Soal dan Pembahasan – Integral Berulang (Repeated/Iterated Integral)

      Integral berulang (kadang juga dikenal sebagai integral ganda atau integral lipat) adalah materi kalkulus lanjut yang dipelajari secara mendalam untuk menganalisis masalah luas dan volume baik pada bidang dua dimensi maupun tiga dimensi. Untuk memberikan pemahaman kepada pembaca tentang materi tersebut, berikut disajikan beberapa soal terkait.
Catatan: Pembaca diharapkan sudah menguasai teknik pengintegralan (aturan umum, substitusi polinomial dan trigonometri, integrasi parsial, dekomposisi pecahan parsial, dan teknik integrasi tingkat tinggi lainnya) serta memahami perhitungan integral tentu, karena pada postingan/penjelasan berikut ini, tidak dijabarkan secara rinci. Tetapi bila Anda memiliki pertanyaan, jangan sungkan untuk bertanya melalui kolom komentar.

Soal Nomor 1
Hitunglah $\displaystyle \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} (x^2 + 2y)~\text{d}x~\text{d}y$

Penyelesaian

$\displaystyle \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} (x^2 + 2y)~\text{d}x~\text{d}y = \int_{0}^{2} \left[\dfrac{1}{3}x^3 + 2xy\right]_{0}^{1}~\text{d}y$
$=\displaystyle \int_{0}^{2} \left[\left(\dfrac{1}{3} + 2y\right) – 0\right]~\text{d}y$
$=\left[\dfrac{1}{3}y + y^2\right]_{0}^{2} = \dfrac{2}{3} + 4 – 0 = \dfrac{14}{3}$
Jadi, $\boxed{\displaystyle \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} (x^2 + 2y)~\text{d}x~\text{d}y = \dfrac{14}{3}}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Hitunglah $\displaystyle \int_{3}^{4} \int_{1}^{2} \dfrac{\text{d}y~\text{d}x}{(x+y)^2}$

Penyelesaian

Tahap integrasi pertama adalah dengan menganggap $x$ sebagai suatu konstanta dan integrasikan integrannya terhadap variabel $y$ (menggunakan teknik substitusi), sehingga diperoleh
$\displaystyle – \int_{3}^{4} \left[\dfrac{1}{x+y}\right]_{1}^{2}~\text{d}x$
$= \displaystyle \int_{3}^{4} \left(\dfrac{1}{x+1} -\dfrac{1}{x+2} \right)~\text{d}x$
$= \left[\ln (x+1) – \ln (x+2)\right]_{3}^{4} = \left[\ln \left(\dfrac{x+1}{x+2} \right) \right]_{3}^{4}$
$= \ln \dfrac{5}{6} – \ln \dfrac{4}{5} = \ln \dfrac{25}{24}$
Jadi, $\boxed{\displaystyle \int_{3}^{4} \int_{1}^{2} \dfrac{\text{d}y~\text{d}x}{(x+y)^2} = \ln \dfrac{25}{24}}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Hitunglah $\displaystyle \int_{0}^{1} \int_{x}^{1} (x + y)~\text{d}y~\text{d}x$

Penyelesaian

$\displaystyle \int_{0}^{1} \int_{x}^{1} (x + y)~\text{d}y~\text{d}x = \int_{0}^{1} \left[xy + \dfrac{1}{2}y^2\right]_{x}^{1}~\text{d}x$
$=\displaystyle \int_{0}^{1} \left[\left(x + \dfrac{1}{2}\right) – \left(x^2 + \dfrac{1}{2}x^2\right)\right]~\text{d}x$
$=\displaystyle \int_{0}^{1} \left(x – \dfrac{3}{2}x^2 + \dfrac{1}{2}\right)~\text{d}x$
$=\left[\dfrac{1}{2}x^2 – \dfrac{1}{2}x^3 + \dfrac{1}{2}x \right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{2}$
Jadi, $\boxed{\displaystyle \int_{0}^{1} \int_{x}^{1} (x + y)~\text{d}y~\text{d}x = \dfrac{1}{2}}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Hitunglah $\displaystyle \int_{1}^{\ln 8} \int_{0}^{\ln y}e^{x + y}~\text{d}x~\text{d}y$

Penyelesaian

Gunakan teknik integrasi parsial
$\boxed{\int uv’ = uv – \int u’v}$
$\displaystyle \int_{1}^{\ln 8} \int_{0}^{\ln y}e^{x + y}~\text{d}x \text{d}y = \int_{1}^{\ln 8}\left[e^{x+y}\right]_{0}^{\ln y}$

$\displaystyle =\int_{1}^{\ln 8} (e^{\ln y + y} – e^y)~\text{d}y$
$\displaystyle =\int_{1}^{\ln 8} (ye^y – e^y)~\text{d}y$
(Integrasikan $ye^y$ menggunakan integrasi parsial)
$ = \left[ye^y – 2e^y\right]_1^{\ln 8}$
$ = \left[e^y(y – 2)\right]_1^{\ln 8}$
$ = e^{\ln 8}(\ln 8 – 2) – (e(1-2))$
$ = 8(\ln 8 – 2) + e$
$ = 8 \ln 8 – 16 + e$
Jadi, $\boxed{\int_{1}{\ln 8} \int_{0}^{\ln y}e^{x + y}~\text{d}x~\text{d}y = 8 \ln 8 – 16 + e}$
Catatan:
$\boxed{a^{^a \log b} = b~~|~~\ln a = ^e \log a}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Hitunglah $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{x} x \sin y~\text{d}y~\text{d}x$

Penyelesaian

$ \displaystyle \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{x} x \sin y~\text{d}y~\text{d}x = \int_{0}^{\pi} \left[-x \cos y\right]_{0}^{x}~\text{d}x$
$ = \int_{0}^{\pi} (-x \cos x + x)~\text{d}x$
(Untuk mengintegrasikan bentuk $x \cos x$, gunakan metode integrasi parsial)
$ = \left[-x \sin x – \cos x + \dfrac{1}{2}x^2\right]_{0}^{\pi}$
$ = -\pi \sin \pi – \cos \pi + \dfrac{1}{2}\pi^2 – (0 – 1 + 0)$
$ = 2 + \dfrac{1}{2}\pi^2$
Jadi, $\boxed{\displaystyle \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{x} x \sin y~\text{d}y~ \text{d}x = 2 + \dfrac{1}{2}\pi^2}$

[collapse]

Today Quote

Study hard. Do good and the good life will follow.

 

CategoriesKalkulus LanjutTags, , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *