Soal dan Pembahasan – Babak Final Olimpiade Guru Matematika (OGM) KPM Read1 Institute Tingkat SMA Tahun 2020

Berikut ini merupakan soal dan pembahasan babak final Olimpiade Guru Matematika Tingkat SMA Tahun 2020 (OGM 5) yang diselenggarakan oleh Klinik Pendidikan MIPA (KPM) Read1 Institute. Soal berbentuk isian singkat sebanyak 25 butir yang perlu dikerjakan peserta dalam waktu 90 menit.

Soal juga dapat diunduh dalam file berformat PDF melalui tautan berikut: Download (PDF). Catatan: Terdapat beberapa perubahan redaksi kalimat dan opsi jawaban pada soal tertentu, tetapi tidak mengubah inti soal tersebut.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Babak Penyisihan OGM KPM Read1 Institute Tingkat SMA Tahun 2021

Quote by Strategist Sun Tzu

It is the rule in war, if ten times the enemy’s strength, surround them; if five times, attack them; if double, be able to divide them; if equal, engage them; if fewer, be able to evade them; if weaker, be able to avoid them.

Soal Nomor 1
Jumlah tiga bilangan prima berbeda adalah $48.$ Tentukan hasil kali terbesar dua dari tiga bilangan prima tersebut.

Pembahasan

Karena jumlahnya $48$ (genap), maka ada 2 kemungkinan yang dapat kita analisis: 1) genap + genap + genap dan 2) genap + ganjil + ganjil. Bilangan prima yang genap hanya ada satu sehingga kemungkinannya adalah genap + ganjil + ganjil. Bilangan prima yang genap adalah $2.$ Adapun daftar beberapa bilangan prima pertama adalah sebagai berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline 2 & 3 & 5 \\ 7 & 11 & 13 \\ 17 & 19 & 23 \\ 29 & 31 & 37 \\ 41 & 43 & 47 \\ \hline \end{array}$$Kita perlu mencari 2 bilangan prima lain yang memiliki jumlah $48-2 = 46.$ Lakukan observasi dan kita peroleh beberapa kemungkinan: $(5, 41),$ $(3, 43),$ dan $(17, 29).$ Agar diperoleh hasil kali sebesar mungkin, pilihlah bilangan yang memiliki selisih terkecil, yakni $(17, 29).$ Dengan demikian, tiga bilangan prima yang dipilih adalah $(2, \color{red}{17}, \color{red}{29})$ sehingga hasil kali terbesar dari dua bilangan di antaranya adalah $\boxed{17 \cdot 29 = 493}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan nilai bilangan bulat positif $y$ yang memenuhi persamaan $^y \log 2 + \! ^2 \log y = \dfrac52.$

Pembahasan

Misalkan $^y \log 2 = a$ dengan $a > 0$ sehingga $^2 \log y = \dfrac{1}{a}.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} ^y \log 2 + \! ^2 \log y & = \dfrac52 \\ a + \dfrac{1}{a} & = \dfrac52 \\ 2a^2 + 2 & = 5a \\ 2a^2-5a+2 & = 0 \\ (2a-1)(a-2) & = 0 \\ a = \dfrac12~\text{atau}~a & = 2 \end{aligned}$$Substitusi kembali pada pemisalan semula sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} a = \dfrac12 & \Rightarrow \! ^y \log 2 = \dfrac12 \Rightarrow y = 2^{\frac12} = \sqrt2 \\ a = 2 & \Rightarrow \! ^y \log 2 = 2 \\ y ^ = 2^2 = 4 \end{aligned}$$Karena $y$ merupakan bilangan bulat positif, maka satu-satunya nilai $y$ yang mungkin adalah $\boxed{4}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan berikut.
$$(x-1)+\left(\dfrac{x}{2}-2\right)+\left(\dfrac{x}{3}-3\right)+\left(\dfrac{x}{4}-4\right)+\left(\dfrac{x}{5}-5\right)=122$$

Pembahasan

Untuk mempermudah perhitungan, kalikan setiap ruas pada persamaan di atas dengan KPK dari $(2, 3, 4, 5),$ yaitu $60.$ Kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} (x-1)+\left(\dfrac{x}{2}-2\right)+\left(\dfrac{x}{3}-3\right)+\left(\dfrac{x}{4}-4\right)+\left(\dfrac{x}{5}-5\right) & =122 \\ (60x-60) + (30x-120) + (20x-180) + (15x-240) + (12x-300) & = 7.320 \\ 137x & = 8.220 \\ x & = 60 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{60}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Perhatikan gambar berikut.
$KPM$ adalah segitiga sama kaki dengan $KM = KP.$ Garis $MB$ membagi sudut $KMP$ sama besar dan $AB$ tegak lurus $KM.$ Titik $D$ dan $E$ berturut-turut adalah titik potong $KC$ dengan $BM$ dan $AB.$ Titik $C$ berada tepat di tengah $MP.$ Jika besar sudut $MKP$ adalah 3 derajat lebihnya dari sudut $AMB,$ tentukan besar sudut $AEC.$

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut.



Misalkan $\angle AMB = x.$ Karena garis $MB$ membagi sudut $KMP$ sama besar, maka $\angle DMC = \angle AMB = x.$
Perhatikan $\triangle MDC.$ Titik $C$ berada tepat di tengah $MP,$ membelah segitiga menjadi dua bagian yang sama besar sehingga $KC$ pasti tegak lurus dengan $MP.$ Akibatnya, $\angle MCD = 90^\circ.$
Selanjutnya, diketahui bahwa $\angle MKP = \angle AMB + 3^\circ = x + 3^\circ.$ Karena $KC$ juga merupakan garis bagi, maka $\angle MKC = \dfrac{x + 3^\circ}{2}.$
Pada $\triangle MKC,$ berlaku jumlah semua sudutnya $180^\circ.$
$$\begin{aligned} \angle M + \angle K + \angle C & = 180^\circ \\ (x + x) + \left(\dfrac{x + 3^\circ}{2}\right) + 90^\circ & = 180^\circ \\ 2x + \dfrac{x + 3^\circ}{2} & = 90^\circ \\ 4x+ (x + 3^\circ) & = 180^\circ \\ 5x & = 177^\circ \\ x & = 35,4^\circ \end{aligned}$$Terakhir, tinjau segi empat $MAEC.$ Karena jumlah sudut pada segi empat adalah $360^\circ,$ maka kita peroleh
$$\begin{aligned} \angle M + \angle A + \angle E + \angle C & = 360^\circ \\ 2x + 90^\circ + \angle E + 90^\circ & = 360^\circ \\ 2(35,4^\circ) + \angle E & = 180^\circ \\ \angle E & = 109,2^\circ \end{aligned}$$Jadi, besar sudut $AEC$ adalah $\boxed{109,2^\circ}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Berapa sisa hasil bagi $$1^2+2^2+3^2+\cdots+2019^2+2020^2$$oleh $10$?

Pembahasan

Mencari sisa hasil bagi suatu bilangan oleh $10$ artinya kita mencari angka satuannya.
Alternatif 1: Pola Angka Satuan
Periksa angka satuan dari hasil $1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + 10^2.$
$$\begin{aligned} & 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 \\ & \Rightarrow 1 + 4 + 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 4 + 1 + 0 = 4\color{red}{5} \Rightarrow 5 \end{aligned}$$Kita dapat memisalkan
$$\begin{array}{cc} \hline \text{Kelompok 1} & 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + 10^2 \\ \text{Kelompok 2} & \color{red}{1}1^2 + 12^2 + 13^2 + \cdots + 20^2 \\ \text{Kelompok 3} & \color{red}{2}1^2 + 22^2 + 23^2 + \cdots + 30^2 \\ \cdots & \cdots \cdots \cdots \\ \text{Kelompok 202} & \color{red}{201}1^2 + 2012^2 + 2013^2 + \cdots + 2020^2 \\ \hline \end{array}$$Karena ada $202$ kelompok dengan setiap kelompok bilangan tersebut memiliki jumlah yang angka satuannya $5,$ maka angka satuan dari $1^2+2^2+3^2+\cdots+2019^2+2020^2$ adalah $\boxed{202 \times 5 \Rightarrow 0}$
Alternatif 2: Menggunakan Rumus Jumlah Kuadrat
Perhatikan bahwa rumus deret berikut berlaku untuk setiap bilangan asli $n.$
$$\boxed{1^2+2^2+3^2+\cdots++(n-1)^2 + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$$Untuk $n = 2020,$ diperoleh
$$\begin{aligned} 1^2+2^2+3^2+\cdots+2019^2+2020^2 & = \dfrac{2020(2021)(4041)}{6} \\ & = 101\color{red}{0}(2021)(1347) \end{aligned}$$Jelas bahwa hasil kalinya memiliki angka satuan $0.$ Jadi, disimpulkan bahwa sisa hasil bagi penjumlahan bilangan kuadrat tersebut oleh $10$ adalah $\boxed{0}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui harga sosis ayam Rp40.000,00/kg, sedangkan harga sosis sapi Rp60.000,00/kg. Ibu membeli sosis ayam dan sosis sapi dengan jumlah yang sama dan menggunakan semua uang yang ada di dompetnya. Jika ibu menghabiskan setengah dari uangnya untuk membeli sosis ayam dan setengahnya lagi untuk sosis sapi, ibu akan mendapatkan $6,5$ kg lebih banyak sosis ayam dan sosis sapi. Berapa banyak uang yang dimiliki ibu jika dibagi 1000?

Pembahasan

Misalkan:
$$\begin{aligned} N & = \text{Banyak uang ibu (rupiah)} \\ x & = \text{Banyak sosis ayam/sapi yang dibeli (kilogram)} \end{aligned}$$Dari kalimat kedua soal, kita peroleh persamaan
$$N = 60.000x + 40.000x = 100.000x.$$Setengah dari uang ibu adalah $50.000x.$ Ibu menggunakan uang ini untuk membeli sosis ayam sebanyak $\dfrac{50.000x}{40.000} = \dfrac54x$ dan sosis sapi sebanyak $\dfrac{50.000x}{60.000} = \dfrac56x.$
Karena ibu akan mendapatkan $6,5$ kg lebih banyak sosis ayam dan sosis sapi, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac54x + \dfrac56x & = \underbrace{(x + x)}_{\text{mula-mula}} + 6,5 \\ \text{Kedua ruas}&~\text{dikali}~12 \\ 15x + 10x & = 24x + 78 \\ x & = 78 \end{aligned}$$Dengan demikian, uang ibu mula-mula adalah $N = 100.000\color{blue}{(78)} = 7.800.000.$
Jadi, uang yang dimiliki ibu jika dibagi $1.000$ adalah $\boxed{7.800~\text{rupiah}}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Diberikan bilangan bulat $x$ dan $y$ yang memenuhi $|x + 2.020| + |y + 50| = 1.$ Berapakah nilai terbesar yang mungkin dari $|x + 50| + |y + 2.020|$?

Pembahasan

Perhatikan persamaan $|x + 2020| + |y + 50| = 1.$ Untuk bilangan bulat $x$ dan $y,$ persamaan tersebut terpenuhi ketika salah satu suku di ruas kiri bernilai $1,$ sedangkan suku lainnya bernilai $0.$
Jadi, kita harus analisis setiap kasus.
$$\begin{array}{cccc} \hline |x + 2020| & |y + 50| & x & y \\ \hline 1 & 0 & -2019 & -50 \\ & & -2021 & \\ \hline 0 & 1 & -2020 & -49 \\ & & & -51 \\ \hline \end{array}$$Kita peroleh $4$ pasangan nilai bilangan bulat $(x, y)$ yang memenuhi persamaan, yaitu $(-2019, -50),$ $(-2021, -50),$ $(-2020, -49),$ dan $(-2020, -51).$
Sekarang, substitusi nilai $x$ dan $y$ tersebut pada $|x + 50| + |y + 2020|.$
$$\begin{array}{cccc} \hline x & y & |x + 50| + |y + 2020| & \text{Hasil} \\ \hline -2019 & -50 & |-2019 + 50| + |-50 + 2020| & 3939 \\ -2021 & -50 & |-2021 + 50| + |-50 + 2020| & 3941 \\ -2020 & -49 & |-2020 + 50| + |-49 + 2020| & 3941 \\ -2020 & -51 & |-2020 + 50| + |-51 + 2020| & 3939 \\ \hline \end{array}$$Jadi, nilai terbesar yang mungkin tercapai untuk ekspresi nilai mutlak tersebut adalah $\boxed{3941}$

[collapse]

Soal Nomor 8
Akar-akar persamaan $ax^2 + mx + n = 0$ bernilai tiga kali dari akar-akar persamaan $ax^2 + px + m = 0.$ Berapakah nilai dari $\dfrac{p}{n}$?

Pembahasan

Perlu diketahui bahwa persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ yang memiliki akar-akar $x_1$ dan $x_2,$ jumlah akarnya adalah $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a},$ sedangkan hasil kali akarnya adalah $x_1x_2 = \dfrac{c}{a}.$


Misalkan $ax^2 + px + m = 0$ memiliki akar-akar $\alpha$ dan $\beta$ sehingga $ax^2 + mx + n = 0$ memiliki akar-akar $3\alpha$ dan $3\beta.$
Jumlah akar dan hasil kali akar dari $ax^2 + px + m = 0$ adalah
$$\begin{aligned} \alpha + \beta & = -\dfrac{p}{a} \\ \alpha \beta & = \dfrac{m}{a} \end{aligned}$$Jumlah akar dari $ax^2 + mx + n = 0$ dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} 3\alpha + 3\beta & = -\dfrac{m}{a} \\ 3(\alpha + \beta) & = -\dfrac{m}{a} \\ 3\left(-\dfrac{p}{\cancel{a}}\right) & = -\dfrac{m}{\cancel{a}} \\ 3p & = m && (\cdots 1) \end{aligned}$$Hasil kali akar dari $ax^2 + mx + n = 0$ dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} 3\alpha \cdot 3\beta & = \dfrac{n}{a} \\ 9(\alpha \beta) & = \dfrac{n}{a} \\ 9\left(\dfrac{m}{\cancel{a}}\right) & = \dfrac{n}{\cancel{a}} \\ 9m & = n && (\cdots 2) \end{aligned}$$Substitusi $m = 3p$ dari persamaan $(1)$ pada persamaan $(2).$
$$\begin{aligned} 9\color{red}{m} & = n \\ 9(3p) & = n \\ \dfrac{p}{n} & = \dfrac{1}{27} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{p}{n} = \dfrac{1}{27}}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui $$\dfrac{1}{2^2-1^2}+\dfrac{1}{3^2-2^2}+\dfrac{1}{4^2-3^2}+\dfrac{1}{5^2-4^2}+\dfrac{1}{6^2-5^2}=\dfrac{A}{B}$$dengan $A$ dan $B$ adalah bilangan bulat positif. Tentukan nilai terkecil dari $A+B.$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} & \dfrac{1}{2^2-1^2}+\dfrac{1}{3^2-2^2}+\dfrac{1}{4^2-3^2}+\dfrac{1}{5^2-4^2}+\dfrac{1}{6^2-5^2}  \\ & = \dfrac{1}{(2+1)(2-1)} + \dfrac{1}{(3+2)(3-2)}+\dfrac{1}{(4+3)(4-3)}+\dfrac{1}{(5+4)(5-4)}+\dfrac{1}{(6+5)(6-5)} \\ & = \dfrac13 + \dfrac15 + \dfrac17 + \dfrac19 + \dfrac{1}{11} \\ & = \dfrac15 + \dfrac17 + \dfrac49 + \dfrac{1}{11} \\ & = \dfrac{7 \cdot 9 \cdot 11 + 5 \cdot 9 \cdot 11 + 4 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 + 5 \cdot 7 \cdot 9}{5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11} \\ & = \dfrac{12 \cdot 9 \cdot 11 + 5 \cdot 7 \cdot 53}{3.465} \\ & = \dfrac{3.043}{3.465} \end{aligned}$$Jadi, kita ambil $A = 3.043$ dan $B = 3.465$ sehingga nilai terkecil dari $A + B$ adalah $\boxed{3.043 + 3.465 = 6.508}$

[collapse]

Soal Nomor 10
Misalkan $\overline{abc}$ adalah suatu bilangan bulat 3-digit dengan $a, b,$ dan $c$ mewakili angka yang berbeda dan memenuhi persamaan $$\sqrt{\overline{abc}} + \sqrt{\overline{ab}} + \sqrt{c} + \overline{ab} = 62.$$Tentukan nilai dari $a+b+c.$

Pembahasan

Perhatikan persamaan tersebut. Agar menghasilkan bilangan bulat $62,$ maka setiap sukunya haruslah berupa bilangan bulat. Dengan kata lain, $\overline{abc},$ $\overline{ab},$ dan $c$ harus merupakan bilangan kuadrat dengan interval berikut.
$$\begin{aligned} 10^2 & \le \overline{abc} \le 31^2 \\ 4^2 & \le \overline{ab} \le 9^2 \\ 0^2 & \le c \le 3^2 \end{aligned}$$Adapun nilai $c$ dan $\overline{ab}$ yang mungkin adalah sebagai berikut.
$$\begin{array}{cc} \hline c & 0, 1, 4, 9 \\ \hline \overline{ab} & 16, 25, 36, 49, 64, 81 \\ \hline \end{array}$$Sekarang, periksa kombinasi mana yang membuat $\overline{abc}$ merupakan bilangan kuadrat.
Kita akan peroleh
$$\begin{aligned} \overline{ab} = 16~\text{dan}~c = 9 & \Rightarrow \overline{abc} = 169 && (\cdots 1) \\ \overline{ab} = 36~\text{dan}~c = 1 & \Rightarrow \overline{abc} = 361 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Kemungkinan 1: $\overline{abc} = 169.$
Periksa persamaan.
$$\begin{aligned} & \sqrt{\overline{abc}} + \sqrt{\overline{ab}} + \sqrt{c} + \overline{ab} \\ & = \sqrt{169} + \sqrt{16} + \sqrt9 + 16 \\ & = 13 + 4 + 3 + 16 = 36 \end{aligned}$$Kasus ini tidak memenuhi persamaan.
Kemungkinan 2: $\overline{abc} = 361.$
Periksa persamaan.
$$\begin{aligned} & \sqrt{\overline{abc}} + \sqrt{\overline{ab}} + \sqrt{c} + \overline{ab} \\ & = \sqrt{361} + \sqrt{36} + \sqrt1 + 36 \\ & = 19 + 6 + 1 + 36 = 62 \end{aligned}$$Kasus ini memenuhi persamaan.
Jadi, nilai $\boxed{a+b+c=3+6+1=10}$

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui $a$ dan $b$ adalah bilangan asli yang memenuhi persamaan $$\sqrt{2.020ab}-\sqrt{2.020a}-\sqrt{2.020b} + a\sqrt{b} + b\sqrt{a} = 2.020.$$Berapa banyak pasangan $(a, b)$ yang mungkin?

Pembahasan

Jadikan ruas kanan menjadi nol, kemudian faktorkan.
$$\begin{aligned} \sqrt{2.020ab}-\sqrt{2.020a}-\sqrt{2.020b} + a\sqrt{b} + b\sqrt{a} & = 2.020 \\ \sqrt{2.020ab}-\sqrt{2.020a}-\sqrt{2.020b} + a\sqrt{b} + b\sqrt{a}-2.020 & = 0 \\ \left(\sqrt{2020} + \sqrt{a} + \sqrt{b}\right)\left(\sqrt{ab}-\sqrt{2020}\right) & = 0 \end{aligned}$$Kita peroleh dua kemungkinan.
$$\begin{cases} \sqrt{2020} + \sqrt{a} + \sqrt{b} & = 0 && (\cdots 1) \\ \sqrt{ab}-\sqrt{2020} & = 0 && (\cdots 2) \end{cases}$$Persamaan pertama tidak mungkin terpenuhi karena $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ tidak dapat bernilai negatif. Jadi, melihat persamaan $(2),$ diperoleh $\sqrt{ab} = \sqrt{2020}$ sehingga $ab = 2020.$ Di sini kita perlu mencari banyak pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan $ab = 2020.$ Perhatikan bahwa $2020 = 2^2 \cdot 5^1 \cdot 101^1$ sehingga banyak faktor positifnya (lihat pangkat, tambahkan 1, kalikan) adalah $(2+1)(1+1)(1+1) = 8.$ Hasil tersebut menunjukkan bahwa ada 8 pasangan terurut $(a, b)$ yang memenuhi persamaan itu.
$$\begin{array}{cc} \hline (1, 2020) & (2, 1010) & (4, 505) & (20, 101) \\ (2020, 1) & (1010, 2) & (505, 4) & (101, 20) \\ \hline \end{array}$$Jadi, banyak pasangan $(a, b)$ yang mungkin adalah $\boxed{8}$

[collapse]

Soal Nomor 12
Tentukan nilai minimum dari $\dfrac{9x^2 \sin^2 x + 4}{x \sin x}$ untuk $0 < x < \pi.$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{aligned} f(x) &= \dfrac{9x^2 \sin^2 x + 4}{x \sin x} \\ & = 9x \sin x + \dfrac{4}{x \sin x}.  \end{aligned}$
Dengan menggunakan Ketaksamaan AM-GM, diperoleh
$$\begin{aligned} \textbf{AM} & \geq \textbf{GM} \\ 9x \sin x + \dfrac{4}{x \sin x} & \geq 2\sqrt{(9~\cancel{x \sin x})\left(\dfrac{4}{\cancel{x \sin x}}\right)} \\ & = 2\sqrt{36} = 12 \end{aligned}$$Akibatnya, $f(x) \geq 12$.
Jadi, nilai minimum dari $f(x)$ adalah $\boxed{12}$

[collapse]

Soal Nomor 13
Pada segitiga $KLM,$ titik $Q$ berada pada sisi $KM$ dan titik $R$ berada pada sisi $KL.$ Garis $LQ$ dan $MR$ berpotongan di titik $P.$ Jika luas $MLRQ = 40~\text{cm}^2,$ $MR : MP = 2 : 1,$ dan $LP : LQ = 7 : 10,$ tentukan luas segi empat $KQPR$ dalam satuan $\text{cm}^2.$

Soal Nomor 14
Hasil dari $$\dfrac{1}{1! \cdot 9!} + \dfrac{1}{3! \cdot 7!} + \dfrac{1}{5! \cdot 5!} + \dfrac{1}{7! \cdot 3!} + \dfrac{1}{9! \cdot 1!}$$dapat dinyatakan dalam bentuk $\dfrac{2^a}{b!}$ dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif. Tentukan nilai $a+b.$

Soal Nomor 15
Perhatikan gambar berikut.
Terdapat $8$ titik di sekeliling lingkaran dengan jarak yang sama. Jika setiap dua titik dihubungkan, maka akan terbentuk garis lurus. Berapa maksimal daerah lingkaran yang terbentuk?

Soal Nomor 16
Jika $x, y,$ dan $z$ adalah bilangan rasional yang memenuhi $x + \dfrac{1}{y} = 4,$ $y + \dfrac{1}{z} = 1,$ dan $z + \dfrac{1}{x} = \dfrac73,$ tentukan nilai $x + y + z.$

Pembahasan

Diketahui
$$\begin{cases} x + \dfrac{1}{y} & = 4 && (\cdots 1)  \\ y + \dfrac{1}{z} & = 1 && (\cdots 2)  \\ z + \dfrac{1}{x} & = \dfrac73 && (\cdots 3) \end{cases}$$Apabila ketiga persamaan dijumlahkan, kita akan peroleh
$$\begin{aligned} (x + y + z) + \left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}\right) & = 4 + 1 + \dfrac73 \\ (x + y + z) + \left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}\right) & = \dfrac{22}{3} \end{aligned}$$Apabila ketiga persamaan dikalikan sesuai ruasnya, kita akan peroleh
$$\begin{aligned} \left(x + \dfrac{1}{y}\right)\left(y + \dfrac{1}{z}\right)\left(z + \dfrac{1}{x}\right) & = 4 \cdot 1 \cdot \dfrac73 \\ xyz + \color{blue}{x + y + z + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} + \dfrac{1}{xyz} & = \dfrac{28}{3} \\ xyz+ \dfrac{22}{3} + \dfrac{1}{xyz} & = \dfrac{28}{3} \\ xyz + \dfrac{1}{xyz} & = 2 \\ xyz & = 1  \Rightarrow yz = \dfrac{1}{x} \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $y + \dfrac{1}{z} = 1$ dapat kita tulis sebagai berikut.
$$\begin{aligned} yz + 1 & = z \\ \dfrac{1}{x} + 1 & = z \\ -z+\dfrac{1}{x} & = -1 && (\cdots 4) \end{aligned}$$Dari persamaan $(3)$ dan $(4)$, kita peroleh SPLDV dengan variabel $x$ dan $z.$ Lakukan proses eliminasi.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} z + \dfrac{1}{x} & = \dfrac73 \\ -z+\dfrac{1}{x} & = -1 \end{aligned} \\ \rule{2.5 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} 2z & = \dfrac{10}{3} \\ z & = \dfrac{5}{3} \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi pada salah satu persamaan sehingga diperoleh $x = \dfrac32$ dan $y = \dfrac25.$ Jadi, nilai $$\boxed{x + y + z = \dfrac32 + \dfrac25 + \dfrac53 = \dfrac{107}{30}}$$

[collapse]

Soal Nomor 17
Pada persegi $ABCD,$ titik $E$ terletak pada diagonal $BD$ sehingga $\angle DAE = 15^\circ.$ Jika nilai $\dfrac{DE}{EB} = a-\sqrt{b},$ tentukan nilai $a+b.$

Pembahasan

Pertama, kita lengkapi besar sudut yang belum diketahui terlebih dahulu. Keempat sudut pada persegi memiliki besar $90^\circ$ (siku-siku). $BD$ adalah diagonal persegi sehingga membelah sudutnya menjadi sama besar, yakni $45^\circ.$ 
$$\begin{aligned} \angle CDB = 45^\circ & \Rightarrow \angle ADE = 45^\circ \\ \angle CBD = 45^\circ & \Rightarrow \angle ABE = 45^\circ \end{aligned}$$Diketahui $\angle DAE = 15^\circ$ sehingga $\angle BAE = 90^\circ-15^\circ = 75^\circ.$ Pada $\triangle ABE,$ jumlah semua sudutnya $180^\circ.$
$$\begin{aligned} \angle ABE + \angle BAE + \angle AEB & = 180^\circ \\ 45^\circ + 75^\circ + \angle AEB & = 180^\circ \\ \angle AEB & = 60^\circ \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $DEB$ berpelurus sehingga $\angle AED = 120^\circ.$ Perhatikan gambar berikut agar lebih jelas.
Gunakan Aturan Sinus berturut-turut pada $\triangle ADE$ dan $\triangle ABE.$
$$\begin{aligned} \dfrac{DE}{\sin 15^\circ} = \dfrac{AE}{\sin 45^\circ} & \land \dfrac{EB}{\sin 75^\circ} = \dfrac{AE}{\sin 45^\circ} \\ \Rightarrow \dfrac{DE}{\sin 15^\circ} & = \dfrac{EB}{\sin 75^\circ} \\ \dfrac{DE}{EB} & = \dfrac{\sin 15^\circ}{\sin 75^\circ} \end{aligned}$$Sekarang, kita cari nilai sinus tersebut dengan menggunakan identitas jumlah sudut berikut.
$$\boxed{\sin (A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B}$$Kita akan peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{DE}{EB} & = \dfrac{\sin (45^\circ-30^\circ)}{\sin (45^\circ + 30^\circ)} \\ & = \dfrac{\sin 45^\circ \cos 30^\circ-\cos 45^\circ \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ \cos 30^\circ+\cos 45^\circ \sin 30^\circ} \\ & = \dfrac{\dfrac12\sqrt2 \cdot \dfrac12\sqrt3-\dfrac12\sqrt2 \cdot \dfrac12}{\dfrac12\sqrt2 \cdot \dfrac12\sqrt3+\dfrac12\sqrt2 \cdot \dfrac12} \\ & = \dfrac{\dfrac14\sqrt6-\dfrac14\sqrt2}{\dfrac14\sqrt6+\dfrac14\sqrt2} \\ & = \dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{\sqrt6+\sqrt2} \color{red}{\times \dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{\sqrt6-\sqrt2}} \\ & = \dfrac{6 + 2-2\sqrt{12}}{6-2} \\ & = \dfrac{8-4\sqrt3}{4} \\ & = 2-\sqrt3 \end{aligned}$$Jadi, $\dfrac{DE}{EB} = a-\sqrt{b} = 2-\sqrt3$ sehingga didapat nilai $a = 2$ dan $b = 3.$ Dengan demikian, nilai $\boxed{a + b = 2 + 3 = 5}$

[collapse]

Soal Nomor 18
Pada suatu Kompetisi Matematika Nalaria Realistik (KMNR), panitia memberikan undian berupa nomor khusus. Nomor tersebut berbentuk $\overline{080abcdef}$ dengan $a, b, c, d, e,$ dan $f$ semuanya berbeda dan memenuhi $a < b < c < d < e < f.$ Ada berapa nomor khusus yang memenuhi bentuk tersebut?

Pembahasan

Perhatikan bahwa $a < b < c < d < e < f$ menunjukkan bahwa nilai keenam digit tersebut berbeda-beda, $0$ sampai $9.$ Banyak kemungkinannya adalah $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot  7 \cdot 6 \cdot 5.$
Pada setiap susunan $6$ angka tertentu, tepat ada $1$ kemungkinan yang memenuhi syarat $a < b < c < d  < e < f$ dari $6!$ kemungkinan.
Sebagai ilustrasi untuk susunan 3 angka: Dari permutasi $123$, yaitu $123,$ $132,$ $213,$ $231,$ $312,$ dan $321,$ hanya $123$ yang memenuhi $a < b < c.$
Dengan demikian, banyak nomor khusus yang terbentuk dapat dihitung sebagai berikut.
$$\begin{aligned} N & = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot  7 \cdot 6 \cdot 5}{6!} \\ & = \dfrac{\cancel{10} \cdot \cancelto{3}{9}  \cdot \cancelto{2}{8} \cdot  7 \cdot \cancel{6} \cdot 5}{\cancel{6} \cdot \cancel{5} \cdot \bcancel{4} \cdot \bcancel{3} \cdot \cancel{2}} \\ & = 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 5 = 210 \end{aligned}$$Jadi, ada $\boxed{210}$ nomor khusus yang memenuhi bentuk tersebut.

[collapse]

Soal Nomor 19
Gambar berikut menunjukkan sketsa permainan pinball.
Cara memainkannya adalah dengan menjatuhkan bola dari atas sehingga meluncur ke salah satu lubang yang bertuliskan skor yang berbeda-beda. Jika peluang bola masuk ke dalam lubang dengan skor $70$ adalah $\dfrac{a}{b}$ dengan $a, b$ relatif prima, maka berapakah nilai $a + b$?

Pembahasan

Pada bagian pertama, bola dapat melewati dua jalur, yaitu jalur $A$ atau $B.$ Masing-masing peluangnya adalah $\dfrac12.$ Setelah itu, bola kembali diberikan pilihan untuk melewati dua jalur di bawahnya dengan peluangnya sebesar $\dfrac12$ kali dari peluang di atasnya. Prinsip ini berlanjut terus sampai bola jatuh ke lubang skor.
Jika diperhatikan dengan saksama, ternyata nilai peluang pada jalur berkaitan dengan Segitiga Pascal.
Pembilang pada peluang diambil dari bilangan yang ada pada Segitiga Pascal, sedangkan penyebutnya membentuk barisan geometri dengan rasio $2$, yaitu $2, 4, 8,$ $16, 32, 64.$
Kita peroleh untuk masing-masing lubang (dari kiri ke kanan), peluang bola masuk adalah sebagai berikut.
$$\begin{array}{cc} \hline \text{Skor Lubang} & \text{Peluang} \\ \hline 70 & 1/64 \\ 50 & 6/64 \\ 30 & 15/64 \\ 10 & 20/64 \\ 30 & 15/64 \\ 50 & 6/64 \\ 70 & 1/64 \\ \hline \end{array}$$Pada akhirnya, kita akan temukan bahwa peluang bola untuk masuk ke dalam lubang skor $70$ adalah $\dfrac{1}{64} + \dfrac{1}{64} = \dfrac{1}{32}.$ Diperoleh $a = 1$ dan $b = 32$ (karena sudah relatif prima) sehingga nilai $\boxed{a+b=33}$

[collapse]

Soal Nomor 20
Tentukan nilai $f(4)$ jika $2f(x^2) + 3f(19-5x) = x^2$ untuk semua bilangan real $x.$

Pembahasan

Pertama, substitusi $x = 2.$
$$\begin{aligned} 2f(x^2)+3f(19-5x) & = x^2 \\ \Rightarrow 2f(2^2) + 3f(19-5(2)) & = 2^2 \\ 2f(4) + 3f(9) & = 4 && (\cdots 1) \end{aligned}$$Selanjutnya, substitusi $x = 3.$
$$\begin{aligned} 2f(x^2)+3f(19-5x) & = x^2 \\ \Rightarrow 2f(3^2) + 3f(19-5(3)) & = 3^2 \\ 2f(9) + 3f(4) & = 9 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Kita peroleh SPLDV dengan variabel $f(4)$ dan $f(9).$ Gunakan metode eliminasi untuk mencari nilai $f(4)$ seperti berikut.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3f(9) + 2f(4) & = 4 \\ 2f(9) + 3f(4) & = 9 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 23 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~6f(9) + 4f(4) & = 8 \\ 6f(9) + 9f(4) & = 27 \end{aligned} \\ & \rule{3.6 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 5f(4) & = 19 \\ f(4) & = \dfrac{19}{5} \end{aligned} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{f(4) = \dfrac{19}{5}}$

[collapse]

Soal Nomor 21
Segitiga $MNR$ merupakan segitiga sama kaki dengan $\angle M = \angle R$ dan $\angle M : \angle N = 2 : 5.$ Titik $T$ terletak pada sisi $NR$ sehingga $MT$ merupakan garis bagi sudut $M.$ Titik $S$ terletak pada sisi $MR$ sehingga segitiga $RST$ sebangun dengan segitiga $MNR.$ Titik $Q$ terletak pada perpanjangan sisi $MN$ sehingga segitiga $TNQ$ sebangun dengan segitiga $MTS.$ Jika panjang $SR = 7~\text{cm},$ tentukan nilai $NQ \cdot MT$ dengan mengabaikan satuannya.

Soal Nomor 22
Andi memiliki $7$ kotak tipe A berisi buku berwarna merah dan $11$ kotak tipe B yang berisi buku berwarna biru. Banyak buku di setiap kotak tipe A adalah sama, begitu juga banyak buku di setiap kotak tipe B. Total buku di 18 kotak tersebut adalah $624$ buah. Andi mengambil 3 kotak tipe A dan membagikan bukunya kepada 4 orang anak sehingga tersisa 1 buah buku. Selanjutnya, ia membagikan sisa buku di kotak tipe A kepada 7 anak dan tersisa 6 buah buku. Berapa total buku pada 4 kotak tipe B?

Soal Nomor 23
Pada gambar berikut, $AB$ merupakan garis singgung lingkaran. Diketahui panjang $AD = 4,$ $\angle E = \angle A = 45^\circ,$ dan $\angle F = \angle B = 30^\circ.$ Jika $M$ adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari panjang $AB,$ tentukan nilai $M.$

Soal Nomor 24
Ada lima bola kuning di kantong pertama. Satu bola dipindahkan ke kantong kedua yang berisi sejumlah bola hijau. Dari kantong kedua, dipilih satu bola secara acak, lalu dipindahkan ke kantong pertama. Dari kantong pertama, dipilih satu bola secara acak lagi, lalu dipindahkan ke kantong kedua. Akhirnya, bola dipilih secara acak dari kantong kedua. Jika peluang mendapatkan bola hijau pada pengambilan terakhir ini adalah $\dfrac35,$ berapa bola hijau yang ada di dalam kantong kedua mula-mula?

Soal Nomor 25
Luas segitiga siku-siku yang memiliki perbandingan sisi $3 : 4 : 5$ adalah $294~\text{cm}^2.$ Jika $x$ merupakan jarak dari titik perpotongan tiga garis bagi segitiga ke titik perpotongan tiga garis berat segitiga, tentukan nilai $3x.$

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *