Soal dan Pembahasan – Integral dengan Metode Substitusi Aljabar dan Trigonometri

      Integral dengan teknik/metode substitusi aljabar dan trigonometri merupakan salah satu cara dasar yang digunakan untuk menentukan hasil integral suatu fungsi. Metode ini digunakan ketika proses pengintegralan tidak bisa diselesaikan dengan teorema dasar integral. Kalaupun bisa, prosesnya akan panjang dan memakan waktu yang tidak sebentar. Secara matematis, kita nyatakan sebagai berikut.
$\boxed{\int f(g(x)) g'(x)~\text{d}x = \int f(u)~\text{d}u}$
       Sesuai dengan namanya, metode ini melibatkan pemisalan dan substitusi bentuk aljabar (umumnya berupa polinomial) dan juga trigonometri. Penggunaan metode ini akan melibatkan konsep turunan. Sebagai contoh, misalkan $u = x^3+x+2$. Turunan pertama $u$ terhadap variabel $x$ kita tuliskan dengan
$\dfrac{\text{d}u}{\text{d}x} = 3x^2+1$
Bentuk di atas ternyata ekuivalen dengan
$\text{d}u = (3x^2+1)~\text{d}x$

Nah, untuk memahami lebih lanjut mengenai penggunaan metode substitusi dalam aljabar dan trigonometri dalam mengintegralkan suatu fungsi, berikut disediakan soal dan pembahasannya. Semoga bermanfaat.

Quote by J.K. Rowling

Hidup itu seperti cerita. Bukan seberapa lama cerita itu berlangsung, tetapi seberapa bagus cerita itulah yang sebenarnya paling penting.

Bentuk Aljabar (Murni)

Soal Nomor 1
Hasil dari $\int x^3(x^4+5)^3~\text{d}x = \cdots$
A. $\dfrac{1}{4}(x^4+5)^4+C$
B. $\dfrac{1}{8}(x^4+5)^4+C$
C. $\dfrac{1}{12}(x^4+5)^4+C$
D. $\dfrac{1}{16}(x^4+5)^4+C$
E. $\dfrac{1}{16}(x^4+5)^3+C$

Penyelesaian

Misalkan $u = x^4+5$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = 4x^3~\text{d}x \\ \dfrac14\text{d}u & = x^3~\text{d}x \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $\dfrac14\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} \displaystyle \int x^3(x^4+5)^3~\text{d}x & = \int u^3 ~\dfrac14\text{d}u \\ & = \dfrac14 \int u^{3}~\text{d}u \\ &= \dfrac14 \cdot \dfrac{1}{3+1}u^{3+1} + C \\ & = \dfrac{1}{16}u^{4} + C \\ & = \dfrac{1}{16}(x^4+5)^4+C &&  (\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$
Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{\dfrac{1}{16}(x^4+5)^4+C}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2
Hasil dari $\int 3t^{-4}(2+4t^{-3})^{-7}~\text{d}t$ adalah $\cdots$
A. $\dfrac{1}{4}(2+4t^{-3})^{-6}+C$
B. $\dfrac{1}{8}(2+4t^{-3})^{-6}+C$
C. $\dfrac{1}{12}(2+4t^{-3})^{-6}+C$
D. $\dfrac{1}{24}(2+4t^{-3})^{-6}+C$
E. $\dfrac{1}{48}(2+4t^{-3})^{-6}+C$

Penyelesaian

Misalkan $u = 2 + 4t^{-3} $, sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = -12t^{-4}~\text{d}t \\ -\dfrac{1}{12}\text{d}u & = t^{-4}~\text{d}t \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $-\dfrac{1}{12}\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \int 3t^{-4}(2+4t^{-3})^{-7}~\text{d}t \\ & = 3 \int (2+4t^{-3})^{-7}~t^{-4}\text{d}t \\ & = \cancel{3} \int u^{-7} \cdot \left(-\dfrac{1}{\cancelto{4}{12}}\right) \text{d}u \\ & = -\dfrac14 \int u^{-7}~\text{d}u \\ &= -\dfrac14 \cdot \dfrac{1}{-7+1}u^{-7+1} + C \\ & = – \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{-6} u^{-6} + C \\ & = \dfrac{1}{24}(2+4t^{-3})^{-6}+C &&  (\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$
Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{\dfrac{1}{24}(2+4t^{-3})^{-6}+C}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 3
Hasil dari $\int (3-4w)(4w^2-6w+7)^{10}~\text{d}w$ adalah $\cdots$
A. $-\dfrac{1}{11}(4w^2-6w+7)^{11}+C$
B. $-\dfrac{1}{22}(4w^2-6w+7)^{11}+C$
C. $\dfrac{1}{11}(4w^2-6w+7)^{11}+C$
D. $\dfrac{1}{22}(4w^2-6w+7)^{11}+C$
E. $\dfrac{1}{22}(4w^2-6w+7)^{10}+C$

Penyelesaian

Misalkan $u = 4w^2-6w+7$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (8w-6)~\text{d}w = -2(3 – 4w)~\text{d}w \\ -\dfrac{1}{2}\text{d}u & = (3-4w)~\text{d}w \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $-\dfrac{1}{2}\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \int (3-4w)(4w^2-6w+7)^{10}~\text{d}w \\ & = \int u^{10} \cdot \left(-\dfrac12\right)\text{d}u \\ & = -\dfrac12 \int u^{10} \text{d}u \\ & = -\dfrac12 \cdot \dfrac{1}{10+1}u^{10+1} + C \\ & = -\dfrac{1}{22}u^{11} + C \\ & = -\dfrac{1}{22}(4w^2-6w+7)^{11}+C &&  (\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$
Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{-\dfrac{1}{22}(4w^2-6w+7)^{11}+C}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Hasil dari $\displaystyle \int \dfrac{3x-1}{(3x^2-2x+7)^7}~\text{d}x = \cdots$
A. $-\dfrac{1}{3(3x^2-2x+7)^6}+C$
B. $-\dfrac{1}{4(3x^2-2x+7)^6}+C$
C. $-\dfrac{1}{6(3x^2-2x+7)^6}+C$
D. $-\dfrac{1}{12(3x^2-2x+7)^6}+C$
E. $-\dfrac{1}{12(3x^2-2x+7)^7}+C$

Penyelesaian

Misalkan $u = 3x^2 -2x + 7$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (6x- 2)~\text{d}x = 2(3x-1)~\text{d}x \\ \dfrac12\text{d}u & = (3x-1)~\text{d}x \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $\dfrac12\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \int \dfrac{3x-1}{(3x^2-2x+7)^7}~\text{d}x \\ & = \int \dfrac{1}{u^7}~\dfrac12\text{d}u \\ & = \dfrac12 \int u^{-7}~\text{d}u \\ &= \dfrac12 \cdot \dfrac{1}{-7+1}u^{-7+1} + C \\ & = -\dfrac12u^{-6} + C \\  & = -\dfrac{1}{12(3x^2-2x+7)^6}+C &&  (\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$
Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{-\dfrac{1}{12(3x^2-2x+7)^6}+C}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Hasil dari $\int (3x+1)\sqrt{3x^2+2x-4}~\text{d}x = \cdots$
A. $\dfrac12(3x^2+2x-4)^{\frac32} + C$
B. $\dfrac13(3x^2+2x-4)^{\frac32} + C$
C. $\dfrac16(3x^2+2x-4)^{\frac32} + C$
D. $\dfrac{1}{12}(3x^2+2x-4)^{\frac32} + C$
E. $\dfrac{1}{18}(3x^2+2x-4)^{\frac32} + C$

Penyelesaian

Misalkan $u = 3x^2 + 2x-4$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (6x+2)~\text{d}x = 2(3x+1)~\text{d}x \\ \dfrac12\text{d}u & = (3x+1)~\text{d}x \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $\dfrac12\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \int (3x+1)\sqrt{3x^2+2x-4}~\text{d}x \\ & = \int \sqrt{u}~\dfrac12\text{d}u \\ & = \dfrac12 \int u^{\frac12}~\text{d}u \\ &= \dfrac12 \cdot \dfrac{1}{\frac12+1}u^{\frac12+1} + C \\ & = \dfrac12 \cdot \dfrac23 \cdot u^{\frac32} + C \\ & = \dfrac{1}{3}(3x^2+2x-4)^{\frac32} +C &&  (\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$
Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{\dfrac13(3x^2+2x-4)^{\frac32} + C}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Hasil dari $\int (x^2+2)(x^3+6x+1)^{\frac12}~\text{d}x=\cdots$
A. $\dfrac29(x^3+6x+1)\sqrt{x^3+6x+1}+C$
B. $\dfrac29(x^3+6x+1)^{\frac23}+C$
C. $\dfrac12(3x^3+6x+1)^{\frac32}+C$
D. $\dfrac23(x^3+6x+1)\sqrt{x^3+6x+1}+C$
E. $\dfrac32(x^3+6x+1)\sqrt{x^3+6x+1}+C$

