E. $0,\!3018$
C. $0,\!2454$

Pembahasan

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu (1) sudah mengunjungi atau (2) belum mengunjungi dokter saat bulan lalu.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya orang yang sudah mengunjungi dokter saat bulan lalu. Diketahui $n = 10,$ $x = 3,$ dan peluang seseorang sudah mengunjungi dokter saat bulan lalu adalah $p = 1/5.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X =3) & = b(3; 10, 1/5) \\ & = \displaystyle \binom{10}{3} \left(\dfrac15\right)^3 \left(\dfrac45\right)^{10-3} \\ & \approx 0,\!2013. \end{aligned}$$Jadi, peluang $3$ orang di antaranya sudah mengunjungi dokter saat bulan lalu sekitar $\boxed{0,\!2013}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Peluang dan Kombinatorika (Tingkat SMA)

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Sekeping koin setimbang dilempar sebanyak $10$ kali.

  1. Tentukan peluang munculnya tepat $6$ sisi gambar.
  2. Tentukan peluang munculnya lebih dari $8$ sisi angka.

Pembahasan

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu (1) kejadian memperoleh angka dan (2) kejadian memperoleh gambar.
Jawaban a)
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya sisi gambar yang muncul dari pelemparan $10$ kali koin setimbang tersebut. Diketahui $n = 10,$ $x = 6,$ dan peluang memperoleh sisi gambar adalah $p = 1/2.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 6) & = b(6; 10, 1/2) \\ & = \displaystyle \binom{10}{6} \left(\dfrac12\right)^6 \left(\dfrac12\right)^{10-6} \\ & \approx 0,\!2051. \end{aligned}$$Jadi, peluang munculnya tepat $6$ sisi gambar sekitar $\boxed{0,\!2051}$
Jawaban b)
Misalkan $Y$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya sisi angka yang muncul dari pelemparan $10$ kali koin setimbang tersebut. Diketahui $n = 10,$ $y = 9$ atau $10,$ dan peluang memperoleh sisi angka adalah $p = 1/2.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(Y > 8) & = p(Y = 9) + p(Y = 10) \\ & = b(9; 10, 1/2) + b(10; 10, 1/2) \\ & = \displaystyle \binom{10}{9} \left(\dfrac12\right)^9 \left(\dfrac12\right)^{10-9} + \binom{10}{10} \left(\dfrac12\right)^{10} \left(\dfrac12\right)^{10-10} \\ & \approx 0,\!0107. \end{aligned}$$Jadi, peluang munculnya lebih dari $8$ sisi angka sekitar $\boxed{0,\!0107}$

[collapse]

Soal Nomor 2

Sebanyak $12$ orang dipanggil untuk mendengarkan ada tidaknya perbedaan suara yang dihasilkan dari dua pengeras suara (speaker) yang identik. Misalkan orang-orang tersebut menjawab dengan hanya menebak secara sembarang. Tentukan peluang bahwa tepat tiga orang mengklaim bahwa mereka mendengarkan perbedaan suara dari dua pengeras suara tersebut.

Pembahasan

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu (1) tidak terdapat perbedaan suara dan (2) terdapat perbedaan suara. Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya orang yang mengklaim bahwa terdapat perbedaan suara dari dua pengeras suara tersebut. 
Diketahui $n = 12,$ $x = 3,$ dan peluang kejadian mengklaim bahwa terdapat perbedaan suara adalah $p = 1/2.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 3) & = b(3; 12, 1/2) \\ & = \displaystyle \binom{12}{3} \left(\dfrac12\right)^3 \left(\dfrac12\right)^{12-3} \\ & \approx 0,\!0537. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa tepat tiga orang mengklaim bahwa mereka mendengarkan perbedaan suara dari dua pengeras suara tersebut sekitar $\boxed{0,\!0537}$

[collapse]

Soal Nomor 3

Di suatu daerah, sebanyak $75\%$ kasus pencurian terjadi karena pelakunya ingin mendapatkan uang untuk membeli narkoba. Tentukan peluang bahwa dari $5$ kasus pencurian berikutnya di daerah tersebut,

  1. ada tepat $2$ kasus pencurian terjadi karena pelakunya ingin mendapatkan uang untuk membeli narkoba;
  2. paling banyak $3$ kasus pencurian terjadi karena pelakunya ingin mendapatkan uang untuk membeli narkoba.

Pembahasan

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu (1) kasus pencurian terjadi karena pelakunya ingin mendapatkan uang untuk membeli narkoba dan (2) alasan lainnya.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya kasus pencurian yang terjadi karena pelakunya ingin mendapatkan uang untuk membeli narkoba.
Jawaban a)
Diketahui $n = 5,$ $x = 2,$ dan peluang kasus pencurian terjadi karena pelakunya ingin mendapatkan uang untuk membeli narkoba adalah $p = 75\% = 3/4.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 2) & = b(2; 5, 3/4) \\ & = \displaystyle \binom{5}{2} \left(\dfrac34\right)^2\left(\dfrac14\right)^{5-2} \\ & \approx 0,\!0879. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa dari $5$ kasus pencurian berikutnya di daerah tersebut, ada tepat $2$ kasus pencurian terjadi karena pelakunya ingin mendapatkan uang untuk membeli narkoba sekitar $\boxed{0,\!0879}$
Jawaban b)
Dengan cara yang serupa, akan dicari nilai dari $p(X \le 3).$
$$\begin{aligned} p(X \le 3) = 1-P(X = 4)-P(X = 5) \\ & = 1-b(4; 5, 3/4)-b(5; 5, 3/4) \\ & = 1-\displaystyle \binom{5}{4} \left(\dfrac34\right)^4 \left(\dfrac14\right)^{5-4}-\displaystyle \binom{5}{5} (3/4)^5 (1/4)^{5-5} \\ & \approx 0,\!3672. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa dari $5$ kasus pencurian berikutnya di daerah tersebut, paling banyak $3$ kasus pencurian terjadi karena pelakunya ingin mendapatkan uang untuk membeli narkoba sekitar $\boxed{0,\!3672}$

[collapse]

Soal Nomor 4

Peluang seorang pasien pulih dari operasi jantung adalah $0,\!9.$ Berapa peluang dari kejadian-kejadian berikut?

  1. Tepat $5$ dari $7$ pasien berikutnya pulih.
  2. Setidaknya $2$ dari $4$ pasien berikutnya pulih.
  3. Tidak ada satu pun pasien dari $8$ pasien berikutnya pulih.

Pembahasan

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu (1) kejadian seorang pasien pulih dan (2) kejadian seorang pasien tidak pulih dari operasi jantung tersebut.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya pasien yang pulih dari operasi jantung tersebut.
Jawaban a)
Diketahui $n = 7,$ $x = 5,$ dan peluang kejadian seorang pasien pulih adalah $p = 0,\!9.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 5) & = b(5; 7, 0,\!9) \\ & = \displaystyle \binom{7}{5} \left(0,\!9\right)^5 \left(0,\!1\right)^{7-5} \\ & \approx 0,\!1240. \end{aligned}$$Jadi, peluang kejadian tepat $5$ dari $7$ pasien berikutnya pulih sekitar $\boxed{0,\!1240}$
Jawaban b)
Dengan cara yang serupa untuk $n = 4$ dan $x \le 2,$ diperoleh
$$\begin{aligned} p(X \le 2) & = 1-(p(X = 3) + p(X = 4)) \\ & = 1-b(3; 4, 0,\!9)-b(4; 4, 0,\!9) \\ & = 1-\displaystyle \binom{4}{3} \left(0,\!9\right)^3 \left(0,\!1\right)^{4-3}-\displaystyle \binom{4}{4} \left(0,\!9\right)^4 \left(0,\!1\right)^{4-4} \\ & = 0,\!0523. \end{aligned}$$ Jadi, peluang kejadian setidaknya $2$ dari $4$ pasien berikutnya pulih adalah $\boxed{0,\!0523}$
Jawaban c)
Dengan cara yang serupa untuk $n = 8$ dan $x = 0,$ diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 0) & = b(0; 8, 0,\!9) \\ & = \displaystyle \binom{8}{0} \left(0,\!9\right)^0 \left(0,\!9\right)^{8-0} \\ & \approx 0,\!4305. \end{aligned}$$Jadi, peluang kejadian setidaknya $2$ dari $4$ pasien berikutnya pulih adalah $\boxed{0,\!4305}$

[collapse]

Soal Nomor 5

Misalkan $X$ menyatakan waktu hidup (dalam jam) dari suatu alat elektronik dengan fungsi distribusi kumulatifnya sebagai berikut.
$$F(x) = \begin{cases} 1-\dfrac{10}{x}, & x \ge 10 \\ 0, & x~\text{lainnya} \end{cases}$$

  1. Tentukan peluang bahwa waktu hidup alat elektronik tersebut lebih dari $2$ jam.
  2. Tentukan peluang bahwa $3$ dari $6$ alat elektronik yang sama akan berfungsi lebih dari $15$ jam.

Pembahasan

Diketahui fungsi distribusi kumulatif dari $X$ sebagai berikut.
$$F(x) = \begin{cases} 1-\dfrac{10}{x}, & x \ge 10 \\ 0, & x~\text{lainnya} \end{cases}$$Jawaban a)
Peluang bahwa waktu hidup alat elektronik tersebut lebih dari $2$ jam dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} p(X > 2) & = 1-p(X \le 2) \\ & = 1-F(2) \\ & = 1-0 \\ & = 1. \end{aligned}$$Jawaban b)
Pertama, akan dicari peluang bahwa alat elektronik tersebut akan berfungsi lebih dari $15$ jam.
$$\begin{aligned} p(X > 15) & = 1-p(X \le 15) \\ & = 1-\left(1-\dfrac{10}{15}\right) \\ & = \dfrac23. \end{aligned}$$Misalkan $Y$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya alat elektronik yang akan berfungsi lebih dari $15$ jam. Dengan menggunakan distribusi binomial, peluang bahwa $3$ dari $6$ alat elektronik yang sama akan berfungsi lebih dari $15$ jam adalah
$$\begin{aligned} P(Y = 3) & = b\left(3; 6, \dfrac23\right) \\ & = \displaystyle \binom{6}{3} \left(\dfrac23\right)^3 \left(\dfrac13\right)^{6-3} \\ & \approx 0,\!2195. \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 7

Dalam sistem pendukung program antariksa AS, satu komponen penting dapat berfungsi dengan peluang $85\%.$ Untuk meningkatkan keandalan sistem, diputuskan bahwa $3$ komponen akan dipasang secara paralel sehingga sistem akan gagal hanya ketika tiga komponen tersebut tidak berfungsi. Asumsikan bahwa tiga komponen tersebut saling bebas yang masing-masing dapat berfungsi dengan peluang $85\%.$ Misalkan $X$ merupakan variabel acak yang menyatakan banyaknya komponen yang tidak berfungsi.

  1. Tuliskan fungsi peluang dari $X.$
  2. Tentukan $E[X],$ yaitu rata-rata banyaknya komponen yang tidak berfungsi.
  3. Tentukan $\text{Var}(X),$ yaitu varians banyaknya komponen yang tidak berfungsi.
  4. Berapa peluang bahwa sistem berhasil?
  5. Berapa peluang bahwa sistem gagal?
  6. Agar sistem berhasil dengan peluang $0,\!99,$ apakah pemasangan tiga komponen cukup? Jika tidak, berapa banyak komponen yang diperlukan?

Pembahasan

Jawaban a)
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya komponen yang tidak berfungsi. Dalam hal ini, $X$ dapat bernilai $0, 1, 2,$ atau $3.$ Perhatikan bahwa $X$ berdistribusi binomial karena melibatkan dua kejadian yang bebas, yaitu (1) kejadian komponen tidak berfungsi dan (2) kejadian komponen berfungsi. Diketahui $n = 3$ dan $p = 1-0,\!85 = 0,\!15.$
Dengan demikian, fungsi (kepadatan) peluang dari $X$ adalah sebagai berikut.
$$f(x) = \begin{cases} \displaystyle \binom{3}{x}(0,\!15)^x(0,\!85)^{3-x}, & x = 0,1,2,3 \\ 0, & x~\text{lainnya} \end{cases}$$Jawaban b)
Rata-rata banyaknya komponen yang tidak berfungsi adalah
$$\begin{aligned} E[X] & = \displaystyle \sum_{x = 0}^3 x \cdot \binom{3}{x}(0,\!15)^x(0,\!85)^{3-x} \\ & = 0 + 1 \cdot \binom{3}{1}(0,\!15)^1(0,\!85)^{2} + 2 \cdot \binom{3}{2}(0,\!15)^2(0,\!85)^{1} + 3 \cdot \binom{3}{3}(0,\!15)^3(0,\!85)^{0} \\ & = 0,\!45. \end{aligned}$$Jawaban c)
Pertama, akan dihitung nilai dari $E[X^2]$ terlebih dahulu.
$$\begin{aligned} E[X^2] & = \displaystyle \sum_{x = 0}^3 x^2 \cdot \binom{3}{x}(0,\!15)^x(0,\!85)^{3-x} \\ & = 0 + 1^2 \cdot \binom{3}{1}(0,\!15)^1(0,\!85)^{2} + 2^2 \cdot \binom{3}{2}(0,\!15)^2(0,\!85)^{1} + 3^2 \cdot \binom{3}{3}(0,\!15)^3(0,\!85)^{0} \\ & = 0,\!585. \end{aligned}$$Dengan demikian, varians banyaknya komponen yang tidak berfungsi adalah
$$\begin{aligned} \text{Var}(X) & = E[X^2]-(E[X])^2 \\ & = 0,\!585-(0,\!45)^2 \\ & = 0,\!3825. \end{aligned}$$Jawaban d)
Sistem akan berhasil jika setidaknya ada satu dari tiga komponen tersebut yang berfungsi. Dengan kata lain, sistem akan berhasil jika $X < 3.$ Peluang bahwa sistem berhasil adalah
$$\begin{aligned} p(X < 3) & = 1-P(X = 3) \\ & = 1-\displaystyle \binom{3}{3}(0,\!15)^3(0,\!85) \\ & \approx 0,\!9966. \end{aligned}$$Jawaban e)
Peluang bahwa sistem gagal adalah satu dikurang peluang bahwa sistem berhasil, yaitu
$$P(X = 3) = 1-0,\!9966 = 0,\!0034.$$Jawaban f)
Perhatikan bahwa tiga komponen menjamin keberhasilan sistem dengan peluang sekitar $0,\!9966.$ Ini menunjukkan bahwa tiga komponen saja sudah cukup untuk menjamin peluang bahwa sistem berhasil sebesar $0,\!99.$

[collapse]

Soal Nomor 8

Pelat beban (weight plate) merupakan alat angkat beban yang sering ditemui di pusat kebugaran (fitness center). Pelat beban dibuat dengan memperhatikan ukuran standar internasional dan tingkat akurasi kalibrasi beban. Komponen alat angkat beban ini tidak dibuat dari material sembarangan, melainkan dibuat dari material berkualitas untuk memaksimalkan latihan angkat beban yang dilakukan seseorang. Menariknya, lempengan berat ini ternyata bisa digunakan untuk melatih kekuatan otot tanpa tambahan atau dengan tambahan peralatan lainnya. Anda hanya perlu menyesuaikan dengan kebutuhan saja. Masing-masing pelat dibuat dengan kisaran berat yang berbeda. Pilihannya adalah mulai dari beban $0,\!5$ kg hingga besaran $25$ kg pada tiap pelat beban. Diketahui $2$ dari $5$ pelat di suatu pusat kebugaran memiliki tingkat akurasi kalibrasi beban yang rendah.

  1. Sebanyak $10$ pelat diambil secara acak, satu persatu dan dikembalikan. Tentukan peluang bahwa terdapat pelat yang memiliki tingkat akurasi kalibrasi beban yang rendah.
  2. Tentukan peluang bahwa paling banyak terdapat $2$ pelat yang memiliki tingkat akurasi kalibrasi beban yang rendah jika sekarang sebanyak $5$ pelat diambil secara acak, satu persatu dan dikembalikan, dari pusat kebugaran tersebut.

Pembahasan

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu (1) kejadian memperoleh pelat dengan tingkat akurasi kalibrasi beban yang rendah dan (2) kejadian memperoleh pelat dengan tingkat akurasi kalibrasi beban yang tidak rendah.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya pelat dengan tingkat akurasi kalibrasi beban yang rendah.
Jawaban a)
Diketahui $n = 10$ dan peluang kejadian memperoleh pelat dengan tingkat akurasi kalibrasi yang rendah adalah $p = 2/5.$ Dalam hal ini, akan dicari nilai dari $p(X \ge 1).$
$$\begin{aligned} p(X \ge 1) & = 1-p(X = 0) \\ & = 1-b(10; 0, 2/5) \\ & = 1-\displaystyle \binom{10}{0} \left(\dfrac25\right)^0 \left(\dfrac35\right)^{10-0} \\ & \approx 0,\!994. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa terdapat pelat yang memiliki tingkat akurasi kalibrasi beban yang rendah jika $10$ pelat diambil secara acak, satu persatu dan dikembalikan, dari pusat kebugaran tersebut sekitar $\boxed{0,\!994}$
Jawaban b)
Diketahui $n = 5$ dan peluang kejadian memperoleh pelat dengan tingkat akurasi kalibrasi yang rendah adalah $p = 2/5.$ Dalam hal ini, akan dicari nilai dari $p(X \le 2).$
$$\begin{aligned} p(X \le 2) & = \displaystyle \sum_{x = 0}^2 b(x; 5, 2/5) \\ & = \displaystyle \binom{5}{0} \left(\dfrac25\right)^0 \left(\dfrac35\right)^{5-0}+\displaystyle \binom{5}{1} \left(\dfrac25\right)^1 \left(\dfrac35\right)^{5-1} + \displaystyle \binom{5}{2} \left(\dfrac25\right)^2 \left(\dfrac35\right)^{5-2} \\ & \approx 0,\!6826. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa paling banyak terdapat $2$ pelat yang memiliki tingkat akurasi kalibrasi beban yang rendah jika sekarang sebanyak $5$ pelat diambil secara acak, satu persatu dan dikembalikan, dari pusat kebugaran tersebut sekitar $\boxed{0,\!6826}$

[collapse]

Distribusi Multinomial

Eksperimen binomial akan menjadi eksperimen multinomial jika masing-masing percobaan menghasilkan lebih dari dua kemungkinan kejadian. Distribusi yang berpadanan dengannya selanjutnya disebut sebagai distribusi multinomial yang definisinya diberikan sebagai berikut.

Definisi: Distribusi Multinomial

Jika suatu percobaan menghasilkan $k$ kejadian $E_1, E_2, \cdots, E_k$ dengan peluang berturut-turut $p_1, p_2, \cdots, p_k,$ maka distribusi peluang multinomial dari variabel acak $X_1, X_2, \cdots, X_k$ yang mewakili frekuensi kejadian $E_1, E_2, \cdots, E_k$ dalam $n$ percobaan bebas dinyatakan oleh
$$f(x_1, x_2, \cdots, x_k; p_1, p_2, \cdots, p_k, n) = \displaystyle \binom{n}{x_1, x_2, \cdots, x_k} p_1^{x_1} p_2^{x_2} \cdots p_k^{x_k}$$dengan $\displaystyle \sum_{i=1}^k x_i = n$ dan $\displaystyle \sum_{i=1}^k p_i = 1.$

Notasi $\displaystyle \binom{n}{x_1, x_2, \cdots, x_k}$ memiliki arti $\dfrac{n!}{x_1! x_2! \cdots x_k!}.$ Penggunaan tanda titik koma maupun koma pada notasi distribusi peluang multinomial sewaktu-waktu dapat disesuaikan untuk menghindari kesalahan penafsiran atas penggunaan simbol koma untuk pecahan desimal, misalnya dengan menggunakan simbol $\mid.$

Soal Nomor 1

Kompleksitas jadwal penerbangan pesawat di suatu bandara membuat simulasi komputer sering digunakan untuk memodelkan kondisi yang ideal. Di suatu bandara dengan tiga landasan pacu, diketahui pengaturan ideal tersebut berkaitan dengan peluang landasan pacu tertentu diakses oleh pesawat yang tiba secara acak, yaitu
$$\begin{array}{cc} \text{Landasan pacu 1:} & p_1 = \dfrac29 \\ \text{Landasan pacu 2:} & p_2 = \dfrac16 \\ \text{Landasan pacu 3:} & p_3 = \dfrac{11}{18} \end{array}$$Berapa peluang $6$ pesawat mengakses tiga landasan pacu tersebut dengan distribusi seperti berikut?
$$\begin{array}{cc} \text{Landasan pacu 1:} & 2~\text{pesawat} \\ \text{Landasan pacu 2:} & 1~\text{pesawat}\\ \text{Landasan pacu 3:} & 3~\text{pesawat} \end{array}$$

Pembahasan

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi multinomial karena ada tiga kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu kejadian pesawat mengakses: (1) landasan pacu $1,$ (2) landasan pacu $2,$ dan (3) landasan pacu $3.$
Misalkan $X_1, X_2,$ dan $X_3$ merupakan variabel acak diskret yang berturut-turut menyatakan banyaknya pesawat yang mengakses landasan pacu $1, 2,$ dan $3.$
Diketahui
$$\begin{array}{ccc} \hline x_1 = 2 & x_2 = 1 & x_3 = 3 \\ p_1 = 2/9 & p_2 = 1/6 & p_3 = 11/18 \\ n = 6 & & \\ \hline \end{array}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} f\left(2, 1, 3; \dfrac29, \dfrac16, \dfrac{11}{18}, 6\right) & = \displaystyle \binom{6}{2, 1, 3} \left(\dfrac29\right)^2 \left(\dfrac16\right)^1 \left(\dfrac{11}{18}\right)^3 \\ & \approx 0,\!1127. \end{aligned}$$Jadi, peluang $6$ pesawat mengakses tiga landasan pacu tersebut dengan distribusi yang dimaksud sekitar $\boxed{0,\!1127}$

[collapse]

Soal Nomor 2

Berdasarkan teori genetika, hasil perkawinan silang tertentu dari tikus belanda akan menghasilkan keturunan dengan warna merah, hitam, dan putih dengan perbandingan $8 : 4 : 4.$ Tentukan peluang bahwa dari $8$ anak tikus belanda, $5$ di antaranya berwarna merah, $2$ hitam, dan $1$ putih.

Pembahasan

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi multinomial karena ada tiga kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu kejadian anak tikus belanda berwarna: (1) merah, (2) hitam, dan (3) putih.
Misalkan $X_1, X_2,$ dan $X_3$ merupakan variabel acak diskret yang berturut-turut menyatakan banyaknya anak tikus belanda yang berwarna merah, hitam, dan putih.
Diketahui
$$\begin{array}{ccc} \hline x_1 = 5 & x_2 = 2 & x_3 = 1 \\ p_1 = 8/16 = 1/2 & p_2 = 4/16 = 1/4 & p_3 = 4/16 = 1/4 \\ n = 8 & & \\ \hline \end{array}$$dengan $p_1, p_2$ dan $p_3$ berturut-turut menyatakan peluang keturunan tikus belanda berwarna merah, hitam, dan putih. Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} f\left(5, 2, 1; 1/2, 1/4, 1/4, 8\right) & = \displaystyle \binom{8}{5, 2, 1} \left(\dfrac12\right)^5 \left(\dfrac14\right)^2 \left(\dfrac14\right)^1 \\ & = \dfrac{21}{256}. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa dari $8$ anak tikus belanda, $5$ di antaranya berwarna merah, $2$ hitam, dan $1$ putih adalah $\boxed{\dfrac{21}{256}}$

[collapse]

Soal Nomor 3

Peluang seorang perwakilan datang ke suatu konferensi di suatu kota menggunakan pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta berturut-turut adalah $0,\!4, 0,\!2,$ $0,\!3,$ dan $0,\!1.$ Jika terdapat $9$ perwakilan yang datang, tentukan peluang $3$ orang datang dengan menggunakan pesawat, $3$ orang dengan bus, $1$ orang dengan mobil pribadi, dan $2$ orang dengan kereta.

Pembahasan

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi multinomial karena ada empat kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu kejadian datangnya perwakilan dengan menggunakan: (1) pesawat, (2) bus, (3) mobil pribadi, dan (4) kereta.
Misalkan $X_1, X_2,$ $X_3,$ dan $X_4$ merupakan variabel acak diskret yang berturut-turut menyatakan banyaknya orang yang datang dengan menggunakan pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta.
Diketahui
$$\begin{array}{cccc} \hline x_1 = 3 & x_2 = 3 & x_3 = 1 & x_4 = 2 \\ p_1 = 0,\!4 & p_2 = 0,\!2 & p_3 = 0,\!3 & p_4 = 0,\!1 \\ n = 9 & & \\ \hline \end{array}$$dengan $p_1, p_2, p_3,$ dan $p_4$ berturut-turut menyatakan peluang seorang perwakilan datang ke suatu konferensi di suatu kota menggunakan pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta. Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} f\left(3, 3, 1, 2 \mid 0,\!4; 0,\!2; 0,\!3; 0,\!1; 9\right) & = \displaystyle \binom{9}{3, 3, 1, 2} \left(0,\!4\right)^3 \left(0,\!2\right)^3 \left(0,\!3\right)^1 \left(0,\!1\right)^2\\ & \approx 0,\!0387. \end{aligned}$$Jadi, peluang $3$ orang datang dengan menggunakan pesawat, $3$ orang dengan bus, $1$ orang dengan mobil pribadi, dan $2$ orang dengan kereta sekitar $\boxed{0,\!0387}$

[collapse]

Soal Nomor 4

Berdasarkan survei nasional terhadap semua pekerja di suatu negara, $5,8\%$ dari mereka merupakan pecandu narkoba. Dari persentase tersebut, sebanyak $22,5\%$ di antaranya merupakan pengguna kokain, $54,4\%$ pengguna mariyuana, dan sisanya merupakan pengguna narkoba jenis lain.

  1. Jika $10$ pekerja merupakan pecandu narkoba, berapa peluang bahwa $2$ pekerja di antaranya merupakan pengguna kokain, $5$ pengguna mariyuana, dan $3$ pekerja sisanya merupakan pengguna narkoba jenis lain?
  2. Jika $10$ pekerja merupakan pecandu narkoba, berapa peluang bahwa semuanya merupakan pengguna mariyuana?
  3. Jika $10$ pekerja merupakan pecandu narkoba, berapa peluang bahwa tidak ada satu pun dari mereka yang menggunakan pengguna kokain?

Pembahasan

Jawaban a)
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi multinomial karena ada tiga kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu kejadian pekerja yang merupakan: (1) pengguna kokain, (2) pengguna mariyuana, dan (3) narkoba jenis lain.
Misalkan $X_1, X_2,$ dan $X_3$ merupakan variabel acak diskret yang berturut-turut menyatakan banyaknya pekerja yang merupakan pengguna kokain, mariyuana, dan narkoba jenis lain.
Diketahui
$$\begin{array}{ccc} \hline x_1 = 2 & x_2 = 5 & x_3 = 3 \\ p_1 = 0,\!225 & p_2 = 0,\!544 & p_3 = 0,\!231 \\ n = 10 & & \\ \hline \end{array}$$dengan $p_1, p_2$ dan $p_3$ berturut-turut menyatakan peluang pecandu narkoba merupakan pengguna kokain, mariyuana, dan narkoba jenis lain. Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} f\left(2, 5, 3 \mid 0,\!225; 0,\!544; 0,\!231, 10\right) & = \displaystyle \binom{10}{2, 5, 3} \left(0,\!225\right)^2 \left(0,\!544\right)^5 \left(0,\!231\right)^3 \\ & \approx 0,\!0749. \end{aligned}$$Jadi, dari $10$ pekerja yang merupakan pecandu narkoba, peluang bahwa $2$ pekerja di antaranya merupakan pengguna kokain, $5$ pengguna mariyuana, dan $3$ pekerja sisanya merupakan pengguna narkoba jenis lain sekitar $\boxed{0,\!0749}$
Jawaban b)
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu kejadian pekerja (1) merupakan pengguna mariyuana dan (2) bukan pengguna mariyuana.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang berturut-turut menyatakan banyaknya pekerja yang merupakan pengguna mariyuana. Diketahui $n = 10,$ $x = 10,$ dan peluang pecandu narkoba merupakan pengguna mariyuana adalah $p = 0,\!544.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 10) & = b(10; 10, 0,\!544) \\ & = \displaystyle \binom{10}{10} \left(0,\!544\right)^2 \left(0,\!456\right)^{10-10} \\ & \approx 0,\!0023. \end{aligned}$$Jadi, dari $10$ pekerja yang merupakan pecandu narkoba, peluang bahwa semuanya merupakan pengguna mariyuana sekitar $\boxed{0,\!0023}$
Jawaban c)
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu kejadian pekerja (1) merupakan pengguna kokain dan (2) bukan pengguna kokain.
Misalkan $Y$ merupakan variabel acak diskret yang berturut-turut menyatakan banyaknya pekerja yang merupakan pengguna kokain. Diketahui $n = 10,$ $y = 0,$ dan peluang pecandu narkoba merupakan pengguna kokain adalah $p = 0,\!225.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(Y = 0) & = b(0; 10, 0,\!225) \\ & = \displaystyle \binom{10}{0} \left(0,\!255\right)^0 \left(0,\!775\right)^{10-0} \\ & \approx 0,\!0782. \end{aligned}$$Jadi, dari $10$ pekerja yang merupakan pecandu narkoba, peluang bahwa tidak ada satu pun dari mereka yang menggunakan pengguna kokain sekitar $\boxed{0,\!0782}$

[collapse]

18 Replies to “Materi, Soal, dan Pembahasan – Distribusi Binomial”

  1. Kalau punya tabel distribusi binomial mungkin bisa di share link nya.. kalau yang distribusi binomial kumulatif sudah ada.

  2. terima kasih atas soal dan pembahasannya
    mudah diakses, tidak banyak prosedur untuk membukanya, kami tunggu materi yang lain

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *