Materi, Soal, dan Pembahasan – Distribusi Binomial

Dengan menggunakan definisi fungsi peluang dari variabel acak diskret, diperoleh
$$\begin{aligned} p(2 \leq X \leq 4) & = p(X = 2) + p(X = 3) + p(X = 4) \\ & = C(4, 2) \cdot (0,6)^2 \cdot (0,4)^2 + C(4, 3) \cdot (0,6)^3 \cdot (0,4) + C(4, 4) \cdot (0,6)^4 \cdot (0,4)^0 \\ & = 0,\!3456 + 0,\!3456 + 0,\!1296 \\ & = 0,\!8208. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{p(2 \leq X \leq 4) = 0,\!8208}$
(Jawaban A)

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu (1) kejadian munculnya mata dadu berkelipatan $3$ dan (2) kejadian tidak munculnya mata dadu berkelipatan $3.$
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya kemunculan mata dadu berkelipatan $3$ dari pelemparan sebuah dadu. Diketahui $n = 4,$ $x = 2,$ dan peluang kejadian munculnya mata dadu berkelipatan $3$ adalah $p = \dfrac{|\{3, 6\}|}{6} = \dfrac26 = \dfrac13.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 2) & = b(2; 4, 1/3) \\ & = \displaystyle \binom{4}{2} \left(\dfrac13\right)^2 \left(\dfrac23\right)^{4-2} \\ & \approx 0,\!2963. \end{aligned}$$Jadi, peluang kejadian munculnya mata dadu berkelipatan $3$ sebanyak $2$ kali sekitar $\boxed{0,\!2963}$
(Jawaban B)

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu (1) kejadian menjawab soal dengan tepat dan (2) kejadian menjawab soal dengan tidak tepat.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya soal yang dijawab dengan tepat. Diketahui $n = 10,$ $x = 6,$ dan peluang Vilsen menjawab suatu soal dengan tepat adalah $p = 1/2$ (karena hanya ada dua pilihan, yaitu benar atau salah). Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 6) & = b(6; 10, 1/2) \\ & = \displaystyle \binom{10}{6} \left(\dfrac12\right)^6 \left(\dfrac12\right)^{10-6} \\ & \approx 0,\!2051. \end{aligned}$$Jadi, peluang Vilsen menjawab $6$ soal dengan tepat sekitar $\boxed{0,\!2051}$
(Jawaban B)

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu (1) kejadian memperoleh kelereng biru dan (2) kejadian memperoleh kelereng bukan biru.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya perolehan kelereng biru dari kantong tersebut. Diketahui $n = 5,$ $x = 3,$ dan peluang kejadian memperoleh kelereng biru adalah $p = 3/8.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 3) & = b(3; 5, 3/8) \\ & = \displaystyle \binom{5}{3} \left(\dfrac38\right)^3 \left(\dfrac58\right)^{5-3} \\ & \approx 0,\!2060. \end{aligned}$$Jadi, peluang kejadian memperoleh $3$ kali kelereng biru sekitar$\boxed{0,\!2060}$
(Jawaban C)

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu (1) kejadian seorang peserta tes lolos seleksi dan (2) kejadian seorang peserta tes tidak lolos seleksi.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya peserta tes yang lolos seleksi.
Diketahui $n = 20,$ $x = 5,$ dan peluang seorang karyawan lolos seleksi adalah $p = 40\% = 0,\!4.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 5) & = b(5; 20, 3/5) \\ & = \displaystyle \binom{20}{5} \left(0,\!4\right)^5 \left(0,\!6\right)^{20-5} \\ & \approx 0,\!0746 . \end{aligned}$$Jadi, peluang tepat $5$ dari $20$ peserta tes tersebut lolos seleksi sekitar $\boxed{0,\!0746}$
(Jawaban A)

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu (1) kejadian penjaga gawang tersebut mampu menahan tendangan penalti dan (2) kejadian penjaga gawang tersebut tidak mampu menahan tendangan penalti.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan frekuensi penjaga gawang tersebut mampu menahan tendangan penalti.
Diketahui $n = 5,$ $x = 3,$ dan peluang penjaga gawang tersebut mampu menahan tendangan penalti adalah $p = 3/5.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 3) & = b(3; 5, 3/5) \\ & = \displaystyle \binom{5}{3} \left(\dfrac35\right)^3 \left(\dfrac25\right)^{5-3} \\ & = \dfrac{216}{625}. \end{aligned}$$Jadi, peluang penjaga gawang tersebut mampu menahan $3$ kali tendangan penalti adalah $\boxed{\dfrac{216}{625}}$
(Jawaban B)

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu (1) kejadian mendapatkan jumlah mata dadu $7$ dan (2) kejadian tidak mendapatkan jumlah mata dadu $7.$
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan frekuensi kemunculan jumlah mata dadu $7$ dari pelemparan dua buah dadu tersebut. Diketahui $n = 3,$ $x = 1,$ dan peluang mendapatkan jumlah mata dadu $7$ adalah $$p = \dfrac{|\{(1, 6), (2, 5), \cdots, (6, 1)\}|}{6^2} = \dfrac{6}{36} = \dfrac16.$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 1) & = b(1; 3, 1/6) \\ & = \displaystyle \binom{3}{1} (1/6)^1 (5/6)^{3-1} \\ & = \dfrac{25}{72}. \end{aligned}$$Jadi, peluang mendapatkan satu kali jumlah mata dadu $7$ dalam tiga kali pelemparan dua buah dadu adalah $\boxed{\dfrac{25}{72}}$
(Jawaban D)

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu (1) kejadian bayi belum diimunisasi rubela dan (2) kejadian bayi sudah diimunisasi rubela.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya bayi yang belum diimunisasi rubela. Diketahui $n = 4,$ $x = 3,$ dan peluang seorang bayi belum diimunisasi rubela adalah $p = 0,\!2.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 3) & = b(3; 4, 0,\!2) \\ & = \displaystyle \binom{4}{3} (0,\!2)^3 (0,\!8)^{4-3} \\ & = 0,\!0256. \end{aligned}$$Jadi, peluang terdapat $3$ bayi yang belum diimunisasi rubela dari $4$ bayi tersebut adalah $\boxed{0,\!0256}$
(Jawaban B)

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu (1) sudah mengunjungi atau (2) belum mengunjungi dokter saat bulan lalu.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya orang yang sudah mengunjungi dokter saat bulan lalu. Diketahui $n = 10,$ $x = 3,$ dan peluang seseorang sudah mengunjungi dokter saat bulan lalu adalah $p = 1/5.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X =3) & = b(3; 10, 1/5) \\ & = \displaystyle \binom{10}{3} \left(\dfrac15\right)^3 \left(\dfrac45\right)^{10-3} \\ & \approx 0,\!2013. \end{aligned}$$Jadi, peluang $3$ orang di antaranya sudah mengunjungi dokter saat bulan lalu sekitar $\boxed{0,\!2013}$
(Jawaban B)

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu (1) kejadian memperoleh angka dan (2) kejadian memperoleh gambar.
Jawaban a)
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya sisi gambar yang muncul dari pelemparan $10$ kali koin setimbang tersebut. Diketahui $n = 10,$ $x = 6,$ dan peluang memperoleh sisi gambar adalah $p = 1/2.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 6) & = b(6; 10, 1/2) \\ & = \displaystyle \binom{10}{6} \left(\dfrac12\right)^6 \left(\dfrac12\right)^{10-6} \\ & \approx 0,\!2051. \end{aligned}$$Jadi, peluang munculnya tepat $6$ sisi gambar sekitar $\boxed{0,\!2051}$
Jawaban b)
Misalkan $Y$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya sisi angka yang muncul dari pelemparan $10$ kali koin setimbang tersebut. Diketahui $n = 10,$ $y = 9$ atau $10,$ dan peluang memperoleh sisi angka adalah $p = 1/2.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(Y > 8) & = p(Y = 9) + p(Y = 10) \\ & = b(9; 10, 1/2) + b(10; 10, 1/2) \\ & = \displaystyle \binom{10}{9} \left(\dfrac12\right)^9 \left(\dfrac12\right)^{10-9} + \binom{10}{10} \left(\dfrac12\right)^{10} \left(\dfrac12\right)^{10-10} \\ & \approx 0,\!0107. \end{aligned}$$Jadi, peluang munculnya lebih dari $8$ sisi angka sekitar $\boxed{0,\!0107}$

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu (1) tidak terdapat perbedaan suara dan (2) terdapat perbedaan suara. Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya orang yang mengklaim bahwa terdapat perbedaan suara dari dua pengeras suara tersebut. 
Diketahui $n = 12,$ $x = 3,$ dan peluang kejadian mengklaim bahwa terdapat perbedaan suara adalah $p = 1/2.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 3) & = b(3; 12, 1/2) \\ & = \displaystyle \binom{12}{3} \left(\dfrac12\right)^3 \left(\dfrac12\right)^{12-3} \\ & \approx 0,\!0537. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa tepat tiga orang mengklaim bahwa mereka mendengarkan perbedaan suara dari dua pengeras suara tersebut sekitar $\boxed{0,\!0537}$

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu (1) kasus pencurian terjadi karena pelakunya ingin mendapatkan uang untuk membeli narkoba dan (2) alasan lainnya.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya kasus pencurian yang terjadi karena pelakunya ingin mendapatkan uang untuk membeli narkoba.
Jawaban a)
Diketahui $n = 5,$ $x = 2,$ dan peluang kasus pencurian terjadi karena pelakunya ingin mendapatkan uang untuk membeli narkoba adalah $p = 75\% = 3/4.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 2) & = b(2; 5, 3/4) \\ & = \displaystyle \binom{5}{2} \left(\dfrac34\right)^2\left(\dfrac14\right)^{5-2} \\ & \approx 0,\!0879. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa dari $5$ kasus pencurian berikutnya di daerah tersebut, ada tepat $2$ kasus pencurian terjadi karena pelakunya ingin mendapatkan uang untuk membeli narkoba sekitar $\boxed{0,\!0879}$
Jawaban b)
Dengan cara yang serupa, akan dicari nilai dari $p(X \le 3).$
$$\begin{aligned} p(X \le 3) = 1-P(X = 4)-P(X = 5) \\ & = 1-b(4; 5, 3/4)-b(5; 5, 3/4) \\ & = 1-\displaystyle \binom{5}{4} \left(\dfrac34\right)^4 \left(\dfrac14\right)^{5-4}-\displaystyle \binom{5}{5} (3/4)^5 (1/4)^{5-5} \\ & \approx 0,\!3672. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa dari $5$ kasus pencurian berikutnya di daerah tersebut, paling banyak $3$ kasus pencurian terjadi karena pelakunya ingin mendapatkan uang untuk membeli narkoba sekitar $\boxed{0,\!3672}$

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu (1) kejadian seorang pasien pulih dan (2) kejadian seorang pasien tidak pulih dari operasi jantung tersebut.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya pasien yang pulih dari operasi jantung tersebut.
Jawaban a)
Diketahui $n = 7,$ $x = 5,$ dan peluang kejadian seorang pasien pulih adalah $p = 0,\!9.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 5) & = b(5; 7, 0,\!9) \\ & = \displaystyle \binom{7}{5} \left(0,\!9\right)^5 \left(0,\!1\right)^{7-5} \\ & \approx 0,\!1240. \end{aligned}$$Jadi, peluang kejadian tepat $5$ dari $7$ pasien berikutnya pulih sekitar $\boxed{0,\!1240}$
Jawaban b)
Dengan cara yang serupa untuk $n = 4$ dan $x \ge 2,$ diperoleh
$$\begin{aligned} p(X \ge 2) & = 1-(p(X = 0) + p(X = 1)) \\ & = 1-b(0; 4, 0,\!9)-b(1; 4, 0,\!9) \\ & = 1-\displaystyle \binom{4}{0} \left(0,\!9\right)^0 \left(0,\!1\right)^{4-0}-\displaystyle \binom{4}{1} \left(0,\!9\right)^1 \left(0,\!1\right)^{4-1} \\ & = 0,\!9963. \end{aligned}$$ Jadi, peluang kejadian setidaknya $2$ dari $4$ pasien berikutnya pulih adalah $\boxed{0,\!9963}$
Jawaban c)
Dengan cara yang serupa untuk $n = 8$ dan $x = 0,$ diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 0) & = b(0; 8, 0,\!9) \\ & = \displaystyle \binom{8}{0} \left(0,\!9\right)^0 \left(0,\!9\right)^{8-0} \\ & \approx 0,\!4305. \end{aligned}$$Jadi, peluang kejadian setidaknya $2$ dari $4$ pasien berikutnya pulih adalah $\boxed{0,\!4305}$

Diketahui fungsi distribusi kumulatif dari $X$ sebagai berikut.
$$F(x) = \begin{cases} 1-\dfrac{10}{x}, & x \ge 10 \\ 0, & x~\text{lainnya} \end{cases}$$Jawaban a)
Peluang bahwa waktu hidup alat elektronik tersebut lebih dari $2$ jam dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} p(X > 2) & = 1-p(X \le 2) \\ & = 1-F(2) \\ & = 1-0 \\ & = 1. \end{aligned}$$Jawaban b)
Pertama, akan dicari peluang bahwa alat elektronik tersebut akan berfungsi lebih dari $15$ jam.
$$\begin{aligned} p(X > 15) & = 1-p(X \le 15) \\ & = 1-\left(1-\dfrac{10}{15}\right) \\ & = \dfrac23. \end{aligned}$$Misalkan $Y$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya alat elektronik yang akan berfungsi lebih dari $15$ jam. Dengan menggunakan distribusi binomial, peluang bahwa $3$ dari $6$ alat elektronik yang sama akan berfungsi lebih dari $15$ jam adalah
$$\begin{aligned} P(Y = 3) & = b\left(3; 6, \dfrac23\right) \\ & = \displaystyle \binom{6}{3} \left(\dfrac23\right)^3 \left(\dfrac13\right)^{6-3} \\ & \approx 0,\!2195. \end{aligned}$$

Jawaban a)
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya komponen yang tidak berfungsi. Dalam hal ini, $X$ dapat bernilai $0, 1, 2,$ atau $3.$ Perhatikan bahwa $X$ berdistribusi binomial karena melibatkan dua kejadian yang bebas, yaitu (1) kejadian komponen tidak berfungsi dan (2) kejadian komponen berfungsi. Diketahui $n = 3$ dan $p = 1-0,\!85 = 0,\!15.$
Dengan demikian, fungsi (kepadatan) peluang dari $X$ adalah sebagai berikut.
$$f(x) = \begin{cases} \displaystyle \binom{3}{x}(0,\!15)^x(0,\!85)^{3-x}, & x = 0,1,2,3 \\ 0, & x~\text{lainnya} \end{cases}$$Jawaban b)
Rata-rata banyaknya komponen yang tidak berfungsi adalah
$$\begin{aligned} E[X] & = \displaystyle \sum_{x = 0}^3 x \cdot \binom{3}{x}(0,\!15)^x(0,\!85)^{3-x} \\ & = 0 + 1 \cdot \binom{3}{1}(0,\!15)^1(0,\!85)^{2} + 2 \cdot \binom{3}{2}(0,\!15)^2(0,\!85)^{1} + 3 \cdot \binom{3}{3}(0,\!15)^3(0,\!85)^{0} \\ & = 0,\!45. \end{aligned}$$Jawaban c)
Pertama, akan dihitung nilai dari $E[X^2]$ terlebih dahulu.
$$\begin{aligned} E[X^2] & = \displaystyle \sum_{x = 0}^3 x^2 \cdot \binom{3}{x}(0,\!15)^x(0,\!85)^{3-x} \\ & = 0 + 1^2 \cdot \binom{3}{1}(0,\!15)^1(0,\!85)^{2} + 2^2 \cdot \binom{3}{2}(0,\!15)^2(0,\!85)^{1} + 3^2 \cdot \binom{3}{3}(0,\!15)^3(0,\!85)^{0} \\ & = 0,\!585. \end{aligned}$$Dengan demikian, varians banyaknya komponen yang tidak berfungsi adalah
$$\begin{aligned} \text{Var}(X) & = E[X^2]-(E[X])^2 \\ & = 0,\!585-(0,\!45)^2 \\ & = 0,\!3825. \end{aligned}$$Jawaban d)
Sistem akan berhasil jika setidaknya ada satu dari tiga komponen tersebut yang berfungsi. Dengan kata lain, sistem akan berhasil jika $X < 3.$ Peluang bahwa sistem berhasil adalah
$$\begin{aligned} p(X < 3) & = 1-P(X = 3) \\ & = 1-\displaystyle \binom{3}{3}(0,\!15)^3(0,\!85) \\ & \approx 0,\!9966. \end{aligned}$$Jawaban e)
Peluang bahwa sistem gagal adalah satu dikurang peluang bahwa sistem berhasil, yaitu
$$P(X = 3) = 1-0,\!9966 = 0,\!0034.$$Jawaban f)
Perhatikan bahwa tiga komponen menjamin keberhasilan sistem dengan peluang sekitar $0,\!9966.$ Ini menunjukkan bahwa tiga komponen saja sudah cukup untuk menjamin peluang bahwa sistem berhasil sebesar $0,\!99.$

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu (1) kejadian memperoleh pelat dengan tingkat akurasi kalibrasi beban yang rendah dan (2) kejadian memperoleh pelat dengan tingkat akurasi kalibrasi beban yang tidak rendah.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya pelat dengan tingkat akurasi kalibrasi beban yang rendah.
Jawaban a)
Diketahui $n = 10$ dan peluang kejadian memperoleh pelat dengan tingkat akurasi kalibrasi yang rendah adalah $p = 2/5.$ Dalam hal ini, akan dicari nilai dari $p(X \ge 1).$
$$\begin{aligned} p(X \ge 1) & = 1-p(X = 0) \\ & = 1-b(10; 0, 2/5) \\ & = 1-\displaystyle \binom{10}{0} \left(\dfrac25\right)^0 \left(\dfrac35\right)^{10-0} \\ & \approx 0,\!994. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa terdapat pelat yang memiliki tingkat akurasi kalibrasi beban yang rendah jika $10$ pelat diambil secara acak, satu persatu dan dikembalikan, dari pusat kebugaran tersebut sekitar $\boxed{0,\!994}$
Jawaban b)
Diketahui $n = 5$ dan peluang kejadian memperoleh pelat dengan tingkat akurasi kalibrasi yang rendah adalah $p = 2/5.$ Dalam hal ini, akan dicari nilai dari $p(X \le 2).$
$$\begin{aligned} p(X \le 2) & = \displaystyle \sum_{x = 0}^2 b(x; 5, 2/5) \\ & = \displaystyle \binom{5}{0} \left(\dfrac25\right)^0 \left(\dfrac35\right)^{5-0}+\displaystyle \binom{5}{1} \left(\dfrac25\right)^1 \left(\dfrac35\right)^{5-1} + \displaystyle \binom{5}{2} \left(\dfrac25\right)^2 \left(\dfrac35\right)^{5-2} \\ & \approx 0,\!6826. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa paling banyak terdapat $2$ pelat yang memiliki tingkat akurasi kalibrasi beban yang rendah jika sekarang sebanyak $5$ pelat diambil secara acak, satu persatu dan dikembalikan, dari pusat kebugaran tersebut sekitar $\boxed{0,\!6826}$

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi multinomial karena ada tiga kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu kejadian pesawat mengakses: (1) landasan pacu $1,$ (2) landasan pacu $2,$ dan (3) landasan pacu $3.$
Misalkan $X_1, X_2,$ dan $X_3$ merupakan variabel acak diskret yang berturut-turut menyatakan banyaknya pesawat yang mengakses landasan pacu $1, 2,$ dan $3.$
Diketahui
$$\begin{array}{ccc} \hline x_1 = 2 & x_2 = 1 & x_3 = 3 \\ p_1 = 2/9 & p_2 = 1/6 & p_3 = 11/18 \\ n = 6 & & \\ \hline \end{array}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} f\left(2, 1, 3; \dfrac29, \dfrac16, \dfrac{11}{18}, 6\right) & = \displaystyle \binom{6}{2, 1, 3} \left(\dfrac29\right)^2 \left(\dfrac16\right)^1 \left(\dfrac{11}{18}\right)^3 \\ & \approx 0,\!1127. \end{aligned}$$Jadi, peluang $6$ pesawat mengakses tiga landasan pacu tersebut dengan distribusi yang dimaksud sekitar $\boxed{0,\!1127}$

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi multinomial karena ada tiga kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu kejadian anak tikus belanda berwarna: (1) merah, (2) hitam, dan (3) putih.
Misalkan $X_1, X_2,$ dan $X_3$ merupakan variabel acak diskret yang berturut-turut menyatakan banyaknya anak tikus belanda yang berwarna merah, hitam, dan putih.
Diketahui
$$\begin{array}{ccc} \hline x_1 = 5 & x_2 = 2 & x_3 = 1 \\ p_1 = 8/16 = 1/2 & p_2 = 4/16 = 1/4 & p_3 = 4/16 = 1/4 \\ n = 8 & & \\ \hline \end{array}$$dengan $p_1, p_2$ dan $p_3$ berturut-turut menyatakan peluang keturunan tikus belanda berwarna merah, hitam, dan putih. Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} f\left(5, 2, 1; 1/2, 1/4, 1/4, 8\right) & = \displaystyle \binom{8}{5, 2, 1} \left(\dfrac12\right)^5 \left(\dfrac14\right)^2 \left(\dfrac14\right)^1 \\ & = \dfrac{21}{256}. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa dari $8$ anak tikus belanda, $5$ di antaranya berwarna merah, $2$ hitam, dan $1$ putih adalah $\boxed{\dfrac{21}{256}}$

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi multinomial karena ada empat kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu kejadian datangnya perwakilan dengan menggunakan: (1) pesawat, (2) bus, (3) mobil pribadi, dan (4) kereta.
Misalkan $X_1, X_2,$ $X_3,$ dan $X_4$ merupakan variabel acak diskret yang berturut-turut menyatakan banyaknya orang yang datang dengan menggunakan pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta.
Diketahui
$$\begin{array}{cccc} \hline x_1 = 3 & x_2 = 3 & x_3 = 1 & x_4 = 2 \\ p_1 = 0,\!4 & p_2 = 0,\!2 & p_3 = 0,\!3 & p_4 = 0,\!1 \\ n = 9 & & \\ \hline \end{array}$$dengan $p_1, p_2, p_3,$ dan $p_4$ berturut-turut menyatakan peluang seorang perwakilan datang ke suatu konferensi di suatu kota menggunakan pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta. Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} f\left(3, 3, 1, 2 \mid 0,\!4; 0,\!2; 0,\!3; 0,\!1; 9\right) & = \displaystyle \binom{9}{3, 3, 1, 2} \left(0,\!4\right)^3 \left(0,\!2\right)^3 \left(0,\!3\right)^1 \left(0,\!1\right)^2\\ & \approx 0,\!0387. \end{aligned}$$Jadi, peluang $3$ orang datang dengan menggunakan pesawat, $3$ orang dengan bus, $1$ orang dengan mobil pribadi, dan $2$ orang dengan kereta sekitar $\boxed{0,\!0387}$

Jawaban a)
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi multinomial karena ada tiga kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu kejadian pekerja yang merupakan: (1) pengguna kokain, (2) pengguna mariyuana, dan (3) narkoba jenis lain.
Misalkan $X_1, X_2,$ dan $X_3$ merupakan variabel acak diskret yang berturut-turut menyatakan banyaknya pekerja yang merupakan pengguna kokain, mariyuana, dan narkoba jenis lain.
Diketahui
$$\begin{array}{ccc} \hline x_1 = 2 & x_2 = 5 & x_3 = 3 \\ p_1 = 0,\!225 & p_2 = 0,\!544 & p_3 = 0,\!231 \\ n = 10 & & \\ \hline \end{array}$$dengan $p_1, p_2$ dan $p_3$ berturut-turut menyatakan peluang pecandu narkoba merupakan pengguna kokain, mariyuana, dan narkoba jenis lain. Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} f\left(2, 5, 3 \mid 0,\!225; 0,\!544; 0,\!231, 10\right) & = \displaystyle \binom{10}{2, 5, 3} \left(0,\!225\right)^2 \left(0,\!544\right)^5 \left(0,\!231\right)^3 \\ & \approx 0,\!0749. \end{aligned}$$Jadi, dari $10$ pekerja yang merupakan pecandu narkoba, peluang bahwa $2$ pekerja di antaranya merupakan pengguna kokain, $5$ pengguna mariyuana, dan $3$ pekerja sisanya merupakan pengguna narkoba jenis lain sekitar $\boxed{0,\!0749}$
Jawaban b)
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu kejadian pekerja (1) merupakan pengguna mariyuana dan (2) bukan pengguna mariyuana.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang berturut-turut menyatakan banyaknya pekerja yang merupakan pengguna mariyuana. Diketahui $n = 10,$ $x = 10,$ dan peluang pecandu narkoba merupakan pengguna mariyuana adalah $p = 0,\!544.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 10) & = b(10; 10, 0,\!544) \\ & = \displaystyle \binom{10}{10} \left(0,\!544\right)^2 \left(0,\!456\right)^{10-10} \\ & \approx 0,\!0023. \end{aligned}$$Jadi, dari $10$ pekerja yang merupakan pecandu narkoba, peluang bahwa semuanya merupakan pengguna mariyuana sekitar $\boxed{0,\!0023}$
Jawaban c)
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial karena ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat bebas, yaitu kejadian pekerja (1) merupakan pengguna kokain dan (2) bukan pengguna kokain.
Misalkan $Y$ merupakan variabel acak diskret yang berturut-turut menyatakan banyaknya pekerja yang merupakan pengguna kokain. Diketahui $n = 10,$ $y = 0,$ dan peluang pecandu narkoba merupakan pengguna kokain adalah $p = 0,\!225.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(Y = 0) & = b(0; 10, 0,\!225) \\ & = \displaystyle \binom{10}{0} \left(0,\!255\right)^0 \left(0,\!775\right)^{10-0} \\ & \approx 0,\!0782. \end{aligned}$$Jadi, dari $10$ pekerja yang merupakan pecandu narkoba, peluang bahwa tidak ada satu pun dari mereka yang menggunakan pengguna kokain sekitar $\boxed{0,\!0782}$