Penyelesaian

Misalkan $u = x^3+6x+1$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (3x^2+6)~\text{d}x = 3(x^2+2)~\text{d}x \\ \dfrac13\text{d}u & = (x^2+2)~\text{d}x \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $\dfrac13\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \int (x^2+2)(x^3+6x+1)^{\frac12}~\text{d}x \\ & = \int u^{\frac12}~\dfrac13\text{d}u \\ & = \dfrac13 \int u^{\frac12}~\text{d}u \\ & = \dfrac13\cdot \dfrac{1}{\frac12+1}u^{\frac12+1} + C \\ & = \dfrac13 \cdot \dfrac23 \cdot u^{\frac32} + C \\ & = \dfrac{2}{9}(x^3+6x+1)^{\frac32} +C &&  (\text{Substitusi balik}) \\ & = \dfrac29(x^3+6x+1)\sqrt{x^3+6x+1}+C \end{aligned}$$
Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{\dfrac29(x^3+6x+1)\sqrt{x^3+6x+1}+C}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 7
Hasil dari $\int 5(z-4) \sqrt[3]{z^2-8z}~\text{d}z$ adalah $\cdots$
A. $\dfrac12(z^2-8z)\sqrt[3]{z^2-8z}+C$
B. $\dfrac14(z^2-8z)\sqrt[3]{z^2-8z}+C$
C. $\dfrac18(z^2-8z)\sqrt[3]{z^2-8z}+C$
D. $\dfrac14\sqrt[3]{z^2-8z}+C$
E. $\dfrac14(z^2-8z)^3+C$

Penyelesaian

Misalkan $u = z^2-8z$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (2z-8)~\text{d}x = 2(z-4)~\text{d}z \\ \dfrac12\text{d}u & = (z-4)~\text{d}z \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $\dfrac12\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} & \displaystyle\int 5(z-4) \sqrt[3]{z^2-8z}~\text{d}z \\ & = 5 \int (z^2-8z)^{\frac13} \cdot (z-4)~\text{d}z \\ & = 5 \int u^{\frac13}~\dfrac12\text{d}u \\ & = \dfrac52 \int u^{\frac13}~\text{d}u \\ & = \dfrac52 \cdot \dfrac{1}{\frac13+1}u^{\frac13+1} + C \\ & = \dfrac13 \cdot \dfrac34 \cdot uu^{\frac13} + C \\  & = \dfrac14(z^2-8z)\sqrt[3]{z^2-8z}+C &&  (\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$
Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{\dfrac14(z^2-8z)\sqrt[3]{z^2-8z}+C}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 8
Hasil dari $\displaystyle \int \dfrac{4w+3}{4w^2+6w-1}~\text{d}w$ adalah $\cdots$
A. $\dfrac{1}{2} \ln |4w^2+6w+1| + C$
B. $\dfrac{1}{4} \ln |4w^2+6w+1| + C$
C. $\dfrac{1}{8} \ln |4w^2+6w+1| + C$
D. $\dfrac{1}{16} \ln |4w^2+6w+1| + C$
E. $\dfrac{1}{32} \ln |4w^2+6w+1| + C$

Penyelesaian

Misalkan $u = 4w^2+6w+1$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (8w+6)~\text{d}w = 2(4w + 3)~\text{d}w \\ \dfrac12\text{d}u & = (4w+3)~\text{d}w \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $\dfrac12\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{4w+3}{4w^2+6w-1}~\text{d}w & = \int \dfrac{1}{u} \cdot \dfrac12\text{d}u \\ & = \dfrac12 \int u^{-1}~\text{d}u \\ &= \dfrac12 \ln |u| + C && (\ln = \text{logaritma natural}) \\ & = \dfrac{1}{2} \ln |4w^2+6w+1| + C && (\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$
Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{\dfrac{1}{2} \ln |4w^2+6w+1| + C}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 9
Hasil dari $\displaystyle \int \dfrac{3x}{(1+9x^2)^4}~\text{d}x$ adalah $\cdots$
A. $-\dfrac{1}{4(1+9x^2)^3} + C$
B. $-\dfrac{1}{12(1+9x^2)^3} + C$
C. $-\dfrac{1}{18(1+9x^2)^3} + C$
D. $\dfrac{1}{6(1+9x^2)^3} + C$
E. $\dfrac{1}{18(1+9x^2)^3} + C$

Penyelesaian

Misalkan $u = 1+9x^2$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (18x)~\text{d}w = 6(3x)~\text{d}x \\ \dfrac16\text{d}u & = (3x)~\text{d}x \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $\dfrac16\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{3x}{(1+9x^2)^4}~\text{d}x & = \int \dfrac{1}{u^4} \cdot \dfrac16\text{d}u \\ & = \dfrac16 \int u^{-4}~\text{d}u \\ &= \dfrac16 \cdot \dfrac{1}{-4+1}u^{-4 + 1} + C \\ & = -\dfrac{1}{18}u^{-3} + C \\ & = -\dfrac{1}{18}(1+9x^2)^{-3} + C&& (\text{Substitusi balik}) \\ & = -\dfrac{1}{18(1+9x^2)^3} + C \end{aligned}$$
Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{-\dfrac{1}{18(1+9x^2)^3} + C}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Diketahui hasil dari $\displaystyle \int_0^1 ax(x^2+1)^2~\text{d}x$ adalah $14$. Nilai dari $a$ adalah $\cdots$
A. $6$                 C. $10$                 E. $14$
B. $8$                 D. $12$

Penyelesaian

Gunakan metode substitusi aljabar dalam menentukan hasil pengintegralannya.
Misalkan $u = x^2+1$, sehingga
$\text{d}u = (2x)~\text{d}x$
yang ekuivalen dengan
$\dfrac12\text{d}u = x~\text{d}x$
Substitusikan $u$ dan $\dfrac12\text{d}u$ pada integran.
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^1 ax(x^2+1)^2~\text{d}x & = 14 \\ a \int_0^1 (x^2+1)^2 \cdot x~\text{d}x & = 14 \\ \dfrac12a \int_1^2 u^2~\text{d}u & = 14 && (\text{BB}: 0^2+1 = 1, \text{BA}: 1^2+1 = 2) \\ \dfrac12a\left[\dfrac13u^3\right]_1^2 \\ & = 14 \\ \dfrac12a\left[\dfrac13(2)^3 – \dfrac13(1)^3\right] & = 14 \\ a\left(\dfrac83 – \dfrac13\right) & = 28 \\ a \cdot \dfrac73 & = 28 \\ a & = \cancelto{4}{28} \times \dfrac{3}{\cancel{7}} = 12 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\boxed{a = 12}$
(Jawaban D)

[collapse]

Bentuk Trigonometri

Soal Nomor 10
Hasil dari $\int 90x^2 \sin (2+6x^3)~\text{d}x$ adalah $\cdots$
A. $-\cos (2+6x^3) + C$
B. $-2\cos (2+6x^3) + C$
C. $-5\cos (2+6x^3) + C$
D. $-5 \sin (2+6x^3) + C$
E. $5 \cos (2+6x^3) + C$

Penyelesaian

Misalkan $u = 2+6x^3$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (18x^2)~\text{d}x \\ 5\text{d}u & = (90x^2)~\text{d}x \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $5\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} \displaystyle \int 90x^2 \sin (2+6x^3)~\text{d}x & = \int \sin u \cdot 5\text{d}u \\ & = 5 \int \sin u ~\text{d}u \\ &= 5(-\cos u) + C \\ & = -5 \cos (2+6x^3) + C && (\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$
Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{-5 \cos (2+6x^3) + C}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 11
Hasil dari $\int \sec (1-z) \tan (1-z)~\text{d}z$ adalah $\cdots$
A. $\sin (1-z) + C$
B. $\cos (1-z) + C$
C. $\sec (1-z) + C$
D. $-\sec (1-z) + C$
E. $-\tan (1-z) + C$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} & \displaystyle \int \sec (1-z) \tan (1-z)~\text{d}z \\ & = \int \dfrac{1}{\cos (1-z)} \cdot \dfrac{\sin (1-z)}{\cos (1-z)}~\text{d}z \\ & = \int \dfrac{\sin (1-z)}{\cos^2 (1-z)}~\text{d}z \end{aligned}$
Misalkan $u = \cos (1-z)$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (-\sin (1-z)(-1))~\text{d}z \\ & = \sin(1-z)~\text{d}z \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{\sin (1-z)}{\cos^2 (1-z)}~\text{d}z & = \int \dfrac{1}{u^2}~\text{d}u \\ & = -\dfrac{1}{u} + C \\ & = \dfrac{1}{\cos (1-z)} + C && (\text{Substitusi balik}) \\ & = -\sec(1-z) + C \end{aligned}$$
Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{-\sec (1-z) + C}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 12
Hasil dari $\int (15t^{-2} – 5t) \cos (6t^{-1} + t^2)~\text{d}t$ adalah $\cdots$
A. $-\dfrac12 \sin (6t^{-1}+t^2) + C$
B. $-\dfrac32 \sin (6t^{-1}+t^2) + C$
C. $-\dfrac52 \sin (6t^{-1}+t^2) + C$
D. $-\dfrac52 \cos (6t^{-1}+t^2) + C$
E. $\dfrac52 \sin (6t^{-1}+t^2) + C$

Penyelesaian

Misalkan $u = 6t^{-1}+t^2$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (-6t^{-2} + 2t)~\text{d}t \\ & = -2(3t^{-2} – t)~\text{d}t \\ -\dfrac12\text{d}u & = (3t^{-2} – t)~\text{d}t \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $-\dfrac12\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \int (15t^{-2} – 5t) \cos (6t^{-1} + t^2)~\text{d}t \\ & = \int 5(3t^{-2} – t) \cos (6t^{-1} + t^2)~\text{d}t \\ & = 5 \int \cos u~\left(-\dfrac12\right)\text{d}u \\ & = -\dfrac52 \sin u + C \\ & = -\dfrac52 \sin (6t^{-1}+t^2) + C && (\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$
Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{-\dfrac52 \sin (6t^{-1}+t^2) + C}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 13
Hasil dari $\int (\cos (3t) – t^2)(\sin (3t) – t^3)^5~\text{d}t$ adalah $\cdots$
A. $\dfrac{1}{6} (\sin (3t) – t^3)^6 + C$
B. $\dfrac{1}{9} (\sin (3t) – t^3)^6 + C$
C. $\dfrac{1}{18} (\sin (3t) – t^3)^6 + C$
D. $\dfrac{1}{18} (\cos (3t) – t^3)^6 + C$
E. $-\dfrac{1}{18} (\sin (3t) – t^3)^6 + C$

Penyelesaian

Misalkan $u = \sin (3t)-t^3$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (3 \cos (3t)- 3t^2)~\text{d}t \\ & = 3(\cos (3t) – t^2)~\text{d}t \\ \dfrac13\text{d}u & = (\cos (3t) – t^2)~\text{d}t \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $\dfrac13\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned}&  \displaystyle \int (\cos (3t) – t^2)(\sin (3t) – t^3)^5~\text{d}t \\ & = \int u^5 \cdot \dfrac13\text{d}u \\ & = \dfrac13 \int u^5~\text{d}u \\ & = \dfrac13 \cdot \dfrac16u^6 + C \\ & = \dfrac{1}{18} (\sin (3t) – t^3)^6 + C &&(\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$
Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{\dfrac{1}{18} (\sin (3t) – t^3)^6 + C}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 14
Hasil dari $\displaystyle \int \dfrac{\csc (x) \cot (x)}{2 – \csc x}~\text{d}x$ adalah $\cdots$
A. $\ln |2 – \csc x| + C$
B. $\ln |\csc x \cot x| + C$
C. $-\ln |2 – \csc x| + C$
D. $\ln |2 + \csc x| + C$
E. $\dfrac{1}{2 – \csc x} + C$

Penyelesaian

Misalkan $u = 2 – \csc x$, sehingga diperoleh
$\text{d}u = (\csc x \cot x)~\text{d}x$
Substitusi $u$ dan $\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \dfrac{\csc (x) \cot (x)}{2 – \csc x}~\text{d}x \\ & = \int \dfrac{1}{u}~\text{d}u\\ & = \ln |u| + C \\ & = \ln |2-\csc x| + C &&(\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$
Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{\ln |2 – \csc x| + C}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 15
Nilai dari $\displaystyle \int_0^{\dfrac{\pi}{2}} \sin 3x \cos 3x~\text{d}x = \cdots$
A. $\dfrac13$      B. $\dfrac14$     C. $\dfrac16$      D. $\dfrac18$       E. $\dfrac{1}{12}$

Penyelesaian

Gunakan metode substitusi trigonometri dalam menentukan hasil pengintegralannya.
Misalkan $u = \sin 3x$, sehingga
$\text{d}u = 3 \cos 3x~\text{d}x$
yang ekuivalen dengan
$\dfrac13\text{d}u = \cos 3x~\text{d}x$
Substitusikan $u$ dan $\dfrac13\text{d}u$ pada integran.
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^{\dfrac{\pi}{2}} \sin 3x \cos 3x~\text{d}x & = \int_0^{1} u \cdot \dfrac13\text{d}u && (\sin 0 = 0; \sin \dfrac{\pi}{2} = 1) \\ & = \dfrac13 \int_0^{1} u~\text{d}u \\ & = \left[\dfrac13 \cdot \dfrac12u^2\right]_0^{1} \\ & = \dfrac16(1^2 – 0^2) = \dfrac16 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari integral tentu tersebut adalah $\boxed{\dfrac16}$
(Jawaban C)

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini
CategoriesKalkulus IntegralTags, , , ,

2 Replies to “Soal dan Pembahasan – Integral dengan Metode Substitusi Aljabar dan Trigonometri”

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *