Soal dan Pembahasan – Integral Berulang (Repeated/Iterated Integral)


Anda HARUS sudah menguasai teknik pengintegralan (aturan umum, substitusi polinomial dan trigonometri, integrasi parsial, dekomposisi pecahan parsial, dan teknik integrasi tingkat tinggi lainnya) serta memahami perhitungan integral tertentu, karena pada postingan/penjelasan berikut ini, tidak dijabarkan secara rinci. Tetapi bila Anda memiliki pertanyaan, jangan sungkan untuk bertanya melalui kolom komentar.

Soal Nomor 1
Hitunglah \displaystyle \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} (x^2 + 2y)~dx~dy

Penyelesaian:
\displaystyle \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} (x^2 + 2y)~dx~dy = \int_{0}^{2} \left[\dfrac{1}{3}x^3 + 2xy\right]_{0}^{1}~dy
=\displaystyle \int_{0}^{2} \left[\left(\dfrac{1}{3} + 2y\right) - 0\right]~dy
=\left[\dfrac{1}{3}y + y^2\right]_{0}^{2} = \dfrac{2}{3} + 4 - 0 = \dfrac{14}{3}
Jadi, \boxed{\displaystyle \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} (x^2 + 2y)~dx~dy = \dfrac{14}{3}}

Soal Nomor 2
Hitunglah \displaystyle \int_{3}^{4} \int_{1}^{2} \dfrac{dy~dx}{(x+y)^2}

Penyelesaian:
Tahap integrasi pertama adalah dengan menganggap x sebagai suatu konstanta dan integrasikan integrannya terhadap variabel y (menggunakan teknik substitusi), sehingga diperoleh
\displaystyle - \int_{3}^{4} \left[\dfrac{1}{x+y}\right]_{1}^{2}~dx
= \displaystyle \int_{3}^{4} \left(\dfrac{1}{x+1} -\dfrac{1}{x+2} \right)~dx
= \left[\ln (x+1) - \ln (x+2)\right]_{3}^{4} = \left[\ln \left(\dfrac{x+1}{x+2} \right) \right]_{3}^{4}
= \ln \dfrac{5}{6} - \ln \dfrac{4}{5} = \ln \dfrac{25}{24}
Jadi, \boxed{\displaystyle \int_{3}^{4} \int_{1}^{2} \dfrac{dy~dx}{(x+y)^2} = \ln \dfrac{25}{24}}

Soal Nomor 3
Hitunglah \displaystyle \int_{0}^{1} \int_{x}^{1} (x + y)~dy~dx

Penyelesaian:
\displaystyle \int_{0}^{1} \int_{x}^{1} (x + y)~dy~dx = \int_{0}^{1} \left[xy + \dfrac{1}{2}y^2\right]_{x}^{1}~dx
=\displaystyle \int_{0}^{1} \left[\left(x + \dfrac{1}{2}\right) - \left(x^2 + \dfrac{1}{2}x^2\right)\right]~dx
=\displaystyle \int_{0}^{1} \left(x - \dfrac{3}{2}x^2 + \dfrac{1}{2}\right)~dx
=\left[\dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{2}x^3 + \dfrac{1}{2}x \right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{2}
Jadi, \boxed{\displaystyle \int_{0}^{1} \int_{x}^{1} (x + y)~dy~dx = \dfrac{1}{2}}

Soal Nomor 4
Hitunglah \displaystyle \int_{1}^{\ln 8} \int_{0}^{\ln y}e^{x + y}~dx~dy

Penyelesaian:
Sebelum mengerjakannya, Anda perlu mengingat kembali teknik integrasi parsial.
\boxed{\int uv' = uv - \int u'v}
Selain itu, ingat juga sifat logaritma dan penulisan logaritma natural.
\boxed{a^{^a \log b} = b~~~\ln a = ^e \log a}
\displaystyle \int_{1}^{\ln 8} \int_{0}^{\ln y}e^{x + y}~dx dy = \int_{1}^{\ln 8}\left[e^{x+y}\right]_{0}^{\ln y}
\displaystyle =\int_{1}^{\ln 8} (e^{\ln y + y} - e^y)~dy
\displaystyle =\int_{1}^{\ln 8} (ye^y - e^y)~dy
(Integrasikan ye^y menggunakan integrasi parsial)
= \left[ye^y - 2e^y\right]_1^{\ln 8}
= \left[e^y(y - 2)\right]_1^{\ln 8}
= e^{\ln 8}(\ln 8 - 2) - (e(1-2))
= 8(\ln 8 - 2) + e
= 8 \ln 8 - 16 + e
Jadi, \boxed{\int_{1}{\ln 8} \int_{0}^{\ln y}e^{x + y}~dx dy = 8 \ln 8 - 16 + e}

Soal Nomor 5
Hitunglah \displaystyle \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{x} x \sin y~dy~dx

Penyelesaian:
\displaystyle \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{x} x \sin y~dy dx = \int_{0}^{\pi} \left[-x \cos y\right]_{0}^{x}~dx
= \int_{0}^{\pi} (-x \cos x + x)~dx
(Untuk mengintegrasikan x \cos x, gunakan metode integrasi parsial)
= \left[-x \sin x - \cos x + \dfrac{1}{2}x^2\right]_{0}^{\pi}
= -\pi \sin \pi - \cos \pi + \dfrac{1}{2}\pi^2 - (0 - 1 + 0)
= 2 + \dfrac{1}{2}\pi^2
Jadi, \boxed{\displaystyle \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{x} x \sin y~dy dx = 2 + \dfrac{1}{2}\pi^2}

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *