Soal dan Pembahasan – Faktorial

Istilah faktorial mungkin pertama kali dimunculkan saat kita akan mempelajari materi mengenai prinsip permutasi dan kombinasi. Dalam matematika, faktorial didefinisikan sebagai berikut.

Definisi: Faktorial

Faktorial dari bilangan asli $n$, dinotasikan $n!$ (dibaca: $n$ faktorial), adalah perkalian semua bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan $n$. Secara matematis, ditulis
$\begin{aligned} n! & = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times (n-1) \times n \\ & = n \times (n-1) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1 \end{aligned}$
Ekspresi faktorial dalam notasi pi (hasil kali) adalah
$n! = \displaystyle \prod_{k=1}^n k$
Ekspresi faktorial dalam relasi rekurensi adalah
$n! = \begin{cases} 1, &~\text{jika}~n = 0 \\ (n-1)! \times n, &~\text{jika}~n > 0 \end{cases}$
Selanjutnya, didefinisikan bahwa $0! = 1$ dan faktorial dari bilangan negatif tidak terdefinisi (tidak memiliki arti).

Perhatikan bahwa notasi faktorial menggunakan simbol berupa tanda seru (exclamation mark). Konsep faktorial selanjutnya banyak diaplikasikan dalam bidang kombinatorika. Untuk itu, berikut disajikan soal dan pembahasan terkhusus mengenai faktorial yang diharapkan dapat menambah wawasan mengenai materi yang bersangkutan. Soal juga dapat diunduh dengan mengklik tautan berikut: Download (PDF)

Poem by Shane Dizzy Sukardy

Sekaleng soda menemani saat hujan mulai reda.
Kala itu sang pesepeda bagai seorang laskar berkuda,
melukiskan jejak dengan hanya sedikit bersabda,
mengingat besok adalah hari yang berwarna dan bernada.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Nilai dari $\dfrac{100! \times 2}{99!}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $50$                     C. $150$                 E. $9900$
B. $100$                   D. $200$

Pembahasan

Gunakan prinsip faktorial.
$\begin{aligned} \dfrac{100! \times 2}{99!} & = \dfrac{100 \times \cancel{99!} \times 2}{\cancel{99!}} \\ & = 100 \times 2 = 200 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{100! \times 2}{99!} = 200}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2
Hasil dari $\dfrac{11!-10!}{9!}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $50$                     C. $80$                     E. $200$
B. $75$                     D. $100$

Pembahasan

Dengan menggunakan definisi faktoral dan sifat distributif bilangan, kita akan memperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{11!-10!}{9!} & = \dfrac{11 \cdot 10!-10!}{9!} \\ & = \dfrac{(11-1) \cdot 10!}{9!} \\ & = \dfrac{10 \cdot 10 \cdot \cancel{9!}}{\cancel{9!}} \\ & = 10 \cdot 10 = 100 \end{aligned}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 3
Hasil dari $\dfrac{15!-14!}{8!-7!}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$
B. $15 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9$
C. $13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$
D. $14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 2$
E. $14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$

Pembahasan

Gunakan definisi faktorial dan sifat distributif bilangan.
$$\begin{aligned} \dfrac{15!-14!}{8!-7!} & = \dfrac{15 \cdot 14!-14!}{8 \cdot 7!-7!} \\ & = \dfrac{(15-1) \cdot 14!}{(8-1) \cdot 7!} \\ & = \dfrac{\cancelto{2}{14} \cdot 14!}{\cancel{7} \cdot 7!} \\ & = \dfrac{2 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \cancel{7!}}{\cancel{7!}} \\ & = 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 2 \end{aligned}$$(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Nilai dari $\dfrac{32^{9!}}{8^{8!}} \div (16^{9!} \cdot 64^{8!}) = \cdots \cdot$
A. $0$                    C. $2$                    E. $8$
B. $1$                    D. $4$

Pembahasan

Perhatikan bahwa semua basis pada ekspresi di atas merupakan hasil perpangkatan dari $2$. Jadi, kita ubah semuanya menjadi berbasis $2$, lalu sederhanakan menggunakan sifat-sifat eksponen.
$$\begin{aligned} \dfrac{32^{9!}}{8^{8!}} \div (16^{9!} \cdot 64^{8!}) & = \dfrac{(2^5)^{9!}}{(2^3)^{8!}} \div ((2^4)^{9!} \cdot (2^6)^{8!}) \\ & = 2^{5 \cdot 9! -3 \cdot 8!} \div (2^{4 \cdot 9! + 6 \cdot 8!} \\ & = 2^{5 \cdot 9!-3 \cdot 8!-4 \cdot 9!-6 \cdot 8!} \\ & = 2^{(5-4)9!-(3+6)8!} \\ & = 2^{\color{red}{1 \cdot 9!}-\color{blue}{9 \cdot 8!}} \\ & = 2^{\color{red}{9!}-\color{blue}{9!}} = 2^0 = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{32^{9!}}{8^{8!}} \div (16^{9!} \cdot 64^{8!}) = 1}$
(Jawaban B)

[collapse]
 

Soal Nomor 5
Hasil dari $\dfrac{(n-1)!}{n!} = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{n}$                           D. $n-1$
B. $n^2-n$                    E. $n$
C. $n-2$

Pembahasan

Berdasarkan definisi faktorial, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{(n-1)!}{n!} & = \dfrac{\cancel{(n-1)!}}{n \cdot \cancel{(n-1)!}} \\ & = \dfrac{1}{n} \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{\dfrac{(n-1)!}{n!} = \dfrac{1}{n}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 6
Nilai $n$ yang memenuhi persamaan $(n+3)! = 10(n+2)!$
adalah $\cdots \cdot$
A. $5$                      C. $8$                   E. $11$
B. $7$                      D. $9$

Pembahasan

Berdasarkan definisi faktorial, diperoleh
$\begin{aligned} (n+3)! & = 10(n+2)! \\ (n+3) \times \cancel{(n+2)!} & = 10\cancel{(n+2)!} \\ n+3 & = 10 \\ n & = 7 \end{aligned}$
Jadi, nilai $n$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{7}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika $\dfrac{n!}{(n-2)!} = 20$, maka nilai dari $n^2+5n-3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $23$                   C. $42$                     E. $52$
B. $32$                   D. $47$

Pembahasan

Pertama, kita akan mencari nilai $n$ dengan menyelesaikan persamaan $\dfrac{n!}{(n-2)!} = 20$ menggunakan definisi faktorial.
$\begin{aligned} \dfrac{n \times (n-1) \times \cancel{(n-2)!}}{\cancel{(n-2)!}} & = 20 \\ n(n-1) & = 20 \\ n^2-n-20 & = 0 \\ (n-5)(n+4) & = 20 \end{aligned}$
Diperoleh $n = 5$ atau $n = -4$.
Karena $n = -4$ mengakibatkan $n!$ tidak terdefinisi, maka kita ambil $n = 5$.
Jadi, nilai dari $\boxed{n^2+5n-3 = (5)^2+5(5)-3 = 47}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Jika $\dfrac{(n+1)!}{(n-2)!} = \dfrac{n!}{(n-4)!}$, maka pernyataan berikut yang tepat mengenai nilai $n$ adalah $\cdots \cdot$
A. $n$ merupakan bilangan prima
B. $n$ merupakan bilangan dua-digit
C. $n$ merupakan bilangan genap
D. $n$ merupakan bilangan kelipatan $3$
E. $n$ memiliki lebih dari $2$ faktor

Pembahasan

Berdasarkan definisi faktorial, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{(n+1)!}{(n-2)!} & = \dfrac{n!}{(n-4)!} \\ \dfrac{(n+1) \times \bcancel{n!}}{(n-2) \times (n-3) \times \cancel{(n-4)!}} & = \dfrac{\bcancel{n!}}{\cancel{(n-4)!}} \\ \dfrac{n+1}{(n-2)(n-3)} & = 1 \\ n+1 & = (n-2)(n-3) \\ n+1 & = n^2-5n+6 \\ n^2-6n+5 & = 0 \\ (n-5)(n-1) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $n=5$ atau $n=1$.
Karena $n=1$ mengakibatkan ekspresi $(n-2)!$ tidak terdefinisi, maka kita ambil $n = 5$. Pernyataan yang benar adalah $n=5$ merupakan bilangan prima.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 9
Bentuk sederhana dari $\dfrac{1}{2!} + \dfrac{2}{3!} + \dfrac{3}{4!} + \dfrac{4}{5!} + \cdots + \dfrac{99}{100!}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1-\dfrac{1}{100!}$                     D. $1+\dfrac{1}{50!}$
B. $1+\dfrac{1}{100!}$                    E. $1-\dfrac{1}{99!}$
C. $1-\dfrac{1}{50!}$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \dfrac{k}{(k+1)!} & = \dfrac{k+1}{(k+1)!}-\dfrac{1}{(k+1)!} \\ & = \dfrac{\cancel{k+1}}{\cancel{(k+1)} \times k!} -\dfrac{1}{(k+1)!} \\ & = \dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{(k+1)!} \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{1}{2!} + \dfrac{2}{3!} + \dfrac{3}{4!} + \dfrac{4}{5!} + \cdots + \dfrac{99}{100!} \\ & = \left(\dfrac{1}{1!}-\cancel{\dfrac{1}{2!}}\right) + \left(\cancel{\dfrac{1}{2!}}-\cancel{\dfrac{1}{3!}}\right)+\cdots+\left(\cancel{\dfrac{1}{99!}}-\dfrac{1}{100!}\right) \\ & = 1-\dfrac{1}{100!} \end{aligned}$$Catatan: Prinsip pencoretan (kanselasi) sehingga suku-sukunya saling menghilangkan seperti di atas dikenal dengan istilah Prinsip Teleskopik.
Jadi, bentuk sederhananya adalah $\boxed{1-\dfrac{1}{100!}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 10
Misalkan $N = (1!)^3 + (2!)^3 + (3!)^3$ $+ \cdots + (2018!)^3$. Jika tiga digit terakhir dari $N$ adalah $\overline{abc}$, maka nilai $a+b+c=\cdots \cdot$
A. $9$                    C. $11$                   E. $13$
B. $10$                  D. $12$

Pembahasan

Tiga digit terakhir dari $N$ sama dengan tiga digit terakhir dari
$Q = (1!)^3+(2!)^3+(3!)^3+(4!)^3$
Ini terjadi karena untuk $m > 4$, berlaku $10~|~m!$, artinya $m!$ habis dibagi $10$. Akibatnya, $1000~|~(m!)^3$.
Dengan kata lain, tiga digit terakhir dari $(5!)^3, (6!)^3$, dan seterusnya adalah $000$.
Sekarang, perhatikan bahwa
$\begin{aligned} Q & = (1!)^3+(2!)^3+(3!)^3+(4!)^3 \\ & = (1)^3 + (2)^3 + (6^3) + (24^3) \\ & = 1 + 8 + 216 + 13824 = 14\color{red}{049} \end{aligned}$
Jadi, tiga digit terakhir dari $N$ adalah $\overline{abc} = 049$ sehingga $\boxed{a+b+c=0+4+9=13}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 11
Sisa pembagian $1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3!$ $+ \cdots + 99 \cdot 99! + 100 \cdot 100!$ oleh $101$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                    C. $21$                  E. $100$
B. $11$                  D. $99$

Pembahasan

Misalkan:
$$\begin{aligned} x & = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \cdots + 99 \cdot 99! + 100 \cdot 100! \\ y & = 2 \cdot 1! + 3 \cdot 2! + 4 \cdot 3! + \cdots + 100 \cdot 99! + 101 \cdot 100! \end{aligned}$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \color{red}{y}-x & = (2-1) \cdot 1! + (3-2) \cdot 2! + (4-3) \cdot 3! + \cdots + (100-99) \cdot 99! + (101-100) \cdot 100! \\ & = 1 \cdot 1! + 1 \cdot 2! + 1 \cdot 3! + \cdots + 1 \cdot 99! + 1 \cdot 100! \\ & = 1! + 2! + 3! + \cdots + 99! + 100! \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $y$ juga dapat ditulis dalam ekspresi lain, yaitu
$y = 2! + 3! + 4! + \cdots + 100! + 101!$
Sekarang, substitusi ekspresi $y$ ini ke persamaan sebelumnya (mengganti nilai $y$ yang diberi warna merah di atas).
$$\begin{aligned} \color{red}{y}-x & = 1!+2!+3!+\cdots+99!+100! \\ (2! + 3! + 4! + \cdots + 100!+101!)-x & = 1!+2!+3!+\cdots+99!+100! \\ x & = (\cancel{2!+3!+4!+\cdots+100!}+101!)-(1!+\cancel{2!+3!+\cdots+99!+100!}) \\ x & = 101!-1 \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $101!$ jelas habis dibagi $101$ karena memuat faktor $101$. Ketika dikurangi $\color{blue}{1}$, maka sisa pembagiannya menjadi $101-\color{blue}{1} = 100$.
Jadi, sisa pembagian $1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3!$ $+ \cdots + 99 \cdot 99! + 100 \cdot 100!$ oleh $101$ adalah $\boxed{100}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 12
Jika $\dfrac{(120!+1)!-((5!)!)!}{(120!-1)!} = \left[(a!)!\right]^b$, maka nilai dari $(a-b)! = \cdots \cdot$

A. $1$                     C. $3$                    E. $6$
B. $2$                     D. $5$

Pembahasan

Gunakan sifat faktorial berikut.
$\boxed{n! = n(n-1)!}$
Perhatikan bahwa $5! = 120$.
Kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{(120!+1)!-(120!)!}{(120!-1)!} & = \left[(a!)!\right]^b \\ \dfrac{(120!+1)(120!)\cancel{(120!-1)!}-(120!)\cancel{(120!-1)!}}{\cancel{(120!-1)!}} & = \left[(a!)!\right]^b \\ (120!+1)!(120!)-120! & = \left[(a!)!\right]^b \\ 120!((120! + 1)-1) & = \left[(a!)!\right]^b \\ 120!(120!) & = \left[(a!)!\right]^b \\ (120!)^2 = ((5!)!)^2 & = \left[(a!)!\right]^b \end{aligned}$$Diperoleh $a = 5$ dan $b = 2$, sehingga $\boxed{(a-b)! = (5-2)! = 3! = 6}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 13
Diketahui $P = 10 \cdot (9!)^{\frac12}$, $Q = 9 \cdot (10!)^{\frac12}$, dan $R = (11!)^{\frac12}$, dengan $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1)n$. Pengurutan yang benar dari ketiga bilangan di atas adalah $\cdots \cdot$
A. $R<P<Q$                     D. $Q<R<P$
B. $P<Q<R$                     E. $P<R<Q$
C. $R<Q<P$

Pembahasan

Jika $P = 10 \cdot (9!)^{\frac12}$, maka $P^2 = 10^2 \cdot 9! = 10 \cdot 10!$.
Jika $Q = 9 \cdot (10!)^{\frac12}$, maka $Q^2 = 9^2 \cdot 10! = 82 \cdot 10!$.
Jika $R = (11!)^{\frac12}$, maka $R^2 = 11! = 11 \cdot 10!$.
Dengan demikian, $Q^2 > R^2 > P^2$, mengimplikasikan bahwa $\boxed{P < R < Q}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 14
Diketahui bahwa $\dfrac{((3!)!)!}{3!} = k \cdot n!$, dengan $k$ dan $n$ adalah bilangan bulat positif dan nilai $n$ harus sebesar mungkin. Nilai $k + n = \cdots \cdot$
A. $120$                 C. $739$                 E. $859$
B. $719$                 D. $839$

Pembahasan

Gunakan definisi faktorial untuk memperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{((3!)!)!}{3!} & = \dfrac{(6!)!}{6} = \dfrac{720!}{6} \\ & = \dfrac{720 \cdot 719!}{6} \\ & = 120 \cdot 719! = k \cdot n! \end{aligned}$
Jelas kita tidak dapat membuat nilai $n$ lebih besar lagi karena $k$ harus tetap merupakan bilangan bulat.
—–
Catatan: Jika $k$ tidak harus bulat, maka kita bisa tuliskan menjadi

$\begin{aligned} 120 \cdot 719! & = \dfrac16 \cdot 720 \cdot 719! \\ & = \dfrac16 \cdot 720! \end{aligned}$
Dalam hal ini, kita dapat membuat nilai $n$ membesar.
—–
Jadi, diperoleh $k = 120$ dan $n = 719$ sehingga $\boxed{k+n=120+719=839}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 15
Banyaknya angka nol terakhir (trailing zeros) pada bilangan $320!$ adalah $\cdots \cdot$
A. $64$                    C. $72$                    E. $82$
B. $68$                    D. $78$

Pembahasan

Angka nol terakhir pada suatu bilangan ditentukan oleh banyaknya faktor bilangan $10$ yang dimuat oleh bilangan tersebut. Perhatikan bahwa faktor $10$ sendiri adalah $2$ dan $5$.
Bilangan $320!$ memuat banyak sekali faktor $2$, tetapi tidak untuk faktor $5$.
Jadi, kita hanya perlu menghitung banyaknya faktor $5$ pada bilangan $320!$.
$320!$ memiliki $\displaystyle \lfloor\dfrac{320}{5}\rfloor = 64$ suku yang habis dibagi oleh $5^1$, yaitu $5, 10, 15, 20, \cdots, 320$.
$320!$ memiliki $\displaystyle \lfloor\dfrac{320}{25}\rfloor = 12$ suku yang habis dibagi $5^2$, yaitu $25, 50, 75, \cdots, 300$.
$320!$ memiliki $\displaystyle \lfloor\dfrac{320}{125}\rfloor = 2$ suku yang habis dibagi $5^3$, yaitu $125$ dan $250$.
Banyaknya faktor $5$ secara keseluruhan adalah $64+12+2 = 78$ dan tentunya banyaknya faktor $2$ lebih dari ini.
Jadi, bilangan $320!$ dapat ditulis menjadi
$2^{78} \times 5^{78} \times \cdots = 10^{78} \times \cdots$
Dengan kata lain, ada $\boxed{78}$ angka nol terakhir pada bilangan $320!$.
(Jawaban D)

[collapse]

Fungsi Atap dan Fungsi Lantai

Fungsi atap (ceiling function) didefinisikan sebagai fungsi yang memetakan bilangan real $x$ ke bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $x$. Fungsi atap dinotasikan $\text{ceil}(x) = \lceil x \rceil$. Sebagai contoh, $\text{ceil}(2,4) = \lceil 2,4 \rceil = 3$.
Fungsi lantai (floor function) didefinisikan sebagai fungsi yang memetakan bilangan real $x$ ke bilangan bulat terkecil yang lebih dari atau sama dengan $x$. Fungsi lantai dinotasikan $\text{floor}(x) = \lfloor x \rfloor$. Sebagai contoh, $\text{floor}(2,4) = \lfloor 2,4 \rfloor = 2$.

Soal Nomor 16
Jika $75! = a \cdot 3^b$ dengan $a, b$ bilangan asli, maka nilai maksimum dari $b$ adalah $\cdots \cdot$
A. $32$                    C. $35$                 E. $48$
B. $34$                    D. $42$

Pembahasan

Kita akan mencari banyak faktor $3$ pada bilangan $75!$.
Banyaknya faktor $3$ pada bilangan $75!$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lfloor\dfrac{75}{3}\rfloor + \lfloor\dfrac{75}{9}\rfloor + \lfloor\dfrac{75}{27}\rfloor \\ & = 25 + 8 + 2 = 35 \end{aligned}$
Jadi, $75!$ dapat ditulis menjadi $a \times 3^{35}$ sehingga nilai maksimum dari $b$ adalah $\boxed{35}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 17
Jika $100! = a \cdot 4^b$ dengan $a, b$ bilangan asli, maka nilai maksimum dari $b$ adalah $\cdots \cdot$
A. $35$                   C. $40$                 E. $48$
B. $38$                   D. $42$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $4^b = 2^{2b}$.
Kita akan mencari banyak faktor $2$ pada bilangan $100!$.
Banyaknya faktor $2$ pada bilangan $100!$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lfloor\dfrac{100}{2}\rfloor + \lfloor\dfrac{100}{4}\rfloor + \lfloor\dfrac{100}{8}\rfloor + \lfloor\dfrac{100}{16}\rfloor + \lfloor\dfrac{100}{32}\rfloor + \lfloor\dfrac{100}{64}\rfloor \\ & = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97 \end{aligned}$$Jadi, $100!$ dapat ditulis menjadi $a \times 2^{97}$, sedangkan $2^{97} = 2^{2 \cdot 48 + 1} = 4^{48} \times 2$.
Dengan demikian, nilai maksimum dari $b$ adalah $\boxed{48}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 18
Misalkan $P$ adalah hasil kali $100$ bilangan ganjil pertama. Bilangan bulat terbesar $k$ sedemikian sehingga $P$ habis dibagi oleh $3^k$ adalah $\cdots \cdot$
A. $97$                    C. $53$                   E. $35$
B. $85$                    D. $49$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $100$ bilangan ganjil pertama dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} & 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots 197 \cdot 199 \\ & = \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 199 \cdot 200}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 198 \cdot 200} \\ & = \dfrac{200!}{2^{100} \cdot 100!} \end{aligned}$
Jelas bahwa $2^{100}$ tidak memuat faktor $3$.

Dengan demikian, kita akan mencari banyak faktor $3$ pada $200!$, dikurangi dengan banyak faktor $3$ pada $100!$.
Banyaknya faktor $3$ pada bilangan $200!$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lfloor\dfrac{200}{3}\rfloor + \lfloor\dfrac{200}{9}\rfloor + \lfloor\dfrac{200}{27}\rfloor + \lfloor\dfrac{200}{81}\rfloor \\ & = 66 + 22 + 7 + 2 = 97 \end{aligned}$
Banyaknya faktor $3$ pada bilangan $100!$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} & \displaystyle  \lfloor\dfrac{100}{3}\rfloor + \lfloor\dfrac{100}{9}\rfloor + \lfloor\dfrac{100}{27}\rfloor + \lfloor\dfrac{100}{81}\rfloor \\ & = 33 + 11 + 3 + 1 = 48 \end{aligned}$
Jadi, banyak faktor $3$ pada hasil kali $100$ bilangan ganjil pertama adalah $\boxed{97-48=49}$, yang menunjukkan bahwa hasil kalinya habis dibagi oleh $3^{49}$.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 19 
Bilangan bulat positif terbesar $k$ sehingga $12^k$ membagi $66!$ adalah $\cdots \cdot$
A. $15$                    C. $29$                  E. $32$
B. $18$                    D. $31$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$12^k = (2^2 \cdot 3)^k = 2^{2k} \cdot 3^k$.
Kita akan mencari banyak faktor $2$ pada bilangan $66!$.
Banyaknya faktor $2$ pada bilangan $66!$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lfloor\dfrac{66}{2}\rfloor + \lfloor\dfrac{66}{4}\rfloor + \lfloor\dfrac{66}{8}\rfloor + \lfloor\dfrac{66}{16}\rfloor + \lfloor\dfrac{66}{32}\rfloor + \lfloor\dfrac{66}{64}\rfloor \\ & = 33 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 64 \end{aligned}$$Selanjutnya, kita akan mencari banyak faktor $3$ pada bilangan $66!$, yaitu
$\begin{aligned} & \displaystyle \lfloor\dfrac{66}{3}\rfloor + \lfloor\dfrac{66}{9}\rfloor + \lfloor\dfrac{66}{27}\rfloor \\ & = 22 + 7 + 2 = 31 \end{aligned}$
Jadi, disimpulkan bahwa $66!$ memuat faktor berikut.
$\begin{aligned} 2^{64} \cdot 3^{31} & = 4^{32} \cdot 3^{31} \\ & = 4 \cdot 4^{31} \cdot 3^{31} \\ & = 4 \cdot 12^{31} \end{aligned}$
Jadi, bilangan bulat positif terbesar $k$ sehingga $12^k$ membagi $66!$ adalah $\boxed{31}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 20 ($\bigstar$)
Banyaknya bilangan kubik (pangkat $3$) yang menjadi faktor dari hasil perkalian $1! \cdot 2! \cdot 3! \cdots 10!$ adalah $\cdots \cdot$
A. $324$                  C. $468$                   E. $516$
B. $384$                  D. $472$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} & 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdots 10! \\ & = 1! \cdot (1 \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3) \cdots (1 \cdot 2 \cdots 10) \\ & = 2^9 \cdot 3^8 \cdot 4^7 \cdot 5^6 \cdot 6^5 \cdot 7^4 \cdot 8^3 \cdot 9^2 \cdot 10 \\ & = 2^9 \cdot 3^8 \cdot 2^{14} \cdot 5^6 \cdot (2^5 \cdot 3^5) \cdot 7^4 \cdot 2^9 \cdot 3^4 \cdot (2 \cdot 5) \\ & = 2^{38} \cdot 3^{17} \cdot 5^7 \cdot 7^4 \\ & = 2^2 \cdot \color{red}{(2^3)^{12}} \cdot 3^2 \cdot \color{red}{(3^3)^5} \cdot 5 \cdot \color{red}{(5^3)^2} \cdot 7 \cdot \color{red}{7^3} \end{aligned}$$Tinjau bilangan pangkat yang ditandai dengan warna merah di atas.

Pada $(2^3)^{12}$, akan ada $12+1 = 13$ bilangan kubik yang membagi habis bilangan tersebut.
Pada $(3^3)^5$, akan ada $5+1 = 6$ bilangan kubik yang membagi habis bilangan tersebut.
Pada $(5^3)^2$, akan ada $2+1 = 3$ bilangan kubik yang membagi habis bilangan tersebut.
Pada $7^3$, akan ada $1+1=2$ bilangan kubik yang membagi habis bilangan tersebut.
Catatan: Selalu ditambah $1$ karena setiap bilangan di atas pasti habis dibagi oleh satu bilangan kubik yang tetap, yakni $1^3=1$.
Secara keseluruhan, ada $\boxed{13 \times 6 \times 3 \times 2 = 468}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 21
Jika $\dfrac{x!}{y!} = 720$ untuk $x, y$ bilangan cacah, berapa banyak pasangan $(x, y)$ yang memenuhi?
A. $1$                     C. $3$                 E. $5$
B. $2$                     D. $4$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $720 = 6!$.
Dengan demikian, $(x, y) = (6, 0)$ dan $(x, y) = (6, 1)$ memenuhi persamaan faktorial tersebut.
Selain itu, $\dfrac{720!}{719!} = 720$.
sehingga $(x, y) = (720, 719)$ juga memenuhi persamaan.
Selain itu, $720 = 10 \times 9 \times 8$. Dengan demikian,
$720 = \dfrac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7!} = \dfrac{10!}{7!}$
sehingga $(x, y) = (10, 7)$ memenuhi persamaan.
Secara keseluruhan, ada $\boxed{4}$ pasangan nilai $(x, y)$ yang memenuhi persamaan tersebut.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 22
Nilai dari $\dfrac{1}{^2 \log 100!} + \dfrac{1}{^3 \log 100!} + \dfrac{1}{^4 \log 100!}$ $+ \cdots + \dfrac{1}{^{100} \log 100!}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0,01$                   C. $1$                  E. $10$
B. $0,1$                     D. $2$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $\dfrac{1}{^a \log b} = ^b \log a$.
Dengan menggunakan sifat logaritma tersebut beserta sifat penjumlahan logaritma, diperoleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{1}{^2 \log 100!} + \dfrac{1}{^3 \log 100!} + \dfrac{1}{^4 \log 100!} + \cdots + \dfrac{1}{^{100} \log 100!} \\ & = ^{100!} \log 2 + ^{100!} \log 3 + ^{100!} \log 4 + \cdots + ^{100!} \log 100 \\ & = ^{100!} \log (2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots 100) \\ & = ^{100!} \log 100! = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\dfrac{1}{^2 \log 100!} + \dfrac{1}{^3 \log 100!} + \dfrac{1}{^4 \log 100!}$ $+ \cdots + \dfrac{1}{^{100} \log 100!}$ sama dengan $\boxed{1}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 23
Digit terakhir dari jumlah faktorial $2020$ bilangan prima pertama adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                   C. $4$                  E. $8$
B. $2$                   D. $6$

Pembahasan

Perhatikan bahwa untuk setiap $n \geq 5$, digit terakhir dari $n!$ bernilai $0$.
Bilangan prima meliputi: $2, 3, 5, 7, 11, \cdots$ sehingga jumlah faktorial dari $2020$ bilangan prima pertama dinyatakan oleh
$\underbrace{2! + 3! + 5! + 7! + 11! + \cdots}_{\text{ada}~2020~\text{suku}}$
Digit terakhir selain $2!$ dan $3!$ adalah $0$. Karena $2! = 2$ dan $3! = 6$, maka digit terakhir dari penjumlahan faktorial tersebut adalah $\boxed{2+6+0+\cdots+0= 8}$
(Jawaban E)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Hitunglah.
a. $3! + 2! + 1!$
b. $4!-(3!-2!)!+3!$
c. $4! \times 3! + 3! \times 4$
d. $\dfrac{9!}{8!} + \dfrac{5!}{3!}$

Pembahasan

Jawaban a)
$\begin{aligned} 3!+2!+1! & = (3 \cdot 2 \cdot 1)+(2 \cdot 1)+1 \\ & = 6+2+1 =9 \end{aligned}$
Jawaban b)
Perhatikan bahwa $4! = 24$ dan $3! = 6$.
$\begin{aligned} 4!-(3!-2!)!+3! & = 24-(6-2)!+6 \\ & = 24-4!+6 \\ & = 24-24+6 = 6 \end{aligned}$
Jawaban c)
$\begin{aligned} 4! \times 3! + 3! \times 4 & = 24 \times 6 + 6 \times 4 \\ & = 144+24=168 \end{aligned}$
Jawaban d)
$\begin{aligned} \dfrac{9!}{8!} + \dfrac{5!}{3!} & = \dfrac{9 \times \cancel{8!}}{\cancel{8!}} + \dfrac{5 \times 4 \times \cancel{3!}}{\cancel{3!}} \\ & = 9 + (5 \times 4) = 29 \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan nilai $n$ yang memenuhi setiap persamaan berikut.
a. $\dfrac{10!}{7!} = n(n-1)(n-2)$
b. $\dfrac{9!}{3!} = 5!(n-1)(n)(n+1)$

Pembahasan

Jawaban a)
$\begin{aligned} \dfrac{10!}{7!} & = n(n-1)(n-2) \\ \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \cancel{7!}}{\cancel{7!}} & = n(n-1)(n-2) \\ 10 \cdot 9 \cdot 8 & = n(n-1)(n-2) \end{aligned}$
Dari sini, disimpulkan bahwa $\boxed{n = 10}$ memenuhi persamaan tersebut.
Jawaban b)
$\begin{aligned} \dfrac{9!}{3!} & = 5!(n-1)(n)(n+1) \\ \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \bcancel{6} \cdot \cancel{5!}}{\bcancel{3 \cdot 2}} & = \cancel{5!}(n-1)(n)(n+1) \\ 9 \cdot 8 \cdot 7 & = (n+1)(n)(n-1) \end{aligned}$
Dari sini, disimpulkan bahwa $\boxed{n = 8}$ memenuhi persamaan tersebut.

[collapse]

Soal Nomor 3
Carilah faktorisasi prima dari $10!$.

Pembahasan

Berdasarkan definisi faktorial, kita dapat tuliskan
$$\begin{aligned} 10! & = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \\ & = (2 \cdot 5) \cdot 3^2 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3) \cdot 5 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 2 \\ & = 2^{1+3+1+2+1} \cdot 3^{2+1+1} \cdot 5^{1+1} \cdot 7 \\ & = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7 \end{aligned}$$Jadi, faktorisasi prima dari $10!$ adalah $\boxed{2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Carilah bilangan prima terbesar yang habis membagi:
a. $5! + 6!$
b. $11! + 12!$

Pembahasan

Jawaban a)
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} 5! + 6! & = 5! + 6 \cdot 5! \\ & = (1+6) \cdot 5! \\ & = 7 \cdot 5! \end{aligned}$
Ini artinya, $7$ merupakan bilangan prima terbesar yang membagi habis $5!+6!$.
Jawaban b)
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} 11! + 12! & = 11! + 12 \cdot 11! \\ & = (1+12) \cdot 11! \\ & = 13 \cdot 11! \end{aligned}$
Ini artinya, $13$ merupakan bilangan prima terbesar yang membagi habis $11!+12!$.

[collapse]

Soal Nomor 5
Carilah semua bilangan asli yang merupakan faktor prima dari $20!$ dan tentukan banyaknya bilangan asli yang merupakan faktor dari $20!$.

Pembahasan

Kita tuliskan $20!$ dalam bentuk faktorisasi prima.
Perhatikan bahwa $20! = 20 \times 19 \times 18 \times \cdots \times 1$.
Agar tidak terlalu panjang, kita tuliskan dulu faktorisasi prima bilangan pengali ini masing-masing.
$\begin{aligned} 20 & = 2^2 \times 5 \\ 19 & = 19 \\ 18 & = 2 \times 3^2 \\ 17 & = 17 \\ 16 & = 2^4 \\ 15 & = 3 \times 5 \\ 14 & = 2 \times 7 \\ 13 & = 13 \\ 12 & = 2^2 \times 3 \\ 11 & = 11 \\ 10 & = 2 \times 5 \\ 9 & = 3^2 \\ 8 & = 2^3 \\ 7 & = 7 \\ 6 & = 2 \times 3 \\ 5 & = 5 \\ 4 & = 2^2 \\ 3 & = 3 \\ 2 & = 2 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} 20! & = 2^{2+1+4+1+2+1+3+1+2+1} \times 3^{2+1+1+2+1+1} \times 5^{1+1+1+1} \times 7^{1+1} \times 11 \times 13 \times 17 \\ & = 2^{18} \times 3^{8} \times 5^4 \times 7^2 \times 11 \times 13 \times 17 \end{aligned}$$Tampak bahwa bilangan asli yang merupakan faktor prima dari $20!$ adalah $2, 3, 5, 7, 11, 13$, dan $17$.
Banyaknya bilangan asli yang menjadi faktor dari $20!$ dapat dicari dengan menggunakan faktorisasi prima.

  1. Perhatikan pangkat dari masing-masing faktor prima.
  2. Tambahkan $1$ pada masing-masing pangkat.
  3. Kalikan semuanya.

Kita akan memperoleh,
$$\begin{aligned} & (18+1) \times (8+1) \times (4+1) \times (2+1) \times (1+1)\times (1+1) \times (1+1) \\ & = 19 \times 9 \times 5 \times 3 \times 2 \times 2 \times 2 \\ & = 20520 \end{aligned}$$Jadi, ada $\boxed{20520}$ bilangan asli yang menjadi faktor dari $20!$.

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika $N = 19!$, tuliskan $N$ dalam bentuk ekspresi $21!-20!$.

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} 21!-20! & = 21 \cdot 20!-20! \\ & = (21-1) \cdot 20! \\ & = 20 \cdot 20! \\ & = 20 \cdot 20 \cdot 19! \\ & = 400 \cdot 19! \end{aligned}$
Dari sini, diperoleh bahwa $\boxed{19! = \dfrac{1}{400}(21!-20!)}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Tentukan nilai $2n$ yang memenuhi:
$$\dfrac{1}{(2n)!} + \dfrac{1}{(2n+1)!} + \dfrac{1}{(2n+2)!} = \dfrac{1}{10!} + \dfrac{2(n+1)}{(2n+1)!}$$

Pembahasan

Kita kumpulkan ekspresi yang mengandung faktorial di ruas kiri dan tinggalkan $\dfrac{1}{10!}$ di ruas kanan.
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{(2n)!} + \dfrac{1}{(2n+1)!} + \dfrac{1}{(2n+2)!} & = \dfrac{1}{10!} + \dfrac{2(n+1)}{(2n+1)!} \\ \dfrac{1}{(2n)!} + \dfrac{1}{(2n+1)!}-\dfrac{2(n+1)}{(2n+1)!} + \dfrac{1}{(2n+2)!} & = \dfrac{1}{10!} \\ \dfrac{1}{(2n)!} + \dfrac{-2n-1}{(2n+1)!} + \dfrac{1}{(2n+2)!} & = \dfrac{1}{10!} \\ \dfrac{1}{(2n)!}-\dfrac{\cancel{2n+1}}{\cancel{(2n+1)}(2n)!} + \dfrac{1}{(2n+2)!} & = \dfrac{1}{10!} \\ \dfrac{1}{(2n)!}-\dfrac{1}{(2n)!} + \dfrac{1}{(2n+2)!} & = \dfrac{1}{10!} \\ \dfrac{1}{(2n+2)!} & = \dfrac{1}{10!} \\ (2n+2)! & = 10! \\ 2n+2 & = 10 \\ 2n & = 8 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $2n$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{8}$

[collapse]

Soal Nomor 8 ($\bigstar$)
Berapa banyak angka nol pada penjabaran $100^{100}-100!$?

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$100^{100} = (10^2)^{100} = 10^{200}$
yang artinya $100^{100}$ memiliki $200$ angka nol.
Sekarang, kita akan mencari $k$ terbesar sehingga $10^k$ membagi habis $100!$.
Karena $10^k = 2^k \cdot 5^k$ dan jelas bahwa faktor $2$ pasti lebih banyak dari faktor $5$, maka kita sebenarnya hanya perlu mencari nilai $k$ terbesar pada ekspresi $5^k$, yaitu
$\lfloor \dfrac{100}{5} \rfloor + \lfloor \dfrac{100}{25} \rfloor = 20 + 4 = 24$
Ini berarti, $100!$ habis dibagi oleh $10^{24}$.
Dengan demikian, dapat kita tuliskan
$100^{100}-100! = 10^{200}-a \times 10^{24}$
untuk suatu $a$ bilangan asli.
Banyak angka nol dari hasil pengurangan kedua bilangan itu ditentukan oleh banyak angka nol pada $10^{24}$, yaitu $\boxed{24}$
Ilustrasi:
Misal kita punya $10^4-34 \times 10 = 10000-340 = 9660$.
Ternyata, banyak angka nol pada $9660$ sama dengan banyak angka nol pada $34 \times 10 = 340$.

[collapse]

Soal Nomor 9 
Berapa banyak bilangan kuadrat positif yang habis membagi $(3! \cdot 5! \cdot 7!$)?

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} & 3! \cdot 5! \cdot 7! \\ & = (3 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2) \cdot (7 \cdot 6 \cdots 2) \\ & = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 4^2 \cdot 5^2 \cdot 6 \cdot 7 \\ & = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 2^4 \cdot 5^2 \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7 \\ & = 2^{3+4+1} \cdot 3^{3+1} \cdot 5^2 \cdot 7 \\ & = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7 \\ & = (2^2)^{\color{red}{4}} \cdot (3^2)^{\color{red}{2}} \cdot (5^2)^{\color{red}{1}} \cdot 7 \end{aligned}$
Perhatikan pangkat yang diberi warna merah, lalu tambahin $1$ pada masing-masingnya dan dikalikan. Kita akan memperoleh
$(4+1) \cdot (2+1) \cdot (1+1) = 5 \cdot 3 \cdot 2 = 30$
Jadi, ada $\boxed{30}$ bilangan kuadrat positif yang membagi habis $(3! \cdot 5! \cdot 7!$).

[collapse]

Soal Nomor 10 ($\bigstar$)
Diketahui $a$ dan $b$ merupakan bilangan bulat positif. Jika $\dfrac{a!}{b!}$ merupakan kelipatan $4$, tetapi bukan kelipatan $8$, tentukan nilai terbesar dari $(a-b)$.

Pembahasan

Diberikan $a, b$ bilangan bulat positif dengan $a > b$.
Misalkan $N = \dfrac{a!}{b!} = a(a-1)(a-2)\cdots(b+1)$.
Perhatikan bahwa $N$ merupakan hasil kali dari $a-(b+1)+1 = a-b$ bilangan asli berurutan.
Andaikan kita pilih $a = 5$ dan $b = 2$, diperoleh
$N = \dfrac{5!}{2!} = 5 \times 4 \times 3$.
Bilangan ini merupakan kelipatan $4$, tetapi bukan kelipatan $8$.
Jadi, $3$ adalah salah satu nilai $a-b$ yang mungkin.
Sekarang, jika $a-b = 4$, maka itu artinya $N$ merupakan hasil kali dari $4$ bilangan asli berurutan, sebut saja $p(p+1)(p+2)(p+3)$.
Jika $p$ ganjil, maka $(p+1)$ dan $(p+3)$ kelipatan $2$ dan salah satunya pasti merupakan kelipatan $4$, sehingga $N$ habis dibagi $8$.
Jika $p$ genap, maka $p$ dan $(p+2)$ kelipatan $2$ dan salah satunya pasti merupakan kelipatan $4$, sehingga $N$ habis dibagi $8$.
Dengan demikian, dapat ditarik suatu proposisi bahwa perkalian empat bilangan asli berurutan habis dibagi $8$.
Akibatnya, nilai $a-b$ terbesar agar $\dfrac{a!}{b!}$ merupakan bilangan kelipatan $4$, tetapi bukan kelipatan $8$, adalah $\boxed{3}$

[collapse]

Soal Nomor 11 ($\bigstar$)
Terdapat $a_2, a_3, a_4$, $a_5, a_6$, dan $a_7$ yang memenuhi $\dfrac57 = \dfrac{a_2}{2!} + \dfrac{a_3}{3!} + \dfrac{a_4}{4!} + \dfrac{a_5}{5!} + \dfrac{a_6}{6!} + \dfrac{a_7}{7!}$, untuk $0 \leq a_i < i$ dengan $i = 2, 3, 4, 5$, $6, 7$. Carilah nilai $a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7$.

Pembahasan

Perhatikan bahwa persamaan $\dfrac57 = \dfrac{a_2}{2!} + \dfrac{a_3}{3!} + \dfrac{a_4}{4!} + \dfrac{a_5}{5!} + \dfrac{a_6}{6!} + \dfrac{a_7}{7!}$ dapat ditulis dalam bentuk
$$\dfrac57 = \dfrac12 \times \left(a_2 + \dfrac13 \times \left(a_3 + \dfrac14 \times \left(a_4 + \dfrac15 \times \left(a_5 + \dfrac16 \times \left(a_6 + \dfrac{a_7}{7}\right)\right)\right)\right)\right)$$Kalikan $2$ pada kedua ruasnya dan kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{10}{7} & =a_2 + \dfrac13 \times \left(a_3 + \dfrac14 \times \left(a_4 + \dfrac15 \times \left(a_5 + \dfrac16 \times \left(a_6 + \dfrac{a_7}{7}\right)\right)\right)\right) \\ 1 + \dfrac37 & = a_2 + \dfrac13 \times \left(a_3 + \dfrac14 \times \left(a_4 + \dfrac15 \times \left(a_5 + \dfrac16 \times \left(a_6 + \dfrac{a_7}{7}\right)\right)\right)\right) \end{aligned}$$Dari sini, diperoleh $a_2 = 1$.
Selanjutnya, tersisa
$$\dfrac37 = \dfrac13 \times \left(a_3 + \dfrac14 \times \left(a_4 + \dfrac15 \times \left(a_5 + \dfrac16 \times \left(a_6 + \dfrac{a_7}{7}\right)\right)\right)\right)$$Kalikan $3$ pada kedua ruas dan kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac97 & = a_3 + \dfrac14 \times \left(a_4 + \dfrac15 \times \left(a_5 + \dfrac16 \times \left(a_6 + \dfrac{a_7}{7}\right)\right)\right) \\ 1 + \dfrac27 & = a_3 + \dfrac14 \times \left(a_4 + \dfrac15 \times \left(a_5 + \dfrac16 \times \left(a_6 + \dfrac{a_7}{7}\right)\right)\right) \end{aligned}$$Kita peroleh $a_3 = 1$.
Dengan melanjutkan menggunakan cara seperti ini, kita akan memperoleh $a_4 = 1$, $a_5 = 0$, $a_6 = 4$, dan $a_7 = 2$. Semua nilai $a_i$ memenuhi syarat $0 \leq a_i < i$.
Dengan demikian, $a_2+a_3+a_4+a_5$ $+a_6+a_7 = 1+1+1+0$ $+4+2 = 9$

[collapse]

Soal Nomor 12
Tentukan satu suku dari barisan $1!, 2!, 3!, 4!, \cdots, 100!$ sedemikian sehingga hasil kali suku-suku tersisa merupakan bilangan kuadrat.

Pembahasan

Kelompokkan perkalian suku-suku barisan itu menjadi $(1! \cdot 2!)(3! \cdot 4!)\cdots(99! \cdot 100!)$.
Selanjutnya, kita peroleh
$$\begin{aligned} & (1! \cdot 2 \cdot 1!)(3! \cdot 4 \cdot 3!)\cdots(99! \cdot 100 \cdot 99!) \\ & = ((1!)^2 \cdot (3!)^2 \cdots (99!)^2) \cdot (2 \cdot 4 \cdots 100) \\ & = (1! \cdot 3! \cdots 99!)^2 \cdot 2^50 \cdot (1 \cdot 2 \cdots 50) \\ & = (1! \cdot 3! \cdots 99!)^2 \cdot 2^50 \cdot \color{red}{50!} \end{aligned}$$Ekspresi $(1! \cdot 3! \cdots 99!)^2$ dan $2^{50}$ merupakan bilangan kuadrat. Dari sini, disimpulkan bahwa salah satu suku yang dapat dihilangkan adalah $\boxed{50!}$.

[collapse]

Soal Nomor 13 ($\bigstar$)
Tentukan nilai dari $\dfrac{1}{2015!} + \displaystyle \sum_{k=1}^{2014} \dfrac{k}{(k+1)!}$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{(k+1)!} & = \dfrac{(k+1)!-k!}{k!(k+1)!} \\ & = \dfrac{k!((k+1)-1)}{k!(k+1)!} \\ & = \dfrac{\cancel{k!} \cdot k}{\cancel{k!} \cdot (k+1)!} \\ & = \dfrac{k}{(k+1)!} \end{aligned}$
Dengan menggunakan sifat ini, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{2015!} + \displaystyle \sum_{k=1}^{2014} \dfrac{k}{(k+1)!} & = \dfrac{1}{2015!} + \sum_{k=1}^{2014} \left(\dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{(k+1)!}\right) \\ & = \dfrac{1}{2015!} + \left(\dfrac{1}{1!}-\dfrac{1}{(1+1)!}\right)+\left(\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{(2+1)!}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{2014!}-\dfrac{1}{(2014+1)!}\right) \\ & = \dfrac{1}{2015!} + \left(\dfrac{1}{1!}-\cancel{\dfrac{1}{2!}}\right)+\left(\cancel{\dfrac{1}{2!}}-\cancel{\dfrac{1}{3!}}\right)+\cdots+\left(\cancel{\dfrac{1}{2014!}}-\dfrac{1}{2015!}\right) \\ & = \dfrac{1}{2015!} + \dfrac{1}{1!}-\dfrac{1}{2015!} = 1 \end{aligned}$$Catatan: Dalam prosedur di atas, kita menerapkan prinsip teleskopik, yaitu suku-sukunya dibuat saling menghilangkan. 

[collapse]

Soal Nomor 14 ($\bigstar$)
Tentukan bentuk sederhana dari $\dfrac{3}{1! + 2! + 3!} + \dfrac{4}{2! + 3! + 4!} + \cdots$ $+ \dfrac{2001}{1999! + 2000! + 2001!}$.

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \dfrac{k+2}{k! + (k+1)! + (k+2)!} & = \dfrac{k+2}{k! + k!(k+1) + k!(k+1)(k+2)} \\ & = \dfrac{k+2}{k!(1 + (k+1) + (k+1)(k+2))} \\ & = \dfrac{k+2}{k!(k+2)(k+1)(k+2)} \\ & = \dfrac{k+2}{k!(k+2)(1 + (k+1))} \\ & = \dfrac{\cancel{k+2}}{k! \cancel{(k+2)}(k+2)} \\ & = \dfrac{1}{k!(k+2)} \\ & = \dfrac{k+1}{k!(k+1)(k+2)} \\ & = \dfrac{k+1}{(k+2)!} \\ & = \dfrac{(k+2)-1}{(k+2)!} \\ & = \dfrac{k+2}{(k+2)!}-\dfrac{1}{(k+2)!} \\ & = \dfrac{1}{(k+1)!}-\dfrac{1}{(k+2)!} \end{aligned}$$Dengan menerapkan pernyataan di atas beserta prinsip teleskopik, kita peroleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{3}{1! + 2! + 3!} + \dfrac{4}{2! + 3! + 4!} + \cdots + \dfrac{2001}{1999! + 2000! + 2001!} \\ & = \left(\dfrac{1}{2!}-\cancel{\dfrac{1}{3!}}\right)+\left(\cancel{\dfrac{1}{3!}-\dfrac{1}{4!}}\right)+\cdots+\left(\cancel{\dfrac{1}{2000!}}-\dfrac{1}{2001!}\right) \\ & = \dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{2001!} \\ & = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2001!}\end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{3}{1! + 2! + 3!} + \dfrac{4}{2! + 3! + 4!} + \cdots$ $+ \dfrac{2001}{1999! + 2000! + 2001!}$ adalah $\boxed{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2001!}}$

[collapse]

Soal Nomor 15 ($\bigstar$)
Hitunglah hasil dari $\dfrac{21!-21}{1 \times 1!+2 \times 2!+3 \times 3! + \cdots + 19 \times 19!}.$

Pembahasan

Dengan menggunakan definisi faktorial, sifat distributif bilangan, dan prinsip teleskopik, kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{21!-21}{1 \times 1!+2 \times 2!+3 \times 3! + \cdots + 19 \times 19!} \\ & = \dfrac{21 \times 20!-21}{(2-1) \times 1! + (3-1) \times 2! + (4-1) \times 3! + \cdots + (20-1) \times 19!} \\ & = \dfrac{21 \times (20!-1)}{(\cancel{2!}-1!)+(\bcancel{3!}-\cancel{2!})+(\cancel{4!}-\bcancel{3!})+\cdots+(20!-\cancel{19!})} \\ & = \dfrac{21 \times (\cancel{20!-1})}{\cancel{20!-1}} = 21 \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\dfrac{21!-21}{1 \times 1!+2 \times 2!+3 \times 3! + \cdots + 19 \times 19!}$ sama dengan $\boxed{21}$

[collapse]

Soal Nomor 16 ($\bigstar$)
Hitunglah hasil dari $$\dfrac{100!+99!}{100!-99!} \times \dfrac{98!+97!}{98!-97!} \times \dfrac{96!+95!}{96!-95!} \times \cdots \times \dfrac{2!+1!}{2!-1!}$$

Pembahasan

Dengan menggunakan definisi faktorial, sifat distributif bilangan, dan prinsip teleskopik, kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{100!+99!}{100!-99!} \times \dfrac{98!+97!}{98!-97!} \times \dfrac{96!+95!}{96!-95!} \times \cdots \times \dfrac{2!+1!}{2!-1!} \\ & = \dfrac{100 \cdot 99! + 99!}{100 \cdot 99!-99!} \times \dfrac{98 \cdot 97! +97!}{98 \cdot 97!-97!} \times \dfrac{96 \cdot 95! +95!}{96 \cdot 95!-95!} \times \cdots \times \dfrac{2 \cdot 1!+1!}{2 \cdot 1!-1!} \\ & = \dfrac{(100+1) \cdot 99!}{(100-1) \cdot 99!} \times \dfrac{(98+1) \cdot 97!}{(98-1) \cdot 97!} \times \dfrac{(96+1) \cdot 95!}{(96-1) \cdot 95!} \times \cdots \times \dfrac{(2+1) \cdot 1!}{(2-1) \cdot 1!} \\ & = \dfrac{101}{\cancel{99}} \times \dfrac{\cancel{99}}{\cancel{97}} \times \dfrac{\cancel{97}}{\cancel{95}} \times \cdots \times \dfrac{\cancel{3}}{1} \\ & = \dfrac{101}{1} = 101 \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\dfrac{100!+99!}{100!-99!} \times \dfrac{98!+97!}{98!-97!} \times \dfrac{96!+95!}{96!-95!} \times \cdots \times \dfrac{2!+1!}{2!-1!}$$adalah $\boxed{101}$

[collapse]

Soal Nomor 17 ($\bigstar$)
Tentukan bilangan bulat positif $n$ terbesar sedemikian sehingga $n!$ bisa dinyatakan sebagai hasil kali $(n-4)$ bilangan bulat positif berurutan.

Pembahasan

Misalkan $k$ adalah bilangan bulat positif terbesar pada serangkaian $(n-4)$ bilangan bulat positif berurutan tersebut, yaitu $\underbrace{a_1 \times a_2 \times a_3 \times \cdots \times k}_{\text{ada}~(n-4)~\text{suku}}$.
Karena $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n$, maka jelas bahwa $k > n$ sehingga nilai $k$ terkecil adalah $n+1$.
Dengan demikian, $(n-4)$ bilangan bulat berurutan itu dimulai dari bilangan $1+5=6$, yaitu
$6 \times 7 \times 8 \times \cdots \times (n+1) = n!$
Bila kita selesaikan persamaan tersebut (mencari nilai $n$), kita akan memperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{(n+1)!}{5!} & = n! \\ \dfrac{(n+1) \times n!}{5!} & = n! \\ n+1 & = 5! \\ n & = 5!-1 = 119 \end{aligned}$

Jadi, nilai $n$ terbesar adalah $119$ dan perhatikan bahwa memang $119!$ bisa ditulis menjadi $6 \times 7 \times 8 \times \cdots \times 120$ (hasil kali $115$ bilangan bulat positif berurutan).

[collapse]

Soal Nomor 18 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Wilayah Tahun 2013)
Tentukan banyak tripel bilangan bulat $(a, b, c)$ yang memenuhi $a! + b! = c!$.

Pembahasan

Nilai $(a, b, c)$ pada persamaan $a! +b! =c!$ dipenuhi oleh $(0,0,2), (1,0,2), (0,1,2)$, dan $(1,1,2)$. Misalkan $c$ adalah bilangan bulat positif yang lebih dari dua, sebutlah $n$, dengan $n > 2$. Sekarang, ambil $a = b = n -1$, yang merupakan pasangan bilangan terbesar agar bila dijumlahkan dapat mencapai nilai di ruas kanan. Jadi, dapat ditulis
$\begin{aligned} & (n-1)! + (n-1)! = n! \\ & 2(n-1)! < n(n-1)! = n! \end{aligned}$
Jadi, tidak ada nilai $c$ yang dipenuhi oleh $a$ dan $b$ sehingga persamaan itu benar. Dengan demikian, hanya ada $4$ pasangan bilangan $(a, b, c)$ yang memenuhi persamaan $a! + b! = c!$.

[collapse]

Soal Nomor 19
Tentukan hasil dari $\dfrac{2+3^2}{1!+2!+3!+4!}+\dfrac{3+4^2}{2!+3!+4!+5!}$ $+\cdots + \dfrac{2013+2014^2}{2012!+2013!+2014!+2015!}$.

Pembahasan

Pertama, nyatakan penjumlahan tersebut dalam notasi sigma, lalu kita sederhanakan dan terapkan prinsip teleskopik.
Bentuk di atas setara dengan ekspresi berikut.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{n=1}^{2012} \dfrac{(n+1)+(n+2)^2}{n!+(n+1)!+(n+2)!+(n+3)!} \\ & = \sum_{n=1}^{2012} \dfrac{n^2+5n+5}{n!(1 + (n+1) + (n+1)(n+2) + (n+1)(n+2)(n+3)} \\ & = \sum_{n=1}^{2012} \dfrac{n^2+5n+5}{n!(n^3+7n^2+15n+10)} \\ & = \sum_{n=1}^{2012} \dfrac{\cancel{n^2+5n+5}}{n!\cancel{(n^2+5n+5)}(n+2)} \\ & = \sum_{n=1}^{2012} \dfrac{1}{n!(n+2)} \times \color{red}{\dfrac{n+1}{n+1}} \\ & = \sum_{n=1}^{2012} \dfrac{n+1}{(n+2)!} \\ & = \sum_{n=1}^{2012} \dfrac{(n+2)-1}{(n+2)!} \\ & = \sum_{n=1}^{2012} \dfrac{1}{(n+1)!}-\dfrac{1}{(n+2)!} \\ & = \left(\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}\right)+\left(\dfrac{1}{3!}-\dfrac{1}{4!}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{2013!}-\dfrac{1}{2014!}\right) \\ & = \dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{2014!} \end{aligned}$$Jadi, hasil dari perhitungannya adalah $\boxed{\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{2014!}}$

[collapse]

CategoriesAritmetika, Teori BilanganTags, , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *