Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Distribusi Peluang Binomial

      Distribusi binomial (binomial distribution) merupakan salah satu distribusi dengan variabel acak diskrit yang merupakan kajian dari statistika inferensial. Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menemukan kejadian yang kemungkinannya hanya ada dua seperti contoh-contoh berikut.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Peluang (Tingkat SMP/Sederajat)

Contoh 1

Pada pelemparan satu buah dadu, hanya ada 2 kemungkinan mata dadu yang muncul: genap atau ganjil.

Contoh 2

Pada pelemparan sekeping koin, hanya ada 2 kemungkinan yang muncul: angka atau gambar.

Contoh 3

Saat tendangan penalti pada pertandingan sepak bola, hanya ada 2 kemungkinan kejadian yang bakal terjadi: gol atau tidak gol.

Contoh 4

Saat pengumuman kelulusan siswa di kelas VI, IX, atau XII, hanya ada dua kemungkinan kejadian yang bakal terjadi: lulus atau tidak lulus.

Contoh 5

Bayi yang lahir dari rahim induknya hanya memiliki 2 keadaan: laki-laki (jantan) atau perempuan (betina).

Contoh 6

Pada polling Instagram, viewer hanya dapat memilih dari 2 pilihan yang ditawarkan: ya atau tidak.

Perhatikan sebuah eksperimen (percobaan) yang hanya menghasilkan dua kejadian: sebut saja kejadian $A$ dan bukan $A$ (kita notasikan $\overline{A}$, dibaca: A bar), dengan peluang terjadinya kejadian $A$ adalah $P(A) = \alpha$ (baca: alfa). Jika pada tiap percobaan, nilai $P(A) = \alpha$ selalu tetap, maka percobaan yang berulang-ulang dilakukan seperti itu disebut Percobaan Bernoulli. Lakukan percobaan sebanyak $n$ kali secara independen (tidak bergantung). Sebanyak $x$ kali muncul kejadian $A$, sedangkan sisanya, yaitu $n-x$, muncul kejadian $\overline{A}$. Jika $P(A) = \alpha$ untuk tiap percobaan, sehingga $P(\overline{A}) = 1-\alpha$, maka peluang terjadinya kejadian $A$ sebanyak $X = x$ kali dari total $n$ kali percobaan ditentukan oleh:
$\boxed{P(x) = P(X = x) = \displaystyle \binom{n}{x} \alpha^x(1-\alpha)^{n-x}}$
dengan $x = 0,1,2,\cdots, n$ dan $0<\alpha<1$. Perhatikan bahwa notasi binomial (koefisien binomial)$\displaystyle \binom{n}{x}$ memiliki arti
$\displaystyle \binom{n}{x} = \dfrac{n!}{x!(n-x)!} = C(n,x)$
dengan $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times (n-1) \times n$ dan $0! = 1! = 1$ ($n!$ dibaca $n$ faktorial).

Distribusi binomial digunakan untuk menghitung peluang pada suatu percobaan yang dikenal sebagai percobaan binomial. Adapun syarat percobaan binomial itu dapat dilihat pada kolom berikut.

Syarat Percobaan Binomial

  1. Percobaan dilakukan sebanyak $n$ kali.
  2. Hanya menghasilkan $2$ kemungkinan untuk setiap percobaan. Sebagai contoh, berhasil atau gagal.
  3. Hasil percobaan harus independen (saling bebas).
  4. Besarnya peluang untuk masing-masing kemungkinan pada setiap percobaan harus sama.

Nah, supaya lebih paham, berikut disajikan sejumlah soal & pembahasan tentang distribusi binomial. Semoga bermanfaat.

Baca: Materi, Soal dan Pembahasan – Distribusi Poisson

Soal Nomor 1
Data yang melibatkan variabel kontinu adalah $\cdots \cdot$
A. jumlah kecelakaan per minggu di suatu kota
B. bilangan cacah kurang dari $6$
C. banyak kesalahan pengetikan pada suatu naskah
D. tinggi badan sekelompok siswa
E. jumlah kendaraan yang melewati jalur lingkar

Pembahasan

Variabel diskrit adalah besaran yang memuat nilai-nilai yang dapat dihitung banyaknya.
Variabel kontinu adalah besaran yang memuat nilai-nilai yang tidak dapat dihitung banyaknya (padat).
Cek opsi A:
Jumlah kecelakaan setiap minggunya dapat dicacah menggunakan bilangan bulat dan tentu saja jumlahnya terbatas.
Jadi, datanya melibatkan variabel diskrit.
Cek opsi B:
Bilangan cacah kurang dari $6$ meliputi $0,1,2,3,4$, dan $5$. Jadi, jelas bahwa datanya melibatkan variabel diskrit.
Cek opsi C:
Banyak kesalahan pengetikan dapat ditentukan hanya dengan melibatkan bilangan bulat. Misalnya, kesalahan pengetikannya sebanyak $13$ kali dan tentu banyak kesalahannya bersifat terbatas. Jadi, datanya melibatkan variabel diskrit.
Cek opsi D:
Tinggi badan siswa dapat diukur, tetapi hasilnya belum tentu bilangan bulat, melainkan bilangan real (jika dipandang dari segi matematis), meskipun pada kenyataannya tinggi badan seseorang umumnya dibulatkan sampai satu angka di belakang koma saja. Dengan kata lain, data tinggi badan melibatkan variabel kontinu.
Cek opsi E:
Jumlah kendaraan yang melewati jalur lingkar (bundaran) juga tentu dapat dihitung hanya dengan menggunakan bilangan bulat dan sifatnya pasti terbatas. Jadi, datanya melibatkan variabel diskrit.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2
Data yang melibatkan variabel diskrit adalah $\cdots \cdot$
A. bilangan asli lebih dari $4$
B. bilangan bulat kurang dari $5$
C. usia penduduk suatu daerah
D. berat badan sekelompok siswa
E. banyak anak dalam sebuah keluarga

Pembahasan

Variabel diskrit adalah besaran yang memuat nilai-nilai yang dapat dihitung banyaknya.
Variabel kontinu adalah besaran yang memuat nilai-nilai yang tidak dapat dihitung banyaknya (padat).
Cek opsi A:
Ada tak terhingga banyaknya bilangan asli yang lebih dari $4$. Jadi, datanya tergolong variabel kontinu.
Cek opsi B:
Ada tak terhingga banyaknya bilangan bulat yang kurang dari $5$. Jadi, datanya tergolong variabel kontinu.
Cek opsi C:
Usia penduduk sebenarnya tidak cukup jika hanya menggunakan ukuran bilangan bulat dengan satuan tahun. Realitanya, usia seseorang dapat diukur sampai satuan milidetik. Dengan demikian, datanya melibatkan variabel kontinu.
Cek opsi D:
Pengukuran berat badan tidak cukup bila hanya melibatkan bilangan bulat. Untuk itu, datanya melibatkan variabel kontinu.
Cek opsi E:
Banyak anak dalam sebuah keluarga jelas hanya melibatkan bilangan bulat dan jumlahnya tentu terbatas. Jadi, datanya melibatkan variabel diskrit.
(Jawaban E)  

[collapse]

Soal Nomor 3
Beni melemparkan sekeping uang logam sebanyak tiga kali. Variabel acak $X$ menyatakan banyak hasil sisi gambar yang diperoleh. Hasil yang mungkin untuk $X$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{0,1,2,3,4\}$
B. $\{0,1,2,3\}$
C. $\{0,1,2\}$
D. $\{1,2,3\}$
E. $\{1,2\}$

Pembahasan

Dalam pelemparan sekeping uang logam sebanyak $3$ kali, ada kemungkinan kita sama sekali tidak memperoleh gambar, bisa juga kita hanya mendapat $1$ gambar, $2$ gambar, dan bila beruntung, kita justru mendapat $3$ gambar sekaligus.
Jadi, hasil yang mungkin untuk $X$ adalah $\{0,1,2,3\}$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Dewi melemparkan lima keping uang logam. Variabel acak $X$ menyatakan banyak hasil sisi angka yang diperoleh. Hasil yang mungkin untuk $X$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{1,2,3,4,5\}$
B. $\{0,1,2,3,4\}$
C. $\{0,1,2,3,4,5\}$
D. $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$
E. $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$

Pembahasan

Dalam pelemparan lima keping uang logam secara bersamaan, ada kemungkinan kita sama sekali tidak memperoleh angka, bisa juga kita hanya mendapat $1$ angka, $2$ angka, $3$ angka, $4$ angka, dan bila beruntung, kita justru mendapat $5$ angka sekaligus.
Jadi, hasil yang mungkin untuk $X$ adalah $\{0,1,2,3,4,5\}$.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5
Anita melambungkan dua buah dadu secara bersamaan. Jika variabel acak $X$ menyatakan jumlah mata dadu yang muncul, maka $X = \cdots \cdot$
A. $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$
B. $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$
C. $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$
D. $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
E. $\{0,1, 2, 3, 4, 5\}$

Pembahasan

Dadu memiliki $6$ sisi dengan mata dadu $1$ sampai $6$.
Pada pelemparan dua buah dadu, jumlah mata dadu yang paling kecil adalah $1+1=2$, sedangkan jumlah mata dadu yang paling besar adalah $6+6=12$. Jadi, jumlah mata dadu yang mungkin kita dapatkan atas hasil pelemparan (variabel acak $X$) adalah $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 6
Deni melambungkan sebuah dadu satu kali. Jika variabel acak $X$ menyatakan mata dadu yang muncul, maka $X = \cdots \cdot$
A. $\{0,1,2,3,4,5,6\}$
B. $\{1,2,3,4,5,6\}$
C. $\{0,1,2,3,4,5\}$
D. $\{0,1\}$
E. $\{6\}$

Pembahasan

Dadu memiliki $6$ sisi dengan mata dadu $1$ sampai $6$.
Jadi, jelas bahwa jumlah mata dadu yang mungkin kita dapatkan atas hasil pelemparan (variabel acak $X$) adalah $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 7
Sepasang pengantin baru merencanakan mempunyai dua anak. Jika variabel $X$ menyatakan banyak anak perempuan, maka $X = \cdots \cdot$
A. $\{0,1\}$
B. $\{1, 2\}$
C. $\{0,1,2\}$
D. $\{0,1,2,3\}$
E. $\{0,1,2,3,4\}$

Pembahasan

Ada kemungkinan dua anaknya tidak ada satupun yang perempuan, ada juga kemungkinan bahwa anaknya laki-laki dan perempuan, dan terakhir keduanya perempuan. Dengan demikian, $X = \{0,1,2\}$.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Andi mengerjakan $6$ butir soal. Variabel acak $X$ menyatakan banyak soal yang dikerjakan dengan benar. Hasil yang mungkin untuk $X$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{0,1,2,3,4,5,6\}$
B. $\{1,2,3,4,5,6\}$
C. $\{0,1,2,3,4,5\}$
D. $\{0,6\}$
E. $\{6\}$

Pembahasan

Ada kemungkinan Andi menjawab salah pada semua soal, bisa juga hanya $1$ soal yang benar, $2$ soal benar, $3$ soal benar, $4$ soal benar, $5$ soal benar, dan mungkin saja semua soal dijawab benar olehnya. Jadi, $X = \{0,1,2,3,4,5,6\}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 9
Perhatikan tabel distribusi frekuensi variabel acak $X$ berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline P(X=x) & \dfrac16 & \dfrac14 & k & \dfrac{1}{12} & \dfrac13 \\ \hline \end{array}$
Nilai $k=\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{12}$         B. $\dfrac16$          C. $\dfrac14$        D. $\dfrac13$        E. $\dfrac12$

Pembahasan

Pada distribusi frekuensi variabel acak tersebut, berlaku $P(X \leq 5) = 1$.
Ini artinya, $P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+$ $P(X=4)+P(X=5) = 1$, sehingga kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac16 + \dfrac14 + k + \dfrac{1}{12} + \dfrac13 & = 1 \\ k + \dfrac{2+3+1+4}{12} & = 1 \\ k + \dfrac56 & = 1 \\ k & = \dfrac16 \end{aligned}$

Jadi, nilai $\boxed{k = \dfrac16}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10
Sepasang pengantin baru merencanakan mempunyai tiga anak. Variabel acak $X$ menyatakan banyak anak perempuan. Nilai $P(X = 1)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac18$         B. $\dfrac28$          C. $\dfrac38$         D. $\dfrac48$       E. $\dfrac58$

Pembahasan

Notasi $P(X=1)$ artinya peluang pengantin baru mendapatkan seorang anak perempuan dari tiga anak.
Titik sampelnya adalah $(P, L, L)$, $(L, P, L)$, dan $(L, L, P)$ dengan $L, P$ masing-masing menyatakan anak laki-laki dan perempuan. Banyak anggota ruang sampel seluruhnya ada $2^3 = 8$. Jadi, nilai dari $P(X=3)$ adalah $\boxed{\dfrac38}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11
Doni melakukan pelemparan sebuah dadu. Variabel $X$ menyatakan mata dadu yang muncul. Nilai $P(X = 1)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac56$         B. $\dfrac23$          C. $\dfrac12$        D. $\dfrac13$        E. $\dfrac16$

Pembahasan

Semua mata dadu pada pelemparan sebuah dadu (yang diasumsikan setimbang) memiliki peluang yang sama untuk muncul.
Karena dadu memiliki $6$ sisi, maka peluang munculnya mata dadu $1$ adalah
$P(X = 1) = \dfrac16$.
Tabel distribusi frekuensi variabel acak $X$ dapat dilihat di bawah.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline P(X=x) & \dfrac16 & \dfrac16 & \dfrac16 & \dfrac16 & \dfrac16 & \dfrac16 \\ \hline \end{array}$
Jadi, nilai $\boxed{P(X=1) = \dfrac16}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 12
Sebuah kantong berisi $3$ butir kelereng merah dan $5$ butir kelereng putih. Dari dalam kantong tersebut diambil $2$ butir kelereng sekaligus. Variabel acak $X$ menyatakan banyak kelereng merah yang terambil. Nilai $P(X=2)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{3}{28}$               C. $\dfrac{7}{28}$                  E. $\dfrac{11}{28}$
B. $\dfrac{5}{28}$               D. $\dfrac{9}{28}$

Pembahasan

Notasi $P(X=2)$ menyatakan peluang terambilnya $2$ butir kelereng merah.
Banyak cara pengambilan $2$ dari $3$ butir kelereng merah dapat ditentukan dengan aturan kombinasi, yaitu
$C^3_2 = \dfrac{3!}{2! \cdot 1! } = 3$.
Banyak cara pengambilan $2$ dari $3+5=8$ butir kelereng yang ada adalah
$C^8_2 = \dfrac{8!}{6! \cdot 2!} = 28$.
Jadi, peluang terambilnya $2$ butir kelereng merah adalah $\boxed{P(X=2) = \dfrac{3}{28}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 13
Variabel acak $X$ menyatakan banyak hasil gambar pada pelemparan dua keping mata uang logam. Nilai $P(X=1)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac34$         B. $\dfrac23$         C. $\dfrac12$        D. $\dfrac13$      E. $\dfrac14$

Pembahasan

Notasi $P(X=1)$ menyatakan peluang munculnya satu gambar pada pelemparan dua keping mata uang logam.
Ruang sampel dari pelemparan dua keping mata uang logam adalah $\{(A, A), (A, G), (G, A), (G, G)\}$. Banyak anggota ruang sampelnya ada $4$.
Titik sampel kejadian yang diinginkan adalah $(A, G)$ dan $(G, A)$, ada $2$. Jadi, peluang munculnya satu gambar pada pelemparan dua keping mata uang logam adalah $\boxed{P(X=1) = \dfrac24 = \dfrac12}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 14
Dua kotak masing-masing berisi dua kartu berwarna merah dan empat kartu berwarna biru. Kartu merah bernomor $1$ dan $2$. Kartu biru bernomor $3$ sampai $6$. Dari setiap kotak diambil satu kartu secara acak. Variabel acak $X$ menyatakan jumlah kedua nomor kartu yang terambil. Nilai $P(X \leq 5)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac18$         B. $\dfrac28$          C. $\dfrac38$         D. $\dfrac48$         E. $\dfrac58$

Pembahasan

Notasi $P(X \leq 5)$ artinya peluang mendapatkan dua kartu dengan jumlah nomornya kurang dari atau sama dengan $5$.
Ada $2$ kartu di kotak pertama dan $4$ kartu di kotak kedua.
Banyak anggota ruang sampel pengambilan kartu ini sebanyak $\boxed{2 \times 4 = 8}$.
Titik sampel dari kejadian yang diharapkan adalah $(1, 3), (1, 4)$, dan $(2, 3)$, ada sebanyak $\boxed{3}$.
Catatan: $(1,3)$ maksudnya adalah kita mendapat kartu bernomor $1$ di kotak pertama dan kartu bernomor $3$ di kotak kedua.
Jadi, peluangnya sebesar $\boxed{P(X \leq 5) = \dfrac38}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15
Sebuah kotak berisi $3$ bola merah dan $5$ bola putih. Dari dalam kotak tersebut diambil $2$ bola sekaligus. Variabel acak $X$ menyatakan banyak bola putih yang terambil. Nilai $P(X \leq 1)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{3}{28}$                           D. $\dfrac{15}{28}$
B. $\dfrac{10}{28}$                           E. $\dfrac{16}{28}$
C. $\dfrac{13}{28}$

Pembahasan

$P(X \leq 1)$ artinya peluang mendapatkan paling banyak $1$ bola putih. Perhatikan bahwa
$P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$
Untuk itu, akan dicari peluang masing-masing kasus, lalu dijumlahkan.
$\bigstar$ $P(X = 0)$
Karena tidak ada bola putih yang diambil, maka kedua bola yang diambil pasti berwarna merah. Jadi, dapat dianggap kita ingin mendapatkan $2$ bola merah dari $3$ bola merah yang ada di kotak. Caranya ada sebanyak
$C^3_2 = \dfrac{3!}{2! \cdot 1!} = 3$
Banyak cara pengambilan $2$ dari $3+5=8$ bola seluruhnya dinyatakan oleh
$C^8_2 = \dfrac{8!}{6! \cdot 2!} = \dfrac{8 \times 7 \times \cancel{6!}}{\cancel{6!} \times 2} = 28$
Jadi, $P(X=0) = \dfrac{3}{28}$.
$\bigstar$ $P(X = 1)$
$P(X=1)$ artinya peluang mendapatkan sebuah bola putih dan sisanya sebuah bola merah. Banyak cara pengambilannya dinyatakan oleh
$C^3_1 \cdot C^5_1 = \dfrac{3!}{2! \cdot 1!} \cdot \dfrac{5!}{4! \cdot 1!} = 3 \cdot 5=15$
Banyak cara pengambilan $2$ dari $3+5=8$ bola seluruhnya dinyatakan oleh
$C^8_2 = \dfrac{8!}{6! \cdot 2!} = \dfrac{8 \times 7 \times \cancel{6!}}{\cancel{6!} \times 2} = 28$
Jadi, $P(X=1) = \dfrac{15}{28}$.
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} P(X \leq 1) & = P(X=0)+P(X=1) \\ & = \dfrac{3}{28} + \dfrac{15}{28} = \dfrac{18}{28} \end{aligned}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 16
Variabel acak $X$ menyatakan mata dadu yang muncul pada pelemparan sebuah dadu. Nilai $P(1 \leq x \leq 4)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac16$          B. $\dfrac13$          C. $\dfrac12$       D. $\dfrac23$         E. $\dfrac56$

Pembahasan

Notasi $P(1 \leq X \leq 4)$ artinya peluang memperoleh mata dadu $1$ sampai $4$ pada pelemparan sebuah dadu. Karena peluang munculnya masing-masing mata dadu pasti sama, yaitu $\dfrac16$, maka
$$\begin{aligned} P(1 \leq X \leq 4) & = P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4) \\ & = \dfrac16+\dfrac16+\dfrac16+\dfrac16 = \dfrac23 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{P(1 \leq X \leq 4) = \dfrac23}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 17
Variabel acak $X$ menyatakan banyak hasil angka pada pelemparan tiga keping mata uang logam secara bersamaan. Nilai $P(1 \leq X \leq 2)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac18$         B. $\dfrac38$         C. $\dfrac12$         D. $\dfrac58$         E. $\dfrac34$

Pembahasan

Notasi $P(1 \leq X \leq 2)$ menyatakan peluang diperolehnya $1$ atau $2$ angka pada pelemparan tiga keping uang logam tersebut.
Titik sampel dari pelemparan tiga keping uang logam dinyatakan dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline (A, A, A) & \color{blue}{(A, A, G)} & \color{blue}{(A, G, A)} & \color{blue}{(G, A, A)} \\ \hline \color{red}{(A, G, G)} & \color{red}{(G, A, G)} & \color{red}{(G, G, A)} & (G, G, G) \\ \hline \end{array}$$Dari tabel di atas, tampak bahwa ada $3+3=6$ titik sampel yang memenuhi kejadian yang diharapkan. Dengan demikian,
$\begin{aligned} P(1 \leq X \leq 2) & = P(X=1) + P(X=2) \\ & = \dfrac{3}{8} + \dfrac38 = \dfrac34 \end{aligned}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 18
Diketahui fungsi peluang variabel $X$ berikut.
$f(x) = \begin{cases} 0; &\text{untuk}~x~\text{yang lain} \\ \dfrac{x}{10}; &\text{untuk}~x=1,2,3,4 \end{cases}$
Nilai $P(2 \leq X \leq 4)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac25$                 C. $\dfrac35$                  E. $\dfrac{9}{10}$
B. $\dfrac12$                 D. $\dfrac{7}{10}$

Pembahasan

Notasi $P(2 \leq X \leq 4)$ menyatakan peluang dengan variabel acak $X$ yang sama dengan $P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)$.
Berdasarkan fungsi peluang variabel acak $X$, untuk semua $x$ dari $2$ sampai $4$, rumus fungsi yang dipakai adalah $f(x) = \dfrac{x}{10}$. Kita tuliskan,
$\begin{aligned} & P(X=2)+P(X=3)+P(X=4) \\ & = \dfrac{2}{10} + \dfrac{3}{10} + \dfrac{4}{10} \\ & = \dfrac{9}{10} \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{P(2 \leq X \leq 4) = \dfrac{9}{10}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 19
Perhatikan tabel distribusi frekuensi variabel acak $X$ berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline P(X=x) & \dfrac{1}{12} & \dfrac16 & \dfrac14 & \dfrac14 & \dfrac16 & \dfrac{1}{12} \\ \hline \end{array}$
Nilai dari $P(4 \leq X \leq 6)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{12}$                    C. $\dfrac14$                   E. $\dfrac12$
B. $\dfrac16$                       D. $\dfrac13$

Pembahasan

Berdasarkan tabel distribusi frekuensi di atas, diketahui bahwa
$\begin{aligned} P(X=4) & = \dfrac14 \\ P(X=5) & = \dfrac16 \\ P(X=6) & = \dfrac{1}{12} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} P(4 \leq X \leq 6) & = P(X=4)+P(X=5)+P(X=6) \\ & = \dfrac14+\dfrac16+\dfrac{1}{12} \\ & = \dfrac{3+2+1}{12} = \dfrac12 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{P(4 \leq X \leq 6) = \dfrac{1}{2}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 20
Variabel acak $X$ menyatakan jumlah mata dadu yang muncul pada pelemparan dua buah dadu secara bersamaan. Nilai $P(5 \leq X \leq 12)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac16$                       C. $\dfrac12$                   E. $\dfrac56$ 
B. $\dfrac13$                       D. $\dfrac34$

Pembahasan

Jumlah mata dadu yang mungkin didapat dari pelemparan dua buah dadu adalah $2$ sampai $12$.
Notasi $P(5 \leq X \leq 12)$ menyatakan peluang diperolehnya jumlah mata dadu $5, 6, 7, 8, 9, 10, 11$, atau $12$.
Gunakan tabel berikut untuk menentukan banyak titik sampel yang sesuai dengan kejadian yang diharapkan.
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Jumlah Mata Da}\text{du} & \text{Titik Sam}\text{pel} & \text{Banyak Titik Sam}\text{pel} \\ \hline 5 & (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) & 4 \\ \hline 6 & (1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3) & 5 \\ \hline 7 & (1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3) & 6 \\ \hline 8 & (2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4) & 5 \\ \hline 9 & (3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4) & 4 \\ \hline 10 & (4, 6), (6, 4), (5,5) & 3 \\ \hline 11 & (5, 6), (6, 5l & 2 \\ \hline 12 & (6, 6) & 1 \\ \hline \end{array}$$Jumlah titik sampelnya adalah $\boxed{4+5+6+5+4+3+2+1=30}$.
Banyak anggota ruang sampel pada pelemparan dua buah dadu adalah $\boxed{6 \times 6 = 36}$.
Jadi, nilai dari $\boxed{P(5 \leq X \leq 12) = \dfrac{30}{36} = \dfrac56}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 21
Sebuah dadu dilemparkan sebanyak $4$ kali. Peluang muncul mata dadu berkelipatan $3$ sebanyak $2$ kali adalah $\cdots \cdot$
A. $0,3951$                        D. $0,0988$
B. $0,2963$                        E. $0,0154$
C. $0,1157$

Penyelesaian

Kasus ini tergolong kasus distribusi binomial. Dua kejadian yang mungkin terjadi adalah munculnya mata dadu berkelipatan $3$ dan tidak munculnya mata dadu berkelipatan $3$.
Misalkan kejadian $A$ adalah kejadian munculnya mata dadu berkelipatan $3$, yaitu mata dadu $3$ atau $6$, sehingga $P(A) = \alpha = \dfrac26 = \dfrac13$.
Peluang dua $(x = 2)$ dari empat kali pelemparan sebuah dadu muncul mata dadu kelipatan $3$ sebesar
$\begin{aligned} P(X = x) & =\displaystyle \binom{n}{x} \alpha^x(1-\alpha)^{n-x} \\ P(X = 2) & = \displaystyle \binom{4}{2} \left(\dfrac13\right)^2\left(1-\dfrac13\right)^{4-2} \\ & = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} \times \dfrac{1^2}{3^2} \times \dfrac{2^2}{3^2} \\ & = 6 \times \dfrac19 \times \dfrac49 \\ & = 0,2963 \end{aligned}$
Jadi, peluang kejadian tersebut adalah $\boxed{0,2963}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 22
Andri mengerjakan $10$ soal pilihan benar salah. Peluang Andri menjawab dengan benar sebanyak $6$ soal adalah $\cdots \cdot$
A. $0,1816$                       D. $0,3145$
B. $0,2051$                       E. $0,3264$
C. $0,2672$

Penyelesaian

Kasus ini tergolong kasus distribusi binomial. Dua kejadian yang mungkin terjadi adalah menjawab soal dengan benar dan salah.
Misalkan kejadian $A$ adalah kejadian Andri menjawab soal dengan benar, sehingga
$P(A) = \alpha = \dfrac12$
Peluang enam $(x = 6)$ dari sepuluh soal dijawab benar oleh Andri sebesar
$$\begin{aligned} P(X = x) & =\displaystyle \binom{n}{x} \alpha^x(1-\alpha)^{n-x} \\ P(X = 6) & = \displaystyle \binom{10}{6} \left(\dfrac12\right)^6\left(1-\dfrac12\right)^{10-6} \\ & = \dfrac{10!}{6! \times 4!} \times \dfrac{1^6}{2^6} \times \dfrac{1^4}{2^4} \\ & = \dfrac{10 \times \cancelto{3}{9} \times \bcancel{8} \times 7 \times \cancel{6!}}{\cancel{6!} \times \bcancel{4} \times \cancel{3} \times \bcancel{2}} \times \dfrac{1}{64} \times \dfrac{1}{16} \\ & = 0,2051 \end{aligned}$$Jadi, peluang kejadian tersebut adalah $\boxed{0,2051}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 23
Dalam sebuah kantong terdapat $8$ kelereng dengan $3$ kelereng di antaranya berwarna biru. Dari kantong diambil satu kelereng berturut-turut sebanyak $5$ kali. Pada setiap pengambilan, kelereng dikembalikan lagi. Peluang diperoleh hasil pengambilan kelereng biru sebanyak tiga kali adalah $\cdots \cdot$
A. $0,3418$                     D. $0,1984$
B. $0,3264$                     E. $0,1870$
C. $0,2060$

Penyelesaian

Kasus ini tergolong kasus distribusi binomial. Dua kejadian yang mungkin terjadi adalah mendapatkan kelereng biru dan tidak mendapatkan kelereng biru.
Misalkan kejadian $A$ adalah kejadian terambilnya kelereng biru, sehingga
$P(A) = \alpha = \dfrac{3}{8}$
Peluang tiga $(x = 3)$ dari lima kali pengambilan mendapatkan kelereng biru sebesar
$\begin{aligned} P(X = x) & =\displaystyle \binom{n}{x} \alpha^x(1-\alpha)^{n-x} \\ P(X = 3) & = \displaystyle \binom{5}{3} \left(\dfrac{3}{8}\right)^3\left(1-\dfrac{3}{8}\right)^{5-3} \\ & = \dfrac{5!}{3! \times 2!} \times \dfrac{3^3}{8^3} \times \dfrac{5^2}{8^2} \\ & = 10 \times \dfrac{27}{512} \times \dfrac{25}{64} \\ & \approx 0,2060 \end{aligned}$
Jadi, peluang kejadian tersebut adalah $\boxed{0,2060}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 24
Sebuah perusahaan membutuhkan beberapa karyawan baru melalui tes seleksi karyawan. Dari seluruh peserta tes, hanya $40\%$ yang lolos. Dari para peserta tes tersebut diambil sampel secara acak sebanyak $20$ orang. Peluang sampel terdiri dari peserta lolos sebanyak $5$ orang adalah $\cdots \cdot$
(Informasi: $(0,4)^5 = 0,01024$ dan $(0,6)^{15} = 0,00047$)

A. $0,0746$                         D. $0,1659$
B. $0,1244$                         E. $0,1797$
C. $0,1597$

Penyelesaian

Kasus ini tergolong kasus distribusi binomial. Dua kejadian yang mungkin terjadi adalah mendapatkan peserta yang lolos dan tidak lolos dari tes seleksi.
Misalkan kejadian $A$ adalah kejadian mendapatkan peserta yang lolos tes sehingga
$P(A) = \alpha = 40\% = 0,4$
Peluang lima $(x = 5)$ dari dua puluh orang yang terpilih sebagai sampel merupakan peserta yang lolos dinyatakan sebagai berikut
$$\begin{aligned} P(X = x) & =\displaystyle \binom{n}{x} \alpha^x(1-\alpha)^{n-x} \\ P(X = 5) & = \displaystyle \binom{20}{5} \left(0,4\right)^{5}\left(1-0,4\right)^{20-5} \\ & = \dfrac{20!}{15! \times 5!} \times (0,4)^5 \times (0,6)^{15} \\ & = \dfrac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times \cancel{15!}}{\cancel{15!} \times 5 \times 4 \times 3 \times 2} \times 0,01024 \times 0,00047 \\ & = 15.504 \times 0,01024 \times 0,00047 = 0,0746 \end{aligned}$$Jadi, peluang kejadian tersebut adalah $\boxed{0,0746}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 25
Diketahui $P(x) = C(4, x) \cdot (0,6)^x \cdot (0,4)^{4-x}$ untuk $x=0,1,2,3,4$. Nilai $P(2 \leq X \leq 4)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0,8208$                         D. $0,1792$
B. $0,6912$                         E. $0,1296$
C. $0,3456$

Pembahasan

Notasi $P(2 \leq X \leq 4)$ sama dengan $P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)$. Untuk itu, akan dicari masing-masing dari nilai-nilai tersebut.
$\begin{aligned} P(X=2) & = C(4, 2) \cdot (0,6)^2 \cdot (0,4)^{4-2} \\ & = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} \cdot 0,36 \cdot 0,16 \\ & = 6 \cdot 0,36 \cdot 0,16 = 0,3456 \end{aligned}$
$\begin{aligned} P(X=3) & = C(4, 3) \cdot (0,6)^3 \cdot (0,4)^{4-3} \\ & = \dfrac{4!}{3! \cdot 1!} \cdot 0,216 \cdot 0,4 \\ & = 4 \cdot 0,36 \cdot 0,16 = 0,3456 \end{aligned}$
$\begin{aligned} P(X=4) & = C(4, 4) \cdot (0,6)^4 \cdot (0,4)^{4-4} \\ & = \dfrac{4!}{4! \cdot 0!} \cdot 0,1296 \cdot 1 \\ & = 1 \cdot 0,1296 \cdot 0,16 = 0,1296 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} P(2 \leq X \leq 4) & = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) \\ & = 0,3456+0,3456+0,1296 \\ & = 0,8208 \end{aligned}$$(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 26
Sekeping koin dilempar $5$ kali. Peluang mendapatkan sisi gambar tepat $3$ kali adalah $\cdots$
A. $\dfrac{6}{54}$                  C. $\dfrac{8}{36}$                 E. $\dfrac{3}{18}$
B. $\dfrac{10}{32}$                  D. $\dfrac{5}{18}$

Penyelesaian

Kasus ini mengarah pada percobaan binomial karena peristiwa pelemparan koin hanya memunculkan $2$ kejadian, yaitu munculnya angka dan munculnya gambar, masing-masing dengan peluang yang sama, yaitu $\dfrac12$. Diketahui bahwa:
$\boxed{\begin{aligned} n & = 5 \\ x & = 3 \\ \alpha & = \dfrac12 \end{aligned}}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} P(X = x) & = \displaystyle \binom{n}{x} \alpha^x\left(1-\alpha\right)^{n-x} \\ P(X = 3) & = \displaystyle \binom{5}{3} \left(\dfrac12\right)^3\left(1-\dfrac12\right)^{5-3} \\ & = \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} \left(\dfrac12\right)^{5}\\ & = 10 \cdot \dfrac{1}{32} = \dfrac{10}{32} \end{aligned}$
Jadi, peluang munculnya gambar tepat $3$ kali dari pelemparan koin sebanyak $5$ kali adalah $\boxed{\dfrac{10}{32}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 27 (Soal UN Matematika Jurusan IPA Tahun 2015)
Seorang penjaga gawang profesional mampu menahan tendangan penalti dengan peluang $\dfrac35$. Dalam sebuah kesempatan dilakukan $5$ kali tendangan. Peluang penjaga gawang mampu menahan $3$ kali tendangan penalti tersebut adalah $\cdots$
A. $\dfrac{180}{625}$                   D. $\dfrac{228}{625}$
B. $\dfrac{612}{625}$                   E. $\dfrac{230}{625}$
C. $\dfrac{216}{625}$

Penyelesaian

Misalkan kejadian sukses $S$ dalam kasus ini adalah kejadian ketika penjaga gawang berhasil menahan bola, sedangkan kejadian gagal $G$ adalah kejadian ketika penjaga gawang tidak dapat menahan bola (mengakibatkan gol). Diketahui bahwa $P(S) = \alpha = \dfrac35$.
Peluang penjaga gawang mampu menahan $3$ kali tendangan $(x=3)$ dari $5$ kali tendangan $(n=5)$ adalah
$\begin{aligned} P(X = x) & = \displaystyle \binom{n}{x} \alpha^x(1-\alpha)^{n-x} \\ P(X = 3) & = \displaystyle \binom{5}{3} \left(\dfrac35\right)^3\left(\dfrac25\right)^{5-3} \\ & = \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} \times \dfrac{27}{125}\times \dfrac{4}{25}\ \\ & = \boxed{\dfrac{216}{625}} \end{aligned}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 28 (Soal SIMAK UI)
Peluang mendapatkan satu kali jumlah angka $7$ dalam tiga kali pelemparan dua buah dadu adalah $\cdots$
A. $\dfrac{5}{246}$                          D. $\dfrac{25}{72}$
B. $\dfrac{5}{36}$                            E. $\dfrac{135}{432}$
C. $\dfrac{25}{46}$

Penyelesaian

Himpunan pasangan berurut mata dadu yang muncul agar jumlah mata dadunya $7$ adalah
$\{(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)\}$
(sebanyak $6$ kemungkinan)
Banyak semua anggota ruang sampel adalah $6 \times 6 = 36$
Kasus ini tergolong kasus distribusi binomial karena hanya ada $2$ kemungkinan kejadian, yakni kejadian munculnya mata dadu berjumlah $7$ dan kejadian tidak munculnya mata dadu berjumlah $7$.
Kita misalkan kejadian sukses $S$ adalah kejadian ketika muncul jumlah mata dadu $7$ dengan peluangnya
$P(S) = \alpha = \dfrac{6}{36} = \dfrac16$
Peluang mendapatkan satu kali $(x = 1)$ mata dadu berjumlah $7$ dari $3$ kali $(n=3)$ pelemparan adalah
$\begin{aligned} P(X = x) & = \displaystyle \binom{n}{x} \alpha^x(1-\alpha)^{n-x} \\ P(X = 1) & = \displaystyle \binom{3}{1} \left(\dfrac16\right)^1\left(\dfrac56\right)^{3-1} \\ & = \dfrac{3!}{1! \cdot 2!} \times \dfrac{1}{6} \times \dfrac{25}{36}\ \\ & = \cancel{3} \times \dfrac{1}{\cancelto{2}{6}} \times \dfrac{25}{36}\ \\ & = \boxed{\dfrac{25}{72}} \end{aligned}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 29
Probabilitas seorang bayi belum diimunisasi rubela adalah $0,2$. Pada suatu hari, terdapat $4$ bayi di suatu puskesmas. Peluang terdapat $3$ bayi yang belum diimunisasi rubela dari $5$ bayi tersebut adalah $\cdots$
A. $0,0128$                      D. $0,1240$
B. $0,0256$                      E. $0,2480$
C. $0,0512$

Penyelesaian

Kasus ini termasuk kasus distribusi binomial. Dua kemungkinan yang terjadi adalah bayi belum diimunisasi rubela atau sudah diimunisasi rubela. 
Misalkan kejadian sukses $S$, adalah kejadian bayi belum diimunisasi rubela, sehingga peluangnya adalah $P(S) = \alpha = 0,2$. Peluang $3$ $(x=3)$ dari $4$ $(n=4)$ bayi belum diimunisasi rubela adalah
$\begin{aligned} P(X =x) & =\displaystyle \binom{n}{x} \alpha^x(1-\alpha)^{n-x} \\ P(X = 3) & = \displaystyle \binom{4}{3} (0,2)^3(1-0,2)^{4-3} \\ & = \dfrac{4!}{3! \cdot 1!} \times 0,008 \times 0,8 \\ & = 4 \times 0,008 \times 0,8 \\ & = \boxed{0,0256} \end{aligned}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 30
Suatu survei menemukan bahwa $1$ dari $5$ orang berkata bahwa dia telah mengunjungi dokter dalam sembarang bulan yang ditanyakan. Jika $10$ orang dipilih secara acak, peluang tiga di antaranya sudah mengunjungi dokter bulan lalu adalah $\cdots$
A. $0,108$                     D. $0,289$
B. $0,201$                     E. $0,301$
C. $0,245$

Penyelesaian

Kasus ini tergolong kasus distribusi binomial. Dua kejadian yang mungkin terjadi adalah orang yang dipilih sudah mengunjungi dokter atau belum.
Misalkan kejadian $A$ adalah kejadian orang yang dipilih sudah mengunjungi dokter, sehingga $P(A) = \alpha = \dfrac15$.
Peluang tiga $(x = 3)$ di antara $10 (n = 10)$ sudah mengunjungi dokter bulan lalu adalah 
$\begin{aligned} P(X =x) & =\displaystyle \binom{n}{x} \alpha^x(1-\alpha)^{n-x} \\ P(X = 3) & = \displaystyle \binom{10}{3} \left(\dfrac15\right)^3\left(1-\dfrac15\right)^{10-3} \\ & = \dfrac{10!}{3! \cdot 7!} \times \dfrac{1^3}{5^3} \times \dfrac{4^7}{5^7} \\ & = 120 \times \dfrac{1}{125} \times \dfrac{16.384}{78.125} \\ & = \boxed{0,201} \end{aligned}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Tambahan

Soal Nomor 31
Tentukan peluang munculnya $6$ gambar pada pelemparan koin homogen (setimbang) sebanyak $10$ kali.

Penyelesaian

Kasus ini mengarah pada percobaan binomial karena peristiwa pelemparan koin hanya memunculkan $2$ kejadian, yaitu munculnya angka dan munculnya gambar, masing-masing dengan peluang yang sama, yaitu $\dfrac12$. Diketahui bahwa:
$\boxed{\begin{aligned} n & = 10 \\ x & = 6 \\ \alpha & = \dfrac12 \end{aligned}}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} P(X = x) & = \displaystyle \binom{n}{x} \alpha^x(1-\alpha)^{n-x} \\ P(X = 6) & = \displaystyle \binom{10}{6} \left(\dfrac12\right)^6\left(\dfrac12\right)^{10-6} \\ & = \dfrac{10!}{6! \cdot 4!} \left(\dfrac12\right)^{10} \\ & = 210 \cdot \dfrac{1}{1024} = 0,205 \end{aligned}$
Jadi, peluang munculnya $6$ gambar pada pelemparan koin homogen (setimbang) sebanyak $10$ kali adalah $\boxed{0,205}$

[collapse]

Today Quote

Mengasihi tanpa mengasihani, menggenggam tanpa mencengkeram, menuntun tanpa menuntut; mari sama-sama belajar menghargai tanpa menghakimi.
CategoriesTeori PeluangTags, , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *